第6节(弯曲变形)

dv 1 dx
挠曲线近似微分方程
d2v dx 2
M(x) EI
近似微分方程适用于 弹性范围内小挠度平面 弯曲。
第三节 用积分法求弯曲变形
梁的挠曲线近似微分方程 d2v
EI dx2 M(x) 梁的转角方程
E I(x)M (x)dxC
梁的挠度方程
E I v (x ) (M (x )d x )d x C x D
62
⑶ 确定积分常数
E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0 62
E Iv(l)1F l31F ll2C lD 0 62
解得：
C wk.baidu.com1 Fl2 3
D0
⑷ 转角方程
(x)1(1Fx2Flx1Fl2)
EI 2
3
挠度方程
v(x)1(1F x31F lx21F l2x) E I6 2 3
⑸ 确定最大挠度和最大转角
三、挠度和转角的关系
1. 挠度方程 v v(x)
2. 转角方程
(x)
挠曲轴是挠 度方程的函数 曲线
3. 挠度和转角的关系 挠曲线上任一点斜率
在小挠度情况下，θ很小
tan dv( x)
dx
tan
(x)dv(x)v(x)
dx
第二节 梁的挠曲线微分方程
平面弯曲时梁轴线的曲率
1 M(x)
(x) EI
( a ) E 1 I ( b 2 F la 2 C 1 ) E 1 I [ b 2 F la 2 F 2 ( a a ) 2 C 2 ]
v ( a ) E 1 I ( b 6 F a 3 C 1 a D 1 ) E 1 I [ b 6 F a 3 F 6 ( a a ) 3 C 2 a D 2 ]
M( x) bF x l
CB段（a ≤ x≤l） M(x)bFxF(xa) l
⑵ AC段（0 ≤ x≤a）
CB段（a ≤ x≤l）
弯矩方程
M( x) bF x l
M(x)bFxF(xa) l
挠曲线近似微分方程
d2v bF EI dx2 l x
d2v bF EIdx2 l xF(xa)
转角方程
一、梁的挠曲轴
在外力作用下，受弯后梁的轴 线变为一条连续光滑的曲线。
二、挠度、转角
1. 挠度、转角
· 挠度 梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。
· 转角 梁横截面绕其中性轴所转的角位移。
2. 挠度、转角正负规定
· 挠度正负规定 挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。
· 转角正负规定 转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。
EI(x)b2F l x2C1
E I(x)b 2 F l x2F 2(xa)2C 2
挠度方程
EIv(x)b6F l x3C1xD1 E Iw (x ) b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
⑶ 确定积分常数
v(0)E 1 I(b 6 F l03C 10D 1)0
v (l) E 1 I[ b 6 F ll3 F 6(l a )3 C 2 l D 2 ] 0
材料力学
Mechanics of Materials
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第六章 弯曲变形 第一节 概述
解得：
C1 C2F6lb(l2b2)
D1 D2 0
⑷ AC段（0 ≤ x≤a） 转角方程
(x)1[bFx2F b(l2b2)]
E I 2l 6l 挠度方程
w (x)1[bFx3F b(l2b2)x] E I 6l 6l
CB段（a ≤ x≤l）
转角方程
(x )1[ b F x 2 F (x a )2 F b (l2 b 2 )]
E I 2 l 2
6 l
挠度方程
v (x )1[ b F x 3 F (x a )3 F b (l2 b 2 )x ]
E I 6 l 6
由微积分可知，挠曲线任一点曲率
d2v
1 (x)
[1
dx2 ( dv
3
)2 ]2
dx
梁的挠曲线微分方程
d2v
[1
dx2 ( dv
)2
3
]2
M (x) EI
dx
梁的挠曲线微分方程
d2v
[1
dx2 ( dv
)
2
]
3 2
M (x) EI
dx
d2v
[1
dx2 ( dv
)
2
]
3 2
M (x) EI
dx
在小挠度条件下
max
(0)
Fl2 3EI
(x) 0
x (3 3)l 3
(33)l F l3
F l3
vm a xv(
) 0 .0 6 4 2
3 93E I
E I
例：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作 用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程， 并确定挠度的最大值。
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系 AC段（0 ≤ x≤a）
62 解得：
C0 D0
⑷ 转角方程
(x) 1 (1Fx2Flx)
EI 2 挠度方程
v(x) 1(1Fx31Flx2) EI 6 2
⑸ 确定最大挠度和最大转角
max
(l)
Fl2
2EI
Fl3 vmax v(l)3EI
例：图所示简支梁，左端支座处受集中力偶 M = Fl 作用， 梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确 定最大挠度和最大转角。
积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知） 和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。
例：图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F 作用，梁的弯 曲刚度为EI。求梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大挠 度和最大转角。
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系
M (x)F xF l
⑵ 挠曲线近似微分方程
EI
d2v dx2
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
EI
d2v dx2
Fx Fl
EI(x)1Fx2FlxC
2
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
⑶ 确定积分常数
EI(0)1F02Fl0C0
2 E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系
M (x)F xF l
⑵ 挠曲线近似微分方程
EI
d2v dx2
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
d2v EI dx2 FxFl
EI(x)1Fx2FlxC
2 E Iv(x)1F x31F lx2C xD