第7讲 函数的三要素
高三数学函数的概念
1 u 1 v D f u , g v 1 u 1 v
2.关于函数（映射）定义
例2、集合 A 3,4, B 5,6,7 ，那么从A→B的映射 有 9 个，从B→A的映射 8 个,从B→A，且A中 每个元素都有原像的映射有 6 个，。
变式一
设集合A和B都是自然数集合N，映射f： A→B 把集合A中的元素n映射到集合B中的元素 2n+n，则在映射f下，像20的原象是 4 .
2 ( x 1 ) ,x 1 练习2.（2004. 人教版理科）设函数 f ( x ) ， 4 x 1, x 1
7 1求f f f =1 2若f a 3, 求 a的值. 1.5或 4 6
函数的概念与表示
高三备课组
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射 法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有 唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B 以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射， 记作f：A→B。 （2） 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映 射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的 象，a叫做b的原象。
参考答案：1
（A）1
2 2 2 （B）1, （C） 1, （D） 2 2 2
x 2( x 1) 已知函数 f x 2 x(1 x 2) 练习1： x2 x 2 2
、则使得 f ( x ) 1的自变量的取值范围为（B ） ,2 0,1 B、 ,2 0,10 A、 xC、 ,2 1,10 D、 2,0 1,10
D f x log
ax a
(a 0, a 1),
C语言第七讲 函数(2)
21
一、变量的存储空间分配概念
变量定义位置 变量的作用域 空间 （变量的使用范围）
变量的存储类别变量的生存期 时间
26
局部变量
二、变量的作用域——
局部变量(local variable)与全局变量(global variable)
例
void swap( ) { int t,x,y; t=x;x=y;y=t; } main() { int x=3,y=5; printf("x=%d,y=%d\n",x,y); swap( ); printf("x=%d,y=%d\n",x,y); }
斐波那契数列的递归方法实现。计算并输出斐波 那契数列的前7个数据。
1 当n =0, 1时
fib(n) =
fib(n-1)+ fib(n-2) 当n > 1时
int fib(int n) { if(n==0||n==1) return 1; else return fib(n-1)+fib(n-2); }
10
void main() { int n; for(n=11;n<=99;n++) if( absoluteprime(n) ) printf("%d\t",n); } /*判断一个数是否为绝对素数*/ int absoluteprime (int n) /*函数定义*/ { if(prime(n)==0) return 0; else if(prime(invert(n))==1) return 1; else return 0; }
函数三要素的确定(2)-课件
（2）当1t 3时，路程 S 所对应的集合为
S 260 S 760.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域. (1) x R;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
当
x
1 2
时，
y
0；
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x
2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
(1) x R; (2) x 2,4; (3) x 1,4.
解：画出二次函数 f x x2 2x 3的图象，在
不同条件下求出值域
（1） y 2,; （2） y 3,11;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
为S 260,385,760.
解：高铁所行驶的路程S 与时间t的对应关系为
S 250t 10，
（1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
为S 260,385,760.
（2）当1 t 3时，
解：高铁所行驶的路程 S 与时间t 的对应关系为 S 250t 10， （1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
函数的三要素复习公开课
三.易错点辨析
3.求函数的单调区间
例：函数 f (x) ln( x2 2x 8)的单调递增区间是 _____
定义域优先：要使函数有意义，则x2 2x 8 0，得x (,2) (4,) 取定义域内二次函数的递增区间即可 内层二次函数对称轴为x 1,所以f (x)递增区间为（4， ）
三、易错点辨析
4.复合函数和抽象函数的定义域
例：已知 f (x)的定义域为[0,1]，求函数 y f x2 f x 4 的定义域 3
分析1 4 3
4 3
解得x [1,0]
四、分组讨论，展示评价
1. f (x) log（ 2 ax 1)(a 0)的定义域为（ ,1），则a的值是 ____
分析：易知 f (x)定义域为[a,)，则[2,) [a,) a 2
三.易错点辨析 2.定义域和值域在集合中的应用
例：已知A {x | y x2 2x 3}, B {x | y lg（x -1）},则A B ________ 分析：集合A和B中代表元素均为x，则A, B分别表示两个函数的定义域 易得：A [1,3] B (1,),则A B (1,3]
五、真题闯关
1（. 16全国文）下列函数中，定义域和值域分别与y 10lg x的定义域和值域都相同的是( ) A.y x B.y lg x C.y 2x D.y 1
x
3（. 15山东理）已知f (x) ax b(a 0, a 1)定义域和值域是[1,0], 则a b ______
高一数学：函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。
【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。
（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。
【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。
函数的三要素
第一章函数第一讲函数的概念【知识归纳】(1) 映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；(2) 映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).（3）函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.（4）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.【经典例题】例1 以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？（1）集合A = {P | P 是数轴上的点}，集合B = R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P 是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y ) | x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x 是三角形}，集合B = {x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x 是新华中学的班级}，集合B = {x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.练1 已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由： （1）A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；（2）A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； （3）A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；（4）A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.例21. 函数y = f (x )表示（ ）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．f (x )一定是解析式C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ( )A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2+ 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2(x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.x y o x y o x y o x y o第二讲 函数的定义域【知识归纳】1.函数的定义域：函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x 的取值。
函数的三要素方法总结
一、考点自我梳理：1.函数的概念设A、B 是__________，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的_______数x，在集合B 中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称_______为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的_______；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合_________叫做函数的值域．值域是集合B 的______。
两个函数为同一函数的条件:1._________________2._________________2.函数的定义域：（1）定义：________________________________________________________；（2）求函数定义域的主要依据：①分式的分母不能为________；②偶次方根的被开方数必须________；③零的________次方无意义；负分数指数幂的底数_______④对数函数的底数必须______，真数必须______⑤实际问题中的函数定义域要根据自变量的实际意义确定。
⑥反函数的定义域由_________2、求函数解析式的常用方法:求值域的常用方法:请同学们对本节所学知识归纳总结后，画出知识树：二、自主体验：1.设{}{}02,02M x x N y y =≤≤=≤≤给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N的函数关系的有（）2.下列各组函数是同一函数的是()①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x ；③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (x )＝t 2－2t －1.A．①②B．①③C．③④D．①④3.已知f(x),g(x)分别由下表给出则f[g(1)]+g[f(2)]=_________x 123g(x)321x 123f(x)211知识树：我的疑问：我的收获与发现：4.函数y=log 2(1-x)的图象是()A.B.C.D.5.(2012全国大纲卷文)函数1)y x =≥-的反函数为（）（A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y （C ）)0(12≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y 6.(2012重庆文)设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈>{|()2},N x R g x =∈<则M N 为（）（A）(1,)+∞（B）（0，1）（C）（-1，1）（D）(,1)-∞7.(08江西理)若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()1()F x f x f x =+的值域为（）A ．[21，3]B ．[2，310]C ．[25，310]D ．[3，310]8.(2009辽宁文、理)已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1(3f 的x 取值范围是（A）（13，23）(B)［13，23）(C)（12，23）(D)［12，23）______32)(.92的单调增加区间是++-=x x x f _____,8)(2)1(.10==-=-a a f x x x f 则且已知11.（2019全国2改编）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则f(x)解析式为____________三．典例探究探究点（一）求函数的定义域例1：根据下列函数图像分别确定函数的定义域和值域规律方法总结:_______________________________________________________________的定义域：求函数例)1lg(6122++++-=x x x y 例3：已知等腰三角形ABC 的周长为10，设底边长为y,腰长为x，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为______的定义域求函数的定义域是）若函数（的定义域，求函数的定义域为若函数：例)12(],3,2[)1()(]1,0[)()1(42-=-+=x f y x f x f x f y 2 反思小结：出由定义复合函数定义的取值范围中与中的③的取值范围的定义域是②的取值范围定义域是①_______解域应的)]([其],域[的若已知______)()]([)(___)]([___)(x g f ，b a f(x)x g x g f x x f x g f x f 例5：已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域。
函数三要素
高中数学函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则。
每个要素里掌握的方向不一样。
定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些，下面一一介绍。
一、定义域1、具体函数定义域，主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义。
2、抽象函数的定义域，此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。
通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题，既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求。
二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）。
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。
(4)消去法（构造方程组法）：已知f(x)与fx(1)或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数。
（2）反解法。
（3）配方法。
（4）不等式法。
（5）单调性法。
（6）换元法。
（7）数形结合法。
（8）导数法。
专题05 函数 5.1函数的三要素 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
则 M∪∁RN＝[﹣2，1）．
故选：A．
考点 2.抽象函数定义域
3．若函数 f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数 f（x）的定义域是
【解答】解：∵函数 f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，
即﹣1≤x≤2，
∴﹣2≤2x≤4
∴﹣1≤3﹣2x≤5
[﹣1，5] ．
高中数学一轮复习讲义
，
�
�
1−�2
�
得到�(�) =
所以�(�) =
1
�
1−(1�)2
=
�
，
�2−1
�
（x≠0，x≠±1）．
�2−1
1
1
1
（2）f（x+ ）＝x2+ 2 = (� + )2 − 2，
�
�
�
所以 f（x）＝x2﹣2（x≥2 或 x≤﹣2）．
6．已知 f（3x）＝4xlog23+10，则 f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于
，解得﹣1≤x≤1．
−1 ≤ 1 − � ≤ 2
∴函数 y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．
故选：C．
考点 3.已知定义域求参
5．已知函数 f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是
∞）
．
9
（ ，+
8
【解答】解：根据条件可知 ax2+3x+2＞0 恒成立，
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据．
1、函数的定义、表示及三要素(最新 )
1. 函数的定义设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 与之对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x f y =，A x ∈.其中x 叫自变量，它的取值范围叫做函数的定义域；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()a f y =或a x y =，所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．☆ 函数的三要素：定义域、对应关系和值域;其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系一确定，则值域也就确定了.2. 映射 设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()x f ，于是y =()x f ，x 称作y 的原象．映射f 也可以记为B A f →:，→x ()x f ，其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象()x f 构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作()A f ．3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．4．函数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必须是“一一对应关系”．5．函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种．列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 图象法：对于函数()x f y =（A x ∈）定义域内的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应．把这两个对应的数构成有序实数对()y x ,作为点P 的坐标，即P ()y x ,，则所有这些点的集合F 叫做函数()x f y =的图象，即{}(,)|(),F P x y y f x x A ==∈．这就是说，如果F 是函数()x f y =的图像，则图像上的任一点的坐标()y x ,都满足函数关系()x f y =；反之，满足函数关系()x f y =的点()y x ,都在图象F 上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．解析法：如果在函数()x f y =, A x ∈中，()x f 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）．6．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如⎩⎨⎧≤+>-=0,230,12x x x x y 、423-+=x y 等．7．求函数定义域：在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围．①分母不为零；②偶次方根下非负；③对数函数真数大于零；④0x y =，0≠x . 研究函数时常会用到区间的概念：定义名称 符号数轴表示{}b x a x ≤≤ 闭区间 []b a ,{}b x a x << 开区间 ()b a ,{}b x a x <≤ 半开半闭区间 )[b a ,{}b x a x ≤<半开半闭区间](b a ,例题1：求下列函数的定义域（1）()43-=x xx f （2）()2x x f =（3）()2362+-=x x x f （4）()14--=x x x f☆ 如何判断两个函数是否为同一个函数：①看定义域是否相同，如果相同再看对应关系（解析式）是否一样.例题2：下列哪一组中的函数()x f 与()x g 相等？（1）()1-=x x f ， ()12-=xx x g （2）()2x x f =， ()()4x x g =（3）()2x x f = ， ()36x x g =例题3:画出下列函数的图象，并写出函数的定义域和值域.（1）x y 3= （2）xy 8=（3）54+-=x y （4）762+-=x x y例题4：已知函数()62-+=x x x f . （1）点（3，14）在()x f 的图象上吗？ （2）当4=x 时，求()x f 的值； （3）当()2=x f 时，求x 的值.例题5：已知()12+=x x f ，则()()1-f f 的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5例题6:已知函数()x f 的定义域为()0,1-，则函数()12+x f 的定义域为（ ）A.()1,1-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C.()0,1- D.⎪⎭⎫⎝⎛1,21例题7:用区间表示下列数集： （1）{}=≥1x x （2）{}=≤<42x x （3）{}=≠->21x x x 且 例题8:求下列函数的值域.（1）()1123≤≤-+=x x y ； （2）()x x f -+=42（3）x x y 422+--=例题9:已知函数()2211x x x f -+=.（1）求()x f 的定义域； （2）若()2=a f ，求a 的值；（3）求证：()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1求函数解析式(1) 配凑法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式，一般也可以用换元法；例题1：已知函数()x x x f 21+=+，求()x f ；例题2：已知函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f ；(2) 换元法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式；例题3：已知()x x f 2sin cos 1=-，求()x f 的解析式.(3) 待定系数法求函数解析式:已知所求函数类型；例题4：已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ，求()x f .(4) 方程组法求函数解析式：已知()x f 和⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的关系式或者()x f 和()x f -的关系式.例题5：已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()112-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x f ，求()x f ；函数的单调性与最值1、函数单调性定义：设函数()x f 在区间I 上有定义，如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间I 上单调递增；如果对于这个区间上任意两个点和 ，当21x x <时，恒有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间I 上单调递减；单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.如果函数()x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.2、最值：对于任意的I x ∈,都有()M x f ≤或者()N x f ≥,这个N M 和便是函数()x f 在区间I 上的最大值和最小值. 用定义法判断函数的单调性 例题1：已知函数()12-=x x f []()6,2∈x ，求函数的最大值和最小值.例题2：用定义法判断函数()12++=x x x f 在区间)(∞+-,1上的单调性.函数单调性的等价定义对于定义在D 上的函数()x f ，设1x ，D x ∈2，21x x <，则有： （1）()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是D 上的单调递增函数； （2）()()[]()()x f x x x f x f ⇔>-⋅-02121是D 上的单调递增函数； （3）()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是D 上的单调递减函数； （4）()()[]()()x f x x x f x f ⇔<-⋅-02121是D 上的单调递减函数.2x 1x 1x 2x函数的奇偶性一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数.（偶函数的图象一定是关于 对称）一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数()x f 就叫做奇函数.（奇函数的图象一定是关于 对称） 判断函数的奇偶性方法：1.不对称：函数()x f 为非奇非偶函数；2.对称例题8:判断下列函数的奇偶性.（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()xx x f 1+= （4）()21xx f = （5）()1122-+-=x x x f （6）()2433xx x f -+-=()x f y =求出定义域判断定义域是否关于原点对称 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧①()()x f x f =-，则()x f 为偶函数 ②()()x f x f -=-，则()x f 为奇函数③若以上两个式子都不满足，则()x f 为非奇非偶函数④若以上两个式子都满足，则()x f 既是奇函数又是偶函数函数。
函数的三要素详细讲义
一 函数定义域1：直接求定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③xy 111+=④()02112++-=x x y ⑤ ()()()lg 12f x x x =--⎡⎤⎣⎦ ⑥29)1ln(1x x y -+-=答案: 1.[3,3-] 2. { x|4133≥-≤<-->x x x 或或} 3. {()()()+∞⋃-⋃-∞-,00,11,.} 4. { x|122,22-≠≥-≤x x x 且} 5.{ x|21<<x } 6.{]3,2()2,1(⋃} 2：间接求定义域：1、已知)(x f 的定义域为[0，1]，求)(2x f 的定义域。
2、已知)1(+x f 的定义域为[-2，3），求)21(+xf 的定义域 3、已知)(x f 的定义域为[a ，b]，且0>->a b ，求函数)()()(x f x f xg --=的定义域。
4、已知()f x 的定义域是[]0,1，则()22f x x --的定义域为5 、若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 6．若函数()21f x mx mx =++定义域为R ，则m 的取值范围是7. 若)(μf y =的定义域为[]2,0，则)(ln x f 的定义域是8、函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域9、已知)(x f 的定义域为[0，1]，求)()(a x f a x f -++的定义域。
二 值 域（1）分离常数法 1、求函数125x y x -=+的值域 2、求函数21+-=x x y 的值域 3、函数x xy +=1的值域（2）判别式法：（约束条件的---分离常数法）（注意讨论x 平方前的系数）1、求函数22122+-+=x x x y 的定义域 2、求函数2211x y x -=+的值域3、函数11++=x x y 的值域 4、求函数132222++++=x x x x y 的值域（3）图象法-----数形结合1、求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域（4）换元法1、求函数x x y 21--=的值域2、求函数212y x x =+-的值域3、求函数x x y -+=12的值域4、求函数[])1,0(239∈+-=x y xx的值域 （5）几何意义法 (系数是1的绝对值函数：系数不是1的绝对值函数—零点分段法)1、求函数11-++=x x y 的值域2、求函数13+--=x x y 的值域。
函数的概念-三要素的求法(整理版)
函数的概念,三要素的求法一、函数的概念：1． 函数的概念：函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 记作：y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（ ） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.2.映射x y o x y o x y o xy o映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则（a ）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示； （2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？（1）1()2f x x =-；（2）()32f x x =+；（3）1()12f x x x =++-.（4）3212+=x y（5）1||142-+-=x x y（6）||13x x x y +-=求函数的定义域的类型： 一、 含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
函数的三要素
函数的三要素复习专题学习目标：1. 了解构成函数的概念及其三要素,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
一、函数1．定义：2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有 、 、 。
类型一：函数的概念例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. 1,x y y x== B. 211,1y x x y x =-+=- C. 33,y x y x == D. 2||,()y x y x ==变式训练1：下列函数中，与函数y=x 相同的函数是 （ ）A.y=xx 2 B.y=(x )2 C.y=lg10x D.y=x 2log 2 变式训练2： 已知集合{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，再给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是（ ）变式训练3： 已知下列几组函数，其中表示同一函数的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个①()()2,f x x g x x ==； ②()()33,f x x g x x ==；③()()21,11x f x g x x x -==-+； ④()()211,1f x x x g x x =-⋅+=-； 典型例题基础过关⑤()221f x x x =--，()221g t t t =--．类型二：解析式的七种方法：1、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f2、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
函数的三要素
函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式 ；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。
初中复习方略数学第七讲 一元二次方程
1．一元二次方程二次项系数不为 0. 2．找各项系数时，要将方程化为一般形式，并注意每项的符号．
解一元二次方程
解法
形式
直接
x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝
开平方法
p(p≥0，m≠0)Fra bibliotek配方法
(x－m)2＝n(n≥0)
公式法
ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－ 4ac≥0)
因式分解法
(x－x1)(x－x2)＝0
D．有两个不相等的实数根
2．(2021·广安中考)关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2－3x＋1＝0 有实数根，
则 a 的取值范围是( A )
A．a≤14 且 a≠－2
B．a≤41
C．a＜14 且 a≠－2
D．a＜41
3．(2021·济宁中考)已知 m，n 是一元二次方程 x2＋x－2 021＝0 的两个实数根，
【例题变式】某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的
每天销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销
售量的四组对应值如下表所示：
销售单价 x(元/千克)
55 60 65 70
销售量 y(千克)
70 60 50 40
(1)求 y(千克)与 x(元/千克)之间的函数表达式．
第七讲 一元二次方程
知识清单·熟掌握
一元二次方程的有关概念 1．定义的三要素： (1)只含有___一___个未知数． (2)所含未知数的最高次数是___2___ ． (3)必须是__整__式__方程． 2．一般形式：y＝ __a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a，b，c是常数，a≠0)，a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项． 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边_相__等___的未知数的值．
函数的概念(定义域,值域,解析式)
讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
函数的三要素 PPT
思考：如果构成一个函数，需要具备几个条件？
定义域 函数的三要素 值域
对应关系
练习:
1.判断下列对应是否为数集A到数集B的一个函
数A ： B
A
B
A
B
A
B
1
1
1
11
1
2 3
2 1
3
2
1
3Hale Waihona Puke 222 332 3
4
4
4
3
44
4
(1) 不是
(2) 不是
(3) 是
(4) 是
记C= {f(x)|x∈A}，则C____B
2. 下列图象能表示函数图象的是（D ）
y
0
x
(A) y
0
x
(C)
y
0
x
(B) y
00
x
(D)
都有
任意一个数x
称
唯一确定的数f(x)和它对应
，在 ，那么就
f: A→B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 ， 记 作
y=f(x),x∈A.
设A，B是非__空__的__数__集___，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任__意__一__个__数__x__，在集合B中都 有_唯__一__确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从_集__合__A_到__集_合__B__的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自__变__量___，x的取值范围A叫做函数的 _定__义__域__；与x的值相对应的y值叫做函__数__值___，函数 值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值__域___.
1 初中函数的概念
2 自变量和因变量 目
函数三要素
一、 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（ ） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。
2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。
3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。
4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。
例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。
1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。
3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
例3： 1） 已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。
2） 已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。
函数三要素部分的数学小故事
函数三要素部分的数学小故事函数r=a(1-sinθ)图像这个心形函数图像相信很多人都见过，这个图像的解析式是:r=a(1-sinθ)。
今天就带大家走进这个函数背后的故事，让大家感受一下数学的浪漫。
那是一个宁静的午后，在斯德哥尔摩的街头一位头发有些花白的中年人，沐浴在阳光中研究着数学问题，静静地享受着午后的时光，这个人就是笛卡尔，52岁的他身无分文，只能过着乞讨的生活，生性清高的笛卡尔从不开口乞求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。
笛卡尔正潜心演算数学题，突然发现自己的书上多了个人影，扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的脸庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，一身洁白的长裙在阳光的映衬下随风飘动，仿佛是一位天使来到人间，她就是瑞典的小公主克里斯汀。
此时的笛卡尔看着她却一句话也说不出来。
这时候她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，询问他一些关于数学函数三要素的问题，笛卡尔耐心给她讲解，在这个过程中笛卡尔发现这个小姑娘不仅思维敏捷，而且对数学有着浓厚的兴趣。
他们相谈甚欢不知不觉天色渐渐晚了，在仆人的催促下克里斯汀依依不舍地离开了笛卡尔。
几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师，满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到从远处传来熟悉的笑声，转身一看竟是前几天在街头偶遇的女孩，这才明白过来，笛卡尔慌忙行礼却被公主拦了下来，并说到；“哪有老师向学生行礼的，还请老师入座吧”，接着又聊起了数学问题。
从此，他就成了公主的数学老师。
公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间的关系也开始变得亲密起来。
笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。
通过它就可以让代数和几何结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何的雏形。
在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。
每天和笛卡尔形影不离，这也使他们彼此产生了爱慕之心。