高中数学必修一简单的幂函数公开课优质课比赛获奖课件
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则 0，则 f (x) 不过 (0, 0) .
图像性质
例2.（3）幂函数 f (x) (m2 m 1)xm2m3 在 (0, ) 上单调递增，求 f (x).
解析：由题意知
m2 m 1 1 m2 m 3 0
，则 m 3
所以 f (x) x3
小试牛刀
练一练：幂函数 f (x) (m2 2m 2)xn22n3(n N ) 在
且 f (x) (x)4 x4 f (x)，
所以 y x4 为偶函数，又 4 0， 所以 y x4 在 (0, ) 单调递增，
故草图如右图所示：
奇偶性
练一练：结合函数奇偶性画下列函数的草图
1
（1）y x3
（2）y x2
1
（3）y x 4
小结归纳
这节课我们主要学习了 （1） 简单幂函数的概念和特点 （2）判断函数奇偶性的方法和步骤 （3） 奇(偶)函数图像特点
若 f (x) 为奇函数，则对函数定义域内任意一个x，都有 f (x) －f (x) 若 f (x) 为偶函数，则对函数定义域内任意一个x，都有 f (x) f (x)
函数奇偶性定义：
一般地，如果对于函数f (x) 的定义域内任意一个x， 都有 f (x) －f (x), 那么函数 f (x) 叫奇函数。
⑤ y = x3
⑥ y 2x
2.已知点
(2, 1 ) 在幂函数
4
f (x)
的图像上.
求 f (x) 的解析式。
f (x) x2
图像性质
例1 画出函数 y x3 的图像，讨论其单调性.
列表
描点连线后图像如图所示.
由图可知 y x3 的单调性是 R上的增函数！
图像性质
简
单
幂
函
数
的
图
像
R
R
R
(,0) U(0, )
与
性
质
(1,1)
1
1
图像性质 例2.（1）比较 30.2 与 0.2 的大小
解析：函数 f (x) x0.2在 (0, )上单调递增
Q3 30.2 0.2
（2）幂函数 f (x) x 满足 f (2) f (8)，则 f (x) 是否过 (0, 0) ？
解析：Q f (2) f (8) 幂函数 f (x) x 在 (0, )上单调递减.
北师大版必修一第二章 函数
简单的幂函数
问题导入
我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支____y__x_____元. y是x的一次函数
(2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积__y___x_2 . y 是x的二次函数
(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积__y__x_3__. y是x的三次函数
且 f (x) (x)3 x3 －f (x)，
所以 y x3为奇函数，又 3 0， 所以 y x3在 (0, ) 单调递减，
故草图如右图所示：
奇偶性
例3.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
解析：（3）函数的定义域为 R，定义域关于原点对称，
一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x 都有 f (x) f (x),那么函数 f (x) 就叫偶函数。
奇偶性
判断函数的奇偶性的步骤： 第一步：考查定义域是否关于原点对称，若不 对称，则该函数不具有奇偶性；若对称，则进 行第二步的判断。 第二步：法一、求出f (－x) ，若f (－x) = －f (x)则该 函数是奇函数；若 f (－x) = f (x) ，则该函数是偶函 数；否则函数是非奇非偶函数。
探究新知
幂函数的定义：
如果一个函数，底数是自变量 x， 指数是
常量 ，形如: y x
这样的的函数称为幂函数.
幂函数特征: 1.幂函数的系数是1； 2.底数是自变量，指数为常数.
概念强化
1.下列函数中，是幂函数的有 ③ ④ ⑤ _
① y = 2x2
② y = x2 + x
③ y = x－4
1 ④ y = x2
有些幂函数图像关于y轴对称，如 y x2 .
奇函数：像这样图像关于原点对称的函数叫做奇函数. 偶函数：像这种图像关于y轴对称的函数叫偶函数.
注意：奇（偶）函数可以不是幂函数，只需要图像关于
原点（y轴）对称即可，如 y x2 1为偶函数
奇偶性
？探索奇（偶）函数中 f (x) 与 f (x) 的关系
法二、对于容易画图象的函数也可利用 图象进行判断。
奇偶性
例4.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
解析：（1）函数的定义域为 [0, )，不关于原点对称，故为非奇非偶函数
（2）函数的定义域为 (, 0) U(0, )，定义域关于原点对称，
(4)如果某人 x s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度__y___x__1 _. y是x的反比例函数
1
(5)如果正方形的面积为x，那么正方形的边长_y___x_2_. y是x的开方函数
问题导入
思考：以上问题中的函数有什么异同？
1
y x y x2 y x3 y x1 y x2
共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是 常数，底数是自变量x。
作业 1、课本 习题2-5 A组 第2题
P55 10题
2.如图(1)，给出奇函数y＝f(x)的局部图象， 试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
如图(2)，给出偶函数y＝f(x)的局部图象， 比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴 右侧的图象．
谢谢
(0, )上单调递减，求 m，n，f (x) .
解析：由题意知
m2 2m 2 1
n
2
Байду номын сангаас
2n
3
0
，则
m 1 1 n 3
又 n N ，则 n 1 或 n 2
所以 m 1, n 1或2 ， f (x) x4 或 f (x) x3
奇偶性
观察幂函数的图像我们会发现：
有些幂函数图像关于原点对称，如 y x1，y x，y x3.
图像性质
例2.（3）幂函数 f (x) (m2 m 1)xm2m3 在 (0, ) 上单调递增，求 f (x).
解析：由题意知
m2 m 1 1 m2 m 3 0
，则 m 3
所以 f (x) x3
小试牛刀
练一练：幂函数 f (x) (m2 2m 2)xn22n3(n N ) 在
且 f (x) (x)4 x4 f (x)，
所以 y x4 为偶函数，又 4 0， 所以 y x4 在 (0, ) 单调递增，
故草图如右图所示：
奇偶性
练一练：结合函数奇偶性画下列函数的草图
1
（1）y x3
（2）y x2
1
（3）y x 4
小结归纳
这节课我们主要学习了 （1） 简单幂函数的概念和特点 （2）判断函数奇偶性的方法和步骤 （3） 奇(偶)函数图像特点
若 f (x) 为奇函数，则对函数定义域内任意一个x，都有 f (x) －f (x) 若 f (x) 为偶函数，则对函数定义域内任意一个x，都有 f (x) f (x)
函数奇偶性定义：
一般地，如果对于函数f (x) 的定义域内任意一个x， 都有 f (x) －f (x), 那么函数 f (x) 叫奇函数。
⑤ y = x3
⑥ y 2x
2.已知点
(2, 1 ) 在幂函数
4
f (x)
的图像上.
求 f (x) 的解析式。
f (x) x2
图像性质
例1 画出函数 y x3 的图像，讨论其单调性.
列表
描点连线后图像如图所示.
由图可知 y x3 的单调性是 R上的增函数！
图像性质
简
单
幂
函
数
的
图
像
R
R
R
(,0) U(0, )
与
性
质
(1,1)
1
1
图像性质 例2.（1）比较 30.2 与 0.2 的大小
解析：函数 f (x) x0.2在 (0, )上单调递增
Q3 30.2 0.2
（2）幂函数 f (x) x 满足 f (2) f (8)，则 f (x) 是否过 (0, 0) ？
解析：Q f (2) f (8) 幂函数 f (x) x 在 (0, )上单调递减.
北师大版必修一第二章 函数
简单的幂函数
问题导入
我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支____y__x_____元. y是x的一次函数
(2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积__y___x_2 . y 是x的二次函数
(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积__y__x_3__. y是x的三次函数
且 f (x) (x)3 x3 －f (x)，
所以 y x3为奇函数，又 3 0， 所以 y x3在 (0, ) 单调递减，
故草图如右图所示：
奇偶性
例3.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
解析：（3）函数的定义域为 R，定义域关于原点对称，
一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x 都有 f (x) f (x),那么函数 f (x) 就叫偶函数。
奇偶性
判断函数的奇偶性的步骤： 第一步：考查定义域是否关于原点对称，若不 对称，则该函数不具有奇偶性；若对称，则进 行第二步的判断。 第二步：法一、求出f (－x) ，若f (－x) = －f (x)则该 函数是奇函数；若 f (－x) = f (x) ，则该函数是偶函 数；否则函数是非奇非偶函数。
探究新知
幂函数的定义：
如果一个函数，底数是自变量 x， 指数是
常量 ，形如: y x
这样的的函数称为幂函数.
幂函数特征: 1.幂函数的系数是1； 2.底数是自变量，指数为常数.
概念强化
1.下列函数中，是幂函数的有 ③ ④ ⑤ _
① y = 2x2
② y = x2 + x
③ y = x－4
1 ④ y = x2
有些幂函数图像关于y轴对称，如 y x2 .
奇函数：像这样图像关于原点对称的函数叫做奇函数. 偶函数：像这种图像关于y轴对称的函数叫偶函数.
注意：奇（偶）函数可以不是幂函数，只需要图像关于
原点（y轴）对称即可，如 y x2 1为偶函数
奇偶性
？探索奇（偶）函数中 f (x) 与 f (x) 的关系
法二、对于容易画图象的函数也可利用 图象进行判断。
奇偶性
例4.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
解析：（1）函数的定义域为 [0, )，不关于原点对称，故为非奇非偶函数
（2）函数的定义域为 (, 0) U(0, )，定义域关于原点对称，
(4)如果某人 x s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度__y___x__1 _. y是x的反比例函数
1
(5)如果正方形的面积为x，那么正方形的边长_y___x_2_. y是x的开方函数
问题导入
思考：以上问题中的函数有什么异同？
1
y x y x2 y x3 y x1 y x2
共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是 常数，底数是自变量x。
作业 1、课本 习题2-5 A组 第2题
P55 10题
2.如图(1)，给出奇函数y＝f(x)的局部图象， 试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
如图(2)，给出偶函数y＝f(x)的局部图象， 比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴 右侧的图象．
谢谢
(0, )上单调递减，求 m，n，f (x) .
解析：由题意知
m2 2m 2 1
n
2
Байду номын сангаас
2n
3
0
，则
m 1 1 n 3
又 n N ，则 n 1 或 n 2
所以 m 1, n 1或2 ， f (x) x4 或 f (x) x3
奇偶性
观察幂函数的图像我们会发现：
有些幂函数图像关于原点对称，如 y x1，y x，y x3.