中考专题解析切线证明
2024年中考重点之圆的切线与切圆定理
2024年中考重点之圆的切线与切圆定理圆是几何学中非常重要的基本形状之一，而关于圆的切线和切圆定理是中考数学中的重点内容之一。
本文将详细介绍圆的切线以及切圆定理的概念和应用。
一、圆的切线1. 切线的定义在平面几何中，切线是一条与圆只有一个交点的直线。
2. 切线的性质（1）切线与半径的关系：切线与半径垂直相交。
（2）切线的方向：切线与半径的夹角为90度。
（3）切线的长度：从切点到圆心的部分是切线的长度。
二、切圆定理1. 切圆定理的表述在一个圆中，如果一条直线通过圆上的两个不同的点，并且这条直线的两端分别与圆相交，那么这条直线就被称为切线，并且它与圆的切点在同一条直径上。
2. 切圆定理的应用（1）切线与半径的关系：由切圆定理可知，切线与半径在切点处构成90度的夹角，因此可以利用这一性质求解有关圆的问题。
（2）求切线长度：利用切圆定理可以通过已知的半径长度和圆心和切点的距离求解切线的长度。
（3）求切点坐标：利用切圆定理可以通过已知的圆心坐标和切线方程求解切点的坐标。
三、例题解析题目：已知一个圆的半径为r，圆心的坐标为(h, k)，直线y = mx + c（m ≠ 0）经过与圆的两个交点，求切线的方程。
解析：根据题目中已知条件，直线y = mx + c与圆相交于两个不同的点。
由于直线是切线，因此切线与直径垂直相交，并且切点在同一条直径上。
设切点的坐标为(x1, y1)，则根据切圆定理，切点的横坐标为h - (km + c)/(m^2 + 1)，纵坐标为k + m(x1 - h)。
由于切线垂直于半径，可以得到切线的斜率为-1/m。
由切点坐标可以确定切线的方程为y - y1 = -(1/m)(x - x1)。
将切点的坐标代入切线方程，可以得到切线的具体方程为y - (k + m(x1 - h)) = -(1/m)(x - (h - (km + c)/(m^2 + 1)))。
至此，我们得到了关于切线的方程。
四、总结本文详细介绍了圆的切线和切圆定理的概念和应用。
中考复习证明圆的切线的两种方法
中考复习证明圆的切线的两种方法证明圆的切线有两种方法，其中一种是通过切线与半径的关系来证明，另一种是通过圆的切线与半径的垂直关系来证明。
首先，我们来看第一种方法。
1.通过切线与半径的关系证明：设圆的圆心为O，半径为r，切线与圆的切点为A。
由圆的性质可知，半径与切线在切点处垂直，因此OA⊥TA。
又因为同一条直线上的两个垂直角相等，所以∠OTA=90°。
设切线与半径的交点为B，连接OB。
由于切线只有一个触点，所以TA=TB=r，且AB为直径。
在△OAB中，∠OAB=90°，所以角OAB也是直角，即AB垂直于OA。
综上所述，切线与半径在切点处垂直，即切线是与半径垂直的直线。
接下来，我们来看第二种方法。
2.通过圆的切线与半径的垂直关系证明：设圆的圆心为O，半径为r，切线与圆的切点为A。
由圆的性质可知，切线与半径在切点处垂直，即OA⊥AT。
在△OAT中，角AOT是圆心角，它对应的弧AT是它所对的弧，所以∠AOT=1/2arc(AT)。
而角AOT是直角，所以∠AOT=90°。
所以1/2arc(AT)=90°，即arc(AT)=180°，即AT是整个圆的弧。
同理可知切线与半径相交于切点处的弧也是整个圆的弧。
所以切点处的弧为整个圆的弧，即切线与半径相交于切点处的弧都是整个圆的弧。
综上所述，切线与半径在切点处相交的弧都是整个圆的弧，即切线与半径在切点处垂直。
综合两种方法的证明，我们可以得出圆的切线与半径在切点处垂直，并且切线与半径相交于切点处的弧都是整个圆的弧。
这就是证明圆的切线的两种方法的过程。
注：以上只是两种常用的证明方法，实际上还有其他一些方法来证明圆的切线的性质。
中考切线题目中证垂直的四种方法
中考切线题目中证垂直的四种方法在中学数学中，切线是一种与曲线相切、且仅与曲线相切于一个点的直线。
在中考数学中，经常会出现求切线的题目，其中有一类题目是要求证明切线与另一条直线垂直。
下面将介绍四种常用的方法来证明切线与直线垂直的情况。
一、直线与切线的斜率互为相反数假设直线的方程为y = kx + b，曲线的方程为f(x) = g(x)，则切线的斜率为f'(a)，其中a为曲线上的某一点。
如果要证明切线与直线垂直，就需要证明斜率k与f'(a)为互为相反数。
证明：由于切线与曲线相切于点(a, f(a))，所以切线的方程为y - f(a) = f'(a)(x - a)。
将直线方程代入切线方程，得到kx + b - f(a) = f'(a)(x - a)。
整理得(k - f'(a))x = b - f(a) + af'(a)。
由于x的系数为0，所以k - f'(a) = 0，即k = -f'(a)。
因此，当直线的斜率k与切线的斜率f'(a)互为相反数时，直线与切线垂直。
二、直线与曲线的切点的斜率之和为0假设直线的方程为y = kx + b，曲线的方程为f(x) = g(x)，则直线与曲线的交点坐标为(x1, f(x1))。
如果要证明切线与直线垂直，就需要证明切线的斜率f'(x1)与直线的斜率k之和为0。
证明：由于切线与曲线相切于点(x1, f(x1))，所以切线的方程为y - f(x1) = f'(x1)(x - x1)。
将直线方程代入切线方程，得到kx +b - f(x1) = f'(x1)(x - x1)。
整理得(k - f'(x1))x = b - f(x1) + x1f'(x1)。
由于x的系数为0，所以k - f'(x1) = 0，即k = f'(x1)。
因此，当直线的斜率k与切线的斜率f'(x1)之和为0时，直线与切线垂直。
中考总复习圆切线专题
题型专项( 八)与切线有关的证明与计算种类 1 与全等三角形相关1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点连结 CD ，交⊙ O 于点 E ，F，过圆心A ，B 分别作切线，交于O 作 OM ⊥ CD ，垂足为点BO，AO M.的延伸线于点C， D ，求证：(1) △ ACO ≌△ BDO ；(2)CE ＝ DF.证明：(1) ∵ AC ， BD 分别是⊙O 的切线，∴∠ A＝∠ B ＝ 90° .又∵ AO ＝ BO ，∠ AOC ＝∠ BOD ，∴△ ACO ≌△ BDO.(2) ∵△ ACO ≌△ BDO ，∴OC ＝ OD.又∵ OM ⊥ CD ，∴ CM ＝ DM.又∵ OM ⊥EF ，点 O 是圆心，∴EM ＝ FM.∴CM － EM ＝ DM － FM.∴CE ＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与 AC 的延伸线交于点 Q，过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D，连结 OC.(1)求证：△ CDQ 是等腰三角形；(2)假如△ CDQ ≌△ COB ，求 BP∶ PO 的值．解： (1) 证明：由已知得∠ACB ＝ 90°，∠ ABC ＝ 30° .∴∠ Q＝ 30°，∠ BCO ＝∠ ABC ＝ 30 ° .∵CD 是⊙ O 的切线， CO 是半径，∴CD ⊥ CO.∴∠ DCQ ＝∠ BCO ＝ 30° .∴∠ DCQ ＝∠ Q.故△ CDQ 是等腰三角形．(2)设⊙ O 的半径为 1，则 AB ＝ 2， OC＝ 1， BC ＝ .∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝ CB ＝ .∴AQ ＝ AC ＋ CQ＝ 1＋ .∴AP ＝ AQ ＝ .∴B P ＝ AB － AP ＝ .∴PO ＝ AP－ AO ＝ .∴B P ∶ PO＝ .3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延伸线上一点，点 E 在弧上且知足 PE2＝ PA· PC，连结 CE ， AE ， OE 交 CA 于点 D.(1) 求证：△ PAE ∽△ PEC；(2) 求证： PE 为⊙ O 的切线；(3) 若∠ B＝ 30°， AP＝ AC ，求证： DO ＝DP.证明： (1) ∵ PE2＝ PA·PC ，∴＝ .又∵∠ APE ＝∠ EPC，∴△ PAE ∽△ PEC.(2) ∵△ PAE ∽△ PEC，∴∠ PEA ＝∠ PCE.∵∠ PCE＝∠ AOE ，∴∠ PEA ＝∠ AOE. ∵ OA ＝ OE，∴∠ OAE ＝∠ OEA.∵∠ AOE ＋∠ OEA ＋∠ OAE ＝ 180°，∴∠ AOE ＋ 2∠ OEA ＝ 180°，即2∠ PEA ＋ 2∠OEA ＝ 180 ° .∴∠ PEA ＋∠ OEA ＝90 ° .∴PE 为⊙ O 的切线．(3)设⊙ O 的半径为 r，则 AB ＝ 2r.∵∠ B ＝ 30 °，∠ PCB ＝ 90°，∴ AC ＝ r， BC ＝ r. 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F，∴O F ＝ r.∵ AP ＝ AC ，∴AP ＝ .∵ PE2＝ PA·PC，∴ PE＝ r.在△ ODF 与△ PDE 中，∴△ ODF ≌△ PDE. ∴ DO ＝ DP.种类 2与相像三角形相关4．(2016·泰州)如图，在△ABC中，∠ACB BC 于点 E，连结 AE 交 CD 于点 P，交⊙ O ＝90°，在 D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙ O 交于点 F ，连结 DF，∠ CAE ＝∠ ADF.(1)判断 AB 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；(2)若 PF∶ PC＝ 1∶ 2， AF ＝ 5，求 CP 的长．解： (1)AB 是⊙ O 切线．原因：∵∠ ACB ＝ 90°，∴∠ CAE ＋∠ CEA ＝ 90 °.∵∠ CAE ＝∠ ADF ，∠ CDF ＝∠ CEA ，∴∠ ADF ＋∠ CDF ＝ 90° .∴ AB 是⊙ O 切线．(2) 连结 CF.∵∠ ADF ＋∠ CDF ＝ 90°，∠ PCF＋∠ CDF ＝ 90°，∴∠ ADF ＝∠ PCF.∴∠ PCF＝∠ PAC.又∵∠ CPF＝∠ APC ，∴△ PCF∽△ PAC. ∴＝ .∴P C 2＝ PF·PA. 设 PF＝ a，则 PC＝ 2a.∴4a2＝a(a＋ 5)．∴a＝ .∴P C ＝ 2a＝ .5．(2015·北海)如图，AB，CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连结BE交CD于点F，过点E作直线 EP 与 CD 的延伸线交于点 P，使∠ PED＝∠ C.(1)求证： PE 是⊙ O 的切线；(2)求证： ED 均分∠ BEP；(3)若⊙ O 的半径为 5， CF＝ 2EF，求 PD 的长．解： (1) 证明：连结OE.∵CD 是圆 O 的直径，∴∠ CED ＝ 90 °.∵OC ＝ OE，∴∠ C＝∠ OEC.又∵∠ PED ＝∠ C，∴∠ PED ＝∠ OEC.∴∠ PED ＋∠ OED ＝∠ OEC ＋∠ OED ＝ 90°，即∠ OEP ＝ 90 ° .∴OE ⊥ EP.又∵点 E 在圆上，∴PE 是⊙ O 的切线．(2)证明：∵ AB ， CD 为⊙ O 的直径，∴∠ AEB ＝∠ CED ＝ 90 °.∴∠ AEC ＝∠ DEB( 同角的余角相等)．又∵∠ PED ＝∠ C， AE ∥ CD ，∴∠ PED ＝∠ DEB ，即ED 均分∠ BEP.(3) 设 EF＝ x ，则 CF＝ 2x.∵⊙ O 的半径为5，∴O F ＝2x － 5.在Rt△ OEF 中， OE 2＝ EF2＋ OF2，即 52＝ x2＋ (2x － 5) 2，解得 x＝4，∴EF ＝ 4.∴B E ＝ 2EF＝ 8， CF＝ 2EF ＝ 8.∴D F ＝ CD－ CF ＝ 10－ 8＝ 2.∵AB 为⊙ O 的直径，∴∠ AEB ＝ 90 °.∵AB ＝ 10， BE ＝8，∴ AE ＝ 6.∵∠ BEP ＝∠ A ，∠ EFP＝∠ AEB ＝ 90°，∴△ EFP∽△ AEB.∴＝，即＝ .∴P F＝ .∴P D ＝ PF－ DF ＝－ 2＝ .6．(2014·桂林)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延伸线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙ O 的直径，过点 C 作 CG⊥ AD 于点 E，交 AB 于点 F，交⊙ O 于点 G.(1)判断直线 PA 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；(2)求证： AG 2＝ AF·AB ；(3)若⊙ O 的直径为 10 ， AC ＝ 2， AB ＝ 4，求△ AFG 的面积．解： (1)PA 与⊙ O 相切．原因：连结CD.∵AD 为⊙ O 的直径，∴∠ ACD ＝ 90 ° .∴∠ D ＋∠ CAD ＝ 90 °.∵∠ B ＝∠ D ，∠ PAC ＝∠ B ，∴∠ PAC ＝∠ D.∴∠ PAC ＋∠ CAD ＝ 90°，即 DA ⊥ PA.∵点 A 在圆上，∴ PA 与⊙ O 相切．(2)证明：连结 BG.∵AD 为⊙ O 的直径， CG⊥ AD ，∴＝ .∴∠ AGF ＝∠ ABG.∵∠ GAF ＝∠ BAG ，∴△ AGF ∽△ ABG.∴AG ∶ AB ＝ AF ∶ AG. ∴ AG 2＝ AF·AB.(3) 连结 BD.∵AD 是直径，∴∠ ABD ＝ 90° .∵AG 2＝ AF·AB ， AG ＝ AC ＝ 2， AB ＝ 4，∴AF ＝＝ .∵CG ⊥ AD ，∴∠ AEF ＝∠ ABD ＝ 90 ° .∵∠ EAF ＝∠ BAD ，∴△ AEF ∽△ ABD.∴＝，即＝，解得 AE ＝ 2.∴E F ＝＝ 1.∵EG ＝＝ 4，∴F G ＝EG － EF＝ 4－1＝ 3.∴S△AFG＝ FG·AE ＝× 3× 2＝ 3.种类 3与锐角三角函数相关7．(2014·梧州)如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点 P， OP 交 AB 于点 D ， BC ， PA 的延伸线交于点 E.(1)求证： PA 是⊙ O 的切线；(2)若 sin∠ E＝， PA ＝ 6，求 AC 的长．解： (1) 证明：连结OA.∵AC ∥ OP，∴∠ AOP ＝∠ OAC ，∠ BOP ＝∠ OCA.∵OA ＝ OC ，∴∠ OCA ＝∠ OAC. ∴∠ AOP ＝∠ BOP.又∵ OA ＝ OB ， OP＝ OP，∴△ AOP ≌△ BOP. ∴∠ OAP ＝∠ OBP.∵B P ⊥ CB ，∴∠ OAP ＝∠ OBP ＝ 90° .∴ OA ⊥ PA.∴PA 是⊙ O 的切线．(2)∵ PB⊥ CB ，∴ PB 是⊙ O 的切线．又∵ PA 是⊙ O 的切线，∴PA ＝PB＝ 6.又∵ sin E＝＝＝，∴ AO ＝ 3.在Rt△ OPB 中， OP＝＝ 3.∵B C 为⊙ O 直径，∴∠ CAB ＝ 90° .∴∠ CAB ＝∠ OBP ＝ 90°，∠ OCA ＝∠ BOP.∴△ ACB ∽△ BOP. ∴＝ .∴AC ＝＝＝ .8．(2015·贵宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连结 AD ， BD ， BD 交 AC 于点 F.(1)求证： BD 均分∠ ABC ；(2)延伸 AC 到点 P，使 PF＝ PB，求证： PB 是⊙ O 的切线；(3)假如 AB ＝10 ， cos∠ ABC ＝，求 AD.解： (1) 证明：∵ OD ∥ BC ，∴∠ ODB ＝∠ CBD.∵OB ＝ OD ，∴∠ OBD ＝∠ ODB.∴∠ CBD ＝∠ OBD.∴B D 均分∠ ABC.(2)证明：∵⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC 的外接圆，∴∠ ACB ＝ 90° .∴∠ CFB ＋∠ CBF ＝ 90° .∵P F＝ PB，∴∠ PBF＝∠ CFB.由(1) 知∠ OBD ＝∠ CBF ，∴∠ PBF ＋∠ OBD ＝ 90° .∴∠ OBP ＝ 90° .∴PB 是⊙ O 的切线．(3)∵在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AB ＝10，∴cos∠ ABC ＝＝＝ .∴B C ＝ 6， AC ＝＝ 8.∵OD ∥ BC ，∴△ AOE ∽△ ABC ，∠ AED ＝∠ OEC ＝ 180 °－∠ ACB ＝ 90 °.∴＝＝，＝＝ .∴AE ＝ 4， OE＝ 3.∴D E ＝ OD － OE＝ 5－ 3＝ 2.∴AD ＝＝＝ 2.9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB∥OP，直线PB 交直线 AC 于点 D ， BD ＝ 2PA.(1)证明：直线 PB 是⊙ O 的切线；(2)研究线段 PO 与线段 BC 之间的数目关系，并加以证明；(3)求 sin∠ OPA 的值．解： (1) 证明：连结OB.∵B C ∥ OP， OB ＝OC ，∴∠ BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠ POB ，∠ BCO ＝∠ CBO.∴∠ POA ＝∠ POB. 又∵ PO ＝ PO， OB ＝ OA ，∴△ POB ≌△ POA. ∴∠ PBO ＝∠ PAO ＝ 90° .∴PB 是⊙ O 的切线．(2)2PO ＝ 3BC.( 写 PO＝ BC 亦可 )证明：∵△ POB ≌△ POA ，∴ PB＝ PA.∵B D ＝ 2PA ，∴ BD ＝ 2PB.∵B C ∥ PO，∴△ DBC ∽△ DPO.∴＝＝ .∴ 2PO＝ 3BC.(3) ∵ CB ∥ OP，∴△ DBC ∽△ DPO.∴＝＝，即 DC ＝ OD.∴OC ＝ OD. ∴ DC＝ 2OC.设OA ＝ x， PA ＝ y.则 OD＝ 3x， OB ＝ x ， BD ＝ 2y.在Rt△ OBD 中，由勾股定理得 (3x) 2＝ x2＋ (2y) 2，即 2x2＝ y2.∵x＞ 0， y＞ 0，∴ y＝ x，OP ＝＝ x.∴s in ∠ OPA ＝＝＝＝ .种类 4与特别四边形相关10．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D 作⊙ O 的切线，分别交 OA 延伸线与 OC 延伸线于点 E， F，连结 BF.(1)求证： BF 是⊙ O 的切线；(2)已知圆的半径为 1，求 EF 的长．解： (1) 证明：连结OD.∵E F 为⊙ O 的切线，∴∠ ODF ＝ 90 °.∵四边形AOCD 为平行四边形，∴AO ＝ DC ， AO ∥ DC.又∵ DO ＝ OC ＝ OA ，∴DO ＝ OC ＝ DC.∴△ DOC 为等边三角形．∴∠ DOC ＝∠ ODC ＝ 60° .∵DC ∥ AO ，∴∠ AOD ＝∠ ODC ＝60 ° .∴∠ BOF ＝ 180°－∠ COD －∠ AOD ＝ 60° .在△ DOF 和△ BCF 中，∴△ DOF ≌△ BOF.∴∠ ODF ＝∠ OBF ＝ 90° .∴BF 是⊙ O 的切线．(2)∵∠ DOF ＝ 60°，∠ ODF ＝90°，∴∠ OFD ＝ 30 °.∵∠ BOF ＝ 60°，∠ BOF ＝∠ CFD ＋∠ E，∴∠ E ＝∠ OFD ＝30 ° .∴O F ＝OE.又∵ OD ⊥ EF，∴D E ＝ DF.在Rt△ ODF 中，∠ OFD ＝ 30 °.∴O F ＝2OD.∴D F ＝＝＝ .∴E F ＝ 2DF ＝2.11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB ＝ 10，弦 AC ＝ 6，∠ BAC 的均分线交⊙O 于点 D ，过点D 作 DE ⊥ AC 交 AC 的延伸线于点 E.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)求 DE 的长．解： (1) 证明：连结OD.∵AD 均分∠ BAC ，∴∠ DAE ＝∠ DAB.∵OA ＝ OD ，∴∠ ODA ＝∠ DAO.∴∠ ODA ＝∠ DAE.∴OD ∥ AE.∵DE ⊥ AC ，∴OD ⊥ DE.∴DE 是⊙ O 切线．(2) 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F.∴AF ＝ CF＝ 3.∴O F ＝＝＝ 4.∵∠ OFE ＝∠ DEF ＝∠ ODE ＝ 90°，∴四边形OFED 是矩形．∴D E ＝ OF ＝ 4.12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C， D 为切点．(1)如图 1，求⊙ O 的半径；(2)如图 1，若点 E 是 BC 的中点，连结 PE，求 PE 的长度；(3)如图 2，若点 M 是 BC 边上随意一点 (不含 B ，C)，以点 M 为直角极点，在 BC 的上方作∠ AMN＝90 °，交直线 CP 于点 N ，求证： AM ＝ MN.解： (1) 连结 OD ， OC.∵P C ， PD 是⊙ O 的两条切线， C， D 为切点，∴∠ ODP ＝∠ OCP ＝ 90° .∵四边形ABCD 是⊙ O 的内接正方形，∴∠ DOC ＝ 90°， OD ＝ OC.∴四边形DOCP 是正方形．∵AB ＝ 4，∠ ODC ＝∠ OCD ＝ 45°，∴DO ＝ CO ＝ DC·sin45°＝ 4×＝ 2.(2) 连结 EO， OP.∵点 E 是 BC 的中点，∴OE ⊥ BC ，∠ OCE ＝ 45 °，则∠ EOP ＝ 90° .∴EO ＝ EC ＝ 2， OP＝ CO＝ 4.∴P E＝＝ 2.(3)证明：在 AB 上截取 BF ＝BM.∵AB ＝ BC ， BF ＝ BM ，∴AF ＝MC ，∠ BFM ＝∠ BMF ＝ 45° .∵∠ AMN ＝ 90°，∴∠ AMF ＋∠ NMC ＝ 45°，∠ FAM ＋∠ AMF ＝ 45° .∴∠ FAM ＝∠ NMC.∵由 (1) 得 PD ＝ PC，∠ DPC ＝ 90°，∴∠ DCP ＝ 45° .∴∠ MCN ＝ 135° .∵∠ AFM ＝ 180 °－∠ BFM ＝ 135 °，在△ AFM 和△ MCN 中，∴△ AFM ≌△ MCN( ASA)．∴AM ＝ MN.。
专题09 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略(解析版)
CB HB 8, 设 OE=OB=r, HO BH OB 8 r, OE2 OH 2 HE2, r2 (8 r)2 42. 解得： r = 5 故 O 的半径为 5 【点睛】本题主要考查了切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质勾股定理，掌握 切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题关键． 5．（2023 秋·江苏·九年级专题练习）如图，在 ABC 中，C 90 ，点 E 在 AC 边上，BE 平分 ABC ，DE BE 交 AB 于 D ， O 是△BDE 的外接圆．
AB 是 O 的直径， AEB 90 ，即 AEO OEB 90 ， AE 平分 CAB ， CAE EAB ， OA OE ， EAB AEO ， BEF CAE ， BEF AEO ，
BEF OEB 90 ， OE EF ， OE 是 O 的半径， EF 是 O 的切线． （2）设 O 的半径为 x ， 则有 OE OB x ， ∵ EF 是 O 的切线． ∴ OEF 90 ， 在 RtOEF 中， OE 2 EF 2 OF 2 ， x2 202 (x 10)2 ， 解得 x 15， O 的半径为15 ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 4．（2022 秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，在 ABC 中， C 90 ， ABC 的平分线交 AC 于点 E，过 点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F， O 是△BEF 的外接圆．
∵四边形 ABDE 是 O 的内接四边形， ∴ B AED 180 ， ∵ DEC AED 180 ， ∴ DEC B． ∵ AB AC ， ∴ B C ， ∴ DEC C ， ∴ DE CD ， ∵ DF AC ， ∴ EF CF 1， ∴ AC AE EF CF 5 ， ∴ AB 5 ， ∴ O 的半径是 5 ．
平面几何中的证明：中考数学切线与割线
平面几何中的证明：中考数学切线与割线在平面几何中，切线与割线是经常出现的重要概念。
在中考数学中，对于这些概念的掌握以及对于切线、割线相应定理的证明都是非常重要的。
本文将介绍中考数学中切线和割线的基本概念以及相应的证明方法。
一、切线的概念所谓切线，是指一个曲线在某一点上的切线，即这条切线与曲线在该点处相切，并且仅在该点处相切。
二、割线的概念所谓割线，是指一个曲线的两点之间所经过的直线，其中这两点分别不在直线之上，相应地，这条直线也与曲线在这两点上相交。
三、切线定理1.定理一：曲线的任何一点处只有一条切线。
证明：假设曲线在某点处有两条不同的切线，则这两条切线将会构成一个三角形，在这个三角形中，切线段I和切线段II之间将会形成一个锐角或平角，而这是不可能的，因为这个角不可能大于九十度，也不可能小于零度。
所以，曲线在任何一点处只有一条切线。
2.定理二：切线垂直于半径。
证明：取代数较少的 Approa ch在圆心 O 处，画出半径 OA1 . 由于切点 A1 处的切线仅在该处与圆相切，所以在圆上以点 A1 为圆心绘制一条半径 A1 B 和半径 OA1 之间的夹角定义为β.此时，切点处的切线 T1 就与半径 OA1 处的半径 OA1 垂直；而对于这个锐角的余角β，由余角定理可知，β = α ，所以证毕。
3.定理三：切线与半径夹角相等的定理。
证明：如下图所示，在圆心 O 处，画出半径 OA1 . 对于点 A2（切点），连接 OA2 .则在Δ OA1 A2 中，β = α ，因为圆的半径和切线在切点处垂直。
又因为角β 与角γ 分别为Δ OA2 A1 中的内角和外角，所以γ = β = α （由内角和定理及外角定理可知）。
结合角γ 与角 A2 OA1 所对应的圆周角不等于 90°，即γ ≠ 90°，可以得出切线与半径夹角相等的定理：γ = α 。
四、割线定理1.定理一：割线与该圆的几何平均线段成正比。
中考真题;切线的判定与性质(答案详解)
中考复习：切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）EM ＝FM 。
：【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
》【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
<（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
•例1图321MFOEDCB A例2图 EO D C B A •例3图321OD C BA探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。
（1）求∠G 的余弦值；!（2）求AE 的长。
【问题二】如图，已知△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。
,（1）求∠POQ ；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。
(|•问题一图 G F E O DCB A 问题二图NQ P EO DC BA答案精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明(含解析)
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明1．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC边上的点，⊙O与AB相切，切点为D，AC与⊙O相交于点E，且AD=AE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如果F为DE弧上的一个动点（不与D、E重合），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，②∠GOH的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设BG=x，CH=y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定变量x的取值范围，并说明当x=y时F点的位置．2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且CD平分⊙ACB，过点D作DE∥AB交CB延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC＝4，tan∠BAC=12，求DE的长．3．如图，以BC为直径的⊙O交⊙CFB的边CF于点A，BM平分⊙ABC交AC于点M，AD⊙BC于点D，AD交BM于点N，ME⊙BC于点E，AB2=AF·AC，cos⊙ABD=35，AD=12．（1）求证：⊙ABF⊙⊙ACB；（2）求证：FB是⊙O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．4．如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD//OC.（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB=3AE=12，求BF的长.5．如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，⊙CBO=45°，CD⊙AB．⊙CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C 的坐标；（2）当⊙BCP=15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．6．如图，A 为⊙O 外一点，AO⊙BC ，直径BC ＝12，AO ＝10，BD 的长为π，点P 是BC 上一动点，⊙DPM ＝90°，点M 在⊙O 上，且⊙DPM 在DP 的下方．（1）当sinA ＝35时，求证：AM 是⊙O 的切线； （2）求AM 的最大长度．7．如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（0，8）、（6，0），以AC 为直径作⊙O ，交坐标轴于点B ，点D 是⊙O 上一点，且 BD =AD ，过点D 作DE⊙BC ，垂足为E.（1）求证：CD 平分⊙ACE ；（2）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）求线段CE 的长.8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦（不是直径），OD ⊙AC 垂足为G 交⊙O 于D ，E 为⊙O 上一点（异于A 、B ），连接ED 交AC 于点F ，过点E 的直线交BA 、CA 的延长线分别于点P 、M ，且ME ＝MF ．（1）求证：PE是⊙O的切线．（2）若DF＝2，EF＝8，求AD的长．（3）若PE＝6 √2，sin⊙P＝13，求AE的长．9．如图，已知等边⊙ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作DF⊙AC，垂足为F，过点F作FG⊙AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan⊙FGD的值．10．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，圆心O在AB上，且⊙B=2⊙A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC．（1）求证：CF是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长11．如图，⊙ O是⊙ ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（1）∠ECB=∠BAD；（2）BE是⊙ O的切线．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若BC=6，cosC=35，求DN的长．13．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊙OF于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且⊙OEB=⊙ACD.（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为52，BG的长为154，求tan⊙CAB.14．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF⊙BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2√3，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.15．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF=∠GBC，连接FG.备用图（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4.①当OD=3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积.16．如图1，在矩形ABCD中，AB=9,BC=12，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，连接CP.（1）当⊙P经过PC的中点时，PC的长为；（2）当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系.说明理由，并求出PD的长；（3）如图2，当⊙P与AC交于E,F两点，且EF=9.6时，求点P到AC 的距离．答案解析部分1．【答案】（1）解：如图，连接OA，OD，OE，∵AB是⊙O的切线，点D为切点，∴⊙ADO=90°，∵AD=AE，OD=0E，AO=AO，∴⊙AOD⊙⊙AOE，∴⊙ADO=⊙AEO=90°，∴AC是⊙O的切线，点E为切点；（2）解：根据题意，四边形BCHG的周长为BC+CH+BG+HG，∵∠A=90°，AB=AC=4，∴⊙B=⊙C=45°，BC=4 √2，∵⊙ADO=⊙AEO=90°，OD=0E，∴⊙DOB=⊙EOC=45°，⊙BOD⊙⊙COE，∴OB=OC，BD=CE，∴⊙EOD=90°，⊙AOB=90°，⊙BAO=45°，∴BD=OD=DA=CE= 12AB=2，∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，∴HF=HE，GD=GF，∴四边形BCHG的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD=BC+CE+BD+GH+HF+FG= BC+CE+BD+2GH=4+4 √2+2GH，∵GH是变量，∴四边形BCHG的周长不是定值，这个结论不符合题意；∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，根据切线长定理，得GO平分⊙DOF，HO平分⊙EOF，∴⊙GOH=⊙GOF+⊙HOF= 12⊙DOF+12⊙EOF=12（⊙DOF+⊙EO）= 12⊙EOD，∵⊙EOD=90°，∴⊙GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2，∴GH=x+y-4，AG=4-x，AH=4-y，在直角三角形AGH中，AG2+AH2=GH2，∴(x−2)2+(y−2)2=(x+y−4）2，整理，得y= 8x，且2＜x＜4，当x=y时，∴AG=AH，∴AG：AB=AH：AC，∴GH⊙BC，∴OF⊙GH，∵BG=CH，⊙B=⊙C，BO=CO，∴⊙BOG⊙⊙COH，∴GO=HO，∴GF=FH，∴A，F，O三点一线，∴⊙DOF=⊙EOF，∴弧DF=弧EF，故点F是弧DE的中点．2．【答案】（1）解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝90°，∵CD平分⊙ACB，∴⊙ACD＝45°，∴⊙AOD＝2⊙ACD＝90°，∵AB∥DE，∴⊙ODE＝⊙AOD＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点B作BG⊙DE于点G，∴⊙BGD＝⊙BGE＝90°，∵⊙AOD＝90°，∴⊙DOB＝90°，∵⊙ODE=90°，∴四边形ODGB是矩形，∵OD＝OB，∴四边形ODGB是正方形，∴OB＝OD＝DG＝BG，∵AC＝4，∴tan∠BAC=1 2，∴BC＝2，∴AB=√AC2+BC2=2√5，∴BG=DG=OB=√5，∵AB∥DE，∴⊙ABC＝⊙E，∴⊙EBG＝⊙BAC，∴tan∠EBG=tan∠BAC=1 2，∴EG=12BG=√5 2，∴DE=DG+EG=3√52．3．【答案】（1）证明：∵BC为⊙O的直径∴⊙BAC=90°∴⊙BAF=⊙BAC=90°又∵AB2=AF·AC∴ABAC=AF AB∴⊙ABF⊙⊙ACB（2）证明：∵⊙ABF⊙⊙ACB∴⊙ABF=⊙C又∵⊙ABC+⊙C=90°∴⊙FBC=⊙ABC+⊙ABF=90°∴BF是⊙O的切线（3）证明：∵ME⊙BC，MA⊙AB，BM平分⊙ABC ∴MA=ME∴⊙AMN=90°－⊙ABM=90°－⊙EBM=⊙EMN∴AB=BE∵NM=NM∴⊙AMN⊙⊙EMN∴AN=NE又∵AD⊙BC，ME⊙BC，∴ME⊙AD，∴⊙ANM=⊙EMN，∴⊙ANM=⊙AMN∴AN=AM∴AN=NE=EM=MA，∴四边形AMEN是菱形．∵cos⊙ABD= 35，⊙ADB=90°∴BDAB=3 5设BD=3x，则AB=5x，AD= √(5x)2−(3x)2=4x 又∵AD=12，∴x=3，∴BD=9，AB=15，∴BE=BA=15∴DE=BE-BD=6∵ND⊙ME，∴⊙BND⊙⊙BME∴NDME=BD BE设ME=y，则ND=12-y，12−y y=9 15，解得y= 15 2∴S= ME⋅DE=152×6=454．【答案】（1）证明：连接OD∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC∵AD//OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC，∴△DOC≌△BOC(SAS)，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC又OD为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x∵AE⊥EB，∴AE为⊙O的切线，∴CD、CB为⊙O的切线，∴ED=AE= 4，CD=CB=x，∠DOC=∠BCO，∴BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M，则EM=12，CM=x−4，∴(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9，∴CB=9，∴OC=√62+92=3√13，∵AB是直径，且AD⊙OC∴⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又∵⊙COB=⊙BOF∴OB BF =OC BC∴BF =OB⋅BC OC =6×93√13=1813√13 5．【答案】（1）解：∵⊙BCO=⊙CBO=45°，∴OC=OB=3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为（0，3）（2）解：分两种情况考虑：①当点P 在点B 右侧时，如图2，若⊙BCP=15°，得⊙PCO=30°，故PO=CO•tan30°= √3 ，此时t=4+ √3 ；②当点P 在点B 左侧时，如图3，由⊙BCP=15°，得⊙PCO=60°，故OP=COtan60°=3 √3 ，此时，t=4+3 √3 ，∴t 的值为4+ √3 或4+3 √3（3）解：由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边相切时，有以下三种情况： ①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有⊙BCP=90°，从而⊙OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊙CD，即点P与点O重合，此时t=4；③当⊙P与AD相切时，由题意，得⊙DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，解得：t=5.6，∴t的值为1或4或5.6．6．【答案】（1）证明：如图①，过点O作OE⊙AM于点E，∵在Rt⊙AOE 中，当sinA ＝35，OA ＝10， ∴OE ＝6∵直径BC ＝12，∴OM ＝6＝OE ，∴点E 与点M 重合，OM⊙AM ，∴AM 是⊙O 的切线．（2）解：如图②，当点P 与点B 重合时，AM 取得最大值．AM 的最大长度可以通过勾股定理求得．延长AO 交⊙O 于点F ，作MG⊙AF 于点G ，连接OD 、OM ，DM ，∵BD 的长为π，∴π＝∠BOD⋅π⋅6180， ∴⊙BOD ＝30°，∵⊙DBM ＝90°，∴DM 是⊙O 的直径，即DM 过点O ，∴⊙COM ＝30°，∵AO⊙BC ，∴⊙MOG ＝60°，在Rt⊙GOM 中，⊙MOG ＝60°，OM ＝6，∴OG＝3，GM＝3√3，在Rt⊙GAM中，AM＝√AG2+GM2＝14，∴AM的最大长度：14．7．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴⊙BAD+⊙BCD=180°，又∵⊙BCD+⊙DCE=180°，∴⊙DCE=⊙BAD，∵＝，∴⊙BAD=⊙ACD，∴⊙DCE=⊙ACD，∴CD平分⊙ACE.（2）解：直线ED与⊙O相切.连接OD.∵OC=OD，∴⊙ODC=⊙OCD，又∵⊙DCE=⊙ACD，∴⊙DCE=⊙ODC，∴OD⊙BE，∴⊙ODE=⊙DEC，又∵DE⊙BC，∴⊙DEC=90°，∴⊙ODE=90°∴OD⊙DE，∴ED与⊙O相切（3）解：延长DO交AB于点H.∵OD⊙BE，O是AC的中点，∴H是AB的中点，∴HO是⊙ABC的中位线，∴HO= 12BC=3，又∵AC为直径，∴⊙ADC=90°，又∵O是AC的中点∴OD= 12AC=12× √62+82=5，∴HD=3+5=8，∵⊙ABC=⊙DEC=⊙ODE=90°，∴四边形BEDH是矩形，∴BE=HD=8，∴CE=8﹣6=28．【答案】（1）证明：连接OE，∵OD⊙AC，∴⊙DGF＝90°，∴⊙D+⊙DFG＝⊙D+⊙AFE＝90°，∴⊙DFG＝⊙AFE，∵ME＝MF，∴⊙MEF＝⊙MFE，∵OE＝OD，∴⊙D＝⊙OED，∴⊙OED+⊙MEF＝90°，∴OE⊙PE，∴PE是⊙O的切线（2）解：∵OD⊙AC，∴CD=AD，∴⊙FAD＝⊙AED，∵⊙ADF＝⊙EDA，∴⊙DFA ～⊙DAE ， ∴AD DE =DF AD， ∴AD 2＝DF•DE ＝2×10＝20， ∴AD ＝2 √5（3）解：设OE ＝x ， ∵sin⊙P ＝ OE OP =13， ∴OP ＝3x ，∴x 2+（6 √2 ）2＝（3x ）2，解得：x ＝3，过E 作EH 垂直AB 于H ，sin⊙P ＝ EH PE =6√2=13 ， ∴EH ＝2 √2 ，∵OH 2+EH 2＝OE 2，∴OH ＝1，∴AH ＝2，∵AE 2＝HE 2+AH 2，∴AE ＝2 √3 ．9．【答案】（1）解：连结OD ，如图，∵⊙ABC 为等边三角形，∴⊙C ＝⊙A ＝⊙B ＝60°，而OD ＝OB ，∴⊙ODB 是等边三角形，⊙ODB ＝60°，∴⊙ODB ＝⊙C ，∴OD⊙AC ，∵DF⊙AC ，∴OD⊙DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD⊙AC ，点O 为AB 的中点，∴OD 为⊙ABC 的中位线，∴BD ＝CD ＝6．在Rt⊙CDF中，⊙C＝60°，∴⊙CDF＝30°，∴CF＝12CD＝3，∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9，在Rt⊙AFG中，∵⊙A＝60°，∴FG＝AF×sinA＝9× √32＝9√32（3）解：过D作DH⊙AB于H．∵FG⊙AB，DH⊙AB，∴FG⊙DH，∴⊙FGD＝⊙GDH．在Rt⊙BDH中，⊙B＝60°，∴⊙BDH＝30°，∴BH＝12BD＝3，DH＝√3BH＝3√3，在Rt⊙AFG中，∵⊙AFG＝30°，∴AG＝12AF＝92，∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣92﹣3＝92，∴tan⊙GDH＝GHDH=923√3=√32，∴tan⊙FGD＝tan⊙GDH＝√32．10．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵⊙O是⊙ABC的外接圆，圆心O在AB上，∴AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，又∵⊙B=2⊙A，∴⊙B=60°，⊙A=30°，∵EM⊙AB ，∴⊙EMB=90°，在Rt⊙EMB 中，⊙B=60°，∴⊙E=30°，又∵EF=FC ，∴⊙ECF=⊙E=30°，又∵⊙ECA=90°，∴⊙FCA=60°，∵OA=OC ，∴⊙OCA=⊙A=30°，∴⊙FCO=⊙FCA+⊙ACO=90°，∴OC⊙CF ，∴FC 是⊙O 的切线（2）解：在Rt⊙ABC 中，∵⊙ACB=90°，⊙A=30°，AB=4， ∴BC=12AB=2，AC=√3BC=2√3， ∵AC=CE ，∴CE=2√3，∴BE=BC+CE=2+2√3，在Rt⊙BEM 中，⊙BME=90°，⊙E=30°∴BM=12BE=1+√3， ∴AM=AB ﹣BM=4﹣1﹣√3=3﹣√311．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴⊙ECB=⊙BAD ．（2）证明：连结OB，OD，在⊙ABO和⊙DBO中，{AB=BD BO=BOOA=OD，∴⊙ABO⊙⊙DBO （SSS），∴⊙DBO=⊙ABO，∵⊙ABO=⊙OAB=⊙BDC，∴⊙DBO=⊙BDC，∴OB⊙ED，∵BE⊙ED，∴EB⊙BO，∴BE是⊙O的切线12．【答案】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°；又∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，∵AO=DO，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AC；∵DM⊥AC，∴∠AMD=90°，∴∠ODN=∠AMD=90°，∴OD⊥MN；又∵OD是⊙O半径，∴MN是⊙O的切线；（2）∵BC=6，BD=CD，∴BD=CD=3；在Rt△ADC中，cosC=CD AC，∵cosC=35，∴AC=5；又∵AB=AC，∴AB=5；在Rt△ADB中，根据勾股定理AD=√AB2−BD2=4，∵∠ODN=90°，∴∠NDB+∠BDO=90°；又∵∠ADB=90°，∴∠BDO+∠ODA=90°，∠OAD=∠ODA，∴∠NDB=∠OAD；又∵∠N=∠N，∴△BDN∽△DAN，∴BNDN=DNAN=BDDA=34，∴BN=34DN，DN=34AN，∴BN=34(34AN)=916AN，∵BN+AB=AN，∴916AN+5=AN，∴AN=80 7，∴DN=34AN=607．13．【答案】（1）证明：∵∠OEB=∠ACD，∠ACD=∠ABD，∴∠OEB=∠ABD，∵OF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠OEB+∠EBF=90°，∴∠ABD+∠EBF=90°，即∠OBE=90°，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵OA=OB，∴∠CAO=∠ACO，∵∠CDB =∠CAO ，∴∠ACO =∠CDB ，∵∠CFD =∠GFC ，∴△CDF ∼△GCF ，∴GF CF =CG CD， ∵∠CDB =∠CAB ， ∠DCA =∠DBA ， ∴△DCG ∼△ABG ，∴CG CD =BG AB， ∴GF CF =BG AB， ∵r =52 ， BG =154， ∴AB =2r =5 ，∴tan∠CAB =tan∠ACO =GF CF =BG AB =34. 14．【答案】（1）解：直线AF 与⊙O 相切. 理由如下：连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP⊙OC ，∴⊙OCP ＝90°，∵OF⊙BC ，∴⊙AOF ＝⊙B ，⊙COF ＝⊙OCB ，∵OC ＝OB ，∴⊙OCB ＝⊙B ，∴⊙AOF ＝⊙COF ，∵在⊙AOF 和⊙COF 中，{OA =OC ∠AOF =∠COF OF =OF，∴⊙AOF⊙⊙COF（SAS），∴⊙OAF＝⊙OCF＝90°，∴AF⊙OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）解：∵⊙AOF⊙⊙COF，∴⊙AOF＝⊙COF，∵OA＝OC，∴E为AC中点，即AE=CE=12AC，OE⊥AC，∵⊙OAF=90°，OA=6，AF=2√3，∴tan∠AOF=AFOA=2√36=√33，∴⊙AOF＝30°，∴AE=12OA=3，∴AC=2AE=6；（3）解：∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴⊙AOC是等边三角形，∴⊙AOC＝60°，OC＝6，∵⊙OCP＝90°，∴CP=√3OC=6√3，∴S⊙OCP＝12OC⋅CP=12×6×6√3=18√3，S扇形AOC=60⋅π×62360=6π，∴阴影部分的面积=S⊙OCP﹣S扇形AOC＝18√3−6π. 15．【答案】（1）证明：连接AF，∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF =90° ， ∠FAG =90° ， ∴∠BGF +∠AFG =90° ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ， ∵∠ACB =∠AFB ， ∠BGF =∠ABC ， ∴∠BGF =∠AFB ，∴∠AFB +∠AFG =90° ，即 ∠OFG =90° . 又∵OF 为半径，∴FG 是 ⊙O 的切线.（2）解：①连接CF ，则 ∠ACF =∠ABF ，∵AB=AC ，OB=OC ，OA=OA ，∴△ABO ≅△ACO ，∴∠ABO =∠BAO =∠CAO =∠ACO ， ∴∠CAO =∠ACF ，∴AO ∥CF ，∴AD CD =OD DF. ∵半径是4， OD =3 ，∴DF =1 ， BD =7 ， ∴AD CD =3 ，即 CD =13AD ， 又由相交弦定理可得： AD ⋅CD =BD ⋅DF ， ∴AD ⋅CD =7 ，即 13AD 2=7 ， ∴AD =√21 （舍负）；②∵△ODC 为直角三角形， ∠ODC =90° 不可能等于 90° . ∴（i ）当 ∠ODC =90° 时，则 AD =CD ， 由于 ∠ACO =∠ACF ，∴OD =DF =2 ， BD =6 ， ∴AD ⋅CD =AD 2=6×2=12 ，∴AD=2√3，AC=4√3，∴S△ABC=12×4√3×6=12√3；（ii）当∠COD=90°时，∵OB=OC=4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BC=4√2，延长AO交BC于点M，∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，∴AM⊥BC，∴MO=sin45∘⋅BO=2√2，∴AM=4+2√2，∴S△ABC=12×4√2×(4+2√2)=8√2+8.16．【答案】（1）6√3（2）⊙P与AC相切，理由如下：如图1，过点P作PH⊥AC于点H．∵CP平分∠ACD，∴PH=PD，∴⊙P与AC相切于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90∘在Rt△ADC中，CD=9,AD=12，∴AC=15，∴sin∠DAC=3 5设⊙P半径为x，则PH=PD=x，AP=12−x．在 Rt △AHP 中， sin∠PAH =PH AP =x 12−x∴x 12−x =35 ∴x =4.5 ，即 PD 的长为 4.5 ． （3）如图2，过点 P 作 PH ⊥AC 于 H ，连接 PF ．由（2）可知：在 Rt △AHP 中， sin∠PAH =PH AP =35设 ⊙P 半径为 x ，则 PF =PD =x,AP =12−x ．∴PH =35(12−x). 在 ⊙P 中， PH ⊥AC,EF =9.6∴HF =245在 Rt △PHF 中， [35(12−x)]2+(245)2=x 2 ∴x 1=6,x 2=−392 (舍)．∴PD =6 ，∴PH =35(12−x)=185 ，即点 P 到 AC 的距离为 185 ．。
圆的切线证明 中考数学专项训练(含答案解析)
圆的切线证明(1)求证：CD 为O 切线；(2)若1CD =，5AC =，求PB (1)求证：CD 是O 的切线；(2)若16ABCD S =正方形，求CE3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F 连接OF 交AD 于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若60OFA ∠=︒，半径为4，在圆O 上取点P ，使15PDE ∠=︒，求点P 到直线DE 的距离．4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足是点H ，过点C 作直线分别与AB ，AD 的延长线交于点E ，F ，且2ECD BAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)如果20AB =，12CD =，求AE 的长．5．如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若3AB =，4AC =，求线段BD 的长．6．如图，已知以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若AD ，AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求直角边BC 的长．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求图中阴影部分的面积．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2AB =，30C ∠=︒，求9．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，BAC DAC ∠=∠，过点C 作直线EF AD ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接BC ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若30CAO ∠=︒，2BC =，求CE 的长．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得ACQ ABC ∠=∠．(1)求证：直线PQ 是O 的切线．(2)过点A 作AD PQ ⊥于点D ，交O 于点E ，若O 的半径为2，30DAC ∠=︒，求图中阴影部分的面积．11．如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若6AB =，求阴影部分的面积12．如图，AB 是ABC 外接圆O 的直径，PA 是O 的切线，BD OP ∥，点D 在O 上．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若ABC 的边6cm AC =，8cm BC =，I 是ABC 的内心，求IO 的长度．13．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，点D 是O 上一点，OD AB ⊥，连接CD 交AB 于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若8CF =，4BF =，求弧BD 的长度．14．如图所示，在Rt ABC △中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，连接AD ，已知CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若23AD CD ==时，求阴影部分的面积．(1)求证：PA是O(2)若tan CAD∠=(3)延长CD，AB交于点(1)求证：DE BG=；(2)求证：BF是O的切线；(3)若23DEEG=时，AE(1)当60A ∠=︒，2AD =时，求(2)求证：DF 是O 的切线．(1)求证：DF 是O (2)若 BE DE =，tan(1)求证：直线AB 为O 的切线；(2)若4tan 3A =，O 的半径为2，求AB (1)求证：BF 是O 的切线；(2)若6EF =，cos ABC ∠①求BF 的长；②求O 的半径．参考答案：∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵OC OA =，∴OCA OAC ∠=∠，∵的平分线AC 交O 于∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，∵DAC OAC ∠=∠，∴，【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3．(1)见解析(2)232-或423-【分析】（1）连接OD ，可得（2）①过点P 作PN DE ⊥交交于H ，可求60EOD ∠=︒，即可求解；②连接OD ，OP 60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，可证求解．【详解】（1）解：如图，连接∴OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，， ∠=︒PDE15=，PE PE ∴∠=︒POE30，OA OF∠=︒60OFA=，∴∠=︒，OAF60∠的平分线， AD是BAC同理可求60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，1302DOL EOD ∴∠=∠=︒，30DOP EOD POE ∠=∠-∠=︒，DOP DOL ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，AO OB =，AB CD ⊥ ，AB ∴平分弦CD ，AB 平分 CD，CH HD ∴=， CBDB =，90CHA CHE ∠=︒=∠，BAD BAC DCB ∴∠=∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴BDC 为直角三角形，∵E 为BC 边上的中点，∴ED EB =，∴12∠=∠，∵OB OD =，3=4∠∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设OB OD r ==，∴ABC ODB ∠=∠，∵AB AC =，23CD =，C ∠=∴23BD CD ==，30B C ∠=∠=∴1803030120BOD ∠=︒-︒-︒=︒OF BD ⊥==OB OD AB AC,∴∠=∠，B CB ODB∠=∠∴∠=∠．ODB C∴∥．OD AC，=OA OC∴∠=∠，OAC OCAQ，∠=∠DAC BAC∴∠=∠，DAC OCA∥，∴AD OC，EF AD⊥∴⊥，而OC为半径，EF OC的切线；∴是OEF的直径，（2）解：AB为O（1）根据题意连接OC ，可知90ACB ∠=︒，可知AOC 是等腰三角形，OAC OCA ∠=∠，继而可证90OCD ∠=︒；（2）连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，根据题意可知60EAO ∠=︒即可得知AEO △为等边三角形，再求出扇形AOE 面积减去AEO △的面积即为阴影面积．【详解】（1）解：连接OC ，，∵OA OC =，AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∴AOC 是等腰三角形，∴OAC OCA ∠=∠，∵ACQ ABC ∠=∠，∴90ACQ OCA ∠+∠=︒，∴OC PQ ⊥，∴直线PQ 是O 的切线；（2）解：连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，，∵AD PQ ⊥，ACQ ABC ∠=∠，∴30DAC CAB ∠=∠=︒，∴60EAO ∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵BD OP ∥，∴OP AD ⊥，OP 是AD 的垂直平分线，∴PD PA =，则IU IV IQ ==，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵6cm AC =，8cm BC =，∴226810AB =+=，5OB OA ==(2)3π．【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；（1）如图，连接OC ，OD ．证明90OCF ∠=︒即可；（2）设O 的半径为r ，在Rt COF △中，勾股定理可得6r =，再根据弧长公式可解决问题．【详解】（1）证明：连接OCCF EF= CEF ECF∴∠=∠OD AB⊥ 90DOE ∴∠=︒，90ODE OED ∴∠+∠=︒，OD OC = ，ODE OCD ∴∠=∠，CEF OED ∠=∠ ，OED ECF ∴∠=∠，90OCD ECF ∴∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒，OC CF ∴⊥，CF ∴是O 的切线．（2）设O 的半径为r ，∵4BF =，∴4OF r =+，在Rt OCF 中，90,∠=︒ACB∴∠+∠CAD ADC=,OB OD∴∠=∠,B ODB则sin 30OH OD =⋅ODB S S S ∴=-阴影扇形∴CAD BAD ∠=∠，∴5CD BD ==，∵AB 为直径，点∴90ADB ∠=︒，∵2DOB DAB ∠=∠=∠又∵DFO CFA ∠=∠，∴DOF CAF ∽，又∵OB BF OA ==，∴23DF FO FC FA ==，∴90EHB BGF ∠=∠=︒，∵点C 为劣弧BD 中点，∴ CDBC =，∴DAC BAC DBC ∠=∠=∠∵AD 是O 的直径，∴90AED ∠=︒，∵60A ∠=︒，2AD =∴30ADE ∠=︒，则12AE =∴2222DE AD AE =-=∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，∴1809090DEB ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 为菱形，∴DBE DBF ∠=∠，AD ∥∵BE BF =，DB DB =，∴()SAS DBE DBF ≌，∴90DFB DEB ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴90ADF DFB ∠=∠=︒，∴AD DF ⊥，∵AD 为直径，∴DF 是O 的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．18．(1)见解析(2)52AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90BDC ∴∠=︒，90BDF CDF ∠∠∴+=︒，OB OD = ，OBD ODB ∴∠=∠，CDF ABD ∠∠= ，ODB CDF ∠∠∴=，90ODB BDF ∴∠+∠=︒，90ODF ∴∠=︒，DF OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DF ∴是O 的切线；（2）如图，连接AE ，∵ BEDE =，BAE CAE ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，90AEC ∴∠=︒，AEB AEC ∴∠=∠，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠．设OCD ODC α∠=∠=，∴22A BCD α∠=∠=．∵90ACB ∠=︒，。
中考圆综合6种证明切线的模型
中考圆综合6种证明切线的模型【模型l：双切线】例1.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上，CE=CA，AB，CE的延长线交于点F．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．练习1.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；．OE DCB A【模型2角平分线模型】例2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交⊙O 的切线BE 于点E ，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；练习2.如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，CAB ∠的平分线交O ⊙于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC的延长线于点E ，连接BC 交AD 于点F .（1）求证：ED 是O ⊙的切线；【模型3：弦切角】例3.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；．练习3.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CB D．（1）求证：CD是⊙O的切线；【模型4：等腰三角形】例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；练习4：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AB；【模型5：二倍角的使用】例5.如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为⊙O的切线；.练习5：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．(1)求证：∠ABD＝2∠CAB；．【模型6：垂直导角】.例6.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO 延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．，弦CF与OB交于点E，过点F，A分别练习6．如图，在⊙O中，AB为直径，OC AB作⊙O的切线交于点H，且HF与AB的延长线交于点D．（1）求证：DF=DE;．。
【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—切线的证明(含解析)
【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—切线的证明一、综合题1．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ．（1）若∠BAD ＝70°，则∠BCA ＝ °；（2）若AB ＝12，BC ＝5，求DE 的长： （3）求证：BE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 为 的直径，C 为 上一点，D 为BA 延长线上一点， ．⊙O ⊙O ∠ACD =∠B（1）求证：DC 为 的切线；⊙O （2）线段DF 分别交AC ，BC 于点E ，F 且 ， 的半径为5， ，求∠CEF =45∘⊙O sinB =35CF 的长．3．如图，四边形ABCD 的顶点在⊙O 上，BD 是⊙O 的直径，延长CD 、BA 交于点E ，连接AC 、BD 交于点F ，作AH ⊥CE ，垂足为点H ，已知∠ADE ＝∠ACB ．（1）求证：AH 是⊙O 的切线；（2）若OB ＝4，AC ＝6，求sin ∠ACB 的值；（3）若 ＝ ，求证：CD ＝DH ．DF FO 234．如图，⊙ 是△ 的外接圆， 为直径，弦 ， 交 的延长线于点O ABC AC BD =BA BE ⊥DC DC ，求证：E（1） ；∠ECB =∠BAD （2） 是⊙ 的切线．BE O 5．如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE ：EB=1：2，BC=6，求AE 的长．6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ．以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O 的半径；②设⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）7．如图，等腰三角形ABC 中，AC=BC=10，AB=12，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）求cos ∠E 的值．8．如图，已知△ABC 是等边三角形，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，点F 在AB的延长线上，2∠BCF=∠BAC ．（1）求∠ADE 的度数．（2）求证：直线CF 是⊙O 的切线．9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，G 为⊙O 上一点，连接AG 交CD 于K ，在CD 的延长线上取一点E ，使EG=EK ，EG 的延长线交AB 的延长线于F.（1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）连接DG ，若AC ∥EF 时.①求证：△KGD ∽△KEG ；②若，AK= ，求BF 的长.cosC =451010．在 中， ， ， 是 边上的点，⊙O 与 相切，切点Rt △ABC ∠A =90°AB =AC =4O BC AB 为 ， 与⊙O 相交于点 ，且 ．D ACE AD =AE（1）求证： 是⊙O 的切线；AC （2）如果 为 弧上的一个动点（不与 、 重合），过点 作⊙O 的切线分别与边 F DE D E F 、 相交于 、 ，连接 、 ，有两个结论：①四边形 的周长不变，②AB AC G H OG OH BCHG 的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；∠GOH （3）探究：在（2）的条件下，设 ， ，试问 与 之间满足怎样的函数关系，BG =x CH =y y x 写出你的探究过程并确定变量 的取值范围，并说明当 时 点的位置．x x =y F 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM ⊥AC ，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N.（1）求证：MN 是⊙O 的切线；（2）求证：DN 2＝BN•（BN+AC ）；（3）若BC ＝6，cosC ＝ ，求DN 的长.3512．如图，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 延长线上一点，点C 在⊙O 上，连接PC ，D 为半径OA 上一点，PD ＝PC ，连接CD 并延长交⊙O 于点E ，且E 是 的中点.AB（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝8，CD•DE ＝15，求PA 的长.13．如图，内接于⊙，⊙的直径AD 与弦BC 相交于点E ，BE ＝CE ，过点D 作交△ABC O O DF ∥BC AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF 是⊙的切线；O （2）若，AB ＝6，求DF 的长．sin∠BAD =1314．如图，在中，，，以边上一点为圆心，为半径作，RtΔABC ∠BAC =90°∠C =30°AC O OA ⊙O 恰好经过边的中点，并与边相交于另一点.⊙O BC D AC F（1）求证：是的切线.BD ⊙O （2）若，是半圆上一动点，连接，，.填空： AB =3E AGF AE AD DE ①当的长度是 时，四边形是菱形；AE ABDE ②当的长度是 时，是直角三角形.AE ΔADE15．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）如图1，求证：KE=GE ；（2）如图2，连接CA ，BG ，若∠FGB= ∠ACH ，求证：CA ∥FE ；12（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sinE= ，AK= ，求CN 的3510长．16．如图，已知在 Rt △ABC 中， ∠C=90° ，点D 为AC 的中点.（1）请利用尺规作出以BC 为直径的⊙O ； （保留作图痕迹 ）（2）AB 交⊙O 于点 E ，连接 DE ，求证： DE 是 ⊙O 的切线.（3）若 ∠ABC=30° ， BC=6 ，求⊙O 与 DE 、 DC 组成的阴影部分面积.答案解析部分1．【正确答案】（1）70（2）解：在Rt △ABC 中，AC ＝ ＝13， ∠BDE ＝∠BAC ，∠BED ＝∠CBA ＝90°，BC 2+AB 2∴△DEB ∽△ABC ，∴ ，即 ， 解得，DE ＝ ；DE AB =BD AC DE 12=121314413（3）证明：连接OB ， ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ， ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BAD+∠BCD ＝180°， ∵∠BCE+∠BCD ＝180°，∴∠BCE ＝∠BAD ，∵BD ＝BA ， ∴∠BDA ＝∠BAD ，∵∠BDA ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠BAD ，∴∠OBC ＝∠BCE ，∴OB ∥DE ，∵BE ⊥DC ， ∴BE ⊥OB ，∴BE 是⊙O 的切线．2．【正确答案】（1）解：如图，连接OC ，为 的直∵AB ⊙O 径，， ∴∠ACB =∠BCO +∠OCA =90°，∴∠B =∠BCO ，∵∠ACD =∠B ，∴∠ACD =∠BCO ，即 ，∴∠ACD +∠OCA =90∘∠OCD =90∘ 为 的切线∴DC ⊙O （2）解： 中， ，， ， ，(2)Rt △ACB AB =10sinB =35=ACAB ∴AC =6BC =8 ， ，∵∠ACD =∠B ∠ADC =∠CDB ∽ ，∴△CAD △BCD ，∴AC BC =AD CD =68=34设 ， ，AD =3x CD =4x 中， ， ，Rt △OCD OC 2+CD 2=OD 252+(4x)2=(5+3x)2 舍 或 ，x =0()307 ， ，∵∠CEF =45∘∠ACB =90∘ ，∴CE =CF 设 ，CF =a ，∵∠CEF =∠ACD +∠CDE ，∠CFE =∠B +∠BDF ，∴∠CDE =∠BDF ，∵∠ACD =∠B ∽ ，∴△CED △BFD ，∴CE CD =BF BD ，，∴a 4×307=8−a 10+3×307a =247∴CF =2473．【正确答案】（1）证明：连接OA ，由圆周角定理得，∠ACB ＝∠ADB ， ∵∠ADE ＝∠ACB ，∴∠ADE ＝∠ADB ，∵BD 是直径， ∴∠DAB ＝∠DAE ＝90°， 在△DAB 和△DAE 中，，{∠BAD =∠EADDA =DA∠BDA =∠EDA ∴△DAB ≌△DAE ，∴AB ＝AE ，又∵OB ＝OD ， ∴OA ∥DE ，又∵AH ⊥DE ，∴OA ⊥AH ，∴AH 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知，∠E ＝∠∠DBE ＝∠ACD ， ∴∠E ＝∠ACD ，∴AE ＝AC ＝AB ＝6．在Rt △ABD 中，AB ＝6，BD ＝8，∠ADE ＝∠ACB ，∴sin ∠ADB ＝ ＝ ，即sin ∠ACB ＝ 683434（3）证明：由（2）知，OA 是△BDE 的中位线，∴OA ∥DE ，OA ＝ DE ．12∴△CDF ∽△AOF ， ∴ ＝ ＝ ， CD AO DF OF 23∴CD ＝ OA ＝ DE ，即CD ＝ CE ，231314∵AC ＝AE ，AH ⊥CE ，∴CH ＝HE ＝ CE ，12∴CD ＝ CH ，12∴CD ＝DH ．4．【正确答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD．（2）证明：连结OB ，OD ，在△ABO 和△DBO 中， ，∴△ABO ≌△DBO （SSS ），{AB =BDBO =BOOA =OD ∴∠DBO=∠ABO ，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC ，∴∠DBO=∠BDC ， ∴OB ∥ED ，∵BE ⊥ED ，∴EB ⊥BO ， ∴BE 是⊙O 的切线5．【正确答案】（1）证明：连接OE 、EC ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D 为BC 的中点，∴ED=DC=BD ，∴∠1=∠2，∵OE=OC ，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB ，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，∵在Rt △BEC 与Rt △BCA 中，∠B=∠B ，∠BEC=∠BCA ，∴△BEC ∽△BCA ，∴ = ，BE BC BC BA ∴BC 2=BE•BA ，∵AE ：EB=1：2，设AE=x ，则BE=2x ，BA=3x ，∵BC=6，∴62=2x•3x ，解得：x= ，6即AE= 66．【正确答案】（1）解：（1）直线BC 与⊙O 相切；连结OD ，如图所示，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，∵∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ，∴∠CAD=∠OAD ，∴∠CAD=∠ODA ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB=∠C=90°，即OD ⊥BC ．又∵直线BC 过半径OD 的外端，∴直线BC 与⊙O 相切．（2）解：①设OA=OD=r ，在Rt △BDO 中，∠B=30°，∴OB=2r ，在Rt △ACB 中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．②在Rt △ACB 中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∴所求图形面积为．7．【正确答案】（1）证明：如图，方法1：连接OD 、CD ．∵BC 是直径，∴CD ⊥AB ．∵AC=BC ．∴D 是AB 的中点．∵O 为CB 的中点，∴OD ∥AC ．∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥EF ．∴EF 是圆O 的切线．方法2：∵AC=BC ，∴∠A=∠ABC ，∵OB=OD ，∴∠DBO=∠BDO ，∵∠A+∠ADF=90°∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．即∠EDO=90°，∴OD ⊥ED∴EF 是圆O 的切线.（2）解：连BG ．∵BC 是直径，∴∠BDC=90°．∴CD= =8．AC 2−AD 2∵AB•CD=2S △ABC =AC•BG ，∴BG= = = ．AB ⋅CD AC 9610485∴CG= = ．BC 2−BG 2145∵BG ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴BG ∥EF ．∴∠E=∠CBG ，∴cos ∠E=cos ∠CBG= = ．BG BC 24258．【正确答案】（1）解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=∠ACE=60°，∴∠ADE=180°﹣∠ACE=120°（2）解：∵⊙O 的直径是AC ， ∴∠AEC=90°，即AE ⊥BC ．又∵AB=AC ，∴∠BAE=∠CAE ．∵2∠BCF=∠BAC ，∴∠BCF=∠CAE ．∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠BCF+∠ECA=90°，即∠ACF=90°．又AC 是直径，∴直线CF 是⊙O 的切线9．【正确答案】（1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK ，∴∠KGE=∠GKE=∠AKH ，又OA=OG ，∴∠OGA=∠OAG ， ∵CD ⊥AB ，∴∠AKH+∠OAG=90°，∴∠KGE+∠OGA=90°，∴EF 是⊙O 的切线.（2）解：①∵AC ∥EF ，∴∠E=∠C ， 又∠C=∠AGD ，∴∠E=∠AGD ，又∠DKG=∠CKE ，∴△KGD ∽△KGE.②连接OG ，如图所示.∵，AK= ，cosC =4510设 ，∴ ， ，则 cosC =45=CHAC =kCH =4k AC =5k AH =3k KE=GE ，AC ∥EF ，∴CK=AC=5k ，∴HK=CK －CH=k.在Rt △AHK 中，根据勾股定理得AH 2+HK 2=AK 2，即 ， ， ， ，则 ，(3k)2+k 2=(10)2k =1CH =4AC =5AH =3设⊙O 半径为R ，在Rt △OCH 中，OC=R ，OH=R －3k ，CH=4k ，由勾股定理得：OH 2＋CH 2=OC 2， ，∴(R−3)2+42=R 2R =256在Rt △OGF 中，，∴ ，cosC =cos∠GOF =45=OG OF OF =12524∴BF =OF−OB =12524−256=252410．【正确答案】（1）解：如图，连接OA ，OD ，OE ，∵AB 是⊙O 的切线，点D 为切点，∴∠ADO=90°，∵AD=AE ，OD=0E ，AO=AO ，∴△AOD ≌△AOE ，∴∠ADO=∠AEO=90°，∴AC 是⊙O 的切线，点E 为切点；（2）解：根据题意，四边形BCHG 的周长为BC+CH+BG+HG ， ∵ ， ，∠A =90°AB =AC =4∴∠B=∠C=45°，BC=4 ，2∵∠ADO=∠AEO=90°，OD=0E ，∴∠DOB=∠EOC=45°，△BOD ≌△COE ，∴OB=OC ，BD=CE ，∴∠EOD=90°，∠AOB=90°，∠BAO=45°，∴BD=OD=DA=CE= AB=2，12∵AB ，AC ，GH 都是⊙O 的切线，∴HF=HE ，GD=GF ，∴四边形BCHG 的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD =BC+CE+BD+GH+HF+FG = BC+CE+BD+2GH =4+4 +2GH ，2∵GH 是变量，∴四边形BCHG 的周长不是定值，这个结论不符合题意；∵AB ，AC ，GH 都是⊙O 的切线，根据切线长定理，得GO 平分∠DOF ，HO 平分∠EOF ，∴∠GOH=∠GOF+∠HOF= ∠DOF+ ∠EOF= （∠DOF+∠EO ）121212= ∠EOD ，12∵∠EOD=90°，∴∠GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2， ∴GH=x+y-4，AG=4-x ，AH=4-y ，在直角三角形AGH 中， ，AG 2+AH 2=GH 2∴ ，(x−2)2+(y−2)2=(x +y−4）2整理，得y= ，且2＜x ＜4，8x 当x=y 时，∴AG=AH ，∴AG ：AB=AH ：AC ，∴GH ∥BC ，∴OF ⊥GH ，∵BG=CH ，∠B=∠C ，BO=CO ，∴△BOG ≌△COH ，∴GO=HO ，∴GF=FH ，∴A ，F ，O 三点一线，∴∠DOF=∠EOF ， ∴弧DF=弧EF ，故点F 是弧DE 的中点．11．【正确答案】（1OD ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD ，∵AO ＝BO ，BD ＝CD ，∴OD ∥AC ，∵DM ⊥AC ，∴OD ⊥MN ，又∵OD 是半径，∴MN 是⊙O 的切线；（2）证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵∠ABC+∠BAD ＝90°，∠ACB+∠CDM ＝90°，∴∠BAD ＝∠CDM ，∵∠BDN ＝∠CDM ，∴∠BAD ＝∠BDN ，又∵∠N ＝∠N ，∴△BDN ∽△DAN ，∴，BN DN =DNAN ∴DN 2＝BN•AN ＝BN•（BN+AB ）＝BN•（BN+AC ）；（3）解：∵BC ＝6，BD ＝CD ， ∴BD ＝CD ＝3，∵cosC ＝ ＝ ，35CD AC ∴AC ＝5，∴AB ＝5，∴AD ＝ ＝ ＝4，AB 2−BD 225−9∵△BDN ∽△DAN ，∴ ＝ ＝ ，BN DN =DN AN BD AD 34∴BN ＝ DN ，DN ＝ AN ，3434∴BN ＝ （ AN ）＝ AN ，3434916∵BN+AB ＝AN ，∴ AN+5＝AN 916∴AN ＝ ，807∴DN ＝ AN ＝ .3460712．【正确答案】（1）证明：连接OC ，OE ，∵OC=OE ，∴∠OEC=∠OCE ，∵E 是 的中点，AB ∴ ，AE =BE ∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠OEC+∠ODE=90°，∵PC=PD ，∴∠PCD=∠PDC ，∵∠PDC=∠ODE ，∴∠PCD=∠ODE ，∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠OEC=90°，∴OC ⊥PC ，∴PC 是⊙O 的切线；（2）解：连接AC ，BE ，BC ， ∵∠ACD=∠DBE ，∠CAD=∠DEB ，∴△ACD ∽△EBD ，∴，AD DE =CDBD ∴CD•DE=AD•BD=（AO-OD ）（AO+OD ）=AO 2-OD 2；∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠PCO=90°，∴∠ACP=∠BCO ，∵∠BCO=∠CBO ，∴∠ACP=∠PBC ，∵∠P=∠P ，∴△ACP ∽△CBP ，∴ ，PC PB =PA PC ∴PC 2=PB•PA=（PD+DB ）（PD-AD ）=（PD+OD+OA ）（PD+OD-OA ）=（PD+OD ）2-OA 2=PD 2+2PD•OD+OD 2-OA 2，∵PC=PD ，∴PD 2=PD 2+2PD•OD+OD 2-OA 2，∴OA 2-OD 2=2OD•PD ，∴CD•DE=2OD•PD ；∵AB=8，∴OA=4，由CD•DE=AO 2-OD 2；∵CD•DE=15，∴15=42-OD 2，∴OD=1（负值舍去），∴AD=3，由CD•DE=2OD•PD ，∴PD= ，CD•DE 2OD =152∴PA=PD-AD= .9213．【正确答案】（1）证明：∵AD 为的直径，BE ＝CE ，⊙O ∴，AD ⊥BC ∴，∠AEC =90°∵，DF ∥BC ∴，∠ADF =∠AEC =90°∴，且OD 是的半径，DF ⊥AD ⊙O ∴DF 是的切线；⊙O （2）解：连接CD ，∵，AB ＝6，sin∠BAD =13∴CE ＝BE ＝2，∴，AE =AB 2−BE 2=42∵，AD ⊥BC ∴AC ＝AB ＝6，∵，cos∠CAD =AE AC =AC AD ∴，426=6AD ∴，AD =922∵，tan∠CAD =DF AD =CEAE ∴，DF922=242∴（注：答案不唯一，可利用两个三角形相似进行解答）.DF =9414．【正确答案】（1，OD ∵在中，，，RtΔABC ∠BAC =90°∠C =30°∴，AB =12BC∵是的中点，∴，D BC BD =12BC∴，∴，AB =BD ∠BAD =∠BDA ∵，∴，OA =OD ∠OAD =∠ODA ∴，即，∠ODB =∠BAO =90°OD ⊥BC（2）；或23π13ππ15．【正确答案】（1）证明：如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ，∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD ⊥AB 于H ，∴∠AHD=90°，∴∠OAG+∠AKH=90°，∵OA=OG ，∴∠AGO=∠OAG ，∴∠AGE=∠AKH ，∵∠EKG=∠AKH ，∴∠EKG=∠AGE ，∴KE=GE（2）证明：设∠FGB=α，∵AB 是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，∵∠FGB= ∠ACH ，12∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E ，∴CA ∥FE（3）解：作NP ⊥AC 于P ．∵∠ACH=∠E ，∴sin ∠E=sin ∠ACH= ，AH AC =35设AH=3a ，AC=5a ，则CH= ，tan ∠CAH= ，AC 2−CH 2=4a CH AH =43∵CA ∥FE ，∴∠CAK=∠AGE ，∵∠AGE=∠AKH ，∴∠CAK=∠AKH ，∴AC=CK=5a ，HK=CK﹣CH=4a ，tan ∠AKH= =3，AK= ，AH HK AH 2+HK 2=10a ∵AK= ，10∴ ，10a =10∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG ，∵∠ACN=∠ABG ，∴∠AKH=∠ACN ，∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3，∵NP ⊥AC 于P ，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt △APN 中，tan ∠CAH=，设PN=12b ，则AP=9b ，PN AP =43在Rt △CPN 中，tan ∠ACN= =3，PNCP ∴CP=4b ，∴AC=AP+CP=13b ，∵AC=5，∴13b=5，∴b= ，∴CN= = = ．513PN 2+CP 2410⋅b 20131016．【正确答案】（1）解：如图 ，作 的垂直平分线，交 于 ，以 为半径作⊙O ， 1BC BC O OB 则 ⊙O 即为所作；OD OE（2）解：如图2，连接，，∵O BC D AC是的中点，是的中点，∴OD△ACB是的中位线，∴OD//AB，∴∠COD=∠B∠DOE=∠OEB，，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，∴∠COD=∠DOE，∵OC=OE OD=OD，，∴△OCD△OED(SAS)≌，∴∠OED=∠OCD=90°，∵OE⊙O是的半径，∴DE⊙O是的切线；（3）解：如图2，，∵OB =OE ，∴∠OEB =∠B =30° ，∴∠COE =∠OEB +∠B =60°由（2）知： ≌ ，△OCD △OED ，∴∠COD =∠DOE =30° ，∵BC =6 ，∴OC =3 中， ，Rt △OCD CD =3 与 、 组成的阴影部分面积∴⊙O DE DC .=2S △OCD −S 扇形OCE =2×12×3×3−60π×32360=33−3π2。
切线的证明方法中考总结
切线的证明方法中考总结切线是一个非常重要的概念，在几何学中有广泛的应用。
证明一个线段是另一条线的切线，有多种方法可以使用。
在这篇文章中，我将总结和讨论一些常用的切线证明方法。
首先，让我们回顾一下什么是切线。
在平面几何中，切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
这个交点通常被称为切点。
因此，我们可以认为切线与圆的切点处相切，而离开切点的部分与圆无交点。
下面是一些常用的切线证明方法：1.使用切线定理：切线定理是一种非常常见的切线证明方法。
根据这个定理，如果一条半径与切线相交，那么该半径与切线的交点处就是切点。
因此，我们可以在图形上找到这两条线，并证明它们相交于切点。
2.使用相似三角形：相似三角形是切线证明中常用的一种技巧。
当两个三角形有相似的对应角时，它们的对边之间具有相似的比例关系。
因此，我们可以通过证明两个三角形是相似的来证明一条线段是另一条线的切线。
3.使用切线长度关系：当两个切线相交于圆的外部时，我们可以利用切线长度关系来证明它们相交于切点。
根据切线长度关系，如果两条切线的长度成比例，它们相交于切点，否则它们不相交。
4.使用几何推理：几何推理是我们在切线证明中常用的一种技巧。
通过应用一些基本的几何定理和性质，可以推导出切线的存在。
例如，使用圆的性质可以证明切线与半径垂直、切线对半径的延长线垂直等。
5.使用欧几里得几何学公设：欧几里得几何学公设是我们在切线证明中常用的一种工具。
这些公设包括直线上的任意两点可以相连，任意一条线段可以延长，以及通过一点可以作一条唯一的直线等。
除了上述方法之外，还有一些其他的切线证明方法，如使用角平分线，使用勾股定理等。
这些方法是在具体问题中根据需求和条件选择的。
不同的证明方法有不同的优势和适用范围。
总结起来，切线是一个重要的几何概念，在几何学的问题中有广泛的应用。
证明一条线段是另一条线的切线，我们可以使用切线定理、相似三角形、切线长度关系、几何推理和欧几里得几何学公设等多种方法。
小专题(十三) 证明切线的两种常用方法
小专题(十三)证明切线的两种常用方法类型1直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】(枣庄中考)如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.求证：PB是⊙O的切线．证明：连接OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA.∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线1．(常德中考)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD ＝∠CAB.求证：BE是⊙O的切线．证明：连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD.∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD.∵OA＝BO，∴∠BAD＝∠ABO.∴∠EBD＝∠ABO.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°.∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线．2．(永州中考改编)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.求证：CE是⊙O的切线．证明：连接CO ，OE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠BCD ＝90°.∵E 是BD 中点，∴CE ＝BE ＝12BD. 又∵OC ＝OB ，OE ＝OE ，∴△COE ≌△BOE.∴∠OCE ＝∠OBE.∵BD 为⊙O 的切线，∴∠OBE ＝90°.∴∠OCE ＝90°.∴CE 是⊙O 的切线．3．(丽水中考)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.(1)求证：AD 是半圆O 的切线；(2)连接CD ，求证：∠A ＝2∠CDE.证明：(1)连接OD ，BD ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB.∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO.∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO.∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°.∴AD 是半圆O 的切线．(2)由(1)知，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ＝∠DOC.∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°.∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°.∴∠BDO ＝∠CDE.∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO.∴∠DOC ＝2∠CDE.∴∠A ＝2∠CDE.类型2 不确定直线与圆是否有交点。
中考压轴题圆的切线证明和计算附详解(中考真题汇编)
圆的切线证明和圆中计算附详解(2024年中考数学真题汇编)1.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ，,60D ABC ∠=∠=︒．（1)求证:BD 是半圆O 的切线.（2)当3BC =时,求 AC 的长．2.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===．以点A 为圆心,以AD 为半径作 DE交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作 EF所交BC 于点F ,连接FD 交 EF 于另一点G ,连接CG ．（1)求证：CG 为 EF所在圆的切线（2)求图中阴影部分面积．（结果保留π)3.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.4.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =,O 是ABC 的外接圆,点D 在 O 上（AD BD >),连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】（1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】（2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】（3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示)5.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =,D 为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos4ADC ∠=.O 是ACD 的外接圆．（1)求BC 的长（2)求O 的半径．6.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。
中考专题切线长定理及弦切角定理
中考复习专题一一切线长定理与弦切角定理［知识要点二 1.切线长定理：过圆外一点P 做该圆的两条切线，切点为A 、Bo AB 交P0于点C,则有如下 结论：(1) PA 二PB(2) P0丄AB,且P0平分AB(3) ZAPO = ZBPO = ZOAC = ZOBC; ZAOP = ABOP = ZCAP = ZCBP2•弦切角定理：弦切角(切线与圆的夹角)等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等［典型例题】【例1】如图LAB, AC 是OO 的两条切线，切点分别为B 、C 、D 是优弧BC 上的点，已知ZBAC=80<\举一反三:1 •如图2, AB 是。
O 的弦，AD 是0 O 的切线，C 为AB ±任一点，ZACB=108°,那么ZBAD= ____________________________ 2•如图3,PA,PB 切0 O 于A, B 两点，AC 丄PB •且与€> 0相交于D,若ZDBC=22°,则ZAPB= ___________________________【例2】如图，已知圆上的^AC = BD,过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：⑴ ZACEMBCD ；(2)BC 2=BExCD ・举一反三：1 •如图，曲是圆0的直径，D 为圆0上一点，过0作圆0的切线交曲那么ZBDC= ___________ .匸 图2A0 的延长线于点G 若DA=DC.求证：AB=2BC.【例3】已知：如图7 —149, PA, PB 切00于A, B 两点，AC 为直径，则图中与ZPAB 相等的角的个数为【例4】如图，AE 、AD. BC 分别切OO 于点E 、D. F,若AD=20,求AABC 的周长.A. 1 个;B. 2 个:C. 4 个;D. 5 个. 举一反三：1.如图，PA 、PB 是€)0的切线，A 、B 为切点，Z0AB=30°・(1) 求ZAPB 的度数；(2) 当0A=3时，求AP 的长.2.已知：如图，0O 内切于△ABC, ZBOC= 105° , ZACB=90° ,AB=20c m ・求 BC 、AC 的长.图 7-149AA3・已知：如图，/XABC三边BC* CA=b. AB R它的内切圆0的半径长为儿求△ABC的面积S.A4•如图，在ZkABC中，已知ZABC=90°,在AB上取一点E,以BE为直径的OO恰与AC相切于点D, 若AE=2 cm, AD=4 cm.(1)求OO的直径BE的长:⑵计算AABC的而积.［课后作业】直径，AE切00于点3,连接D3,若ZD = 20。
切线的证明方法中考总结
21EFDOABC切线的证法1. 直线与圆只有唯一公共点;则直线是圆的切线2. 圆心到直线的距离等于圆的半径;则直线是圆的切线3. 经过半径的外端;且垂直于这条半径的直线是圆的切线 一. 角平分线证相切：作弦心距;利用勾股定理例：.如图;AB 是⊙O 的直径;AC 是弦;∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D;D E ⊥AC;交AC 的延长线于点E;OE 交AD 于点F.1求证：DE 是⊙O 的切线； 2若AB AC =53;求DFAF的值.. 练习2.如图;AB 为⊙O 的直径;C 为⊙O 上一点;∠BAC 的平分线交⊙O 于点D;过D 点作E F ∥BC 交AB 的延长线于点E;交AC 的延长线于点F.. 1求证：EF 为⊙O 的切线； 2若sin ∠ABC=54;CF=1;求⊙O 的半径及EF 的长.. 3. 如图;AB 为⊙O 的直径;AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ;DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ;FB 是⊙O 的切线交AD 的延长线于点F .1求证：DE 是⊙O 的切线；2若DE =3;⊙O 的半径为5;求BF 的长.4.已知如图;在△ABC 中;AB=AC;AE 是角平分线;BM 平分∠ABC 交AE 于点M;经过B 、M 两点的⊙O 交BC 于点G;交AB 于点F;FB 恰为⊙O 的直径. （1） 求证：AE 与⊙O 相切； （2） 当BC=4;cosC=31时;求⊙O 的半径.. 二. 平行证相切1.已知平行、2.角相等平行、3.中位线平行例5.如图;AB 是⊙O 的直径;BC ⊥AB 于点B;连接OC 交⊙O 于点E;弦AD//OC;弦DF ⊥AB 于点G.. 1求证：点E 是弧BD 的中点； 2求证：CD 是⊙O 的切线； 3若sin ∠BAD=54;⊙O 的半径为5;求DF 的长.. 练6.如图;在等腰⊿ABC 中;AB=AC;O 为AB 上一点;以O 为圆心;OB 长为半径的圆交BC 于D;D E ⊥AC 交AC 于E. (1) 求证DE 时是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 与AC 相切于F;AB=AC=5cm;sinA=53;求⊙O 的半径长.. 7.如图;AB 是⊙O 的直径;BD 是⊙O 的弦;延长BD 到点C;使DC=BD;连结AC;过点D 作DE ⊥AC;垂足为E. 1.求证：AB=AC2.求证:DE 为⊙O 的切线.3.若⊙O 的半径为5;∠BAC=60°;求DE 的长.8.如图 ;矩形ABCD 中;53AB AD ==，．点E 是CD 上的动点;以AE 为直径的O ⊙与AB 交于点F ;过点F 作FG BE ⊥于点G ． 1当E 是CD 的中点时：①tan EAB ∠的值为______________； ② 证明：FG 是O ⊙的切线；2试探究：BE 能否与O ⊙相切若能;求出此时DE 的长；若不能;请说明理由．C9．如图;A 是以BC 为直径的⊙O 上一点;AD ⊥BC 于点D;过点B 作⊙O 的切线;与CA 的延长线相交于点E;G 是AD 的中点;连结OG 并延长与BE 相交于点F;延长AF•与CB 的延长线相交于点P ． 1求证：BF=EF ；2求证：PA 是⊙O 的切线； 3若FG=BF;且⊙O 的半径长为32;求BD 和FG 的长度．三. 角度转化证切线中线证直角、角度转化证直角例10．已知：如图;A 是⊙O 上一点;半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B•点;OC=BC;AC=12OB ． 1求证：AB 是⊙O 的切线；2若∠ACD=45°;OC=2;求弦AD 、CD 的长．11..如图;点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点;点B 在⊙O 上;且AB=AD=AO. 1.求证BD 是⊙O 的切线..2.若点E 是劣弧BC 上一点;AE 与BC 相交于点F;且⊿BEF 的面积为8;co s ∠BFA=32;求⊿ACF 的面积.. 12.如图;△ABC 内接于半圆;AB 是直径;过A 作直线MN;若∠MAC=∠ABC. 1.求证：MN 是半圆的切线2.设D 是弧AC 的中点;连结BD 交AC 于G;过D 作DE ⊥AB 于E;交AC 于F.求证：FD=FG3.若△DFG 的面积为4.5;且DG=5;GC=4.试求△BCG 的面积13. 如图;AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦;点D 为劣弧AC 上一点;弦DE ⊥AB 分别交⊙O 于E;交AB 于H;交AC 于F ．P 是ED 延长线上一点且PC=PF ． 1 求证：PC 是⊙O 的切线；2 点D 在劣弧AC 什么位置时;才能使2ADDE DF =⋅;为什么3 在2的条件下;若OH=1;AH=2;求弦AC 的长．14.如图;已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ;垂足为F ;点E 在AB 上;且EA ＝EC . 1求证：AC 2＝AE ·AB ；2延长EC 到点P ;连结PB ;若PB ＝PE ;试判断PB 与⊙O 的位置关系;并说明理由.15.如图所示;AB 是半圆O 的直径;C 是半径OA 上的一点;P C ⊥AB;点D 是半圆上位于PC 右侧的一点;连接AD 交线段PC 于点E;且PD=PE.(1) 求证：PD 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径为4;PC=8;设OC=x;PD 2=y . ① 求y 关于x 的函数关系式 ② 当x=1时;求tan ∠BAD 的值.16.如图;已知AB 是O ⊙的直径;点C 在O ⊙上;过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ;AC PC =;2COB PCB ∠=∠． 1求证：PC 是O ⊙的切线；2求证：12BC AB =；3点M 是弧AB 的中点;CM 交AB 于点N ; 若4AB =;求M N ×MC 的值．O N B PCA17.如图;扇形 OAB 的半径OA=r;圆心角∠AOB=90°;点C 是弧AB 上异于A 、B 的动点;过点C 作CD ⊥OA 于点D;作CE ⊥OB 于点E;连结DE;点M 在DE 上;DM=2EM;过点C 的直线PC 交OA 的延长线于点P;且∠CPO=∠CDE. 1求证：DM=32r ； 2求证：直线PC 是扇形OAB 所在圆的切线；3设y=CD 2+3CM 2;当∠CPO=60°时;请求出y 关于r 的函数关系式..。
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专题解析——切线证明切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o ．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o 即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o ． ∵∠CAB ＝30o ，∴BC ＝21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90o ． ∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o 即可．证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．图1图2∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o ．∴∠ODC ＝90o ． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1，B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？ 解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC ， ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．∵∠COD 是△BOC 的外角， ∴∠COD =∠OCB +∠B =2∠B ． ∵∠ACD =2∠B ， ∴∠ACD =∠COD ． ∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠DCO +∠COD =90°． ∴∠DCO +∠ACD =90°． 即OC ⊥AC ．∵C 为 ⊙O 上的点，∴AC 是⊙O 的切线．【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC 的外接圆，AB 是⊙Ｏ的直径，D 是AB 的延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB ．求证：DE 是⊙O 的切线．图3证明：连接OC，则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．求证：AC是⊙O的切线证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC,OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC 于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OD ，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C. ∴OD ∥AC. ∵DM ⊥AC ， ∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙O 相切证明二：连结OD ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD ⊥DM.∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.DC又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12】 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP. 求证：PC 是⊙O 的切线. 证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ，OCOPOD OC. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，D∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.。