无穷小量与无穷大量 阶的比较

设 lim f ( x ) = ∞ .
x → x0
∴ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 恒有 f ( x ) > , ε 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) = 0, 且 f ( x ) ≠ 0.
x → x0
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
注
①此定理对于数列同样成立 ②此定理证明的基本原则： 此定理证明的基本原则：
lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x )
③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数 可推广到任意有限个具有极限的函数 ④ (2)有两个重要的推论 有两个重要的推论
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
当x → 0时, 时
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , 1 2 e − 1 ~ x , 1 − cos x ~ x . 2 1 n 1+ x −1 ~ x n
1 1 例如, 当x → 0时, y = sin x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 .
(1) 取 x 0 = 1 ( k = 0,1,2,3,L)
1 1 y = sin x x
π 2kπ + 2 π y ( x 0 ) = 20 ) > M . 无界， 2 1 ( 2) 取 x 0 = ( k = 0,1,2,3,L) 2kπ
不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 ε(不论它多么小),
总 存 在 正 数 δ ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 < x − x0 < δ ( 或 x > X ) 的一切 x , 对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) < ε,
那末 称函数 f (x)当 x → x0(或 x → ∞)时为无穷小 记作
则∃M > 0, δ 1 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 1时 恒有 u ≤ M .
又设α是当x → x 0时的无穷小,
∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时 ε . 恒有 α < M
取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 0 < x − x 0 < δ时, 恒有 ε u⋅α = u ⋅ α < M ⋅ = ε, M ∴ 当x → x 0时, u ⋅ α为无穷小 .
3.5 无穷小量与无穷大量
本节讨论极限的求法。利用极限的定义， 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限， 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。 首先来介绍无穷小。
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 称函数为无穷小， 称函数为无穷小 变化过程； 变化过程； 2.无穷小是变量 不能与很小的数混淆 无穷小是变量,不能与很小的数混淆 无穷小是变量 不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = Q B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 Q β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
值 f (x)都满 足不等 式 f ( x) > M , 时为无穷小, 则称函数 f (x) 当x → x0 (或x → ∞)时为无穷小, 记作
x→x0
lim f ( x) = ∞ (或lim f ( x) = ∞).
x→∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
2.无穷小与函数极限的关系 无穷小与函数极限的关系: 无穷小与函数极限的关系
理1 定 1 理
x→x0
lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α( x),
时的无穷小. 其中α(x)是当x → x0时的无穷小
证 必要性 设 lim f ( x ) = A, 令 α( x ) = f ( x ) − A, x→ x
∴ ∀M > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 , 恒有 f ( x ) < M
1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷大 . f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
极限运算法则的证明
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
1 y= x −1
定义 : 如果 lim f ( x ) = ∞ , 则直线 x = x 0是函数 y = f ( x )
x → x0
的图形的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
tan x − sin x tan x 1 − cos x 1 解 Q lim )= , = lim( ⋅ 3 2 x→0 x→0 x x x 2
∴ tan x − sin x为x的三阶无穷小 .
常用等价无穷小: 常用等价无穷小:
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
定义 2 如果对于任意给定的正数M (不论它多么
X ),使得对于适合不等式 ),总存在正数 小 总存在正数δ(或正数 ),使得对于适合不等式 ),
0 < x − x0 < δ(或 x >X )的一切x ,所对应的函数
四、无穷小的比较
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x 2 x 2 x 3x ; = 0, lim 观 x→0 3 x 察 各 sin x sin x x ; = 1, lim 极 x→0 x 限 1 2 x sin x = lim sin 1 . lim . 2 x→0 x→0 x x
当k充分大时, x k < δ , 充分大时
但 y( x k ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M .
不是无穷大． 不是无穷大．
1 例 证明lim = ∞. x→1 x − 1
证 ∀ M > 0. 要使 1 > M , x −1
1 1 , 取δ= , 只要 x − 1 < M M
1 1 1 = ∞. 当0 < x − 1 < δ = 时, 就有 > M . ∴ lim x →1 x − 1 M x −1
推论1 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘 推论 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
例1 证明:当x →0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 当x →0时, 求tan x − sin x关于 的阶数 x .
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 证 设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小 ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得