复变函数习题1
《复变函数》(西安交大)习题解答--第1章习题
2
2
22
z ( 3 )2 ( 5 )2 34 ，z 位于第四象限，故
2
2
2
arg z arctg 5 , ••Argz arctg 5 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
3） z 26 7i 7 13i
2i
2
•Re(z) 7 , ••Im(z) 13, •• z 7 13i,
13
a r gz a r c t2g, ••A r g z a r c t2g 2k••••(k 0,1,2,)
3
3
2） z i 3i(1 i) 3 5 i
2
22
Re(z) 3 , ••Im(z) 5 , •• z 3 5 i,
4) i 8 4i 21 i .
解：1） 1 3 2i 3 2 i 3 2i 13 13 13
Re(z) 3 , ••Im(z) 2 , z 3 2 i ,
13
13
13 13
z
( 3 )2 ( 2)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
,
z 位于第四象限，故
13 13
4. 证明
1） z 2 z z ;
2) z1 z2 z1 z2 ;
3) z1 z2 z1 z2 ;
4)
z1 z2
z1 z2
•, •z 2
0;
5) z z ;
6) Re(z) 1 (z z) , Im(z) 1 (z z ) .
2
2i
复变函数西安交大习题解答第1章习题复变函数习题答案复变函数习题复变函数习题集下载复变函数复变函数与积分变换复变函数第四版答案复变函数第四版复变函数第四版pdf复变函数奇点
复变函数总练习题1
复变函数总练习题1第⼀章练习题1、已知⽅程i e z 31+=，则z Im 为（）A. ln2B.32π C. ,...1,0,2±=k k π D. ,...1,0,23±=+k k ππ2、设210z z ++=，则1173z z z ++= （） A.0 B. i C.－i D.13、设iy x z +=，则zw 1=将圆周222=+y x 映射为（）A ．通过0=w 的直线B ．圆周21=wC ．圆周22=-wD ．圆周2=w4、已知⽅程(1+2i)z=4+3i ，则z 为 ( )A. 2+iB. -2+iC. 2-iD. -2-i5、复数)3sin 3(cos z ππi +-=的三⾓形式是 ( )A. 32sin 32cos ππi +B. 3sin 3cos ππi +C. 32sin 32cos ππ-+iD. 3sin 3cos ππ-+-i 6、⽅程1Re 2=z 所表⽰的平⾯曲线为（） A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线7、(1cos )(2sin ),02z t i t t π=+++≤≤所表⽰的曲线为A. 直线B. 双曲线C. 抛物线D. 椭圆 8、点集{}:5E z i i +- 表⽰的图形是（）A.半平⾯B.圆域C.直线D.点9、下列集合为有界单连通区域的是（）A. 10<B. 0Re >zC. 2<-i zD. ππ<10、若13-=z 且0Im >z ，则Z ⼀定等于（）A ．-1 B. i 2321--C. i 2321+ D. i 31+-11、211limz z +∞→的值为（）A ．0 B. i π2- C. 1 D.012、则3Im z =__________________________ 13、知⽅程(12)43i z i +=+，则z =___________； 14、31z =且Im 0z >，则z =___________；15 、数()2arg(3)f z z =-在复平⾯除去实轴上⼀区间______ __ 外是连续解析函数。
《复变函数》练习题一
《复变函数》练习题一练习题第一套一、填空题1．设x 、y 为实数，称形如（x ,y ）的 有序数对 为复数。
2．设z =x +iy ，则称z e = )sin (cos y i y e x + 为指数函数，其中“e ”为自然对数的底。
3．若存在某个N (a ,δ)，使得 f (z )在N (a ,δ)内处处可导 ，则称点a 为函数f (z )的解析点。
4．将函数zz f -=11)(在点z =1展成罗朗级数，即在 0<|z -1|<+∞ 内展成罗朗级数。
若映射w =f (z )在区域G 内是 单叶且保角的 的，则称此映射为区域G 内的保形映射。
二、单项选择题1．设z =x +iy ，则x 可用z 表示为（ B ）。
(A) 2z z - (B) 2z z + (C) i z z 2- (D) iz z 2+ 2．若z =x +iy ，则上半平面可表示为（ C ）。
(A) Im z <0 (B) Im z ≤0 (C) Im z >0 (D) Im z ≥03．⎰=-=-2||1a z dz a z （ D ）。
(A) 0 (B) 1 (C) -2πi (D) 2πi4．函数z e z f =)(在复平面上可表示为（ B ）。
(A) ∑∞=2!n n n z (B) ∑∞=0!n n n z (C) ∑∞=1!n n n z (D) ∑∞=2n n n z 5．设f (z )=sin z ，则z =kπ（k =0,±1, ±2,…）为f (z )的（ A ）。
(A) 一级零点 (B) 二级零点 (C) 三级零点 (D) 四级零点三、计算题1．设z =x +iy ，求)1Re(z。
1．解：因22))((11y x y i x y i x y i x y i x y i x z +-=-+-=+= 所以22)1Re(y x x z += 设22)4()1()(+-=z z z z f ，试求f (z )的有限奇点，并指出其类别。
第一章复变函数习题及解答
第⼀章复变函数习题及解答第⼀章复变函数习题及解答1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐⾓以及辐⾓的主值；并分别写成代数形式，三⾓形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数)（1）1-；（2）ππ2(cosisin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1ie +；（5）i sin R e θ；（6）i +答案（1）实部－1；虚部 2；辐⾓为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐⾓为4π3；原题即为代数形式；三⾓形式为4π4π2(cosisin )33+；指数形式为4πi 32e ．（2）略为5πi 35π5π2[cossin ], 233i e +（3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα（4）略为 i;(cos1isin1)ee e +（5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+（6）该复数取两个值θθθθθθ+=+=+1.2 计算下列复数 1）()103i 1+-；2）()31i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k πi632e0,1,2k +=；1.3计算下列复数（1 （2答案（1（2）(/62/3)i n eππ+1.4 已知x【解】令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平⽅得到2212()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+即实部为 ,x ±虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值．1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有||1az bbz a +=+【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以1()()1||||||||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++1.6 如果复数b a i +是实系数⽅程()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -⼀定也是该⽅程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()()kkz z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()()00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本⾝即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这⼀点在代数学中早已被⼤家认识．特别地，奇次实系数多项式⾄少有⼀个实零点．1.7 证明：2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其⼏何意义． 1.8 若 (1)(1)n ni i +=-，试求n 的值.【解】因为 244444444(1)2(cos sin )2(cos sin )(1)2(cos sin )2(cos sin )n n nnnnn n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=-所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以4,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式（1） cos5θ；（2）sin5θ答案 53244235(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθθθθθθ-+-+1.10 证明：如果 w 是1的n 次⽅根中的⼀个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有2110n -++++=w w w1.11 对于复数,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：22221111||(||||)||||n n nnk k k k k kk k k k αβαβαβ====≤≤∑∑∑∑ 成⽴。
复变函数习题第一章答案
∂x
∂y
∂y
∂x
在复平面处处连续,且处处满足 C − R 方程.故 f (z) 在复平面上处处
可导,处处解析.
（3) 因 f (z) = xy 2 + ix 2 y ,即 u = xy 2 , v = x 2 y ,
而 ∂u = y 2 , ∂v = x 2 , ∂u = 2xy , ∂v = 2xy 在复平面处处连续，
z−2
(x − 2) + iy
则 (x − 3)2 + y 2 ≥ (x − 2)2 + y 2 ,
化简得 x ≤ 5 , 2
点 z 的轨迹表示 x ≤ 5 的半平面. 2
6. 函数ω = 1 把下列 z 平面上的曲线映射成ω 平面上怎样的曲线？ z
5
（1） x 2 + y 2 = 4 ；
（2） y = x ；
（3）
f
(z)
=
1
；
z2 −1
（4） f (z) = az + b （ c ， d 至少有一个不为零）． cz + d
解 （1） 因为 f ′(z) = 3z 2 + 2i ,所以 f (z) 在复平面内处处解析.
（2）因为 f (z) = x3 − 3xy 2 + (3x 2 y − y 3 )i ，即
= −2 + 2i ，
6
π
ω3
=
z
3 3
=
23
i
e
2
= 8i .
（2）因为辐角张大三倍，所以像为 0 < arg z < π .
8. 下列函数在何处可导？在何处解析？
（1） f (z) = x 2 − iy ； （2） f (z) = e− y (cos x + i sin x) ；
复变函数练习题
第一章复数与复变函数一、 选择题1．当ii z -+=11时，5075100zzz++的值等于（ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+-3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i（C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ）（A ）z z zz222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z=成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz i z 的所有点z 构成的集合是（ ）（A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a aza z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(limz z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部７．方程1)1(212=----zi i z 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x的像曲线为10．=+++→)21(lim 421z ziz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围． 第一章 复数与复变函数答案一、1．（B ）2．（A ）3．（D ）4．（C ）５．（B ）６．（A ）７．（D ）８．（B ）９．（D ）10．（C ）11．（B ）12．（C ）13．（D ）14．（C ）15．（A ）二、1．2 2．8arctan -π 3．i 21+- 4．ieθ16 5．33 ６．522=++-z z （或1)23()25(2222=+y x ）７．122=+y x ８．i i -+-2,21 ９．21)Re(=w 10．i 27+-三、]25,25[+-（或25225+≤+≤-z ）． 第二章 解析函数一、选择题： 1．函数23)(zz f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的 （C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x222-- （B ）xyi x +2 （C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在z=0处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在 6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数9．设22)(iy xz f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．ze 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期 （C ）2)(izize e zf --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1 （C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）ie 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz （C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xv ixu z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为4．设2233)(y ix y xz f ++=，则=+-')2323(i f5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y xu -=，那么=)(z f6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--ze 的全部解为第二章 解析函数答案一、1．（B ）2．（B ）3．（D ）4．（C ）５．（A ）６．（C ）７．（C ）８．（C ）９．（A ）10．（D ）11．（A ）12．（C ）13．（D ）14．（B ）15．（C ） 二、填空题1．i +1 2．常数 3．x v x u ∂∂∂∂,可微且满足222222,xv y x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 4．i 827427- 5．ic xyi y x ++-222或ic z +2，c 为实常数 6．i7．3,2,1,0),424sin424(cos28=π+π+π+πk k i k 8．),2,1,0(2 ±±=π-k ek9．34arctan- 10．),2,1,0(2 ±±=πk i k第三章 复变函数的积分一、选择题： 1．设c 为从原点沿x y=2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561-（B ）i 6561+-（C ）i 6561--（D ）i 6561+2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( )（A ）2iπ （B ）2iπ-（C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zz c c c 212sin ( )（A ）i π2- （B ）0 （C ）i π2（D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( )（A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd zez f ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰czdz ze （ ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( )（A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( )（A ）ie π2 （B ）ei π2 （C ）0 （D ）i i cos11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--r a z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y xu -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz+2（B ） ic iz+2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu ∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv ixu ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdzz 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰cdz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zz z5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰czdz i z e5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy xy x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z )2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ;2.⎰=++22422z z z dz ．第三章 复变函数的积分答案一、1．（D ）2．（D ）3．（B ）4．（C ）５．（B ） ６．（A ）７．（C ）８．（A ）９．（A ）10．（C ）11．（C ）12．（D ）13．（D ）14．（C ）15．（B ）二、1．2 2．i π10 3．0 4．i π6 5．12iπ 6．平均值7．解析8．C x y+-)(21229．3- 10．),(y x u -三、1．当10<<R 时，0； 当21<<R 时，i π8； 当+∞<<R 2时，0. 2．0.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n ni a nn ，则n n a ∞→lim ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i （C ）∑∞=1n n ni（D ）∑∞=++-11)1(n nn i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ）∑∞=+1)1(1n ni n（B ）∑∞=+-1]2)1([n nni n(C)∑∞=2ln n n ni（D ）∑∞=-12)1(n nnn i4．若幂级数∑∞=0n nnz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n zn c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R ==6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n nnz q的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1 （C ）0 （D ）∞+7．幂级数∑∞=1)2(2sinn nz nn π的收敛半径=R ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n nzn 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z+11ln(D) z-11ln9．设函数zezcos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c，那么幂级数∑∞=0n nnz c 的收敛半径=R ( ) （A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π10．级数+++++22111z z zz的收敛域是( )（A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n （D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n nnz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰cdz zz z f 2)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+=,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nnzc的收敛域为( )（A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n nni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ．2．设幂级数∑∞=0n nnzc与∑∞=0)][Re(n nnzc的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ．3．幂级数∑∞=+012)2(n n nzi 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n nnz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ．6．设幂级数∑∞=0n n nz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n nn n zc 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n nnnz z 的收敛域为 ．8．函数z ze e1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ．9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n nnzc，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ．10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．第四章 级数答案一、1．（C ）2．（C ）3．（D ）4．（A ）５．（D ）６．（D ）７．（B ）８．（A ）９．（C ）10．（B ） 11．（D ）12．（B ）13．（B ）14．（A ）15．（C ）二、1．发散 2． 12R R ≥ 3．224．),2,1,0()(!10)( =n z fn n 或（)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+ ）5．)1(12)1(012<+-∑∞=+z zn n n n6．2R 7．211<-<z 8．nn nn zn zn ∑∑∞=∞=+!11!1 9．π10．∑∞=+--02)()1(n n nni z i第五章 留 数一、选择题：1．函数32cot -πz z 在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数zz exsin 142-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323zzz ++的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点6．设∑∞==)(n nn z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re kzz f s ( )（A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( )(A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(ze zf z-=（B ）zzz z f 1sin )(-=（C ）zzz z f cos sin )(+=(D)ze zf z111)(--=9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)()()(0z z z z f mϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ）如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ）若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ）若0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos[Re 3zi z s ( )（A ）32-（B ）32 （C ）i 32 （D ）i 32-11．=-],[Re 12i ez s iz ( )（A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +6512．下列命题中，不正确的是( )（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s（B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=（C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim!1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n nn x x +→-=（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(z f 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( )(A)0 （B ）i π2 （C ）ni π2 （D ）i n π214．积分=-⎰=231091z dz zz( )（A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5iπ15．积分=⎰=121sinz dz zz ( )（A ）0 （B ）61- （C ）3iπ-（D ）i π-二、填空题1．设0=z 为函数33sin z z-的m 级零点，那么=m ．2．函数zz f 1c o s1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s ．3．设函数}1exp{)(22zzz f +=，则=]0),([Re z f s4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s ．5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设212)(zz z f +=，则=∞]),([Re z f s ．7．设5cos 1)(zz z f -=，则=]0),([Re z f s ．8．积分=⎰=113z z dz e z ．9．积分=⎰=1sin 1z dz z．10．积分=+⎰∞+∞-dx xxeix 21 ．第五章 留 数一、1．（D ）2．（B ）3．（C ）4．（D ）５．（B ） ６．（C ）７．（A ）８．（D ）９．（C ）10．（A ）11．（B ）12．（D ）13．（A ）14．（B ）15．（C ）二、1．9 2．2)2()1(π+π-k k3．0 4．m - 5．1 6．2- 7．241-8．12i π 9．i π2 10．ei π第六章 共形映射一、选择题： 1．若函数z zw 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( )（A ）21<z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）211>+z2．映射iz i z w +-=3在i z 20=处的旋转角为( )（A ）0 （B ）2π（C ）π （D ）2π-3．映射2izew =在点i z =0处的伸缩率为( )（A ）1 （B ）2 (C)1-e（D ）e4．在映射ieiz w 4π+=下，区域0)Im(<z 的像为( )(A)22)Re(>w （B ）22)Re(->w （C ）22)Im(>z （D ）22)Im(->w5．下列命题中，正确的是( )（A ）nz w =在复平面上处处保角（此处n 为自然数） （B ）映射z zw 43+=在0=z 处的伸缩率为零（C ） 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1<z 映射到上半平面0)Im(>w 的分式线性变换，那么)()(21z f z f =（D ）函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6．i +1关于圆周4)1()2(22=-+-y x 的对称点是( )（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i7．函数iz i z w +-=33将角形域3arg 0π<<z 映射为 ( )(A)1<w （B ）1>w （C ） 0)Im(>w （D ）0)Im(<w 8．将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=w 的分式线性变换为（ ）1()1z A w z +=- （B ）zz w -+=11 （C ）zz ew i-+=112π(D) 112-+=z z ew iπ9．分式线性变换zz w --=212把圆周1=z 映射为( )（E ） 1=w (B) 2=w（c ）11=-w (D) 21=-w10．分式线性变换zz w -+=11将区域:1<z 且0)Im(>z 映射为( )（A ）ππ<<-w arg 2（B ） 0arg 2<<-w π（C ）ππ<<w arg 2（D ）2arg 0π<<w11．设,,,,d c b a 为实数且0<-bc ad ，那么分式线性变换dcz b az w ++=把上半平面映射为w 平面的( )（A ）单位圆内部 （B ）单位圆外部 （C ）上半平面 （D ）下半平面12．把上半平面0)Im(>z 映射成圆域2<w 且满足1)(,0)(='=i w i w 的分式线性变换)(z w 为( )（A ）zi z i i+-2 （B ）iz i z i+-2 （C ）zi z i +-2（D ）iz i z +-213．把单位圆1<z 映射成单位圆1<w 且满足0)0(,0)2(>'=w i w 的分式线性变换)(z w 为( )(A)izi z --22 （B ）izz i --22 （C ）izi z +-22 （D ）izz i +-2214．把带形域2)Im(0π<<z 映射成上半平面0)Im(>w 的一个映射可写为( )（A ）z e w 2= （B ）zew 2= （C ）z ie w = （D ）izew =15．函数ie i e w zz+---=11将带形域π<<)Im(0z 映射为( )（A ）0)Re(>w （B ）0)Re(>w （C ）1<w （D ）1>w 二、填空题1．若函数)(z f 在点0z 解析且0)(0≠'z f ，那么映射)(z f w =在0z 处具有 ． 2．将点2,,2-=i z 分别映射为点1,,1i w -=的分式线性变换为 ．3．把单位圆1<z 映射为圆域11<-w 且满足0)0(,1)0(>'=w w 的分式线性变换=)(z w 4．将单位圆1<z 映射为圆域R w <的分式线性变换的一般形式为 ．5．把上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1)(<z w 且满足31)21(,0)1(=+=+i w i w 的分式线性变换的)(z w = ．6．把角形域4arg 0π<<z 映射成圆域4<w 的一个映射可写为 ．7．映射ze w =将带形域43)Im(0π<<z 映射为 ．8．映射3z w =将扇形域：3arg 0π<<z 且2<z 映射为 ．9．映射z w ln =将上半z 平面映射为 ． 10．映射)1(21zz w +=将上半单位圆：2<z 且0)Im(>z 映射为 ．第六章 共形映射答案一、1．（B ）2．（D ）3．（B ）4．（A ） ５．（D ） ６．（C ）７．（A ）８．（C ）９．（A ）10．（D ）11．（D ）12．（B ）13．（C ）14．（B ）15．（C ）二、1．保角性与伸缩率的不变性 2． 236--=iz i z w 3．z +1 4．aza z w i --=θ1Re（θ为实数，1<a ）5．iz i z +---11 6．λ-λ-=ϕ444z z ew i （ϕ为实数，0)Im(>λ） 7．角形域43arg 0π<<w8．扇形域π<<w arg 0且8<w 9．带形域π<<)Im(0w 10．下半平面0)Im(<w .。
复变函数习题解答(第1章)
p44第一章习题(一)[ 13, 16, 17 , 20]13. 试证arg z ( -π < arg z ≤π )在负实轴(包括原点)上不连续，除此而外在z平面上处处连续．【解】记f(z) = arg z，D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}，D1 = { z∈ | Re(z) > 0}，D2 = { z∈ | Im(z) > 0}，D3 = { z∈ | Im(z) < 0}．(1) 首先，f(z)在原点无定义，故f(z)在原点处不连续．(2) 设a∈ ，且a < 0．则f(a) = π．考察点列z n = | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π))，n∈ +．显然，-π < 1/n-π≤π，故f(z n) = 1/n-π．而lim n→∞z n = lim n→∞( | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π)) ) = a，但lim n→∞f(z n) = lim n→∞(1/n-π) = -π≠f(a)．故f(z)在a处不连续．(3) 下面证明f(z)在D1, D2, D3这三个区域上都连续．设z = x + i y，x, y∈ ．(3.1) 在D1上，f(z) = arctan(y/x)，因arctan(y/x)是{(x, y)∈ 2 | x > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D1上的连续函数．(3.2) 在D2上，f(z) = arccot(x/y)，因arccot(x/y)是{(x, y)∈ 2 | y > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D2上的连续函数．(3.3) 在D3上，f(z) = arccot(x/y) -π，因arccot(x/y) -π是{(x, y)∈ 2 | y < 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D3上的连续函数．(4) 最后证明f(z)是D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}上的连续函数．∀a∈D，因为D = D1⋂D2⋂D3，故存在k (k = 1, 2, 3)，使得a∈D k．因D k是开集故存在r > 0，使得U r(a) = { z∈ | | z –a | < r } ⊆D k．根据(3)，f(z)在D k上是连续的，故∀ε > 0，∃η> 0，使得∀z∈D k，当| z–a | < η时，| f(z) -f(a) | < ε．设δ= min { r, η}，则∀z∈D，当| z–a | < δ时，z∈U r(a) ⊆D k，又因| z–a | < δ< η，故必有| f(z) -f(a) | < ε．所以，f在a处连续．由a的任意性，f(z)是上的连续函数．[连续性部分的证明可以用几何的方法，而且写起来会简单些．但我们之所以选择这个看起来很复杂的方法，是可以从这里看出θ(z) = arg(z)作为(x, y)的二元函数，在D1, D2, D3上都有很明显的可导的表达式，因此它在区域D上不仅是连续的，而且是连续可导二元函数：θx = y/(x2 + y2)，θy = -x/(x2 + y2)．证明中的第四部分并不是多余的，这是因为若f在两个集合A, B上都连续(即使它们有公共的部分)，一般说来，并不能保证f在两个集合A⋂B上也连续．问题：若f在区域A, B上都连续，且A ⋃B ≠∅，问f在A⋂B上是否必连续？] 16. 试问函数f(z) = 1/(1 –z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．因为z在 内连续，故f(z) = 1/(1 –z )在 \{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．令z n= 1 – 1/n，w n= 1 – 1/(n + 1)，n∈ +．则z n, w n都在单位圆| z | < 1内，| z n-w n | → 0，但| f(z n)-f(w n)| = | n - (n + 1) | = 1 > 0，故f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 –x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z∈ | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．【解】(⇒) 若复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限，则∀ε > 0，∃N∈ +，使得∀n > N，有| z n -z0| < ε．此时有| x n -x0| ≤ | z n -z0| < ε；| y n -y0| ≤ | z n -z0| < ε．故实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．(⇐) 若实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限，则∀ε > 0，∃N1∈ +，使得∀n > N1，有| x n -x0| < ε/2；∃N2∈ +，使得∀n > N2，有| y n -y0| < ε/2．令N = max{N1, N2}，则∀n > N，有n > N1且n > N2，故有| z n -z0| = | (x n -x0) + i (y n -y0)| ≤ | x n -x0| + | y n -y0| < ε/2 + ε/2 = ε．所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限．20. 如果复数列{z n}合于lim n→∞z n = z0≠∞，证明lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．当z0≠∞时，结论是否正确？【解】(1) ∀ε > 0，∃K∈ +，使得∀n > K，有| z n -z0| < ε/2．记M = | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |，则当n > K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | = | (z1-z0) + (z2-z0) + ... + (z n-z0) |/n≤ ( | z1-z0 | + | z2-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n= ( | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |)/n + ( | z K +1-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n≤M/n + (n-K)/n · (ε/2) ≤M/n + ε/2．因lim n→∞ (M/n) = 0，故∃L∈ +，使得∀n > L，有M/n < ε/2．令N = max{K, L}，则当n > K时，有| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | ≤ M /n + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε．所以，lim n →∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0．(2) 当z 0 ≠ ∞时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = (-1)n · n ，n ∈ +．显然lim n →∞ z n = ∞．但∀k ∈ +，有(z 1 + z 2 + ... + z 2k )/(2k ) = 1/2，因此数列{(z 1 + z 2 + ... + z n )/n }不趋向于∞．[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]p45第一章习题(二)[ 6, 8, 9, 11, 12 ]6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．(z *表示复数z 的共轭)【解】此题应该要求b * z + a * ≠ 0．| a z + b | = | (a z + b )* | = | a * z * + b * | = | a * z * + b * | · | z | = | (a * z * + b *) · z | = | a * z * · z + b * · z | = | a * | z |2 + b * · z | = | b * z + a * |．故| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．8. 试证：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件为111332211w z w z w z = 0． 【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如z'z 312我们将采用下述的观点来证明：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转． 记f 1(z ) = z - z 1 (将z 1变到0的平移)；f 3(z ) = z - w 1 (将0变到w 1的平移)； 那么，三角形z 1z 2z 3与三角形w 1w 2w 3同向相似⇔ 存在某个绕原点的旋转位似变换f 2(z ) = z 0 z ，使得f 2 ( f 1(z k )) = f 3(w k )，(k = 2, 3)，其中z 0∈ \{0}⇔ 存在z 0∈ \{0}，使得z 0(z k - z 1) = w k - w 1，(k = 2, 3)⇔ (w 2 - w 1)/(z 2 - z 1) = (w 3 - w 1)/(z 3 - z 1)⇔ 13131212w w z z w w z z ----= 0⇔ 1110013131212w w z z w w z z ----= 0⇔ 111332211w z w z w z = 0．[证完]9. 试证：四个相异点z 1, z 2, z 3, z 4共圆周或共直线的充要条件是(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)为实数．【解】在平面几何中，共线的四个点A , B , C , D 的交比定义为(A , B ; C , D ) = (AC /CB ) : (AD /DB )．这是射影几何中的重要的不变量．类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z 1, z 2, z 3, z 4的交比定义为[z 1z 2, z 3z 4] = (z 1 – z 3)/(z 2 – z 3) : (z 1 – z 4)/(z 2 – z 4)．本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数． (⇒) 分两种情况讨论(1) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为实数，则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是实数．设(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) = t ，t ∈ ．则z 4 = (1 – t )z 1 + t z 2，故z 4在z 1, z 2所确定的直线上，即z 1, z 2, z 4共线．因此，同理，z 1, z 2, z 3也共线．所以，z 1, z 2, z 3, z 4是共线的．(2) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为虚数，则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是虚数．故Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) ≠ k π，Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) ≠ k π．而Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) – Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2))= Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) = k π．注意到Arg ((z – z 4)/(z – z 2)) = Arg ((z 4 – z )/(z 2 – z ))是z 2 – z 到z 4 – z 的正向夹角， 若Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) = Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2))，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的同侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小相同， 故z 1, z 2, z 3, z 4是共圆的．若Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) = Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) + π，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的异侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小互补， 故z 1, z 2, z 3, z 4也是共圆的．(⇐) 也分两种情况讨论(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, t∈ \{0, 1}，使得z4 = (1 –s)z3 + s z2，z4 = (1 –t)z1 + t z2，那么，z3–z4 = s (z3 –z2)，即(z3–z4)/(z3–z2) = s；而z1–z4 = t (z1 –z2)，即(z1–z4)/(z1–z2) = t，所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2) = t/s∈ ．(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么，Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) = Arg ((z4–z3)/(z2–z3))因此(z4–z1)/(z2–z1) : (z4–z3)/(z2–z3)是实数．也就是说(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)是实数．若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，则Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，故Arg ((z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2))= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) – Arg ((z3–z4)/(z3–z2))= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) + Arg ((z3–z2)/(z3–z4))= Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)仍为实数．[证完]这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法．11. 试证：方程| z -z1 |/| z -z2 | = k ( 0 < k ≠ 1，z1≠z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为ρ，且z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线．当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆．设0 < k ≠ 1，z1≠z2，z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．∀z∈ ，| z -z0 | = ρ⇔| z - (z1 -k2 z2)/(1-k2)| = k | z1 -z2|/| 1-k2 |⇔| z(1-k2)- (z1 -k2 z2) | = k | z1 -z2 |⇔| (z -z1) -k2 (z-z2)| = k | z1 -z2|⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | z1 -z2|⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | (z -z1)- (z-z2) |⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) |2 = | (z -z1) - (z-z2) |2⇔| z -z1 |2/k2 + k2 | z-z2 |2 = | z -z1 |2 + | z-z2 |2⇔(1/k2 - 1)| z -z1 |2 = (1-k2 ) | z-z2 |2⇔| z -z1 |2/k2 = | z-z2 |2⇔| z -z1 |/| z-z2 | = k．[证完]直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的．命题：若复数z, w≠ 0，则| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | = | w -z |．证明：我们用z*表示复数z的共轭．| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |2= | | z | ·w /| w| |2 + | | w| ·z /| z| |2- 2Re[( | z | ·w /| w|) · (| w| ·z /| z|)* ]= | z |2 + | w|2- 2Re( w ·z* ) = | w -z |2．或更直接地，| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |= | | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | · | z*/| z| | · | w*/| w| |= | (| z | ·w /| w| - | w| ·z /| z|) ·(z*/| z|) · (w*/| w|) |= | (| z | · (z*/| z|) - | w| ·(w*/| w|)) | = | w -z |．12. 试证：Re(z) > 0 ⇔ | (1 -z)/(1 + z) | < 1，并能从几何意义上来读本题．【解】Re(z) > 0 ⇔点z在y轴右侧⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧⇔点z到点-1的距离大于点z到点1的距离⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔| (1 -z)/(1 + z) | < 1．不用几何意义可以用下面的方法证明：设z = x + i y，x, y∈ ．| (1 -z)/(1 + z) | < 1 ⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔|1 + z |2 > | 1 -z |2⇔ 1 + z2 + 2Re(z) > 1 + z2- 2Re(z) ⇔Re(z) > 0．[由本题结论，可知映射f(z) = (1 -z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点．并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点．问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？]∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞∙︒ℵℜ℘∇∏∑⎰ ⊥∠ √§ψ∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂∀m∈ +，∃m∈ +，★〈α1, α2, ..., αn〉lim n→∞，+n→∞∀ε > 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，∀ε > 0，∃δ> 0，【解】⎰[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。
复变函数复习习题
14
2.映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变量z 的值,
而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
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29
作业 ：P-28
• 1.4.1，1.4.2，1.4.3，1.4.5
30
4
例2 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域,
指出是单连通域还是多连通域?
y
6
解 (1) Im z 3,
5
4
是一条平行于实轴的直线,
3 2
不是区域.
1 -3 -2 -1
x 123
(2) Re z 2, 以 Re z 2 为左界的半平面 (不包括直线Re z 2 ), 单连通域.
5
(3) 0 z 1 i 2, 以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘, 是多连通域. (4) arg( z i) ,
15
这个映射通常简称为由函数 w f (z) 所构成的映射.
如果G中的点 z 被映射 w f (z)映射成G * 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
16
3. 两个特殊的映射:
(1) 函数 w z 构成的映射.
将 z 平面上的点z a ib 映射成 w 平面上
9
2.单(多)值函数的定义: 如果 z 的一个值对应着一个w 的值, 那末
我们称函数 f (z) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或两个以上
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案之马矢奏春创作1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-， （4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin 22ii i e πππ=+= （2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3． 求下列各式的值： （1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6= 4．设12 ,z z i ==-试用三角形式暗示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 5． 解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i+=由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4(1),(1),1),(1)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。
复变函数习题答案习题详解
第一章习题详解1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1)i231+ 解：()()()132349232323231231ii i i i i -=+-=-+-=+实部：133231=⎪⎭⎫⎝⎛+i Re 虚部：132231-=⎪⎭⎫⎝⎛+i Im共轭复数：1323231ii +=⎪⎭⎫⎝⎛+ 模：1311323231222=+=+i辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 23221331322231231+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2) ii i --131 解：()()()2532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：23131=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Im共轭复数：253131i i i i +=⎪⎭⎫⎝⎛-- 模：234434253131222==+=--iii 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg3)()()ii i 25243-+解：()()()22672267272625243ii ii ii i --=-+=--=-+ 实部：()()2725243-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Re虚部：()()1322625243-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243ii i i +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+ 模：()()2925226272524322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ii i辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 4) i ii +-2184解：i i i i ii 31414218-=+-=+-实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()34218-=+-i ii Im共轭复数：()i i i i 314218+=+- 模：1031422218=+=+-i ii辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i ii Arg 23213244218218+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=++-=+-arg2． 当x 、y 等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。
复变函数习题第一章答案
34 3 5 ； z = ( )2 + ( )2 = 2 2 2
5 arg z = − arctan( ) . 3 (3 + 4i )(1 + 2i ) 2 3 + 4i 2 − 5 + 10i 2 (2) z = ( ] =( ) =[ ) 2 2 1 − 2i 5 1 +2
= (−1 + 2i ) 2 = −3 − 4i ，
x + 1 + i ( y − 3) = (1 + i )(5 + 3i ) ，即 x + 1 + i ( y − 3) = 2 + 5i ，
根据复数相等的概念，有
1
x +1 = 2 x =1 ， 即 . y − 3 = 8 y = 11
⒊ 将下列复数化为三角式和指数式： （1） − 5i ； （3） 1 + i 3 ； 解 (1) （2） − 1 ； （4）
− i 2
π
π
π
.
(2) 这里 x = −1 , y = 0 ,则 z =
(−1) 2 + (0) 2 = 1 ,
从而有 cos θ = −1 , sin θ = 0 ; 得 arg z = π , 则三角式与指数式分别为:
z = [cos(π ) + i sin(π )] , z = e πi .
5
（1） x + y = 4 ；
2 2
（2） y = x ； （4） ( x − 1) + y = 1 ．
2 2
（3） x = 1 ； 解
ω=
x 1 y , = 2 −i 2 2 z x +y x + y2
复变函数习题一解答
习题一解答A 类1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（1）i 231+； （2）i13i i1--； （3）()()2i5i 24i 3-+； （4）i 4i i 218+-解 （1）()()()2i 31312i 32i 32i32i31-=-+-=+所以133=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+,()2i 31312i31+=+，13131331332i3122=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，k π2i 231a r g i 231A r g +⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,2,1,0,232arctan±±=+-=k k π（2）()()()()i,25233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i13i i 1-=+---=+-+---=--所以,23i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-- 25i 13i i 1Im -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--25i23i 13i i 1+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--，2342523i13i i122=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=--，k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--,±,±,=,+-=210235arctank k π. （3）()()()()()()()42i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i5i 24i 3--=---+=-+13i27226i7--=--=所以()()272i 5i 24i 3Re -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+， ()()132i 5i 24i 3Im -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+，()()l 3i272i 5i 24i 3+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+()()22952i5i 24i 3=-+，()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+(),2,1,0,12726arctan±±=-+=k k π.（4）()()()()ii 141i i i4ii 4i i 10410242218+---=+-=+-3i1i 4i 1-=+-=所以{}{}3i 4ii Im 1,i 4ii Re 218218-=+-=+- 3i1i 4i i 218+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，10|i 4ii|218=+-()()()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+-=++-=+-=.2,1,0,k 2k πarctan3±±=+-2．如果等式()i13i53y i 1x +=+-++成立，试求实数x , y 为何值。
复变函数习题解答(第1章)
p44第一章习题(一)[ 13, 16, 17 , 20]13. 试证arg z ( -π < arg z ≤π )在负实轴(包括原点)上不连续，除此而外在z平面上处处连续．【解】记f(z) = arg z，D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}，D1 = { z∈ | Re(z) > 0}，D2 = { z∈ | Im(z) > 0}，D3 = { z∈ | Im(z) < 0}．(1) 首先，f(z)在原点无定义，故f(z)在原点处不连续．(2) 设a∈ ，且a < 0．则f(a) = π．考察点列z n = | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π))，n∈ +．显然，-π < 1/n-π≤π，故f(z n) = 1/n-π．而lim n→∞z n = lim n→∞( | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π)) ) = a，但lim n→∞f(z n) = lim n→∞(1/n-π) = -π≠f(a)．故f(z)在a处不连续．(3) 下面证明f(z)在D1, D2, D3这三个区域上都连续．设z = x + i y，x, y∈ ．(3.1) 在D1上，f(z) = arctan(y/x)，因arctan(y/x)是{(x, y)∈ 2 | x > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D1上的连续函数．(3.2) 在D2上，f(z) = arccot(x/y)，因arccot(x/y)是{(x, y)∈ 2 | y > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D2上的连续函数．(3.3) 在D3上，f(z) = arccot(x/y) -π，因arccot(x/y) -π是{(x, y)∈ 2 | y < 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D3上的连续函数．(4) 最后证明f(z)是D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}上的连续函数．∀a∈D，因为D = D1⋂D2⋂D3，故存在k (k = 1, 2, 3)，使得a∈D k．因D k是开集故存在r > 0，使得U r(a) = { z∈ | | z –a | < r } ⊆D k．根据(3)，f(z)在D k上是连续的，故∀ε > 0，∃η> 0，使得∀z∈D k，当| z–a | < η时，| f(z) -f(a) | < ε．设δ= min { r, η}，则∀z∈D，当| z–a | < δ时，z∈U r(a) ⊆D k，又因| z–a | < δ< η，故必有| f(z) -f(a) | < ε．所以，f在a处连续．由a的任意性，f(z)是上的连续函数．[连续性部分的证明可以用几何的方法，而且写起来会简单些．但我们之所以选择这个看起来很复杂的方法，是可以从这里看出θ(z) = arg(z)作为(x, y)的二元函数，在D1, D2, D3上都有很明显的可导的表达式，因此它在区域D上不仅是连续的，而且是连续可导二元函数：θx = y/(x2 + y2)，θy = -x/(x2 + y2)．证明中的第四部分并不是多余的，这是因为若f在两个集合A, B上都连续(即使它们有公共的部分)，一般说来，并不能保证f在两个集合A⋂B上也连续．问题：若f在区域A, B上都连续，且A ⋃B ≠∅，问f在A⋂B上是否必连续？] 16. 试问函数f(z) = 1/(1 –z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．因为z在 内连续，故f(z) = 1/(1 –z )在 \{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．令z n= 1 – 1/n，w n= 1 – 1/(n + 1)，n∈ +．则z n, w n都在单位圆| z | < 1内，| z n-w n | → 0，但| f(z n)-f(w n)| = | n - (n + 1) | = 1 > 0，故f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 –x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z∈ | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．【解】(⇒) 若复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限，则∀ε > 0，∃N∈ +，使得∀n > N，有| z n -z0| < ε．此时有| x n -x0| ≤ | z n -z0| < ε；| y n -y0| ≤ | z n -z0| < ε．故实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．(⇐) 若实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限，则∀ε > 0，∃N1∈ +，使得∀n > N1，有| x n -x0| < ε/2；∃N2∈ +，使得∀n > N2，有| y n -y0| < ε/2．令N = max{N1, N2}，则∀n > N，有n > N1且n > N2，故有| z n -z0| = | (x n -x0) + i (y n -y0)| ≤ | x n -x0| + | y n -y0| < ε/2 + ε/2 = ε．所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限．20. 如果复数列{z n}合于lim n→∞z n = z0≠∞，证明lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．当z0≠∞时，结论是否正确？【解】(1) ∀ε > 0，∃K∈ +，使得∀n > K，有| z n -z0| < ε/2．记M = | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |，则当n > K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | = | (z1-z0) + (z2-z0) + ... + (z n-z0) |/n≤ ( | z1-z0 | + | z2-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n= ( | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |)/n + ( | z K +1-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n≤M/n + (n-K)/n · (ε/2) ≤M/n + ε/2．因lim n→∞ (M/n) = 0，故∃L∈ +，使得∀n > L，有M/n < ε/2．令N = max{K, L}，则当n > K时，有| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | ≤ M /n + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε．所以，lim n →∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0．(2) 当z 0 ≠ ∞时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = (-1)n · n ，n ∈ +．显然lim n →∞ z n = ∞．但∀k ∈ +，有(z 1 + z 2 + ... + z 2k )/(2k ) = 1/2，因此数列{(z 1 + z 2 + ... + z n )/n }不趋向于∞．[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]p45第一章习题(二)[ 6, 8, 9, 11, 12 ]6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．(z *表示复数z 的共轭)【解】此题应该要求b * z + a * ≠ 0．| a z + b | = | (a z + b )* | = | a * z * + b * | = | a * z * + b * | · | z | = | (a * z * + b *) · z | = | a * z * · z + b * · z | = | a * | z |2 + b * · z | = | b * z + a * |．故| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．8. 试证：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件为111332211w z w z w z = 0． 【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如z'z 312我们将采用下述的观点来证明：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转． 记f 1(z ) = z - z 1 (将z 1变到0的平移)；f 3(z ) = z - w 1 (将0变到w 1的平移)； 那么，三角形z 1z 2z 3与三角形w 1w 2w 3同向相似⇔ 存在某个绕原点的旋转位似变换f 2(z ) = z 0 z ，使得f 2 ( f 1(z k )) = f 3(w k )，(k = 2, 3)，其中z 0∈ \{0}⇔ 存在z 0∈ \{0}，使得z 0(z k - z 1) = w k - w 1，(k = 2, 3)⇔ (w 2 - w 1)/(z 2 - z 1) = (w 3 - w 1)/(z 3 - z 1)⇔ 13131212w w z z w w z z ----= 0⇔ 1110013131212w w z z w w z z ----= 0⇔ 111332211w z w z w z = 0．[证完]9. 试证：四个相异点z 1, z 2, z 3, z 4共圆周或共直线的充要条件是(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)为实数．【解】在平面几何中，共线的四个点A , B , C , D 的交比定义为(A , B ; C , D ) = (AC /CB ) : (AD /DB )．这是射影几何中的重要的不变量．类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z 1, z 2, z 3, z 4的交比定义为[z 1z 2, z 3z 4] = (z 1 – z 3)/(z 2 – z 3) : (z 1 – z 4)/(z 2 – z 4)．本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数． (⇒) 分两种情况讨论(1) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为实数，则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是实数．设(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) = t ，t ∈ ．则z 4 = (1 – t )z 1 + t z 2，故z 4在z 1, z 2所确定的直线上，即z 1, z 2, z 4共线．因此，同理，z 1, z 2, z 3也共线．所以，z 1, z 2, z 3, z 4是共线的．(2) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为虚数，则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是虚数．故Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) ≠ k π，Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) ≠ k π．而Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) – Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2))= Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) = k π．注意到Arg ((z – z 4)/(z – z 2)) = Arg ((z 4 – z )/(z 2 – z ))是z 2 – z 到z 4 – z 的正向夹角， 若Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) = Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2))，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的同侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小相同， 故z 1, z 2, z 3, z 4是共圆的．若Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) = Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) + π，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的异侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小互补， 故z 1, z 2, z 3, z 4也是共圆的．(⇐) 也分两种情况讨论(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, t∈ \{0, 1}，使得z4 = (1 –s)z3 + s z2，z4 = (1 –t)z1 + t z2，那么，z3–z4 = s (z3 –z2)，即(z3–z4)/(z3–z2) = s；而z1–z4 = t (z1 –z2)，即(z1–z4)/(z1–z2) = t，所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2) = t/s∈ ．(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么，Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) = Arg ((z4–z3)/(z2–z3))因此(z4–z1)/(z2–z1) : (z4–z3)/(z2–z3)是实数．也就是说(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)是实数．若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，则Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，故Arg ((z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2))= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) – Arg ((z3–z4)/(z3–z2))= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) + Arg ((z3–z2)/(z3–z4))= Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)仍为实数．[证完]这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法．11. 试证：方程| z -z1 |/| z -z2 | = k ( 0 < k ≠ 1，z1≠z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为ρ，且z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线．当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆．设0 < k ≠ 1，z1≠z2，z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．∀z∈ ，| z -z0 | = ρ⇔| z - (z1 -k2 z2)/(1-k2)| = k | z1 -z2|/| 1-k2 |⇔| z(1-k2)- (z1 -k2 z2) | = k | z1 -z2 |⇔| (z -z1) -k2 (z-z2)| = k | z1 -z2|⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | z1 -z2|⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | (z -z1)- (z-z2) |⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) |2 = | (z -z1) - (z-z2) |2⇔| z -z1 |2/k2 + k2 | z-z2 |2 = | z -z1 |2 + | z-z2 |2⇔(1/k2 - 1)| z -z1 |2 = (1-k2 ) | z-z2 |2⇔| z -z1 |2/k2 = | z-z2 |2⇔| z -z1 |/| z-z2 | = k．[证完]直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的．命题：若复数z, w≠ 0，则| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | = | w -z |．证明：我们用z*表示复数z的共轭．| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |2= | | z | ·w /| w| |2 + | | w| ·z /| z| |2- 2Re[( | z | ·w /| w|) · (| w| ·z /| z|)* ]= | z |2 + | w|2- 2Re( w ·z* ) = | w -z |2．或更直接地，| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |= | | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | · | z*/| z| | · | w*/| w| |= | (| z | ·w /| w| - | w| ·z /| z|) ·(z*/| z|) · (w*/| w|) |= | (| z | · (z*/| z|) - | w| ·(w*/| w|)) | = | w -z |．12. 试证：Re(z) > 0 ⇔ | (1 -z)/(1 + z) | < 1，并能从几何意义上来读本题．【解】Re(z) > 0 ⇔点z在y轴右侧⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧⇔点z到点-1的距离大于点z到点1的距离⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔| (1 -z)/(1 + z) | < 1．不用几何意义可以用下面的方法证明：设z = x + i y，x, y∈ ．| (1 -z)/(1 + z) | < 1 ⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔|1 + z |2 > | 1 -z |2⇔ 1 + z2 + 2Re(z) > 1 + z2- 2Re(z) ⇔Re(z) > 0．[由本题结论，可知映射f(z) = (1 -z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点．并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点．问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？]∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞∙︒ℵℜ℘∇∏∑⎰ ⊥∠ √§ψ∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂∀m∈ +，∃m∈ +，★〈α1, α2, ..., αn〉lim n→∞，+n→∞∀ε > 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，∀ε > 0，∃δ> 0，【解】⎰[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。
复变函数练习题
复变函数练习题一、选择题1. 复数 \( z = x + yi \) 中，\( x \) 和 \( y \) 分别代表什么？A. 模和幅角B. 实部和虚部C. 虚部和实部D. 幅角和模2. 以下哪个是复平面上的单位圆？A. \( |z| = 1 \)B. \( |z| = 2 \)C. \( |z| > 1 \)D. \( |z| < 1 \)3. 复数 \( z \) 的共轭 \( \bar{z} \) 表示什么？A. \( z \) 的实部B. \( z \) 的虚部C. \( z \) 的实部和虚部的相反数D. \( z \) 的虚部的相反数二、填空题4. 若 \( z = 3 - 4i \)，则 \( z \) 的模是________。
5. 复数 \( z \) 的导数 \( \frac{d}{dz} \) 在 \( z \) 为纯虚数时，等于________。
三、简答题6. 描述复数的四则运算规则，并给出一个具体的例子。
7. 解释什么是解析函数，并给出一个解析函数的例子。
四、计算题8. 计算复数 \( z = 2 + 3i \) 的幅角 \( \arg(z) \)。
9. 给定 \( f(z) = z^2 + 2z + 1 \)，求 \( f(2 + i) \)。
五、证明题10. 证明 \( |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \) 对所有复数\( z_1 \) 和 \( z_2 \) 成立。
11. 证明 \( \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 对所有非零复数 \( z \) 成立。
六、综合题12. 考虑函数 \( f(z) = \frac{1}{z - 1} \)，求其在 \( z = 2 \) 处的留数。
13. 利用柯西积分公式，计算 \( \oint_C \frac{e^z}{z^2} dz \)，其中 \( C \) 是以原点为圆心，半径为 \( 1 \) 的圆周。
复变函数习题一.doc
(1)1 3/ 厂M7(2) 解⑴Z1 31 .3/(1+ Z) • -3 + 3; 3 5 .=—,== — i i i-i(1-z )(1 + 022 2则 Rez=~\2+、2 V34■y(2) -1；习题一(A )1-求下列复数z 的实部与虚部、共轴复数、模与辐角:5 arg z = — arctan —= (-l + 2z)2=-3-4z\则 Re z = -3 , Im z = -4 , z = -3 + 4i ；a=w+42 =5；4arg z = arctan ——zr 。
3 2. 当x, y 等于什么实数时，等式x + l + z(y-3)= 1+.5 + 3，成立.解原式等价于x +1 +心一 3)= (1 + i)(5 + 3i)，即x + l + i(y-3)= 2 + 8Z ，根据复数相等的概念，右，即成立。
b = ii3. 将下列复数化为三角式和指数式:(1) —5i ；2z = 5e 3。
(2) 这里i = —1, y = 0,则 |« = J(_I] + (O' =1,从而有cos0 = -l,sin0 = O ；得argz = 〃， 则三角式与指数式分别为：勿这里x = l, y = V3，则|z| = J 『+(构2 =2,从而有c osO = L, sin0 = — ；得argz = -23则三角式与指数式分别为:/ \ z z = 2 cos — +zsin —<3 J71£.z = 2e^⑷I-(1项力1 +厂(1项+广2 "这里x = 0, y = —1,贝U z从而有cos9 = 0, sin9 = -l ；得argz = —f 则三角式与指数式分别为:/ 、71 + zsin ---I 2 J(3) 1 +相；(4)—1 + z解⑴ 这里x = 0,)，= -5，贝U z|顼?+(_5)2 =5, 从而有cos9 = 0, sin9 = -l ；得argz = -^, 则三角式与指数式分别为：所以今 (兀+ 2k 兀、3 cos..(兀』2k 兀、+ zsin(#=0,1,2)。
复变函数习题总汇与参考答案
复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、假设Z 1=〔a, b 〕,Z 2=(c, d),那么Z 1·Z 2=〔C 〕 A 〔ac+bd, a 〕 B (ac-bd, b) C 〔ac-bd, ac+bd 〕 D (ac+bd, bc-ad)2、假设R>0，那么N 〔∞，R 〕={ z ：〔D 〕} A |z|<R B 0<|z|<R C R<|z|<+∞ D |z|>R3、假设z=x+iy, 那么y=(D)A B C D4、假设A= ，那么|A|=〔C 〕A 3B 0C 1D 2二、填空题1、假设z=x+iy, w=z 2=u+iv, 那么v=〔 2xy 〕2、复平面上满足Rez=4的点集为〔 {z=x+iy|x=4} 〕3、〔 设E 为点集，假设它是开集，且是连通的，那么E 〕称为区域。
2zz +2z z -iz z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，那么{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。
三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。
解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。
解：3、写出复数 的代数式。
解：4、求根式 的值。
+∞→n lim +∞→n limππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-ii i i -+-11327-解：四、证明题1、证明假设 ，那么a 2+b 2=1。
《复变函数》练习题
复变函数练习题（一）一、 判断题：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( )9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰C dz z f . ( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（） 二.填空题1、=-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数. 9. z zsin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z . 三.计算题：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部. 四. 证明题. 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.复变函数练习题（二）一. 判断题.1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( ) 6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f . ( ) 8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( ) 二. 填空题.1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________. 3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10. ____)1,1(Res 4=-z z . 三. 计算题. 1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=ii z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆. 4. 求dz z z ⎰=-22)2(sinzπ.四. 证明题.1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数练习题（三）一. 判断题.1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( )2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数.( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题.1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________. 5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________. 8. 设1-=z e ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z . 10. ____)0,(Res =n zze . 三. 计算题.1. 将函数12()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数n n nz n n ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z z e )9(d 22，其中C 是1||=z . 4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数.四. 证明题.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数试题1-3答案
1-3参考答案试题一一 1.11)),22i -++ 2.526632,2,2ii i e e eπππ 3.2exp(2)2z π+ 4. 1ln 2(2)22e e i k k ππ-+++为整数 5. 2(1)i e π+6.27.21(2)(1)(21)!n nn z n +∞=-+∑ 823Re()09s s >+ 二．1-5 D A A C D三．1. 解:由于=1z ，=2z i ，均位于圆周内，由柯西积分公式得23431212C C Cdz dz dz z z i z z i ⎛⎫+=+ ⎪--++⎝⎭⎰⎰⎰ 224212i i i πππ=⨯+⨯=注:其他解法正确也应给分2. 解: ()f z 在C 所围成的区域内有121,1z z ==-两个孤立奇点,2211213211Re [(),1]lim(1),Re [(),1]lim(1)1212z z z z s f z z s f z z z z →→-++=-=-=+=--,2' 所以由留数定理,原式()2Re [(),1]Re [(),1]224i s f z s f z i i πππ=⋅+-=⨯=.注:其他解法正确也应给分 3. 解:11sin cos z zdz z d z ⋅=-⎰⎰111000cos |cos cos1sin |z z z zdz z =⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰sin1cos1.=-四．1. 解:因为22u x axy by =++,22v cx dxy y =++2,2,2,2u u vvx a y a x b y c x d y d x yx y x y∂∂∂∂=+=+=+=+∂∂∂∂ 要使,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 只需22,22x ay dx y ax by cx dy +=++=-- 得到2,1,1,2a b c d ==-=-=2. 解:23231,2!3!!(1)1,2!3!!nzn zn z z z e z n z z e z z n -=++++++-=-+-+++ 3521()23!5!(21)!z z n n e e z z z f z z n -+∞=-∴==+++=+∑收敛半径.R =+∞3. 解:011z <-<时，()21111()()(1)(1)22f z z z z z '=⋅=⋅----- 因为()()0111121111nn z z z z ∞===-=----+---∑所以()111()12n n n z z ∞-='=---∑所以 ()()12111()111n n n n f z n z n z z ∞∞--===-=--∑∑ 当 021z <-<时，220111()(1)(2)(2)12(2)n n n f z z z z z ∞==⋅=⋅---+--∑ 2(1)(2)nn n z ∞-==--∑4. 22(2)()(sin )z z f z z π-=sin()0z z k πππ=⇒=，故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±± ---------当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠，z k ∴=是sin()z π的一级零点， 是2(sin())z π的二级零点 ------------------又由于12z =，是(1)(2)z z --的一级零点 所以12z =，是()f z 的一级极点，-------当,1,2z k z =≠时，k 是()f z 的二级极点。