高中数学选修2-2《分析法》教学案例

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高中数学人教课标版选修2-2《综合法和分析法》课件

Q⇐P1 P1⇐P2 …
明显成立的条件
P⇒Q1
（Q表示要证的结论） ③ 思维过程:执果索因.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：分析法的思考过程、特点
活动三反思过程,对比方法
★▲
例1.已知a,b是正数,且a≠b,求证: 证明: (方法一:分析法)
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：分析法的思考过程、特点
综合法和分析法
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
合情推理包括归纳与类比;
演绎推理的三段论.
检测下预习效果: 点击“随堂训练” 选择“《综合法和分析法》预习自测”
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一：综合法的思考过程、特点
活动一结合实例,认知综合法
★▲
在锐角三角形ABC中,求证: 证明:
知识回顾
为真,从而又只需证明命题B2为真,从而又……只需证明命题A为真,今已知A
真,故B必真.简写为:B B1 B2… Bn A.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
点击“随堂训练”
选择“《综合法和分析法》随堂检测”
配套课后作业:
《综合法和分析法》基础型《综合法和分析法》能力型《综合法和分析法》探究型《综合法和分析法》自助餐
证明: (2) 设P x0 , y0 为f x 图象上任一点,
则y0 = x0 b ,P x0 , y0 关于y x的对称点 ax0 1 x0 b y b 得x0 = 0 ax0 1 ay0 1
为P ' y0 ,x0 . 由y0 =

高中数学 2.2.1(二)分析法教案理新人教B版选修2-2

2.2.1（二）分析法
【教学目标】结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法；会用分析法证
明问题；了解分析法的思考过程；体会数学逻辑推理的严谨性及数学在现实生活中的应用.
【教学重点】了解分析法的思考过程、特点【教学难点】分析法的思考过程
一、课前预习：（阅读教材63--64页，完成知识点填空）
1.分析法：是一种从追朔到产生这一个结果的的思维方法.具体地说,分析
法是从出发,一步一步寻求结论成立的条件,最后达到或 .
2.分析法的推证过程:
B(命题的结论)⇐1B (结论1) ⇐2B (结论2)⇐…⇐n B (结论n)⇐A(命题的条件或已
经被证明的事实)
二、课上学习：
例1 .求证：5273<+
（请分别用分析法与综合法加以证明，并比较这两种方法的区别）
三、课后练习：
1.设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+（请分别用分析法与综合法加以证明）
2.设3≥a ,求证:321---<
--a a a a。

高中数学选修2-2优质学案：2.2.1 综合法和分析法

2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.[知识链接]1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2.必修5中基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答要证a ＋b 2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.[预习导引]1.综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.要点一综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形.证明由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形. 要点二分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ). 证明当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立. 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式得证. 规律方法分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”.跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC ).由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc ). 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立. ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立. 规律方法综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1.已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A.x <x ＋y 2<y <2xy B.2xy <x <x ＋y 2<y C.x <x ＋y 2<2xy <y D.x <2xy <x ＋y 2<y [答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38， ∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D. 2.欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A.(2－3)2<(6－7)2 B.(2－6)2<(3－7)2 C.(2＋7)2<(3＋6)2 D.(2－3－6)2<(－7)2[答案] C[解析] 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3.求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明因为1log b a ＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α). 证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立， ∴结论得证.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合；没有综合也没有分析.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。

高中数学选修2-2精品学案：2.2.1 综合法和分析法

2．2.1 综合法和分析法学习目标1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.梳理(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学________、________、________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的________成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示________、已有的________、________、________等，Q 表示所要________________)知识点二分析法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．梳理 (1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的______________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(__________、________、________、________等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 (1)已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. (2)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论： ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.命题角度2用综合法证明等式例2求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．反思与感悟证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．(2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2在△ABC中，ACAB＝cos Bcos C，证明：B＝C.类型二分析法例3(1)已知a>0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2；(2)已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角．反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3(1)求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)；(2)在锐角△ABC中，求证：tan A tan B>1.1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x (x<0)，则a与b的大小关系为() A．a>b B．a＝bC．a<b D．无法确定2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是()A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同3．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)24.3－2________2－1.(填“>”或“<”)5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．[答案]精析问题导学知识点一思考利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)定义公理定理推理论证结论(2)已知条件定义公理定理证明的结论知识点二思考从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)结论充分条件已知条件定理定义公理题型探究例1 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc) ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2 ＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .跟踪训练1 证明因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3，又a ，b ，c 为不全相等的正实数，而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2，且上述三式等号不能同时成立，所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3.例2 证明因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin [(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin [(α＋β)－α]＝sin β，所以原等式成立．跟踪训练2 证明在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0，所以B ＝C . 例3 证明 (1)要证 a 2＋1a2－ 2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a)＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(2)要证B 为锐角，根据余弦定理，只需证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >0，即证a 2＋c 2－b 2>0. 由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2，要证a 2＋c 2－b 2>0，只需证2ac －b 2>0.∵a ，b ，c 的倒数成等差数列， ∴1a ＋1c ＝2b ，即2ac ＝b (a ＋c )．要证2ac －b 2>0，只需证b (a ＋c )－b 2>0，即b (a ＋c －b )>0，上述不等式显然成立，∴B 为锐角．跟踪训练3 证明 (1)方法一要证 a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2 <(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a<2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．方法二 ∵a ＋a －1 >a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.(2)要证tan A tan B >1，只需证sin A sin B cos A cos B>1， ∵A 、B 均为锐角，∴cos A >0，cos B >0. 即证sin A sin B >cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B <0，只需证cos(A ＋B )<0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°<A ＋B <180°，∴cos(A ＋B )<0，因此tan A tan B >1. 当堂训练1．A 2.A 3.C 4.<5．证明方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y) ＝(2＋y x )(2＋x y) ＝4＋2(y x ＋x y)＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证．方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立， ∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，只需证明(1＋1x)(1＋11－x)≥9，即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，即证2＋x－x2≥9x－9x2，即证4x2－4x＋1≥0，即证(2x－1)2≥0，此式显然成立．∴原不等式成立．。

2020版高中数学人教A版选修2-2课件：2.2.1.2 分析法

(3)在实际解决问题中,先分析由条件能产生什么结论, 再分析要产生需要的结论需要什么条件,逐步探求两者之间的联系,寻找解答突破口,确定解题步骤,然后用综合法写出解题的过程.
【跟踪训练】
已知a,b,c表示△ABC的三边长,m>0,求证: a b ＞
am bm
c.
cm
【解题指南】根据在△ABC中任意两边之和大于第三边,
【解析】由于a>1,b>1,故要证明log lg c＋≥lg4clg c.又c>1,lg c>0,所以只要证
lg a lg b
明 1 ＋≥14,即 ≥lg4a. lg b
lg a lg b
lg aglg b
因为ab=10,所以lg a+lg b=1,故只要证明lg a1glg≥b 4,①
(4)应用技巧:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.
【跟踪训练】已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2) +c(a2+b2)>6abc.
【证明】因为a,b,c是正数,所以b2+c2≥2bc, 所以a(b2+c2)≥2abc.①; 同理,b(c2+a2)≥2abc,②;c(a2+b2)≥2abc.③; 因为a,b,c不全相等,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2 ≥2ab三式中不能同时取到“=”. 所以①②③式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6a
【方法总结】用分析法证明不等式的主要依据、方法和技巧 (1)解题依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.

分析法数学高中教资教案

分析法数学高中教资教案教时：2课时教学目标：1.理解分析法数学的基本概念和原理。

2.掌握分析法数学的具体应用方法。

3.能够运用分析法数学解决实际问题。

教学重点：1.分析法数学的基本概念和原理。

2.分析法数学在解决实际问题中的应用方法。

教学难点：1.如何灵活运用分析法数学解决不同类型的实际问题。

教学准备：1.黑板、彩色粉笔。

2.课件或其他教学辅助资料。

3.教学目标和教学重点难点。

教学过程：第一课时：1.导入：通过一个简单的实际问题引入分析法数学的概念，激发学生的兴趣和思考。

2.讲解分析法数学的基本概念和原理，引导学生理解其作用和意义。

3.举例说明分析法数学在解决实际问题中的应用方法，让学生能够掌握具体操作步骤。

4.布置作业：要求学生根据所学内容，自行解决一道与日常生活相关的实际问题。

第二课时：1.复习上节课的内容，检查学生对分析法数学的掌握情况。

2.学生自主展示作业解答过程，并进行讨论和评价。

3.针对学生表现较好的部分，进行深入拓展，拓展更多实际问题的解决方法。

4.总结：对本节课所学内容进行总结，强调分析法数学在实际问题中的应用价值和意义。

5.课后作业：要求学生通过课上所学内容，自行解决一道较为复杂的实际问题，并写出解题过程和步骤。

教学反思：通过以上教学过程，学生可以全面掌握分析法数学的基本概念、原理和应用方法，通过实际问题的解决，提高了学生的问题分析和解决能力，进一步增强了他们的数学应用能力和实践能力。

在今后的教学中，可以结合更多的实际问题，进一步引导学生灵活运用分析法数学解决不同类型的问题，培养他们的数学思维和创新能力。

人教版高中数学选修2-2学案：2.2.1综合法和分析法

2.2.1综合法和分析法【学习目标】1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.了解分析法和综合法的思考过程、特点．【新知自学】新知梳理：1.综合法：（1）一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. （2）框图表示：（3）要点：顺推证法，由____导_____.2.分析法（1）一般地，从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．（2）框图表示（3）要点：逆推证法；执____索_____. 对点练习：确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2.设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x ＜0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a ≤b3.求证：对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=.4.求证3526【合作探究】典例精析：例1. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.变式练习：设在四面体P ABC -中,090=∠ABC , PA=PB=PC,D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.例2. 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式练习：已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.规律总结：用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论． (2)分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．【课堂小结】【当堂达标】1.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足________．2. 设23451111log 11log 11log 11log 11P =+++，则（） A ．01P << B ．12P << C ．23P << D ．34P << 3.求证3725<4.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>.【课时作业】1. 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a =2.若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，则k 的范围是____ .3.设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+5.已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb21＋m .6.设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1. 求证：f(0)＝1，且当x＜0时，有f(x)＞1.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠F AE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠F AE＝45°DBa+b-aa 45°A BEa+bx-aa 45°D Ea +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

人教版高中数学选修2-2学案：第二章2.22.2.1综合法和分析法

2． 2.1合法和剖析法本P85～ 89，思虑并达成以下(1)合法的定是什么？有什么特色？(2)合法的推程是什么？(3)剖析法的定是什么？有什么特色？(4)剖析法与合法有什么区和系？[新知初探 ]1．合法定推程利用已知条件和某些数学定、公义、P? Q1→ Q1? Q2→ Q2? Q3定理等，一系列的推理，最后→⋯→ Q n?Q (P 表示已知条件，已有的推出所要明的建立，种明定、公义、定理等， Q 表示所要明的方法叫做合法).2.剖析法定框表示特色从要明的出，逐渐Q?P1→ P1?P2逆推求使它建立的充足条件，直至法特色推法或由因果法最后，把要明的→ P2?P3→⋯→或判断一个明建立的条件(已获得一个明建立的条件果索知条件、定理、定、公义等 )因法止．种明方法叫做剖析法3．合法、剖析法的区合法剖析法推理方向推，由因果倒溯，果索因解思路探路，易生枝简单探路，利于思虑表述形式形式，条理清楚表达繁，易出思虑的重于已知条件供给的信息重于供给的信息要点[点睛 ]一般来，剖析法解方向明确，利于求解思路；而合法解条理清楚，宜于表述．所以在解决，往常以剖析法主求解思路，再用合法有条理地表述解程．[小身手 ]1．判断 (正确的打“√”，的打“×”)(1)合法是果索因的逆推法．()(2)剖析法就是从推向已知．()(3)全部明的目均可使用剖析法明．()答案： (1) × (2) × (3) ×2．若 a＞ b＞ 0，以下不等式中不正确的选项是()A． a2＞ ab B． ab＞ b2C.1＞1D． a2＞ b2 a b答案： C3．欲 2－ 3＜ 6－ 7建立，只需 () A． ( 2－ 3)2＜ ( 6－ 7)222B．( 2－6) ＜( 3－7)22C．( 2＋7) ＜( 3＋6)22D． ( 2－3－6) ＜(－7)答案： C4．假如 a a ＞ b b ，则实数 a ， b 应知足的条件是 ________．答案： a ＞ b ＞ 0综合法的应用[典例 ]在 △ ABC 中，三边 a ， b ， c 成等比数列．求证：2 C 2A 3 acos2＋ ccos2 ≥ b.2[证明 ] ∵ a ， b ，c 成等比数列，∴ b 2＝ ac.∵ 左侧＝ a(1＋ cos C)＋ c(1＋ cos A)2 211＝ 2(a ＋ c)＋ 2(acos C ＋ ccos A)1 1 a 2＋ b 2－ c 2b 2＋c 2－ a 2＝ (a ＋ c)＋2 a ·2ab＋ c ·22bc1 1 bb 3 ＝ (a ＋ c)＋2 b ≥ ac ＋＝ b ＋＝ b ＝右侧，22222C2A 3∴ acos ＋ ccos≥2 2 2b.当且仅当 a ＝ c 时等号建立．综合法的解题步骤[活学活用 ]．已知，，，∈ ，求证：＋2 22 22 ．≤(a ＋ b)( c ＋ d)1 a b c d R(ac bd)证明： ∵ 左侧＝ a 2c 2＋ 2abcd ＋ b 2 d 2≤ 2 2＋ (a 2 2＋b 2 22 2a cdc )＋ b d＝ (a 2＋ b 2)(c 2＋ d 2)＝右侧，∴ (ac ＋ bd)2≤(a 2＋ b 2)( c 2＋ d 2)．2．设数列 {a n }知足 a 1＝ 0，1 －1＝ 1. 1－a n ＋1 1－ a n(1) 求{ a n }的通公式；(2)b n ＝1－ a n＋1， S n ＝ b 1＋ b 2＋ ⋯＋ b n ，明： S n ＜ 1.n解： (1)∵1－ 1 ＝ 1，1－ a n ＋1 1－a n11 的等差数列．∴1－ a n 是公差11 1 又 ∵ －＝1，∴－＝ n ， a n ＝ 1－ n . 1 a 1 1 a n(2) 明：由 (1)得b n＝ 1－ a n ＋1＝ n ＋1－ n ＝ 1 －1，n＋·nnn ＋1n 1∴ S n ＝b 1＋ b 2＋ ⋯ ＋ b n ＝ 1－ 1 ＋ 1－ 1 ＋⋯ ＋ 1－1＝ 1－ 1 ＜ 1.223n＋ 1 n ＋1n∴ S n ＜1.剖析法的用[典例 ]a ，b 数，求：a 2＋b 2≥ 2 (a ＋ b)．2[ 明 ]当 a ＋ b ≤0 ， ∵ a 2＋ b 2≥0，∴ a 2＋ b2≥22(a ＋ b)建立．当 a ＋ b ＞ 0 ，用剖析法明以下：要a 2 ＋b 2≥ 2 (a ＋ b)，222 222只需 (a ＋b ) ≥2 (a ＋ b).22 1 222 2即 a ＋ b ≥＋ b ＋ 2ab)，即 a＋ b ≥2( a2ab.∵ a 2＋ b 2≥全部数恒建立，2ab∴22≥2a ＋b 2 (a ＋ b)建立．上所述，不等式得．剖析法明不等式的依照、方法与技巧(1) 解依照：剖析法明不等式的依照是不等式的基天性、已知的重要不等式和推理的基本理；(2) 合用范：于一些条件复，构的不等式的明，常用合法．而于一些条件、复的不等式的明，常用剖析法；(3) 思路方法：剖析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐渐追求使它建立的充足条件，最后获得的充足条件是已知(或已证 )的不等式；(4) 应用技巧：用剖析法证明数学命题时，必定要适合地用好“要证 ”、“只需证 ”、“即证 ”等词语．[活学活用 ]已知 a ， b ， c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 2 a ＋ b ＋ c3 ≥3 .22 2 a ＋ b ＋ c证明：要证a＋ b ＋ c3≥，3只需证a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 2 3 ≥ 3 ，222222只需证 3(a ＋ b ＋ c )≥a ＋ b ＋ c ＋ 2ab ＋ 2bc ＋ 2ac ，2 2 2222a ＋b ＋c a ＋b ＋ c只需证 (a － b)＋ (b － c) ＋ (c － a)≥0，而这是明显建立的，所以3≥ 成3立．剖析法与综合法的综合应用[典例 ]已知 a ， b ， c 是不全相等的正数，且 0＜ x ＜ 1. 求证： log x a ＋ b ＋ log x b ＋c ＋ log x a ＋ c＜ log x a ＋ log x b ＋ log x c.222[证明 ]a ＋ bb ＋c a ＋ c要证明 log x＋ log x＋ log x222＜ log x a ＋ log x b ＋ log x c ，只需要证明log x a ＋ b b ＋ c a ＋ c＜ log x (abc)， 2 · 2 ·2a ＋b b ＋c a ＋ c由已知 0＜ x ＜ 1，只需证明 2 · 2 · 2 ＞ abc ，由公式 a ＋bb ＋ c2≥ ab ＞ 0， 2 ≥ bc ＞ 0，a ＋ c2 ≥ ac ＞ 0.又 ∵ a ， b ， c 是不全相等的正数，∴a ＋b b ＋c a ＋c2 2 2 ＝ abc.2·2·＞a b c2a ＋b b ＋c a ＋c即2 · 2 · 2 ＞ abc 建立．∴ log xa ＋ bb ＋ ca ＋ c＋ log x＋ log x＜ log x a ＋ log x b ＋ log x c 建立．222剖析综合法的应用综合法由因导果，剖析法执果索因，所以在实质解题时，经常把剖析法和综合法联合起来使用，即先利用剖析法找寻解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．[活学活用 ]已知△ ABC 的三个内角A，B，C 成等差数列， a，b，c 为三个内角对应的边长，求证：1 ＋ 1 ＝3a＋ b b＋ c a＋ b＋ c.证明：要证 1 ＋ 1 ＝3，a＋ b b＋ c a＋ b＋ c即证 a＋ b＋ c＋ a＋ b＋ c＝3，即证 c ＋ a＝1.a＋ b b＋ c a＋ b b＋ c即证 c(b＋ c)＋ a(a＋ b)＝ (a＋ b)(b＋ c)，222即证 c ＋ a ＝ ac＋ b .∵△ ABC 三个内角A， B， C 成等差数列．∴B＝ 60°.由余弦定理，有b2＝ c2＋ a2－ 2cacos 60°，即 b2＝ c2＋ a2－ ac.∴ c2＋ a2＝ ac＋ b2建立，命题得证．层级一学业水平达标1．要证明a＋ a＋ 7＜ a＋ 3＋a＋ 4(a≥ 0)可选择的方法有多种，此中最合理的是()A．综合法B．类比法C．剖析法D．概括法分析：选C直接证明很难下手，由剖析法的特色知用剖析法最合理．2 ．命题“关于随意角44442θ－θ， cos θ－ sin θ＝ cos 2θ”的证明：“ cosθ－ sinθ＝ (cos22222)sin θ)(cos θ＋ sinθ)＝ cos θ－ sin θ＝ cos 2θ”，其过程应用了 (A．剖析法B．综合法C．综合法、剖析法综合使用D．间接证法分析：选B联合剖析法及综合法的定义可知 B 正确．3．在不等边三角形中， a 为最大边，要想获得∠ A 为钝角的结论，三边a， b， c 应满足什么条件 ()222 A． a＜ b＋cC． a2＞ b2＋c2222 B． a ＝ b ＋ c D． a2≤b2＋ c2分析：选Cb2＋ c2－ a2＜ 0，得 b2＋ c2＜ a2.由 cos A＝2bcln 2ln 3ln 54．若 a＝2， b＝3， c＝5，则 ()A． a＜ b＜ c B． c＜ b＜ a C． c＜ a＜ b D． b＜ a＜ c分析：选 C利用函数单一性．设f(x)＝ln x，则 f′(x)＝1－ ln x，∴ 0＜ x＜ e 时， f′(x)x2x＞ 0， f (x) 单一递加； x＞ e 时， f′(x)＜ 0， f(x)单一递减．又a＝ln 4，∴b＞ a＞ c. 45．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当x≥0时， f(x)单一递减，若x1＋ x2>0，则 f(x1)＋ f(x2)的值 ()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正当D．没法确立正负分析：选 A由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0时， f(x)单一递减，可知 f(x)是 R 上的单一递减函数，由 x1＋ x2>0，可知 x1>－ x2， f(x1)<f(－ x2 )＝－ f(x2)，则 f(x1 )＋ f(x2)<0.6．命题“函数 f(x)＝ x－ xln x 在区间 (0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)＝ x－ xln x 取导得 f′(x)＝－ ln x，当 x∈ (0,1)时， f′(x)＝－ ln x＞ 0，故函数 f(x)在区间 (0,1)上是增函数”应用了 ________的证明方法．分析：该证明过程切合综合法的特色．答案：综合法7．假如 a a＋ b b＞ a b＋ b a，则正数a， b 应知足的条件是________．分析：∵ a a＋b b－ ( a b＋ b a)＝a( a－ b)＋ b( b－ a)＝ ( a－ b)(a－ b)＝( a－ b)2( a＋ b)．∴只需 a≠b，就有 a a＋ b b＞a b＋ b a.答案： a≠b8．若不等式 ( － 1)n a＜ 2＋(－ 1)n＋1对随意正整数n 恒建立，则实数 a 的取值范围是n________．分析：当 n 为偶数时， a＜ 2－1，而 2－1≥ －1＝3，所以 a＜3，当 n 为奇数时， a＞－n n2 2 222－1，而－ 2－1＜－ 2，所以 a≥－2.综上可得，－2≤a＜3.n n2答案：－2，329．求证： 2cos(α－β)－sin(2α－β)βsin α＝ sin .sin α证明：要证原等式，只需证： 2cos(α－β)sin α－ sin(2α－β)＝ sin β，①由于①左侧＝ 2cos(α－β)sin α－ sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－ sin(α－β)cos α－ cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－ sin(α－β)cos α＝sin β.所以① 建立，所以原等式建立．10．已知数列 {a n}的首项 a1＝ 5， S n＋1＝ 2S n＋ n＋ 5， (n∈N* )．(1)证明数列 {a n＋ 1}是等比数列．(2)求 a n.解： (1)证明：由条件得S n＝ 2S n－1＋ (n－ 1)＋ 5(n≥2)①又 S n＋1＝ 2S n＋ n＋ 5，②② －①得 a n＋1＝ 2a n＋ 1(n≥2)，a n＋1＋ 1(2a n＋ 1)＋12(a n＋ 1)所以a n＋ 1＝a n＋ 1＝a n＋ 1＝2.又 n＝ 1 时， S2＝ 2S1＋ 1＋5，且 a1＝ 5，所以 a2＝ 11，a2＋ 111＋1所以a1＋ 1＝5＋ 1＝2，所以数列 {a n＋ 1}是以 2 为公比的等比数列．(2)由于 a1＋ 1＝ 6，n－ 1n所以 a n＋1＝ 6×2＝3×2，层级二应试能力达标1＜1建立的条件是 ()1．使不等式a bA． a＞ b B． a＜ bC． a＞ b 且 ab＜ 0D． a＞ b 且 ab＞ 0分析：选D要使1＜1，须使1－1＜ 0，即b－a＜ 0.a b a b ab若 a＞ b，则 b－ a＜ 0， ab＞ 0；若 a＜ b，则 b－ a＞ 0， ab＜ 0.2．对随意的锐角α，β，以下不等式中正确的选项是()A． sin(α＋β)＞ sin α＋ sin βB． sin(α＋β)＞ cos α＋ cos βC． cos(α＋β)＞ sin α＋ sin βD． cos(α＋β)＜ cos α＋ cos β分析：选 D 由于α，β为锐角，所以 0＜α＜α＋β＜π，所以 cos α＞ cos(α＋β)．又 cos β＞0，所以 cos α＋ cos β＞ cos(α＋β)．1＋4＝ 1，且不等式x＋y＜ m2－ 3m 有解，则实数m 的取值3．若两个正实数 x，y 知足x y4范围是()A． (－ 1,4)B． (－∞，－ 1)∪ (4，＋∞) C． (－ 4,1)D． (－∞， 0)∪ (3，＋∞)分析：选 B14y y1＋4＝ 2＋y＋4x y4x ∵ x＞ 0，y＞ 0，＋＝ 1，∴ x＋＝ x＋4x y y≥2＋ 2·x y44x4x y＝ 4，等号在 y＝ 4x，即 x＝ 2，y＝ 8 时建立，∴x＋y的最小值为4，要使不等式m2－ 3m＞ x 4＋y有解，应有 m2－ 3m＞ 4，∴ m＜－ 1 或 m＞ 4，应选 B.44．以下不等式不建立的是()A． a2＋ b2＋c2≥ab＋ bc＋ caB. a＋b＞a＋ b(a＞ 0， b＞ 0)C. a－a－ 1＜a－ 2－a－ 3(a≥ 3)D. 2＋10＞26分析：选 D对A，∵ a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴ a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对 B，∵(a＋ b)2＝ a＋ b＋ 2 ab，( a＋ b)2＝ a＋ b，∴ a＋ b＞ a＋ b；对 C，要证a－a－ 1＜a－ 2－ a－ 3(a≥3)建立，只需证明a＋a－ 3＜a－ 2＋a－ 1，两边平方得 2a － 3＋ 2 a(a－ 3)＜ 2a－ 3＋ 2 (a－ 2)(a－ 1)，即 a(a－ 3)＜(a－ 2)(a－ 1) ，两边平方得a2－2D， (2＋10)2－3a＜ a － 3a＋ 2，即 0＜ 2.由于 0＜2 明显建立，所以原不等式建立；关于(2 6)2＝ 12＋ 45－ 24＝4( 5－ 3)＜0，∴ 2＋ 10＜ 26，故 D 错误．5．已知函数 f(x)＝ 2x， a，b 为正实数，A＝ f a ＋b，B＝ f( ab)，C＝ f2ab，则 A，2a＋ bB， C 的大小关系是 ________．分析：∵a＋ b2ab≤ ab，且 f(x)＝ 2x是增函数，∴ f2ab 2≥ ab(a ， b 为正实数 )，a＋ ba＋ b≤≤ a＋b，即C≤B≤A.f( ab) f2答案： C≤B≤A6 ．以下图，四棱柱ABCD - A1 B1C1D 1的侧棱垂直于底面，知足________ 时，BD⊥ A1C(写上一个条件即可 )．分析：要证 BD⊥ A1C，只需证BD ⊥平面 AA1C.由于 AA1⊥ BD ，只需再增添条件AC⊥ BD ，即可证明 BD⊥平面 AA1C，进而有 BD⊥ A1C.答案： AC⊥BD(答案不独一 )7．在锐角三角形ABC 中，求证： sin A＋ sin B＋ sin C＞ cos A＋ cos B＋ cos C.ππ证明：在锐角三角形 ABC 中，∵ A＋ B＞2，∴A＞2－ B.ππ∴0＜－B＜A＜，22又∵在 0，π2内正弦函数y＝ sin x 是单一递加函数，π∴sin A＞ sin － B ＝cos B，2即 sin A＞ cos B．①同理 sin B＞ cos C，②sin C＞ cos A．③由①＋②＋③ ，得：sin A＋ sin B＋ sin C＞ cos A＋ cos B＋cos C.8．已知 n∈ N，且 n＞ 1，求证： log n(n＋ 1)＞ log n＋1(n＋ 2)．证明：要证明 log n(n＋ 1)＞ log n＋1(n＋ 2)，即证明 log n(n＋ 1)－ log n＋1(n＋ 2)＞ 0.(*)1∵log n(n＋ 1)－ log n＋1(n＋ 2)＝－log n＋1(n＋2)log n＋1n＝1－ log n＋1n·log n＋1(n＋ 2).log n＋1n又∵当 n＞ 1 时， log n＋1n＞ 0，且 log n＋1(n＋ 2)＞ 0， log n＋1 n≠ log n＋1(n＋ 2)，1[log n＋1n＋ log n＋1(n＋ 2)]212122∴ log n＋1n·log n＋1(n＋ 2) ＜＝ log n＋1[n(n＋ 2)]＝log n＋1(n ＋ 2n)44412(n＋ 1)2＜log n＋1＝ 1，4故 1－ log n＋1n·log n＋1(n＋ 2)＞ 0，∴1－ log n＋1n·log n＋1(n＋ 2)＞0.log n＋1n这说明 (*) 式建立，∴ log n(n＋ 1)＞ log n＋1(n＋ 2)．。

北师大版高中数学选修2-2第一章第2节《综合法与分析法》课件(灵璧一中裴恒永)

明格式为：因为×××，所以×××，所以×××„„
所以×××成立． 2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证
×××，只需证×××……因为×××成立，所以
×××成立．
[例 1]
1 1 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：a＋b≥4.
2 0 ≤ ( a b ) 只要证
a b 2 ab ≥ 0 a b ≥ 2 ab ab ≥ 2 ab
因为最后一个不等式成立，故结论成立。
综合法
分析法
表达简洁!
目的性强,易于探索!
1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证
已知
1 1 x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋x 1＋y ≥9.
【精彩点拨】证明.
解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法
【自主解答】 1 所以 xy≤ . 4
法一：因为 x>0，y>0，1＝x＋y≥2 xy，
1 1 1 1 1 所以 1＋x 1＋y ＝1＋x ＋y ＋xy
8 7 5 10.
8 7 5 10,
( 8 7 )2 ( 5 10)2 .
8 7 2 56 5 10 2 50.
.
只需证 2 56 2 50,即56 50. 故不等式成立. 注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。
分析法
(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法（又称倒推证法）．

高中数学选修2-2 北师大版 1.2.2 分析法教案1

第七课时分析法一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。

难点：分析法的思考过程、特点三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。

（二）、引入新课分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。

（三）、例题讲解：例1：如图、已知BE ，CF 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的高，G 为EF 的中点，H 为BC 的中点.求证：HG ⊥EF .证明：考虑待证的结论“HG ⊥EF ” .根据命题的条件：G 为EF 的中点，连接EH ，HF ，只要证明△EHF 为等腰三角形，即EH =HF .根据条件CF ⊥AB ，且H 为BC 的中点，可知FH 是Rt △BCF 斜边上的中线.所以 BC FH 21=. 同理 BC HE 21=. 这样就证明了△EHF 为等腰三角形.所以 HG ⊥EF .例2：已知：a ，b ，c 都是正实数，且ab +bc +ca =1.求证：a +b +c 3≥. 证明：考虑待证的结论“a +b +c 3≥” ，因为a +b +c ＞0，只需证明3)(2≥++c b a ，即 3)(2222≥+++++ac bc ab c b a .又 ab +bc +ca =1，所以，只需证明1222≥++c b a ，即 01222≥-++c b a .因为 ab +bc +ca =1，所以，只需证明 0)(222≥++-++ac bc ab c b a ，只需证明 0)(2222222≥++-++ac bc ab c b a ，即0)()()(222≥-+-+-a c c b b a .由于任意实数的平方都非负，故上式成立.所以 a +b +c 3≥.例3.如图,SA ⊥平面ABC,AB ⊥BC,过A 作SB 的垂线,垂足为E,过E 作SC 的垂线,垂足为F,求证 AF ⊥SC证明:要证AF ⊥SC ，只需证:SC ⊥平面AEF ，只需证:AE ⊥SC ，只需证:AE ⊥平面SBC 只需证:AE ⊥BC ，只需证:BC ⊥平面SAB ，只需证:BC ⊥SA ，只需证:SA ⊥平面ABC因为:SA ⊥平面ABC 成立。

人教版高中数学选修2-22.2.1综合法与分析法学案

2．2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法与剖析法1．认识直接证明的两种基本方法 —— 综合法和剖析法．2．理解综合法和剖析法的思虑过程、特色，会用综合法和剖析法证明数学识题．基础梳理1．剖析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学识题经常用的思想方式．2．综合法是从已知条件出发，经过逐渐的推理，最后获得待证结论．3．剖析法是从待证结论出发，一步一步追求结论建立的充足条件，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实．想想： (1) 综合法的推理过程是合情推理仍是演绎推理？(2)剖析法就是从结论推向已知，这句话对吗？2(3)已知 x ∈ R ， a ＝ x ＋ 1， b ＝ x ，则 a ， b 的大小关系是 ________． (4)要证明 A>B ，若用作差比较法，只需证明________．(1) 分析：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严实的逻辑推理，获得的结论是正确的．(2) 分析：不对．剖析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是找寻使结论建立的充足条件的过程．2－x ＋ 1＝1 2 3≥3 (3)分析：由于 a － b ＝ x x －2 ＋44>0，因此 a>b.答案： a>b(4)分析：要证 A>B ，只需证 A － B>0.答案： A － B>0自测自评1．用剖析法证明问题是从所证命题的结论出发，追求使这个结论建立的(A)A．充足条件B．必需条件C．充要条件D．既非充足条件又非必需条件2．已知直线l ， m，平面α，β，且 l⊥ α， m? β，给出以下四个命题：①若α∥β，则l ⊥ m；②若 l ⊥m，则α∥β；③若α⊥ β，则 l⊥ m；④若 l∥ m，则α⊥ β.此中正确命题的个数是(B)A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个分析：若 l ⊥ α， m? β，α∥ β，则 l ⊥ β，因此 l⊥ m，①正确；若 l ⊥ α， m?β， l ⊥m，α与β可能订交，②不正确；若l⊥ α， m? β，α⊥ β， l 与 m 可能平行或异面，③不正确；若 l⊥ α， m? β， l ∥ m，则 m⊥ α，因此α⊥ β，④正确．3．要证33a－3b< a－ b建立， a， b 应知足的条件是 (D)A ． ab<0 且 a>bB．ab>0 且 a>bC．ab<0 且 a<bD． ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b分析：要证33a－ b，只需证 (33a2 b＋ 33ab2<a a－3b<3a－3b)3<( a－ b)3，即 a－ b－ 3－b，3232即证ab < a b，只需证 ab2<a2b，即 ab(b－a)<0.只需 ab>0 且 b－a<0 或 ab<0， b－ a>0.基础巩固1．以下表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③剖析法是执果索因法；④剖析法是间接证明法；⑤剖析法是逆推法．此中正确的语句有(C)A．2个B．3 个C．4 个D．5 个2．剖析法又称执果索因法，若用剖析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ ac ＜3a”索的因应是 (C)A ． a－ b＞ 0B ．a－ c＞ 0C．( a－ b)( a－c)＞ 0D． (a－ b)(a－ c)＜ 0分析：要证明b2－ ac＜3a，只需证 b2－ ac＜ 3a2，只需证 (a＋c)2－ ac＜ 3a2，只需证－ 2a2＋ ac＋ c2＜ 0，即证 2a2－ac－ c2＞ 0，即证 (a－ c)(2a＋ c)＞ 0，即证 (a－ c)(a－ b)＞ 0.3．对于不重合的直线m， l 和平面α，β，要证明α⊥ β，需要具备的条件是(D)A ． m⊥ l ，m∥ α， l ∥βB． m⊥ l ，α∩ β＝m， l? αC．m∥ l， m⊥ α， l ⊥β D． m∥ l ，l ⊥ β， m? α分析： A ，与两互相垂直的直线平行的平面的地点关系不可以确立；B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的地点关系不可以确立；C，这两个平面有可能平行或重合； D，是建立的，应选 D.224．已知对于 x 的方程 x＋ (k－ 3)x＋ k ＝ 0 的一根小于1，另一根大于 1，则 k 的取值范围是 ________．22 22 分析：令 f(x)＝ x ＋ (k－ 3)x＋ k ，则由题意知 f(1) ＜ 0，即 1 ＋ (k－ 3) ×1＋ k ＜ 0，解得－ 2＜ k＜ 1.能力提升5． (2013 ·庆卷重 )若 a<b<c ，则函数 f(x)＝ (x － a)(x － b)＋ (x － b)(x － c)＋ (x － c)(x － a)的两个零点分别位于区间 (A)A ． (a ， b)和 (b ， c)内B ．( －∞，a)和( a ， b)内C ．( b ， c) 和(c ，＋ ∞)内D ． (－ ∞， a)和 (c ，＋ ∞)内分析：由于 a<b<c ，因此 f(a)＝ (a － b)( a － c)>0 ， f(b)＝ ( b － c)( b － a)<0 ， f( c)＝ (c － a)(c －b)>0 ，由零点存在性定理知，选A.6．下边的四个不等式：2 2 2 1 b a 22 2 22① a ＋ b ＋ c≥ ab ＋ bc ＋ ca ；② a(1－ a) ≤；③ a＋ ≥ 2；④ (a＋ b ) ·(c ＋ d ) ≥(ac ＋ bd) .4b此中恒建立的有 (C)A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个分析：∵ ( a 2＋ b 2＋ c 2)－ (ab ＋ bc ＋ac) ＝12[( a －b) 2＋ (b － c)2＋ (c － a)2] ≥0， a(1－ a)－ 14＝－2 1 ＝－ a －1 2 22 222 22 22 22 2222 2a＋ a － 2 ≤ 0，(a ＋ b ) ·(c ＋ d )＝ a c ＋ a d ＋ b c ＋ b d≥ac ＋2abcd ＋ b d ＝ (ac4＋ b d)2，∴①②④正确．应选 C.7．命题 “若 sin α＋ sin β＋ sin γ ＝ 0， cos α ＋ cos β＋ cos γ ＝ 0”，则 cos(α－ β)＝ ________．分析：条件变成 sin α ＋sin β＝－ sin γ ， cos α＋ cos β ＝－ cos γ ，两式平方相1加可推得结论 cos(α－β)＝－ 2.1答案：－ 28 ．若 P ＝ a ＋ a ＋ 7 ， Q ＝ a ＋ 3 ＋ a ＋ 4 ， a ≥ 0 ，则 P 、 Q 的大小关系是________________________________________________________________________ ．分析：用剖析法，要证 P<Q ，需证 P 2<Q 2 即可．答案： P<Q9．已知 a 、 b 、 c ∈ R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c. 3≥3证明：要证a 2＋b 2＋c 2 a ＋ b ＋ c3≥，3只需证： a 2＋ b 2＋ c 2a ＋b ＋c 2≥3，3只需证： 3(a 2＋ b 2＋ c 2) ≥a 2＋ b 2＋ c 2＋ 2ab ＋2bc ＋ 2ca ，只需证： 2(a2＋ b2＋ c2) ≥2ab＋ 2bc＋ 2ca，只需证： (a－ b)2＋ (b－ c)2＋( c－a)2≥0，而这是明显建立的，因此a2＋ b2＋ c2≥ a＋ b＋ c建立．3310．在△ ABC 中，三个内角 A，B， C 对应的边分别为 a， b，c，且 A， B，C 成等差数列，a， b，c 也成等差数列，求证：△ ABC 为等边三角形．证明：由 A，B， C 成等差数列知，B＝π，由余弦定理知b2＝ a2＋ c2－ ac. 3又 a，b， c 也成等差数列，∴b＝a＋c，代入上式得（a＋c）2＝ a2＋ c2－ ac，整理得 3(a 24－c)2＝ 0，∴ a＝ c，进而 A＝ C.ππ而 B＝3，则 A＝B＝C＝3，进而△ ABC 为等边三角形．。

高中数学2.2.1综合法和分析法教案(新人教A版选修2-2)

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan tan A B A B +60A B +=. （提示：算tan()A B +） ② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c +≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 100 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程（注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。