第二章 第二讲匀变速直线运动规律及应用

第2讲 匀变速直线运动的规律及其应用
内容解读
知识点整合
一、匀变速直线运动规律及应用
几个常用公式．速度公式：at V V t +=0；位移公式：2
02
1at t V s +
=； 速度位移公式：as V V t 2202=-；位移平均速度公式：t V V s t
2
0+=
．以上五个物理量中，除时间t 外，s 、V 0、V t 、a 均为矢量．一般以V 0的方向为正方向，以t =0时刻的位移为起点，这时s 、V t 和a 的正负就都有了确定的物理意义． 【例1】一物体以l0m ／s 的初速度，以2m ／s 2
的加速度作匀减速直线运动，当速度大小变为16m ／s 时所需时间是多少?位移是多少？物体经过的路程是多少?
解析：设初速度方向为正方向，根据匀变速直线运动规律at V V t +=0有：
16102t -=-，所以经过13t s =物体的速度大小为16m ／s ，又2
02
1at t V s +
=可知这段时间内的位移为：21
(1013213)392
s m m =⨯-
⨯⨯=-，物体的运动分为两个阶段，第一阶段速度从10m/s 减到零，此阶段位移大小为22
10102522
s m m -=
=-⨯；第二阶段速度从零反向加速到
16m/s ，位移大小为22
21606422
s m m -=
=⨯，则总路程为
12256489L s s m m m =+=+=
答案]：13s ，-39m ，89m
[方法技巧] 要熟记匀变速直线运动的基本规律和导出公式，根据题干提供的条件，灵活选用合适的过程和相应的公式进行分析计算．
【例2】飞机着陆后以6m/s 2
加速度做匀减速直线运动，若其着陆速度为60m/s ，求： （1）它着陆后12s 内滑行的距离； （2）静止前4s 内飞机滑行的距离． 解析：飞机在地面上滑行的最长时间为60
106
t s s =
= （1）由上述分析可知，飞机12s 内滑行的距离即为10s 内前进的距离s ：
由2
02v as =，22
060300226
v s m m a =
==⨯ （1） 静止前4s 内位移：/
2
0111()2
s s v t at =--，其中1(104)6t s s =-= 故/
21
64482
s m m =
⨯⨯= 答案：（1）300m ；（2）48m
二．匀变速直线运动的几个有用的推论及应用 （一）匀变速直线运动的几个推论
（1）匀变速直线运动的物体相邻相等时间内的位移差2
at S =∆ 2
T s a ∆=
2
mat S =∆；2
m T
s s a n m n -=
+ ； 可以推广为：S m -S n =(m-n)aT 2
（2）某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度：202
t t V V V +=
（3）某段位移的中间位置的即时速度公式（不等于该段位移内的平均速度）
22
202t s V V V +=
．无论匀加速还是匀减速，都有2
2s t V V <． （二）初速度为零的匀变速直线运动特殊推论
做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零，或者末速度为零，那么公式都可简化为：
at V = ， 221at s =
， as V 22= ， t V
s 2
= 以上各式都是单项式，因此可以方便地找到各物理量间的比例关系．
①前1s 、前2s 、前3s ……内的位移之比为1∶4∶9∶…… ②第1s 、第2s 、第3s ……内的位移之比为1∶3∶5∶……
③前1m 、前2m 、前3m ……所用的时间之比为
④第1m 、第2m 、第3m ……所用的时间之比为1∶
(
12-【例3】物体沿一直线运动，在t 时间内通过的路程为S ，它在中间位置S 2
1
处的速度为V 1，在中间时刻
t 2
1
时的速度为V 2，则V 1和V 2的关系为（ ） A ．当物体作匀加速直线运动时，V 1＞V 2; B.当物体作匀减速直线运动时，V 1＞V 2; C ．当物体作匀速直线运动时，V 1=V 2; D.当物体作匀减速直线运动时，V 1＜V 2． 解析：设物体运动的初速度为V 0，未速度为V t ，由时间中点速度公式2
0t
V V V +=
-
得202t V V V +=；由位移中点速度公式2220t V V V +=中点得2
2
201t V V V +=．用数学方法可
证明，只要t V V ≠0，必有V 1>V 2;当t V V =0，物体做匀速直线运动，必有V 1=V 2．
答案：ABC ．
[方法技巧] 对于末速度为零的匀减速运动，可以看成是初速度为零的匀加速运动的“逆”过程，这样就可以应用“初速度为零的匀变速直线运动特殊规律”快速求解问题．
【例4】地铁站台上，一工作人员在电车启动时，站在第一节车厢的最前端，4ｓ后，第一节车厢末端经过此人.若电车做匀加速直线运动，求电车开动多长时间，第四节车厢末端经过此人?(每节车厢长度相同)
解析：做初速度为零的匀变速直线运动的物体通过连续相等位移的时间之比为：
)1(:......:)34(:)23(:)12(:1-----n n
故前4节车厢通过的时间为：s s 84)]34()23()12(1[=⨯-+-+-+ 答案：8s 重点、热点题型探究
刹车问题、图象问题、逆向思维及初速度为零的匀加速直线运动的推论公式既是考试的重点，也是考试的热点．
热点1：图表信息题
[真题1]要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道．求摩托车在直道上行驶所用的最短时间．有关数据见表格．
某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v 1＝40 m/s ，然后再减速到 v 2＝20m/s ，t 1 = v 1/ a 1 = …；t 2 = （v 1－v 2）/ a 2= …；t=t 1 + t 2
你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法算出正确结果．
[解析]不合理 ，因为按这位同学的解法可得 t 1=10s ，t 2=2.5s ，总位移 s 0=275m ＞s ．故不合理．由上可知摩托车不能达到最大速度v 2，设满足条件的最大速度为v ，则
222212
22v v v s a a -+=，解得 v=36m/s 又 t 1= v/a 1
=9s t 2=(v-v 2)/a 2=2 s 因此所用的最短时间 t=t 1+t 2=11s
[答案] 11s
[名师指引]考点：匀变速值线运动规律．分析时要抓住题目提供的约束条件，对于机动车类问题必须满足安全条件．
[真题2]如图1-2-1，质量为 10 kg 的物体在 F ＝200 N 的水平推力作用下，从粗糙斜面的底端由静止开始沿斜面运动，斜面固定不动，与水平地面的夹角θ＝37O
．力 F 作用2秒钟后撤去，物体在斜面上继续上滑了1.25 秒钟后，速度减为零．求：物体与斜面间的动摩擦因数μ和物
体的总位移 s ．（已知 sin37o ＝0.6，cos37O
＝0.8，g ＝10 m/s 2
）
[解析]物体受力分析如图1-2-2所示，设加速的加速度为 a 1，末速度为 v ，减速时的
图1-2-1
2
图1-2-15
加速度大小为 a 2，将 mg 和 F 分解后，由牛顿运动定律得
N=Fsin θ+mgcos θ，Fcos θ－f －mgsin θ=ma 1 ，根据摩擦定律
有 f=N ，加速过程由运动学规律可知 v=a 1t 1 撤去 F 后，物体减速运动的加速度大小为 a 2，则 a 2=g cos θ由匀变速运动规律有 v=a 2t 2 有运动学规律知 s= a 1t 12
/2 + a 2t 22
/2代入数据得μ=0.4 s=6.5m
[答案] μ=0.4 s=6.5m
[名师指引]考点：力、牛顿运动定律、匀变速直线运动规律．这是典型的力与运动综合问题，先受力分析，再应用牛顿定二定律和匀变速直线运动规律列方程求解． 针对训练：
１．电梯在启动过程中，若近似看作是匀加速直线运动，测得第1s 内的位移是2m ，第2s 内的位移是2.5m ．由此可知（ ）
A ．这两秒内的平均速度是2.25m/s
B ．第3s 末的瞬时速度是2.25m/s
C ．电梯的加速度是0.125m/s 2
D ．电梯的加速度是0.5m/s 2
2．如图1-2-15所示，一个固定平面上的光滑物块，其左侧是斜面AB ，右侧是曲面AC ，已知AB 和AC 的长度相同，甲、乙两个小球同时从A 点分别沿AB 、CD 由静止开始下滑，设甲在斜面上运动的时间为t 1，乙在曲面上运动的时间为t 2，则( )
A ．t 1＞t 2
B ．t 1＜t 2
C ．t 1＝t 2
D ．以上三种均可能
3．一质点沿直线运动时的速度—时间图线如图1-2-16所示，则以下说法中正确的是（ ）
A ．第1s 末质点的位移和速度都改变方向．
B ．第2s 末质点的位移改变方向．
C ．第4s 末质点回到原位．
D ．第3s 末和第5s 末质点的位置相同．
4．某一时刻a 、b
两物体以不同的速度经过某一点，并沿同一方向做匀加速直线运动，已知两物体的加速度相同，则在运动过程中 （ ）
A ．a 、b 两物体速度之差保持不变
B ．a 、b 两物体速度之差与时间成正比
图1-2-2
C ．a 、b 两物体位移之差与时间成正比
D ．a 、b 两物体位移之差与时间平方成正比
5．汽车以20m/s 的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5m/s 2
，则它关闭发动机后通过t=37.5m 所需的时间为（ ）
A.3s;
B.4s
C.5s
D.6s
6．一物体作匀变速直线运动,某时刻速度的大小为4m/s,1s 后速度的大小变为10m/s.在这1s 内该物体的( ).
(A)位移的大小可能小于4m (B)位移的大小可能大于10m (C)加速度的大小可能小于4m/s 2
(D)加速度的大小可能大于10m/s 2
.
7．几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点在同一竖直面上，一个物体从斜面上端由静止自由下滑到下端用时最短的斜面倾角为（ ）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．75
8．a 、b 、c 三个物体以相同初速度沿直线从A 运动到B ，若到达B 点时，三个物体的速度仍相等，其中a 做匀速直线运动所用时间t a ，b 先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，所用时间为t b ，c 先做匀减速直线运动，再做匀加速直线运动，所用时间为t c 、t b 、t c 三者的关系（ ）
A ．t a =t b =t c
B ． t a ＞t b ＞t c
C ．t a ＜t b ＜t c
D ．t b ＜t a ＜t c
9．火车在平直轨道上做匀加速直线运动，车头通过某路标时的速度为v 1，车尾通过该路标时的速度为v 2，则火车的中点通过该路标时的速度为：
Ａ、221v v + Ｂ、21v v Ｃ、2121v v v v + Ｄ、2
2
2
21v v +
10. 某物体做初速度为零的匀加速直线运动，已知它第1s 内的位移是2ｍ，那么它在前3s 内的位移是多少？第3s 内的平均速度大小是多大？
11．汽车以20m ／s 的速度作匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m ／s 2
，刹车后6s 内汽车的位移是(ｇ取10ｃm ／s 2
)
Ａ、30ｍ Ｂ、40ｍ Ｃ、10ｍ Ｄ、0ｍ
12．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地．已知飞机加速前进的路程为1600m ，所用的时间为40s ．假设这段运动为匀加速运动，用a 表示加速度，v 表示离地时的速度，则：
A ．s m v s m a /80,/22==
B ．s m v s m a /40,/12==
C ．s m v s m a /40,/802==
D ．s m v s m a /80,/12==
13．一辆汽车关闭油门后，沿一斜坡由顶端以3m/s 的初速度下滑，滑至底端速度恰好为零，如果汽车关闭油门后由顶端以大小为5m/s 的初速度下滑，滑至底端速度大小将为（ ）
A ．1m/s
B ．2m/s
C ．3m/s
D ．4m/s 参考答案
1．【答案】AD ．点拨：前2s 内的平均速度是 2.25m/s m/s =+=+=2
5
.22221T x x v ，选项A 正确；由2
12aT x x =-得22
1
25.0m/s =-=
T
x x a ，选项D 正确，选项C 错误；第1s 末的速度为等于前2s 内的平均速度，所以选项B 错误，第3s 末的速度应为
3.25m/s m/s m/s 1s 3s =⨯+=+=25.025.2at v v ．
2．【答案】A ．点拨：抓住两点：一是甲和乙到达B 和C 具有相同的速率，二是甲做匀加速运动，乙做加速减小的加速运动，再画出速率时间图像，利用速率时间图线与坐标轴围成的面积表示路程即可迅速求解．
3．【答案】CD ．
4．【答案】AC ．点拨：因a 、b 两物体的加速度相同，因此a 相对b 是做匀速直线运动，选项A 正确；a 、b 两物体的位移之差就等于a 与b 间的相对距离，故选项C 正确．
5．解析：因为汽车经过t 0=s a
V 400
=-已经停止运动，4s 后位移公式已不适用，故t 2=5s 应舍去．即正确答案为A ．
[常见错解]设汽车初速度的方向为正方向，即V 0=20m/s,a=－5m/s 2
,s=37.5m. 则由位移公式2021at t V s +
=得：5.3752
1
202=⨯-t t 解得：t 1=3s,t 2=5s.即A 、C 二选项正确． 6．解析：本题的关键是位移、速度和加速度的矢量性．若规定初速度V 0的方向为正方向，则仔细分析“1s 后速度的大小变为10m/s ”这句话，可知1s 后物体速度可能是10m/s ，也可能是-10m/s,因而有：
同向时，.72
,/6/1410012201m t V V S s m s m t V V a t
t =+==-=-=
反向时，.32
,/14/1410022202m t V V S s m s m t V V a t
t -=+=-=--=-=
式中负号表示方向与规定正方向相反．因此正确答案为A 、D ．
7．B 解析：设斜面倾角为α，斜面底边的长度为l ，物体自光滑斜面自由下滑的加速度为sin a g α=，不同高度则在斜面上滑动的距离不同：cos l
s α
=
，由匀变速直线运动规
律有：
21sin cos 2l g t αα=⋅，所以滑行时间：t =，当s i n 21α=时，即22
π
α=
，
4
π
α=
时滑行时间最短．
8．D 解析：用v-t 图象分析，由于位移相同，所以图线与时间轴围成的几何图形的面积相等，从图象看t b ＜t a ＜t c
9. D ；解析：该题可以换一角度，等效为：火车不动，路标从火车头向火车尾匀加速运动，已知路标经过火车头和尾时的速度，求路标经过火车中间时的速度为多大？设火车前长
为2L ，中点速度为2
s v ，加速度为a ，根据匀变速运动规律得：)1...(..........
22
122
aL v v s =- )2.( (22)
2
2
2aL v v s =-联立（1）（2）两式可求得D 项正确．
10．解析：初速度为零的匀变速直线运动第1s 内、第2s 内、第3s 内、……的位移之比为.....:7:5:3:1，由题设条件得：第3s 内的位移等于10m ，所以前3s 内的位移等于（2+6+10）m=18m ；第3 s 内的平均速度等于：
s m s
m
/10110= 11．B ；解析：首先计算汽车从刹车到静止所用的时间：s s m s m a v t 4/5/202
00===
，汽车刹车6s 内的位移也就是4s 内的位移，即汽车在6s 前就已经停了．故6s 内的位移：
m a
v
s 4022
0==
12．A 解析：212s at =
，有2222221600/2/40
s a m s m s t ⨯===，80/v at m s == 13．D 解析：2
02v as =，2/202t v v as -=-，4/t v m s =。