广东省广州市第一一三中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析

广州市第一一三中学高一数学12月月考试题本试卷满分150分,考试时间120分钟,不允许使用计算器． 注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2．答案必须填写在答题纸的相应位置上,答案写在试题卷上无效． 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分） 1.若点(,)p x y 是330︒角终边上异于原点的一点,则xy的值为( ) A. 3 B. 3-C.3 D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义知tan 330yx︒=，计算即可. 【详解】解：由题意知，3tan 330tan 303y x ︒︒==-=-， 则3xy=-， 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题. 2.已知圆的半径为cm π，则120的圆心角所对的弧长是（ ）A.3cm πB.23cm πC. 23cm πD. 223cm π【答案】D 【解析】试题分析：由弧长公式得：，故选项D.考点：弧长公式.3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：由此可以判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是 ( ) A. (－3，－1)和(2,4) B. (－3，－1)和(－1,1) C. (－1,1)和(1,2) D. (－∞，－3)和(4，＋∞)【答案】A 【解析】由表格可得二次函数f x （） 对称轴为011022x a +==，＞， 再根据310240f f f f --（）（）＜，（）（）＜ ，可得f x （）的零点所在的区间是31--（，）和24（，），即方程20ax bx c ++= 的两个根所在的区间是31--（，） 和24（，）， 故选A ．4.sin 600tan 240+的值是（ ）A. C. 12-+ D.12【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式求解三角函数式的值即可.【详解】由诱导公式得()()sin 600tan 240sin 180360tan 18060+=⨯+++sin 60tan 60=-+=+=故选B.【点睛】本题主要考查诱导公式及其应用，特殊角的三角函数值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5.函数12cos[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是( )A. 3π,2-,4π B. 3π,2,12πC. 6π,2,712π D. 6π,2,4π 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，写出函数的振幅、周期和初相即可.【详解】解：由已知函数1172cos()2sin()312312y x x ππ=+=+， 振幅是2A =，周期是2613T， 初相是712πϕ=.故选：C.【点睛】本题考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质的应用问题，是基础题.6.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A. 3 B. 1 C. －1 D. －3【答案】D 【解析】【详解】∵f（x ）是定义在R 上的奇函数， 当x≥0时，f （x ）=2x+2x+b （b 为常数）， ∴f（0）=1+b=0， 解得b=-1∴f（1）=2+2-1=3． ∴f（-1）=-f （1）=-3． 故选D ．7.为了得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin(2)3y x π=-的图象A. 向左平行移动3π个单位 B. 向左平行移动6π个单位 C. 向右平行移动3π个单位D. 向右平行移动6π个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得结论． 【详解】∵将函数y ＝sin （2x 3π-）的图象向左平行移动6π个单位得到sin[2（x 6π+）3π-]= sin2x ， ∴要得到函数y ＝sin2x 的图象，只需将函数y ＝sin （2x 3π-）的图象向左平行移动6π个单位．故选B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题． 8.函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数C. 周期为π2的奇函数 D. 周期为π2的偶函数【答案】D 【解析】【详解】∵f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．结合图象可得函数f (x )的周期为π2T =． 故选D ．9. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）A. 24sin()33x y π=+B. 224sin()33x y π=- C .24cos()33x y π=+ D. 224cos()33x y π=- 【答案】A 【解析】试题分析：设，根据函数的最大值，得到,函数的周期,所以，，当时，，解得，所以，若要设，那么时，，解得，那么，故选A.考点：的图像【易错点睛】考察了的图像，属于基础题型，本题中的振幅，周期都好求，就是容易求出，函数与X 轴的一个交点是，会错写成，当时，这样求得的，注意是函数与x 轴的交点，是减区间的交点，所以此时代入,这时本题容易出错的一个地方.10.在()0,2π内,使sin cos x x >成立的x 的取值范围为( )A. (,)4ππB. 5(,)44ππ C. 5(,)424ππππ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭， D. 53(,)444ππππ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭， 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角函数线写出满足不等式的解集即可.【详解】解：在()0,2π内，画出sin x 与cos x 对应的三角函数线是MT ，OM ，如图：满足在()0,2π内，使sin cos x x >的即MT OM >， 所以所求x 的范围是：5(,)44ππ，故选：B.【点睛】本题考查三角函数线解答不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用.注意三角函数线与线段的区别. 11.函数是周期为π的偶函数，且当[0,)2x π∈时，()31f x x =-，则8()3f π的值是（ ）. A. 4- B. 2-C. 0D. 2【答案】D 【解析】因为函数()f x 是周期为π的偶函数， 所以8()()()3123333f f f ππππ=-==-= 12.给下面的三个命题:①函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是2π ②函数3sin()2y x π=-在区间3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增 ③54=x π是函数5sin(26y x π=+）的图象的一条对称轴． 其中正确的命题个数( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】①根据函数sin(2)3y x π=+的最小正周期判断正误；②利用函数3sin()2y x π=-在区间上的单调递增区间判断；54=x π代入函数5sin(26y x π=+）的求出最值，说明是否是对称轴，判断③的正误.【详解】解：sin(2)3y x π=+的最小正周期22T ππ==，故sin(2)3y x π=+的最小正周期是2π，①正确； 33,,0222x x ππππ⎡⎫⎡⎫∈⇒-∈-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，故3sin()2y x π=-在区间3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，②正确； 5523463ππππ⨯+=+，故sin 13(3y ππ+=≠±），故54=x π不是5sin(26y x π=+）图象的对称轴，③不正确. 故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的基本性质，能够利用三角函数的基本性质解决函数的选择问题，是高考常考题型，是基础题.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.63log 2714125g g -++=_______【答案】71 【解析】 【分析】利用指数，对数的运算性质运算即可.【详解】解：()66633233log 271412532log 31425g g g -++=⨯-+⨯983271=⨯-+=，故答案为：71.【点睛】本题考查指数，对数的运算性质，是基础题.14.一个扇形的面积为1，周长为4，则此扇形中心角的弧度数为____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式,列出关于圆心角和半径的方程,即可求出【详解】设扇形的半径为r ,中心角为α,所以211242r r rαα⎧=⎪⎨⎪=+⎩,解得2α=,1r =, 故答案为2．【点睛】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式的应用．15.函数224sin 4cos y x x =--的最大值是_______函数取最大值时对应的x 的值是_______ 【答案】 (1). 6 (2). 2,2x k k Z ππ=-∈【解析】 【分析】化余弦为正弦，然后利用二次函数最值的求法求得函数的最值，并求得使函数取得最值时x 的取值.【详解】解：()222124sin 41sin 24sin 44sin 2c s 3o x x x y x x ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭=--，当sin 1x =-，即2,2x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最大值，最大值为24(1)4(1)26⨯--⨯--=.故答案为：6；2,2x k k Z ππ=-∈.【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，也考查了二次函数在闭区间上的最值问题，是基础题.16.已知函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪⎩，，，＞若对任意的x R ∈，不等式()234f x m m ≤-恒成立,则实数m 的取值范围是________. 【答案】14m ≤-或m 1≥ 【解析】 【分析】求出分段函数的最大值，不等式23()4f x m m ≤-恒成立等价于2max 3()4f x m m ≤-，又max 1()4f x =，解不等式求出实数m 的取值范围即可. 【详解】解：①当1x ≤时，211()()24f x x x x =-+=--+，则1(),4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，②当1x >时，13()log f x x =，即 ()(),0f x ∈-∞，综上可知：max 1()4f x =， 则21344m m ≤-， 解得14m ≤-或m 1≥，故答案为: 14m ≤-或m 1≥.【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，主要考查了由不等式恒成立求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题.三、解答题（本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知02πα<<,4sin 5α. （1）求tan α值；（2）求sin()2cos 2sin()cos()παπααπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值.【答案】(1) 4tan 3α=；(2) 4. 【解析】 【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出3cos 5α=,即可求得tan α的值；(2)把要求的式子利用诱导公式化为sin sin cos ααα-,进而而求得结果.【详解】(1) 因为02πα<<，4sin 5α， 故3cos 5α=，所以4tan 3α=，(2) sin()2cos sin 2sin 2sin()cos()sin cos παπααααπααα⎛⎫+-+ ⎪-+⎝⎭=--++-4sin tan 44sin cos ta 1313n ααααα====--- 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于基础题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.18.(1)利用“五点法”画出函数1()sin()26f x y x π==+在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:作图:(2)并说明该函数图象可由sin (R)y x x =∈的图象经过怎么变换得到的. (3)求函数()f x 图象的对称轴方程.【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) 22,3x k k Z ππ=+∈. 【解析】 【分析】(1)先列表如图确定五点的坐标，后描点并画图，利用“五点法”画出函数1sin()26y x π=+在长度为一个周期的闭区间的简图；(2)依据sin y x =的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再把所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到12sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；(3)令1262x kx ππ+=+，求出x 即可. 【详解】解:（1）先列表,后描点并画图126x π+ 02ππ32π 2πx3π-23π 53π 83π 113πy 0 1-1；（2）把sin y x =的图象上所有的点向左平移6π个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到1sin()26y x π=+的图象，即1sin()26y x π=+的图象； （3）由12,2,2623x kx x k k Z ππππ+=+=+∈， 所以函数的对称轴方程是22,3x k k Z ππ=+∈. 【点睛】本题考查五点法作函数sin()y A x ωϕ=+的图象，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，考查计算能力，是基础题.19.已知()()2sin 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求ω的值，并求()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（1）1ω=，(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]1,2-【解析】试题分析：（1）由最小正周期为π，得1ω=，由222262k x k πππππ-+≤-≤+，()k Z ∈，即可解得()f x 的单调递增区间； （2）由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而可得值域. 试题解析：解：(1)由()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，得22ππω=，∵0ω>，∴1ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令26z x π=-，则2sin y z =，sin z 的单调递增区间为()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 由2222k z k ππππ-+≤≤+得63k x k ππππ-+≤≤+，故()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)因为50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故()f x 的值域为[]1,2-.点睛：研究三角函数()()f x Asin x ωϕ=+的性质，最小正周期为2πω，最大值为A .求对称轴只需令π2,2x k k Z ωϕπ+=+∈，求解即可， 求对称中心只需令,x k k Z ωϕπ+=∈，单调性均为利用整体换元思想求解.20.已知函数f (x )＝log a (x ＋2)－1(a ＞0，且a ≠1)，g (x )＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭x －1. (1)若函数y ＝f (x )的图象恒过定点A ，求点A 的坐标；(2)若函数F (x )＝f (x )－g (x )的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，试证明函数F (x )在x ∈(1,2)上有唯一零点．【答案】(1) 过点A (－1，－1),(2) 函数F (x )在(1,2)上有唯一零点 【解析】试题分析:(1)由对数函数log ay x =恒过点(1,0)可得,令x+2=1,则()log 2log 10a a x +==,即图象恒过A(－1，－1);(2)先求出函数F(x)的解析式,根据图象恒过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求出a 值,代回进而确定函数在(1,2)上是增函数,根据零点存在性定理可判断出零点唯一. 试题解析:(1)∵函数y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，∴函数f (x )＝log a (x ＋2)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点A (－1，－1)．(2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x ＋2)－1－12⎛⎫ ⎪⎝⎭x －1，∵函数F (x )的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴F (2)＝12，即log a 4－1－12⎛⎫⎪⎝⎭2－1＝12， ∴a ＝2.∴F (x )＝log 2(x ＋2)－12⎛⎫⎪⎝⎭x －1－1. ∴函数F (x )在(1,2)上是增函数． 又∵F (1)＝log 23－2＜0，F (2)＝12＞0， ∴函数F (x )在(1,2)上有零点， 故函数F (x )在(1,2)上有唯一零点．21.如图，函数2sin()y x πϕ=+，x ∈R 其中02πϕ≤≤的图象与y 轴交于点(0,1)．（1）求ϕ的值；（2）求函数2sin()y=x πϕ+的单调递增区间； （3）求使1y ≥的x 的集合．【答案】（1）6π,（2）2212233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ,（3）2|22,3x k x k k ⎧⎫≤≤+≡⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解； （2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可； （3）由1y ≥，求解不等式1sin 62x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可得解.【详解】解：（1）因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin 1=ϕ，即1sin 2ϕ=．因为02πϕ≤≤，所以6π=ϕ．（2）由（1）得2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当22262k x k ππππππ-+≤+≤+，k Z ∈，即212233k x k -+≤≤+，k Z ∈时， 2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是增函数，故2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为212,233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（3）由1y ≥，得1sin 62x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 所以522666k x k ππππππ+≤+≤+，k Z ∈， 即2223k x k ≤≤+，k Z ∈， 所以1y ≥时，x 的集合为2|22,3x k x k k Z ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.22.已知函数()cos()(0)2f x x A πωϕωω=+>，>0,0<<的部分图象,如图所示.(1)求函数解析式; (2)若方程()f x m =在13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个不同的实根,求m 的取值范围. 【答案】(1) ()cos(2)3f x x π=+ (2) 1m =,或者(1,0)m ∈-【解析】 【分析】(1)由图象可得周期，进而得ω，由五点作图的知识可得ϕ； (2)作出函数()cos(2)3f x x π=+在13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，以及直线y m = 可得结论. 【详解】解答(1)由题中的图象知,5263T ππ=-,即T π=， 所以22Tπω==,根据五点作图法， 令23πϕπ⨯+=,得到3πϕ=,所以()cos(2)3f x x π=+；(2)由()cos(2)3f x x π=+在13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象知，当1m =,或者(1,0)m ∈-上有两个不同的实根.【点睛】本题是由三角函数图象和函数方程的结合,主要训练学生运用五点作图法来找出五角函数,利用函数方程的观点进行分析和解决求根问题.。