第6节(弯曲变形)
第六节-蠕变及应力松弛试验
• ( 6 ）疲劳应变εN：由ε－ N 曲线推算出的，在 N 次 循环时材料疲劳破坏的应变值。
20
高分子材坏试验中断裂 为两部分时，是疲劳破坏。
第六节 蠕变及应力松弛试验
• 一条已架设的硬聚氯乙烯管线，随着时间的增加它会 弯曲变形；一件经常挂在墙上的雨衣，由于它本身的 自重也会使它沿着悬挂方向变形。这些现象都认为是 材料的蠕变现象。
• 将一条橡皮拉伸到一定长度并使之固定起来，橡皮同 部会产生与所加外力大小相等方向相反的应力（弹 力），这种弹力会随着时间的延长而逐渐减小，慢慢 地松弛下来，这就是应力松弛。
• ( l ）疲劳：材料在交变的周期性应力或频繁的重复 应力作用下，导致材料的力学性能减弱或破坏的过
程称为疲劳。
• 疲劳使材料不能发挥固有的力学性能，在应力远小 于静态应力下的强度值时就会破坏，最初在试样上
产生微小的疲劳裂纹，裂纹逐渐增大，最终导致完
全破坏。
• ( 2 ）应力 S ：物体内某点的平面上所受力的大小 称为应力；
和应力松弛就愈明显
17
高分子材料分析与性能测试
第八节 疲劳试验
• 一块塑料片或细铁丝经过多次的弯折后会折断，这就 是材料的疲劳过程。
• 所有材料无论是合成的还是天然的都会受到疲劳现象 的影响。
• 80 ％～90 ％的设备使用损坏都是由疲劳引起的。
18
高分子材料分析与性能测试
一、概念
• 疲劳试验分为拉压、弯曲、扭转、冲击、组合应力 等试验方法 。
• ( 9 ）疲劳寿命在规定循环应力或应变下，试样疲劳破 坏所经受的应力或应变循环次数。
(整理)第6章弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K)
第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。
薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。
薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。
1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。
这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。
当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§6.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。
变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。
由Kirchhoff 假设，可以得到xwzz y x u ∂∂-=),,(，y w z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1）并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为22x w z x ∂∂-=ε，22ywz y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （6-2）其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。
弯曲变形区切向应变在板料厚度方向上按线性规律变化
三向应变
第四章 弯 曲
13
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第 2、宽板（B/t＞3）：
四 应力状态：
章
长度方向σ1：内区受压，外区受拉 宽度方向σ2 ：内区受压，外区受拉
厚度方向σ3 ：内外均受压应力
弯
三向应力
应变状态：
曲
长度方向ε1：内区压应变，外区拉应变
宽度方向ε2 ：内外区近似为零
厚度方向ε3 ：内区拉应变，外区压应变
章 为零。
厚度较小
弯
切向应变梯度很大
与最大应变的外表面相邻近的纤维
曲
层可以阻止外表面材料局部不均匀
延伸
延伸均匀 薄板最小弯曲半径允许
第四章 弯 曲
23
第 四 章
弯
第三节 弯曲卸载后的回弹
曲
第四章 弯 曲
24
第三节 弯曲卸栽后的回弹
第 一、回弹原因及表现形式
回弹： 塑性弯曲时伴随有弹性变形，当外载荷去
贴模： 板料与凸 、凹模完全贴紧
？
贴模后，凸模回程，继续下一个弯曲件的弯曲
自由弯曲
贴 继模 续后 下，一个凸弯模曲继件续的下弯压曲，压力增大到一定值后凸模回程，校正弯曲：
6
？
第四章 弯 曲
7
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第 二、弯曲变形的特点
目的：观察板料弯曲时的金属流动情况，
四 便于分析材料的变形特点
章 分析方法： 坐标网格法
弯
过程： 用机械刻线或照相腐蚀法在弯曲前 的板料侧表面设置坐标网格
曲
弯曲
用显微镜观察测量弯曲前后网格的尺 寸和形状变化情况
第四章 弯 曲
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第三章 弯曲-08
式中： ——最大自由弯曲力，即自由弯曲在冲压行程结束时的弯曲力，N；
σb——材料抗拉强度，MPa； k——安全系数，一般取k=1.3； b——弯曲件宽度，mm； r——弯曲件的内弯曲半径，mm； t——板料厚度，mm。
冲压工艺与学——弯曲
2．应力状态
切向ζθ：内区受压，外区受拉。 径向ζρ ：塑性弯曲时，由于变形区曲度增大，以及金属各层之间的相互 挤压的作用，从而引起变形区内的径向压应力ζρ，在板料表面ζρ= 0，由表及 里逐渐递增，至应力中性层处达到了最大值。 宽度方向ζb ：对于窄板，由于宽度方向可以自由变形，因而无论是内区 还是外区ζb =0；对于宽板，因为宽度方向受到材料的制约作用，σb ≠0。内 区由于宽度方向的伸长受阻，所以σb为压应力。外区由于宽度方向的收缩受 阻，所以σb为拉应力。 结论：窄板弯曲时的应力状态是平面的，宽板则是立体的。
内移结果：外层拉伸变薄区范围逐步扩大，内层压缩增厚区范 围不断减小，外层的减薄量会大于内层增厚量，从而使弯曲区板料 厚度变薄。 规律：r/t愈小，变形程度愈大，系数ξ就愈小，弯曲区的变薄 现象也愈严重(见表3-1) 。 影响：弯曲时的厚度变薄会影响零件的质量。
四、板料长度的增加
一般弯曲件，其宽度方向尺寸b比厚度方向尺寸大得多，所以弯曲前 后的板料宽度b可近似地认为是不变的。 由于板料弯曲时中性层位置向内移动，出现了板厚的减薄，根据体积 不变条件，减薄的结果使板料长度必然增加——相对弯曲半径r/t愈小，减 薄量愈大，板料长度的增加量也愈大。 对于r/t值较小的弯曲件：在计算弯曲件的毛坯长度时，必须考虑弯曲 后的板料增长，并通过多次试验，才能得出合理的毛坯展开尺寸。有关毛
冲压工艺与学——弯曲
在r/t≤4的情况下弯曲，由试验测定系数ξ<1(见表3-1)，因此，由 r 。 1 / 2 t 式(3-3)可知，当ξ<1时，应变中性层位置ρ0将小于 而 r 1 / 2 t 为塑性弯曲时的中心位置， 0 r 1 / 2 t 则表示了塑性弯曲 时应变中性层位置向内移动。 由表3-1看出：系数ξ值随r/t大小变化，r/t愈小，ξ值也愈小，应 变中性层的内移量就愈大。——凸模下行，变形程度不断增加，应 变中性层位置逐步向内移动，变形量愈大，中性层的内移量也愈大。 结论：由应变中性层内移可知，应变中性层处的纤维在弯曲前 期的变形是切向压缩，而弯曲后期必然是伸长变形，才能补偿弯曲 前期的纤维缩短，使其切向应变为零。而弯曲后期的纤维伸长变形， 一般来说，仅发生在应力中性层的外层纤维上。由此可见，应力中 性层在塑性弯曲时也是从板料中间向内层移动的，且内移量比应变 中性层还大。
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
弯曲变形区的应力与应变状态分析
r
邻部分材料的制约，材
料不易流动，因此其横
断面形状变化较小，仅
在两端会出现少量变形，
横断面形状基本保持为
矩形。BBρa)b)
图4-7 窄板、宽板的变形 a）窄板 b）宽板
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
5、弯曲后的畸变、翘曲 细而长的板料弯曲件，由于沿折弯 线方向工件的刚度小，塑性弯曲时，外区宽度方向的压应变和 内区的拉应变将得以实现，结果使折弯线翘曲。当板料弯曲件 短而粗时，沿工件纵向刚度大，宽度方向应变被抑制，翘曲则 不明显。对于管材、型材弯曲后的剖面畸变如图4-8b所示，这 种现象是因为径向压应力所引起的。另外，在薄壁管的弯曲中， 还会出现内侧面因受切向压应力的作用而失稳起皱的现象。
的减薄量大于内侧的增厚量，因
此使弯曲变形区的材料总厚度变 薄。变形程度愈大，变薄现象愈 严重。
图4-6 弯曲前后坐标网格的变化 a）弯曲前 b）弯曲后
接下页
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
4、变形区横断面的变形。 板料的相对宽度 B/ｔ（B是 板料的宽度，ｔ是板料的厚 度）对弯曲变形区的材料变 形有很大影响。一般将相对 宽度B /ｔ＞3 的板料称为宽 板 ，相对宽度B /ｔ≤ 3 的 称为窄板。
简述如下:弯曲开始前，先将 平板毛坯放入模具定位板中 定位，然后凸模下行，实施 弯曲，直至板材与凸模、凹 模完全贴紧(此时冲床下行至 下死点)，然后开模(此时冲 床上行至上死点)，再从模具 里取出Ｖ形件。
V
图4-3 V形弯曲模
第四章 弯曲
一、弯曲过程与特点 （续）
在板材A处，凸模施加外力2F，M
R
3、校正弯曲阶段：到行程终了时，凸凹模对弯曲件进行校正， 使其直边、圆角与凸模全部靠紧。整个变形区的材料完全处于 塑性变形较稳定的状态。
材料力学弯曲变形
材料力学弯曲变形
材料力学中的弯曲变形是指物体在受到外力作用下发生的一种变形形式。
当材料受到垂直于其长度方向的外力时，会产生弯矩，使得物体产生弯曲变形。
弯曲变形的原理可以通过材料力学中的悬臂梁模型进行解释。
在悬臂梁中，一个固定的端点支撑着一根梁，梁的另一端受到外力作用，使得梁产生弯曲。
在悬臂梁的弯曲变形中，梁上部的纤维受到拉力，而下部的纤维受到压力。
由于力的作用，纤维之间会相互滑动，从而产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过材料的弹性性质进行描述。
弯曲变形的程度取决于材料的弯曲刚度，即弹性模量，以及外力的大小和作用点的位置。
与拉伸变形不同，弯曲变形的应变分布不是均匀的，而是随着离中轴线的距离而变化。
中轴线上的纤维经历的应变为零，而离中轴线较远的纤维经历的应变较大。
弯曲变形是材料工程中常见的一种变形形式，它在很多结构中都会发挥作用。
例如，在桥梁和楼板等结构中，弯曲变形可以帮助承受外部荷载并保持结构的稳定性。
在材料设计和工程应用中，科学家和工程师常常要考虑材料的弯曲性能，以确保结构的强度和稳定性。
弯曲与弯曲模具设计
二、弯曲件的工艺计算
2.弯曲力的计算
(1)自由弯曲力对于V形件，有
F自
0.6kbt 2 b
rt
对于U形件，有
F自
0.7kbt 2 b
rt
(2)校正弯曲力如果弯曲件在冲压行程结束时受到模具的校正
(见图3-27)
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第四节 弯曲件的工艺特性及工艺计 算
二、弯曲件的工艺计算
(3)顶件力或压料力
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第四节 弯曲件的工艺特性及工艺计 算
一、弯曲件的工艺性
(6)增添连接带和定位工艺孔 如图3-22所示。 (7尺寸标注 尺寸标注对弯曲件的工艺性有很大的影响。 如图3-23所示。
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第四节 弯曲件的工艺特性及工艺计 算
二、弯曲件的工艺计算
1.弯曲件展开长度的确定
第三章 弯曲与弯曲模具设计
第一节 弯曲技术概述 第二节 弯曲变形过程分析 第三节 弯曲件坯料尺寸的计算 第四节 弯曲件的工艺特性及工艺计算 第五节 弯曲件的工序安排 第六节 弯曲模典型结构及结构设计
第一节 弯曲技术概述
弯曲是利用压力使金属板料、管料、棒料或型材在模具中弯 成一定曲率、一定角度和形状的变形工序。弯曲工艺在冲压 生产中占有很大的比例，应用相当广泛，如汽车纵梁、电器 仪表壳体、支架、铰链等，都是用弯曲方法成型的。
所示为V形件弯曲的变形过程。 2.弯曲变形特点 为了分析板料弯曲变形的规律，将试验用的长方形板料的 侧面画成正方形网格，如图3-4(a)所示，然后弯曲，观察其
变形特点，弯曲后情况如图3-4(b)所示。
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第二节 弯曲变形过程分析
一、弯曲的变形特点
(1)变形区主要在弯曲件的圆角部分，圆角区内的正方形网 格变成厂扇形。
理工类专业课复习资料-材料力学基本概念和公式
第一章 绪论第一节 材料力学的任务1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。
2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。
3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。
第二节 材料力学的基本假设1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。
2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。
木材是各向异性材料。
第三节 内力1、内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。
2、截面法：用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。
3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。
4、内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩T ；弯矩M第四节 应力1、一点的应力： 一点处内力的集（中程）度。
全应力0limA Fp A∆→∆=∆；正应力σ；切应力τ；p =2、应力单位：Pa （1Pa=1N/m 2，1MPa=1×106 Pa ，1GPa=1×109 Pa ）第五节 变形与应变1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。
除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。
2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。
3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。
4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。
对构件进行受力分析时可忽略其变形。
5、线应变：ll ∆=ε。
线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
6、切应变：tan γγ≈。
切应变为无量纲量，切应变单位为rad 。
第六节 杆件变形的基本形式1、材料力学的研究对象：等截面直杆。
工程力学(第二版)章图文 (6)
(1) 一体重为700 N (2) 要求两名体重均为700 N的工人抬着1500 N的货物安全 走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。
第6章 弯 曲
解 (1) 计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧(或右侧）所 有外力对该截面形心的力矩的代数和。
第6章 弯 曲
为了使所求得的剪力与弯矩符合前面的符号规定，按此 规律计算剪力时，截面左侧梁上外力向上取正值，向下取负 值，截面右侧梁上外力向下取正值，向上取负值；计算弯矩 时，截面左侧梁上外力对该截面形心的力矩顺时针转向取正 值，逆时针转向取负值，截面右侧外力对该截面形心的力矩 逆时针转向取正值，顺时针转向取负值。可以将这个规则归 纳为一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯 矩为正。
第6章 弯 曲 图 6.10
第6章 弯 曲 解 设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段
为研究对象，画出受力图，如图6.10(b)所示。 根据平衡条件：
由Fs=qx可绘出剪力图，如图6.10(c)所示；由 描点可绘出弯矩图，如图6.10(d)
第6章 弯 曲
6.3 弯曲时的正应力与强度计算
m，材料的许用应力[σ]=150 MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。
图 6.15
第6章 弯 曲 解 绘出悬臂梁的弯矩图，如图6.15(b)所示。 图中，Mmax=Fl=4000F 梁的横截面抗弯截面系数为
由梁的弯曲正应力强度条件得
因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000 N。
第6章 弯 曲 【例6.5】 某建筑工地上, 用长l=3 m的矩形截面木板做
弯曲
52
(3) 建立弯矩方程——作弯矩图
CA段有向下的均布载荷，弯矩图为二次 抛物线；在C处截面的剪力Fsc=0，故抛物线 在C截面处取极值，又因为Mc=0，故抛物线 在C处应与横坐标轴相切。 AD、DB两段为斜直线；在A截面处因有 集中力FRA，弯矩图有一折角；
中 性 层
中 性 轴 20
21
弯曲正应力分布规律
★ 与中性轴距离相等 的点，正应力相等； ★ 正应力大小与其到 中性轴距离成正比； ★ 弯矩为正时，正 应力以中性轴为界 下拉上压； ★ 弯矩为负时，正应力上拉下压； ★ 中性轴上，正应力等于零
22
M
M
2、剪力和弯矩正负号的规定
剪力正负号
正
Q Q
53
在D处有集中力偶，弯矩图有突变，突变值即
为该处集中力偶的力偶矩。计算出MA= - qa2／2= 10(kN· m)，MD左=Me+FRB· a=20-15×1=5(kN· m)，
MD右=FRB· a= - 15(kN· m)，MB=0，根据这些数值，
可作出弯矩图如图4 -14(c)。由图可见，在上)截面右 邻弯矩的绝对值最大，︱M ︱ =5(kN· m)。
使梁弯曲成凹形时的弯矩为正，弯曲成凸形时 的弯矩为负。
24
【例4—1】一简支梁
AB，如图4—9(a)所
示，在c点处作用一
集中力F=10kN，求 距左端0.8m处截面nn的剪力和弯矩。
25
解 (1) 求支反力——由平衡方程
26
(2) 求n-n截面上的剪力和弯矩将n-n截面截开，取
左段梁为研究对象，假设截面上剪力Fs和弯矩M
第六周 材料力学A_(弯曲变形的基本概念和分类, 正应力公式)
M ( x)
从梁中切出小分离体： x方向平衡： FN 2 FN 1 FS 0 M
y
M+dM
FN 2 dA
A1
A1
M dM ydA Iz
A1
dx FS
z b
y
假设： 横截面上各点切应力方向平行 于剪力的方向 横截面上切应力沿z方向均布
M dM 其中 S Sz z Iz M 同理 FN1 Sz
M=Fl/4
max
(5.7)
C
max
31
M=Fl/4
C
如T形、槽形截面等
32
2.弯曲切应力强度条件 梁弯曲时，横截面上切应力的危险点： 剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零）， ——纯剪切应力状态 F
A F/2 (FS) F/2 F/2 C B
3.梁的弯曲强度计算 (1)一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可只 校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自动 满足）。 F h
h 1 h b h2 矩形截面： Sz ( y) b ( y) ( y ( y)) ( y2 ) 2 2 2 2 4
max
max
min
H
M
( y )
FS h 2 ( y2 ) 2I z 4
FS h2 3 F 3 S 3 bh 4 2 A 2 2 12
z
M
y
ymax2 z ymax1
max
Wz1
M
应分别计算 max max
Iz ymax1
由梁所受外力(已知载荷) 图,求得各截面上的弯矩)
弯曲
一、弯曲变形过程分析
1、弯曲变形过程
图3-4为V形弯曲时板料的受力情况，在板料A处，凸 模1施加外力2F，在凹模2支承点B处，则产生反力并 与这外力构成了弯曲力矩M=F×L，该弯曲力矩使板料 产生弯曲变形。
一、弯曲变形过程分析
1、弯曲变形过程
板材在V形模内的校正弯曲过程:
凸模下压，直边与凹模V形表面逐渐靠近， 曲率径的弯曲力臂逐步变小：r0→r1,l0 →l1；
配做凸模，保证单边间隙C (2)尺寸标注在内侧（b+Δ)
配做凹模，保证单边间隙C
五、弯曲件的工艺设计
弯曲件的工艺性 - 是指弯曲件的形状、尺寸、材料选用及 技术要求等是否适合于弯曲加工的工艺要求。 具有良好工艺性的弯曲件，不仅能提高工件质量，减少 废品率，而且能简化工艺和模具，降低材料消耗。
1、弯曲半径
F校 Fq
式中 F - 弯曲件校正部分面积(mm2)；q - 单位校正力。
顶件力和压料力可近似取弯曲力的30％-80％。 压力机公称压力取工艺力的1.2-1.3倍
2、弯曲件毛坯长度的计算
计算原则：应变中性层在弯曲前后长度不变
应变中性层位置—用曲率半径表示，与弯曲半径、板厚和 应变中性层位移系数等有关。 模具结构和弯曲方式等多种 因素，对弯曲变形区应力状 态有一定的影响，也会使应 变中性层的位置发生改变。
⑴ 窄板弯曲时应力-应变状态
b /t ≤3
切向的外层应变为正、内层为负；宽向和径向的外层应 变为负、内层为正。 切向的外层应力为正、内层为负；宽向的内外层应力均 接近于零（自由变形）；径向的内外层应力均为负。 可见，窄板弯曲时， 内外层处于立体应变状 态和平面应力状态。
⑵ 宽板弯曲时应力-应变状态
r xt
第六章：梁弯曲时的内力和应力
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
弯曲变形的过程及特点
能接触到的金属制品在确定最 小弯曲半径对材料的要求又有 六小组：
（1）在弯曲变形区内，内层纤维切 什么要求？ 应变，外层纤维切向受 。
知识点分析：
本节知识点主要讲述了弯
应变，而中性层
知识点分析：
本节知识点主要讲述了弯
（2）判断题：对于宽板弯曲，由于
（1）弯曲终了时， 称为弯曲中心角。 曲中心角及影响最小弯曲半径 （2）弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉 的因素，我们重点所要掌握的 裂时的弯面半径称为 。 是影响最小弯曲半径的因素。 试通过我们使用的手机中 影响最小弯曲半径的因素。 C．薄板 五小组： 表示板料弯曲变形 （3）判断题：板料的弯曲半径与其厚度 知识拓展： 的比值称为最小弯曲半径。 的是 5、五小组： （1）弯曲时，用 半径称 。 程度，不致使材料破坏的弯曲极限 。 （4）弯曲件在变形区内出现断面为扇形 装入电话卡的金属元件来说明 A．宽板 B．窄板
（4）判断题：自由弯曲终了时，凸、 变化存在的潜在规律。 凹模对弯曲件进行了校正。 3、三小组： （1）弯曲变形区 应变中性层。 （2）窄板弯曲后的横截面呈 是 的，而应力状态是
。
三小组： 的金属层称为 知识点分析： 本节知识点主要讲述了弯 曲变形后所产生的应力状态变 态，我们重点所要掌握的是弯
知识点分析：
4塑性弯曲时由丁变形区的曲率增大以及金属各层之间的相互挤压作用从而引起变形区内的径向压应力在板料表面由表及里逐渐应力至中性层处达到
石首高级技工学校理论课教案
课 题 弯曲变形的过程及特点 08GM 班 编制人 学 一、学习目标： 1、熟悉弯曲变形的过程； 2、掌握弯曲塑性变形的特点； 3、熟练掌握影响最小弯曲半径的 因素。 二、学习重、难点： 1、重点：弯曲塑性变形的特点； 2、难点：影响弯曲半径的因素。 三、明确目标： 老师讲述本次课的学习目标后，分 别布臵各小组的学习任务，在各小组讲 述相关内容时，分别就难点、重点内容 有针对性的进行点评。 四、分组展示： 1、一小组： （1）弯曲是用模具或其他工具将材料 弯曲成具有 加工方法。 （2）弯曲可在下列哪些设备中进行？ A、机械压力机；B、摩擦压力机； 或 零件的 一小组： 习 内 容 陈本安 编制时间：2009 年 9 月 11 日 授课时间：2009 年 9 月 16 日 学 习 过 程
6-3梁弯曲时的变形和刚度条件、7-1
§6-3 梁弯曲时的变形和刚度条件课时计划：讲授3学时教学目标：1．理解梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．掌握梁的刚度计算方法及刚度条件。
教材分析:1．重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念；2．难点为梁的刚度计算方法及刚度条件。
教学设计：本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念以及梁的刚度计算方法。
重点为梁弯曲变形时挠度和转角的概念，在此基础上进一步掌握梁的刚度计算方法并建立梁弯曲时的刚度条件。
通过对教材例题的讲解，使学生在此过程中进一步理解弯曲变形，进而学会利用弯曲梁的刚度条件解决工程实际问题。
第1学时教学内容：一、挠度和转角本节课的主要内容是讲解梁弯曲变形时挠度和转角的概念。
因为材料力学研究强度与刚度，强度问题要计算应力，刚度问题要计算变形，本节讲梁的弯曲变形。
图示为简支梁弯曲变形时，变形前梁轴线是直线，受力F 弯曲变形后轴线是光滑平面曲线，变形前后梁轴线简化如下图所示。
横截面nn 移''n n ，形心C 到'C 点。
横截面形心在垂直于原轴线方向的位移，称为截面的挠度，用ω表示；横截面相对于原来位置转过的角度，称为该截面的转角，用θ表示。
截面形心轴线方向位移很小,高阶微量,可省略不计。
弯曲变形后梁的轴线变成一条连续而光滑的平面曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。
在图示的Oxw 坐标系中，表示挠曲线的方程为w ＝w(x)称为挠度方程。
由于轴线是各截面形心的连线，故该方程中的x 为变形前截面位置的横坐标，ω为变形后该截面的挠度。
由于截面转角等于挠度曲线在该截面的切线与x 轴的夹角，小变形有：()x w x w '==≈d d θθtan即任一截面转角近似等于挠度方程对x 的一阶导数。
所以挠度和转角的数值都可以由挠度方程及其一阶导数确定，只要有了挠度方程，就可以计算挠度和转角。
公式中挠度向上为正值,向下为负值；转角逆时针方向为正值,顺时针方向为负值。
由表可知，在一定外力作用下，梁的挠度、转角都和材料的弹性模量E 与截面惯性矩z I 的乘积z EI 成反比。
简述杆件的四种基本变形
简述杆件的四种基本变形杆件变形是指在应用力量的作用下，以一定的频率、幅度和持续时间，杆件的形状和长度发生变形的现象。
在这种变形的作用下，杆件的固有振荡特性和结构强度会发生变化，从而影响其性能。
因此，杆件变形的研究，对杆件的结构设计、寿命分析以及新型杆件的开发都具有重要意义。
一般来说，杆件变形主要分为四类：径向变形、轴向变形、折线变形、弯曲变形。
（一）径向变形径向变形是指外力作用于杆件上，从而形成有限半径的圆形变形。
径向变形又可分为拉伸变形和压缩变形。
拉伸变形是指外力的作用结果，杆件的截面面积得到增大；而压缩变形则是指外力的作用结果，杆件的截面面积变小。
（二）轴向变形轴向变形是指杆件受到外力作用产生一定程度的纵向形变。
当杆件轴向变形时，杆件的长度会发生变化，其变形形式也可分为拉伸变形和紧束变形。
拉伸变形是指杆件受到外力作用，形成线性形变，使杆件的部发生延伸；而紧束变形则是指杆件受外力作用，形成弯曲形变，使杆件的端部发生收缩。
（三）折线变形折线变形是指杆件受到外力作用，形成有限折线形变。
折线变形常见的有简单折线变形、自由折线变形和折现折线变形。
简单折线变形是指杆件受外力作用，形成有限折线形变，其各节点为同一个平面内的不同位置；而自由折线变形则是指杆件受外力作用，形成有限折线形变，其各节点为同一个平面外的不同位置。
（四）弯曲变形弯曲变形是指受外力作用的杆件，形成有限的弯曲变形。
弯曲变形又可分为单层弯曲变形、多层弯曲变形和颠簸弯曲变形。
单层弯曲变形是指外力作用于杆件，从而形成单个弯曲圆环；多层弯曲变形是指外力作用于杆件，从而形成连续多圆环；而颠簸弯曲变形则是指外力作用于杆件，从而形成有一定深度的颠簸弯曲变形。
综上所述，杆件变形包括径向变形、轴向变形、折线变形和弯曲变形四类。
但实际应用中，还会有其他的复杂变形，比如螺旋变形、振荡变形等，其形式更为复杂，但是也是受外力作用而发生变形的现象。
在机械运动学中，对杆件的变形分析具有重要的意义。
建筑力学—组合变形及答案讲解
第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。
通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。
本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。
其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。
第一节平面弯曲的概念和力学简图一、弯曲概念和受力特点当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外力作用下其轴线变成了一条曲线。
这种形式的变形称为弯曲变形。
工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。
一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。
图6-2工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。
梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。
图 6-3 图6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。
本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。
从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。
二、梁的受力简图为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。
梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。
1、梁的简化由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。
因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。
例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。
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Mechanics of Materials
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第六章 弯曲变形 第一节 概述
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
EI
d2v dx2
Fx Fl
EI(x)1Fx2FlxC
2
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
⑶ 确定积分常数
EI(0)1F02Fl0C0
2 E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0
EI(x)b2F l x2C1
E I(x)b 2 F l x2F 2(xa)2C 2
挠度方程
EIv(x)b6F l x3C1xD1 E Iw (x ) b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
⑶ 确定积分常数
v(0)E 1 I(b 6 F l03C 10D 1)0
v (l) E 1 I[ b 6 F ll3 F 6(l a )3 C 2 l D 2 ] 0
max
(0)
Fl2 3EI
(x) 0
x (3 3)l 3
(33)l F l3
F l3
vm a xv(
) 0 .0 6 4 2
3 93E I
E I
例：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作 用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程， 并确定挠度的最大值。
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系 AC段（0 ≤ x≤a）
一、梁的挠曲轴
在外力作用下，受弯后梁的轴 线变为一条连续光滑的曲线。
二、挠度、转角
1. 挠度、转角
· 挠度 梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。
· 转角 梁横截面绕其中性轴所转的角位移。
2. 挠度、转角正负规定
· 挠度正负规定 挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。
· 转角正负规定 转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。
62 解得：
C0 D0
⑷ 转角方程
(x) 1 (1Fx2Flx)
EI 2 挠度方程
v(x) 1(1Fx31Flx2) EI 6 2
⑸ 确定最大挠度和最大转角
max
(l)
Fl2
2EI
Fl3 vmax v(l)3EI
例：图所示简支梁，左端支座处受集中力偶 M = Fl 作用， 梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确 定最大挠度和最大转角。
M( x) bF x l
CB段（a ≤ x≤l） M(x)bFxF(xa) l
⑵ AC段（0 ≤ x≤a）
CB段（a ≤ x≤l）
弯矩方程
M( x) bF x l
M(x)bFxF(xa) l
挠曲线近似微分方程
d2v bF EI dx2 l x
d2v bF EIdx2 l xF(xa)
转角方程
积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知） 和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。
例：图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F 作用，梁的弯 曲刚度为EI。求梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大挠 度和最大转角。
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系
M (x)F xF l
⑵ 挠曲线近似微分方程
EI
d2v dx2
( a ) E 1 I ( b 2 F la 2 C 1 ) E 1 I [ b 2 F la 2 F 2 ( a a ) 2 C 2 ]
v ( a ) E 1 I ( b 6 F a 3 C 1 a D 1 ) E 1 I [ b 6 F a 3 F 6 ( a a ) 3 C 2 a D 2 ]
解得：
C1 C2F6lb(l2b2)
D1 D2 0
⑷ AC段（0 ≤ x≤a） 转角方程
(x)1[bFx2F b(l2b2)]
E I 2l 6l 挠度方程
w (x)1[bFx3F b(l2b2)x] E I 6l 6l
CB段（a ≤ x≤l）
转角方程
(x )1[ b F x 2 F (x a )2 F b (l2 b 2 )]
dv 1 dx
挠曲线近似微分方程
d2v dx 2
M(x) EI
近似微分方程适用于 弹性范围内小挠度平面 弯曲。
第三节 用积分法求弯曲变形
梁的挠曲线近似微分方程 d2v
EI dx2 M(x) 梁的转角方程
E I(x)M (x)dxC
梁的挠度方程
E I v (x ) (M (x )d x )d x C x D
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系
M (x)F xF l
⑵ 挠曲线近似微分方程
EI
d2v dx2
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
d2v EI dx2 FxFl
EI(x)1Fx2FlxC
2 E Iv(x)1F x31F lx2C xD
三、挠度和转角的关系
1. 挠度方程 v v(x)
2. 转角方程
(x)
挠曲轴是挠 度方程的函数 曲线
3. 挠度和转角的关系 挠曲线上任一点斜率
在小挠度情况下，θ很小
tan dv( x)
dx
tan
(x)dv(x)v(x)
dx
第二节 梁的挠曲线微分方程
平面弯曲时梁轴线的曲率
1 M(x)
(x) EI
由微积分可知，挠曲线任一点曲率
d2v
1 (x)
[1
dx2 ( dv
3
)2 ]2
dx
梁的挠曲线微分方程
d2v
[1
dx2 ( dv
)2
3
]2
M (x) EI
dx
梁的挠曲线微分方程
d2v
[1
dx2 ( dv
)
2
]
3 2
M (x) EI
dx
d2v
[1
dx2 ( dv
)
2
]
3 2
M (x) EI
dx
在小挠度条件下
62
⑶ 确定积分常数
E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0 62
E Iv(l)1F l31F ll2C lD 0 62
解得：
C 1 Fl2 3
D0
⑷ 转角方程
(x)1(1Fx2Flx1Fl2)
EI 2
3
挠度方程
v(x)1(1F x31F lx21F l2x) E I6 2 3
⑸ 确定最大挠度和最大转角
E I 2 l 2
6 l
挠度方程
v (x )1[ b F x 3 F (x a )3 F b (l2 b 2 )x ]
E I 6 l 6