人教版数学七年级竞赛教程之倍数约数附答案

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最大公约数和最小公倍数竞赛题

新课标七年级数学竞赛培训第32讲：最大公约数和最小公倍数一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）设a与b是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a，b]=90，则最大公约数（a，b）=（）A．1B．3C．11 D．92．（3分）古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有12个：子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如下两列：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）A．31 B．61 C．91 D．1213．（3分）两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273 B．819 C．1199 D．19114．（3分）2001的正约数的个数是（）A．3B．4C．6D．85．（3分）下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于aD．正整数a和b的公倍数大于等于ab6．（3分）360×473和172×361这两个积的最大公约数是（）A．43 B．86 C．172 D．47．（3分）所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（）A．1001 B．101 C．13 D．118．（3分）用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块．A．6B．8C．12 D．169．（3分）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（B ）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁10．（3分）在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33 B．34 C．35 D．37二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）a，b是彼此不相等的非零数字，则与4017的最大公约数是_________．12．（4分）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为1735，1736，1737，1738．13．（4分）设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225．（1）如果m和n的最大公约数为15，则m+n=_________；（2）如果m和n的最小公倍数为45，则m+n=_________．14．（4分）两个正整数之和为667，其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有_________组．15．（4分）（a，b）表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14，35]=70，则满足[x，y]=6，[y，z]=15的正整数组（x，y，z）共有_________组．三、解答题（共8小题，满分100分）16．（12分）甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆．现在改成每隔60m 安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？17．（12分）如图，一个圆圈上有n （n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？18．（12分）23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，并说明你的理由．19．（12分）张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x 和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？20．（12分）在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？21．（12分）用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．22．（14分）已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．23．（14分）甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？新课标七年级数学竞赛培训第32讲：最大公约数和最小公倍数参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）设a与b是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a，b]=90，则最大公约数（a，b）=（）A．1B．3C．11 D．9考点：约数与倍数．2383486专题：特定专题．分析：假设出（a，b）=x，得出x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，得出x的值是x=1或x=3，进一步利用数的整除性知识进行分析，得出符合要求的答案．解答：解：令（a，b）=x，则x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，故x是33和90的公约数，知x=1或x=3．当x=1时，a与b互质，而a+b=33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，而[a，b]=90，说明a、b至少有一个能被3整除．当a能被3整除，由a+b=33，则b也能被3整除，故（a，b）≠1，即x≠1．当x=3时，即有（a，b）=3，∴ab=[a，b]，（a，b）=3×90=32×5×6，而a+b=33，∴a=15，b=18，（a，b）=3．故选B．2．（3分）古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有12个：子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如下两列：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）A．31 B．61 C．91 D．121考点：约数与倍数．分析：此题是关于排列组合问题，找出最小公倍数是关键．解答：解：根据题意分析可得：其中天干有10个，地支有12个．12与10的最小公倍数是60，故序号每隔60循环一次，故第2次甲和子在同一列时，该列的序号是61．故答案B点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3．（3分）两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273 B．819 C．1199 D．1911考点：约数与倍数．专题：计算题；数字问题．分析：先对273分解质因数273=3×7×13，所以，两个数为3，7，13中的任意两数的乘积．解答：解：∵273=3×7×13，∴这两个数为3，7，13中的任意两个数的乘积，∴有3，7，13，21，39，91，273这七个数，又∵两数和为60，∴这两个数为21，39，所以乘积为21×39=819．故选B．点评：本题主要考查了有关于最大公约数与最小公倍数的题目，解答此题时，先用273分解质因数，然后利用“凑项法”解答．4．（3分）2001的正约数的个数是（）A．3B．4C．6D．8分析：先分解质因数2001=3×667，然后根据约数个数定理来解答．解答：解：∵2001=3×667，∴2001的正约数的个数是：（1+1）×（1+1）=4．故选B．点评：本题考查了最大公约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时，用到了约数个数定理：对于一个数a可以分解质因数：a=a1•a22a33…则a的约数的个数就是（r1+1）（r2+1）（r3+1）…需要指出来的是，a1，a2，a3…都是a的质因数．r1，r2，r3…是a1，a2，a3…的指数．比如，360=23×32×5，所以360约数的个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个．5．（3分）下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于aD．正整数a和b的公倍数大于等于ab分析：运用特殊值法进行排除，例如3是6和9的公约数，小于6，所以正整数a和b的最大公约数大于等于a，同理可得出符合要求的答案．解答：解：A、3是6和9的公约数，小于6，所以排除A；B、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除B；C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的；故C正确；D、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除D；故选C．点评：此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法．6．（3分）360×473和172×361这两个积的最大公约数是（）A．43 B．86 C．172 D．4分析：解决此类问题一般需要将这两个式子分解质因数，但由于361是一个质数，我们只要将172分解，再看一看前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案．解答：解：∵361是质数且不能被473整除，172=2×2×43，473=43×11，360=4×90，∴360×473和172×361这两个积的最大公约数是4×43=172．故选C．点评：此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键．7．（3分）所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（）A．1001 B．101 C．13 D．11分析：首先表示出这个六位数，100000a+10000b+1000c+100a+10b+c，再进行分解因数，得出它们的最大公约数．解答：解：∵100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=100100a+10010b+1001c=1001（100a+10b+c）1001是四位数，比100a+10b+c大，∴最大公约数一定是1001．故选：A．点评：此题主要考查了最大公约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分解成两个因数是解决问题的关键．8．（3分）用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块．A．6B．8C．12 D．16分析：45与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求．解答：解：∵[45，30]=90（cm），∴所求正方形的面积是：90×90=8100（cm）2，∴铺成该正方形所需的砖的块数为：8100÷（45×30）=6（块）；故选A．9．（3分）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（B ）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁考点：约数与倍数．分析：首先先了解下合数质数的概念质数：除了1和它本身外，没有别的因数的数是质数．合数：除了1和它本身外，还有别的因数的数是合数．再据题意把1610写成几个质数的及的形式，然后确定其答案．解答：解：1610/2=805，805/5=161，161/7=23，所以由明年他们的岁数相乘是1610，可得1610=2×5×7×23．这里可以确定孙子的年龄和爷爷的年龄不能分别是（1）2和805，（2）5和322，（3）7和230，（4）35和46．假设孙子明年的年龄是2×7=14，那么今年孙子明年的年龄是14﹣1=13（质数）与已知矛盾，不成立．如果由1610=2×5×7×23，设孙子明年的年龄是23，那么爷爷明年的年龄是2×5×7=70．又23﹣1=22，70﹣1=69，22、69都是合数符合题意．故答案：分别是69岁、22岁，选B点评：此题主要考查了学生对质数、合数意义的理解和掌握．此题关键是把1610写成几个质数的积的形式．10．（3分）在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33 B．34 C．35 D．37分析：在1﹣n之间，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，同时能被2和3整除的数有个．解答：解：在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有100÷2=50（个）；能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有100÷6≈16（个），所以，能被2整除但不能被3整除的数的个数是50﹣16=34（个）．故选B．点评：本题主要考查了有关于最大公约数与最小倍数的一道题．最小公倍数：①6及6的倍数能同时被2和3整除；②10及10的倍数能同时被2和5整除；③15及15的倍数能同时被3和5整除；④30及30的倍数能同时被2、3和5整除．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）a，b是彼此不相等的非零数字，则与4017的最大公约数是39．分析：将改写成10101×的形式，再将他与4017分别分解质因数，找出相同的因数，相乘即可求出最大公约数．解答：解：∵则=×104+×102+=10101×=3×7×13×37×，又∵4017=3×13×103，而是两位数，∴与4017的最大公约数是3×13=39．点评：本题主要考查求最大公约数的方法，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键．12．（4分）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为1735，1736，1737，1738．分析：根据题意，可先求出5，7，9，11的最小公倍数，我们可发现5，7，9，11是等差数列，所求得的最小公倍数分别加上5，7，9，11仍然是5，7，9，11的倍数．然后试着求得新的4个数，既得答案．解答：解5，7，9，11的最小公倍数是5×7×9×11=34653465+5=3470仍能被5整除，3465+7=3472仍能被7整除，3465+9=3474仍能被9整除，3465+11=3476仍能被11整除，3470、3472、3474、3476这四个数相差2，所以把这四个数除以2，就可以得到4个连续自然数1735，1736，1737，1738，它们依次分别被5、7、9、11整除，且最小．故写出一组4个连续自然数，这组自然数依次为1735，1736，1737，1738．点评：此题考查了学生对最小公倍数的理解和掌握．解答此题的关键是先求出5，7，9，11的最小公倍数．13．（4分）设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225．（1）如果m和n的最大公约数为15，则m+n=105；（2）如果m和n的最小公倍数为45，则m+n=90．分析：根据题意及最大公约数、最小公倍数的意义先分析推断，得到（1）m/15和n/15的最大公约数为1，互质．（2）m、n是不大于它们的最小公倍数a的．解答：解：（1）m和n的最大公约数为15 那么m/15和n/15的最大公约数为1，互质3（m/15）+2（n/15）=15，m/15=1，n/15=6 m=15，n=90 m+n=105故答案是105．（2）∵m和n的最小公倍数为45∴m、n是不大于它们的最小公倍数a的，因此3m+2n≤5a=225使等号成立，必须要：m=n=a=45．所以m+n=90．故答案是：90．点评：此题考查了学生对最大公约数和最小公倍数的理解和掌握．关键是通过分析推断得出结论．14．（4分）两个正整数之和为667，其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有2组．考点：约数与倍数．分析：根据最大公约数与最小公倍数的关系：设a，b为两个自然数，则（a，b）和[a，b]有如下关系：ab=（a，b）×[a，b]或[a，b]=ab/（a，b）来求解．解答：解：设所求的两个数是a、b．则由已知条件得[a，b]=120•（a，b），∴a•b=（a，b）•[a，b]=120•（a，b）2，又∵a+b=667=23×29，当（a，b）=23时，120=5×24，29=5+24，∴所求的数为5×23和24×23，即115和552，当（a，b）=29时，120=8×15，23=8+15，∴所求的数为8×29和15×29，即232和435，故满足条件的正整数有2组．故答案为：2．点评：本题考查的是关于最大公约数与最小公倍数的题目．最大公约数和最小公倍数之间的关系：设a，b为两个自然数，则（a，b）和[a，b]有如下关系：ab=（a，b）×[a，b]或[a，b]=ab/（a，b）．15．（4分）（a，b）表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14，35]=70，则满足[x，y]=6，[y，z]=15的正整数组（x，y，z）共有5组．考点：约数与倍数．2383486分析：由[x，y]=6，[y，z]=15，可得y既能整除6，又能整除15，所以y整除3，因此，y只能为1，3．当y=1时，x=6，z=15；当y=3时，x=1或6，z=5或15，然后即可得出答案．解答：解：由[x，y]=6，[y，z]=15，∴y既能整除6，又能整除15，∴y整除3，因此，y只能为1，3．∴当y=1时，x=6，z=15；当y=3时，x=1或6，z=5或15，∴满足条件的正整数组（x，y，z）为：（6，1，15），（2，3，5），（2，3，15），（6，3，5），（6，3，15），所以共有5组．故答案为：5．点评：本题考查了最小公倍数，难度适中，关键是对最小公倍数的理解和把握．三、解答题（共8小题，满分100分）16．（12分）甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆．现在改成每隔60m 安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？分析：由题意得：甲地到乙地距离为：45×（53﹣1）=2340（m），根据45与60的最小公倍数为180，可得2340÷180=13，然后即可得出答案．解答：解：由题意得：甲地到乙地距离为：45×（53﹣1）=2340（m），∵45与60的最小公倍数为180，∴2340÷180=13，∴除两端两根不需移动外，中途还有13﹣1=12根不必移动．点评：本题考查了最小公倍数，难度一般，关键是利用最小公倍数求解现实问题．17．（12分）如图，一个圆圈上有n （n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？分析：根据题意知，n是3、5、7的倍数，所以问题就转化为求3、5、7的最小公倍数的问题．解答：解：依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是3的倍数，有3|n ﹣1；每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是5的倍数，因此，有5|n﹣1；又每步跳过6个孔时，可回到A孔，这表明7|n．因（3，5）=1，故15|n﹣1．因n＜100，故n只可能是16，31，46，61，76，91，其中仅有91是7的倍数，故n=91，即圆圈上有91个孔．点评：本题主要考查了关于最小公倍数的应用题．提取公因数法适用于求两个以上数的最小公倍数，方法步骤是：（1）先提取出这几个数的最大公因数，可以分次提取（此时所得的商互质，但不一定两两互质）；（2）再在不互质的商中提取公因数，其他商照写下来，直到各商两两互质为止；（3）最后把提取出的各数及各商数连乘起来，乘积就是这几个数的最小公倍数．18．（12分）23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，并说明你的理由．考点：约数与倍数．分析：应先把4845分解，找到约数可能的数．再设出最大公约数，找出23个数最小值，进而求得最大公约数．解答：设23个不同的正整数的最大公约数为d，则，23个不同的正整数为：da1、da2、…、da23为互不相同正整数，4845=da1+da2+…+da23=d（a1+a2+…+a23）a1+a2+…+a23最小为1+2+…+23=（23+1）×23÷2=276，4845=3×5×17×19，4845的约数中，大于276的最小约数是3×5×19=285，即：a1+a2+…+a23最小为285，∴最大公约数d可能达到的最大值=4845÷285=17．点评：解决本题的关键是先得到4845可能的约数，再求得23个数除去约数外最小的和．19．（12分）张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x 和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？分析：由已知x，y，z的最小公倍数为60，x和y的最大公约数为4，得出y是12的倍数，y和z的最大公约数为3，得出y是3与4的倍数，而3与4互质故y是12的倍数，进而得出y等于12或60，讨论分析得出y 的值．解答：解：由题意可知，y不仅是3的倍数，而且是4的倍数，即y是12的倍数．同时y是60的约数，故而可求y．∵（x，y）=4，（y，z）=3∴y是3与4的倍数，而3与4互质故y是12的倍数．又∵[x，y，z]=60∴y=12，60．进而可求出x．∵[x，y，z]=60=3×4×5．当y=12时，x、z中至少有一个含有因数5．若x中有因数5，又x中有因数4，且4与5互质∴x中有因数20∵[x，y，z]=60，（x，y）=4 ∴x=20当x中没有因数5，∵x中有因数4，且x是60的约数∴x=4，或x=12∵（x，y）=4 ∴x=4当y=60时，（x，y）=4，而x中没有因数5，且[x，y，z]=60=3×4×5，故x=4．因此，张华发出的贺年卡为4张或20张．点评：此题主要考查了互质以及最大公约数与最小公倍数有关知识，本题的切入点是最大公约数和最小公倍数；注意答案的两种可能性．20．（12分）在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？分析：若（a1，a2）=1，则称a1与a2互质．若（a1，a k）=1，则称a1，a k互质，值得注意的是居个数互质，不一定两两互质，如（6，9，10）=1，而（6，9）=3，本题的一个重要条件是最初时灯都是关着的，然后对每个编号分解质因数．解答：解：由于最初所有电灯是关着的，所以只有哪些拉了奇数次开关的电灯才是亮的，而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次取决于这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约数，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数．所以，只有编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的电灯最后是亮着的．点评：此题主要考查了数的奇偶性，得出最后亮着的灯的编号只有为完全平方数，从而解决问题．21．（12分）用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．分析：由3的同余数入手分类，结合拼凑法使问题得到证明．解答：解：用任意元钱n（n＞7）去买单价为3元的雪糕，只能余l元或2元．若余2元时，少买一根3元雪糕，余数就为2+3=5元，恰能买一块5元的雪糕；若余1元时，少买3根3元的雪糕，余数为1+3×3=10元，恰能买2根5元雪糕；若n能被3整除，就用所有钱去买3元的雪糕，恰合题意．点评：本题主要考查能被3或5整除的数的特征，如果不能整除，再从余数入手，拼凑成能被5或3整除的数即可解答．22．（14分）已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．分析：首先假设出这个两数，得出有关两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，的两个方程，在进行分析得出符合要求的取值．解答：解：设所求二数为x，y，且（x，y）=d，令x=ad，y=bd，则（a，b）=1．根据题意有，由于（60，84）=12，所以d=l，2，3，4，6，12．而当d：1，2，3，4，6时，方程组无解．当d=12时，方程组变为，解之得或故所求的两数为x=24，y=36．点评：主要考查了方程组的解法以及最大公约数与最小公倍数的性质，正确的出d的取值是解决问题的关键．23．（14分）甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？分析：根据已知条件先求出他们再等多少天才能重逢，然后根据所求的数据推算它是几月几日．解答：解：∵甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，∴他们下一次见面需隔的天数是6、8、9，又∵6、8、9的最小公倍数是72，∴他们再在72后相见，即在10月28日再次见面．点评：本题考查的是最大公约数与最小公倍数的应用题．最小公倍数的性质：①两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，且最小公倍数是最大公约数的倍数，即：如果（a，b）=d，[a，b]=m，那么，dm=ab，且d|m；②如果一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除，或者说，一些数的公倍数一定是这些的最小公倍数的倍数，即：若[a1，a2，a3，…．a]=m，而a1|N，a2|N，…an，那么m|N．。

倍数与约数的问题解决

倍数与约数的问题解决在数学中，倍数与约数是两个重要的概念。

倍数是指一个数可以被另一个数整除，而约数则是指一个数能够整除另一个数。

在解决倍数与约数的问题时，我们需要运用一些数学方法和技巧。

一、倍数问题解决方法当我们遇到倍数的问题时，首先要确定一个数是否是另一个数的倍数。

为了判断一个数是否是另一个数的倍数，我们可以利用取余运算。

如果一个数除以另一个数的余数为零，那么这个数就是另一个数的倍数。

例如，要判断36是否是9的倍数，我们可以进行如下计算：36除以9等于4余0。

由于余数为0，所以36是9的倍数。

在解决倍数问题时，我们还需要考虑两个数的关系。

如果一个数是另一个数的倍数，那么这个数的所有倍数也是另一个数的倍数。

例如，如果24是6的倍数，那么48、72、96等都是6的倍数。

二、约数问题解决方法当我们遇到约数的问题时，首先要确定一个数的约数有哪些。

为了找出一个数的约数，我们可以列举所有可能的因数并进行验证。

例如，要找出24的约数，首先我们可以列举出24的所有可能因数：1、2、3、4、6、8、12和24。

然后，我们逐个验证这些因数是否能够整除24。

最终，我们可以确定24的约数有1、2、3、4、6、8、12和24。

在解决约数问题时，我们还可以利用数学定理和规律。

例如，如果一个数是质数，那么它的约数只有1和它本身。

三、倍数与约数在实际问题中的应用倍数与约数在实际问题中有广泛的应用。

下面以两个例子来说明：1. 购买礼物假设小明要给他的朋友买一个生日礼物，他发现选项有两个，分别是价格为60元和80元的礼物。

他想知道这两个礼物能不能用同样的金额买到。

为了解决这个问题，我们可以找到60和80的公倍数。

通过列举60和80的倍数，我们可以发现它们的公倍数是240。

这意味着小明可以用相同的金额买到这两个礼物。

2. 分糖果班级里有30个学生，小明带来了120颗糖果。

他想要将糖果平均分给每个学生，每个学生能得到几颗糖果？为了解决这个问题，我们可以找到120和30的最大公约数。

初一数学专题复习之约数与倍数

初一数学专题复习之约数与倍数
初一数学专题复习之约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的`性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

最小公倍数的求法：1、短除法；2、分解质因数。

数论--约数倍数-第4讲约数和倍数竞赛班学生

第四讲约数和倍数一、基础知识1. 1. 常用的特殊自然数的整除特征1）2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依次类推2）5系列:被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质假设一个多位数末三位是abc，末三位之前的部分为x那么该数=1000x+abc，由于8|1000,所以8|1000x,因此该数能否被8整除就决定于末三位abc能否被8整除，证毕.3）3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除.被9整除只需看各位数字之和能否被9整除.我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质假设该三位数为abc=100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a+b+c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc 就能被9整除，反之亦然。

推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下.4）7,11,13系列被7，11，13整除的判别方法：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除[思考]：为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现7ｘ11ｘ13=1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明和2系列的证明类似，我们仍然设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除该数=1000x+abc=1001x+（abc-x）由于1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除，证毕.特别的，我们还有另外一种判别能否被11整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数为数字之和能否被11整除，若能整除则原数可被11整除，反之亦然.请大家自己想一想这个如何证明？（思考题）2.整除的性质1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c.2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a.3.最大公约数和最小公倍数两个基本性质一.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即若a=a1*(a,b),b=b1*(a,b),则(a1,b1)=1二.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积.[a,b]*(a,b)=ab二、例题部分例1．（★★第16届希望杯第2试）我们用记号“|”表示两个正整数之间的整除关系，如3|12表示3整除12，那么满足x | (y+1)和y | (x+1)的正整数组(x,y)有__________组.例2.(★★第12届希望杯第2试) 两个正整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是__________例3.（★★★★ 1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。

2023年初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑸

初一数学竞赛讲座第5讲与年号有关的竞赛题在数学竞赛中，常可以看到某些题目中出现了当年的年号，这类题我们称之为“年号题”。

这类题趣味性强，时间性强，引起了参与竞赛的少年朋友很大的爱好。

“年号题”一般可提成两类，一类是题目的条件中出现了当年的年号，另一类是题目答案中出现了当年的年号。

下面我们分别举例说明这两类问题的解法。

一、题目条件中出现年号的问题1．题目在编制和解答中巧妙地运用了该年年号的数字特性，如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等。

例1 将19到80的两位数顺次排成数A＝19202322…7980。

问：这个数A 能否被1980整除？解：由于1980=99×20，因此要考察A能否被1980整除，只需要考察A能否被99和20整除就行了。

能被20整除是显然的。

由于99除100的任何次方所得的余数都是1，所以A＝19×10061+20×10060+…+79×100+80除以99的余数与B=19+20+…+79+80=99×31除以99的余数相同。

由于99|B，所以99|A。

于是A能被1980整除。

例2 用S（n）表达自然数n的各位数字之和，又n+S（n）=1999，求自然数n。

11x+2y＝89。

注意到x是奇数且x，y都是一位整数，不难求得x=7，y=6，从而n=1976。

例3 在3×3的九宫格中，填上 9个不同的自然数，使得每行三数相乘，每列三数相乘所得的6个乘积都等于P 。

试拟定P 能取1996，1997， 1998，1999，2023，2023这6个数中的哪些值。

解：所填的9个数应为P 的9个不同约数，又P 不能填入九宫格内，故P 的不同约数的个数应不小于10。

1996=22×499，有6个约数； 1997和1999是质数，各有2个约数；1998=2×33×37，有16个约数； 2023=24×53，有20个约数；2023=3×23×29，有8个约数。

初一数学上册综合算式专项练习题数的倍数与约数

初一数学上册综合算式专项练习题数的倍数与约数数的倍数与约数是初中数学中常见的概念，在学习数学的过程中经常会遇到。

本文将对初一数学上册综合算式专项练习题中的数的倍数与约数进行详细的讲解和实例分析。

一、数的倍数数的倍数是指能够被某个数整除的数。

例如，对于数4来说，它的倍数有4、8、12、16等等，因为这些数都能被4整除。

换句话说，某个数的倍数一定是这个数的整数倍。

具体来说，如果数a是数b的倍数，那么必然存在一个整数k，使得a=k*b。

接下来，我们来看几个实例。

首先，考虑数12的倍数。

12的倍数包括12本身，即12*1=12，以及12的两倍、三倍、四倍等等。

因此，12的倍数可以写作12、24、36、48等等。

同样地，我们可以考虑数7的倍数，它包括7本身，即7*1=7，以及7的两倍、三倍、四倍等等，即7、14、21、28等等。

另外，我们还可以通过数的倍数来解决实际问题。

例如，某班级有40名学生，要进行分组活动，每组人数必须相同且不能少于3人，问最少能够分成几组？我们可以通过寻找40的最小倍数来解决这个问题。

首先，40的倍数包括40本身，即40*1=40，以及40的两倍、三倍、四倍等等。

我们可以列举出40的前几个倍数：40、80、120、160、200、240、280、320、360、400。

通过观察，我们可以发现，最小的40的倍数是120，即40*3=120。

因此，最少能够分成的组数为3组，每组人数为40/3 = 13人余1人。

二、数的约数数的约数是指能够整除该数的所有因数。

例如，对于数6来说，它的约数有1、2、3、6，因为这些数都能整除6。

具体来说，如果数a能够整除数b，那么就可以说a是b的约数，b是a的倍数。

因此，一个数的约数即为所有能够整除该数的正整数。

接下来，我们来看几个实例。

首先，考虑数10的约数。

10的约数包括1、2、5、10这几个数。

因为1、2、5、10都能整除10。

同样地，我们来看数15的约数，它包括1、3、5、15这几个数，因为1、3、5、15都能整除15。

初中数学竞赛精品标准教程及练习02倍数约数

初中数学竞赛精品标准教程及练习02倍数约数倍数与约数是初中数学竞赛中经常会涉及到的重要概念，对于解题非常关键。

下面是一个标准的教程及练习题目，帮助学生更好地掌握倍数与约数的相关知识。

教程一、理解倍数的概念倍数是指一些数能被另一个数整除的数，或者说一个数是另一个数的倍数，可以用“整除”来解释。

例如，6是3的倍数，因为6能被3整除，即6÷3=2二、倍数的判断方法判断一个数是否是另一个数的倍数，可以采用两种方法：1.用除法判断：将被判断的数除以给定的数，如果余数为0，则表示它是给定数的倍数，否则不是。

2.用乘法判断：将给定的数乘以一些倍数，如果得到被判断数，即两数相乘等于被判断数，则表示它是给定数的倍数，否则不是。

三、倍数的性质1.一些数的倍数一定是它的约数，例如，6是6的倍数，同时也是6的约数。

2.一个数的倍数有无穷多个，例如，2的倍数有2，4，6，8，10等等。

3.一个数的正负整数倍同样是它的倍数，例如，3的倍数既有3，又有-3，6，-6，9，-9等等。

四、理解约数的概念约数是指能够整除其中一个数的数，或者说一些数可以被其他数整除。

例如，6的约数有1，2，3，6五、约数的判断方法判断一个数是否是另一个数的约数，可以采用两种方法：1.用余数判断：将被判断的数除以给定的数，如果余数为0，则表示它是给定数的约数，否则不是。

2.用除法判断：将给定的数除以一些约数，如果商等于被判断数，即两数相除等于被判断数，则表示它是给定数的约数，否则不是。

六、约数的性质1.一个数的约数个数是有限的，一个数的约数数目与它的大小有关。

2.一个数的约数中，除了1和它自身以外，其他约数都是成对出现的。

练习题1.判断以下哪些数是18的倍数：36、27、45、54、722.一个数是5的倍数，它至少可以被几个数整除？3.一个数是3的倍数，它的4倍是多少？4.求36的所有约数。

5.判断以下哪些数是45的约数：3、5、9、15、30。

初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑷

初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑷第 4 讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例 1 电视台要播放一部30 集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2 集的情形，因此，这余下的 2 集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8 或1，2，3，4，5，6，9 都可以。

所以最多可以播7 天。

说明：本题实际上是问，把正整数30 分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+，2=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6 种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。

例2 有面值为1 分、2 分、5 分的硬币各4 枚，用它们去支付2 角3 分。

问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2 分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5 分币。

当使用3枚5分币时，5X 3=15, 23-15=8,所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

2020初一(七年级)人教版数学竞赛教程含例题练习及答案91P

初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有： 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0； 2．带余形式：a=bq+r； 4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

(含答案)2020-2021学年初中数学竞赛精品讲座及试题02：倍数、约数

A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B 0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32 。解：列表如下
正正约数个正正约数
∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N 解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数 ∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3 例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解： ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359 三、练习2 1， 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2，分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3，用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4，一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________ 5，能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6，己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________ 7，写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____ 8，一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？ 9，一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？

七年级数学上册综合算式专项练习题倍数与约数运算

七年级数学上册综合算式专项练习题倍数与约数运算数学是一门重要的学科，也是我们在学习中最常接触的一门科目。

在七年级上册数学课程中，倍数与约数运算是我们需要掌握和理解的重要概念。

本文将为大家介绍七年级数学上册综合算式专项练习题的倍数与约数运算，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。

1. 倍数运算倍数是指一个数可以被另一个数整除，即后者是前者的倍数。

在进行倍数运算时，我们需要注意以下几点：（1）对于一个数a，如果b是a的倍数，则任意一个正整数k也是a的倍数。

即ka也是a的倍数。

（2）对于一个数a，所有大于a的数都是a的倍数。

因此，我们通常可以用整除法来判断一个数是否为另一个数的倍数。

如果一个数能够整除另一个数，那么它就是后者的倍数。

举例来说，如果我们要判断15是否是3的倍数，我们可以用整除法进行计算：15÷3=5，得到商为5，没有余数。

因此，15是3的倍数。

2. 约数运算约数是指可以整除一个数的所有数。

在进行约数运算时，我们需要注意以下几点：（1）一个数的所有约数包括1和它本身。

（2）一个数的最小正约数是1，最大约数是它本身。

（3）在进行约数运算时，我们通常可以使用质因数分解的方法。

将一个数分解为质数的乘积，然后再找出所有可能的组合，即可得到所有的约数。

举例来说，如果我们要找出12的所有约数，首先可以将12分解为质数的乘积：12=2×2×3。

然后，我们可以找出所有可能的组合：1，2，3，4，6，12。

因此，12的约数有1，2，3，4，6，12。

综合算式练习题：下面是一些综合算式练习题，包括了倍数与约数运算的考察。

通过解答这些题目，可以帮助同学们更好地掌握和运用倍数与约数的相关知识。

1.判断下列哪些数是12的倍数：（1）20（2）24（3）35（4）482.判断下列哪些数是6的约数：（1）6（2）8（4）123.求下列各数的所有约数：（1）16（2）18（3）20（4）24解答：1. （2）24和（4）48是12的倍数，因为它们可以整除12。

倍数表达法及练习题答案

倍数表达法及练习题答案
标题：以倍数表达法及练习题答案
倍数表达法是一种数学概念，它可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

在
倍数表达法中，我们使用倍数来描述一个数与另一个数之间的关系，这有助于
我们更直观地理解数学概念。

举个例子，如果我们要找出数字10的倍数，我们可以用倍数表达法来表示为10、20、30、40等等。

这样一来，我们就可以清晰地看到这些数字都是10的
倍数，它们与10之间的关系是倍数关系。

倍数表达法在解决数学问题时也非常有用。

例如，如果我们要找出一个数的所
有因数，我们可以利用倍数表达法来找出这个数的所有倍数，然后再找出它们
的公共因数。

这样一来，我们就可以更快地找到这个数的所有因数。

除此之外，倍数表达法还可以帮助我们更好地理解乘法和除法。

当我们用倍数
表达法来表示一个数的倍数时，我们可以更直观地看到乘法和除法之间的关系，这有助于我们更好地掌握这两种运算。

练习题答案：
1. 找出数字12的所有倍数。

答案：12、24、36、48、60等等。

2. 找出数字15的所有因数。

答案：1、3、5、15。

3. 用倍数表达法表示数字8的倍数。

答案：8、16、24、32、40等等。

4. 用倍数表达法表示数字7的倍数。

答案：7、14、21、28、35等等。

通过以上练习题答案，我们可以更好地理解和掌握倍数表达法，这将有助于我们更好地解决数学问题和提高数学能力。

倍数表达法不仅可以帮助我们更好地理解数学概念，还可以帮助我们更快地解决数学问题，让我们更加喜欢数学学习。

行测数量关系之——倍数约数问题

行测数量关系之——倍数约数问题所谓倍数约数问题，指题目给出若干个同类型整数、待求量涉及这几个整数的公倍数或公约数的题型。

对这类问题，短除法是十分有用的技巧。

注意题目中的提示信息，涉及内部等量划分往往是求最大公约数，涉及外部满足各种情况往往是求最小公倍数。

最小公倍数和最大公约数一般不难，关键在于理解题意，将问题转化为相应的最小公倍数和最大公约数的求值问题。

最小公倍数：如果一个自然数能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。

几个自然数共有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。

公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫这几个自然数的最小公倍数。

最大公约数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b 的倍数，b为a的约数。

几个自然数共有的约数，叫做这几个自然数的公约数。

公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

【例题解析】【例1】一副扑克牌有52张，最上面一张是红桃A。

如果每次把最上面的10张移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃A会出现在最上面？（）A.27B.26C.25D.24解析：答案为B。

每次移动扑克牌张数为10，因此移动的扑克牌总数必然是10的倍数；又有红桃A从最上面再回到最上面，移动的扑克牌总数必然是52的倍数。

10与52的最小公倍数是260，也即移动扑克牌数达到260后红桃A再次出现在最上面。

移动次数为260÷10=26次。

故答案选B。

【例2】有一种红砖，长24厘米，宽12厘米，高5厘米，至少用多少块红砖才能拼成一个实心的正方体？（）A.600块B.800块C.1000块D.1200块解析：答案为D。

要拼成正方体，则每条边的长度必须是24、12、5的最小公倍数，也即为120，此时每条边上需要的砖数分别是5、10、24，因此总共需要红砖5×10×24=1200块，正确答案为D。

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2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-2-倍数约数

人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人
为一眼而愁肠百转为一见而不远千里
4
晨起凭栏眺但见云卷云舒
风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离
感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷和其中的一字一句幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了被你翻开又合起被你动了奶酪和心思
【分类解析】
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32 。
解：列表如下
正
个
整正约数数
数
计
1，2
2
2
1，2，4
22
3
正整正约数数
1，3 3
1，3，32 32
个正数整计数
2 2×3
3 22×3
跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5 阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
答案
1. 1，2，3，4，6，12； ±1，±2，±3，±6，±9，±18 2. 22×3×52； 18 3. 2×5； 22×53 4. 693 5. ［3，5，11］＝165，1155；990 6. A＝3 即求14－2与23－2的公约数 7. 30，60，90 8. （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15 9. 119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7在有余数的除法中，

(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第三十二讲最大公约数与最小公倍数

第三十二讲最大公约数与最小公倍数如图，一个圆圈上有n (n ＜100＝个孔．小明像玩跳棋一样，从A 孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A 孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B 孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B ；最后他每步跳过6孔，正好回到A 孔．问这个圆圈上一共有多少个孔?思路点拨依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B 孔外，圆圈上的孔数是3的倍数，有3│n —1；每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，故除掉B 孔外，圆圈上的孔数是5的倍数，因此，有5│n —1；又每步跳过6个孔时，可回到A 孔，这表明7│n ．因(3，5)=1，故15│n —1．因n<100，故n 只可能是16，31，46，61，76，91，其中仅有91是7的倍数，故n=91，即圆圈上有91个孔．知识要点：1．(1)设a 1，a 2是两个整数，如果d │a 1，，d │a 2，那么d 就称为a 1和a 2的公约数．一般地，设k a a a 、、、 21是k 个整数．如果d │a 1，…d │a k ，那么d 就称为ka a a 、、、 21的公约数．(2)设a 1，a 2是两个不全为零的整数，那么的公约数中最大的称为a 1和a 2的最大公约数，记作(a 1 ，a 2)．一般地，设k a a a 、、、 21是k 个不全为零的整数，那么k a a a 、、、 21的公约数中最大的称为k a a a 、、、 21的最大公约数，记作(a 1，a 2，…，a k )．ka a a 、、、 21的公约数一定是最大公约数的约数．2．设a 1，a 2是两个均不等于零的整数，如果a 1│l ，a 2│l ，则称l 是a 1，a 2的公倍数，a 1，a 2的正的公倍数中最小的称为a 1与a 2的最小公倍数．一般地，设k a a a 、、、 21是k 个均不等于零的整数．如果a 1│l ，…，a k │l ，则称l 是k a a a 、、、 21的公倍数，其中正的公倍数中最小的称为k a a a 、、、 21的最小公倍数，其他公倍数一定是最小的公倍数的倍数．3．若将a ，b 进行质因数分解，并将它们表示成m m p p p a ααα 2121=， m m p p p b βββ 2121=．其中p 1，p 2，…，P m 为质数，α1，α2，，…αm ，β1，β2，…，βm 为非负整数，且设t i 、t s 分别为αi 、βi (I=1，2，…，m)中的较小者与较大者，则(a ，b)= m tm t t p p p 2121，[a ，b]= m s m s s p p p 2121．4．最大公约数与最小公倍数的重要性质(1) r 如果b │a ，则(a ，b)=b ，[a ，b]=a ．(2) 对于任意的正整数m ，有(am ，bm)=m(a ，b)， [am ，bm]=m[a ，b]．(3) 若a=bg+r (a ＞b ，0≤r ＜b ＝，则有(a ，b)=(b ，r)．这一性质表示求(a ，b)可转化为求(b ，r)．由于b 和r 相对于a 与b 来说要小，求(b ，r)应较求(a ，b)简便．若b 和r 仍比较大，可重复使用这一性质．这种方法称之为辗转相除法．(4) ( a 1，a 2，a 3)=((a l ，a 2)，a 3)．(5) ab=(a ，b)×[a ，b]．5．若(a 1，a 2)=1，则称a 1与a 2互质．若(a 1，…，a k )=1，则称a 1，…，a k 互质．值得注意的是居个数互质，不一定两两互质，如(6，9，10)=1，而(6，9)=3．6．(1)若(a ，b)=1，则 (a ，a ±b)=1，(a ±b ，b)=1，(a ±b ，ab)=1(2)若(a ，b)=1，a │bc ，则a │c ．(3)若(a ，b)=1，a │c ，b │c ，则ab │c ；(4)若(a ，b)=1，则(ac ，b)=(c ，b)；(5)若(a ，b)=1，c │a ，则(c ，b)=1．【例1】 (黄冈市初中竞赛题)23个不同的正整数的和是4845，试问：这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少?写出你的结论，并说明理由．思路点拨设这23个彼此不同的正整数为a 1，a 2…，a 23，并且它们的最大公约数是d ，则a 1=db 1，a 2=db 2，…，，a 23=db 23，依题意，有4845= a 1+a 2+…+a 23=d(b 1+ b 2+…+ b 23)．∵ b 1， b 2，…， b 23也是彼此不等的正整数，∴ b 1+ b 2+…+ b 23≥1+2+…+23=276．因此，4845=d(b 1+ b 2+…+ b 23)≥276d ，∴d ≤9251172764845 ．又因为4845=19×17×15，因此d 的最大值可能是17．当a 1=17，a 2=17×2，a 3=17×3，…，a 22=17×22，a 23=17×32时，得a 1+a 2+…+a 23=17(1+2+…+22)十17×32=4845．注本题的解题思路是：可设这23个不同的正整数为a 1，a 2…，a 23，且a 1=db 1，a 2=db 2，…，，a 23=db 2，则4845=d(b 1+ b 2+…+ b 23)．要使d 最大，则b 1+ b 2+…+ b 23应最小．故可求出d 的取值范围，再根据d │14845，求出d 的值．【例2】(希望杯初一数学竞赛试题)古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…子丑寅卯辰巳午未申酉戌女子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，，第3列是丙寅……则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是( )A ．31B ．6lC ．91D ． 121思路点拨 “甲”在第一行出现的位置是l0m+1，m=0，1，2，…，“子”在第二行出现的位置是12n+1，n=0，1，2，…．∴ “甲”和“子”在同一列时应有l0m 十1=12n 十l ：：， —即l0m=12n当m=n=0时是第一次“甲”“子”同列，第二次“甲”“子”同列时应是使得l0m=12n 成立的最小正整数m和n，即m=6，n=5．∴应是第61号位置．故选B．注：“甲”“于”在同一列时，它们的序号相同，这是解题的关键．【例3】 (北京市竞赛试趣)张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张?思路点拨由题意可知，y不仅是3的倍数，而且是4的倍数，即y是12的倍数．同时y是60的约数，故而可求y．∵ (x，y)=4，(y，z)=3，∴y是3与4的倍数，而3与4互质，故y是12的倍数．又∵ [x，y，z]=60，∴ y=12，60．进而可求出x．∵ [x，y，z] =60=3×4×5．当y=12时，x、z中至少有一个含有因数5．若x中有因数5，又x中有因数4，且4与5互质，∴x中有因数20．而[x，y，z]=60，(x，y)=4，故x==20．当x中没有因数5，∵x中有因数4，且x是60的约数，∴x=4，或x=12，而(x，y)=4，故x=4．当y=60时，(x，y)=4，而x中没有因数5，且[x，y，z] =60=3×4×5，故x=4．因此，张华发出的贺年卡为4张或20张．注 (1)本题的切入点是最大公约数和最小公倍数；(2)注意答案的两种可能性．【例4】在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的?思路点拨由于最初所有电灯是关着的，所以只有那些拉了奇数次开关的电灯才是亮的，而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次取决于这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约数，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数．所以，只有编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的电灯最后是亮着的．注：本题的一个重要条件是最初时灯都是关着的．然后对每个编号分解质因数．【例5】两个正整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是( )A．273 B．819 C．1911 R3549思路点拨设两个正整数为a与b，则a+b=60=22×3 ×5，[a，b]=273=3×7×13．显然，a，b的最大公约数是1或3．如果(a，b)=1，则[a，b]=a×b．a、b只能取21、13，7、39，1、273，3、91，其和均不为60．因此，(a，b)=3，于是a=3 ×7，b=3 ×13，∴ a×b=(3×7)×(3X×3)=819．故选B．注：本题的精妙之处在于由a+b和[a，b]的两个质因式的分解，确定出a和b的最大公为数是1或3．【例6】用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．思路点拨用任意元钱n (n ＞7)去买单价为3元的雪糕，只能余l 元或2元．若余2元时，少买一根3元雪糕，余数就为2+3=5元，恰能买一块5元的雪糕．若余1元时，少买3根3元的雪糕，余数为1+3×3=10元，恰能买2根5元雪糕．若n 能被3整除，就用所有钱去买3元的雪糕，恰合题意．注：由3的同余数入手分类，结合拼凑法使问题得到证明．【例7】已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．思路点拨设所求二数为x ，y ，且(x ，y)=d ，令x=ad ，y=bd ，则(a ，b)=1．根据题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d ab d b a 84160，由于(60，84)=12，所以d=l ，2，3，4，6，12．而当d ：1，2，3，4，6时，方程组无解．当d=12时，方程组变为⎩⎨⎧==+65ab b a ，解之得⎩⎨⎧==32b a 或⎩⎨⎧==23b a 佐：：．，故所求的两数为x=24，y=36．【例8】 ( “五羊杯’’竞赛题)设a 与b 是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a ，b]=90，则最大公约数(a ，b)=( )A ．1B ．3C ．11D ．9思路点拨令(a ，b)=x ，则x 是a ，b ，a+b 及[a ，b]的公约数，故x 是33和90的公约数，知x=1或x=3．当x=1时，a 与b 互质，而a+b=33，当a 不能被3整除，则b 不能被3整除，而[a ，b]=90，说明a 、b 至少有一个能被3整除．当b 能被3整除，由a+b=33，则b 也能被3整除，故(a ，b)≠1，即x ≠1．当x=3时，即有(a ，b)=3，∴ab=[a ，b]，(a ，b)=3×90=32×5×6，而a+b=33，∴a=15，b=18，(a ，b)=3．故选B ．学力训练(A 级)1．( “希望杯”培训题)2001的正约数的个数是( )A ．3B ．4C ．6D ．82．( ‘希望杯”竞赛题)下面的四句话中正确的是( )A ．正整数a 和b 的最大公约数大于等于aB ．正整数a 和b 的最小公倍数大于等于abC 正整数a 和b 的最大公约数小于等于aD ．正整数a 和b 的公倍数大于等于ab3．360×473和172×361这两个积的最大公约数是( )A ．43B ．86C ．172D ．44．(北京市竞赛题)a ，b 是彼此不相等的非零数字，则ababab 与4017的最大公约数是．5．(上海市竞赛题)写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为．6．甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢?(B级)1所有形如abcabc的六位数(a，b，c分别是0~9这十个数之一，可以相同，但a≠0)的最大公约数是( )A．1001 B．101 C． 13 D．112用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要( )块．A．6 B．8 C．12 D．163．祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是( )A．70岁、23岁 B．69岁、22岁 C．115岁、14岁 D．114岁、13岁4在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )A．33 B．34 C．35 D．375(2000年“希望杯”竞赛题)设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225．(1)如果m和n的最大公约数为15，则m+n= ；(2)如果m和n的最小公倍数为45，则m+n= ．6．个正整数之和为667，其最小公倍数是它们扣最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有组．7．a，b]表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14，35]=70，则满足[x，y]=-6，[y，z]=15的正整数组(x，y，z)共有组．8．甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆．现在改成每隔60m安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动?参考答案。

初中数学竞赛-七年级 -整数问题2 - 答案

∴
，
即可．
【解答】解：385 的二位因数有 11，35，55，77，他们不全相同，
解得，
，
故最大为 77，77，55，和为 209，最小为 11，11，35，和为 57．
∴100x+y＝352＝1225， ∴x＝12，y＝25，
故答案为 209，57．
即：小王现在的年龄是 12 岁，
6．在 100～1999 这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有 190 个．
结论．【解答】解：∵2m+2006+2m ＝2m（22006+1） ∵22006 末位是 4， ∴22006+1 末位是 5，而 2m 是偶数，所以 2m+2006+2m（m 是正整数）的末位数字是 0．
则 k＝0、1 或 2，（0 不合要求，舍去），因此 A＝4001 或 A＝8004．故答案为：4001 或 8004． 15．若 1+2+3+…+k 之和为一完全平方数 N2，并且 N 小于 100，则 K 的可能值是 1，8 或 49 ．【考点】#9：完全平方数．
与最小公倍数之和等于 ab+1 ．
个数仍然为完全平方数，则小王现在的年龄是 12
【考点】#6：约数与倍数．菁优网版权所有
【分析】由于相邻的两个自然数互为质数，故他们的最大公约数是 1，最小公倍数是 ab，从而易求答案．【解答】解：a、b 为两个相邻的自然数，它们的最大
岁．【考点】#9：完全平方数．
位对应着 1，2，…，19 这 19 种可能即可得出答案．
15，然后左边分解因式，右边分解因数，建立方程组
【解答】解：后两位数字相同，只有 00，11，22，33， 44，55，66，77，88，99 这 10 种可能情形，而每一种相同的末两位数字相同的数，百位到千位对应着 1，2，…，19 这 19 种可能，

数的倍数与约数练习题及答案

数的倍数与约数练习题及答案一、选择题1. 下列哪个数一定是4的倍数？A. 19B. 28C. 35D. 422. 哪个数不是 7 的约数？A. 14B. 21C. 28D. 353. 若一个数同时是2和3的倍数，它最多是多少的倍数？A. 12B. 18C. 24D. 364. 一个数是5的倍数，它一定是10的倍数吗？A. 是B. 否5. 有一个数，在它的乘法表中，找到了数3，4，5，6，8，9，12，16，18，24，27分别是第几行？A. 第1 行B. 第2 行C. 第3 行D. 第4 行6. 某个数能同时被2和5整除，它能被10整除吗？A. 能B.不能7. 分解因式：36 = _____ * _____A. 3, 12B. 2, 18C. 4, 9D. 6, 68. 设 x 是3的倍数， y 是4的倍数，那么 5x + 6y 是____的倍数。

A. 3B. 4C. 5D. 69. 一个整数能同时被2和3整除，它一定是6的倍数吗？A. 是B. 否10. 分解因式：48 = _____ * _____A. 2, 24B. 3, 16C. 4, 12D. 6, 8二、填空题1. 6 的倍数的最小正整数是 ______。

2. 14 是 ______ 的倍数。

3. 有一个数，它是 3 的倍数，也是 2 的倍数，它至少是 ______ 的倍数。

4. 48 是 ______ 的约数。

5. 若一个数同时是 2 和 5 的倍数，它最小是 ______ 的倍数。

6. 20 = 4 * ______。

7. 若一个数同时是 2 和 3 的倍数，那么它一定是 ______ 的倍数。

8. 64 是 ______ 的约数。

三、解答题1. 找出 36 的所有约数。

2. 一个数被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 5 除余 4，那么该数最小是多少？3. 分解因式：60 = ______ * ______。

4. 7 的最小倍数是多少？5. 分解因式：72 = ______ * ______。