高三数学第一轮复习单元检测卷 (7)

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2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 7 )—等差和等比数列

高三数学(理科)单元过关试卷第1页高三数学(理科)单元过关试卷第2页2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 7 )考查：等差数列和等比数列时间：90分钟一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．由11,3a d ==确定的等差数列}{n a ，当298n a =时，序号n =（） A ．99 B ．100 C ．96 D ．1012．已知{}n a 是递增等比数列，2432,4a a a =-=，则此数列的公比q =（） A ．2 B ．1- C ．2或1- D ．43．等比数列}{n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则31323l o g l o g l o g a a a +++= ( ) A ．12B ．10C ．8D ．2+3log 54．已知数列{}n a 的前n 项和为23n s n n =++则它的通项公式是（） A ．2n a n =B ．23n a n =+C ．512(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩D ． 4n a n =+5. 一个等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知510S =，1050S =，则15S = ( ) A. 60 B. 90 C. 210 D.2506．已知等差数列}{n a 中，150a =，0.6d =-，则此数列前多少项和的值最大（）．A ．81B ．82C ．83D ．847.已知等差数列{n a }中，74a π=，则tan(678a a a ++)=（）(A)3-(B)8．在等比数列{a n }中，1234,n a a a +=·164,n a -=且前n 项和62n S =，则项数n 等于（） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题: (本大题共6小题,每小5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上) 9. 等差数列}{n a 中，482=+a a ，则它的前9项和=9S ____________10.在1和9的中间插一个数，使得这三个数成等比数列，则这个数为 11.等比数列}{n a ，2=q ，前n 项和为=24a S S n ，则. 12.已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈,则数列{}n a 的通项公式是n a =____.13.已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 则通项n a =___________ 14.图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f =____； ()(1)f n f n --=__________; ()f n =___________.二、填空题(每小题5分,共30分)9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.高三数学(理科)单元过关试卷第3页高三数学(理科)单元过关试卷第4页三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15225S =. 数列}{n b 是等比数列，32325,128b a a b b =+=（其中1,2,3,n =…）.（1）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（2）记,{}n n n n n c a b c n T =求数列前项和.16.已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112n n n S S a --=++*(2,)n n N ∈≥，数列{}n b 满足11194b =-且13n n b b n --=*(2,)n n N ∈≥.（１）求{}n a 的通项公式；（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列;（３）求{}n b 前n 项和的最小值．17.已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上。

高三数学一轮复习高考总复习测评卷直线和圆的方程章末质量检测文试题

·创作人：历恰面日期： 2020年1月1日金版新学案?高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『文科』卷(七)直线和圆的方程————————————————————————————————————— 【说明】本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷 (选择题一共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．下面各组方程中，表示一样曲线的是( )A ．y ＝x 与yx＝1 B ．|y |＝|x |与y 2＝x 2C ．|y |＝2x ＋4与y ＝2|x |＋4D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ(θ为参数)y ＝cos 2θ与y ＝－x 2＋12．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝03．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点P (5，－2)，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角的直线l 的方程是( )A ．y ＝－2B ．y ＝2，x ＝5C ．x ＝5D ．y ＝－2，x ＝55．假设PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，那么直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝06．假设k ，－1，b 三个数成等差数列，那么直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)7．D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为( )A.π4B.π2C.3π4D.3π28．A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，2259．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，假设目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，那么2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．410．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (3,1)，B (－1,3)，假设点C 满足|＋|＝|－|，那么C 点的轨迹方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．3x －2y －11＝011．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝012．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城B 在A 的正东40千米处，那么B 城处于危险区内的时间是为( )A ．小时B ．1小时C ．小时D ．2小时第二卷 (非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，那么所得直线的方程为________．14．在坐标平面内，与点A (1,3)的间隔为2，且与点B (3,1)的间隔为32的直线一共有__________条．15．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，那么△EOF (O 为坐标原点)的面积等于________．16．在直角坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6y ＋4≤0，|x －2|＋|y －3|≥3表示的平面区域的面积是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)△ABC 的两条高所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．18．(本小题满分是12分)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求BC 边所在直线的方程．(2)圆M 是△ABC 的外接圆，求圆M 的方程．19.(本小题满分是12分)△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0.AC 边上的高BH 所在直线为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．20．(本小题满分是12分)甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨．要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？21.(本小题满分是12分)圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A ，B 两个不同点，且满足＝12＋32(O 为坐标原点)关系的点M 也在圆C 上？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由．22．(本小题满分是12分)圆M 的方程为：x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，求·的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由．答案：卷(七)一、选择题1．B 用排除法做．A 、C 易排除，∵点坐标范围明显不一致．D 中前者x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]，后者x ∈R ，y ∈(－∞，1]，故排除D.2．D 选D.由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直．又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.3．C 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1〞是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直〞的充要条件． 4．D (1)假设直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan 45°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －11＋k ，得k ＝0，所求l 的直线方程为y ＝－2.(2)假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x ＝5，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角．应选D.5．B 结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.6．A ∵k ，－1，b 成等差数列， ∴k ＋b ＝－2.∴当x ＝1时，y ＝k ＋b ＝－2. 即直线过定点(1，－2)．7．B 如图阴影局部表示⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，确定的平面区域，所以劣弧AB 的弧长即为所求．∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1，∴∠BOA ＝π4.∴劣弧A B 的长度为2×π4＝π2.8．B 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．9．A 不等式组表示的平面区域如下图阴影局部，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)获得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6 ＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2 ＝256，应选A10．C 由|＋|＝|－|知⊥，所以C 点的轨迹是以两个端点A 、B 为直径的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5.11．D 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直，设圆心为O ，那么O (2,0)， ∴K OM ＝2－01－2＝－2.∴直线l 的斜率k ＝12，∴l 的方程为y －2＝12(x －1)．即x －2y ＋3＝0.12．B 如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么B (40,0)，台风中心挪动的轨迹为射线y ＝x (x ≥0)，而点B 到射线y ＝x 的间隔 d ＝402＝202＜30，故l ＝2302－(202)2＝20，故B 城处于危险区内的时间是为1小时．二、填空题13．【解析】直线y ＝x ＋3－1的斜率为1，故倾斜角为45°，旋转后的直线的倾斜角为60°，斜率为3，故所求直线方程为y －3＝3(x －1)，即3x －y ＝0.【答案】3x －y ＝014．【解析】以A (1,3)为圆心，以2为半径作圆A ，以B (3,1)为圆心，以32为半径作圆B .∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝22＝32－2， ∴两圆内切，公切线只有一条．【答案】 1 15．【解析】如图圆心O 1(2，－3)到直线l ：x －2y －3＝0的间隔为5，那么|EF |＝29－5＝4，O 到l 的间隔 d ＝35，故S △OEF ＝12d |EF |＝655.【答案】65516．【解析】区域为圆面(x －2)2＋(y －3)2＝9内挖去了一个内接正方形．【答案】 9π－18三、解答题17．【解析】可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，那么可设AB ，AC 边上的高所在的直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，那么可求得AB ，AC 所在的直线方程为y－2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，y －x －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)，所以直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0. 18．【解析】 (1)设C (x 0,0)，那么k AB ＝－220－(－2)＝－ 2.k BC ＝0＋22x 0－0＝22x 0. ∵AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－2×22x 0＝－1，∴x 0＝4，∴C (4,0)，∴k BC ＝22， ∴直线BC 的方程为y －0＝22(x －4)，即y ＝22x －2 2. (2)圆M 以线段AC 为直径，AC 的中点M 的坐标为(1,0)，半径为3， ∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －8＝0. 19．【解析】直线AC 的方程为：y －1＝－2(x －5)，即2x ＋y －11＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3，那么C 点坐标为(4,3)．设B (m ，n )，那么M (m ＋52，n ＋12)，⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋52－n ＋12－5＝0m －2n －5＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n －1＝0m －2n －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝－3那么B 点坐标为(－1，－3)直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.20．【解析】设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋y ＋1.6(300－y )(万元)，即z ＝780－x －y . x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋(300－y )≤360，作出上面的不等式组所表示的平面区域如下图．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，那么M (0,280)，把直线l ：x ＋y ＝0向上平移至经过点M 时，z 的值最小． ∵点M 的坐标为(0,280)，∴甲煤矿消费的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少． 21．【解析】 (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4所以圆C 的方程为 x 2＋y 2＝4；(2)假设直线l 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)①假设直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y －1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)＋1x 2＋y 2－4＝0消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k (k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k 1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k 2， y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k 2－3，因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4，由＝12＋32得x 0 ＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋3x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 222 ＝4，整理得，x 21＋y 214＋3x 22＋y 224＋32x 1x 2＋123y 1y 2＝4，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k2－3)＝0，从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0，②假设直线l 的斜率不存在，那么A (－1，3)，B (－1，－3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，3－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322 ＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝022．【解析】圆M 的方程可整理为：(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.(1)圆N 的圆心为(0,0)，因为|MN |＝2＜22，所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M .设其半径为r .因为圆N 内切于圆M ，所以有：|MN |＝R －r ，即2＝22－r ，解得r ＝ 2.所以圆N 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意可知：E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，得|DO |2＝|DE |×|DF |，即：(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得：x 2－y 2＝1.而＝(－2－x ，－y )，＝(2－x ，－y )，·＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1，由于点D 在圆N 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＜2x 2－y 2＝1，由此得y 2＜12，所以·∈[－1,0)． (3)因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，那么直线MB 的斜率为－k .故直线MA 的方程为y －1＝k (x －1)，直线MB 的方程为 y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －1)x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点M 在圆N 上，故其横坐标x ＝1一定是该方程的解，可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2，同理可得：x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝ 2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k MN . 所以，直线AB 和MN 一定平行．。

高三数学理科一轮复习试卷详解_第7单元不等式

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测七不等式第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·深圳第二次调研)设0<a b 3 B.1a <1b C ．a b >1D ．lg(b －a )<02．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－35，1 C.⎣⎡⎦⎤－35，1 D.⎝⎛⎦⎤－35，1 3．(·江西百所重点中学诊断)已知m >0，n >0，且2m ＋3n ＝5，则2m ＋3n 的最小值是( )A ．25 B.52 C ．4D ．54．(·合肥第二次质检)已知f (x )是偶函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝x sin x ，若a ＝f (cos 1)，b ＝f (cos 2)，c ＝f (cos 3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．b <c <a5．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60D ．806．(·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．27．(·湖北七市联考)若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( ) A ．－5 B ．3 C ．5D ．79．若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，13 B.⎣⎡⎦⎤－12，43 C.⎣⎡⎦⎤12，43D ．(－1,3)10．(·渭南模拟)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积的最小值为( ) A ．π B ．2π C ．4πD.π211．(·浙江杭州二中第一次月考)若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)12．(·郑州第一次质量预测)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.若P ＝f ⎝⎛⎭⎫15＋f ⎝⎛⎭⎫111，Q ＝f ⎝⎛⎭⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( ) A ．R >Q >P B ．R >P >Q C ．P >R >QD ．Q >P >R第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________. 14．(·四川资阳第一次诊断)已知点A 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥1所表示的平面区域内的一个动点，点B (－1，1)，O 为坐标原点，则OA →·OB →的取值范围是____________．15．(·青岛第一次模拟)已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为________． 16．(·湖南师大附中第三次月考)设正实数a ，b 满足等式2a ＋b ＝1，且有2ab －4a 2－b 2≤t －12恒成立，则实数t 的取值范围是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(·河北高阳中学第二次模拟考试)已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2a x －(a 2＋1)<0. (1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．18．(12分)已知a ，b 是正常数，x ，y ∈R ＋，且a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．19.(12分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )．20．(12分)如图所示，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21.(12分)(·江西宜春四校联考)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．答案解析1．D [对于A ，构造幂函数y ＝x 3，其在R 上为单调递增函数，因为0<a 0，b －a >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b ，故B 错误；对于C ，构造指数函数y ＝a x ，因为0<a 0，n >0,2m ＋3n ＝5，所以(2m ＋3n )·(2m ＋3n )＝13＋6⎝⎛⎭⎫m n ＋n m ≥13＋12m n ·n m＝25(当且仅当m ＝n ＝1时等号成立)，所以2m ＋3n≥5，故选D.]4．B [由于函数为偶函数，故b ＝f (cos 2)＝f (－cos 2)，c ＝f (cos 3)＝f (－cos 3)，由于x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，即函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，据单位圆三角函数线易得0≤－cos 2<cos 1<－cos 3≤π2，根据函数单调性可得f (－cos 2)<f (cos 1)<f (－cos 3)，故选B.]5．A [某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]6．D [可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.]7．C [x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min ，而a b ＋16b a≥2a b ·16b a ＝8，当且仅当a b ＝16ba，即a ＝4b 时，等号成立．因此x 2＋2x <8，即x 2＋2x －8<0，解不等式得－4<x <2.]8．D [直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.]9．B [根据题意，得不等式|x －m |<1的解集是m －1<x <m ＋1，设此命题为p ，命题13<x <12为q ，则p 的充分不必要条件是q ，即q 表示的集合是p 表示的集合的真子集，则有⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12，(等号不同时成立)．解得－12≤m ≤43.]10．A [因为直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，所以2ab ＝1，因为|OA |＝a 2＋b 2，所以以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积为π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选A.]11．A [x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解可转化为a >2x －x 在[1,5]上有解．而⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.]12．B [令x ＝y ＝0，得f (0)－f (0)＝f (0)＝0，再令x ＝0，可得f (0)－f (y )＝f (－y )⇒－f (y )＝f (－y )，即函数为奇函数．若－1<x <y <1，则x －y 1－xy <0，故由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy >0，即f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy >0，故函数在区间(－1,1)上为减函数．又P ＝f ⎝⎛⎭⎫15＋f ⎝⎛⎭⎫111＝f ⎝⎛⎭⎫15－f ⎝⎛⎭⎫－111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋1111＋15×111＝f ⎝⎛⎭⎫27，而0<27<12，由单调性可得R ＝f (0)>f ⎝⎛⎭⎫27＝P >f ⎝⎛⎭⎫12＝Q ，故选B.] 13.32解析对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1.(2)当a <1时，∵x >0， ∴(a －1)x －1<0，不等式可化为 x >0时均有x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立， ∴a <1不成立．(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f (x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0.又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－aa －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32.14．[－1,1]解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设A (x ，y )，z ＝OA →·OB →＝－x ＋y ，则y ＝x ＋z 表示斜率为1，纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y ＝x ＋z ，知当直线过点D (2,1)时，直线y ＝x ＋z 的截距最小，z min ＝－2＋1＝－1；当直线y ＝x ＋z 过点E (1,2)时，直线y ＝x ＋z 的截距最大，z max ＝－1＋2＝1，所以OA →·OB →的取值范围是[－1,1]．15．9解析因为x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，所以xy ＝x ＋y ＋3≥2xy ＋3，解得xy ≥3或xy ≤－1(舍去)，所以xy ≥9，当且仅当x ＝y ＝3时取等号．故xy 的最小值为9. 16.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ 解析 ∵2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab .而2a ＋b ＝1≥22ab ，∴ab ≤24，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时等号成立．∴2ab －4a 2－b 2＝2ab ＋4ab －1，令ab ＝u ∈⎝⎛⎦⎤0，24，f (u )＝4u 2＋2u －1，∴f (u )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫24＝2－12，故只需t －12≥2－12，即t ≥22. 17．解 (1)当a ＝2时，A ＝(2,7)，B ＝(4,5)， ∴A ∩B ＝(4,5)． (2)B ＝(2a ，a 2＋1)，当a <13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时a ＝－1；当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在；当a >13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1,3]∪{－1}． 18．解 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ，当且仅当bx 2＝ay 2时等号成立． ∴x ＋y 的最小值为a ＋b ＋2ab ＝18. 又a ＋b ＝10.∴2ab ＝8，∴ab ＝16.由a ＋b ＝10，ab ＝16可得a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 19．解原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)(x －1a )<0.因为方程(x －2)(x －1a )＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是{x |2<x <1a }；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是{x |1a<x <2}．(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}．(3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)(x －1a )>0，由于1a <2，故原不等式的解集是{x |x <1a 或x >2}．综上所述，当a <0时，不等式的解集为{x |x <1a或x >2}；当a＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式的解集为{x |2<x <1a }；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为{x |1a <x <2}．20．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0. 由实际意义和题设条件知x >0，k >0，由x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6. 所以当a 不超过6 km 时，可击中目标．21．解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A (1，225)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25. (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8.故z 的取值范围是[16,64]．22．解问题等价于f (x )在(0,2)上的最小值恒大于或等于g (x )在[1,2]上的最大值．因为f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2. 若f ′(x )>0，则x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是[1,3]，同理得f (x )的单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1,2]．当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解．综上所述，b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，142.。

甘肃省兰州大学附中2014届高三上学期一轮复习数学(理)单元验收试题(7)

兰州大学附中2013—2014学年度上学期高三一轮复习【新课标】数学（理）单元验收试题（7）命题范围：三角函数说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 2y x =D ．cos 2y x =2．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2t a n （）A ．34 B ．43 C ．43- D ．34-3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为( ) A ．34π B ． 4π C ．0 D ．4π-4．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c o s c o s s i n b C c B a A +=，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．函数f(x)=xx xx cos sin 1cos sin ++的值域是（）。

A ．[－2－1，1]∪[－1,2－1]B ．[－212+,212-] C ．[－22－1, 22－1]D ．[－212+,－1)∪(－1, 212-] 6．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A ．sin(α+β)>sinα+sinβB ．sin(α+β)>cosα+cosβC ．cos(α+β)<sinα＋sinβD ．cos(α+β)<cosα＋cosβ7．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）A ．10 B ．10 C ．10 D ．158．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是（）A ．()y f x =的图像关于(),0π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 既奇函数,又是周期函数9．在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 10．（2013年山东数学（理）试题）函数cos sin y x x x =+的图象大致为( )11．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π12．已知2cos sin cos )(2ax x b x a x f --=的最大值是21，且43)3(f =π，则=π-)3(f （）A ．21B ．43-C ．4321或-D ．430-或第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

高三数学一轮复习周测试卷七试题

监利县第一中学2021届高三数学一轮复习周测试卷〔七〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷满分是一共150分，考试时间是是120分钟考前须知：〔1〕答第一卷前，请所有考生必须将姓名，考号，班级填写上在第二卷上；〔2〕第一卷之答案填写上在第二卷的相应位置，写在第一卷上之答案无效，在在考试完毕之后以后，考生只交第二卷。

第一卷一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把答案填在第二卷的相应位置上． 1、设集合{}|1A x y x ==-，{}|lg ,1100B y y x x ==≤≤那么A B =〔〕 A 、[]1,100 B 、[]1,2 C 、[]0,2 D 、[)0,10 2、33()sin 9(,)f x x a x b x a b R =+-+∈，且(2013)7f -=那么(2013)f =〔〕 A 、11 B 、12 C 、13 D 、14 3、函数()log ||1(01)a f x x a =+<<的图象大致为〔〕4、定义运算a b *为：()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩例如232*=那么13x *的取值范围是〔〕A 、(]0,2B 、(]30,C 、(]0,1D 、[]1,25、假设函数()sin()f x x ωϕ=+的图象〔局部〕如图示，那么ω和ϕ的取值可以是〔〕 A 、34ω= 4πϕ= B 、1,3πωϕ==- C 、126πωϕ== D 、3,43πωϕ==- 6、以下命题中，真命题是〔〕 A 、假设1sin 2A =那么30A ︒= B 、2012x y +≠是1006x ≠或者1006y ≠的充分不必要条件 C 、存在实数,(0,)a b ∈+∞当1a b +=时1172a b += D 、假设0m >那么20x x m ++=有实根7、将水注入深为4米上口直径为4米的锥形漏斗容器中，注水速度为每秒1立方米，那么当水深为2米时，其水面上升的速度为〔〕 A 、1πB 、12π C 、2π D 、3π8、函数x x f 2sin1)(π+=，假设有四个不同的正数i x 满足M x f i =)(〔M 为常数〕，且8时，()(1);x f x e x =- ②函数()f x 有2个零点③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ ④12,x x R ∀∈，都有12|()()|2f x f x -< 其中正确命题个数是：A 、1B 、2C 、3D 、410、定义在R 上的函数1,2|2|()1,2x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩假设关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，那么以下结论错误的选项是〔〕A 、22212314x x x ++= B 、2a b += C 、134x x += D 、1322x x x +>二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分. 把答案填在第二卷的相应位置上.11、420|4|x dx -=⎰ .12、集合{}(,)|1,,A x y x y x R y R =+=∈∈对于集合A 中任何一个元素〔x , y 〕法那么f 使得〔x , y 〕与()3,3x y 对应，在法那么f 作用下集合A 的象的集合是 . 13、1cos 7α=，11cos()14αβ+=-且(0,),(,)22ππααβπ∈+∈，求cos β的值 . 14、假设函数31()3f x x x =-在2(,10)m m -上有最小值，那么实数m 的取值范围是 . 15、函数，函数g(x)＝一2a ＋2(a ＞0)，假设存在x 1，x 2 ∈ [0,1]，使得f (x 1〕＝g(x 2〕成立，那么实数a 的取值范围是 . 三、解答题(本大题6小题,一共75分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤) 16、〔本小题满分是12分〕己知函数f 〔x 〕＝〔1〕化简函数f 〔x 〕的解祈式；〔2〕假设0θπ≤≤，求θ，使函数了f 〔x 〕为偶函数；17、〔本小题满分是12分〕设有两个命题：命题p :不等式|1||3|x x a -+->对一实在数x 都成立；命题q :函数32()f x mx nx =+的图象在点(1,2)-处的切线恰好与直线21x y +=平行，且()f x 在[],1a a +上单调递减.，假设命题p 或者q 为真，务实数a 的取值范围.18、〔本小题满分是12分〕设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a. b, c , 且〔1〕求角A 的大小：〔2〕假设角B ＝6π，角A 的平分线交方BC 于M ，且AM 7，求AB 的长和△ABC 的面积。

高三数学一轮复习高效测评卷第七章立体几何理试题

金版新学案?高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(七)制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日第七章立体几何—————————————————————————————————————【说明】本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷(选择题一共60分)个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．在空间中，“两条直线没有公一共点〞是“这两条直线平行〞的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．以下四个命题中，真命题的个数为( )①假如两个平面有三个公一共点，那么这两个平面重合②两条直线可以确定一个平面③假设M∈α，M∈β，α∩β＝l，那么M∈l④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A．1 B．2C．3 D．43．一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的外表积为( )A．2 3 B．4 3C．4 D．84．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A．54 B．54πC．58 D．58π5．设三条不同的直线a、b、c，两个不同的平面α，β，bα，c⃘α.那么以下命题不成立的是( )A．假设α∥β，c⊥α，那么c⊥βB．“假设b⊥β，那么α⊥β〞的逆命题C．假设a是c在α的射影，b⊥a，那么c⊥bD．“假设b∥c，那么c∥α〞的逆否命题6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.637．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的间隔都相等，那么四边形是( )A．梯形B．圆外切四边形C．圆内接四边形D．任意四边形8．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出以下命题：①假设a∥b，b∥c，那么a∥c；②假设a⊥b，b⊥c，那么a⊥c；③假设a∥γ，b∥γ，那么a∥b；④假设a⊥γ，b⊥γ，那么a∥b.其中真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①④D．③④9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为( )A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa210．正四棱柱ABCD－A 1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，长为1的线段PQ在棱AA1上挪动，长为3的线段MN在棱CC1上挪动，点R在棱BB1上挪动，那么四棱锥R－PQMN的体积是( )A．6 B．10C．12 D．不确定11．平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m ∥α，m∥β，那么以下四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β12．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出以下命题：①α⊥β，β⊥γ，那么α⊥γ；②假设α∥β，m⃘β，m∥α，那么m∥β；③假设m，n在γ内的射影互相垂直，那么m⊥n；④假设m∥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥n.其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3第二卷(非选择题一共90分)题号第一卷第Ⅱ总分二1718192021 22得分横线上)13．如图，一个空间几何体的主视图左视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是________．14．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，那么空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的图的序号)．15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三局部，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C.假设V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，那么截面A1EFD1的面积为________．16．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BDD1B1上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(12分)一几何体的三视图如下：(1)画出它的直观图，并求其体积；(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．18．(12分)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝AA1＝2，D是AB的中点．(1)求证：CD⊥平面ABB1A1；(2)求二面角D－A1C－A的正切值．19．(12分)如下图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S获得最大值？并求出该最大值(结果准确到0.01平方米)；(2)假设要制作一个如图放置的、底面半径为的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．20．(12分)如下图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝12CD ＝1，M 为PB 的中点．(1)试在CD 上确定一点N ，使得MN ∥平面PAD ；(2)点N 在满足(1)的条件下，求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值．21．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且AG ＝13GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点，四面体P －BCG 的体积为83.(1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面PBG 的间隔；(3)假设F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PF FC的值．【解析方法代码108001100】22．(14分)如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点． (1)假设BM MA ＝BNNC，求证：无论点P 在D 1D 上如何挪动，总有BP ⊥MN ；(2)假设D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值；(3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．【解析方法代码108001101】答案一、选择题1．B 在空间中，两条直线没有公一共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行那么两条直线没有公一共点，∴“两条直线没有公一共点〞是“这两条直线平行〞的必要不充分条件．2．A ①两个平面有三个公一共点，假设这三个公一共点一共线，那么这两个平面相交，故①不正确；两异面直线不能确定一个平面，故②不正确；在空间交于一点的三条直线不一定一共面(如墙角)，故④不正确；据平面的性质可知③正确．3．C 由几何体的三视图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由主视图的面积为32，得菱形的边长为1，此几何体的外表积为S ＝8×12×1×1＝4. 4．A 设圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h ，H ，那么r R ＝h H，又πR 2＝9·πr 2，∴R ＝3r ， ∴H ＝3h .∴13πR 2·H －13πr 2h ＝52. 即13πR 2·H －13π·19R 2·13H ＝52，∴13πR 2H ＝54. 5．B 命题C 即为三垂线定理；命题D 中的原命题即为线面平行的断定定理，所以D 正确；命题A 显然成立；对于命题B ，假设α⊥β，那么b 与β的位置关系都有可能．6．D 如图，连接BD 交AC 于O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1， ∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角，易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，那么DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63. ∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 7．B P 到平面α内的四边形的四条边的间隔都相等，那么P 在平面α内的射影到四边形的四条边的间隔也都相等，故四边形有内切圆．8．C 由平行公理可知①正确；②不正确，假设三条直线在同一平面内，那么a ∥c ；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或者相交；由线面垂直的性质可知④正确．9．B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a . 如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a 2，设球的半径为R ，那么R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2. ∴S 球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.10．A 四棱锥R －PQMN 的底面积为S ＝S △PQM ＋S △MNP＝12PQ ·AC ＋12MN ·AC ＝12(PQ ＋MN )·AC ＝12(1＋3)×32＝6 2. 其高h ＝322，V R －PQMN ＝13Sh ＝13×62×322＝6.11．D ∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l .∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故A 一定正确． ∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m .从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α. ∴A B ⃘β，l β.∴AB ∥β.故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．12．B 此题为线面位置关系的断定，注意对线面平行与垂直的断定定理与性质定理的应用．①错，当两平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两个平面；②正确，不妨过直线m 作一平面与α，β同时相交，交线分别为a ，b ，由α∥β知a ∥b ，又m ∥α⇒m ∥a ，∴m ∥b ，又m ⊄β，∴m ∥β；③错，不妨设该直线为正方体的两对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两对角线不垂直；④错，以正方形两平行棱，或者一条棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例．二、填空题13．解析：由三视图知该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥．因此，其体积V ＝13π·12×3＝33π.答案：33π 14．解析：图①为空间四边形D ′OEF 在前面(或者后面)上的投影．图②为空间四边形D ′OEF 在左面(或者右面)上的投影．图③为空间四边形D ′OEF 在上面(或者下面)上的投影．答案： ①②③15．解析：设AE ＝x ，BE ＝6－x ，V 1＝VAEA 1－DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1－FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B －C 1F 1C ，且V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，所以12×(3x )×4∶(6－x )×3×4∶12×(3x )×4＝1∶4∶1，解得x ＝AE ＝2，∴A 1E ＝A 1A 2＋AE 2＝13， ∴SA 1EFD 1＝413. 答案： 41316．解析：取CC 1的中点F ，连接EF ，EF 交平面BB 1D 1D 于点N ，且EN ＝FN ，所以F 点是E 点关于平面BB 1D 1D 的对称点，那么AM ＋ME ＝AM ＋MF ，所以当A ，M ，F 三点一共线时，AM ＋MF 最小，即AM ＋ME 最小，此时AM ＋MF ＝AF ＝AC 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫CC 122＝3a2. 答案： 32a三、解答题17．解析： (1)该几何体的直观图如图，棱锥P －ABC ，其中PC ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，△ABC 斜边AC 上的高为125cm ，PC ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，∴V P －ABC ＝13×12×5×125×6＝12(cm 3)．(2)互相垂直的面分别有：面PAC ⊥面ABC ，面PBC ⊥面ABC ，面PBC ⊥面PAB .18．解析： (1)证明：因为AC ＝CB ，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，所以CD ⊥AB ，又因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，又∵AB ∩AA 1＝A ， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1.(2)建立如下图的空间直角坐标系， ∵AC ＝CB ＝AA 1＝2，∴A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (1,1,0)，C (0,0,0)，C 1(0,0,2)．显然平面A 1AC 的法向量为m ＝(0,1,0)，设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n ＝0A 1C →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2z ＝02x ＋2z ＝0，令x ＝1，那么n ＝(1，－1，－1)，令m ，n 的夹角为θ，那么cos θ＝m ·n |m ||n |＝－33， ∴二面角D －A 1C －A 的余弦值为33，其正切值为 2. 19．解析： (1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1.2－2r ，∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1.2－2r )＝πr 2r －4πr 2＝－3πr 2r ＝－3π(r 2r )． ∴当r ＝0.4时，S 有最大值，约为．(2)假设灯笼底面半径为，那么高为1.2－2×0.3＝0.6(米)．制作灯笼的三视图如图．20．解析：方法一：(1)过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，那么MN ∥ED ， ∴四边形MNDE 为平行四边形， ∴EM 綊DN .又∵EM 綊12AB ，而AB ＝12CD ，∴DN ＝14CD ，∴DN ＝12.(2)∵MN ∥ED ，∴直线MN 与平面PAB 所成的角即为直线ED 与平面PAB 所成的角． ∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB ，∴∠DEA 为直线ED 与平面PAB 所成的角．由题设计算得DE ＝52， ∴sin ∠DEA ＝AD DE ＝255.方法二：过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，那么MN ∥ED ，∴四边形MNDE 为平行四边形．以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，如下图．那么由题意得A (0,0,0)、B (0,1,0)、D (1,0,0)、C (1,2,0)、P (0,0,1)、M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12、N ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0.(1)∵D N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴|D N →|＝12.(2)∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB . 又∵N M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，D A →＝(－1,0,0)，∴cos 〈N M →，D A →〉＝NM →·DA →|NM →|·|DA →|＝152·1＝255，∴直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为255.21．解析： (1)由V P －BGC ＝13S △BCG ·PG ＝13·12BG ·CG ·PG ＝83，∴PG ＝4，如下图，以G 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，那么B (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,4)，故E (1,1,0)，GE →＝(1,1,0)， PC →＝(0,2，－4)，cos 〈GE →，PC →〉＝GE →·PC →|G E →|·|P C →|＝22×20＝1010，∴异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值为1010. (2)平面PBG 的单位法向量n 0＝(0，±1,0)， ∵GD →＝34A D →＝34BC →，B (2,0,0)，C (0,2,0)，∴GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0，∴点D 到平面PBG 的间隔为|GD →·n 0|＝32.(3)设F (0，y ，z )，那么DF →＝OF →－OD →＝(0，y ，z )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y －32，z ，GC →＝(0,2,0)．∵DF →⊥GC →，∴DF →·GC →＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y －32，z ·(0,2,0)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32＝0， ∴y ＝32.在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，那么GM ＝32，MC ＝12，∴PF FC ＝GMMC＝3. 22．解析： (1)证明：连接AC 、BD ，那么BD ⊥AC ，∵BM MA ＝BN NC， ∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN . 又∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴DD 1⊥MN ， ∵BD ∩DD 1＝D ， ∴MN ⊥平面BDD 1.又P 无论在DD 1上如何挪动，总有BP ⊂平面BDD 1， ∴无论点P 在D 1D 上如何挪动，总有BP ⊥MN .(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如下图的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，那么M (1，t,0)，N (t,1,0)，B 1(1,1,1)，P (0,0，23)，B (1,1,0)，A (1,0,0)，∵MB 1→＝(0,1－t,1)， B P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，23.又∵BP ⊥平面MNB 1， ∴MB 1→·B P →＝0，即t －1＋23＝0，∴t ＝13，∴MB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，1，M N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，0.设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧MB 1→·n ＝0M N →·n ＝0，得x ＝y ，z ＝－23y .令y ＝3，那么n ＝(3,3，－2)． ∵AB ⊥平面BB 1N ，∴A B →是平面BB 1N 的一个法向量，A B →＝(0,1,0)．设二面角M －B 1N －B 的大小为θ， ∴cos 〈n ，A B →〉＝|3，3，－2·0，1，0|22＝32222.那么二面角M －B 1N －B 的余弦值为32222.(3)存在点P ，且P 为DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1. 证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连接PE ，那么PE ∥BD ， ∴PE ⊥平面ACC 1. ∵PE ⊂平面APC 1， ∴平面APC 1⊥平面ACC 1.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

高考数学一轮复习第七章立体几何阶段检测试题(含解析)文(new)

第七章立体几何阶段检测试题时间：120分钟分值：150分一、选择题（每小题5分，共60分)1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（）A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析:根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．答案：B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（)A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知,BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1C,EF∩D1C＝F,则A1B与EF相交．答案:A3．（2017·嘉兴月考）对于空间的两条直线m,n和一个平面α，下列命题中的真命题是( ）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α,则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故选项A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故选项B错误；对C，m与n垂直而非平行，故选项C错误；对D,垂直于同一平面的两直线平行，故选项D正确．答案:D4．设P是异面直线a,b外的一点，则过点P与a,b都平行的平面（)A．有且只有一个B．恰有两个C．不存在或只有一个D．有无数个解析：过点P作a1∥a，b1∥b，若过a1，b1的平面不经过a，b，则存在一个平面同时与a,b平行；若过a,b1的平面经过a或b,则不存在这样的平面同时与a,b平行．1答案：C5．若平面α∥平面β，点A，C∈α,B，D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是（）A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A,B，C，D四点共面解析:由平面α∥平面β知，直线AC与BD无公共点，则直线AC∥直线BD的充要条件是A，B，C，D四点共面．答案：D6．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α,b⊥β，则下列命题中的假命题是（)A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α,β相交，则a，b相交解析：若α,β相交,则a，b可能相交，也可能异面,故D为假命题．答案：D7．一个几何体的侧视图和俯视图如图所示，若该几何体的体积为错误!,则它的正视图为（)解析：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，由几何体的体积为错误!，可知上方为棱锥,下方为正方体．由俯视图可得,棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1，所以选B.答案：B8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．27－错误!B．18－错误!C．27－3πD．18－3π解析：由几何体的三视图可知该几何体可以看成是底面是梯形的四棱柱挖去了半个圆柱，所以所求体积为错误!×（2＋4)×2×3－错误!π×12×3＝18－错误!。

【2020届高三一轮单元训练卷(理数)】第7单元：数列 A卷(解析版)

2020届高三一轮复习单元训练卷▪理科数学（A ）第7单元数列注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差d =（） A ．2 B ．32C ．3D ．4【答案】C【解析】∵a 1=12，S 5=90，∴54512902d ⨯⨯+=，解得d =3，故选C ． 2．在正项等比数列{}n a 中，已知42a =，818a =，则5a 的值为（）A ．14B ．14- C ．1- D ．1【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{}n a 中，且42a =，818a =，可得484116a q a ==，又因为0q >，所以12q =，则541212a a q =⋅=⨯=，故选D ． 3．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（） A ．72 B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知：513994024020a a a a +=⇒=⇒=，89109992360a a a a a a ==++=+，故本题选B ．4．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（） A ．700127里 B ．35063里 C ．28051里 D ．350127里【答案】A【解析】设马每天所走的路程是127,,.....a a a ，是公比为12的等比数列，这些项的和为700，717111()647002*********a S a ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭==⇒=-， 671700127a a q ==，故答案为A ． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，且651a a <-，则满足0n S >的最大正整数n 的值为（） A ．6 B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，所以0d <，又651a a <-，所以50a >，60a <，且560a a +>，所以110101105610()5()5()02a a a S a a a +==+=+>，11111611()1102a a S a +==<，所以满足0n S >的最大正整数n 的值为10．6．已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，39S =，且21a -，31a -，51a -构成等比数列，则5S =（） A ．15B ．15-C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意()()()1211133921141a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+-=+-+-⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩． ∴554251252S ⨯⨯=⨯+=．故选D ． 7．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于（） A ．66 B ．132C ．66-D ．132-【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=-，又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，故选D ．8．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行，令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112nn n S -==--，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=，令(1)152n n +=，解得5n =，所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=，即前15项的数字之和为114，故选B ．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2=31n n S a -，则通项公式n a 等于（）A ．12n n a -=B ．2nn a =C ．13-=n n aD ．3nn a =【答案】C【解析】当1n =时，11231S a =-，11a ∴=，当2n ≥且n ∈*N 时，11231n n S a --=-，则111222313133n n n n n n n S S a a a a a ----==--+=-，即13n n a a -=，∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列13n n a -∴=，本题正确选项C ．10．已知数列满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当时，，排除A ；当时，，B 符合题意；当时，，排除C ；当时，，排除D ，故选B ．11．已知数列：11212312342334445555++++++⋯，，，，，那么数列{}11n n n b a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭前项和为（） A ．111n -+ B ．1411n ⎛⎫⨯-⎪+⎝⎭C ．11421n ⎛⎫⨯-⎪+⎝⎭D ．1121n -+【答案】B【解析】由题意可知：()1122112n n n n n a n n +++⋅⋅⋅+===++，()111411411122n n n b n n a a n n n n +⎛⎫∴====⨯- ⎪+++⎝⎭⋅， 1111111141412233411n S n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，本题正确选项B ．12．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+，112a =，则2017a =（） A ．12016B ．12017 C ．12018D ．12019【答案】C 【解析】∵11n n n a a a +=+，112a =，∴1111n n a a +-=． ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为1．∴20171220162018a =+=，则201712018a =．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a =_______．【答案】8【解析】∵2434(1)a a a =-，∴2334(1)a a =-，则32a =， ∴223512812a a a ===，故答案为8．14．若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为q ，可设三数为a q ，a ，aq ，可得384a a aq q⎧=⎪⎨+=⎪⎩，求出21a q =⎧⎨=⎩，公比q 的值为1．15．在数列{}n a 中，11a =，133nn na a a +=+()n ∈*N 猜想数列的通项公式为________．【答案】32n + 【解析】由133n n n a a a +=+，11a =，可得1213334a a a ==+，2323335a a a ==+，3433336a a a ==+，……，∴猜想数列的通项公式为32n a n =+，本题正确结果32n +． 16．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a，使得1a =，则91m n+的最小值为__________．【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，432111=+2a q a q a q ∴，整理得210+2q q -=，又0q >，解得12q =，存在两项m a ，n a使得1a =，2221164m n a q a +-∴=，整理得8m n +=，91191191()10102888m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，则91m n+的最小值为2，当且仅当9m nn m =取等号，但此时m ，n ∉*N ．又8m n +=，所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2．故答案为2．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{}n a 的公差不为0，13a =，且247,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求2462n a a a a ++++．【答案】（1）2n a n =+；（2）23n n +．【解析】（1）24,,a a 7a 成等比数列，2427a a a ∴=，即2111(3)()(6)a d a d a d +=++，化简得1(3)0a d d -=，∵公差0d ≠，13a d ∴=，13a =，1d ∴=，1(1)2n a a n d n ∴=+-=+．（2）由（1）知222n a n =+，故2{}n a 是首项为4、公差为2的等差数列，所以2222462()(422)322n n n a a n n a a a a n n +++++++===+．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足535S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()413n n n b a a =-+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．【答案】（1）21n a n =+；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠)，由题意得52722235S a a a =⎧⎨=⎩，则()()12111545352(6)21a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩，化简得112723a d a d +=⎧⎨=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()32121n a n n =+-=+．（2）证明：()()()()44111113224222n n n b a a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-++++⎝⎭，所以111111111112132435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且21()n n S a n =-∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=；（2）221n n n T n =⋅-+．【解析】（1）因为21n n S a =-，当2n ≥时，1121n n S a --=-，两式相减可得1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，整理可得12n n a a -=，11121a S a ==-，解得11a =，所以数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列，12n na -∴=．（2）由题意可得：0112222nn T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，所以12121222(1)22n nn T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+⋅，两式相减可得1211212222221212nn nn n n n T n n n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=--⋅-，∴221n nn T n =⋅-+．20．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，n ∈*N ．（1）求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设()221log 1n n b a +=+，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：11156n T ≤<．【答案】（1）证明见解析，()21nn a n =-∈*N；（2）见解析．【解析】（1）由121n n a a +=+，得()1121n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+，且112a +=， ∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，11222n n n a -∴+=⨯=，∴数列{}n a 的通项公式为()21n n a n =-∈*N ．（2）由（1）得：()()212212log 1log 21121n n n b a n ++=+=-+=+，()()111111212322123n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭， ()111111123557212311646n n n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ∴=-⎪⎢⎥++⎝∈+⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦*N ，又1104610n <≤+，1101046n ∴-≤-<+，1111156466n ∴≤-<+，即11156n T ≤<． 21．（12分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；（2）设数列满足sin2πn n n a b a =，求的前项和．【答案】（1）；（2）()()()2,21123 ,2123n n n k k T n n k k -+=-=⎧⎪=⎨==⎪⎩，，，，，，．【解析】（1）由条件，得()3715724a a S S ⎧=+=+⎪⎨⎪⎩，即112724a d a d +==+⎧⎨⎩，132a d ==⎧⎨⎩，所以{a n }的通项公式是．（2）由（1）知，()()21πsin sin πcos π22πn nn n n b a an a n +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，（1）当21n k =-（k =1，2，3，…）即n 为奇数时，n n b a =-，11n n b a ++=，()123111222n n n n T a a a a a a n --=-+-++-=-+-=--；（2）当2n k =（k =1，2，3，…）：即n 为偶数时，n n b a =，11n n b a --=-，123122n n n nT a a a a a n -=-+-+⋯-+=⋅=，综上所述，()()()2,21123 ,2123n n n k k T n n k k -+=-=⎧⎪=⎨==⎪⎩，，，，，，．22．（12分）设正项数列的前n 项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前n 项和为，且14n n n b a a +=⋅，若对任意都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见证明，；（2）．【解析】（1）证明：∵，且，当时，，解得．当时，有，即，即．于是，即．∵，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．（2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++，∴11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，即()121nn n n λ<+-⋅+对任意都成立()()()()min1121n n n n n n λ⎡⎤++-⋅+⇔<∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦*N ，①当为偶数时，()()21n n nλ++<恒成立，令()()()2123n n f n n nn++==++，11()()()()12101n n f n f n n n +-+-=>+，在上为增函数，； ②当为奇数时，()()21n n n λ-+<恒成立，又()()2121n n n n n-+=--，()2f n n n =-易知：在为增函数，， ∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．。

高考数学一轮总复习单元质检卷七空间向量与立体几何北师大版

单元质检卷七空间向量与立体几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2021湖南衡阳月考)下列说法正确的是()A.三点确定一个平面B.如果一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线C.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直D.平行于同一平面的两条直线互相平行2.平面α外的一条直线l上有相异的三个点A，B，C，且三个点到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是()A.l⊥αB.l∥αC.l与α相交D.l∥α或l⊂α3.(2021山东济宁二模)“直线m垂直平面α内的无数条直线”是“m⊥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.一个正四棱锥的底面边长为2，高为√3，则该正四棱锥的表面积为()A.8B.12C.16D.205.(2021广东清远一中开学考试)把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1∶3，母线长为6 cm，则已知圆锥的母线长为()A.8 cmB.9 cmC.10 cmD.12 cm6.(2021河南安阳一中月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π67.(2020河北博野中学高三开学考试)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为D1C1的中点.过点B1，E，A的平面截该正方体所得的截面周长为() A.6√2+4√5 B.4√2+2√5C.5√2+3√5D.8√2+4√58.(2021河北石家庄质量检测二)在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥PC，PA=AC=√2，BC=a，动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为√10，则该棱锥的外接球的表面积为()A.5πB.8πC.10πD.20π9.关于空间两条不同直线a，b和两个不同平面α，β，下列命题正确的是()A.a⊥α，b⊥α，则a⊥bB.a⊥b，b⊥β，则a∥βC.a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥bD.a∥α，α⊥β，则a⊥β10.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1=AB=2.下列说法不正确的是()A.四棱锥B-A1ACC1为“阳马”B.四面体A1-C1CB为“鳖臑”C.过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1BD.四棱锥B-A1ACC1体积最大为2311.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，F为棱AA1上的点，且满足A1F∶FA=1∶2，点F，B，E，G，H为过三点B，E，F的平面BMN与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的交点，则下列说法正确的是()A.HF与BE相交B.三棱锥B1-BMN的体积为6C.直线MN与平面A1B1BA的夹角是45°D.D1G∶GC1=1∶312.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是()A.点F的轨迹是一条线段B.A1F与BE是异面直线C.A1F与D1E不可能平行D.三棱锥F-ABD1的体积为定值二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有.14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1CC1与平面BDC1的交线是.15.将半径为4的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为.16.(2021浙江杭州二中模拟)如图，△ABC的三边AB=10，BC=12，CA=14，D，E，F分别是三边的中点，沿DF，FE，ED将△ADF，△CEF，△BED折起，使得A，B，C重合于点P，则四面体PDEF的表面积为;体积为.三、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点.(1)求异面直线EF与CD1所成角的大小;(2)证明:EF⊥平面A1CD.18.(12分)(2021安徽马鞍山三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，∠ABC=60°，O为AD的中点.(1)证明:平面PAD⊥平面POC;(2)若AD=2，PC=√6，点M在线段PD上，PM=3MD，求三棱锥P-OCM的体积.19.(12分)(2021北京延庆三模)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面ADD1A1为矩形，且侧面ADD1A1⊥底面ABCD，AA1=4，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)求证:MN∥平面C1DE;(2)求二面角D-C1E-B1的余弦值.20.(12分)(2021北京，17)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，点E 为A 1D 1中点，直线B 1C 1交平面CDE 于点F.(1)证明:点F 为B 1C 1的中点;(2)若点M 为棱A 1B 1上一点，且二面角M-CF-E 的余弦值为√53，求A 1MA 1B 1的值.21.(12分)(2020新高考Ⅰ，20)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.22.(12分)(2021天津滨海新区塘沽第一中学月考)已知如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCDCD=1，PD=√2.为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=12(1)若M为PA中点，求证:AC∥平面MDE;(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;(3)在线段PC上是否存在一点Q(除去端点)，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为π?若3存在，请说明点Q的位置;若不存在，请说明理由.单元质检卷七空间向量与立体几何1.C 解析:当三点共线时，不能确定一个平面，故A 错误;如果一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的任意一条直线可能平行也可以异面，故B 错误;由线面垂直的判定定理知C 正确;平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交也可以异面，故D 错误. 故选C .2.B 解析:当直线l 与平面α相交时，直线l 上只有2个不同点到平面α的距离相等，故A ，C 错误;当直线l ∥平面α时，直线上所有点到平面距离都相等，满足题意，故B 正确; 因为平面α外的一条直线l ，所以l ⊄α，故D 错误. 故选B .3.B 解析:因为当直线m 垂直平面α内的所有直线时，可得m ⊥α，所以由直线m 垂直平面α内的无数条直线不一定能推出m ⊥α; 当m ⊥α时，直线m 垂直平面α内的无数条直线，所以直线m 垂直平面α内的无数条直线是m ⊥α的必要不充分条件. 故选B .4.B 解析:如图所示，在正四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 的边长为2，设点P 在底面ABCD 的投影点为点O ，则四棱锥P-ABCD 的高PO=√3，则O 为AC 的中点，且AO=12AC=√22AB=√2，PB=PA=√PO 2+AO 2=√5.取AB 的中点E ，连接PE ，则PE ⊥AB ，且PE=√PA 2-AE 2=2，则S △PAB =12AB ·PE=2，故正四棱锥P-ABCD 的表面积S=4S △PAB +S 四边形ABCD =4×2+2×2=12.故选B .5.B 解析:设圆锥的母线长为l ，因为圆台的上、下底面半径之比为1∶3，所以(l-6)∶l=1∶3，解得l=9. 故选B .6.D 解析:(方法1)如图1所示，连接BC 1，则∠PBC 1就是直线PB 与AD 1所成的平面角，易得PB ⊥PC 1，且BC 1=2PC 1，所以∠PBC 1=π6.故选D .(方法2)以点D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，如图2.设AB=1，则B (1，1，0)，P12,12，1，A (1，0，0)，D 1(0，0，1)，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,12，-1，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，0，1)，设直线PB 与AD 1所成的角为θ，则cos θ=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32√32×√2=√32，所以θ=π6.图1图2故选D .7.A 解析:如图，取DD 1的中点F ，连接AF ，EF ，显然EF∥AB1，则四边形AB1EF为所求的截面.因为D1E=C1E=2，所以B1E=√22+42=2√5，AB1=√42+42=4√2，EF=√22+22=2√2，AF=√42+22=2√5，所以截面的周长为6√2+4√5.8.B解析:将侧面PBC沿PC翻折到与侧面PAC共面，如图所示.则动点Q从B点出发，沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为AB.∵PA⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC.又BC⊥PC，PA=AC，∴∠ACB=π2+π4=3π4，∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=2+a2+2√2a×√22=10，解得a=2.∴PB=√PC2+BC2=√PA2+AC2+BC2=2√2.取PB中点O，连接AO，CO，∵PA⊥AB，PC⊥BC，∴AO=CO=12PB，∴O为该棱锥的外接球的球心，其半径R=12PB=√2，∴球O的表面积S=4πR2=8π.故选B.9.C解析:对于A，当a⊥α，b⊥α，直线a和b相当于平面α的法向量，则a∥b，故A错误; 对于B，当a⊥b，b⊥β，则a∥β或a⊂β，故B错误;对于C ，a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b ，故C 正确;对于D ，a ∥α，α⊥β，则a ⊥β或a 与β相交，或a ∥β，故D 错误. 故选C .10.D 解析:因为底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，所以在“堑堵”ABC-A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧棱AA 1⊥平面ABC ，因为AA 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，且AA 1∩AC=A ，则BC ⊥平面AA 1C 1C ，所以四棱锥B-A 1ACC 1为“阳马”，故A 项正确;由AC ⊥BC ，得A 1C 1⊥BC ，又A 1C 1⊥C 1C 且C 1C ∩BC=C ，所以A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥BC 1，则△A 1BC 1为直角三角形. 又由BC ⊥平面AA 1C 1C ，得△A 1BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得△A 1C 1C 为直角三角形，△CC 1B 为直角三角形，所以四面体A 1-C 1CB 为“鳖臑”，故B 项正确;因为BC ⊥平面AA 1C 1C ，则BC ⊥AF ，又AF ⊥A 1C 且A 1C ∩BC=C ，则AF ⊥平面A 1BC ，所以AF ⊥A 1B.又AE ⊥A 1B 且AF ∩AE=A ，则A 1B ⊥平面AEF ，则A 1B ⊥EF ，故C 项正确;在底面有4=AC 2+BC 2≥2AC ×BC ，即AC ×BC ≤2，当且仅当AC=BC 时等号成立， V B -A 1ACC 1=13S A 1ACC 1×BC=13AA 1×AC ×BC=23AC ×BC ≤43，故D 项不正确.故选D .11.D 对于A 选项，由于平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，而平面BMN 与这两个平面分别交于HF 和BE ，根据面面平行的性质定理可知HF ∥BE ，故A 错误; 由于A 1F ∶FA=1∶2，而E 是CC 1的中点，故MA 1=1，C 1N=2.对于B 选项，V B 1-BMN =V B -MNB 1=13×12×MB 1×NB 1×BB 1=13×12×3×4×2=4，故B 错误; 对于C 选项，由于B 1N ⊥平面A 1B 1BA ，所以直线MN 与平面A 1B 1BA 所成的角为∠NMB 1，且tan ∠NMB 1=B 1N B 1M =43≠1，故C 错误;对于D 选项，可知D 1G=12，GC 1=32，故D 正确. 故选D .12.C 解析:对于选项A ，如图，分别找线段BB 1，B 1C 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MN ，A 1N.由题得MN ∥AD 1，MN ⊄平面D 1AE ，AD 1⊂平面D 1AE ，所以MN ∥平面D 1AE.又A 1M ∥DE ，A 1M ⊄平面D 1AE ，D 1E ⊂平面D 1AE ，所以A 1M ∥平面D 1AE.又MN ∩A 1M=M ，所以平面A 1MN ∥平面D 1AE.因为A 1F 与平面D 1AE 的垂线垂直，又A 1F ⊄平面D 1AE ，所以直线A 1F 与平面D 1AE 平行.又A 1F ⊂平面A 1MN ，且点F 是侧面BCC 1B 1内的动点，平面A 1MN ∩平面BCC 1B 1=MN ，所以点F 的轨迹为线段MN ，故选项A 正确;对于选项B ，由图可知，AF 与BE 是异面直线，故选项B 正确;对于选项C ，当点F 与点M 重合时，直线A 1F 与直线D 1E 平行，故选项C 错误;对于选项D ，因为MN ∥AD 1，MN ⊄平面ABD 1，AD 1⊂平面ABD 1，所以MN ∥面ABD 1，则点F 到平面ABD 1的距离是定值，又三角形ABD 1的面积是定值，所以三棱锥F-ABD 1的体积为定值，故选项D 正确.故选C .13.AB ，A 1B 1 解析:由正三棱柱的性质可知，与直线CD 和AA 1都垂直的直线有AB ，A 1B 1. 14.C 1M 解析:因为C 1∈平面A 1CC 1，且C 1∈平面BDC 1，同时M ∈平面A 1CC 1，且M ∈平面BDC 1，所以平面A 1CC 1与平面BDC 1的交线是C 1M. 15.8√3π3解析:由题知，圆锥的母线长为l=4.设圆锥的底面半径为r ，则2πr=4π，即r=2.所以圆锥的高h=√l 2-r 2=2√3.故圆锥的体积V=13·πr 2·h=13×4π×2√3=8√3π3. 16.24√6 2√95 解析:四面体的表面展开图即△ABC. △ABC 中，由余弦定理得cos ∠ABC=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=102+122-1422×10×12=15，则sin ∠ABC=2√65. 四面体PDEF 的表面积为S △ABC =12AB ·BC sin ∠ABC=12×10×12×2√65=24√6. 因为四面体PDEF 相对棱等长，则该四面体的每一组相对棱可作为一个矩形的两条对角线，从而把四面体PDEF 补形成长方体D 1EP 1F-DE 1PF 1，如图.PD=EF=5，PE=DF=6，PF=DE=7，设FP 1=x ，FD 1=y ，FF 1=z ，则有{x 2+y 2=25,y 2+z 2=36,z 2+x 2=49,解得{x 2=19,y 2=6,z 2=30,故xyz=6√95.所以四面体PDEF 的体积V=V D 1EP 1F -DE 1PF -4V P -P 1EF =xyz-4×16xyz=13xyz=2√95. 17.解据题意，建立如图空间直角坐标系.则D (0，0，0)，A 1(2，0，2)，C (0，2，0)，E (2，1，0)，F (1，1，1)，D 1(0，0，2)， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，0，1)，CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，-2，2)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，2)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0). (1)cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗||CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×2√2=12，∴<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°，即异面直线EF 和CD 1所成的角为60°. (2)∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1×2+0×0+1×2=0， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即EF ⊥DA 1. ∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1×0+0×2+1×0=0， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即EF ⊥DC. 又DA 1，DC ⊂平面DCA 1，且DA 1∩DC=D ， ∴EF ⊥平面A 1CD.18.(1)证明根据题意可得，PA=PD ，AO=OD ，∴PO ⊥AD.∵底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，则△ACD 为等边三角形，∴CO ⊥AD. ∵PO ∩OC=O ，PO ，OC ⊂平面POC ，∴AD ⊥平面POC.又AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面POC.(2)解在等边三角形PAD 中，∵AD=2，∴OP=OC=√3. 又PC=√6，∴OP 2+OC 2=PC 2，即PO ⊥OC ， ∴S △POC =12·PO ·OC=12×√3×√3=32.由(1)可知，AD ⊥平面POC ，又PM=3MD ， ∴V P-OCM =V M-POC =34V D-POC =34×13S △POC ×DO=34×13×32×1=38.19.(1)证明连接B 1C ，ME.因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME=12B 1C.又因为N 为A 1D 的中点，所以ND=12A 1D.由题设知A 1B 1 DC ，可得B 1C A 1D ，故ME ND ，故四边形MNDE 为平行四边形，则MN ∥ED.又MN ⊄平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE.(2)解因为底面ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD.因为侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ，且侧面ADD 1A 1∩底面ABCD=AD ，所以CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥DD 1，AD ⊥DD 1.又因为侧面ADD 1A 1为矩形，所以AD ⊥DD 1.如图建立空间直角坐标系Dxyz ，其中D (0，0，0)，C 1(0，2，4)，E (1，2，0)，C (0，2，0)，且DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，4)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2，0). 因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以DC ⊥平面BCC 1B 1，故DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0)为平面C 1EB 1的一个法向量，设n =(x ，y ，z )为平面DC 1E 的法向量，则{n ·DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y +4z =0,x +2y =0,取y=-2，可得n =(4，-2，1).所以cos <DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n >=DC ⃗⃗⃗⃗⃗·n |DC ⃗⃗⃗⃗⃗||n|=2×√21=-2√2121.因为二面角A-DE-B 1的平面角是钝角，所以二面角A-DE-B 1的余弦值为-2√2121. 20.(1)证明如图所示，取B 1C 1的中点F'，连接DE ，EF'，F'C ，由于ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，E ，F'为中点，故EF'∥CD ，从而E ，F'，C ，D 四点共面，则平面CDE 即为平面CDEF'，故可得直线B 1C 1交平面CDE 于点F'.当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点F'重合，即点F 为B 1C 1中点.(2)解以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为2，设A 1MA 1B 1=λ(0≤λ≤1)，则M (2，2λ，2)，C (0，2，0)，F (1，2，2)，E (1，0，2)，从而MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，2-2λ，-2)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，2)，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，-2，0)，设平面MCF 的法向量为m =(x 1，y 1，z 1)，则{m ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+(2−2λ)y 1-2z 1=0,m ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+2z 1=0,令z 1=-1，可得m =2，11−λ，-1. 设平面CFE 的法向量为n =(x 2，y 2，z 2)，则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y 2=0,n ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2z 2=0,令z 2=-1可得n =(2，0，-1). 则cos <m ，n >=m ·n|m||n|=√5+(11−λ) ×√5=√53，整理可得(λ-1)2=14，解得λ=12λ=32舍去. 21.解(1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD. 又底面ABCD 为正方形，所以AD ⊥DC. 所以AD ⊥平面PDC.因为AD ∥BC ，AD 不在平面PBC 中，所以AD ∥平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面PBC=l ，所以l ∥AD.所以l ⊥平面PDC.(2)以D 为坐标原点，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由PD=AD=1，得D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，P (0，0，1)，则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，-1).由(1)可设Q (a ，0，1)，则DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，0，1). 设n =(x ，y ，z )是平面QCD 的法向量，则{n ·DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{ax +z =0,y =0.可取n =(-1，0，a ). 所以cos <n ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗|n||PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√1+a 2.设PB 与平面QCD 所成角为θ，则sin θ=√33√1+a 2=√33√1+2aa 2+1.因为√33√1+2aa 2+1≤√63，当且仅当a=1时，等号成立，所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63.22.(1)证明如图，设PC 与DE 交于点N ，连接MN. 因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.又M 为PA 的中点，因为MN ∥AC ，而MN ⊂平面MDE ，AC ⊄平面MDE ，所以AC ∥平面MDE.(2)解因为平面PDCE ⊥平面ABCD ，平面PDCE ∩平面ABCD=DC ，PD ⊥DC ，PD ⊂平面PDCE ，所以PD ⊥平面ABCD.因为AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD. 因为∠BAD=∠ADC=90°，所以DA ，DC ，DP 两两垂直.以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据题意，则有A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，P (0，0，√2)，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，-√2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，-√2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，-√2). 设平面PBC 的一个法向量为m =(x ，y ，z )，则{m ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +y -√2z =0,2y -√2z =0,取y=1，则m =(1，1，√2).设直线PA 与平面PBC 所成角的平面角为θ，则有sin θ=|cos <m ，PA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=m ·PA⃗⃗⃗⃗⃗ |m||PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−2√3×2=√36.(3)解假设存在点Q 满足题意，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，故PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2λ，-√2λ)，则Q (0，2λ，√2−√2λ).所以DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2λ，√2−√2λ)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，0). 设平面DAQ 的一个法向量为n =(a ，b ，c )，则有{n ·DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2λb +(√2-√2λ)c =0,a =0,取b=1，则n =0，1，√2λλ-1，由(2)知平面PBC 的一个法向量为m =(1，1，√2)，根据题意，有cos π3=cos <m ，n >，则|m ·n||m||n|=12|1+2λλ-1|2×√1+2λ2(λ-1)2=12，解得λ=23.即得PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即点Q 为线段PC 上靠近点C 的一个三等分点，坐标为Q 0，43,√23.。

2021届高三数学一轮复习第7单元训练卷数列(理科)B卷(详解)

2021届单元训练卷▪高三▪数学卷（B ）第7单元数列注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3433S a =-，2333S a =-，则公比q =（） A ．3B ．4C ．5D ．62．已知数列{}n a 是等差数列，且1472πa a a ++=，则35t (an )a a +的值为（） A ．3B ．3-C ．33D．33-3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a ，成等差数列，则4S 的值是（） A ．81-B ．80-C ．64-D ．63-4．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若2nn S a =+，则a =（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-5．数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-，则2018a 等于（）A ．12B ．1-C ．2D ．36．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（）A ．1125里B ．920里C ．820里D ．540里7．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（） A ．32B ．114C ．83D ．138．数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，且2πcos3n n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S 等于（）A ．294B ．174C ．470D ．3049．已知数列{}n a 满足11a =，2116a =，2214n n n a a a ++=，则数列{}n a 的最小项为（） A ．122-B ．2542-C ．52-D ．62-10．已知数列{}n a 满足()12323213n n a a a na n ++++=-⋅．设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），n ∈*N ，则λ的最小值是（） A ．32B ．94C ．3112D ．311811．已知ABC △的三个角A ，B ，C 成等差数列，三条边a ，b ，c 成等差数列，且2b =，则ABC △的面积的为（）A ．3B ．2C ．5D ．312．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，313a b ==，15715a b ==，设11(1)n nn n n b c a a -+=-，则数列{}n c 的前2020项和为（） A ．20192020- B ．20192020C ．20202021-D ．20202021第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于________．14．各项为正数的等比数列{}n a 中，2a 与10a 的等比中项为3，则3438log log a a +=_____．15．已知数列{}n a 的前项和为n S ，13a =，()()112nn n a a +=--，则2020S =______．16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则使22110nnnS S +取得最大值时n 的值为________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{}n a 中，35a =，2614a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足(1)nn n b a n =--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求21T ．18．（12分）在数列{}n a 中，11a =，1*122()n n n a a n ++-=∈N ．（1）证明：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n S ．19．（12分）已知{}n a 是等差数列，且1212a a +=，411a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知数列{}n a 满足1231233n nna a a a ++++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．21．（12分）已知数列{}n a 为等差数列，375,13a a ==，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且有21n n S b =-．（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．22．（12分）已知{}n a 是公比1q >的等比数列，且满足2312a a +=，1432a a =，数列{}n b 满足：111213246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令211n n n n nb c b b a ++-=⋅⋅，求证：12111n n nc c c b a ++++<-⋅．高三▪数学卷（B ）第7单元数列答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】由已知3433=-S a ，2333=-S a ，两式作差得32433333S S a a a -=-=，所以434a a =，即434a q a ==． 2．【答案】A【解析】∵1472πa a a ++=， ∴432πa =，42π3a =，3544π23a a a +==，354πtan()tan3a a +== 3．【答案】B【解析】据题意得223n n S a =+，当1n =时，11223S a =+，所以12a =-；当2n ≥时，由223n n S a =+，可得11223n n S a --=+，两式相减得1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=，即()132nn a n a -=≥．所以数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，所以()()4414121380113a q S q---===---．4．【答案】D【解析】由题意可得112a S a ==+，2212a S S =-=，3324a S S =-=，则()2242a =+，解得1a =-．5．【答案】B【解析】当1n =时，2121a =-=-，31(1)2a =--=，411122a =-=，5121a =-=-，所以数列的周期是3，所以2018(36722)21a a a ⨯+===-． 6．【答案】D【解析】设良马每天所行路程为{}n a ，则{}n a 是以103为首项，以13为公差的等差数列，其前n 项和为n A ；弩马每天所行路程为{}n b ，则{}n b 是以97为首项，以12-为公差的等差数列，其前n 项和为n B ，设共用n 天二马相逢，则21125n n A B +=⨯，所以()()11110313972250222n n n n n n --⎛⎫+⨯++-= ⎪⎝⎭，化简得231n 3600n +-=，解得9n =，109810391313952A ⨯=⨯+⨯=，1022501395855B =-=， 10101395855540A B -=-=．7．【答案】B【解析】由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q或1q =-（舍去），由2116m n a a a ⋅=，可得112216--⋅=m n ，可得6m n +=，所以，191191918()()(10)166663+=++=++≥⋅=m n m n m n m n n m ，当229=m n ，即3n m =，6m n +=，所以32m =，92n =取等号，不合题意，经验证，当2m =，4n =时，取最小值114．8．【答案】D【解析】由()()111n n na n a n n +=+++，得111n n a a n n +=++，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，因此()111n a n n n =+-⨯=，2n a n =，2221,31,21,32,2,33,n n n k k b n n k k n n k k ⎧-=+∈⎪⎪⎪=-=+∈⎨⎪=+∈⎪⎪⎩N N N ，因此313233139,2k k k b b b k k +++++=+∈N ，()2413901783042S =++++⨯=． 9．【答案】D【解析】11a =，2116a =，2214n n n a a a ++=，0n a ∴≠，2114n n n n a a a a +++∴=，所以数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为121=16a a ，公比为4，所以13114416n n n n a a --+=⋅=，当2n ≥时，1(1)(6)4521221121444=14n n n n n n n n n a a a a a a a a --------⋅⋅=⋅⨯=，因为1n =时，1(1)(6)2141n n a --==，所以1(1)(6)24=n n n a --，因此当3n =或4n =时，n a 取最小值3642--=． 10．【答案】C 【解析】()12323213n n a a a na n ++++=-⋅①当2n ≥时，类比写出()()11231231233n n a a a n a n --++++-=-⋅②由①-②得143n n na n -=⋅，即143n n a -=⋅．当1n =时，134a =≠，131432n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩，141323n n n b nn -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，210214231123333333333n n n n n S --=++++=+++++③ 23111123-1+3933333n n nn nS -=+++++④ ③-④得0231112211111231393333339313nn n n n n n S --=++++++-=+--， 316931124312n n n S +∴=-<⋅， n S λ<（常数），*n ∈N ，λ∴的最小值是3112． 11．【答案】A【解析】由题可知：A ，B ，C 成等差数列，三条边a ，b ，c 成等差数列，所以2A C B +=，2a c b +=，由πA B C ++=，2b =，所以π3B =，4a c +=，又()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-，所以4ac =，则1sin 2ABC S ac B ==△ 12．【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为1d ，等差数列{}n b 的公差为2d ，因为33a =，1515a =，所以315112a a d =+，解得11d =，所以()313n a a n d n =+-=，因为13b =，715b =，所以7126b b d =+，解得22d =，所以()12121n b b n d n =+-=+，所以()112111(1)(1)11n n n n c n n n n --+⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭，所以122020111111111+1223342019202020202021c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12020120212021=-=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】132-【解析】记数列{}n a 的前11项和为11S ，因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以可得3911124a a a a +=+=-，所以1111111()11(24)13222a a S +⨯-===-．14．【答案】1-【解析】根据题意，等比数列{}n a 中，2a 与10a 21013a a =，又由等比数列的性质可得4821013a a a a ==，则343834831log log log log 13a a a a +===-． 15．【答案】2020 【解析】由()()112nn n a a +=--，当n 为正奇数时，有12n n a a ++=，则2020123420192020()()()101022020S a a a a a a =+++++=⨯=．16．【答案】3【解析】∵11a =，11n n n a S S ++=-， ∴11n n n n S S S S ++-=-，∴1111n nS S +-=， ∴11(1)n n n S =--=，可得1n S n=，则使222221111011010110n n n nS n n S n n n n ⨯===≤=+++⨯+等号不成立．经过验证：则使22110nnnS S +取得最大值时n 的值为3．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）21n a n =-；（2）452．【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，由已知得11125514a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，11a ∴=，2d =，()11221n a n n ∴=+-⨯=-．（2）由（1）得()211nn b n n =---， ∴()()()()21123211132534121T b b b b =++++=++-+++++()()()()2114113541123421110214522+=+++++-+-++=+-⨯+=．18．【答案】（1）证明见解析；（2）21nn S =-．【解析】（1）因为111111112222221222222n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a ++++++++++--=-===，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列．（2）由（1）知数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列，所以()12111222n na n n -=+-⨯=，即()1212n n a n -=-⋅，所以()1121222121n n nn a n n ---⋅==--，易知数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列，所以122112nn n S -==--．19．【答案】（1）23n a n =+；（2）()525n nS n =+．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为1241211a a a +=⎧⎨=⎩，所以11212311a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得152a d =⎧⎨=⎩，则()21253n n n a +-=+=．（2）因为()()1112325n n n b a a n n +==++，所以11122325n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，所以1111111257792325n S n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭，即()1112525525n nS n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 20．【答案】（1）11,131,223n n n a n n -⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）1232312483n n n S -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【解析】（1）当1n =时，113a =，所以113a =．当2n ≥时，1231233n n n a a a a ++++=，1123112313n n n a a a a ---++++=，两个式子相减得123n nna -=⨯，所以1112323n n n n n a --⎛⎫==⨯ ⎪⨯⎝⎭．所以数列{}n a 的通项公式为11,131,223n n n a n n -⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）当1n =时，1113S a ==，当2n ≥时，1211213113232323n n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同乘13，得21112111139232323n nn n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两个式子相减得21251111139232323n nn n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211112332511392313n n n n S -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=+-⨯ ⎪⎝⎭-．所以1232312483n n n S -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1n =时也适合，所以数列{}n a 的前n 项和1232312483n n n S -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭．21．【答案】（1）21()n a n n +=-∈N ，12()n n b n -+=∈N ；（2）(23)23()n n T n n +=-⋅+∈N ．【解析】（1）{}n a 是等差数列，且375,13a a ==，设公差为d ，∴1125613a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴12(1)21()n a n n n +=+-=-∈N ，在{}n b 中，∵21n n S b =-，当1n =时，1121b b =-，∴11b =，当2n ≥时，由21n n S b =-及121n n S b -=-，可得122n n n b b b -=-，∴12n n b b -=， ∴{}n b 是首项为1公比为2的等比数列，∴12()n n b n -+=∈N ．（2）121(21)213252(21)2n n n n n n c a b n T n --==-⋅=+⋅+⋅++-⋅①，2312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②，由①-②得：211222222(21)2n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅12(12)12(21)212n n n --=+⋅--⋅-114(21)(21)n n -=+--- 3(23)2n n =---⋅，∴(23)23()n n T n n +=-⋅+∈N ．22．【答案】（1）2nn a =，21n b n =-；（2）证明见解析．【解析】（1）因为{}n a 是公比1q >的等比数列，所以23a a <，因为231432a a a a ==，2312a a +=，所以24a =，38a =，所以322a q a ==，222422n n n n a a q --==⨯=，当1n =时，112a b =，12b =，当2n ≥时，111213246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--①()11221132416n n n n a b a b a b n ---+++=⋅---②将②乘2得到()111221328112n n n n a b a b a b n +--+++=⋅---③①－③，得146881242n a b n n n =--+-+=-，所以21n b n =-，因为当1n =时，12211b ==⨯-，所以21n b n =-．（2）因为()()()()21122232121221212n n n nn n n b n n c b b a n n n n ++-++==<⋅⋅-+-+，而()()2321212n n n n +-+()()111212212n n n n -=--+，所以()121121111111+1323252(21)2212n n nc c c n n -+++<--++-⨯⨯⨯-⨯+()11111212nn n n b a +=-=-+⋅，因此12111n n nc c c b a ++++<-⋅．。

高三第一轮复习数学单元测试卷

高三数学单元测试卷班级_________ 姓名_________ 得分__________一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，1．设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x1003．设0≤α＜2π，若sin α＞3cos α，则α的取值范围是( ) A ．(π3，π2) B ．(π3，π) C ．(π3，4π3)D ．(π3，3π2)4．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 ５．在△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A ·tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53６．已知命题p ：－1≤4x －3≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，，若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．[12，1]C ．[13，12]D ．(13，1]7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n8．若函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝ ( )A ．e 2x －1B ．e 2xC ．e 2x ＋1D ．e 2x ＋29．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －1 (x ＜1)，log a x (x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[2,3)D ．(1,3)11．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (－1)＞f (2)B ．f (－1)＜f (2)C ．f (－1)＝f (2)D ．无法确定12．已知函数y ＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(12，1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(14，1)D ．(0，18)二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分。

2021届高考数学一轮复习单元质量测试7含解析新人教B版

单元质量测试(七)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．直线3x ＋3y －1＝0的倾斜角α的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案 C解析 ∵直线的斜率k ＝－33＝－3，∴α＝120°.故选C.2．“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a4x －1垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由a ＝2得两直线斜率满足(－2)×24＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a )×a4＝－1，解得a ＝±2.故选A.3．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x答案 A解析由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故b a＝2，故双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±22x . 4．(2020·烟台高三期末)从坐标原点O 向圆x 2＋y 2－12x ＋27＝0作两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为( )A ．32B ．3C ．332D ．3 3答案 D解析根据题意，圆x 2＋y 2－12x ＋27＝0，即(x －6)2＋y 2＝9，圆心为(6,0)，半径r ＝3，如图，设N (6,0)，从坐标原点O 向圆x 2＋y 2－12x ＋27＝0作两条切线，则AB 与x 轴垂直，设AB 与x 轴的交点为M ，由|ON |＝6，|NA |＝3，得|OA |＝36－9＝33，由△OMA ∽△OAN ，得|AM |＝3×336＝332，则|AB |＝2|AM |＝3 3.故选D.5．已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( )A ．x 24－y 28＝1 B ．y 24－x 28＝1C ．x 2－y 22＝1D ．y 2－x 22＝1答案 C解析显然OM 为Rt △MF 1F 2的中线，则|OM |＝12|F 1F 2|＝c ＝ 3.又e ＝c a ＝3a ＝3，得a＝1.进而b 2＝c 2－a 2＝2.故C 的方程为x 2－y 22＝1，故选C.6．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A ．12 B ．23 C ．34 D ．45答案 C解析令c ＝a 2－b 2.如图，据题意，|F 2P |＝|F 1F 2|，∠F 1PF 2＝30°，∴∠F 1F 2P ＝120°，∴∠PF 2x ＝60°，∴|F 2P |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ＝3a －2c .∵|F 1F 2|＝2c ，∴3a －2c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴c a ＝34，即椭圆的离心率为34.故选C.7．已知等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝－12x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝25，则C 的实轴长为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4答案 D解析因为抛物线y 2＝－12x 的准线为x ＝3，而等轴双曲线C 的焦点在x 轴上，所以A ，B 两点关于x 轴对称，且|AB |＝25，所以点(3，±5)在双曲线上，代入双曲线的方程x 2－y 2＝a 2中得9－5＝a 2＝4，所以a ＝2，即2a ＝4，故双曲线C 的实轴长为4.故选D.8．已知抛物线y 2＝4x 与圆F ：x 2＋y 2－2x ＝0，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于16C ．最小值为4D ．最大值为4答案 A解析圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋1，代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4.设点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．则|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，所以|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1，|CD |＝|DF |－|CF |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝116(y 1y 2)2＝1.故选A.9．(2019·开封一模)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，直线PF 2的斜率为－43，△PF 1F 2的面积为243，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ． 3D ． 2答案 B解析 P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，由|F 1F 2|＝12，得c ＝6，由△PF 1F 2的面积为243，可得P 的纵坐标y 满足12×12×y＝243，y ＝4 3.直线PF 2的斜率为－43，所以P 的横坐标x 满足yx －6＝－43，解得x ＝5，得P (5，43)，|PF 1|＝ 5＋62＋43－02＝13，|PF 2|＝ 5－62＋43－02＝7，所以2a ＝13－7，a ＝3，所以双曲线的离心率为e ＝c a＝2.故选B.10．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2为双曲线Γ：x 2a 2－y 220＝1(a ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线Γ左支上一点，直线PF 1与双曲线Γ的一条渐近线平行，PF 1⊥PF 2，则a ＝( )A ． 5B ． 2C ．4 5D ．5答案 A解析如图，记PF 2与双曲线的渐近线l 的交点为M .与PF 1平行的双曲线的渐近线为y ＝25a x ，由PF 1⊥PF 2，得PF 2⊥l ，则F 2(c,0)到直线l ：25ax －y ＝0的距离为d ＝|25ac |⎝ ⎛⎭⎪⎫25a 2＋12＝25ca 2＋20＝2 5.而△OMF 2为直角三角形，所以|OM |＝|OF 2|2－|MF 2|2＝c 2－20＝a .又OM ∥F 1P ，O 是F 1F 2的中点，所以|F 1P |＝2|OM |＝2a ，|PF 2|＝2|MF 2|＝4 5.而由双曲线的定义，有|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即45－2a ＝2a ，所以a ＝ 5.故选A.11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，y 轴上的点P 在椭圆以外，且线段PF 1与椭圆E 交于点M .若|OM |＝|MF 1|＝33|OP |，则椭圆E 的离心率为( ) A ．12 B ．32 C ．3－1 D ．3＋12答案 C解析过M 作MH ⊥x 轴于点H ，由|OM |＝|MF 1|，知H 为OF 1的中点，进而得MH 为△PF 1O 的中位线，则M 为F 1P 的中点．从而依题意，有12|F 1P |＝33|OP |，即32＝|OP ||F 1P |＝sin ∠OF 1P ，则∠OF 1P ＝π3.则△MF 1O 是边长为c 的等边三角形．连接MF 2(F 2为椭圆E 的右焦点)，则由|OM |＝|OF 1|＝|OF 2|可知∠F 1MF 2＝π2.故e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝2c 1＋3c＝21＋3＝3－1.故选C.12．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5答案 D解析解法一：设点H (0，t )，0<t <2，则由F 1，H 是线段MN 的三等分点，可知点N (c,2t )，M (－2c ，－t )．则有⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋4t 24＝1，4c 2a 2＋t24＝1，消去t 2得15e 2＝3，则e 2＝15.又b ＝2，则1－e 2＝b 2a2，即1－15＝4a2，解得a 2＝5，从而由椭圆的定义可知△F 2MN 的周长为4a ＝45，故选D.解法二：由F 1，H 是线段MN 的三等分点，知H 是线段F 1N 的中点，又O 是F 1F 2的中点，则OH ∥F 2N ，从而F 2N ⊥F 1F 2，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22a .又F 1是线段MH 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 22a .由点M 在椭圆上，可得4c 2a 2＋b 44a 2×4＝1.又b 2＝4＝a 2－c 2，从而有4a 2－4a 2＋1a 2＝1，解得a 2＝5，从而由椭圆的定义可知△F 2MN 的周长为4a ＝45，故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,3]解析因为直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02＋12－2a ·0＋a 2－2a －4≤0且2a ＋4>0，解得－1≤a ≤3.14．与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，且与直线x ＋1＝0相切的动圆圆心的轨迹方程是________．答案 y 2＝8x解析设动圆圆心为P (x ，y )，则x －22＋y 2＝|x ＋1|＋1，依据抛物线的定义结合题意可知动圆圆心P (x ，y )的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，故方程为y 2＝8x .15．(2019·湖北七校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为1，则实数p 的值为________．答案2解析由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，设P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，k AP ＝pp ＝1，则直线AP 的方程为x －y ＋p 2＝0，以AF 为直径的圆的圆心为O (0,0)，半径R ＝p2，则O 到直线AP的距离d ＝p22＝2p4，则圆O 截直线AP 所得的弦长为1＝2R 2－d 2＝2p 24－⎝⎛⎭⎪⎫2p 42，解得p ＝ 2.16．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析解法一：由椭圆方程知椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，右焦点为F 2(5，0)．则M (m ，n )关于F 1的对称点为A (－25－m ，－n )，关于F 2的对称点为B (25－m ，－n )，设MN 的中点为(x ，y )，所以N (2x －m,2y －n )．所以|AN |＋|BN | ＝2x ＋252＋2y2＋2x －252＋2y2＝2[]x ＋52＋y 2＋x －52＋y2，故由椭圆定义可知|AN |＋|BN |＝2×6＝12.解法二：根据已知条件画出图形，如图．设MN 的中点为P ，F 1，F 2为椭圆C 的焦点，连接PF 1，PF 2.显然PF 1是△MAN 的中位线，PF 2是△MBN 的中位线，所以|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝2×6＝12.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解 (1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即x －262＋y －12x －22＋y －12＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25. 轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，得直线l 为x ＝－2，此时所截得的线段长度为252－32＝8，所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1.由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512. 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.18．(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点与抛物线C 2：y 2＝2px (p＞0)的焦点重合，椭圆C 1的离心率为12，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线C 2截得的弦长为4 2.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)过点A (－2,0)的直线l 与C 2交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为M ′，证明：直线M ′N 恒过一定点．解 (1)设椭圆C 1的半焦距为c ，依题意，可得a ＝p2，则C 2：y 2＝4ax ，将x ＝c 代入，得y 2＝4ac ，即y ＝±2ac ，则有⎩⎪⎨⎪⎧4ac ＝42，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝8x .(2)证明：依题意，可知直线l 的斜率不为0，可设l 为x ＝my －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，y 2＝8x消去x ，整理得y 2－8my ＋16＝0.设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则点M ′(x 1，－y 1)，由Δ＝(－8m )2－4×16＞0，解得m ＜－1或m ＞1. 且有y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝16，m ＝y 1＋y 28，所以直线M ′N 的斜率k M ′N ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝8m m y 2－y 1＝8y 2－y 1.可得直线M ′N 的方程为y －y 2＝8y 2－y 1(x －x 2)，即y ＝8y 2－y 1x ＋y 2－8my 2－2y 2－y 1＝8y 2－y 1x ＋y 2y 2－y 1－y 2y 1＋y 2＋16y 2－y 1＝8y 2－y 1x －16y 2－y 1＝8y 2－y 1·(x －2)．所以当m ＜－1或m ＞1时，直线M ′N 恒过定点(2,0)．19．(2020·深圳调研)(本小题满分12分)已知直线l 经过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别与x 轴交于点M ，N .(1)求证：AM ⊥MF ；(2)记△AFM 和△BFN 的面积分别为S 1和S 2，求S 1·S 2的最小值．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1＝x 214，y 2＝x 224.由导数知识可知，抛物线C 在点A 处的切线l 1的斜率k 1＝x 12，则切线l 1的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，令y ＝0，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0.因为F (0,1)，所以直线MF 的斜率k MF ＝1－00－x 12＝－2x 1.所以k 1·k MF ＝－1，所以AM ⊥MF . (2)由(1)可知S 1＝12|AM |·|MF |，其中|AM |＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－x 122＋y 21＝x 214＋y 21＝y 1＋y 21＝y 1·1＋y 1，|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 122＋1＝y 1＋1，所以S 1＝12|AM |·|MF |＝12(y 1＋1)y 1.同理可得S 2＝12(y 2＋1)y 2.所以S 1·S 2＝14(y 1＋1)(y 2＋1)y 1y 2＝14(y 1y 2＋y 1＋y 2＋1)y 1y 2. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，所以x 1x 2＝－4，所以y 1y 2＝x 1x 2216＝1.所以S 1·S 2＝14(y 1＋y 2＋2)≥14(2y 1y 2＋2)＝1，当且仅当y 1＝y 2时，等号成立．所以S 1·S 2的最小值为1.20．(本小题满分12分)已知抛物线C 1：y 2＝8x 的焦点F 也是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，点P (0,2)在椭圆短轴CD 上，且P C →·P D →＝－1.(1)求椭圆C 2的方程；(2)设Q 为椭圆C 2上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过椭圆C 2的右焦点F 作OQ 的平行线，交椭圆C 2于M ，N 两点，求△QMN 面积的最大值．解 (1)由抛物线C 1：y 2＝8x ，知焦点F 的坐标为(2,0)，所以a 2－b 2＝4.由已知得点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又PC →·PD →＝－1，于是4－b 2＝－1，解得b 2＝5，a 2＝9，所以椭圆C 2的方程为x 29＋y 25＝1.(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 3，y 3)，直线MN 的方程为x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x 29＋y25＝1，可得(5m 2＋9)y 2＋20my －25＝0.则y 1＋y 2＝－20m 5m 2＋9，y 1y 2＝－255m 2＋9，所以|MN |＝1＋m2[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝1＋m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－20m 5m 2＋92＋1005m 2＋9 ＝301＋m 25m 2＋9.因为MN ∥OQ ，所以△QMN 的面积等于△OMN 的面积．又点O 到直线x ＝my ＋2的距离d ＝21＋m2，所以△QMN 的面积S ＝12|MN |·d＝12×30m 2＋15m 2＋9×2m 2＋1＝30m 2＋15m 2＋9. 令 m 2＋1＝t ，则m 2＝t 2－1(t ≥1)，S ＝30t 5t 2－1＋9＝30t 5t 2＋4＝305t ＋4t. 因为f (t )＝5t ＋4t在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1时，f (t )取得最小值9.所以△QMN 面积的最大值为103. 21．(2019·郑州二模)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y2＝r 2(r >0)与直线l 0：y ＝x ＋22相切，点A 为圆C 1上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，且动点M 满足OM →＋AM →＝ON →，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－14，求|OT |的取值范围．解 (1)设动点M (x ，y )，A (x 0，y 0)，由于AN ⊥x 轴于点N ，∴N (x 0,0)．又圆C 1：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 0：y ＝x ＋22，即x －y ＋22＝0相切，∴r ＝|22|2＝2，∴圆C 1：x 2＋y 2＝4. 由OM →＋AM →＝ON →，得(x ，y )＋(x －x 0，y －y 0)＝(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －x 0＝x 0，2y －y 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝2y ，又点A 为圆C 1上一动点，∴x 2＋4y 2＝4，∴曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当直线PQ 的斜率不存在时，可取直线OP 的方程为y ＝12x ，不妨取点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22，T (2，0)， ∴|OT |＝ 2.当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. ∵k 1k 2＝－14，∴4y 1y 2＋x 1x 2＝0. ∴4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋x 1x 2＝(4k 2＋1)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4m 2－4－32k 2m 21＋4k 2＋4m 2＝0，化简得2m 2＝1＋4k 2，∴m 2≥12. Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝16(4k 2＋1－m 2)＝16m 2>0，设T (x ′0，y ′0)，则x ′0＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2＝－2k m ，y ′0＝kx ′0＋m ＝12m . ∴|OT |2＝x ′20＋y ′20＝4k 2m 2＋14m 2＝2－34m 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2，∴|OT |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2. 综上，|OT |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ≥3＞b ＞0)的离心率为63，且椭圆C 上的动点P 到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A ，B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)依题意e ＝c a ＝63，则c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2. 因为a ≥3，所以b ≥1. 设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b2＝1，所以x 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2，所以|PQ |＝x 2＋y －22 ＝a 2－3y 2＋y －22 ＝－2y ＋12＋a 2＋6(y ∈[－b ，b ])．因为b ≥1，所以当y ＝－1时，|PQ |取得最大值a 2＋6＝3，所以a ＝3，所以b ＝1，c ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)假设存在点M (m ，n )在椭圆C 上，满足题意，则m 23＋n 2＝1，m 2＝3－3n 2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ mx ＋ny ＝1，x 2＋y 2＝1，得(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0. 所以Δ＝4m 2－4(m 2＋n 2)(1－n 2)＝4n 2(m 2＋n 2－1)＝8n 2(1－n 2)＞0，可得n 2＜1.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2m m 2＋n 2， x 1x 2＝1－n 2m 2＋n2，所以y 1y 2＝1－mx 1n ·1－mx 2n＝1－m x 1＋x 2＋m 2x 1x 2n 2＝1－m 2m 2＋n2，所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22－2x 1x 2＋y 1y 2 ＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 2m 2＋n 2＋1－m 2m 2＋n 2 ＝21－1m 2＋n 2. 设原点O 到直线AB 的距离为h ，则h ＝1m 2＋n 2，所以S △OAB ＝12|AB |·h ＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2. 设t ＝1m 2＋n 2，由0≤n 2＜1，得m 2＋n 2＝3－2n 2∈(1,3]，所以t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1， S △OAB ＝t 1－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1，所以当t ＝12时，△OAB 的面积最大，为12. 此时，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

【学海导航】2015届高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第7单元《不等式》

第七单元不等式第37讲不等关系与不等式的性质、基本不等式1.(2013·福建省莆田市3月质检)p ：x ＞0，y ＞0，q ：xy ＞0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤1 B ．ab ≥1C ．a 2＋b 2≥4D ．a 2＋b 2≤43.若1a <1b<0，有下面四个不等式：①|a |>|b |；②a b 3，不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34.已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．55.设x ＞0，y ＞0，xy ＝4，则S ＝x 2y ＋y 2x 的最小值为 .6.已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于______．7.设f (x )＝ax 2＋bx 且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是__________．8.(1)求函数y ＝x (a －2x )(x ∈(0，a2)，a 为大于0的常数)的最大值；(2)设x ＞－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值．9.某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a m ，房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？第38讲不等式的解法1.不等式2>1x －1的解集为( )A ．(－32，1)B ．(－∞，1)∪(32，＋∞)C ．(1，32)D ．(－∞，－32)∪(1，＋∞)2.(2013·山东聊城模拟)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．33.不等式|2x －1|<|x －2|的解集为( ) A ．(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)4.不等式(x －4)(x 2＋4)≥0的解集是________．5.已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪(12，＋∞)，则a ＝ .6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x >1)x 2－6x ＋9 (x ≤1)，则不等式f (x )＞f (1)的解集是 .7.定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________________．8.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)对一切x ∈R 都有f (2＋x )＝f (2－x )，解不等式f [log12(x 2＋x ＋12)]<f [log 12(2x 2－x ＋58)]．9.已知关于x 的不等式x ＋2x 2－(1＋a )x ＋a>0.(1)当a＝2时，求此不等式的解集；(2)当a>－2时，求此不等式的解集．第39讲简单的线性规划问题1.若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是( ) A ．m <－5或m >10 B ．m ＝－5或m ＝10 C ．－5<m <10 D ．－5≤m ≤102.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2<0表示的平面区域是( )3.(2013·安徽省合肥市质检)已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.17B.16C.15D.144.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是( )A ．0B ．1C. 3 D ．95.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ≥0x 2＋y 2≤4，则z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．5B ．－1C ．2D ．2 56.(2013·衡水调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2－1≤0x －ky ＋k ≥0x ≥0，y ≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k ＝______.7.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a 所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为______．8.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥2xkx －y ＋1≥0表示的平面区域是一个直角三角形，求该三角形的面积．9.某公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆A 型卡车和8辆B 型卡车．又已知A 型卡车每天每辆的运载量为30吨，成本费为0.9千元；B 型卡车每天每辆的运载量为40吨，成本费为1千元．如果你是公司的经理，为使公司所花的成本费最小，每天应派出A 型卡车、B 型卡车各多少辆？第40讲不等式的综合应用1.(2013·南宁市第三次适应性测试)若关于x 的一元二次方程x 2－ax ＋1＝0有两个不同的正数根，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <－2C ．－2<a <2D ．a <－2或a >22.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．63.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，MN ≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33]D ．[－23，0]4.(2013·天津市第三次模拟)已知函数f (x )＝a |x |，a ＞1，则满足f (2x －1)<f (13)的x 范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)5.A 杯中有浓度为a %的盐水x 克，B 杯中有浓度为b %的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A 、B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 .6.对于函数f (x )＝x 2＋2x ，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值M max ＝－1叫做f (x )＝x 2＋2x 的下确界，对于a 、b ∈R ，且a 、b 不全为0，a 2＋b 2(a ＋b )2的下确界是________．7.已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是______． 8.购买某种汽车，购车的总费用(包括缴税)为5万元，每年应交保险费及汽油费合计6000元，汽车的维修费平均为：第一年1000元，第二年2000元，……依等差数列逐年递增．问这种汽车使用多少年报废合算？(商品的最佳更换年限应该是使每年平均消耗费用最低的年限；年平均消耗费用＝年平均成本费的分摊＋年均维修费的分摊)9.(2013·株洲市质量统一检测)已知函数f (x )＝ln(x －1)－k (x －1)＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．第七单元不等式第37讲不等关系与不等式的性质、基本不等式1．A 因为xy ＞0等价于x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.2．A 由a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，故选A.3．C 由1a <1b <0，知b <a <0，由不等式的性质知①②不正确，故选C.4．C 因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ，ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取最小值4，故选C.5．4 因为x ＞0，y ＞0，xy ＝4，所以S ＝x 2y ＋y 2x ≥2x 2y ·y 2x＝2xy ＝4.6．9 原不等式恒成立等价于m ≤(2a ＋1b )(2a ＋b )的最小值，而(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a · 2ab＝9，所以m ≤9，故m 的最大值为9.7．[5,10] (待定系数法) f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b .设f (－2)＝4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，所以f (－2)＝3(a －b )＋(a ＋b )，又因为1≤a －b ≤2，所以3≤3(a －b )≤6，因为2≤a ＋b ≤4，所以5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10，即5≤f (－2)≤10.8．解析：(1)y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×[2x ＋(a －2x )2]2＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)因为x >－1，所以x ＋1>0，设x ＋1＝z ＞0，则x ＝z －1，所以y ＝(z ＋4)(z ＋1)z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z ＋5≥2z ·4z＋5＝9，当且仅当z ＝2，即x ＝1时上式取等号，所以当x ＝1时，函数y 有最小值9，无最大值．9．解析：由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5800＝900(x ＋16x)＋5800(0<x ≤a )．则y ＝900(x ＋16x )＋5800≥900×2x ·16x＋5800＝13000(当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号)．若a ≥4，x ＝4时，有最小值13000. 若a <4，任取x 1、x 2∈(0，a ]且x 1<x 2，y 1－y 2＝900(x 1＋16x 1)＋5800－900(x 2＋16x 2)－5800＝900[(x 1－x 2)＋16(1x 1－1x 2)]＝900(x 1－x 2)(x 1x 2－16)x 1x 2.因为0<x 1<x 2≤a ，所以x 1－x 2<0，x 1x 2<a 2<16，所以y 1－y 2>0，所以y ＝900(x ＋16x)＋5800在(0，a ]上是减函数，所以当x ＝a 时，y 有最小值900(a ＋16a)＋5800.综上，若a ≥4，当x ＝4时，有最小值13000元；若a <4，当x ＝a 时，有最小值为900(a ＋16a)＋5800元．第38讲不等式的解法1．B 不等式2>1x －1⇔2x －3x －1>0⇔(x －1)(2x －3)>0，解得x <1或x >32，故选B.2．A 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.3．C 不等式|2x －1|<|x －2|⇔(2x －1)2<(x －2)2⇔(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1，故选C.4．{x |x ≥4} (x －4)(x 2＋4)≥0⇔x －4≥0，所以x ≥4.5．2 由不等式判断可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)·(x －1a)>0，由解集特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2. 6．{x |x <1或x >2} f (1)＝4，若x >1，则2x >4⇒x >2；若x ≤1，则x 2－6x ＋9>4⇒x >5或x <1⇒x <1，所以不等式f (x )＞f (1)的解集是{x |x <1或x >2}．7．[－2，－23)∪(0，23) 画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图，解出坐标为(23，23)和(－23，－23)，由图知，解集为[－2，－23)∪(0，23)． 8.解析：因为log 12(x 2＋x ＋12)＝log 12[(x ＋12)2＋14]≤2， log 12(2x 2－x ＋58)＝log 12[2(x －14)2＋12]≤1. 又由题意f (x )的图象关于x ＝2对称，且a <0，所以f (x )在(－∞，2]上递增．由原不等式得log 12(x 2＋x ＋12)<log 12(2x 2－x ＋58)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋12>02x 2－x ＋58>0x 2＋x ＋12>2x 2－x ＋58⇔1－144<x <1＋144.9．解析：(1)当a ＝2时，不等式可化为x ＋2(x －1)(x －2)>0，所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}．(2)当a >－2时，不等式可化为x ＋2(x －1)(x －a )>0. 当－2<a <1时，不等式的解集为{x |－2<x <a 或x >1}；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x >－2且x ≠1}；当a >1时，不等式的解集为{x |－2<x <1或x >a }．第39讲简单的线性规划问题1．C 由已知两点在直线的两侧，则(2＋3＋m )(－8－2＋m )<0，即(m ＋5)(m －10)<0，所以－5<m <10，选C.2．B3．D 画出可行域可知，如图，最大值在点(1,1)取得z max ＝3，最小值在点(m ，m )取得z min ＝3m ，由3＝4×3m ，解得m ＝14，故选D.4．B 可行域如图，可知B (0,1)，O (0,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＋y ＝0，A (－12，12)，显然当目标函数z ′＝x ＋2y 过点O 时取得最小值为0，故z ＝3x ＋2y 的最小值为1，故选B.5．D 画出满足不等式组表示的平面区域，如图所示，当直线z ＝2x ＋y 与圆弧相切时z 取得最大值．所以2＝|2×0＋0－z |5，z max ＝25，故选D. 6．±1 作出不等式组表示的平面区域，由图易知要使不等式组表示的是一个轴对称四边形区域，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋y －2－1＝0平行或垂直，所以k ＝±1.7．1 画出平面区域可知图形为三角形，面积为12·(2＋a )·(2a ＋4)＝9，解得a ＝1或a ＝－5(舍去)．8．解析：有两种情形： (1)直角由y ＝2x 与kx －y ＋1＝0形成，则k ＝－12，三角形的三个顶点为(0,0)，(0,1)，(25，45)，面积为15； (2)直角由x ＝0与kx －y ＋1＝0形成，则k ＝0，三角形的三个顶点为(0,0)，(0,1)，(12，1)，面积为14. 经上所知，所求三角形的面积为15或14. 9．解析：设公司每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本费为z 千元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ＋40y ≥2800≤x ≤60≤y ≤8x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝0.9x ＋y ，作出该不等式组表示的可行域，如下图．考虑z ＝0.9x ＋y ，变形为y ＝－0.9x ＋z ，这是以－0.9为斜率，z 为y 轴上的截距的平行直线族．经过可行域，平行移动直线，当直线经过点(0,7)时，直线在y 轴上的截距最小，即z 取最小值，为7.答：公司每天派出A 型卡车0辆，B 型卡车7辆时，所花的成本费最低，为7千元．第40讲不等式的综合应用1．A ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0a >0，解得a ＞2，故选A. 2．D 依题意得知4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，故选D. 3．A 由条件知点到直线的距离d ≤22－(3)2＝1，则d ≤|3k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－34≤k ≤0，故选A. 4．A 因为f (x )＝a |x |为偶函数，且易知在a ＞1时，f (x )＝a |x |在[0，＋∞)上单调递增，所以不等式f (2x －1)<f (13)⇔f (|2x －1|)<f (13)⇔|2x －1|<13，解得13＜x ＜23，故选A. 5．b <ax ＋by x ＋y <a 混合后的浓度为ax ＋by x ＋y %，显然有b %<ax ＋by x ＋y %<a %⇒b <ax ＋by x ＋y<a . 6.12因为f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，所以f (x )的下确界M 即为f (x )的最小值．又因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2(a ＋b )2≥a 2＋b 22(a 2＋b 2)＝12. 7．7 因为log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝log 2(m －2)(2n －2)＝3，所以(m －2)(2n －2)＝23＝8，且m －2>0,2n －2>0，因为4＝(m －2)(n －1)≤(m －2＋n －12)2，所以m ＋n ≥7，故填7. 8．解析：设这种汽车使用n 年报废合算，则每年的维修费用平均为1000n . 由题意可知，每年的平均消耗费用f (n )＝50000＋6000n ＋(1000＋2000＋…＋1000n )n＝50000n＋500n ＋6500 ≥250000n·500n ＋6500 ＝16500，当且仅当50000n＝500n ，即n ＝10时，等号成立．故这种汽车使用10年报废合算．9．解析：(1)函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，f ′(x )＝1x －1－k .因为x >1，所以1x －1>0，因此①当k ≤0时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上是增函数；②当k >0时，令f ′(x )＝0，即1x －1－k ＝0，得x ＝1＋1k . 当x ∈(1,1＋1k)时，f ′(x )>0；当x ∈(1＋1k，＋∞)，f ′(x )<0. 则f (x )在(1,1＋1k )上是增函数，在(1＋1k，＋∞)上是减函数． (2)当k ≤0时，f (2)＝1－k >0，故f (x )≤0不能恒成立，所以只需考虑k >0.当k >0时，由(1)知[f (x )]max ＝f (1＋1k)＝－ln k . 要使f (x )≤0恒成立，则－ln k ≤0，得k ≥1.故实数k 的取值范围为[1，＋∞)．。

2023届高考数学一轮复习验收卷7

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:充分、必要条件,★)“0<x<1”是“cos 2x<cos x ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.(考点:复数,★)若复数(2a+i)(1+i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在直线2x-y+1=0上,则实数a 的值为( ). A .-2B .2C .-1D .13.(考点:等差数列,★)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3a 6=4a 8,则下列选项中一定为0的是( ). A .a 1B .a 13C .S 27D .S 284.(考点:三角恒等变换,★)已知角α的终边与单位圆x 2+y 2=1交于点P (14,y 0),则sin (π2+2α)等于( ). A .18B .-78C .-38D .145.(考点:古典概型,★★) “仁、义、礼、智、信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁、义、礼、智、信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智、信”相邻的概率为( ). A .110B .15C .310D .256.(考点:双曲线,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,点F 到一条渐近线的距离为√6,双曲线的焦距为6,则双曲线的离心率为( ). A .√2B .√3C .√62 D .√3057.(考点:函数图象的判断,★★)函数y=1x -ln(x+1)的图象大致为( ).8.(考点:与球有关的计算,★★★)已知四面体A-BCD的侧棱长相等,底面正三角形BCD的面积为8√3,当AB⊥平面ACD时,四面体A-BCD的外接球的体积为().A.24πB.32πC.24√3πD.32√3π二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:样本的数字特征,★★)在某次疫情期间,有专家团队认为在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续14日,每天新增疑似病例不超过9人”.过去14日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下:甲地:平均数为5,中位数为6.乙地:平均数为3,方差大于0.丙地:平均数为2,方差为3.丁地:中位数为6,方差为0.则甲、乙、两、丁四地中,一定没有发生大规模群体感染的是().A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地10.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x有f(-x)=-f(x),f(x-6)=-f(x),且当x∈[0,3]时,f(x)=2x-1,则下列说法正确的是().A.f(4)=3B.函数f(x)在[-9,-3]上单调递增C.函数f(x)的图象关于直线x=6对称D.若a∈(0,7),则关于x的方程f(x)-a=0在[0,9]上所有根之和为611.(考点:立体几何的综合运用,★★★)三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,PC⊥底面ABC,若PC=AC=1,AB=2,且∠BAC=60°,则下列说法正确的是().A.△PAB是钝角三角形B.此球的表面积等于5πC.BC⊥平面PACD.三棱锥A-PBC的体积为√32,设点C的轨迹为E,过点F(-√2,0) 12.(考点:椭圆,★★★)在△ABC中,A(-2,0),B(2,0),且AC与BC的斜率之积为-12作直线MN交轨迹E于M,N两点,若△MAB的面积是△NAB面积的2倍,则下列说法正确的是().A .E 的轨迹方程是x 24+y 22=1(y ≠0)B .E 的轨迹方程是x 24+y 23=1(y ≠0)C .直线MN 的斜率为±√142 D .直线MN 的斜率为±√147三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,4),c=(5,λ),若c ⊥(a+b ),则λ= . 【解析】由题意得,a+b=(4,6).由c ⊥(a+b ),可知4×5+6λ=0,得λ=-103. 【答案】-10314.(考点:线性回归,★★)某工厂为研究某种产品产量x (吨)与所需某种原材料y (吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据(x ,y )如下表所示:x 345 6 y2.5 34m根据表中数据,得出y 关于x 的线性回归方程为y ＾=0.7x+a.据此计算出在样本点(4,3)处的残差为-0.15,则表中m 的值为 .15.(考点:均值不等式,★★★)已知x ,y 是正数,且x+2y-xy=0,若x+2y>m 2-7m 恒成立,则实数m 的取值范围是 .16.(考点:新定义题型,★★★)定义方程f (x )=f'(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”.设f (x )=cos x ,则f (x )在(0,π)上的“新驻点”为 ;如果函数g (x )=x 与函数h (x )=ln(x+1)的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①2cos (cos cos )A c B b C a +=，②222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，cos b c C C a++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．（1）求角A ；（2）若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1222n n S n a ++=-，28a =，其中*n N ∈．（1）记1n n b a =+，求证：{}n b 是等比数列；（2）设1n nn c b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（12分）东江湖位于湖南省郴州市东北部的资兴市境内，是湖南省唯一一个同时拥有国家5A级旅游区､国家风景名胜区､国家生态旅游示范区､国家森林公园､国家湿地公园､国家水利风景区“六位一体”的旅游区．境内主要景观有：雾漫小东江､东江大坝､龙景峡谷､兜率灵岩､东江漂流､三湘四水·东江湖文化旅游街（含东江湖奇石馆､摄影艺术馆､人文潇湘馆），还有仿古画舫､豪华游艇游湖及惊险刺激的的水上跳伞､水上摩托等．东江湖融山的隽秀，水的神韵于一体，挟南国秀色､禀历史文明于一身，被誉为“人间天上一湖水，万千景色在其中”．每年都吸引无数游客来此游玩，某调查机构在景区随机调查了10名青少年人和8名中老年人，并请他们谈谈是否有“二次游”愿望，结果10名青少年人中有45的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有14的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望．（1）根据以上统计数据，完成下列22⨯列联表，分析是否有95%把握认为有“二次游”愿望与年龄有关？（2）从这10名青少年人中抽取2人，8名中老年人中抽取1人，将3人中有“二次游”愿望人数记为X，求X的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，AB = 4，AD =2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1﹣ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE ．（1）设F 为CD 1的中点，试在AB 上找一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ；（2）求直线BD 1与平面CD 1E 所成角的正弦值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，直线y kx =交双曲线C 于M ，N 两点．（1）若M （2，3），四边形12MF NF 的面积为12，求双曲线C 的方程；（2k ≤≤12MF NF 是矩形，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．22．（12分）已知函数()21e ln 2xf x x bx x x =--()R b ∈，其图象在点()()1,1f 处的切线斜率为2e 3-．（1）证明：当1x >时，()23e 12xf x x x >-+；（2）若函数()()()41g x a x x f =+--在定义域上无极值，求正整数a 的最大值．。

高三数学一轮复习单元测试7数学试题

2021届高三数学一轮复习单元检测〔7〕【新人教】命题：三角函数本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

说明：本套试卷分第一卷和第二卷两局部，一共150分；答题时间是120分钟。

第一卷一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分〕。

1．角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，那么cos2θ=〔〕A ．45-B ．35-C ．35D ．452．〔2021模拟〕设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，那么ω的最小值等于〔〕A ．13B ．3C ．6D ．9 3．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为〔〕A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数4．ABC ∆中，假设C B A sin cos cos =+，那么ABC ∆的形状是〔〕A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 5．函数f 〔x 〕=xx xx cos sin 1cos sin ++的值域是〔〕A ．[－2－1，1]∪[－1, 2－1]B ．[－212+,212-] C ．[－22－1, 22－1] D ．[－212+,－1)∪〔－1, 212-] 6．对任意的锐角α，β，以下不等关系中正确的选项是〔〕A ．sin 〔α+β〕>sin α+sin βB ．sin 〔α+β〕>cos α+cos βC ．cos 〔α+β〕<sinα＋sinβD ．cos 〔α+β〕<cosα＋cosβ7．在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶〔a +1〕∶2a ，那么a 的取值范围是〔〕A ．a ＞2B ．a ＞21C ．a ＞0D ．a ＞18．设函数()f x 〔x ∈R 〕满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，那么函数()y f x =的图像是〔〕9．假设钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，那么m 的范围是〔〕A ．〔1，2〕B ．〔2，+∞〕C ．[3，+∞)D ．〔3，+∞〕10．函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于〔〕A ．2B ．4C ．6D ．811．〔2021模拟〕假如111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，那么〔〕A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形12．如图，一个“凸轮〞放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端〞落在原点O 处，一顶点及中心M 在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．今使“凸轮〞沿X 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮〞每时每刻都有一个“最高点〞，其中心也在不断挪动位置，那么在“凸轮〞滚动一周的过程中，将其“最高点〞和“中心点〞所形成的图形按上、下放置，应大致为〔〕第二卷二、填空题：请把答案填在题中横线上〔本大题一一共4个小题，每一小题4分，一共16分〕。

【高考调研】高考数学一轮复习第七章单元测试卷

第七章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12且x ≠1D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12且x ≠1答案 D解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解此不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12且x ≠1.故选D. 2．已知c <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．c >2cB ．c >(12)cC ．2c>(12)cD ．2c<(12)c答案 D3．已知f (x )＝x ＋b x在(1，e)上为单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，1]∪[e 2，＋∞) B ．(－∞，0]∪[e 2，＋∞) C ．(－∞，e 2] D ．[1，e 2]答案 A解析 b ≤0时，f (x )在(1，e)上为增函数，b >0时，当x >0时，x ＋bx≥2b ，当且仅当x ＝b x即x ＝b 取等号．若使f (x )在(1，e)上为单调函数，则b ≤1或b ≥e，∴01)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4答案 B 解析 x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2x －1x －1＋6＝2＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”号． ∴y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)≥log 28＝3. 5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为( )A ．[0,3]B ．[－3,3]C ．[－3,0] D．[1,3]答案 B解析依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC ，显然，当直线y ＝12x －z2过点A (1,2)时，z 取得最小值为－3；当直线过点B (3,0)时，z 取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为[－3,3]．6．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C ．5D ．6答案 C解析 ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．7．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x 2－1)<0的解集为( ) A ．(－1,0) B ．(－2，0)∪(0，2) C ．(0,2) D ．(1,2)答案 B解析根据f (x )是偶函数，可得f (x )＝f (|x |)＝|x |－1.因此f (x 2－1)＝|x 2－1|－1.解不等式|x 2－1|－1<0，得0<x 2<2，因此x ∈(－2，0)∪(0，2)．8．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是( )A ．0B ．1 C. 3 D ．9答案 B解析可行域如图所示，可知B (0,1)，O (0,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y ＝0，得A (－12，12)．显然当目标函数t ＝x ＋2y 过点O 时取得最小值为0，故z ＝3x ＋2y 的最小值为1.9．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7)答案 D解析观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n ＋1的数对有n 个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n n ＋2＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈Z ，n ＝10时，n n ＋2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．10．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 015的末位数字是( )A ．1B ．3C ．7D ．9答案 B解析规律：71的末位为7,72末位为9,73的末位为3,74末位为1,75的末位为7，…，末位为7,9,3,1,7,9,3,1，…，而2 015＝4×503＋3，∴72 015的末位是3.11．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，则( ) A ．a 2＋b 2＋c 2>a ＋b ＋c B ．a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac C ．a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ac )D ．a 2＋b 2＋c 2>2(ab ＋bc ＋ac ) 答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )． ∴a 2＋b 2＋c 2＝2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )<2(ab ＋bc ＋ac )．12.如图所示，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a 米(0<a <12)，4米，不考虑树的粗细．现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S 平方米，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图像大致是( )答案 C解析设AD ＝x ，S ＝x (16－x )≤(x ＋16－x2)2＝64.当且仅当x ＝8时成立．∵树围在花圃内， ∴0<a ≤8时，x ＝8能满足条件，即f (a )＝64. 当8<a <12时，S ＝x (16－x )最大值为a (16－a )．∴f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， 0<a ≤8，a －a ，8<a <12，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(xy ＋y )(y x＋x )的最小值为________．答案 4解析依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号． 14．已知cos π3＝12；cos π5cos 2π5＝14；cos π7cos 2π7cos 3π7＝18；……根据以上等式，可猜想出的一般结论是________．答案 cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *解析从已知等式的左边来看，余弦的个数从1逐个增加，分子上从π开始也是逐个增加，分母分别是3,5,7，…，可以看出分母的通项为2n ＋1，等式的右边是通项为12n 的等比数列，由以上分析可以猜想出的结论为cosπ2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12，n ∈N *. 15．当实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2时，恒有ax ＋y ≤3成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析画出可行域，如图中阴影部分所示．要使ax ＋y ≤3恒成立，即可行域必须在直线ax ＋y －3＝0的下方，故分三种情况进行讨论： ①当a >0且3a≥1，即0<a ≤3时，恒有ax ＋y ≤3成立；②当a ＝0时，y ≤3成立；③当a <0时，恒有ax ＋y ≤3成立．综上可知，a ≤3.16．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．答案 12解析设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围．答案 (1)－25 (2)[66，＋∞)解析 (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0且x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根． ∴x 1x 2＝6，x 1＋x 2＝2k ＝－5.∴k ＝－25.(2)由于k ≠0，要使不等式的解集为∅，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，1－6k 2≤0，解得k ≥66，即k 的取值范围是[66，＋∞)． 18．(本小题满分12分) 已知x ，y ，z >0，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9. 答案 (1)3 (2)略解析 (1)1x ＋1y ＋1z ＝13(x ＋y ＋z )(1x ＋1y ＋1z )＝13(1＋x y ＋x z ＋y x ＋1＋y z ＋z x ＋zy ＋1) ＝13[3＋(x y ＋y x )＋(x z ＋z x )＋(y z ＋z y )] ≥13[3＋2x y ·y x ＋2x z ·z x ＋2y z ·z y] ＝3.所以1x ＋1y ＋1z最小值为3.(2)9＝(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2xz ＋2yz ≤3(x 2＋y 2＋z 2)， ∴x 2＋y 2＋z 2≥3.又∵x ，y ，z >0，∴xy ＋xz ＋yz >0. ∴x 2＋y 2＋z 2＝9－2(xy ＋xz ＋yz )<9. ∴3≤x 2＋y 2＋z 2<9. 19．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．答案 (1)a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n(2)略解析 (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ，因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而证得：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.20．(本小题满分12分)某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A ，B ，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查得到的有关数据如下表：两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少．答案 960万元解析设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，则预计收益z ＝80x ＋60y ，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图所示．作出直线l ：80x ＋60y ＝0并平移，由图形知，当直线经过点M 时，z 取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ＝300，10x ＋5y ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M (9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)，所以搭载9件A 产品，4件B 产品，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为960万元．21．(本小题满分12分)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．答案 (1)a 2＝2，a 3＝2＋1，a n ＝n －1＋1 (2)存在c ＝14解析 (1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1，再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列．故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝a k －2＋1＋1＝k －＋1＋1＝k ＋－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)解法一：设f (x )＝x －2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝c －2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2，即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.解法二：设f (x )＝x －2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1＜1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立．再证：a 2n ＜a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2＜a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k ＜a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )＞f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)＜f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n ＜a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2＜a 22n －2a 2n ＋2. 因此a 2n ＜14. ③又由①，②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )＞f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1＞a 2n ＋2. 所以a 2n ＋1＞a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1＞14. ④综上，由②，③，④知存在c ＝14使a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．22．(本小题满分12分)设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．答案 (1)单调递减区间(0,1)，单调递增区间(1，＋∞)，最小值为1 (2)满足条件的x 0不存在解析 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x，g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1. (2)满足条件的x 0不存在．证明如下：证法一：假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立，即对任意x >0，有ln x <g (x 0)<ln x ＋2x，(*)但对上述x 0，取x 1＝e g (x 0)时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾．因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立．证法二：假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意的x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1.又g (x )＝ln x ＋1x>ln x ，而x >1时，ln x 的值域为(0，＋∞)．∴x ≥1时，g (x )的值域为[1，＋∞)．从而可取一个x 1>1，使g (x 1)≥g (x 0)＋1，即g (x 1)－g (x 0)≥1，故|g (x 1)－g (x 0)|≥1>1x 1，与假设矛盾．∴不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立．。

高三数学一轮单元测评训练第七单元理试题

单元才能检测(七)[考察范围：第七单元立体几何]时间是：120分钟分值：150分一、选择题(本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不一共面，命题乙：直线EF和GH不相交，那么甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么以下四个命题中，正确的选项是( )A．假设a⊥b，a⊥α，那么b∥αB．假设a∥α，α⊥β，那么a⊥βC．假设a⊥β，α⊥β，那么a∥αD．假设a⊥b，a⊥α，b⊥β，那么α⊥β3．m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下命题中，正确的选项是( ) A．假设m∥α，n∥α，那么m∥nB．假设α⊥γ，β⊥γ，那么α∥βC．假设m∥α，m∥β，那么α∥βD．假设m⊥α，n⊥α，那么m∥n4．某几何体的三视图如图D7－1所示，那么该几何体的外表积是( )－1A.12B．2＋ 2C．3＋ 2 D．65．如图D7－2，正三棱锥S－ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短道路的长为( )A．2 B．3 C．2 3 D．3 36．一个盛满水的三棱锥容器S－ABC，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知SD∶DA＝SE∶EB＝CF∶FS＝2∶1，假设仍用这个容器盛水，那么最多可盛原来水的( )A.2329B.1927C.3031D.23277．在正三棱锥S－ABC中，相对的棱互相垂直，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN ⊥AM，假设侧棱SA＝23，那么正三棱锥S－ABC外接球的外表积是( ) A．12π B．32πC．36π D．48π8．图D7－3是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长BD为2；侧视图是一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB＝BC＝1，那么异面直线PB与CD所成角的正切值是________．二、填空题(本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在答题卡相应位置)9．如图D7－4，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一局部，这三个几何体的正视图和俯视图是一样的正方形，那么它们的体积之比为________．10．假设三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，那么该三棱柱的体积等于________．11. 假设一个球的体积为43π，那么它的内接正方体的外表积是________．12．如图D7－5是一个几何体的三视图．假设它的外表积为7π，那么这个空间几何体的体积是________．5 ks5u13. 如图D7－6所示，一个程度放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，那么在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的间隔为________．图D7－714．图D7－7是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF是异面直线；②直线BE与直线AF是异面直线；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)15．(12分) 如图D7－8所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE ＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2.(1)求证：AC∥平面BEF；(2)求四面体BDEF的体积．16．(13分)正方形ABCD的边长为1，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝1，得到三棱锥A—BCD，如图D7－9所示．(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A－BC－D的余弦值．图D717．(13分)在如图D7－10所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．(1)求证：BD⊥EG；(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．18．(14分)如图D7－11，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，FA⊥平面ABCD，EF∥BC，FA＝2，AD＝3，∠ADE＝45°，点G是FA的中点．(1)求证：EG⊥平面CDE；(2)求二面角B－CE－G的余弦值．19．(14分)几何体E—ABCD如图D7－12所示，其中四边形ABCD为矩形，△ABE为等边三角形，且AD＝3，AE＝2，DE＝7，点F为棱BE上的动点．(1)假设DE∥平面AFC，试确定点F的位置；(2)在(1)的条件下，求二面角E－DC－F的余弦值．20．(14分)如图D7－13，四棱锥P—ABCD底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB 和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，O为BD中点，E为PA中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求证：OE∥面PDC；(3)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．单元才能检测(七)1．A [解析] E ，F ，G ，H 四点不一共面时，EF ，GH 一定不相交，否那么，由于两条相交直线一共面，那么E ，F ，G ，H 四点一共面，与矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF ，GH 不相交，含有EF ，GH 平行和异面两种情况，当EF ，GH 平行时，E ，F ，G ，H 四点一共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．2．D [解析] 选项A 中有b ⊂α的可能；选项B 中各种可能情况都存在；选项C 中有a ⊂α的可能；只有选项D 中的命题正确．3．D [解析] 线面平行不具有传递性；垂直于同一个平面的两个平面可以相交；根据直线与平面垂直的性质定理，选项D 中的结论正确．ks5u4．C [解析] 这个空间几何体是侧棱垂直于底面的三棱柱，底面周长为2＋2，故其外表积是2×12×1×1＋(2＋2)×1＝3＋ 2. ks5u5．C [解析] 所求的最小间隔就是展开后点B 的两个位置之间的线段的长度．把该正三棱锥的侧面沿侧棱SB 展开成平面图形，那么在三角形SBB ′中，SB ＝SB ′＝2，∠BSB ′＝120°，所求的最短道路的长度就是BB ′的长度，BB ′＝2BD ＝2 3.6．D [解析] 当平面EFD 处于程度位置时，容器盛水最多．∴V F －SDE V C －SAB ＝13S △SDE ·h 113S △SAB ·h 2＝SD ·SE ·sin∠DSE ·h 1SA ·SB ·sin∠ASB ·h 2＝SD SA ·SE SB ·h 1h 2＝23·23·13＝427，最多可盛原来水的1－427＝2327.7．C [解析] 正三棱锥对棱互相垂直，那么AC ⊥SB ，又SB ∥MN ，且MN ⊥AM ，∴SB ⊥AM ，从而SB ⊥面SAC .∴∠BSA ＝∠BSC ＝∠ASC ＝90°，以S 为顶点，将三棱锥补成一个正方体，故球的直径2R ＝3·SA ，即R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π，应选C.8．C [解析] 视图中的点P 的四棱锥，其直观图如图．连接BO ，那么BO ∥CD ，∠PBO 即为异面直线PB 与CD 所成角．由题意，得PO ＝1，BO ＝2，故tan ∠PBO ＝12＝22.∶2∶π [解析] 因为三个几何体的正视图和俯视图为一样的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为a ，那么长方体体积为a 3，三棱柱体积为12a 3，四分之一圆柱的体积为14πa 3，所以它们的体积之比为4∶2∶π.10．2 2 [解析] 如图，在三棱柱－111中，由于侧面A 1B 1BA 与侧面A 1C 1CA 都是有一个内角为60°的菱形，故三棱锥A －A 1B 1C 1是一个所有棱长都等于2的三棱锥，作AO ⊥面A 1B 1C 1于点O ，那么点O 是底面正三角形的中心，故A 1O ＝23×2×32＝233，故AO ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2332＝263，三棱锥的底面积等于34×22＝3，故所求的三棱柱的体积为3×263＝2 2.11．24 [解析] 根据球的体积公式43πr 3＝43π，r 3＝33，故r ＝3，该球的内接正方体的体对角线为2 3.设正方体的棱长为a ，那么3a ＝23，即a ＝2，故球的内接正方体的外表积是6×22＝24.12.6＋33π [解析] 这个空间几何体上面是底面半径为1，高为3的圆锥，下面是底面半径为1，高为a 的圆柱，根据外表积求出a ，即可根据体积公式进展计算．上面圆锥的母线长为2，外表积为π＋2π×1×a ＋π×1×2＝7π，解得a ＝2，故这个空间几何体的体积是π×12×2＋13π×12×3＝6＋33π. ks5u13.22[解析] B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，那么顶点B ′到x ′轴的间隔为B ′C ′cos45°＝1×22＝22.14．②③ [解析] EF ∥AD ，AD ∥BC ，所以CF ，BE 一共面，结论①不正确；根据异面直线的判断方法，BE ，AF 是异面直线，结论②正确；由于EF ∥BC ，所以EF ∥平面PBC ，结论③正确；由于四棱锥的侧棱长和底面边长不确定，平面BCE 不一定垂直平面PAD .15．[解答] (1)设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，所以OG 綊12DE .因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ，所以AF 綊OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥AO . 因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF .(2)因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF . 因为AF ∥DE ，∠ADE ＝90°，DE ＝DA ＝2AF ＝2，所以△DEF 的面积为12×ED ×AD ＝2，所以四面体BDEF 的体积＝13S △DEF ·AB ＝43.16．[解答] (1)证明：在△AOC 中，∵AC ＝1，AO ＝CO ＝22，∴AC 2＝AO 2＋CO 2，∴AO ⊥CO . 又∵AC 、BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴AO ⊥BD .又BD ∩CO ＝O ，∴AO ⊥平面BCD .(2)由(1)知AO ⊥平面BCD ，那么O 为原点，建立空间直角坐标系O －xyz .那么O (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，OA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22是平面BCD 的一个法向量． AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫22，0，－22，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么n ·BC →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·⎝⎛⎭⎪⎫22，22，0＝0，x ，y ，z ·⎝⎛⎭⎪⎫22，0，－22＝0，所以y ＝－x ，且z ＝x ，令x ＝1，那么y ＝－1，z ＝1，可取n ＝(1，－1,1)．从而cos 〈n ，OA →〉＝n ·OA →|n ||OA →|＝33，即二面角A －BC －D 的余弦值为33.17．[解答] 解法1：(1)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF ⊥AE .又AE ⊥EB ，EB ∩EF ＝E ，EB ，EF ⊂平面BCFE ， ∴AE ⊥平面BCFE .过D 作DH ∥AE 交EF 于H ，那么DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH ⊥EG .∵AD ∥EF ，DH ∥AE ， ∴四边形AEHD 是平行四边形，∴EH＝AD＝2，∴EH＝BGEH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG.又BH∩DH＝H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD.∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG.(2)∵AE⊥平面BCFE，AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE.由(1)可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD.∵DE⊂平面AEFD，∴GH⊥DE.取DE的中点M，连接MH，MG，∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE.∵MH∩GH＝H，MH⊂平面GHM，GH⊂平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG，∴∠GMH是二面角G－DE－F的平面角．由计算得GH＝2，MH＝2，MG＝6，∴cos∠GMH＝26＝33.∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为3 3.解法2：(1)∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面∴EF⊥AE，EF⊥BE.又AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x ，y ，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系．由得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2,2,0)．∴EG →＝(2,2,0)，BD →＝(－2,2,2)， ∴BD →·EG →＝－2×2＋2×2＝0，∴BD ⊥EG . (2)由得EB →＝(2,0,0)是平面DEF 的法向量．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，得n ＝(1，－1,1)．设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，那么cos θ＝|cos 〈n ，EB →〉|＝|n ·EB →||n |·|EB →|＝223＝33.∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33. 18．[解答] (1)∵EF ∥BC ，AD ∥BC ，∴EF ∥AD . 在四边形ADEF 中，由FA ＝2，AD ＝3，∠ADE ＝45°，可得GE ＝2，ED ＝22，GD ＝10，故GE 2＋ED 2＝GD 2，所以EG ⊥DE . 又由FA ⊥平面ABCD ，得AF ⊥CD ，正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，AD ∩AF ＝A ， ∴CD ⊥平面ADEF .∵EG ⊂平面ADEF ，∴CD ⊥EG .∵CD ∩DE ＝D ，∴EG ⊥平面CDE .(2)以AB 、AD 、AF 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，那么B (3,0,0)，C (3,3,0)，E (0,1,2)，G (0,0,1)． ∴BC →＝(0,3,0)，EC →＝(3,2，－2)，GE →＝(0,1,1)．分别求得平面BCE 与平面CEG 的一个法向量为m ＝(2,0,3)，n ＝(4，－3,3)，向量m 与n 的夹角的余弦值为m ·n |m ||n |＝8＋9442＝44226，∴二面角B －CE －G 的余弦值为44226.19．[解答] (1)连接BD 交AC ，那么DE ∥FM ，点M 为BD 中点，那么F 为棱BE 的中点． (2)AD ＝3，AE ＝2，DE ＝7，∴DA ⊥AE . 又四边形ABCD 为矩形，∴DA ⊥面ABE .方法1：以AB 中点O 为坐标原点，以OE 为x 轴，以OB 为y 轴，以OM 为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图．那么DE →＝(3，1，－3)，CE →＝(3，－1，－3)，设平面DCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧DE →·n ＝0，CE →·n ＝0，⎩⎨⎧3x ＋y －3z ＝0，3x －y －3z ＝0.令x ＝1，那么n ＝(1,0,1)． DF →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，32，－3，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－3.设平面DCF 的法向量m ＝(x ，y ，z )．⎩⎪⎨⎪⎧DF →·m ＝0，CF →·m ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋32y －3z ＝0，32x －12y －3z ＝0.令x ＝2，那么m ＝(2,0,1)．设二面角E －DC －F 的平面角为θ，cos θ＝m ·n |m ||n |＝31010.方法2：设二面角E －DC －A 取AB 中点O ，CD 中点N ，EO ⊥平面ACD ，ON ⊥CD ，∴∠ONE ＝α，tan α＝1.同理设二面角F －DC －A 的平面角为β， tan β＝12.设二面角E －DC －F 为θ，θ＝α－β，tan θ＝13，那么cos θ＝31010.20．[解答] (1)证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，那么DF ＝AB . ∵AB ⊥AD ，AB ＝AD ，AB ∥DC ， ∴四边形ABFD 为正方形． ∵O 为BD 的中点， ∴O 为AF 与BD 的交点， ∵PD ＝PB ＝2，∴PO ⊥BD . ∵BD ＝AD 2＋AB 2＝22，∴PO ＝PB 2－BO 2＝2，AO ＝12BD ＝ 2.在△PAO 中，PO 2＋AO 2＝PA 2＝4，∴PO ⊥AO . ∵AO ∩BD ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD .(2)方法1：连接PF ，∵O 为∴OE ∥PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ， ∴OE ∥平面PDC .方法2：由(1)知PO ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ，所以过O 分别作AD ，AB 的平行线，以它们为x ，y 轴，以OP 为z 轴建立如下图的空间直角坐标系，由得：A (－1，－1,0)，B (－1,1,0)，D (1，－1,0)，F (1,1,0)，C (1,3,0)，P (0,0，2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，22，那么OE →＝－12，－12，22，PF →＝(1,1，－2)，PD →＝(1，－1，－2)，PC →＝(1,3，－2)，∴OE →＝－12PF →，∴OE ∥PF .∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ， ∴OE ∥平面PDC .(3)设平面PDC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，直线CB 与平面PDC 所成角为θ，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x 1＋3y 1－2z 1＝0，x 1－y 1－2z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝0，x 1＝2z 1，令z 1＝1，那么平面PDC 的一个法向量为n ＝(2，0,1)．又CB →＝(－2，－2,0)，那么sin θ＝|cos 〈n ，CB →〉|＝223×22＝33， ∴直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值为33.。

(天津专用)2020届高考数学一轮复习单元质检7立体几何(A)(含解析)新人教A版

单元质检七立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形,则圆柱的体积是()A.2πB.4πC.8πD.4π或8π2.下列命题中,错误的是()A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面B.平面α∥平面β,a⊂α,过β内的一点B有唯一的一条直线b,使b∥aC.α∥β,γ∥δ,α,β,γ,δ所成的交线为a,b,c,d,则a∥b∥c∥dD.一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()A.3√172B.2√10C.132D.3√104.已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.若l1⊥l2,l2⊥l3,则l1∥l3B.若l1⊥l2,l2∥l3,则l1⊥l3C.若l1∥l2∥l3,则l1,l2,l3共面D.若l1,l2,l3共点,则l1,l2,l3共面5.一个正方体的表面展开图如图所示,点A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD所成的角的余弦值为()A.√25B.√35C.√105D.√556.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,AC⊥BC,若A1A=AB=2,当阳马B-A1ACC1的体积最大时,则堑堵ABC-A1B1C1的表面积为()A.4+4√2B.6+4√2C.8+4√2D.10+4√2二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知矩形ABCD的边AB=a,BC=3,PA⊥平面ABCD,若BC边上有且只有一点M,使PM⊥DM,则a的值为.8.已知在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=√2,点E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9. (14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:(1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1.10. (15分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.(1)求证:AE⊥平面A1BD;(2)求二面角D-BE-B1的余弦值.11.(15分) 如图,三角形PDC所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.单元质检七立体几何(A) 1.D解析圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,当母线为4时,圆柱的底面半径是1π,此时圆柱体积是π×(1π)2×4=4π;当母线为2时,圆柱的底面半径是2π,此时圆柱的体积是π×(2π)2×2=8π,综上可知,所求圆柱的体积是4π或8π.故选D.2.D解析A正确,三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,则它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面;B正确,平面α与平面β平行,则平面α中的直线a必平行于平面β,平面β内的一点与这条线可以确定一个平面,这个平面与平面β交于一条直线,过该点在平面β内只有这条直线与a平行;C正确,利用同一平面内不相交的两条直线一定平行判断即可确定C是正确的;D错误,一条直线与两个平面所成的角相等,这两个平面可能是相交平面,故应选D.3.C解析由计算可得O为B1C与BC1的交点.设BC的中点为M,连接OM,AM,则可知OM⊥平面ABC,连接AO,则AO的长为球半径,可知OM=6,AM=52,在Rt△AOM中,由勾股定理得半径OA=132.4.B解析从正方体同一个顶点出发的三条棱两两垂直,可知选项A错误;因为l1⊥l2,所以l1与l2所成的角是90°.又因为l2∥l3,所以l1与l3所成的角是90°,所以l1⊥l3,故选项B正确;三棱柱中的三条侧棱平行,但不共面,故选项C错误;三棱锥的三条侧棱共点,但不共面,故选项D错误.故选B.5.C解析如图所示,可知∠EGF为AB和CD所成的角,F为正方体棱的中点.设正方体棱长为1,则EF=GF=√52,EG=√2. 故cos ∠EGF=√105. 6.B 解析设AC=x ,则0<x<2,由题意,得四棱锥B-A 1ACC 1的体积为V=13·2·x ·√4-x 2=23·x ·√4-x 2≤23·x 2+(√4-x 2)22=43,当且仅当x=√4-x 2,即x=√2时,取等号.堑堵ABC-A 1B 1C 1的表面积为S=2S △ABC +2x 矩形xxx 1x 1+x 矩形xxx 1x 1=√2×√2+2×2×√2+2×2=6+4√2. 7.1.5 解析如图,连接AM. 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥DM.若BC 边上有且只有一点M ,使PM ⊥MD ,则DM ⊥平面PAM ,即DM ⊥AM ,故以AD 为直径的圆和BC 相切即可.因为AD=BC=3,所以圆的半径为1.5,要使线段BC 和半径为1.5的圆相切,则AB=1.5,即a=1.5. 8.6011π 解析由题意知,△BCD 为等腰直角三角形,点E 是△BCD 外接圆的圆心,点A 在平面BCD 上的射影恰好为DE 的中点F ,则BF=√1+14=√52,∴AF=√4-54=√112, 设三棱锥A-BCD 外接球的球心O 到平面BCD 的距离为h ,则1+h 2=14+(√112-x )2,∴h=√11,r=√1+411=√1511(r 为球O 的半径), ∴该三棱锥外接球的表面积为4π×1511=6011π.9.证明(1)由题意知,E 为B 1C 的中点. 因为D 为AB 1的中点,所以DE ∥AC. 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ,AC ⊂平面AA 1C 1C , 所以DE ∥平面AA 1C 1C.(2)因为棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱, 所以CC 1⊥平面ABC.因为AC ⊂平面ABC ,所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ,CC 1⊂平面BCC 1B 1,BC ⊂平面BCC 1B 1,BC ∩CC 1=C , 所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1, 所以BC 1⊥AC.因为BC=CC 1,所以矩形BCC 1B 1是正方形, 所以BC 1⊥B 1C.因为AC ,B 1C ⊂平面B 1AC ,AC ∩B 1C=C , 所以BC 1⊥平面B 1AC. 又因为AB 1⊂平面B 1AC , 所以BC 1⊥AB 1.10.(1)证明∵AB=BC=CA ,D 是AC 的中点,∴BD ⊥AC.∵AA 1⊥平面ABC ,∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC , ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ,∴BD ⊥AE.又在正方形AA 1C 1C 中,D ,E 分别是AC ,CC 1的中点,易证得△A 1AD ≌△ACE ,∴∠A 1DA=∠AEC ,∵∠AEC+∠CAE=90°, ∴∠A 1DA+∠CAE=90°,即A 1D ⊥AE.又A 1D ∩BD=D ,∴AE ⊥平面A 1BD.(2)解取A 1C 1的中点F ,以DF ,DA ,DB 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),E (1,-1,0),B (0,0,√3),B 1(2,0,√3),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3).设平面DBE 的一个法向量为m =(x ,y ,z ), 则{xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0⇒{√3x =0,x -x =0, 令x=1,则m =(1,1,0).设平面BB 1E 的一个法向量为n =(a ,b ,c ),则{xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0⇒{2x =0,x +x +√3x =0,令c=√3,则n =(0,-3,√3).设二面角D-BE-B 1的平面角为θ,观察可知θ为钝角, cos <m ,n >=x ·x|x ||x |=-√64,∴cos θ=-√64.故二面角D-BE-B 1的余弦值为-√64.11.解法一(1)证明:∵PD=PC ,且点E 为CD 边的中点,∴PE ⊥DC.又平面PDC ⊥平面ABCD ,且平面PDC ∩平面ABCD=CD ,PE ⊂平面PDC ,∴PE ⊥平面ABCD.∵FG ⊂平面ABCD ,∴PE ⊥FG.(2)∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ⊥DC.又平面PDC ⊥平面ABCD ,且平面PDC ∩平面ABCD=CD ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面PDC.∵PD ⊂平面PDC ,∴AD ⊥PD.∴∠PDC 即为二面角P-AD-C 的平面角.在Rt △PDE 中,PD=4,DE=12AB=3,PE=√xx 2-xx 2=√7, ∴tan ∠PDC=xxxx =√73, 即二面角P-AD-C 的正切值为√73. (3)如图所示,连接AC ,∵AF=2FB ,CG=2GB ,即xxxx =xxxx =2,∴AC ∥FG ,∴∠PAC 即为直线PA 与直线FG 所成的角或其补角.在△PAC 中,PA=√2+2=5,AC=√xx 2+xx 2=3√5.由余弦定理可得cos ∠PAC=xx 2+xx 2-xx 22xx ·xx=2√5)22=9√525,∴直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9√525.解法二(1)见解法一.(2)取AB 的中点M ,连接EM ,可知EM ,EC ,EP 两两垂直,故以E 为原点,EM ,EC ,EP 所在直线为x 轴、y轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得A (3,-3,0),D (0,-3,0),P (0,0,√7),C (0,3,0),即xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,0),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3,-√7), 设平面PAD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·x =0,可得{-3x =0,-3x -√7x =0, 令y=√7,可得一个法向量n =(0,√7,-3). 因为平面ADC 的一个法向量为xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√7), 所以二面角P-AD-C 的余弦值为|cos <n ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|√7√7×4|=34. 所以二面角P-AD-C 的正切值为√73.(3)由(2)中建立的空间直角坐标系可得xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-3,-√7),F (3,1,0),G (2,3,0),则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0), 故cos <xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√5×5=-9√525.所以直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9√525.。

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2021胡文老师学年高三第一轮复习单元检测卷3函数的性质一、填空题：1．函数y __________2．函数(f x 满足)()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =_____3.若函数f(x)=x 3(x ∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是______ A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数4．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =___.5.设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝__________ 6．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为________7.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为_______8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是__________9．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ____________ 10.函数111--=x y 的图象是_____________11．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是_______________12．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是__________13．设函数(1)()()x x a f x x ++=为奇函数，则a =．14．函数xx x f -++=211)(的定义域为．15．已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当sA ．sssB ．C ．D ．),0(∞+∈x 时，=)(x f16.函数)R x (1x x y 22∈+=的值域是____________． 17.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)=⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为_____18．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则三、解答题：（每小题满分分别为15分，计60分）19.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a +-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；20．已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．21.已知a 是实数,函数2()223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[-1,1]上有零点,求a 的取值范围.22．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(t f p =；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(t g Q =；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）3.函数的性质一.填空题：13．-1； 14．[)()+∞⋃-,22,1； 15．4x x --； 16. [)1,0; 17．(1,4)； 18．1，2；三、解答题：19．解：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211()22221x x xf x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数。

又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-解法二：由（Ⅰ）知112()22xx f x +-=+．又由题设条件得：2222222121121202222t t t k t t t k ---+-+--=<++，即：2222212212(22)(12)(22)(12)0t k t tt t t k-+--+-+-++-<，整理得 23221,t t k-->因底数2>1,故:2320t t k -->上式对一切t R ∈均成立，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-20. 解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设122x x <≤，22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121，要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ．a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数x a 在[2)+∞，为增函数，xa x x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数．当0>a 时，同解法一．21.解：当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=23不在区间[-1，1]上。

当a ≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况：①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时0)1(f )1(f <-或⎩⎨⎧<=-0)1(af 0)1(f 或⎩⎨⎧<-=0)1(af 0)1(f 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-=---=∆12a 110)a 3(8a 4 解得1≤a <5或a=273+-②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<->++=∆)1(af 0)1(af 12a 110424a 8a 2解得a ≥5或a<273+- 综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a 的取值范围为(-∞,273+-]∪[1, +∞) (别解:222230(21)32ax x a x a x +--=⇔-=-,题意转化为知[1,1]x ∈-求23221x a x -=-的值域, 令32[1,5]t x =-∈得276a t t=+-,[]5,1t ∈，转化为求该函数的值域问题.22. 解：（I ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为（II ）设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即当0≤t ≤200时，配方整理得所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5。

综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。