最新人教版七年级数学下册辅导

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第12讲 与相交有关概念及平行线的判定

考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？

【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】

01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：

⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.

问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.

【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．

⑴求∠EOF 的度数；

⑵写出∠BOE 的余角及补角.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21

∠AOC ∴∠EOF ＝∠

EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()

AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21

×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .

【变式题组】

01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是

（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .

【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线.

⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.

【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】

01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的

距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm

02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；

⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请

在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在

的路上距离M村越来越近..在

的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC 的度数.

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．

【变式题组】

01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数. 02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．

⑴求∠AOC的度数；

⑵试说明OD与AB的位置关系.

03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.

【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：

∠1和∠3：

∠1和∠6：

∠2和∠6：

∠2和∠4：

∠3和∠5：

∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

【变式题组】

01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有（）A．4对B．8对C．12对D．16对

02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.

03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）

A．∠1和∠2是同旁内角

B．∠3和∠4是内错角

C．∠5和∠6是同旁内角

D．∠5和∠7是同旁内角

【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•

⑴∠CBD＝∠ADB；

⑵∠BCD＋∠ADC＝180°

⑶∠ACD＝∠BAC

【解法指导】图中有即即有同旁内

角，有“”即有内错角.

【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行.

⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行.

⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行.

【变式题组】

01．如图，推理填空.

⑴∵∠A＝∠（已知）

∴AC∥ED（）

⑵∵∠C＝∠（已知）

∴AC∥ED（）

C

⑶∵∠A＝∠（已知）

∴AB∥DF（）

02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.

解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）

∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）

又∵EF平分∠DEC（已知）

∴（）

又∵∠1＝∠2（已知）

∴（）

∴AB∥DE（）

03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．

04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.