有限p_群的中心自同构群

第 29卷
第 6期
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技
大
学
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报
Vo. l 29 No . 6 Dec . 2008
2008年 12月
JOURNAL OF TA I YUAN UN I VERSITY OF SCI ENCE AND TECHNOLOGY
文章编号: 1673- 2057( 2008) 06- 0481- 03
有限 p - 群的中心自同构群
收稿日期 : 2008209201 作者简介 : 徐燕红 ( 1982- ), 女 , 硕士研究生 , 主要研究方向为群论。
( 1) 验 证 KA 定 义 的 合 理 性。 因 为 A I CAu t G (G /M, N ), 所以对任意的 g I G, g g I M < Z (N ), 且对任意的 n I N, n = n. 对 g, h I G, 若 gN = hN, 则存在 n I N 使得 g = hn. 此时 (gN ) g g = ( hn )
- 1 - 1 A A KA
=
- 1
( ghN )
- 1 K A
KA - 1
=
A
( gh )
- 1
(gh )
A hN
A - 1
=
A
h g g h = ( h g g h )h h = ( g g ) h h = ( ( gN )
KA
- 1
)
hN
(hN ) A.
( 3) 验 证 H 是 单 同 态。 对 任 意 的 A , BI CAu t G (G /M, N ), 先验证 H为群同 态。 任取 g I G, ( gN ) ( gN )
# 1= g = 1 , 所以 K er A = 1 , 即 A是单射。 又因 G 是 有限群 , 所 以 A是 G 的自 同构, 且对任 意 g I G, g g = g g (gN ) n = n( n N)
- 1 K A K - 1 A - 1 K
= ( gN ) I M, 对任意 n I N,
H om ( U, A @C) µ H o m ( U, A) @H o m ( U, C) 1
子群且 M [ N H Z ( G), 则:
参考wenku.baidu.com献:
[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] ATTAR M S . On centra l auto m orph ism s tha t fix the center e le m ent2w ise[ J]. A rch. M ath, 2007, 89: 2962297. YADAV M K. On cen tra l auto m orphism s fixing the center e le m en t2 w ise [ EB /OL]. ( 2008203228 ) http: / / arxiv . org/0803. 4081v1 . ROB I NS ON D J S . A course in the theory of groups[M ]. Ne w York2 H eide lberg2Ber lin: Springer2Ver lag , 1982. C URRAN M J , MCCAUGHAN D J . Cen tral auto m orphism s that are a l m ost inner[ J]. Co mm. A lgebra , 2001 , 29( 5) : 208122087.
徐燕红, 靳 平
(山西大学数学科学学院, 太原 030006)
摘 要 : 设 G 为有限 p2群 , M, N 均为 G 的正规子 群且 M [ N H Z ( G) , 证明了 CAut G ( G /M, N ) µ G exp M. 该结果给出了 Y adav定理的 一个推广 。
[ N 的充要条件是 Gc [ N, M 为循环群且 exp (G /N ) [ 关键词 : 有限 p2群 ; 中心子群 ; 中心自同构 中图分类号 : O1521 1 文献标识码 : A
K
A
A = B, 则 K A = K B, 则对任意 g I G, ( gN )
K B - 1 A - 1 B A B
( gN ) , 即 g g = g g . 所以 g = g , 再由 g 的任
482 意性可知 A = B , 表明 H 是单射。
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2008 年
exp M 1 证明 先证 必要 性。 因 为 CAu tG (G /M, N ) µ G /N, 由推论 1 知 CA ut G (G /M, N ) µ H om (G /N , M ), 所以 H o m (G /N, M ) µ G /N 1 因为 H o m (G /N, M ) 为 交换群, 故 G /N 也交换 , 迫使 G c [ N 1 由定义不难验 证 exp (H o m ( G /N , M ) ) [ exp M, 所以 exp (G /N ) [ exp M 1 由 G为有限 p 2 群 , 故可设 exp M = p . 假设 M 不循环 , 则 M = Cpe @ A, 其中 Cpe 是 p 阶的循环群, A是 M 是非平凡真子群。 因为 G /N 为有限交换 p 2 群, exp (G /N ) [ Ho m (G /N , M ) Ho m (G /N , Cp e ) exp M = p , 所 以 由 引 理 1 知 | | = | Ho m (G /N, Cpe || Ho m (G /N, A) @ A) |= |
设 G 为有限群 , M 和 N 均为 G 的正规子群, 本文 用 CA u t G (G / M, N ) 表示 G 的既中心化 G /M 又中心化 N 的全部自同构所构成的群。 在自同构群的研究中, 一个基本而重要的问题是确定 CA ut G (G /M, N ) 的结 构。 2007 年 A ttar
Ho m (G /N , A ) | > | G /N |, 这是 H o m (G /N , M ) µ G /N 矛盾 , 所以 M 循环。 下证充分性。 因为 G 为有限 p 2群 , G c [ N, 所以 G /N 是 有 限 交 换 p 2 群。又 因 为 M 为 循 环 群 且 exp (G /N ) [ expM, 故由引理 1知 H o m (G /N, M ) µ G /N, 使用推论 1 即得所证。 证毕。 最后, 我们将使用上述定理 2 推出 Y adav的主 要结果 ( 见文献 [ 2] 中命题 21 3 )。 Y adav定理 设 G 是有限非交换 p 2群, M 是 G 的中心子群 , 则 CAu t G (G /M, Z (G ) ) = Inn G 当且仅 当 G 的幂零类为 2 , G c [ M 且 M 是循环群。 证明 显然 CA ut G (G /M, Z ( G) ) B Inn G 当且 仅当 G c [ M, 故所证结论等价于: 如果 G 是有限非 交 换 p2 群且 G c[ M [ Z ( G), 则 CAu t G (G /M, Z (G ) ) µ Inn G 当且仅当 G的幂零类为 2且 M 是循环群。 根 据定理 2 , 则 CA ut G (G /M, Z ( G) ) µ Inn G 当且仅当 G c [ Z (G ), M 为循环群且 exp (G /Z (G ) ) [ exp M. 但 G 的幂零类为 2等价于说 G c[ Z (G), 此时又推出 exp (G /Z (G ) ) = exp G c1 而条件 G c [ M 蕴含着 exp Gc [ exp M 1 据此即可推出所证结论。 证毕。
[ 1]
定理
设 G 为任意有限群, M 和 N 均为 G 的正 CA u t G (G / M, N ) µ De r(G /N, M )
规子群且 M [ Z (N ), 则: 证明 定义映射 H : CA ut G (G /M, N ) y D er(G /N ,
KA
证明了: 如果 G 为有限非交换 p 2
H K AB
= g g
A
- 1
A B
= g ( gg g ) = g g ( g g )
- 1 A - 1 B KA
- 1
- 1
A B
- 1
B
- 1
A
B
= g gg g
K A + KB H
- 1
B - 1
= g g g g = (gN )
( gN )
KB
= =
, 所以 KAB = K 是同态。 进而 , 若 A+ K B, 即 H
[ 2]
M ), A y K , 使得 ( gN ) A
= g g , P g I G.
- 1 A
- 1
A
群 , 则 CA u t G ( (G /Z (G) ), Z (G ) ) = Inn G 当且仅当 G 的幂零类为 2且 Z (G ) 是循环群。 2008年 Y adav 将其推广为 : 如果 G 是有限非交换 p 2群且 M 是 G 的 一个中心子群, 则 CA ut G (G /M, Z (G ) ) = Inn G 当且 仅当 G 的幂零类为 2 , G d[ M 且 M 是循环群。 注意到 G 的内自同构群 InnG 同构于商群 G /Z (G ), 故上述 两个定理本质 上给 出了当 M 或 N 为特 殊子 群时 CAu t G (G /M, N ) 的结 构描述。 本文在更为 一般的条 件下确定了 CAu t G (G /M, N ) 的结构 , 所得结果推广 了 A tta r和 Y adav定理。 当群 H 作用在交换群 K 上时, 用 D er(H, K ) 表 示从 H 到 K 的所有导子构成的加法群 , 其定义参见 文献 [ 3 ] 1 特 别地 , 当 H 在 K 上作 用 平凡 时 , 则 Der (H, K ) 即为从 H 到 K 的所有群同态构成的加法 群 H om (H, K ) 1 此外, 本文所使用的群论符号大多 是标准的, 参见文献 [ 3] 1 首先使用导子群的要领描述了 CA ut G (G /M, N ) 的结构。
- 1 - 1 A - 1 A - 1 -1 A - 1 - 1 A A - 1 - 1 KA A A
=
( hn) = n h h n = n h h n =
A K
n nh h = h h = ( hN ) A. ( 2) 验证 KA I Der( G / N , M ). 对任意 g, h I G, ( gN # hN )
K
K
Ho m (G /N , Cp e ) | = | G /N | 1 于是由引理 2 可得 | | = | G /N | |
= nN
K
= n # 1 = n, 所 以 A I
KA H
CAu t G (G /M, N ). 再任取 g I G, 则 ( gN ) H是满射。
= g g =
- 1
A
g g ( gN ) = ( gN ) , 所以 K ,即 A = K , 表明 A = K 综上可得 H是从 CAu t G (G /M, N ) 到 Der (G /N, M ) 的一个同构映射 , 据此即得所证结论。 证毕。 推论 1 设 G 为任意有限群, M, N 均为 G 的正 规子群且 M [ N H Z (G ), 则 : CA ut G (G /M, N ) µ H om (G /N, M ) 证明 因为 M [ N H Z (G ), 所以 M [ Z (N ), 根据定理 1得到 CA ut G ( G /M, N ) µ D er(G /N , M ) 1又 因为 M [ Z (N ), 故 G /N 在 M 上的共轭作用平凡 , 表 明 Der (G /N, M ) = H o m ( G /N , M ) 1 证毕。 引理 1 且 exp K [ 证明 引理 2 证明 定理 2 设 K 为有限交换 p 2群, A 为循环 p 2群 exp A, 则 H om (K, A) µ K 1 见文献 [ 4] 中引理 E 1 设 A, C, U 均 为 有 限 交 换 群 , 则 见文献 [ 4] 中引理 C 1 设 G 为有限 p 2 群 , M, N 均为 G 的正规 CA ut G (G /M, N ) µ G /N 的充要条件是 G c[ N, M 为循环群, 且 exp( G /N ) [
K K
K
= =
(h N)
K
K
ghh ( gN ) h ( hN )
K - 1
g ( gN ) h( hN ) N, 因而 ( gN )
K
= g h ; 验证 A是单射 : 若 g I K er
K
A A
A , 则有 g = g ( gN ) = 1 , 所以 ( gN ) = g
K A
I M[
K
=N = 1 , 于是得 g = g ( gN ) = g
e e e
( 4) 验证 H 是满射 , 对任意 K I D er(G /N , M ), 定义 A : G y G, g | y g( gN ) , P g I G. 验证 A是 G 的 自 同 态: 任 取 g, h I gh (gN ) )
K A K hN K
G, (gh ) =
- 1
A
= gh ( ghN )