计数原理基本知识点

计数原理基本知识点

1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法

3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫

做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示

5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）

6 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．

7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从

n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．

．用符号m n C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m m

n n

m m A n n n n m C A m ---+== 或)!

(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；

12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n

C

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++

+++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

5．二项式系数的性质：

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2

n r =是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n

n

C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1

2n n C -，1

2n n

C +取得最大值． （3）各二项式系数和：

∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，

令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =+++

+++

［特别提醒］

1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1r n r r r n T C a b -+=，注意()n a b +与()n

b a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外

二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指r n C ，而后

者是指字母外的部分。

2．在使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=时，要注意：

（1）通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项.

（2）展开式中第r +1项的二项式系数C r

n 与第r +1项的系数不同.

（3）通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n .