九年级数学正切的定义

合集下载

知识讲解正切函数的性质和图象基础

知识讲解_正切函数的性质和图象_基础正切函数是三角函数中的一种，常用符号为tan，表示一个角的正切值。

在数学中，正切函数具有许多重要的性质和图像，下面将对其进行详细介绍。

1.定义：正切函数的定义是：对于一个角θ，它的正切值tanθ等于角的对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。

2.周期性：正切函数具有周期性，即tan(θ+π)=tanθ，其中π是圆周率。

这意味着正切函数的图像在每个周期内重复出现，以直线y=tanθ为对称轴。

3.定义域和值域：正切函数的定义域是所有实数，除了使分母为零的角度。

当角度为90°的倍数时，分母为零，正切函数无定义。

正切函数的值域是所有实数，即从负无穷到正无穷。

4.奇偶性：正切函数是一个奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。

这意味着正切函数的图像关于原点对称。

5.渐近线：正切函数有两条渐近线，分别为x=π/2+kπ和x=-π/2+kπ，其中k是整数。

当θ接近这些值时，tanθ的值趋向于正无穷或负无穷。

6.零点：正切函数有无数个零点，即tanθ=0。

这些零点出现在角度为kπ时，其中k是整数。

7.图像变换：对于正切函数的图像，可以通过平移、缩放和反转等变换得到。

例如，将y=tanθ的图像向右平移π/4个单位，得到y=tan(θ-π/4)的图像；将y=tanθ的图像进行垂直缩放，得到y=a*tanθ的图像，其中a 是一个常数。

8.切线斜率：正切函数在每个周期内都有无穷多个切线，切线的斜率是tanθ。

这意味着切线的斜率在整个图像上是连续变化的。

9.函数图像：正切函数的图像是一个周期为π的波浪线。

在每个周期内，图像从负无穷逐渐上升到正无穷，然后再从正无穷逐渐下降到负无穷。

图像在每个周期内有一个零点，并且在每个周期的中点有一个峰值和一个谷值。

总结起来，正切函数是一个周期性的、奇函数，定义域为所有实数，值域为所有实数。

它具有两条渐近线，有无数个零点，图像是一个波浪线，切线的斜率等于函数值。

正切函数的定义与性质

正切函数的定义与性质正切函数是数学中常见的一种三角函数，它是用来描述一个角对应的直角三角形中的斜边与底边的比值，通常用tan表示。

在数学中，正切函数有着许多独特的性质与定义。

一、正切函数的定义正切函数可以由单位圆上的点来定义。

设点P(x,y)为单位圆上的一点，P对应的角度为θ。

则正切函数定义为tanθ=y/x，其中x和y分别代表点P在x轴和y轴上的坐标。

二、正切函数的性质1. 周期性：正切函数是周期函数，其周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。

2. 定义域：正切函数的定义域为所有使得分母x≠0的实数。

3. 值域：正切函数的值域是整个实数集，即tanθ∈(-∞, +∞)。

4. 对称性：正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。

5. 可导性：正切函数在其定义域的内部都是可导函数。

6. 零点：正切函数的零点是π的整数倍，即tan(πn)=0，其中n为整数。

7. 极限：当θ趋近于π/2或-π/2时，正切函数的值趋近于正无穷或负无穷。

三、正切函数的图像正切函数的图像具有明显的周期性和对称性。

在定义域内，正切函数图像在x轴的点是无穷多个，称为渐近线。

正切函数图像的振荡幅度趋近于无穷大。

四、正切函数的应用1. 在三角学中，正切函数可以用来计算角度之间的关系，如求解三角方程、求解三角函数值等。

2. 在物理学中，正切函数可以用来计算斜张除以底边的比率，如物体在斜面上的运动问题，力的分解等。

3. 在计算机图形学中，正切函数可以用来绘制圆形曲线、形变动画等。

综上所述，正切函数是一种重要的三角函数，它定义清晰，具有周期性、对称性和可导性等特点。

正切函数在数学和其他学科中有着广泛的应用，是人们研究和解决问题的有力工具。

对于学习数学的同学来说，理解正切函数的定义和性质是非常重要的一部分。

三角函数的正切定理

三角函数的正切定理三角函数是数学中重要的概念之一，在几何和物理学中有广泛的应用。

其中，正弦、余弦和正切是最为常见的三角函数之一。

本文将重点介绍正切函数的定义和应用，并具体阐述正切定理。

一、正切函数的定义正切函数，简称tan，是指在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数是指以θ为单位的对边与邻边的比值。

用数学符号表示为：tanθ = 对边/邻边二、正切函数的性质1. 周期性：正切函数的周期为π，即tan(θ+π) = tanθ。

2. 定义域：由于正切函数是对边与邻边的比值，邻边不能为零，所以正切函数的定义域为一切邻边不为零的角度。

3. 值域：正切函数的值域是整个实数集。

4. 对称性：正切函数的图像在原点对称。

5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是y = π/2 和 y = -π/2。

6. 连续性：在定义域内，正切函数是连续的。

三、正切定理正切定理是指在一个直角三角形中，正切函数与其它两个三角函数的关系。

1. 正切定理一：tanθ = sinθ/cosθ这个定理表明，在一个直角三角形中，tanθ可以表示为sinθ与c osθ的比值。

2. 正切定理二：sin^2θ + cos^2θ = 1这个定理被称为“三角恒等式”或“勾股定理”，它表示在一个直角三角形中，正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。

3. 正切定理三：1 + tan^2θ = sec^2θ这个定理也被称为“倒数关系”，它表示在一个直角三角形里，正切函数的平方与其倒数（即secant函数）的平方之和等于1。

四、正切函数的应用正切函数在日常生活和学科中有广泛应用。

下面是正切函数的一些应用领域：1. 几何学：正切函数可以用于计算直角三角形中的边长或角度。

2. 物理学：正切函数可以用于描述物体在斜坡上滚动的速度和加速度。

3. 工程学：正切函数可以用于建筑、航空和土木工程中的角度测量和设计。

4. 统计学：正切函数可以用于统计学中的信号处理和图形分析。

初中正弦余弦正切公式

初中正弦余弦正切公式“初中数学必背三角函数公式、三角函数值”主要包括正弦、余弦、正切函数的定义式和关系式，特殊锐角的正弦、余弦、正切值。

一、正弦、余弦、正切的定义假设在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C的对边长度分别记为a、b、c，则有（注：初中数学里，三角函数的定义只适用于直角三角形。

）：1、锐角A的正弦值、余弦值、正切值的定义式分别如下：（1）∠A的正弦值=∠A的对边：斜边，记作sinA=a/c。

（2）∠A的余弦值=∠A的邻边：斜边，记作cosA=b/c。

（3）∠A的正切值=∠A的对边：∠A的邻边，记作tanA=a/b。

2、锐角B的正弦值、余弦值、正切值的定义式分别如下：（1）∠B的正弦值=∠B的对边：斜边，记作sinB=b/c。

（2）∠B的余弦值=∠B的邻边：斜边，记作cosB=a/c。

（3）∠B的正切值=∠B的对边：∠B的邻边，记作tanB=b/a。

【注】正弦=“对比斜”、余弦=“邻比斜”、正切=“对比邻”。

3、互余的两个角间的正弦、余弦、正切值关系假设在直角三角形ABC中，∠C为直角，则∠A与∠B互余。

通过∠A和∠B的正弦、余弦、正切值的定义式的对比，我们不难发现：∠A的正弦值与∠B的余弦值相等，∠A的余弦值与∠B的正弦值相等，∠A的正切值与∠B的正切值互为倒数。

所以，当∠A与∠B互余时我们有以下3个同时成立的等式关系：（1）sinA=cosB；（2）sinB=cosA；（3）tanA·tanB=1。

二、同角的正弦值、余弦值、正切值间的关系式1、商数关系：tanA=sinA/cosA；tanB=sinB/cosB.2、平方关系：同一个锐角的‘正弦的平方’与‘余弦的平方’的和为1，即(sinA)^2+(cosA)^2=1；(sinB)^2+(cosB)^2=1.3、倒数关系：tanA·cotA=1；tanB·cotB=1.【注】“cotA”称为为∠A的余切，它等于∠A的邻边比上∠A的对边。

正切知识点归纳总结

正切知识点归纳总结一、正切的定义正切是一个基本的三角函数，它定义了直角三角形中的一个角的正切值。

在一个直角三角形ABC中，角A的正切（tanA）定义为直角边对边的比值，即tanA = AB/BC。

在单位圆中，给定角θ的正切值为点P（x，y）的坐标值，即tanθ = y/x。

二、正切函数的定义域和值域正切函数的定义域为所有不等于（2k+1）π/2的实数，即tanx存在的区间为(-π/2, π/2) U (π/2, 3π/2) U (5π/2, 7π/2)……。

正切函数的值域为所有的实数，即tanx的取值范围为(-∞, +∞)。

三、正切函数的性质1. 周期性：正切函数是周期函数，其周期为π，即tan(x+π) = tanx。

2. 奇函数：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tanx。

3. 可导性：在其定义域内，正切函数是可导的。

4. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别为x = (2k+1)π/2，其中k∈Z。

5. 增减性：在其定义域内，正切函数在每个周期上是单调递增或单调递减的。

6. 零点：正切函数在定义域内有许多零点，其值为nπ，其中n为整数。

7. 极限：当x趋于±π/2时，tanx的极限为±∞。

8. 表象：正切函数的图像是以原点为对称中心的周期性波浪形状。

四、正切函数的图像正切函数的图像是典型的周期性波浪形状，具有两条渐近线。

在每一个周期内，正切函数在区间(-π/2, π/2)内是单调递增的，而在区间(π/2, 3π/2)内是单调递减的。

在图像上，正切函数的零点为整数倍的π，而在渐近线附近几乎垂直地接近于渐近线。

五、正切函数的应用1. 解直角三角形：正切函数可以用来求解直角三角形中的边长和角度。

2. 建立数学模型：在物理学、工程学等领域，正切函数被广泛用于建立数学模型，描述物体运动、电路电压等现象。

3. 信号处理：在通信、控制系统等领域，正切函数被用来分析信号的频率、相位等信息。

初中数学九年级锐角三角函数知识点总结

锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容，其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。

下面是对锐角三角函数知识点的详细总结：1.三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与斜边的长度的比值。

- 余弦函数（cos）：对于单位圆上的一个角，其邻边的长度与斜边的长度的比值。

- 正切函数（tan）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与邻边的长度的比值。

2.锐角的定义：锐角是角度在0°到90°之间的角。

3.单位圆：单位圆指半径长度为1的圆，锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。

4.三角函数的图像：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。

5. 正弦函数（sin）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点：关于y轴对称6. 余弦函数（cos）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点：关于x轴对称7. 正切函数（tan）的特点：-定义域：(0°,90°)或(0,π/2)-值域：R（实数集）-周期：180°或π- 特殊值：tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在（无限大）-图像特点：周期性递增8.三角函数之间的关系：- 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用：-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。

九年级数学正切余弦正弦

九年级数学正切余弦正弦正切、余弦和正弦是三角函数的基本概念，对于九年级的学生来说，掌握这些概念对于解决各种数学问题至关重要。

在本文中，我将详细介绍正切、余弦和正弦的定义、性质和应用，并提供一些相关的例题和解题方法。

首先，我们来看正切函数。

正切函数是指在单位圆上，对于任意一个角的正切值等于该角的正弦值除以其余弦值。

用数学符号表示，正切函数定义如下：tanθ = sinθ / cosθ其中，θ表示角度。

正切函数的定义域是所有不等于奇数π/2的实数，值域是所有实数。

接下来，我们来看余弦函数。

余弦函数是指在单位圆上，对于任意一个角的余弦值等于该角的横坐标除以半径。

用数学符号表示，余弦函数定义如下：cosθ = x / r其中，x表示点在单位圆上的横坐标，r表示单位圆的半径。

余弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。

最后，我们来看正弦函数。

正弦函数是指在单位圆上，对于任意一个角的正弦值等于该角的纵坐标除以半径。

用数学符号表示，正弦函数定义如下：sinθ = y / r其中，y表示点在单位圆上的纵坐标，r表示单位圆的半径。

正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。

正切、余弦和正弦函数的性质如下：1.正切函数的周期是π。

2.余弦函数和正弦函数的周期是2π。

3.正切函数和正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

4.正切函数和正弦函数的图像在定义域内是周期性的，而余弦函数的图像是非周期性的。

5.正切函数在定义域内有无数个间断点，而余弦函数和正弦函数在定义域内是连续的。

6.正切函数在定义域内有无数个渐近线，余弦函数和正弦函数没有渐近线。

正切、余弦和正弦函数在数学中有许多应用。

其中之一是计算三角形的各种属性。

通过利用正切函数，我们可以计算一个角的正切值，从而得到角的大小。

通过利用余弦函数和正弦函数，我们可以计算三角形的边长、角度等。

举例来说，假设我们有一个直角三角形，其中一个角的正切值为1/2，我们可以根据正切函数的定义计算这个角的大小。

正切是如何定义的

正切在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tan A=a/b，即tanA=BC/AC。

三角函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中，三角函数也是常用的工具。

在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比值随之确定，这个比叫做角A的正切，记作tanA。

即tanA=角A的对边/角A的邻边。

正切定理在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商.法兰西斯·韦达(François Viète)曾在他对三角法研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中提出正切定理。

现代的中学课本已经甚少提及，例如由于中华人民共和国曾经对前苏联和其教育学的批判，在1966年至1977年间曾经将正切定理删除出中学数学教材。

不过在没有计算机的辅助求解三角形时，这定理可比余弦定理更容易利用对数来运算投影等问题。

正切定理：(a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)证明由下式开始，由正弦定理得出(参阅三角恒等式)正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。

放在直角坐标系中（如图）即tanθ=y/x也有表示为tgθ=y/x，但一般常用tanθ=y/x（由正切英文tangent简写得来）。

九年级数学下册知识点总结

图1九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

1.1第1课时正切(教案)2023春九年级下册数学(北师大版)安徽

其次，在新课讲授环节，我注重对正切定义和性质的讲解，通过举例和比较，帮助学生理解正切的计算和应用。但在实际操作中，我发现部分学生对正切值的计算仍然存在困难。针对这一点，我需要在今后的教学中加强对计算方法的指导，让学生多加练习，提高计算准确性。
此外，实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，课堂氛围活跃。通过分组讨论和实验操作，学生不仅巩固了正切知识，还学会了将所学运用到实际问题中。但在这一过程中，我也注意到有些学生在讨论中过于依赖同伴，缺乏独立思考。因此，我需要在接下来的教学中，引导学生培养独立思考和解决问题的能力。
在学生小组讨论环节，我努力扮演好引导者的角色，帮助学生发现问题、分析问题。但我也发现，部分学生在讨论中容易偏离主题，导致讨论效果不佳。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论主题的聚焦和深入。
最后，总结回顾环节，学生对正切知识有了更深入的理解。但在课后，我了解到仍有部分学生对正切的应用存在疑问。为了帮助学生更好地消化吸收所学知识，我计划在课后加强辅导，针对学生的疑问进行解答，确保他们能够真正掌握正切这一知识点。
1.数感与符号意识：通过正切定义的学习，使学生理解并运用符号表示正切函数，增强数感与符号意识。
2.空间观念与几何直观：通过正切图像的绘制与分析，培养学生探讨正切的性质，培养推理与论证能力，提高数学思维水平。
4.数学建模与问题解决：设计实际问题，让学生运用正切知识解决，培养数学建模与问题解决的能力。
-正切图像：绘制并分析正切图像，了解其曲线在0°到90°之间单调递增的特点。这是本节课的重点，需要教师引导学生观察、思考，加深对正切函数图像的认识。
举例：在讲解正切性质时，可以结合具体角度（如30°、45°、60°等）的正切值，让学生观察正切值的变化规律，从而加深对正切性质的理解。

九年级数学下册知识点总结(最新最全)

九年级下册知识点第一章直角三角形边的关系1、正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边。

①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”；④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

（P1-6,11、P3-6、P4-12）2、正弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA=∠A 的对边/斜边；3、余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=∠A 的邻边/斜边；4、余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边；5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则①sin A = cos(90°−∠A ）等等。

6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。

（P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

同角的三角函数间的关系：t αn α·cot α=1，tan α=sin α/cos α，cot α=cos α/sin α，sin 2α+cos 2α=18、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有：（1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2；（2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°；（3)边与角之间的关系：sin α等；（4）面积公式；（5）直角三角形△ABC 内接圆⊙O 的半径为(a+b-c)/2；（6）直角三角形△ABC 外接圆⊙O 的半径为c/2。

【初中数学】初中数学正切函数的知识点

【初中数学】初中数学正切函数的知识点【—正切函数总结】我们一直学习的三角函数包括四大类，其中正切函数就是其中之一。

正切函数英文：tangent简写：tan中文:正弦概念例如图，把∠a的对边与∠a的邻边的比叫作∠a的正弦，记作tan=∠a的对边/∠a的邻边=a/b锐角三角函数tan15°=2-√3tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√3正切函数的定义对于任意一个实数x，都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数)，而这个角又对应着唯一确定的正切值tanx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。

形式就是f(x)=tanx正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最小区别就是定义域的不连续性.正切函数的性质1、定义域：{xx∈r且x≠(π/2)+kπ,k∈z}2、值域：实数集r3、奇偶性：奇函数4、单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，(k∈z)上是增函数5、周期性：最轻正周期π(需用t=π/ωxi)6、最值：无最大值与最小值7、零点：kπ,k∈z8、对称性：轴对称：并无对称轴中心对称：关于点(kπ/2,0)对称(k∈z)9、图像实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有x=(n/2)π点都是它的对称中心.正弦函数诱导公式tan(2π+α)=tanαtan(-α)=-tanαtan(2π-α)=-tanαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα公式定理的自学有赖于记忆和运用，正像正弦函数的记忆一样。

九年级数学三角函数定义及三角函数公式大全

一、三角函数的定义：在平面直角坐标系中，以坐标轴正方向为单位长，在单位圆上取点P(x,y)，点P与x轴之间的夹角为θ。

根据点P在单位圆上的位置，定义以下三个比率：1. 正弦函数（sine）：sinθ = y2. 余弦函数（cosine）：cosθ = x3. 正切函数（tangent）：tanθ = y/x二、常用的三角函数公式：1.正弦函数的基本性质：（1）sin(-θ) = -sinθ（2）sin(π/2 - θ) = cosθ（3）sin(π - θ) = sinθ（4）sin(2π - θ) = -sinθ（5）sin(θ + 2kπ) = sinθ（k为整数）（6）sin2θ = 2sinθcosθ2.余弦函数的基本性质：（1）cos(-θ) = cosθ（2）cos(π/2 - θ) = sinθ（3）cos(π - θ) = -cosθ（4）cos(2π - θ) = cosθ（5）cos(θ + 2kπ) = cosθ（k为整数）（6）cos2θ = cos²θ - sin²θ3.正切函数的基本性质：（1）tan(-θ) = -tanθ（2）tan(π/2 - θ) = 1/tanθ（3）tan(θ + π) = tanθ（4）tan(θ + πk) = tanθ（k为整数）（5）tan2θ = 2tanθ/(1-tan²θ)4.三角函数间的关系：（1）tanθ = sinθ/cosθ（2）sin²θ + cos²θ = 1（3）1 + tan²θ = sec²θ（4）1 + cot²θ = csc²θ（5）cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ5.三角函数的诱导公式：sin(x+y) = sinx*cosy + cosx*sinycos(x+y) = cosx*cosy - sinx*sinytan(x+y) = (tanx + tany)/(1 - tanxtany)sin(x-y) = sinx*cosy - cosx*sinycos(x-y) = cosx*cosy + sinx*sinytan(x-y) = (tanx - tany)/(1 + tanxtany)其中，x和y表示任意实数。

正切函数的定义和性质

正切函数的定义和性质正切函数是我们在学习三角函数的时候比较重要的一种函数。

正切函数的定义为$f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$。

在此，我们来探讨一下正切函数的一些重要性质。

一、定义域和值域正切函数的定义域为$\{x\in R|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\}$，即$x$不等于$\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}$等数。

因为在这些点上，$\cos x$为$0$，而$\tan x$无意义。

正切函数的值域为$R$。

因为当$x$接近$\frac{\pi}{2}$或$-\frac{\pi}{2}$时，$\tan x$的值会趋近于$+\infty$或$-\infty$，而在其他的点上，$\tan x$可以取到任意实数。

二、奇偶性正切函数是一个奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。

我们可以通过$f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$来证明这个性质。

当$x$变为$-x$时，$\sin x$和$\cos x$的符号都会改变，因此$\frac{\sin (-x)}{\cos (-x)}=-\frac{\sin x}{\cos x}$，即$f(-x)=-f(x)$。

三、周期性正切函数具有周期性，即$f(x+\pi)=f(x)$。

我们同样可以通过$f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$来证明这个性质。

当$x$增加$\pi$时，$\sin x$和$\cos x$的符号都会变化，因此$\frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=-\frac{\sin x}{\cos x}$。

但是由于$\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$，$\frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\tan (x+\pi)$，因此$f(x+\pi)=f(x)$。

九年级数学正切余弦正弦

九年级数学正切余弦正弦正切、余弦和正弦是三角函数中的重要概念。

在数学中，它们常常以字母符号表示为tan、cos和sin。

在九年级数学中，我们将深入研究和了解这三个函数的性质、定义和应用。

首先，让我们来了解正切函数（tan）。

正切函数是一个三角函数，表示一个角的正切值。

在一个直角三角形中，正切函数可以定义为对边与邻边的比值。

如果一个角的度数为x°，则tan(x) =对边/邻边。

正切函数的值域为实数集。

接下来，我们讨论余弦函数（cos）。

余弦函数是一个三角函数，表示一个角的余弦值。

在一个直角三角形中，余弦函数可以定义为邻边与斜边的比值。

如果一个角的度数为x°，则cos(x) =邻边/斜边。

余弦函数的值域为[-1, 1]。

最后，我们来看正弦函数（sin）。

正弦函数是一个三角函数，表示一个角的正弦值。

在一个直角三角形中，正弦函数可以定义为对边与斜边的比值。

如果一个角的度数为x°，则sin(x) =对边/斜边。

正弦函数的值域也为[-1, 1]。

这三个三角函数在数学中有着广泛的应用。

首先，它们在解决实际问题中起到了重要的作用。

例如，当我们需要求解一个三角形的边长或角度时，可以使用这些三角函数来计算。

其次，它们在物理学、工程学和计算机图形学等学科中也有广泛的应用。

例如，在物体运动的分析中，我们可以使用这些函数来描述物体的位置、速度和加速度。

在计算机图形学中，这些函数用于生成图形和动画。

在数学中，我们还有很多与正切、余弦和正弦函数相关的重要定理和公式。

其中，最常见的是三角恒等式。

这些恒等式描述了这些函数之间的关系，我们可以利用它们来简化和转化三角函数的表达式。

例如，最常见的恒等式之一是tan^2(x) + 1 = sec^2(x)。

我们还有很多其他的恒等式，如sin^2(x) + cos^2(x) = 1和tan(x) = sin(x) / cos(x)等等。

此外，我们还有很多图形可以帮助我们理解和可视化这些三角函数。

九年级上册数学苏教版知识点正切

九年级上册数学苏教版知识点正切正切，作为初中数学中的一项重要知识点，是解决三角函数相关问题的关键概念之一。

在九年级上学期数学苏教版中，正切的概念和相关性质被引入，并且学生需要掌握其基础知识和应用技巧。

那么，下面就让我们一起来探索九年级上册数学苏教版中关于正切的重要内容吧！一、正切的概念在开始讨论正切的性质之前，我们需要先理解正切的概念。

在数学上，正切可以简单地定义为直角三角形中的一条边与另一条边的比值。

具体来说，我们可以通过以下公式来表示：$$\tan \theta = \frac{a}{b}$$其中，$\tan \theta$ 表示角度 $\theta$ 的正切值，$a$ 表示直角三角形中与角度 $\theta$ 相对的那条边的长度，$b$ 表示直角三角形中与角度 $\theta$ 相邻的那条边的长度。

二、正切的性质在九年级上学期的数学教材中，我们学习了正切的一些性质，这些性质对于进一步应用正切解决问题非常重要。

下面，我们逐一介绍这些性质。

1. 正切的定义域与值域正切函数的定义域是除去使分母为零的实数集，即：$$D = \{ \theta | \theta \neq (2k + 1) \frac{\pi}{2}, k \in Z \}$$而正切函数的值域是包含所有实数的集合，即：$$R = (-\infty, +\infty)$$2. 正切的周期性正切函数是具有周期性的函数，其周期为 $\pi$。

如果 $\tan\theta$ 的值已知，那么 $\tan \left( \theta + k \pi \right) = \tan \theta$，其中 $k$ 是任意整数。

3. 正切的奇偶性对于正切函数，我们可以发现其具有奇偶性。

即 $\tan \left( - \theta \right) = - \tan \theta$。

这意味着，如果 $\theta$ 是正切函数的定义域内的一个数，那么 $- \theta$ 也是。

九年级上册数学知识点正切

九年级上册数学知识点正切正切，是数学中一个重要的三角函数。

在九年级的数学课程中，正切是一个必须掌握的知识点。

本文将深入探讨正切的概念、性质以及在实际问题中的应用。

首先，我们来了解正切的定义。

在一个直角三角形中，正切是指直角边对非直角边的比值。

也就是说，如果一个直角三角形的两个直角边分别为a和b，而角A为非直角角度，则正切的计算公式为tan(A) = a/b。

接下来，让我们来探讨一些正切函数的性质。

首先，正切函数是奇函数，也就是说tan(-A) = -tan(A)。

这意味着，如果我们取一个角度A的负数，然后计算它的正切值，最后再取负数，我们将得到与正切A相反的值。

其次，正切函数在90度直角时不存在，因为在这个情况下，除数为零。

最后，正切函数在周期为π时重复出现。

也就是说，tan(A+π) = tan(A)，这意味着在给定的角度上，我们可以找到无数个具有相同正切值的角度。

正切函数在解决实际问题中也有广泛的应用。

例如，如果我们要测量一座建筑物的高度，但无法直接测量，可以利用正切函数来解决这个问题。

首先，我们站在离建筑物一定距离的地方，然后测量我们的眼睛和建筑物顶部的夹角。

假设这个角度为A，那么我们可以利用正切函数来计算建筑物的高度。

首先测量我们与建筑物之间的水平距离为b，然后我们可以使用公式tan(A) = 高度/b来计算高度。

另一个实际应用是在工程领域中的坡度计算。

如果我们需要设计一个斜坡，使得人们能够方便地行走，但又不会太陡，我们可以使用正切函数来计算坡度。

假设我们需要设计一个斜坡的角度为A，那么我们可以使用公式tan(A) = 垂直高度/水平距离来计算所需的坡度。

通过计算正切值，我们可以确保斜坡的安全和舒适性。

最后，正切函数还在几何学和物理学中具有重要的作用。

在几何学中，利用正切函数可以确定两条直线的斜率，从而进一步研究直线的性质。

在物理学中，正切函数可以帮助我们分析物体在斜面上的运动，例如车辆在坡道上的行驶过程中所受到的重力和摩擦力。

九年级下册数学知识点正切

九年级下册数学知识点正切九年级下册数学知识点——正切数学作为一门学科，涉及到许多不同的知识点和概念。

在九年级下册的数学课程中，正切（tangent）是一个重要的概念。

正切是三角函数的一种，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。

本文将为您介绍九年级下册有关正切的知识点，以及与之相关的一些应用。

正切的定义很简单，它是一个角的正弦与余弦之商。

在直角三角形中，如果给定一个角的对边和邻边的长度，那么这个角的正切就等于对边与邻边的比值。

正切函数通常用“tan”表示，所以我们可以把这个比值写成tanθ。

其中，θ代表角度。

在正切的定义中，需要注意的是邻边和对边的所对应的角度必须小于90度，也就是说必须是锐角。

因为在直角三角形中，如果角为90度，那么它的邻边就是0，而它的对边是直角三角形的斜边，此时正切的值将不存在。

对于九年级下册的学生来说，掌握正切的定义和性质十分重要。

除此之外，还需要学会如何计算角度的正切值。

为了计算正切，我们可以使用计算器或者表格中的数值。

但是我们也可以使用一些特殊的角度值计算它的正切。

在九年级下册的数学课程中，我们将学习如何用正切来解决各种问题。

例如，在三角恒等式和三角方程中，我们经常会用到正切函数。

正切的性质使得它可以用于解决许多与角度有关的问题，如海伦公式、三角形的面积等。

此外，正切还与圆相关。

在单位圆中，角度的正切值等于角的终边与圆心到终边之间的距离的比值。

这种关系在几何学中有着重要的应用，例如在解决直角三角形的问题时，我们可以利用单位圆中角的正切值来计算。

正切还可以被应用于许多实际生活中的问题。

例如，在建筑设计和测量中，我们可以利用正切来计算建筑物的高度，或者测量两个物体之间的距离。

在科学研究中，正切也经常被用于计算各种现象和数据之间的关系。

九年级下册的数学课程将进一步探讨正切的性质和应用。

通过学习和理解这些知识点，学生们将能够更好地应用正切来解决实际问题，并在数学领域中更深入地探索和研究。

正切值向量知识点总结

正切值向量知识点总结1. 正切值的定义在数学中，正切值的定义如下：tan(θ) = opp/adj其中，θ为一个角度，opp代表直角三角形中的对边，adj代表直角三角形中的邻边。

2. 正切值的性质正切值具有以下几个重要的性质：（1）定义域：在数学中，正切值函数的定义域为全体实数集。

（2）周期性：正切函数的周期为π，即tan(θ+π) = tan(θ)。

（3）奇函数：正切函数是一个奇函数，即tan(-θ) = -tan(θ)。

（4）无定义点：在数学中，正切函数在一些特定的点上是无定义的，例如tan(π/2)和tan(-π/2)。

（5）渐近线：正切函数在一些点上有渐近线，例如在θ = kπ + π/2（k为整数）处，tan(θ)趋于无穷大或者无穷小。

3. 正切值的图像由于正切函数具有周期性，因此它的图像也是周期性的。

正切函数的图像呈现出波浪形状，同时在一些点上有渐近线。

在数学中，可以通过计算机或者手绘的方式来绘制正切函数的图像，以更好地理解其形态特征。

4. 正切值的应用正切值在数学中有着广泛的应用，例如：（1）求解角度：在三角形中，可以通过已知的两边长度来计算相应的角度，利用到正切值的概念和公式。

（2）计算比例：在工程中，正切值常用于计算比例和长度，例如在工程测量、建筑设计等方面。

（3）图像处理：在计算机图形学中，正切值可以用来计算图像的旋转和缩放等操作。

5. 正切值向量正切值向量是一个向量，其中的每个元素都是一个正切值。

在数学中，正切值向量可以用来表示一系列角度的正切值，具有以下的特点和性质：（1）角度和正切值的关系：通过正切值向量，可以方便地表示一系列角度对应的正切值，从而便于计算和分析。

（2）矢量运算：正切值向量可以进行加减乘除等运算，可以用于复杂的数学计算和模拟仿真。

（3）应用领域：正切值向量在物理、工程、计算机科学等领域都有着重要的应用。

6. 总结正切值是三角函数中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的应用。