二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质教案(20201003000150)
《二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》教案
《二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》教案教学目标1．能根据实际问题列出函数关系式．2．进一步使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．3．会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识．重点难点重点：根据实际问题建立二次函数的数学模型．难点：确定二次函数自变量的范围教学设计一、情景创设在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？共同回忆本章开始提出的这一问题，回忆当时的解题思路．二、实践与探索通过学生讨论，彼此交流，得出此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？学生独立完成求最大值过程．提出问题：根据实际情况，x有没有限制？引起学生思考，使学生考虑x的范围解答过程解：设矩形的宽AB为x m，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以O＜x＜1O．围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)即y＝－2x2＋20x配方得y＝－2(x－5)2＋50所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50．因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10．所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大问题2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0．1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？多少时，能使销售利润最大？解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元．商品每天的利润y与x的函数关系式是：y＝(10－x－8)(100＋100x)即y＝－100x2＋100x＋200配方得y＝－100(x－12)2＋225因为x＝12时，满足0≤x≤2．所以当x＝12时，函数取得最大值，最大值y＝225．所以将这种商品的售价降低12元时，能使销售利润最大．通过以上两个问题，让学生体会建构二次函数数学模型来解决实际问题思想．为解决下面问题奠定基础例5．用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？分组讨论，通过思考、交流、互相补充找到解决问题的方法．先思考解决以下问题：(1)若设做成的窗框的宽为x m，则长为多少m？(632x-m)(2)根据实际情况，x有没有限制？若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由．让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x＞0，且632x-＞0，即解不等式组632xx>⎧⎪>⎨-⎪⎩，解这个不等式组，得到不等式组的解集为0＜x＜2，所以x的取值范围应该是0＜x＜2．(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗？(y＝x·632x，即y＝－32x2＋3x)三、回顾与反思让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；(2)研究自变量的取值范围；(3)研究所得的函数；(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；(5)解决提出的实际问题．四、本课小结1．通过本课的学习，你有什么收获？2．你对本节课还有什么不明白的？说给同学和老师听听．五、布置作业教材第20页练习．。
《二次函数y=ax2 bx c的图象和性质》教学设计(广 西县级优课)
姓名
电话
学科
数学
年级
九
邮件
单位
教学设计
教学主题
《二次函数》
一、教材分析
本课是在学生掌握了二次函数的概念、图象与性质下进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的性质。通过这节的复习，学生将进一步巩固二次函数y = ax2+bx+c的图象与性质。二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一，几年来的中考试题中都占都重要地位。
六、教学流程设计（可加行）
教学环节
教师活动
学生活动
信息技术支持
1、复习（提问的形式完成）
1.我们已经学习了那些函数？它们的图像是什么？
2.画函数图象的基本方法与步骤是什么？
3.研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
.学生回忆已经学过的知识，并交流
利用PPT演示
2、提出问题探索关系
几何画板演示
1、二次函数y=ax2图像的开口方向，对称轴，顶点坐标。
2、二次函数y=ax2+k图像的开口方向，对称轴，顶点坐标。
3、二次函数y=a(x-h)2图像的开口方向，对称轴，顶点坐标。
4、二次函数y=a(x-h)2+k图像的开口方向，对称轴，顶点坐标。
5、二次函数y = ax2+bx+c图像的开口方向，对称轴，顶点坐标。
观察二次函数的系数与图像之间的关系。
几何画板演示
4、抛物线 与x轴的正半轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为______.
5、已知二次函数 的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0， ____0；
6、二次函数 的图象如图，则直线 的图象不经过第象限.
新人教版九年级上册数学《二次函数y=ax^2bxc图象和性质》名师教案
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质第一课时一、教学目标〔一〕学习目标1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c 的图象 .2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标、开口方向、对称轴、y 随 x 的增减性及最大或最小值 .3．经历探索二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c 的性质 .4.能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想 .〔二〕学习重点用描点法画出二次函数y＝ ax2＋ bx＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其性质。
〔三〕学习难点理解二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象和性质，会利用二次函数的图象性质解决简单的实际问题.二、教学设计〔一〕课前设计1.预习任务（1〕二次函数 y=a(x-h) 2+k 的顶点坐标是 (h,k)，对称轴是 x=h，当 a>0 时，开口向上，此时二次函数有最小值，当 x＞h 时， y 随 x 的增大而增大，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；当 a<0 时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x＜h 时， y 随 x 的增大而增大，当x＞h 时， y 随 x 的增大而减小 .2 22 4ac b2 b〔 2〕用配方法将 y=ax +bx+c 化成 y=a(x-h) +k 的形式为y a x4a . ，2a那么h=- b ，k= 4ac b2 .那么二次函数y=ax2+bx+c 的图象的顶点坐标是(- b ,2a 4a 2a4ac b2 ),对称轴是 x=- b，当 x=-b时，二次函数 y=ax2+bx+c 有最大 (最小 )4a 2a 2a值，当 a>0 时，函数 y 有最小值，当 a<0 时，函数 y 有最大值 .2.预习自测（1〕抛物线 y＝ 2x2－2x－1 的开口 ________，对称轴是 ________.【知识点】二次函数的性质．【解题过程】解：抛物线y＝2x2－2x－ 1，∵ 2＞0，∴开口向上，对称轴为：x b2 2 1 ．2a 2 2【思路点拨】掌握二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键．【答案】向上，x 1 2（2〕抛物线 y＝ x2－2x＋2 的顶点坐标是 ________.【知识点】二次函数的性质．【解题过程】解：将y＝x2－ 2x＋2 配方得 y (x 1) 21，顶点坐标是〔 1，1〕.【思路点拨】将抛物线的一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【答案】〔 1，1〕（3〕二次函数 y＝1x2＋2x＋1 的最 _____值是 ________. 2【知识点】二次函数的最值．【解题过程】解：将 y＝1x2＋2x＋ 1 配方得y1( x 2)2 1 ，∵1＞0，∴其最2 2 2小值是 -1.【思路点拨】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．【答案】小， -1〔 4〕二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下图，以下结论：① 4ac＜b2；② a+c＞b；③ 2a+b＞ 0．其中正确的有〔〕A．①②B．①③C．②③D．①②③【知识点】二次函数图象与系数的关系．【思路点拨】根据抛物线与 x 轴有两个交点即可判断①正确，根据 x=﹣ 1，y＜0，即可判断②错误，根据对称轴 x＞ 1，即可判断③正确，由此可以作出判断．【解题过程】解：∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac＜ b2，故①正确，∵x=﹣1 时， y＜ 0，∴a﹣ b+c＜0，∴a+c＜b，故②错误，∴对称轴 x＞ 1， a＜ 0，∴﹣b＞1，2a∴ ﹣b＜2a，∴2a+b＞ 0，故③正确．应选 B．【答案】 B(二)课堂设计1.知识回忆〔 1〕二次函数 y a(x h)2k(a0) 的图象性质：y a(x h) 2 (a 0) a 0 a 0 开口方向向上向下对称轴x h x h顶点坐标(h,0) ( h,0)增减性当 x h 时，y随x的增大当 x h 时，y随x的增大而减小；当 x h 时，y随而增大；当 x h 时，y随x 的增大而增大x 的增大而减小最值当x h时，y min k当x h 时，y max k〔 2〕抛物线的平移规律：〔h〕左加右减， (k) 上加下减2.问题探究探究一从旧知识过渡到新知识●活动①复习配方填空：〔1〕x24x 9 (x)2；〔2〕x25x 8 (x)2.生答：〔 1〕2，5；〔 2〕5，7 2 4总结规律：当二次项的系数为 1 时，常数项须配一次项系数一半的平方．【设计意图】复习配方，为新课作准备●活动②以旧引新1．二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象，可以由函数 y＝ax2的图象先向 ________ 平移 ________个单位，再向 ________平移 ________个单位得到．生答：左或右，h ，上或下， k2．二次函数 y＝a(x－h)2＋ k 的图象的开口方向 ________，对称轴是 ________，顶点坐标是 ________．生答： a＞0，向上； a<0，向下x=h〔h，k)1 23．二次函数 y＝2x －6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？1 2点拨 :先将 y＝2x － 6x＋21 配方，再得出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象，由此引出新课。
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(教案)
-当a>0时，函数图象开口向上，如y=x^2，图象在x轴上方；
-当a<0时，函数图象开口向下，如y=-x^2，图象在x轴下方；
- b、c的取值会影响图象的平移，如y=x^2+3，图象沿y轴向上平移3个单位；
-通过具体函数如y=x^2-4x+3，演示如何使用顶点公式(-b/2a, c-b^2/4a)求顶点坐标和判别式Δ=b^2-4ac判断与x轴的交点情况。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，它描述了许多自然现象和工程技术问题中的抛物线变化规律。它是数学中的一个重要部分，因为它可以帮助我们解决最值问题、预测物体运动轨迹等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数在物理学中的应用，比如计算抛物线运动的最高点和落点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数y=ax^2+bx+c的标准形式及其图象特征，特别是a、b、c的符号对图象形状和位置的影响。
-掌握二次函数的对称性、最值性、顶点坐标和与x轴的交点的判定方法。
-学会运用顶点公式和判别式进行二次函数的图象分析和性质判断。
-能够将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的性质解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如顶点公式的推导和应用，我会通过图象示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最大高度计算。
北师大版数学九年级下册《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》教案4
北师大版数学九年级下册《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》教案4一. 教材分析北师大版数学九年级下册《二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质》这一章节是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次函数的基础知识的基础上进行授课的。
通过这一章节的学习，使学生掌握二次函数图象与性质，能够熟练运用二次函数解决实际问题，培养学生数形结合的数学思想。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于二次函数也有一定的了解。
但是在二次函数图象与性质的学习上，部分学生可能会存在一定的困难，如对二次函数的顶点、对称轴等概念的理解。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过具体实例和生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，提高学生对二次函数图象与性质的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数图象的顶点、对称轴等性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数图象与性质之间的关系，培养学生的数形结合思想。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极参与数学探究的精神，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的一般形式，二次函数图象的顶点、对称轴等性质。
2.难点：二次函数图象与性质之间的内在联系，运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引导学生认识二次函数，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生观察、分析、归纳，发现二次函数图象与性质之间的关系。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数图象与性质的相关课件，便于学生直观地了解二次函数的图象。
2.实例准备：准备一些与生活实际相关的问题，让学生运用二次函数解决。
3.练习题：准备一些有关二次函数图象与性质的练习题，巩固所学知识。
二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质教学设计
二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与性质【课时安排】4课时【第一课时】【教学目标】（一）知识技能目标。
1．使学生会运用描点法画二次函数21y x =+的图象，了解函数的性质；2．让学生通过观察，自主发现一般二次函数k ax y +=2图象的性质；3．让学生通过观察比较，发现二次函数k ax y +=2与2ax y =图象之间的关系。
（二）过程性目标。
经历二次函数k ax y +=2的画图和发现二次函数k ax y +=2图象性质过程，注重探索过程的参与和体验。
【教学重难点】理解y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 、k 对二次函数图象的影响。
【教学过程】一、创设情境（一）上一课我们学习了二次函数2ax y =的图象及性质，请大家回答下列问题。
说出下列各个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数增减性和最大（小）值。
2221.2,2.2,3.y x y x y ax ==-=思考：二次函数k ax y x y x y +=+-=+=222,12,12的图象及性质是怎么样的呢？这就是本课要学习研究的内容。
二、探究归纳仿照上一课的研究方法，我们通过画图象、观察图象来探究这几个函数的性质。
在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与122+=x y 的图象。
解：列表：x－3－2－10123......22x y =188202818 (1)22+=x y 199313919……描点、连线，画出两个函数的图象，如图所示。
观察。
当自变量取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两点之间的位置又有什么关系？答：当自变量取同一数值时，函数122+=x y 的函数值都比函数22x y =的函数值大1，反映在图象上，函数122+=x y 的图象上的点都是由函数22x y =的图象上的点向上移动了一个单位。
观察。
这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，它们有哪些相同的？又有哪些不同的？答：函数122+=x y 与22x y =的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案(教学设计)
数形结合求二次函数的最值一.教材分析1.内容、地位和作用函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一.本节课的主要内容是利用数形结合的思想对二次函数的最值问题进行探究.它是从函数图像入手，通过学生手中的学具动态演示，画出相应的函数图像，确定分类讨论的标准,求出函数的最值，进而得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决了相关的最值问题.通过学习，学生将会借助二次函数的图像研究二次函数的最值，并能由此得到影响二次函数最值的因素，进一步体会数形结合的思想方法.2.教学重点与难点重点：1、掌握当二次函数确定、自变量的取值范围发生变化时，二次函数的最值问题；2、掌握当二次函数发生变化、自变量的取值范围确定时，二次函数的最值问题.难点：如何分类讨论二次函数的最值.二.教学目标分析1.知识与技能(1)会利用分类讨论的思想确定含参数的函数解析式、含参数自变量取值范围的分类标准，进行分类讨论，解决相关函数的最值问题；(2)能灵活运用数形结合思想解决二次函数的最值问题.2.过程与方法(1)经历探索二次函数最值问题的过程，感悟由特殊到一般再到特殊的研究方法，发展学生归纳总结的能力；(2)在探究二次函数最值问题的过程中，引导学生感知数形结合及数学化归思想.3.情感、态度与价值观(1)通过设置丰富的问题情境，鼓励学生积极探索和交流；(2)通过开放式的教学方法，培养学生的数学思维能力和自主学习习惯. 三.教学过程分析 【课前回顾】已知二次函数322+-=x x y ，请按要求完成： （1）画出函数图像；（2）求出它的最大值和最小值.师生活动：教师引导，学生口答：如何准确的画出函数图像？针对很多时候解决函数问题可以只画出一个草图，继续追问，如何快速画出一个函数的草图？并结合图像求出函数的最值.设计意图：引导学生结合函数图像思考问题，直观地发现自变量x 的取值范围影响了二次函数的最值. 为下一个问题做铺垫.【探究一】：求二次函数322+-=x x y 的最值. ①-1≤x≤0解：;61,30=-===最大最小时，当时，当y x y x ②2≤x≤3解：;63,32====最大最小时，当时，当y x y x ③-1≤x≤2解：;61,21=-===最大最小时，当时，当y x y x ④0≤x≤3解：;63,21====最大最小时，当时，当y x y x ⑤0≤x<2解：;30,21====最大最小时，当时，当y x y x ⑥0<x≤3解：;63,21====最大最小时，当时，当y x y x师生活动:通过对前面问题的研究，首先画出这六个自变量取值范围对应的函数图像，观察函数图像，自主发现求解二次函数最值的方法，即在函数图像的最高点处，取得函数的最大值，在函数图像的最低点处，取得函数的最小值.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象，数形结合进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和自变量x 取值范围的相对位置影响了二次函数的最值,为下一步解决定函数动范围的最值问题做铺垫.【探究二】：求函数322+-=x x y 在m x ≤≤-1上的最值，并求此时x 的值. 师生活动:教师引导学生先观察这个问题，有了问题一的铺垫，问题二为函数确定但取值范围不定的最值问题，课堂上引导学生先观察问题一和问题二的区别，分析参数m 的变化对二次函数图像的影响，然后得出解决问题的关键就是要画出所有可能的函数图像，然后确定出分类标准，在小组内运用课前准备的学具，动态模拟取值范围的变化，观察图像，求出函数的最值.运用互动课堂软件，将学生的作图投影到大屏幕上，展示学生的探究成果，要求学生自己分析函数图像，得出相应的结论。
二次函数y=ax2 bx c的图象和性质教学设计
学科数学年级九上册教案备课时间年月日主备人使用班班通时间：课题二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质上课时间：教学目标及新课标要求1.知识与技能：会画二次函数y=ax2+bx+c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法.2.过程与方法：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法.3.情感态度价值观：会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题.教材分析重点会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式.难点会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点、对称轴及最值.教学准备PPT、直尺一、预习导学阅读教材第37至39页，自学“思考”和“探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法.自学反馈学生独立完成后集体订正①二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小.②用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，则h=-2ba，k=244ac ba.则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是二次备课教学过程(-2ba,244ac ba),对称轴是x=-2ba，当x=-2ba时，二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小)值，当a>0时，函数y有最小值，当a<0时，函数y有最大值.③求二次函数y=2x2+4x-1顶点的坐标，对称轴，最值，并画出其函数图象.解：顶点坐标为(-1，-3)，对称轴是直线x=-1，当x=-1时，y有最小值-3，图略.先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征.二、合作探究活动1 小组讨论例将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标,对称轴.①y=12x2-6x+21; ②y=-2x2-12x-22.解:①y=12x2-6x+21=12(x2-12x)+21=12(x2-12x+36-36)+21=12(x-6)2+3.∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，3)，对称轴是直线x=6. ②y=-2x2-12x-22=-2(x2+6x)-22=-2(x2+6x+9-9)-22=-2(x+3)2-4.∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(-3，4)，对称轴是直线x=-3.第②小题注意h值的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？解：当两条直角边都等于4时，面积最大为8注意图象的画法，结合图象找出最大值.2.抛物线y=-x2+4x-7的开口方向是向下，对称轴是x =2，顶点坐标是(2,-3).当x=2时，函数y 有最大值，其值为-3.3.已知二次函数y=ax2+2x+c(a ≠0)有最大值，且ac=4，则二次函数的顶点在第四象限.用顶点公式来解答.4.抛物线y=ax2+bx+c,与y 轴交点的坐标是(0，c)，当b2-4ac=0时，抛物线与x 轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(-2ba ,0)；当b2-4ac>0时，抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标是(242b b ac a -+-，0)、(242b b aca ---,0)；若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的两个交点坐标为(x1,0),(x2,0),则y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).与y 轴的交点坐标即当x=0时y 的值；与x 轴交点即当y=0时得到一个一元二次方程，而一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x 轴的交点情况也分三种.三、课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？四、布置作业板书设计教学 反思 本课时主要是理解并掌握一般形式的二次函数的图象和性质.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等）。
第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（教案）
第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（教案）第一篇：第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(教案)22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教学目标【知识与技能】1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.【过程与方法】通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.【情感态度】经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.教学重点用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.教学难点用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.教学过程一、情境导入，初步认识问题1请说出抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.问题2你知道二次函数y=标吗？【教学说明】问题1设计的目的既是对前面所学知识进行简单的回顾，又为2x-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐2本节知识的学习展示着方法和思路，学生处理起来较为简单，可采用抢答形式来处理.问题2设计的目的在于制造认知冲突，激发学生的求知欲望，学生在处理问题2时可能有些困难，教师适时诱导，引入新课.二、思考探究，获取新知问题1你能把二次函数y=的图案的对称轴和顶点坐标.问题2在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数y=的图象,并对比观察它们的图象有什么区别和联系.问题3请结合问题2的图象，指出当x取何值时，函数值y的最小值是多少？当x取何值时，函数y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？【教学说明】在学生探索上述三个问题过程中，教师巡视，关注学生将二次函数一般式化为顶点式时可能出现的失误，予以诱导，引导学生在画y=12x-6x+21的图象时如何列表，这样列表有哪些好处等，并使学生在活动过程212x-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式吗？并指出它2121x-6x+21与y=x222中进一步认识到：要想正确认识二次函数y=ax2+bx+c,一定要将它利用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式才行.三、问题引导，归纳结论问题1抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何做到的？b⎫⎛解：Θy=ax2+bx+c=a x2+x⎪+ca⎭⎝b⎛b⎫⎛b⎫=［ax2+2⋅x⋅+⎪-⎪］+c2a⎝2a⎭⎝2a⎭b⎫b⎛=a x+⎪-a·2+c2a⎭4a⎝b⎫4ac-b2⎛=a x+⎪+2a⎭4a⎝⎛b4ac-b2⎫-b∴抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=，顶点坐标是 -,⎪.2a4a2a⎝⎭222222【归纳结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质:【教学说明】针对所提出的问题，可能部分同学感到有些困难，因而教师在巡视过程中，应给予帮助，适当鼓励，让学生尽可能自主探究，最后师生共同探索结果.在结论归纳完成后，教师引导学生做课本第39页练习，可让学生自主完成，然后举手回答.问题2二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移变换.已知将二次函数y=x2+bx+c的图象先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得二次函数y=x2-2x+1的图象，求b和c.分析：要求b与c，需先求函数y=x2+bx+c的关系式，要求关系式，可先求出顶点坐标；根据两抛物线的平移情况，可确定顶点坐标.解：∵y=x2-2x+1=(x-1)2,∴抛物线y=x2-2x+1的顶点为（1,0）.根据题意，此抛物线向下平移2个单位，向右平移3个单位，可得y=x2+bx+c,此时，（1，0）平移到（4，-2），即抛物线y=x2+bx+c的顶点是（4，-2），∴y=x2+bx+c=(x-4)2-2=x2-8x+14,∴b=-8,c=14.【教学说明】1.可先回顾前面学过的y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的平移关系，引导学生思考，交流，探索结果，然后师生共同探讨总结规律：抛物线y=a(x-h)2+k在平移时，a不变，只是h或k发生变化，因此，研究抛物线的平移问题，关键是准确求出抛物线顶点的坐标，进而研究其顶点位置的变化情况.b⎫4ac-b2⎛2.二次函数y=ax+bx+c（a≠0）通过配方可化为y=a x+⎪+的2a⎭4a⎝22形式，于是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可看成由抛物线y=ax2向左或右b4ac-b2|个单位，向上或向下平移|平移||个单位得到的.2a4a四、运用新知，深化理解1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）A.a＞0,b＞0,c ＞0 B.a＞0,b＜0,c＜0 C.a＜0,b＜0,c＜0 D.a＞0,b＞0,c＜02.把二次函数y=1/4x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式为_____.3.二次函数y=-1/2x2-3x+5/2的图象的顶点坐标为_____.4.把抛物线y=ax2+bx+c，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则a+b+c=_____.【教学说明】1题中a、c 的符号可直接通过观察图象获得，再由a的符号及对称轴x=-b/2a＜0，可得到b的符号，这是本题的重难点，教学时教师可予以重点关注；2、3两题较为简单，同学们可自主完成;4题中抛物线通过平移变换，得到y=x2-3x+5,逆推易得a、b、c的值，从而得到a+b+c，此类题型需熟练掌握二次函数的平移变换.五、师生互动，课堂小结1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：（1）当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；（2）当a、b、c比较复杂时，可直接用公式来确定：⎛4ac-b2⎫b抛物线y=ax+bx+c的对称轴为x=-，顶点坐标为⎪.4a2a⎝⎭22.解决二次函数y=ax2+bx+c的平移问题时，应先将它化为y=a(x-h)2+k形式后，进行研究为好.课后作业1.布置作业：教材习题22.1中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。
《二次函数y=ax2 bx c的图象和性质》教学设计(内蒙古市级优课)
教学过程设计2、探究二次函数6822-+-=x x y 的图象。
学生独立完成，学生板书练习，老师讲评。
3、归纳：将二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 进行配方，得到a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++= 因此，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的开口方向、顶点坐标、对称轴，最值，增减性。
)0(2≠++=a c bx ax y 开口方向 对称轴 顶点坐标a>0 向上 直线a b x 2-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22a<0 向下三、课堂训练1、例题：用配方法把7422+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式，写出抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴。
2、用公式法写出抛物线25212-+-=x x y 的开口方向，对称轴和顶点坐标。
3、练习题四、小结归纳 1．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像的画法； 2. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的性质3. 配方思想五、作业设计教师引导：观察图像，认识抛物线的变化趋势.师生一起将)0(2≠++=a c bx ax y 进行配方，学生结合已有知识，观察、思考、讨论，归纳总结出一般结论，教师补充完善. 师生共同总结。
学生谈本节课体会，教师做出归纳总结，并留有学生质疑时间，师生共同解答。
学生从配方后得到的形式中找出抛物线的对称轴和定点坐标，然后重新列表画图.学生经历两次列表，画图，感受只是发生发展形成过程，加深对配方法的重要性的理解与认识.通过由特殊到一般的认识过程，有效的揭示一般形式的二次函数的一般规律.及时运用所学知识，了解学生的学习效果.通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识巩固所学知识，形成一定的数学能力课题 26.1 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像和性质抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 配方 )0(2≠++=a c bx ax y 配方216212+-=x x y的顶点坐标、对称轴教 学 反 思。
二次函数y=ax2 bx c的图象和性质(第二课时)教案
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第二课时）教案一、知识目标通过用待定系数法求二次函数解析式的探究，让学生掌握求二次函数解析式的方法。
二、能力目标能灵活的根据条件恰当地选择解析式的模式，体会二次函数解析式之间的转化。
三、情感价值观从学习过程中体会学习函数知识的价值，从而提高学习函数知识的兴趣。
四、教学重点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式五、教学难点在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用待定系数法求二次函数的函数关系式来解决生活中的实际问题六、教学过程活动一：复习引入，提出问题1、某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时高度为4m．水平距离为10m时球首次与地面接触，设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．建立如图的平面直角坐标系，请判定此球能否准确投中？2、已知一次函数的图象经过点A（－1，0），B（1，2）求此一次函数的解析式.一说你是怎么做的吗？（课件显示解答过程）问：以上求解析式的方法我们称为____ _____，它主要的做法是.活动二：探索新知，解决问题问：1、二次函数y=ax2+bx+c中有几个待定系数？求解析式就是求什么呢？2、一般由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应该满足什么条件呢？①如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式，如果不能，请思考为什么？②如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式，如果不能，请思考为什么？③如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（0，1）（1，2）三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式，如果不能，请思考为什么？④如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）（3，0）三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式，如果不能，请思考为什么？你认为具备怎样的条件就能唯一确定一个一般的二次函数的解析式呢？.例题示范例1：一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三个点（1）求这个二次函数的解析式（2）求这个二次函数的顶点坐标和对称轴.课堂练习：1、一个二次函数，当自变量x ＝0时，函数值y ＝－1，当x ＝－2与21时，y ＝0.求这个次次函数的解析式.2、一个二次函数的图象经过（0，0），（－1， －1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式.请同学们用本节课所学的知识来解决活动1的问题。
北师大版数学九年级下册《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》教案3
北师大版数学九年级下册《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》教案3一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质》是北师大版数学九年级下册的一章内容。
本章主要让学生了解二次函数的图象特点，掌握二次函数的性质，并能运用二次函数解决实际问题。
本节课是本章的第三课时，主要讲解二次函数的图象与性质。
教材通过例题和练习题，引导学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数和代数的基础知识，对二次函数有一定的了解。
但是，对于二次函数的图象与性质，部分学生可能还存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生直观地理解二次函数的图象与性质，提高学生的数学思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解二次函数的图象特点，掌握二次函数的性质，并能运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索二次函数的图象与性质。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与性质。
2.难点：二次函数的图象与性质的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和练习，引导学生直观地理解二次函数的图象与性质。
2.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳二次函数的图象与性质，培养学生的数学思维能力。
3.小组合作学习：引导学生互相讨论、交流，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的图象与性质的课件，以便进行直观教学。
2.练习题：准备一些有关二次函数图象与性质的练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象与性质的话题，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）利用课件，展示二次函数的图象与性质，引导学生直观地了解二次函数的图象特点。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(教案)
本节课的核心素养目标包括：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过观二次函数图像，推理出二次函数的性质，理解并掌握二次函数图像与系数之间的关系；
2.增强学生的数据分析观念，通过解析二次函数图像数据，培养学生对数据的敏感性和分析问题的能力；
3.提升学生的空间想象力和几何直观，借助二次函数图像，训练学生从二维图像中抽象出几何性质和关系，形成直观的数学理解；
举例：讲解图像的平移（左加右减，上加下减）和缩放（横向缩放：x轴方向除以a；纵向缩放：y轴方向乘以a）对二次函数的影响。
（4）对于不同系数的二次函数图像的识别和分析。
举例：通过多个具有不同系数的二次函数图像，训练学生快速识别并分析其性质。
在教学过程中，教师应针对这些教学难点和重点，有针对性地进行讲解和强调，采用适当的教学方法，如实例演示、互动讨论、小组合作等，帮助学生突破难点，确保学生对核心知识理解透彻。
- b、c的值影响抛物线的位置。
2.探索并掌握二次函数图像的性质，包括对称轴、顶点、最小（大）值等；
-对称轴：x=-b/2a；
-顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b^2)/(4a))；
-最值：当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
3.通过图像和性质的学习，解决实际问题，如最值问题、交点问题等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像和性质的重要性及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》教学设计5
二次函数的图像和性质一．内容和内容解析1.内容二次函数的图像和性质2.内容解析本节课在讨论了二次函数的图像和性质的基础上对二次函数的图像和性质进行研究。
主要的研究方法是通过配方将向转化，体会知识之间内在联系。
在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究和的情况，再从特殊到一般得出的图像和性质。
二．学情分析在本节课前，学生已经探究过二次函数的图像和性质。
面对形如的二次函数，要想到将其转化为的形式，这种化归思想是学生学习经验中所欠缺的。
再将通过配方化为时，学生由于不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次方程与配方为顶点式混淆。
三．教学目标1.理解二次函数与之间的联系，体会转化思想。
2.通过图像了解二次函数的性质，体会数形结合思想。
四．教学重难点1.重点：从图像平移变换的角度认识型二次函数的特征。
2.难点：如何想到将 转化为的形式来研究它的图像和性质。
五．教学准备 课件 六．教学过程1.探索二次函数216212+-=x x y 的图像和性质问题1 如何研究二次函数216212+-=x x y 的图像和性质？追问1：你研究过哪种形式的二次函数的图像和性质 （1）2ax y = (2)()k h x a y +-=2追问2：你打算如何研究二次函数21622+-=x x y 的图像和性质？追问3：如何将216212+-=x x y 转化成()k h x a y +-=2的形式? 216221+-=x x y()()()[]()3621662142363612214212212222+-=+-=+-+-=+-=x x x x x x 追问4：你能画出二次函数216212+-=x x y 的图象了吗？将221x y =的图像向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度。
问题2 如何直接画216212+-=x x y 的图象？ 追问：如何描点更有针对性？对称性描点 如取（5,3.5）和（7,3.5）；（4,5）和（8,5）.如上右图。
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三、【典型例题剖析】
1 2
3 例1 已知二次函数 y x • X ? —，回答下列问题. 2
2
(1)将这个二次函数化为 y =a(x -h)2的形式；
⑵写出这个二次函数的顶点坐标和对称轴，并指出增减性和最值； (3)x 取何值时，y>0? x 为何值时，y<0?
1 3 1 3 1
解析:(1)y = 一丄x 2 +x +? = --(x 2 —2x)+2 =-丄(X _1)2+2
2 2 2 2 2
⑵顶点：(1,2).对称轴x=1，当x<1时，y 随x 的增大而增大；当 x>1时，y 随
x 的增大而减小.其函数有最大值，值为
2.
1 2
3 (3)'
- x x 0 为--1, X 2=3
2
2
•••当-1<x<3 时，y>0; 当 x<-1 或 x>3 时，y<0. 举一反三：已知抛物线y=-2x 2-5x+7.
(1)求该抛物线的对称轴和顶点；
⑵当x 为何值时，函数y 取最大值(最小值)?最大值(最小值)是多少？ (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大？ x 取何值时，y 随x 的增大而减小？ 例2已知一抛物线经过(1,4),(-3,4),(-2,-5)
三点，求这条抛物线的解析式
•
解析：设所求抛物线的解析式为 y = ax 2 ■ bx c(a 尸0) •••抛物线过点(1,4),(-3,4),(-2,-5)
a+b+c=4 "a = 3 《9a —3b +c =4 解得 «b=6
•抛物线的解析式为 y=3x 2+6x —5
、4a —2b+c = —5
c = -5
1
举一反三：已知一个二次函数，当 x=0时，y=0，当x=2时，丫二三，当x =-1时，
1
y='，求这个二次函数的解析式
.
8
-. . . . a . 4. -4 ■. ■ JI « r ■ —a-L . » . ■ 一 ■ MI ■ ■ L b t - ― iftiJL d I -l.a I s * if . t'Sh' 1 7=^4 -J* fcl J
]]一拱桥的截面呈抛物线形状，如图所示”抛物线两端点与水面的距离都是1 HU 拱
设二次函数y —¥+4工7的图象与工轴交于冲上两点，顶点为U 距离水面
■enr**.
玉拋物线的图象如图所示；根据图象可知，抛物线的解析式可能是 < : 4.已知潭F/+虹的图象如图所示，则尸的图象一定过 (
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11有一离抛物线形狀的拱桥，当水位涨至AB 时，水面AB 的宽度为14米■如果水位 再上升4米，就到达警戒水
位CD •这时的水面的覽度是10米.
(1)建立玄角坐标系、求抛物线的解析式中
课堂练习 课堂练习
本课小结
腰満栽物资的轮船’轮船露出水面的部分足矩形.且閒为1，5米，宽为2米，则轨韶疼頃注-L过之『才剋超芒映窃1 / 3
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