初中数学实数(二次根式)重难点题型梳理归纳

实数章末重难点题型汇编

【考点1 无理数的概念】

【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起

来有三类：

（135,2等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如13

π

等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 【例1】（2019春•博兴县期中）在3.14、√12、

227

、−√5、√273

、2π、0.2020020002这六个数中，无理数

有（ ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】解：3.14、

22

7

、√273

、0.2020020002是有理数，√12、−√5、2π是无理数，无理数的个数是3，

故选：C ．

【变式1-1】（2018春•新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数

③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ） A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

【答案】①无限不循环小数都是无理数，故①错误；②无理数都是无限不循环小数，故②正确；

③﹣2是4的平方根，故③正确；④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；故选：B ．

【变式1-2】（2018秋•东台市期中）下列实数中，√12、√93

、−17、π

2

、﹣3.14、√0.1、

√−273

、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ） A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】解：√12=2√3，√0.1=√10

10，√−273

=−3，

则无理数有：√12、√93

、π

2

、√0.1、0.3232232223…，共5个．故选：D ．

【变式1-3】（2019秋•安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ）

−√(−5)2、√36、1

7、0、﹣π、√113

、3.1415、√1

5、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

故选：C ．

【考点2 无理数的估算】

【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算. 【例2】（2018春•巫山县期中）估计

√13+1

2

的值在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间

【答案】解：∵3＜√13＜4，∴4＜√13+1＜5，∴

√13+1

2

的值在2到3之间．故选：B ． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√13的取值范是解题关键． 【变式2-1】（2019春•北流市期中）设n 为正整数，且n ＜√83＜n +1，则n 的值为（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【答案】解：∵√81＜√83＜√100，∴9＜√83＜10，又∵n 为正整数，

∴n ＝9．故选：D ．

【变式2-2】（2019春•嘉陵区）已知a ，b 分别是6−√13的整数部分和小数部分，则2a ﹣b 的值是（ ）

A ．√13−2

B ．2−√13

C ．√13

D ．9−√13

【答案】解：∵3＜√13＜4，∴6−√13的整数部分是2，即a ＝2，

6−√13的小数部分是6−√13−2＝4−√13，即b ＝4−√13，∴2a ﹣b ＝4﹣4+√13=√13；故选：C ． 【变式2-3】（2019春•郯城县期中）若a 是√10−1的整数部分，b 是5+√5的小数部分，则a （√5−b ）的

值为（ ） A ．6

B ．4

C ．9

D ．3√5

【答案】解：∵2＜√10−1＜3，∴a ＝2，

又∵7＜5+√5＜8，∴5+√5的整数部分为7∴b ＝5+√5−7=√5−2； ∴a （√5−b ）＝2×（√5−√5+2）＝4．故选：B ．

【考点3 实数的大小比较】

【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.

【例3】（2019秋•河北期中）已知a =√7−√5，b =√5−√3，c ＝3−√7，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（ ） A ．b ＞c ＞a

B ．b ＞a ＞c

C ．a ＞b ＞c

D ．c ＞a ＞b

【答案】解：∵a =√7−√5，b =√5−√3，c ＝3−√7，∴1

a

=

√7−√5=

√7+√5

2

， 1b

=

√5−√3

=

√5+√32，1

c =3−√7=3+√72，∵√7＞√3，∴1a ＞1b ， ∵3＞√5，∴1

a

＜1c

，∴1c

＞

1a

＞1

b

，∴b ＞a ＞c ．故选：B ．

【变式3-1】（2019春•洪山区期中）比较实数：2、√5、√73

的大小，正确的是（ ）

A ．√73

＜2＜√5 B ．2＜√73

＜√5 C ．√5＜√73

＜2

D ．2＜√5＜√73

【答案】解：∵2=√4＜√5，∴2＜√5，

∵√73

＜√83

=2，∴√73

＜2，∴√73

＜2＜√5．故选：A ．

【变式3-2】（2019春•淮北期中）比较√3−1与

√3

2

的大小，结果是（ ） A ．前者大 B ．后者大

C ．一样大

D ．无法确定

【答案】解：∵√3−1−√3

2=√3

2−1＜√4

2−1＝1﹣1＝0，∴√3−1−√3

2＜0，∴√3−1＜√3

2，

∴比较√3−1与√3

2

的大小，结果是后者大．故选：B ．

【变式3-3】（2019秋•乐山校级期中）已知a =√2−1，b =√6−2，c =2√2−√6，那么a 、b 、c 的大小

关系是（ ） A ．a ＜b ＜c

B ．c ＜b ＜a

C ．.b ＜a ＜c

D ．.c ＜a ＜b

【答案】解：∵a ﹣c =√2−1﹣（2√2−√6）=√6−（1+√2）≈2.449﹣2.414＞0，

∴a ＞c ；∵a ﹣b =√2−1﹣（√6−2）=√2+1−√6≈2.414﹣2.449＜0， ∴a ＜b ，∴c ＜a ＜b ．故选：D ．

【考点4 二次根式相关概念】

【方法点拨】（1a a ≥0)的式子叫做二次根式。

（2）最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 （3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二

次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。

【例4】（2018春•禹州市期中）下列各式：√10，√2a ，√b 2−1，√x 2+y 2，√−3，√4，√m 2+1中，一

定是二次根式的个数是（ ） A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．7个

【答案】解：√10，√2a ，√b 2−1，√x 2+y 2，√−3，√4，√m 2+1中，一定是二次根式的是：

√10，√x 2+y 2，√4，√m 2+1共4个．故选：B ．

【变式4-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①√9−x 2；②√(a +b)(a −b)；③√a 2−2a +1；④√1

x ；

⑤√0.75中最简二次根式是（ ） A ．①②

B ．③④⑤

C ．②③

D ．只有④