浙教版九年级数学上册圆的垂径定理,圆心角,圆周角专项20道(无答案)

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浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理.docx

3.3 垂径定理(第1题)1. 如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论错误的是(D ) A ．CE ＝ED B.BC ︵＝BD ︵C ．∠BAC ＝∠BAD D ．AC >AD2．下列说法正确的是(B ) A ．圆的对称轴只有一条B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴(第3题)3．将一圆形纸片对折后再对折，得到如图的形状，然后沿着虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后得到的图形是(B )(第4题)4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则DC 的长为(D ) A ．5 cm B ．2.5 cm C ．2 cm D ．1 cm5. 如图，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为__24__cm.,(第5题)),(第6题))6. 在直径为1000 mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB ＝800 mm ，则油的最大深度为__200__mm.(第7题)7．某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240 m ，A 到BC 的距离为5 m ，如图．请你帮助他们求出滴水湖的半径．【解】设圆心为点O ，连结OA ，OB ，OC ，AB ，AC ，OA 交BC 于点D . ∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ， ∴△OBA ≌△OCA (SSS )， ∴∠BOD ＝∠COD . 又∵OB ＝OC ，∴BD ＝DC ，OA ⊥BC .∴BD ＝12BC ＝120.设OB ＝x .∵AD ＝5，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2， ∴x 2＝(x －5)2＋1202，解得x ＝1442.5.即滴水湖的半径为1442.5 m.(第8题)8．如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 是弦AB 上一点．若OP 的长是整数，则满足条件的点P 有(D )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解】过点O 作OM ⊥AB 于点M ，连结OA.∵OA ＝5，AM ＝12AB ＝4，∴OM ＝3.∴3≤OP ≤5，∴OP 的长为3，4或5.当OP ＝3时，点P 只能与点M 重合；当OP ＝4时，点P 可以在AM 上，也可以在BM 上，∴有2个点P ；当OP ＝5时，点P 与点A 或点B 重合．即满足条件的点P 有5个．(第9题)9．如图，点A ，B 是⊙O 上两点，AB ＝10.点P 是⊙O 上的动点(P 与A ，B 不重合)，连结AP ，PB.过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF ＝__5__．【解】 ∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ， ∴E ，F 分别是AP ，PB 的中点． ∴EF 是△APB 的中位线，∴EF ＝12AB ＝5.(第10题)10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点P ，且AP ∶PB ＝1∶5，OP ＝2，∠DPB ＝30°，求CD 的长．【解】过点O 作OE ⊥CD ，连结OD . 在Rt △POE 中，∵∠EPO ＝30°，∴OE ＝12OP ＝1.∵AP ∶PB ＝1∶5，AO ＝BO ，OP ＝2， ∴AB ＝6，∴OD ＝3. 在Rt △OED 中，DE ＝OD 2－OE 2＝32－12＝2 2，又∵OE ⊥CD ， ∴CE ＝ED ， ∴CD ＝4 2.(第11题)11．如图，在Rt △AOB 中，∠O ＝90°，OA ＝6，OB ＝8.以点O 为圆心，OA 为半径作圆交AB 于点C ，求BC 的长．【解】过点O 作AB 的垂线，垂足为E ，连结OC .∵AB ＝OA 2＋OB 2＝62＋82＝10，∴OE ＝OA ·OB AB ＝6×810＝4.8，∴AE ＝AO 2－OE 2＝62－4.82＝3.6.∴AC ＝2AE ＝7.2，∴BC ＝AB －AC ＝10－7.2＝2.8.(第12题)12．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，过点C 作CD 的垂线交AB 于点E ，过点D 作CD 的垂线交AB 于点F.求证：AE ＝BF.【解】过点O作ON⊥CD于点N，则N是CD的中点．∵CE⊥CD，DF⊥CD，∴CE∥NO∥DF，∴EO＝FO，∴AO－EO＝BO－FO，即AE＝BF.初中数学试卷。

3.3垂径定理同步训练2024-2025学年浙教版数学九年级上册

3.3 垂径定理同步训练2024-2025学年浙教版数学九年级上册一、单选题1．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧叫等弧B．平分弦的直径一定垂直于该弦C．三角形的外心是三条角平分线的交点D．不在同一直线上的三个点确定一个圆2．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．7cm B．5cm C．4cm D．3.5cm3．点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（）．A．12B．2√30C．8D．10.54．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=3cm，则截面圆中弦AB的长为（）A．√34cm B．8cm C．√21cm D．2√21cm 5．下列说法正确的数量为（）（1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等（2）一组对边平行的四边形是梯形（3）垂直平分弦的直径垂直平分弦所对的弧A．0B．1C．2D．36．⊙O的直径是15cm，CD经过圆心O，与⊙O交于C、D两点，垂直弦AB于M，且OM：OC=3 ：5，则AB=（）A．24cm B．12cm C．6cm D．3cm7．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为2cm，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为()A．2cm B．√3cm C．(2－√3)cm D．(2＋√3)cm 8．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB，连接OA，CB，已知⊙O的半径为2√3，AB＝2，则⊙BCD等于A．20°B．30°C．60°D．70°二、填空题9．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．10．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，则水面下降了m．第1页共6页◎第2页共6页11．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊙AB，AC⊙OB，则⊙BOC的度数为．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．如果AB=10cm，CD=3cm，那么⊙O的半径是cm．13．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中，弦CD的长度始终保持不变，点M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD=3，AB=5，则PM的最大值是 .三、解答题14．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论．15．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．16．如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2米的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？请说明理由．17．如图，在△ABC中，已知⊙ACB=130°，⊙BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长18．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；第3页共6页◎第4页共6页(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=24cm，腰AB=13cm，求圆片的半径R．第5页共6页◎第6页共6页。

浙教版九年级上第三章圆同步练习3.3垂径定理(1)

3.3 垂径定理（1）第1课时垂径定理基础题知识点1 垂径定理1．下列命题中，正确的是（）A ．圆是轴对称图形，对称轴只有一条B ．在同圆中，互相垂直的两弦不能互相平分C ．直径一定平分弦D ．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2．在直径为10 cm 的⊙O 中，有长为5 cm 的弦AB ，则O 到AB 的距离等于（）A ．5 3 cmB ．515 cmC .54 3 cmD .523 cm 3．在半径为4 cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（）A ．3 cmB ．2 3 cmC ．4 3 cmD ．8 3 cm4．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10 cm ，最短弦长为8 cm ，那么OM 长为（）A ．3 cmB ．6 cmC ．1.5 cmD ．9 cm5．如图，△OCD 为等腰三角形，底边CD 交⊙O 于A 、B 两点．求证：AC ＝BD ．6．已知，如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长．知识点2 垂径定理在实际生活中的应用7．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB ＝13，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是5，则水面宽AB 是（）A ．24B ．18C ．13D ．128．(金华中考)如图，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）A ．10 cmB ．16 cmC ．24 cmD ．26 cm9．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA 为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB 为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD )为米．中档题10．如图，AB 是AB ︵所对的弦，AB 的中垂线CD 分别交AB ︵于C ，交AB 于D ，AD 的中垂线EF 分别交AB ︵于E ，交AB 于F ，DB 的中垂线GH 分别交AB ︵于G ，交AB 于H ，下列结论中不正确的是（）A .AC ︵＝CB ︵ B ．EC ＝CG C .AE ︵＝EC ︵D ．EF ＝GH11．如图，已知⊙O 的半径为10，弦AB ＝12，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（）A ．5B ．7C ．9D ．1112．如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．已知AB ＝4，CD ＝2，圆心O 到AB 的距离OE＝1，则大、小两圆的半径之比为（）A ．3∶2B .3∶ 2C .5∶ 2D .5∶ 313．如图，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，且AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，那么⊙O 的半径OA 长为 cm ．14．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为 mm ．第11题第12题第13题第14题15.如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求OP的长．综合题16．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近，噪声影响越大．若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时：（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．。

浙教版九年级数学上册《圆心角、圆周角》练习题

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.4圆心角、3.5圆周角》优生辅导综合练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°3．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．65°4．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（）A．158°B．58°C．64°D．116°5．如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°6．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点D在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和AD交于点E，已知AC＝8cm，则这个圆圈上的弦CE长是（）A．6cm B．6cm C．4cm D．cm 二．填空题7．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝50°，则∠BAD的大小为°．8．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．若∠BAC＝44°，BD＝2，则弧AE的度数是，DC的长为．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为．10．在半径为r的圆中，长度为r的弦所对的圆周角的度数是．11．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为．12．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠OBC＝20°，则∠ADC 等于度．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，以点D为圆心，CD长为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点E，若的度数为60°，则直径BC长为．14．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C旋转到C′，则∠C′AB＝°．15．如图，OA、OB是⊙O的半径且OA＝OB＝1，AB＝，在⊙O上一点C，使BC＝，则∠BAC的度数为．三．解答题16．如图，在下列4×4（边长为1）的网格中，已知△ABC的三个顶点A，B，C在格点上，请分别按不同要求在网格中描出一个格点D，并写出点D的坐标．（1）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后所得的三角形，点A旋转后落点为D；（2）经过A，B，C三点有一条抛物线，请找到点D，使点D也落在这条抛物线上；（3）经过A，B，C三点有一个圆，请找到一个横坐标为2的点D，使点D也落在这个圆上，①点D的坐标为；②点D的坐标为；③点D的坐标为．17．如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．（1）求证：AC＝BD；（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，连接CO，CB．（1）若AM＝2，BM＝8，求CD的长度；（2）若CO平分∠DCB，求证：CD＝CB．19．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC 于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．21．如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：（1）BC平分∠ACE；（2）AB∥CE．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．23．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，且OC平分∠ACD，延长AC与DB交于点E，过点C作CF⊥OC交DE于点F．（1）求证：∠A＝∠E．（2）若BF＝5，，求⊙O的半径．24．如图，Rt△ABC中，AC＝CB，点E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB 于点Q，D．（1）如图1，若点D为AB的中点，求证：∠DEF＝∠B；（2）在（1）问的条件下：①如图2，连接CD，交EF于H，AC＝4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长度．②如图2，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED＝3，求△CED与△ECF的面积之比（直接写出答案）．（3）如图3，连接CQ，CD，若AE+BF＝EF，求证：∠QCD＝45°．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B＝180°，∵∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣130°＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．故选：C．2．解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．3．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．4．解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．5．解：∵DE||BC，∴∠C＝∠ADE＝46°，∴的度数是92°，∴的度数为180°﹣92°＝88°．故选：C．6．解：作AH⊥CE于H，如图，∠ACB＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，∴∠BCE＝∠BAD＝30°，∴∠ACE＝60°，在Rt△ACH中，CH＝AC＝×8＝4cm，∴AH＝CH＝4cm，∵∠AEC＝∠ABC＝45°，∴AH＝HE＝4cm，∴CE＝CH+HE＝（4+4）cm．故选：C．二．填空题7．解：连接BD，∵BD是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40．8．解：连接OE，AD，∵OA＝OE，∠BAC＝44°，∴∠BAC＝∠OEA＝44°，∴∠AOE＝92°，∴弧AE的度数是92°，∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BD＝2，∴CD＝2．故答案为：92°，2．9．解：连接CD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BC＝2，故答案为：2．10．解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，则由垂径定理知，点D是AB的中点，∴AD＝AB＝r，∴∠AOD＝45°，∴∠AOB＝2∠AOD＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°，故答案为：45°或135°．11．解：连接AO，CO，则∠AOC＝2∠ADC，∠BOC＝2∠BAC，∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝2∠BAC+2∠ADC＝2×15°+2×20°＝70°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝55°，故答案为：55°．12．解：∵OA⊥BC，∴∠OEB＝90°，∵∠OBC＝20°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBC＝70°，∴的度数是70°，∵OA⊥BC，OA过圆心O，∴＝，∴的度数是70°，∴圆周角∠ADC＝＝35°，故答案为：35．13．解：如图，连接BE，EC．∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∵的度数＝60°，∴∠BCE＝×60°＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，∵DE＝DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC＝CD＝6，∴BC＝4．故答案为：．14．解：如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°；同理可得△OAD′为等边三角形，∴∠OAD′＝60°，∴∠D′AB＝60°+60°＝120°；∵AC′为正方形AB′C′D′的对角线，∴∠D′AC′＝45°，∴∠C′AB＝∠D′AB﹣∠D′AC′＝120°﹣45°＝75°．故答案为75．15．解：如图，作OH⊥BC于H．连接AC．∵OH⊥BC，∴BH＝CH＝，∴∠OBH＝30°，∵OA＝OB＝1，AB＝，∴AB2＝OA2+OB2，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝45°+30°＝75°，∴∠BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，作点C关于直线OB的对称点C′，连接AC′，BC′，CC′，∵∠OBC＝∠OBC′＝30°，∴∠CBC′＝60°，∵BC＝BC′，∴△BCC′是等边三角形，∴∠BCC′＝60°，∴∠BAC′＝180°﹣60°＝120°，故答案为60°或120°．三．解答题16．解：（1）如图，点B的对应点为B′，点A的对应点为点D（4，2）；故①答案为：（4，2）；（2）抛物线的对称轴在BC的中垂线上，则点D、A关于函数对称轴对称，故点D（3，2），故②的答案为：（3，2）；（3）AB中垂线的表达式为：y＝x，BC的中垂线为：x＝，则圆心O为：（，），设点D（2，m），则OD＝OB，（）2+（）2＝（2﹣）2+（m﹣）2，解得：m＝0或3（舍去0），故点D（2，3）；故③的答案为（2，3）．17．（1）证明：∵B，C是的三等分点，∴＝＝，∴+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）解：如图，连接CD，AD，∵∠BDC＝25°，＝＝，∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°，∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，∴∠BEC＝∠AED＝130°．18．解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CM＝DM，∵AM＝2，BM＝8，∴AB＝10，∴OA＝OC＝5，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，∴CM＝＝4，∴CD＝8；（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，∵CO平分∠DCB，∴OM＝ON，∴CB＝CD．19．（1）证明：∵AB⊥CD，∴，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，∵AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×24＝12，在Rt△OCE中，122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，∴⊙O的直径＝2r＝26．20．（1）证明：连接OE、CE，如图，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵＝2，∴∠COE＝2∠AOE，∴∠COE＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE＝＝，在Rt△EFD中，EF＝＝＝2．21．证明：（1）∵AB＝BE，∴，∴∠ACB＝∠BCE，∴BC平分∠ACE；（2）连接OC、OB，∵OA、OB、OC是⊙O半径，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ABO＝∠ACO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBA+∠OBC＝∠OCA+∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AB＝BE，∴AC＝BE，∴，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥CE．22．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．23．（1）证明：由题意∠ACO＝∠A＝∠D．∵OC平分∠ACD，∴∠ACO＝∠OCD，∴∠OCD＝∠D．∴OC∥DE，∴∠E＝∠ACO，∴∠E＝∠A．（2）解：∵，∴设BD＝3x，OB＝4x，由（1）得∠E＝∠A＝∠CDE，OC∥DE．∵CF⊥OC，∴CF⊥DE，∴EF＝DF＝3x+5．∴BE＝3x+10，∵∠E＝∠A，∴AB＝BE，即3x+10＝8x，解得x＝2∴半径OB＝4x＝8．24．（1）证明：连接CD．在Rt△ABC中，∵AC＝CB，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD＝DB，∴∠DCB＝∠B＝45°，∵∠DEF＝∠DCB，∴∠DEF＝∠B．（2）解：①如图2﹣1中，当EH＝HD，可证四边形CFDE是正方形CF＝2．如图2﹣2中，当EH＝ED时，∠EDH＝∠EHD＝67.5°，∵∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠EDH＝∠BDF＝67.5°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BD＝BF，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝4，∴BD＝BF＝2，∴CF＝4﹣2．如图2﹣3中，当DA＝FH时，点E于A重合，点H与C重合，CF＝0．综上所述，满足条件的CF的值为0或2或4﹣2．②如图2﹣4中，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DF．∵CA＝CB，AD＝DB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD＝DA＝DB∴DE＝DF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，∵DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，∴DM＝DN，可得四边形DMCN是正方形，∴DM＝CM＝CN＝DN，∵＝＝＝＝，∴可以假设DN＝3k，EC＝4k，则AC＝BC＝6k，AE＝CF＝2k，∴＝＝．（3）证明：连接OD，OQ，作ER⊥AB，OH⊥AB，FK⊥AB．∵ER∥OH∥FK，EO＝OF，∴RH＝HK∴OH＝（ER+FK），∵ER＝AE，FK＝FB，∴OH＝（AE+BF）＝EF＝OE＝OQ，∴∠OQD＝∠ODQ＝45°，∴∠QOD＝90°，∴∠QCD＝45°．。

九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题圆周角定理的综合运用随堂练习含解析新版浙教版

微专题圆周角定理的综合运用一巧作辅助线如图1, 4ABC 是。

0的内接三角形，AD 是。

0的直径，/ ABC^ 50。

.求/ CAD 勺度数.解：如答图，连结 DC.「AD 是。

0的直径，，/ ACD= 90°・ • / AB 仔 50° , • ./ AD 住 50 , ・ ./ CAD= 90° -Z AD （^ 40° .【思想方法】利用圆周角定理，常见的辅助线作法有：①作半径，构造圆心角；②作弦，构造圆周角. 1 [2016 •泰安]如图2,点A, B, C 是。

0上的三点，且四边形 ABC 国平行四边形,0巳0©。

0于点F,则/ BAF 等于（B ） A. 12.5 ° B. 15°【解析】如答图，连结0B・ •・四边形ABO 平行四边形，・ •00 AR 0。

AB,又.0A= 0B= 0C 0A= 0B= AR・ •.△A0配等边三角形， . 0FX 0C 0。

AB, . 0F1 AB .B0F= /A0F= 30° ,教材母赠■（教材P91作业题第5题）变擢图1教材母题答图，— 一、一 1 ..... 由圆周角定理得/ BAE2/BOR 15 .故选B.一点，则/ BPC 勺度数是（A ）【解析】如答图，连结 OB OC 则/ BO 仔90。

，______ ________ 1 。

根据圆周角定理，得/ BPC= 2/BOC= 45 .园苞3 如图 4,已知 AB= AC= AD/CBD= 2/BDC/BAC= 44° ,则/ CAD 勺度数为（B ）A. 68°【解析】如答图，以A 为圆心，AB 为半径画圆，则点 C, D 都在圆上,. / CBD= 2/ BDC CD= 2BC•. / BAC= 44° , . CAD= 2/ BAC= 88 .故选 B. 解：如答图，连结 AO BQ AO 交BC 于点D.则根据垂径定理的逆定理，得 QAL BC如图3,已知四边形ABC 虚。

第3章圆的基本性质单元测试卷(无答案)数学九年级上册+总结(标准版)

浙教版九年级上册《第3章圆的基本性质》单元测试卷一、选择题1．（3分）如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q2．（3分）如图，△ADE绕点D按顺时针方向旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，则下列说法不一定正确的是（）A．DE平分∠ADB B．AD=DC C．AE∥BD D．AE=BC3．（3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠BOC的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°4．（3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=65°，∠C=70°．若BC=2 √2 ，则 BC ―的长为（） A ．π B ． √2 π C ．2π D ．2 √2 π5．（3分）如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AC 交BD 于点G ．若∠COD=126°，则∠CAB 的度数为（）A ．63°B ．45°C ．30°D ．27°6．（3分）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是（）A ．AP=2OPB ．CD=2OPC ．OB ⊥ACD ．AC 平分OB7．（3分）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC=CD，∠DAC=36°，∠ACD=44°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．64°C．65°D．70°8．（3分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）A．BD⊥AC B．AC 2 =2AB•AEC．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD9．（3分）如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60°B．65°C．72°D．75°10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC=2 √3，那么图中阴影部分的面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π 二、填空题11．（3分）已知⊙O的半径为3，OP=4，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ______ ．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（0，-3），（0，-9），半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为 ______ ．13．（3分）如图，⊙O的半径为10cm,△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内部．如果AB=AC，BC=12cm,那么△ABC的面积为 ______cm 2 ．14．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA=EB，则∠DOE的度数是 ______ 度．15．（3分）如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为______ ．16．（3分）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上一动点，若OB=1，则阴影部分周长的最小值为 ______ ．三、解答题17．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A 1 B 1 C．（1）画出△A 1 B 1 C，直接写出点A 1 、B 1 的坐标；（2）求在旋转过程中，点B所经过的路径的长度．18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，DE⊥AB于点E，交弦AC于点F，连接BD，AD，（1）若∠ABD=25°，求∠DAC的度数（提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题）；（2）求证：DF=AF．19．（10分）已知CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆⊙O于点D．（1）如图①，连结OA ，OD ，求证：∠AOD=2∠BCD ；（2）如图②，若CB 平分∠ACD ，求证：AB=BD ．20．（12分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 直径，AB=6，AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接BD ．（1）求证：∠ABD=∠BED ；（2）若∠AEB=125°，求 BD ―的长（结果保留π）．21．（14分）如图，在正方形ABCD 中，AD=2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG ．（1）求证：EF ∥CG ；（2）求点C ，点A 在旋转过程中形成的 AC ― ， AG ― 与线段CG 所围成的阴影部分的面积．第3章圆的基本性质单元测试卷总结一、选择题四点共圆与垂直平分线：通过尺规作图，检验M 、N 、P 、Q 四点是否共圆。

浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理

3.3 垂径定理一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点，并且分别与轴、轴交于、两点，已知，，则的半径为 ( )A. B. C. D.2. 如图所示，的半径为，弦的长度是，，垂足为，则A. B. C. D.3. 如图，在中，点是弧的中点，若，则A. B. C. D.4. 在半径为的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽，则油的最大深度为A. B. C. D.5. 在中，圆心到弦的距离为长度的一半，则弦所对圆心角的大小为 ( )A. B. C. D.6. 中，，，，以点为圆心，为半径的圆与，分别交于点，，则的长为 ( )A. B. C. D.7. 如图，已知的半径的长为，弦的长为，半径过的中点，则的长为 ( )A. B. C. D.8. 如图，已知在中，是弦，半径，垂足为点，要使四边形为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是A. B.C. D.9. 在半径为的中，弦，弦和的距离为，若，则的长为A. B. C. 或 D. 或10. 在半径为的中，弦，弦和的距离为，若，则的长为 ( )A. B. C. 或 D. 或二、填空题（共10小题；共50分）11. 平分（不是直径）的直径于弦，并且平分．12. 过圆上一点引两条相互垂直的弦，若圆心到两条弦的距离分别是和，则这两条弦长分别是．13. 如图，的直径，是的弦，，垂足为．若，则的长为．14. 如图，在中，已知，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，则的长为．15. 如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为，，，脸盆的最低点到的距离为，则该脸盆的半径为．16. 如图，是的直径，弦于点，若，，则．17. 在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于，两点，则弦的长的最小值为．18. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于．19. 如图，是的弦，于点，连接、 .点是半径上任意一点，连接 .若，，则的长度可能是（写出一个符合条件的数值即可）．20. 如图，是半圆的直径，是的中点，交弦于点，已知，，则的长为．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知：如图，是的弦，半径、分别交于点、，且．求证： .22. 如图，已知这是一座圆弧形涵洞的入口的示意图，涵洞的最高点到地面的距离为米，涵洞入口地面的宽度为米，请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径长．23. 如图，已知是的弦，半径，，求的面积．24. 已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，（如图所示）．Ⅰ求证：；Ⅱ若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为，求的长．25. 我国隋代建造的赵州桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）.答案第一部分1. C2. A3. B4. B5. D6. C7. B8. B9. D 10. D第二部分11. 弦，垂直，弦所对的两条弧．12. ；13.14.15.16.17.18.19.20.第三部分21. 过点作于 ..，.．22. 连接．于，，．设米，米．．，即这座涵洞圆弧所在圆的半径长为米．23. 如图，作于点，则有．在中，，所以，．所以的面积为．24. （1）过点作于点．则，．，即．（2）由（1）可知，且，．．．25. 设桥拱所在圆的圆心为，半径为，连接，，过点作，为垂足，与相交于点．．，，，．在中，由勾股定理，得．即 .解这个方程，得 .答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为．初中数学试卷灿若寒星制作。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》3.3 垂经定理(1)--每日好题挑选

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》3.3垂经定理（1）--每日好题挑选【例1】如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形的弦AB的长为。

【例2】如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP的长为。

【例3】圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则两弦AB，CD之间的距离是。

【例4】如图，坐标平面上，A，B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线l经过点P且与AB垂直，点C为l与y轴的交点．若点A，B，C的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，其中a＜0，则a的值为。

【例5】“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为。

【例6】如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为cm。

【例7】⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P是弦AB上一点，则OP长的取值范围是。

【例8】如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为。

【例9】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，BC长为半径作圆交AB于点D，则AD的长为。

【例10】如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E。

（1）若AB＝8，OE＝3，求⊙O的半径；（2）若CD＝10，DE＝2，求AB的长；（3）若⊙O的半径为6，AB＝8，求DE的长。

【例11】已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．【例12】如图所示，已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求AB2＋CD2的值。

浙教版数学九年级上册练习：3.3垂径定理(1).docx

3.3 垂径定理（1）（巩固练习）姓名班级第一部分1、已知AB如图．用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．2、如图，点P在⊙O内，过P点作一条弦AB，使弦AB是所有经过P点的弦中最短的弦，并作出弦AB所对的优弧的中点.3、如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A、B两点. 求证：AC=BD.4、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15 cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长.5、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．(1) 请写出三个不同．．类型的正确结论；(2) 若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径.第二部分1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有……………………………………………………（）A．一条 B 两条 C．一条 D．无数条2. 下列说法正确的是…………………………………………………………………（）A. 直径是圆的对称轴B. 经过圆心的直线是圆的对称轴C. 与圆相交的直线是圆的对称轴D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴3. 如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是…………………………………………………………………（）A. CE＝DEB. BC BDC. ∠BAC＝∠BADD. AC＞AD4.如图，O的直径为26cm，弦AB长为24cm，则点O到AB的距离OP为．5. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于………………（）A. 3cmB. 23cmC. 43cmD. 83cm6. 已知⊙O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是 .7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若，则CE=DE. (只需填写一个你认为适当的条件)8. 如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________.9. 在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长为52cm，计算：(l) 点到AB的距离；(2) ∠AOB的度数．10. 如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD.证明：作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，∴AC=BD.参考答案第一部分(2) 延PO交⊙O于C.AB就是所求的弦，点C就是弦AB所对的优弧的中点.3、如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A、B两点. 求证：AC=BD.【分析】怎样证AC=BD？由于△OCD是等腰三角形，作OE⊥CD于E后，由等腰三角形“三线合一”得CE=DE，又根据垂径定理得E为弦AB的中点，两者相关减即可.【解】作OE⊥CD于E. 则由垂径定理，得AE=BE.∵△OCD为等腰三角形，∴CE=DE. ∴AC=BD.4、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15 cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长.【分析】这是应用垂径定理进行计算的一个基础题. 先求出OM的长，再根据勾股定理求得AM的长，再由垂径定理得AB=2AM.【解】连结OA. 则由垂径定理，得AM=BM.∵CD=15 cm，∴OC=7.5cm，又OM：OC=3：5，∴OM=4.5cm.在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM=226-=cm，即AB=12cm.OA OM5、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．(1) 请写出三个不同．．类型的正确结论；(2) 若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径.【解】(1) 如BE=CE，BD CD=，∠BED=90°，△BOD是等腰三角形等等.(2) ∵OD⊥BC，BC=8，∴BE=4.在Rt△OBE中，由勾股定理得OB2=BE2+OE2，∴r2=42+(r-2)2，解得r=5.第二部分1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有……………………………………………………（）A．一条 B 两条 C．一条 D．无数条答案：D2. 下列说法正确的是…………………………………………………………………（）A. 直径是圆的对称轴B. 经过圆心的直线是圆的对称轴C. 与圆相交的直线是圆的对称轴D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴答案：B3. 如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是…………………………………………………………………（）=A. CE＝DEB. BC BDC. ∠BAC＝∠BADD. AC＞AD答案：D4.如图，O的直径为26cm，弦AB长为24cm，则点O到AB的距离OP为．答案：5cm5. 在半径为 4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于…………………………（）A. 3cmB. 23cmC. 43cmD. 83cm答案：C6. 已知⊙O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是 .答案：60°7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若，则CE=DE. (只需填写一个你认为适当的条件)答案：AB⊥CD8. 如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________.答案：89. 在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长为52cm，计算：(l) 点到AB的距离；(2) ∠AOB的度数．解：(1) 作OC⊥AB于C，连结OA.∵AB=52cm，∴AC=522cm，∴OC=22522AB AC-=cm.(2) ∵OC⊥AB，AC=OC，∴∠AOC=45°，即∠AOB=90°.10. 如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD.证明：作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，∴AC=BD.初中数学试卷。

九年级圆的垂径定理与圆心角圆周角的大题精选(含答案)

九年级圆的垂径定理与圆心角圆周角的大题精选(含答案)九年级圆的垂径定理与圆心角圆周角的大题精选（含答案）圆的性质大题一、解答题（共25小题）1.如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H。

1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点。

证明：∠B+∠D=90°，∠B=90°-∠D，又∠ADC=90°（直径所对的角为直角），所以∠___∠B，因此三角形ADC与三角形BDC相似，所以BD/DC=DC/BD，即BD²=DC²，所以BH=HD，即H为CD的中点。

2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=√3，求AB的长。

连接OH，由勾股定理得OH=√3，又因为H为CD的中点，所以CH=1，从而CO=√3+1，又AO=CO，所以AB=2AO=2(√3+1)。

2.如图，∠BAC=60°，AD平分∠___于点D，连接OB、OC、BD、CD。

1）求证：四边形OBDC是菱形。

证明：由角平分线定理得∠OAD=∠OBD，又∠OAB=∠OBA=30°，所以∠OBD=30°，又∠OCD=∠OAD=30°，所以∠___∠OCD，所以BD=CD，又∠___∠OCD=30°，所以∠___∠OBC，所以三角形OBD与三角形OBC全等，所以OB=OC，又∠___∠OCD=30°，所以OB=BC，所以四边形OBDC是菱形。

2）当∠BAC为多少度时，四边形OBDC是正方形？当∠BAC=90°时，∠___∠OCD=45°，所以BD=CD，又∠___∠OCD=45°，所以OB=BC，所以四边形OBDC是正方形。

3.如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OB，求∠A的度数。

由圆心角的性质得∠ACB=2∠A，又∠ACB=90°，所以∠A=45°，所以∠EAB=∠OAB-∠OAE=45°-42°=3°，又∠___∠OAB=45°，所以∠DBA=∠OBD-∠OBA=45°-3°=42°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-42°=93°。

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《垂径定理》同步练习题(含答案)

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC ＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1B．C．2D．42．过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（）A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm3．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD 的面积为（）A．36B．24C．18D．724．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC ⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm5．如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（）A．B．C．1D．26．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错二．填空题7．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB 上，F、N在半圆上．若则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，则AB 的长为．8．如图，以AB为直径的⨀O中，点C为⨀O上一点，且AC＝BC＝，过点O作OD⊥AC，垂足为D，点P为直线OD上一个动点，则弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小值为．9．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．10．如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为．11．平面直角坐标系xOy如图所示，以原点O为圆心，以2为半径的⊙O中，弦AB＝，点C是弦AB中点，P（+1，﹣1），连接PC，当弦AB在⊙O上滑动，线段PC扫过的面积为．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为．13．如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题14．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD 相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．15．石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．16．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．17．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．18．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE 是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．19．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝20cm，水深GF＝2cm．若水面上升2cm （EG＝2cm），则此时水面宽AB为多少？20．某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？参考答案一．选择题1．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥AC，∴点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，且OD＝BC，设OD＝x，则BC＝2x，∵DE＝4，∴OE＝4﹣x，∴AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，解得x＝1．∴BC＝2x＝2．故选：C．2．解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M，则ED＝20cm，AB＝16cm，由垂径定理知：点M为AB中点，∴AM＝8cm，∵半径OA＝10cm，∴OM2＝OA2﹣AM2＝100﹣64＝36，∴OM＝6cm．故选：B．3．解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC＝，∴CD＝2CE＝6，∴四边形ACBD的面积＝．故选：A．4．解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四边形ACDB是平行四边形，∴四边形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．5．解：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，∵AD＝DE，∴DC＝AD，∴∠DAC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝AB＝＝4，∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵∠DCB＝90°，∴∠CDB＝30°，∴BC＝BD＝，故选：D．6．解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD．∵AE⊥OD，OE＝DE，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴AO＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝∠ABC＝60°，∵CD⊥AB，∴AE＝EB，∴CA＝CB，∴△ABC是等边三角形，故①正确，∵∠CP A＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥P A，∴CF＝CM，∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），∴PF＝PM，∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），∴AM＝BF，∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，∴＝，在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，∴CF＝PF，∴PF＝CF，∴＝，故②正确，故选：A．二．填空题7．解：连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，设OA＝ON＝OF＝OB＝r，由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，∴a2+（a+c）2＝r2①，b2+（b﹣c）2＝r2②，①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0，2（a+b）（a﹣b+c）＝0，∵a+b≠0，∴a﹣b+c＝0，即b＝a+c，把b＝a+c代入①，得a2+b2＝r2，∵正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，∴a2+b2＝16，∴r2＝16，解得r＝4（负值舍去），∴AB＝2r＝8．故答案为：8．8．解：要使得弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，弧BC的值不变，则BP+PC最小即可，∵OD⊥AC，∴点C关于PD的对称点为点A，即当P点与O点重合时，BP+PC最小，即弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小，连接OC，∵AC＝BC＝，∴∠BOC＝90°，OB＝OC＝BC＝＝1，∴弧BC的长为＝，∴弧BC，PB，PC构成的封闭图形周长最小为：2+．故答案为：2．9．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．10．解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．∵CH是直径，∴∠CBH＝∠CDH＝90°，∴CB⊥BH，∵CB⊥AD，∴AD∥BH，∴∠CDB＝∠DBH，∴＝，∴DH＝BA＝2，而CD＝6，根据勾股定理CH＝＝2，故答案为2．11．解：连接OC，OA，如图，∵点C是弦AB中点，∴OC⊥AB，AC＝BC＝AB＝，∴OC＝＝．∵弦AB在⊙O上滑动，∴点C的轨迹为以点O为圆心，以为半径的圆，如图中的虚线⊙O，过点P作该圆的切线PD，PE，连接OD，OE，PO，如上图，则OD＝OE＝．利用勾股定理可求得PO＝，∵PD，PE是虚线⊙O的切线，∴OD⊥PD，OE⊥PE，PD＝PE，∠DPO＝∠EPO．∴∠OPD＝30°，∴∠OPE＝30°，∴∠DOP＝60°，∠EOP＝60°，∴∠DOE＝120°．∵线段PC扫过的面积为四边形DOEP的面积+大扇形ODE的面积，∴线段PC扫过的面积为2×PD•OD+＝+π．故答案为：+π．12．解：过O作OI⊥CD于I，连接OD，则∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直径AB＝4+12＝16，即半径OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI＝OP＝＝2，由勾股定理得：DI＝＝＝2，∵OI⊥CD，OI过圆心O，∴DI＝CI＝2，即CD＝DI+CI＝4，故答案为：4．13．解：如图1，∵OC•OD•sin∠COD，∴当∠COD＝90°时，△COD面积有最大值，且最大值＝×4×4×1＝8；设△APO的PO边上的高为h1，△DPO的边PO上的高为h2，如图，∵S△CDO＝S△PCO+S△DPO，∴当△COD面积有最大值时，PO×h1+PO×h2＝8．∴×3×（h1+h2）＝8，∴h1+h2＝．∴CH的最大值为．故答案为：8；．三．解答题14．（1）证明：如图：连接BD，∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，∴∠CFG＝∠GEB，∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE，∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE，∵AB⊥CD于E，∴∠GEB＝∠DEB，在△GBE和△DBE中，，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG．（2）解：如图：连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，由（1）可知ED＝EG，∴OE＝，∵AB⊥CD于E，AB＝8，∴AE＝BE＝4，∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，即（）2+42＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．15．解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．16．（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM＝CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM＝＝＝4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．17．（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是正方形；（2）解：连接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半径是cm．18．解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四边形ACDE是平行四边形，∴DE＝AC＝8，DE∥AB，∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG＝EF＝4，∴AG＝5﹣4＝1，在Rt△OEG中，EG＝，在Rt△AGE中，AE＝．19．解：连接OA、OC，∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD＝20cm，∴CG＝CD＝10cm，在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2＝CG2+OG2，OC2＝102+（OC﹣2）2，解得：OC＝26（cm），则OE＝26cm﹣2cm﹣2cm＝22cm，∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，∴262＝222+AE2，∴AE＝8，∵OE⊥AB，OE过圆心O，∴AB＝2AE＝16cm．20．解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接OF．易知四边形OHKM是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝OD＝5，在Rt△OHF中，FH＝＝＝3，∵HK＝BC＝2.5，∴FK＝2.5+3＝5.5，∵5.5＞4.9，∴这辆卡车能安全通过这个隧道．。

垂径定理---圆心角---圆周角练习(专题经典).

垂径定理圆心角圆周角练习1.如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．2.如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50o．则∠ADC=_______．第1题第2题第3题3.如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25°，则∠ACB的大小为___________.第4题第5题4.已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE=.5、如图，AB是⊙O的直径，C,D,E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=.6、⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于．7、已知AB是⊙O的直径，AC,AD是弦，且AB=2,AC=2，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是()A.45°或60°B.60°C.105°D.15°或105°8、如图，AB是⊙的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC=（）A.20°B.30°C.40°D.50°9、如图，点A、B、C为圆O上的三个点，∠AOB=的度数．13∠BOC,∠BAC=45°，求∠ACB 10、如图，AD是∆ABC的高，AE是∆ABC的外接圆的直径．试说明狐B E CF。

DF11、如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC，连结DB并延长,交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径．12、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，B C交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．△13．如图所示，ABC为圆内接三角形，A B＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作D E⊥AB于E，D F⊥AC于F，求证：BE=CFAEB CFD△14．如图所示，在ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°（1）求证△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。

浙教版数学九年级上册练习：3.3垂径定理(2)

3.3 垂径定理（2）（巩固练习）姓名班级第一部分1、如图，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是．2、如题1图中，AB 为⊙O 的弦，P 在AB 上，已知AB =10，OP =5，P A =4，求⊙O 的半径.3、如图，把一个矩形纸片ABCD 放在一个圆上（如图），如果AE=BF ，求证：DH=CG..4、如图，在O 中，弦EF ∥CD ，直径AB 分别交CD 、EF 于点M 、N ，且A 是EF 的中点. 求证：M 是弦CD 的中点.N M OEFD CBAN M OHG E FD C BA5、如图，在一直径为8m 的圆形戏水池中搭有两座浮桥AB 、CD ，已知C 是AB的中点，浮桥CD 的长为43m ，设AB 、CD 交于点P .试求∠APC 的度数.6、如图，底面半径为5dm 的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm. 你能算出油的深度吗（指油的最深处，即油面到水平地面的距离）？第二部分1.如图1，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中错误．．的是（） A.COE DOE ∠=∠B.CE DE =C.BC BD =D.OE BE =2. 如图2，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，BC BD =，若CD =4，则CM = .3.如图3，AB 是⊙O 的弦，AC=BC=5cm ，1cm OC =，则⊙O 的半径长为 cm .O E FDCBAFEDCB AO4. 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C , D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，则AC 的长为A. 0. 5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm5. “两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB 宽为10米，净高CD 为7米，则此隧道单心圆的半径OA 是（） A . 5 B . 377 C . 375D . 76. 如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件 (写出一个即可)，就可得到D 是AB 的中点．7. 如图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，E 是AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ．若AC = 8cm ，DE = 2cm ，则OD 的长为 .8.如图，在半径为5的⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为M ，若OM =4，则CD = ．9. 如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD ，CD =10cm ，AP ：PB =1∶5．求⊙O 的半径．10. 如图，⊙O 中，弦AB ∥CD . 求证：AC BD.参考答案第一部分【解】连结OC，作OF⊥CD于F.∵C 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ，即∠CEP=90°.∵OF ⊥CD ，∴CF =12CD =23m. 又OC =4m ，∴OF =22OC CF -=2m=12OC . ∴∠C =30°，即∠APC =90°-∠C =60°. 6、如图，底面半径为5dm 的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm. 你能算出油的深度吗（指油的最深处，即油面到水平地面的距离）？【解】根据题意应有两种情况：(1) 如图1，已知AB =8，OB =5，用勾股定理可求得OC =3，故CP =5-3=2dm ； (2) 如图2，已知AB =8，OB =5，用勾股定理可求得OC =3，故CP =5+3=8dm.图1 图2第二部分1.如图1，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中错误．．的是（） A.COE DOE ∠=∠B.CE DE =C.BC BD =D.OE BE =答案：D2. 如图2，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，BC BD =，若CD =4，则CM = .答案：23.如图3，AB 是⊙O 的弦，AC=BC=5cm ，1cm OC =，则⊙O 的半径长为 cm .答案：6cmP OC BAPOC BA4. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC的长为A. 0. 5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm答案：D5. “两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道单心圆的半径OA是（）A. 5B. 377C.375D. 7答案：B6. 如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件(写出一个即可)，就可得到D是AB的中点．答案：CD⊥AB或AM=BM7. 如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是AC的中点，OE交弦AC于点D．若AC = 8cm，DE = 2cm，则OD的长为.答案：3cm8.如图，在半径为5的⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为M，若OM=4，则CD= ．答案：69. 如图，⊙O的直径AB平分弦CD，CD=10cm，AP：PB=1∶5．求⊙O的半径．解：连结OC. 设⊙O的半径为R.∵AP：PB=1∶5，AP+PB=2R，∴OP=23 R.∵直径AB平分弦CD，∴CP=12CD=5cm，OP⊥CD.∴OC2=OP2+CP2，即R2=223R⎛⎫⎪⎝⎭+52，解得R=35cm.FEDCB AO10. 如图，⊙O 中，弦AB ∥CD . 求证：AC BD =.证明：作直径EF ⊥CD ，∵AB ∥CD ，∴EF ⊥AB . ∴AE BE =，CF DF =.∵EAF EBF =，∴AC BD =.初中数学试卷灿若寒星制作。

初三圆周角单元练习：垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角(无答案)-word文档

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习1.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。

2. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。

3. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

（1）（2）（3）4. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。

5. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=________度。

6.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A. 3≤OM≤5B. 4≤OM≤5C. 3＜OM＜5D. 4＜OM＜5（7）（8）（9）7.下列说法中，正确的是（）A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半D. 等弧所对的圆心角相等8.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 270°9. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°10.在⊙O中，半径为r=1，弦AB=2，弦AC=3，则∠BAC为（）A、︒6090或︒15 D、︒15 C、︒75或︒75 B、︒11.圆O中若直径为25cm，弦AB的弦心距10cm，则弦长＿＿＿。

12.若圆的半径2cm，圆中一条弦长1cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间的距离为＿＿＿。

浙教版九年级数学第三章圆的基本性质3.3垂径定理同步讲义无答案

垂径定理考察角度1：利用垂径定理求线段的长度【例1】如下图，O的半径为2，弦AB=23，点C在弦AB上，且AC=1AB，则OC的长为（）4A.2B.323D.7 C.32检测1：如下图，AB是O的直径，AB丄CD于点E，若CD=6,则DE等于（）A.3B.4检测2：如下图，已知在O中，CD是O的直径，弦AB的长为8cm，AB丄CD于点E，OE=3cm，则①弧BC=，=弧AD；②O的半径为cm.检测3：如下图，DE是O的直径，弦AB丄ED，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC=，CD=.考察角度2：利用垂径定理求角的度数【例2】如图，O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4 2，则AED= .检测4：如下图，O中弦MN的长为4 3，半径OM=4，求圆心O到弦MN的距离及OMN的度数.考察角度3：利用垂径定理进行相关证明【例3】如图，在O中，AB为O的弦，C，D是直线AB上两点，且AC=BD，求证：OCD为等腰三角形.检测5：如下图，AB是半圆O的直径，CD是弦，AE丄CD，BE CD，垂足分别为E，F，求证:EC=FD.考察角度4：利用垂径定理作图【例4】如图，已知弧AB，求作弧AB的中点M，并找出弧AB所在圆的圆心.检测6：如图为一自行车内胎的一部分，怎样利用所学知识将它均匀分给四个小朋友作玩具？考察角度5：在运用垂径定理解题时思虑问题不严实，出现漏解的状况【例5】用圆形纸片剪一个梯形ABCD，AB∕∕CD，若AB=48，CD=20，O的半径为26，则剪下的梯形 ABCD 的面积是多少？检测7：已知O的半径为13cm，弦AB//CD，AB=10cm，CD=24cm,，求AB与CD间的距离.考察角度6：利用垂径定理的推论进行相关证明【例6】如下图，在 O中，已知C是弧AB的中点，且OA=AC，AB，OC交于点P，求证:四边形OACB是菱形. 检测8：如图①所示，AB，CD是O中的两条弦，M，N分别是AB，CD的中点，且OMN ONM.（1）求证：AB=CD；第1 页（2）如图②，延伸OM交O于P，延伸ON交O于Q，求证：考察角度7：利用垂径定理的推论进行相关计算【例7】如图，O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则 O的半径等于（）检测9：如下图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰巧经好经过圆 O，则折痕AB的长为.考察角度8：在运用垂径定理的推论时思虑问题不严实，出现漏解的状况（易错点）【例8】已知等腰三角形的三个极点都在半径为5的 O上，假如底边BC的长为8，求BC边上的高.拔尖角度1：利用垂径定理及其推论进行证明【例9】如下图，D，E分别是的弧AB，弧AC的中点，DE交AB于点M，交AC于N，求证：AM=AN.检测10：如下图，P是 O外一点，PB、PD分别与O订交于点A，B，C，D.①PO均分BPD②AB=CD;③OE丄CD，OF丄AB；④OE=OF从.中选出两个作为条件，另两个作为结论构成一个真命题，并加以证明.拔尖角度2：利用垂径定理及其推论进行计算【例10】如下图，O的直径AB与弦CD订交于点E，若AE=5，CE=1，AED=30°.(1)求OE和OA的长；(2)求CD的长.检测11：—座桥，桥拱是圆弧形（水面上的部分)，测童时，只测到桥拱下水面宽AB为16m，如下图，桥拱最高处离水面4m.(1)求桥拱半径；(2)若大雨事后，桥下水面宽为12m，问水面涨高了多少？拔尖角度3：利用垂径定理等知识解决动点问题【例11】如下图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿点B以1cm/s的速度挪动，若AB的长为10cm，点O到BC的距离为4cm.(1)求弦BC的长；(2)问经过几秒后BPC是等腰三角形（PB不可以为底边）？检测12：如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB丄MJV于点E，CD丄MN于点F，P为EF上的随意一点，则PA+PC的最小值为.拔尖角度4：利用垂径定理等知识解决实质问题【例12】讲堂上，师生一同研究知识，能够用圆柱形管子的内径去丈量球的半径，小明回家后把小皮球置于保温杯第2 页口上（内径AD的长为8cm)，经过思虑找到了丈量方法，并画出了草图，请你依据图中的数据，帮助小明计算小皮球的半径.检测13：某工厂准备建新的厂门，厂门要求设计成轴对称的拱形曲线。

浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理

3.3 垂径定理(第1题)1. 如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为E ，那么下列结论错误的是(D ) A ．CE ＝ED B.BC ︵＝BD ︵C ．∠BAC ＝∠BAD D ．AC >AD2．下列说法正确的是(B ) A ．圆的对称轴只有一条B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴(第3题)3．将一圆形纸片对折后再对折，得到如图的形状，然后沿着虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后得到的图形是(B )(第4题)4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，且AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则DC 的长为(D )A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm5. 如图，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为__24__cm.,(第5题)),(第6题))6. 在直径为1000 mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB ＝800 mm ，则油的最大深度为__200__mm.(第7题)7．某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240 m ，A 到BC 的距离为5 m ，如图．请你帮助他们求出滴水湖的半径．【解】设圆心为点O ，连结OA ，OB ，OC ，AB ，AC ，OA 交BC 于点D . ∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ， ∴△OBA ≌△OCA (SSS )， ∴∠BOD ＝∠COD . 又∵OB ＝OC ，∴BD ＝DC ，OA ⊥BC .∴BD ＝12BC ＝120.设OB ＝x .∵AD ＝5，在Rt△OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2， ∴x 2＝(x －5)2＋1202，解得x ＝1442.5.即滴水湖的半径为1442.5 m.(第8题)8．如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 是弦AB 上一点．若OP 的长是整数，则满足条件的点P 有(D )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解】过点O 作OM⊥AB 于点M ，连结OA. ∵OA ＝5，AM ＝12AB ＝4，∴OM ＝3.∴3≤OP ≤5，∴OP 的长为3，4或5.当OP ＝3时，点P 只能与点M 重合；当OP ＝4时，点P 可以在AM 上，也可以在BM 上，∴有2个点P ；当OP ＝5时，点P 与点A 或点B 重合．即满足条件的点P 有5个．(第9题)9．如图，点A ，B 是⊙O 上两点，AB ＝10.点P 是⊙O 上的动点(P 与A ，B 不重合)，连结AP ，PB.过点O 分别作OE⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF ＝__5__．【解】 ∵OE⊥AP，OF ⊥PB ， ∴E ，F 分别是AP ，PB 的中点． ∴EF 是△APB 的中位线，∴EF ＝12AB ＝5.(第10题)10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点P ，且AP∶PB＝1∶5，OP ＝2，∠DPB ＝30°，求CD 的长．【解】过点O 作OE ⊥CD ，连结OD . 在Rt△POE 中，∵∠EPO ＝30°，∴OE ＝12OP ＝1.∵AP ∶PB ＝1∶5，AO ＝BO ，OP ＝2， ∴AB ＝6，∴OD ＝3. 在Rt△OED 中，DE ＝OD 2－OE 2＝32－12＝2 2，又∵OE ⊥CD ， ∴CE ＝ED ， ∴CD ＝4 2.(第11题)11．如图，在Rt△AOB 中，∠O ＝90°，OA ＝6，OB ＝8.以点O 为圆心，OA 为半径作圆交AB 于点C ，求BC 的长．【解】过点O 作AB 的垂线，垂足为E ，连结OC .∵AB ＝OA 2＋OB 2＝62＋82＝10，∴OE ＝OA ·OB AB ＝6×810＝4.8，∴AE ＝AO 2－OE 2＝62－4.82＝3.6.∴AC ＝2AE ＝7.2，∴BC ＝AB －AC ＝10－7.2＝2.8.(第12题)12．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，过点C 作CD 的垂线交AB 于点E ，过点D 作CD 的垂线交AB 于点F.求证：AE ＝BF.【解】过点O 作ON⊥CD 于点N ，则N 是CD 的中点． ∵CE ⊥CD ，DF ⊥CD ， ∴CE ∥NO ∥DF ， ∴EO ＝FO ，∴AO －EO ＝BO －FO ，即AE ＝BF.初中数学试卷金戈铁骑制作。

九年级数学上册第3章圆的基本性质 3.3 垂径定理(1)练习 (新版)浙教版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题3.3垂径定理(1)(见B本21页)A 练就好基础基础达标1．2017·泸州中考如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( B)A.7 B．27 C．6 D．81题图2题图2．如图所示，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM 长的最小值为( B)A．2 B．3 C．4 D．5第3题图3．如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD交于点P，且点P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是( D)A．2 3 cm B．3 2 cm C．4 2 cm D．4 3 cm4．在半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( C)A．3 B．4 C. 5 D.75．如图所示，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB ＝3，BC＝1，则与圆环的面积最接近的整数是( D)A．9 B．10 C．15 D．135题图6题图6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC ＝6 cm ，则OD ＝__3__cm.7．如图所示，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则AC ＝2，BC ＝2．7题图第8题图8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A ，B ，并使AB 与半径OC 垂直，垂足为小圆上的点D.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是__50_cm__．9．如图是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8 m ，净高CD 为8 m ，那么这个隧道所在圆的半径OA 的长是多少m ？解：设OA 长为x (m)，依题意得OD ⊥AB ，则AD ＝DB ＝4 m ，OD ＝(8－x) m. 在Rt △OAD 中，由勾股定理得 x 2＝42＋(8－x)2，解得x ＝5.故这个隧道所在圆的半径OA 的长是5 m.第10题图10．如图所示，过△OAB 的顶点O 作⊙O，与OA ，OB 边分别交点C ，D ，与AB 边交于M ，N 两点，且CD∥AB，已知OC ＝3，CA ＝2.(1)求OB 的长；(2)若∠A＝30°，求MN 的长．第10题答图解：(1)∵OC＝OD ， ∴∠OCD ＝∠ODC，∵CD ∥AB ，∴∠A ＝∠OCD，∠B ＝∠ODC， ∴∠A ＝∠B，∴OB ＝OA ＝OC ＋CA ＝3＋2＝5.(2)过O 作OE⊥MN 于点E ，连结OM ， ∵∠A ＝30°，∴OE ＝12OA ＝52，∴在Rt △OEM 中， ME ＝OM 2－OE 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝112， ∴MN ＝2ME ＝11.第11题图11．衢州中考一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA ＝1 m ，水面宽AB ＝1.2 m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m ，求此时排水管水面宽CD.第11题答图解：如图，过点O 作OE⊥AB 交AB 于点E ，交CD 于点F ，连结OC. AB ＝1.2 m ，OE ⊥AB ，OA ＝1 m ， ∴OE ＝0.8 m ，又∵水管水面上升了0.2 m ，∴OF ＝0.8－0.2＝0.6 (m)，CF ＝12－0.62＝0.8 (m)， ∴CD ＝2CF ＝1.6 m.B 更上一层楼能力提升12．过⊙O 内一点M 的最长弦长度为10 cm ，最短弦长度为8 cm ，则OM 的长为( C ) A ．9 cm B ．6 cm C ．3 cm D.41 cm13．已知⊙O 的半径为10 cm ，弦AB∥弦CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离为__14_cm 或2_cm__．14．如图所示，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点．已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是(6，0) ．第14题图第15题图15．如图所示，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心、B为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于点A，B和C，D，连结OA，此时有OA∥PE.(1)求证：AP＝AO.(2)若弦AB＝24，求OP的长．第15题答图解：(1)证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO，∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴PA＝OA.(2)过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝HB＝12，∵OA＝PA＝13，∴PH＝25.则OH＝OA2－AH2＝132－122＝5，∴OP＝PH2＋OH2＝252＋52＝526.C 开拓新思路拓展创新16．如图所示，MN为⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B 作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是．第16题图17．如图所示，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵与AB 垂直的半径OC 交于点D 且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为．第17题图。

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