截面面积及惯性矩计算教学提纲
惯性矩的计算方法
第1节静矩和形心4.1静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关.而口与构件截面的几何形状和尺寸有关.如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面而积A ,计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I?等.A、1?等是从不同角度反映了截而的几何特性，因此称它们为截而图形的几何性质.4.1静矩和形心设有一任意截而图形如图4 一1所示，其面积为A .选収直角坐标系yoz ,在坐标为（y,z）处取一微小而积dA ,定义微而积dA乘以到y轴的距离z ,沿整个截面的积分，为图形对y轴的静矩S?,其数学表达式(4 -la )同理，图形对z轴的静矩为□4-1图41截面静矩与坐标轴的选取有关•它随坐标轴y、z的不同而不同.所以静矩的数值可能足正，也可能足负或定零.静矩的虽纲为长度的三次方.确定截面图形的形心位置（图4-1中C点）:A (4-2b)第1页共30页式中T、"为截而图形形心的坐标值.若把式（4-2）改写成心"•儿，為"•乙（4 3）性质：・若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心.・若坐标轴通过截而形心，则截而对此轴的静矩必为零.・山于截而图形的对称轴必定通过截而形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是山若干简单图形（如矩形、圆形等）组合g而成的.对于这样的组合截而图形，计算静矩（S»‘ r）与形心坐标（y*、z '）时，可用以下公式1-1 2-1式中A— y i , z i分别表示第，个简单图形的面积及其形心坐标值，n为组成组合图形的简单图形个数.即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和.组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积.组合截面图形有时还可以认为是山一种简单图形减去另一种简单图形所组成的.例4J己知T形截面尺寸如图4-2所示，试确定此截面的形心坐标值.i-1 i-1 (4-5)图4-2解：(1)选参考轴为y 轴，z 轴为对称轴,(2)将图形分成I 、口两个矩形，则= 20 x 100加朋 S 右=(10 + 140)^^34 = 2Q X 14%/,22 二注型(3)代入公式(4・5)20x100x150+20x140x70 20x100 + 20x140此=°4.2惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形(图4-3),其而积为A ・选取直角坐标系yoz ,在坐标为(y 、z)处取一微小面积dA ,定义此微2面积dA 乘以到坐标原点o 的距离的平方Q ,沿整个截面积分，为截而图形的极惯性矩I?.做而积dA 乘以到坐标轴y 的2距离的平方2 ,沿整个截而积分为截面图形对y 轴的惯性矩I 》•极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩.j.l ~2Z4数学表达式为打=f p^dA极惯性矩“俎（4-6）对y轴惯性矩图4-3山图4-3看到“ =y +Z 9所以有打=\A^dA= £cy2 +/）曲二必+加必即；? （4-8）式（4-8）说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
ACAD计算截面面积惯性矩
ACAD计算截面面积惯性矩截面的面积和惯性矩是结构工程中常用的参数，用于计算杆件或梁的强度和刚度。
在计算截面的面积和惯性矩时，我们可以使用图形的几何性质或者积分的方法。
首先，让我们来讨论如何计算截面的面积。
截面的面积可以通过以下几种方式进行计算：1.矩形截面：如果截面是一个矩形，其宽度为b，高度为h，那么截面的面积可以直接通过乘积bh来计算。
例如，如果一个矩形截面的宽度为10厘米，高度为20厘米，则截面的面积为200平方厘米。
2.圆形截面：如果截面是一个圆形，其半径为r，那么截面的面积可以通过公式πr^2来计算，其中π是圆周率。
例如，如果一个圆形截面的半径为5厘米，则截面的面积为25π平方厘米。
3.不规则形状截面：对于不规则形状的截面，我们可以使用数值积分方法来计算其面积。
数值积分方法可分为梯形法则、辛普森法则以及龙贝格法则等。
这些方法都是通过将截面分割为若干小矩形或梯形，然后对这些小矩形或梯形的面积求和来计算截面的面积。
例如，如果一个不规则形状的截面被分割为多个小梯形，我们可以通过计算每个小梯形的面积，并将这些面积相加，得到截面的面积。
接下来，我们将讨论如何计算截面的惯性矩。
截面的惯性矩是描述其刚度和抗弯扭转能力的重要参数，它可以通过以下几种方式进行计算：1.矩形截面：如果截面是一个矩形，其宽度为b，高度为h，那么截面的惯性矩可以通过公式(1/12)bh^3来计算。
例如，如果一个矩形截面的宽度为10厘米，高度为20厘米，则截面的惯性矩为(1/12)(10)(20^3)=6666.67厘米^42.圆形截面：如果截面是一个圆形，其半径为r，那么截面的惯性矩可以通过公式(1/4)πr^4来计算。
例如，如果一个圆形截面的半径为5厘米，则截面的惯性矩为(1/4)π(5^4)=2945.94厘米^43.不规则形状截面：对于不规则形状的截面，我们可以使用数值积分方法来计算其惯性矩。
类似于计算截面面积的方法，我们可以将截面分割为若干小矩形或梯形，并计算每个小矩形或梯形的惯性矩，然后将这些惯性矩相加，得到截面的惯性矩。
惯性矩地计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：（一）.截面静矩和形心1•静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dS y xdAdSx ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为S y xdAyASx 人 ydA2.形心与静矩关系(1-1 )设平面图形形心C的坐标为y c,z c-S x 一S y /、y ， x (I-2 )A A推论1如果y轴通过形心（即x0），则静矩S y 0 ；同理，如果X轴通过形心（即y o），则静矩sx o；反之也成立。
推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A,A2,A3 A n的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为丘，只；乂2*2；x3,y3 ，贝U图形对y轴和x轴的静矩分别为截面图形的形心坐标为nA i Xi 1 nA ii 14•静矩的特征（1） 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
（2） 静矩有的单位为m 3。
（3） 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
（4） 若已知图形的形心坐标。
则可由式（1-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2 ）求图形的形心坐标。
组 合图形的形心位置，通常是先由式（I-3 ）求出图形对某一坐标系的静 矩，然后由式（1-4 ）求出其形心坐标。
（二）•惯性矩 惯性积 惯性半径1.惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3 ），则图形对0点的极 惯性矩定义为 I p2dA （1-5）KAn nS yS yiARi 1 i 1nnS xSxiA i Vi 1 i 1(1-3 )A i y i(1-4 )图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为I y A x2dA , I x A y2dA （1-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
惯性矩、抵抗矩、面积矩.ppt
tg2 0
2I xcyc I xc I yc
主惯性矩：I x0 I x I y
I y0
2
(
Ix
2
Iy
)2
I
2 xy
2、形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩
2I
tg 2
xcyc
0
I I
xc yc
形心主惯性矩：
I
x
c0
I xc
C2
C1（0，0） 图（a） C2（-35，60）
C1
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 10110 8010
图（a）
y 6010110 34.7 10110 8010
y
2、用负面积法求解，图形分割及坐标
如图（b）
负面积
CC11 C2
x
C1（0，0） C2（5，5）
须 为
形
心
y
例6-3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩.
解 ：求解此题有两种方法：一是安
定义直接积分；二是用平行移轴
d
x定理等知识求。O来自建立形心坐标如图,求图形对形心轴
的惯性矩。
B
I
d
4
I
I
圆 2 I
P 32
xy
x
Ix
Iy
IP 2
d 4
64
I AB
Ix
d2A
d 4
64
d 4
4
5d 4
64
x
xi Ai
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
1
HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
HOHAI UNIVERSITY
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32y13HOHAI UNIVERSITY
14
HOHAI UNIVERSITY
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
常用截面惯性矩与截面系数的计算
常用截面惯性矩与截面系数的计算截面的惯性矩是描述截面抗弯刚度大小的一个物理量，常用于结构力学和工程设计中。
截面系数是截面抗弯性能的一个重要参数，它表示截面抵抗外力作用下的变形能力。
下面将介绍一些常用的截面惯性矩和截面系数的计算方法。
1.矩形截面：矩形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=(b*h^3)/12其中，I表示矩形截面的惯性矩，b表示矩形截面的宽度，h表示矩形截面的高度。
矩形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=(b*h^2)/6其中，W表示矩形截面的截面系数。
2.圆形截面：圆形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=π*r^4/4其中，I表示圆形截面的惯性矩，r表示圆形截面的半径。
圆形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=π*r^3/3其中，W表示圆形截面的截面系数。
3.正三角形截面：正三角形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=b*h^3/36其中，I表示正三角形截面的惯性矩，b表示正三角形截面的底边长度，h表示正三角形截面的高度。
正三角形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=b*h^2/24其中，W表示正三角形截面的截面系数。
4.T形截面：T形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=(b1*h1^3+b2*h2^3)/12其中，I表示T形截面的惯性矩，b1和b2分别表示T形截面的上下翼缘的宽度，h1和h2分别表示T形截面的上下翼缘的高度。
T形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=(b1*h1^2+b2*h2^2)/6其中，W表示T形截面的截面系数。
需要注意的是，上述给出的公式仅适用于一些常见的截面形状，并且仅考虑了截面的几何特性。
在实际的工程设计中，还需要考虑材料的弹性模量等参数，并基于这些参数进行更精确的计算。
此外，还有一些其他复杂截面的惯性矩和截面系数的计算公式，如梯形截面、圆环截面等。
对于这些复杂截面的计算，可以借助数值方法或计算机辅助设计软件进行求解。
总之，截面的惯性矩和截面系数是结构力学和工程设计中常用的参数，通过计算这些参数可以评估截面的抗弯刚度和抗剪性能，为工程结构的设计提供依据。
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
I z y dA 2 y R y dy ; A R 4 64 D 4 由对称性：I y I z ; 由几何关系： 2＝y 2 z 2 , 64
2 2 2 2 R
R 4
D 4
I P 2 dA ( y 2 z 2 )dA I Z I y .
A A
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
A
z1 y1dA ( y a) 2 dA y 2 dA 2a ydA a 2 dA
z z1 z 2 117 2 17105 3.34105 cm4 ;
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小
结
ห้องสมุดไป่ตู้
S y z dA A zc ; 一、静矩： S z A y dA A yc ; A 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
1 y1 2 y2 yc 1 2
500 5 500 10 25 20cm; 500 500
I z1 y1 I zy abA ;
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 I zo yo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
惯性矩的计算方法与常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x= ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii ni yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩有的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
第六章 截面的几何性质
第一节 • 静矩和形心 • 第二节 • 第三节 • 第四节 • • 第五节 • 惯性矩和惯性积 惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 组合截面惯性矩的计算 小结 返回
2 2 2 2 R
R 4
D 4
I P 2 dA ( y 2 z 2 )dA I Z I y .
A A
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
A
z1 y1dA ( y a) 2 dA y 2 dA 2a ydA a 2 dA
n
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
S z Ai yci ;
i 1
S y Ai zci ;
i 1
n
四、组合截面形心公式：
yc
A y
i 1 i
n
ci
A
i 1
n
;
zc
A z
i 1 i
n
ci
i
A
i 1
n
;
i
例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
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惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式惯性矩（也称为惯性矩、二阶矩）是描述物体抵抗绕轴旋转的特性的物理量。
在工程中，惯性矩常用于计算和设计梁、轴等结构的强度和稳定性。
本文将介绍惯性矩的计算方法以及常用的截面惯性矩计算公式。
惯性矩的计算方法主要有几何法、积分法和转动倾斜坐标等方法。
1.几何法：几何法是一种通用的计算惯性矩的方法，适用于简单的几何形状，如矩形、圆形等。
几何法的思想是将复杂的截面分解为简单的几何形状，并使用其相关的公式计算每个部分的惯性矩，然后将它们相加。
2.积分法：积分法是一种基于微积分的方法，适用于复杂的截面形状。
该方法基于将截面分割为无穷小的面积元，然后使用积分计算每个面积元的惯性矩，并将它们相加得到整个截面的惯性矩。
3.转动倾斜坐标：转动倾斜坐标是一种特殊的坐标系选择方法，适用于具有对称轴的截面。
在该方法中，坐标轴被选择为与截面的对称轴对齐，这样会使得部分惯性矩相消，从而简化惯性矩的计算。
下面介绍几个常见截面形状的惯性矩计算公式：1.矩形截面：- 矩形的惯性矩计算公式：I = (bh^3)/12，其中b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
2.圆形截面：-圆形的惯性矩计算公式：I=πr^4/4，其中r为圆的半径。
3.圆环截面：-圆环的惯性矩计算公式：I=π(R^4-r^4)/4，其中R为外圆半径，r 为内圆半径。
4.T形截面：-T形的惯性矩计算公式：I=(b1h1^3)/12+b1h1(y1-y)^2+(b2h2^3)/12，其中b1和b2为宽度，h1和h2为高度，y为距离底边的垂直距离。
这些是一些常见的截面形状的惯性矩计算公式，对于其他复杂的截面形状，可以使用几何法、积分法或转动倾斜坐标方法来计算惯性矩。
总结起来，惯性矩是描述物体抵抗绕轴旋转的特性的物理量。
惯性矩的计算方法主要有几何法、积分法和转动倾斜坐标等方法。
常见截面的惯性矩计算公式包括矩形截面、圆形截面、圆环截面和T形截面。
这些公式在结构工程中广泛应用，可以帮助工程师设计和计算各种结构的强度和稳定性。
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式讲解
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdAdS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0A S y x=， AS x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii n i yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩有的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
截面惯性矩、截面模量、回旋半径的计算公式
关于609钢管长细比的计算
1、长细比计算步骤
首先计算出惯性矩I ，对于圆管的惯性矩可根据下列公式计算：
)1(6444απ-=
D I 其中D d /=α，d 为圆管内径，D 为圆管外径。
A I
=i
其中A 为截面面积，对于圆管截面22
)1(4απ-=
D A
长细比λ计算公式:
i l
μλ=
式中l 为竿的长度，μ为长度因数，其值由竿端约束情况决定。
例如，两端铰支的细长压杆，μ=1；一段固定、一段自由的细长压杆，μ=2；两端固定的细长压杆，μ=0.5；一段固定一段铰支的细长压杆，μ=0.7。
受压杆件的容许长细比
2、609钢管参数参数
钢管外径D=609mm ，内径d=603mm ，壁厚3mm ，钢材为Q235级钢。
3、长细比计算
钢管惯性矩)1(6444
απ-=D I =3.14*6094*[1-(603/609)
4]/64=262053178.4mm4
截面面积2
2
)1(4απ-=D A =3.14*6092*[1-(603/609)]2/4=28.26mm2
A I
=i =3045.15
=2*5916/3045.15=3.9<200
i l
μλ=。
截面惯性矩(材料力学)(仅供借鉴)
SZ SZ1 SZ 2 ... SZn ydA ydA ... ydA Ai yCi
A1
A2
An
n
yC
Sz
Ai yCi i1
Ai
Ai
n
ZC
Sy
Ai ZCi i1
Ai
Ai
一类参考
§Ⅰ- 4平行移轴公式
1.平行移轴定理：
y
yC
x
dA
a
Cy b
以形心为原点，建立与原坐标轴
平行的坐标轴如图
xaxC yb yC
I x
y 2dA
A
xC
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
x
I xC 2bSxC b2 A
FN 2 F1 F2
F4
10 20 10kN
25 CD段 Fx 0
FN3 F4 25kN
x 10 一类参考
2、绘制轴力图。 39
三、应力概念、拉（压）杆横截面上的应力
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面 积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
一类参考
yC
xCi Ai
A (正负面积法公式 ) yCi Ai
A
S x一类参考yC A xC SxC A yC 4
Sy AxC Ai xCi xdA
A
2.形心公式
Sx AyC Ai yCi ydA
A
xC
Ai xi A
yC
惯性矩抵抗矩面积矩
例6-4-1 在矩形内挖去一与上边 解 ： 、建立坐标系如图。
内切的圆，求图形的形心主轴。
(b=1.5dy)
yc
x
xi A
、求形心位置。
Ai 0 0 A
O
x1
x
xc
y
yi Ai A
d d 2
2 3d 2
4
d 2
0.177d
4
、建立形心坐标系；求：Iyc ， Ixc ，Ixcyc
1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有
Ix 0y 0 (Ix 2Iysi2n 0 Ixc y o 20s ) 0
与 0 对应的旋转轴x 0 y 0 称为主惯性轴；平面图形对主轴 之惯性矩主惯性矩。
tg20
2Ixcyc Ixc Iyc
主惯 I Ix y性 0 0Ix 2 矩 Iy： (Ix 2Iy)2Ix 2y
I I abA
点
xy xcyc
必
I I (a b)2A P Pc
须 为
形
心
y
例6-3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩.
解 ：求解此题有两种方法：一是安
定义直接积分；二是用平行移轴
d
x
定理等知识求。
O
建立形心坐标如图,求图形对形心轴
的惯性矩。
B
I
d
4
I
I
圆 2 I
P 32
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
A
I xy xydA
A
！如果 x 或 y 是对称轴，则，Ix y =0
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
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分块截面A i
分块面积形心至上缘距离y i
分块面积对上缘静矩S i =A i y i
全截面重心
到上缘距离
y js (y os )
分块面积的
自身惯性矩I i
cm 2cm cm 3cm
cm 4
毛截面
13338.7582.59721101743.4069140983.01
扣除管道面积-352.57177.8-62686.95忽略∑12986.18—1039056.4669140983.01毛面积
14238.7577.94531109843.6473588944.31
钢筋换算面积455.70177.881023.46忽略∑
14694.45
—
1190867.10
73588944.31
分块截面A i
分块面积形心至上缘距离y i
分块面积对上缘静矩S i =A i y i
全截面重心
到上缘距离
y js (y os )
分块面积的
自身惯性矩I i
cm 2cm cm 3cm
cm 4
毛截面
13338.7582.59721101743.4069140983.01
扣除管道面积-352.57177.2765-62502.38忽略∑12986.18—1039241.0369140983.01毛面积
14238.7577.94531109843.6473588944.31
钢筋换算面积455.70177.276580784.90忽略∑
14694.45
—
1190628.54
73588944.31
分块截面A i
分块面积形心至上缘距离y i
分块面积对上缘静矩S i =A i y i
全截面重心
到上缘距离
y js (y os )
分块面积的
自身惯性矩I i
cm 2cm cm 3cm
cm 4
毛截面
17459.25
86.4715
1509727.54
76726860.48
跨中截面四分点截面支点截面截面
b 1=250cm
b 1=300cm
截面
b 1=250cm
b 1=300cm
80.012
截面
1=250cm
分块名称分块名称分块名称81.0420
80.0267
81.0257
扣除管道面积-352.75117.2774-41369.60忽略∑17106.50—1468357.9476726860.48毛面积
18359.2582.66721517707.8081890256.92
钢筋换算面积455.70117.277453443.31忽略∑
18814.95
—
1571151.11
81890256.92
85.8363b 1=250cm
b 1=300cm
83.5055
d i =y js -y i
分块面积对截
面形心的惯性矩I p =A i d i 2
I=∑I p +∑I i cm cm 4cm 4
-2.585289146.32
-97.788-3371448.14—-3282301.823.0967136569.67-96.75804266313.78—
4402883.45
d i =y js -y i
分块面积对截
面形心的惯性矩I p =A i d i 2
I=∑I p +∑I i cm cm 4cm 4
-2.570288114.82
-97.2495-3334418.52—-3246303.703.0807135135.88-96.25054221677.14—
4356813.02
d i =y js -y i
分块面积对截
面形心的惯性矩I p =A i d i 2
I=∑I p +∑I i cm cm 4cm 4
-0.6354
7048.88
65858681.1977991827.76
65894679.3177945757.33
-31.4413-348712.90
—-341664.02 0.838512908.06
-33.7717519738.48—532646.5476385196.46 82422903.46。