第13章 基于伊藤微分方程的布朗运动分析
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第十三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•第13章 •基于伊藤微分方程的布朗运动分析
第十三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
随机过程的理论研究起源于生产、科研中的实际需要，随着 人们对现象的认识越来越深人，它已被广泛地应用于自然、社 会科学的许多领域中，并在越来越引起人们的重视。大量的含 有不确定性的实际问题的出现，促使了随机积分的构建与发展 ，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。 布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似 性，即具有随机分形的特征，但其时间函数（运动轨迹）却是 自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所 构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子 之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的 距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒 子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子 的运动永不停止。
dWt (1 2 X t )dt
第十三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•13.2 布朗运动的随机微分方程
第十三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•13.3.1 伊藤微分方程
伊藤微分方程是一类在控制论、滤波和通讯理论中有着重要作用的随机微分方 程，它的表述如下：
X t f X t , t G X t , t W t
第十三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•13.1.2 布朗运动的数学模型
第十三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•13.2 布朗运动的随机微分方程
布朗运动微分方程如下：
dX t dt dWt
几何布朗运动：
dX t X t dt X t dWt
X t dWt
Cox-lngersoll-Ross过程：
第十三章
二 维 几 何 Brown运 动 7
MATLAB优化算法案例分析与应用
6
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S
3
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1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 t
0.6
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0.8
0.9
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图13- 2 几何布朗运动
13.3.2 伊藤积分
lt ( ) X S dWS lim
0 t n 0 i 0
X (t )(W (t
i
n 1
i 1
) W (t i ))
第十三章
Biblioteka Baidu
MATLAB优化算法案例分析与应用
•13.4 数值布朗运动模拟与MATLAB实现
t=t0：h：tf; % 定义时间区间为[t0，tf]，采样步长为h n=length(t); % 求向量t的长度 x=randn(1，n); % 产生1行，n列 N(0，1)随机距阵 w=zeros(1，n); % 转移量 for k=1：n-1 w(1，k+1)=w(1，k)+x(1，k)*sqrt(h); % 定义Brown运动转移方程 end plot(t，w); %绘制二 维Brown运动图 title('二维Brown运动');
第十三章
二 维 Brown运 动 1
MATLAB优化算法案例分析与应用
0.5
0
W
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
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2.5 t
3
3.5
4
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图13- 1 布朗运动
第十三章
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•13.4.2 几何布朗运动的模拟
n=50; % 求向量t的长度 t = (0：1：n)'/n; h = 1; % 采样步长 r = 3; %μ alpha = 0.8; %σ W = [0; cumsum(randn(n，1))]/sqrt(n); y = (r - (alpha^2)/2)*t + alpha*W*sqrt(h); X = exp(y); % 定义Brown运动转移方程 plot(t，X); %绘制二维几何Brown运动图
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•第13章 •基于伊藤微分方程的布朗运动分析
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随机过程的理论研究起源于生产、科研中的实际需要，随着 人们对现象的认识越来越深人，它已被广泛地应用于自然、社 会科学的许多领域中，并在越来越引起人们的重视。大量的含 有不确定性的实际问题的出现，促使了随机积分的构建与发展 ，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。 布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似 性，即具有随机分形的特征，但其时间函数（运动轨迹）却是 自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所 构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子 之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的 距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒 子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子 的运动永不停止。
dWt (1 2 X t )dt
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•13.2 布朗运动的随机微分方程
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•13.3.1 伊藤微分方程
伊藤微分方程是一类在控制论、滤波和通讯理论中有着重要作用的随机微分方 程，它的表述如下：
X t f X t , t G X t , t W t
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•13.1.2 布朗运动的数学模型
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•13.2 布朗运动的随机微分方程
布朗运动微分方程如下：
dX t dt dWt
几何布朗运动：
dX t X t dt X t dWt
X t dWt
Cox-lngersoll-Ross过程：
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6
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S
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0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 t
0.6
0.7
0.8
0.9
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图13- 2 几何布朗运动
13.3.2 伊藤积分
lt ( ) X S dWS lim
0 t n 0 i 0
X (t )(W (t
i
n 1
i 1
) W (t i ))
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•13.4 数值布朗运动模拟与MATLAB实现
t=t0：h：tf; % 定义时间区间为[t0，tf]，采样步长为h n=length(t); % 求向量t的长度 x=randn(1，n); % 产生1行，n列 N(0，1)随机距阵 w=zeros(1，n); % 转移量 for k=1：n-1 w(1，k+1)=w(1，k)+x(1，k)*sqrt(h); % 定义Brown运动转移方程 end plot(t，w); %绘制二 维Brown运动图 title('二维Brown运动');
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二 维 Brown运 动 1
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0.5
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2.5 t
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图13- 1 布朗运动
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•13.4.2 几何布朗运动的模拟
n=50; % 求向量t的长度 t = (0：1：n)'/n; h = 1; % 采样步长 r = 3; %μ alpha = 0.8; %σ W = [0; cumsum(randn(n，1))]/sqrt(n); y = (r - (alpha^2)/2)*t + alpha*W*sqrt(h); X = exp(y); % 定义Brown运动转移方程 plot(t，X); %绘制二维几何Brown运动图