某些特殊的一阶微分方程的解法

解： 令ｙ＝ 代入方程（ ｕ － ｘ ） ｖ ＋
ｘｕｖ＝ｘ２ｖ２ 令 ｕ － ｘ ＝０，得 ｕ＝ａｘ，代入上式，得 ｖ
＝－ ｘ＋ｂ 所以原方程的通解为 ｙ＝ － ｘ２ ＋ ｃｘ（ｃ＝ａｂ） （５）利用变量替换求三种特殊类型的黎卡
提方程的初等解。
类型（一）形如 数）的方程
＝（ ）２＋ ＋ｋ（ｋ，ｎ为常
（１）令 ｖ＋ｐｕｖ＝０，解得 ｕ＝ａ
代入方程（１）得 ｖ＝
＋ｂ
所以原方程的通解为
ｙ＝ｕｖ＝ ｃ＝ａｂ）
［ｃ ＋
］（这里
方法二：作变换 ｙ＝ 则 ｖ２ｄｙ＝（ ｖ －
ｕ ）ｄｘ 将其代入方程得 ｖ － ｕ ＋ｐｕｖ＝ｑｖ２ 于
是（ ｖ＋ｐｕｖ）－（ｕ ＋ｑｖ２）＝０（１）
令 ｖ＋ｐｕｖ＝０ 解得 ｕ＝ａｅ －
２ｋ２ｐ ＝ｐ（ｙ＋ｋ）２＋ｑ（ｙ＋ｋ）－ ２ｋｐ（ｙ＋ｋ）＝ｐ（ｙ＋ｋ）
２＋（ｙ＋ｋ）（ｑ－２ｋｐ）
令 ｕ＝ｙ＋ｋ，则原程化为 ＝ｐｕ２＋（ｑ － ２ｋｐ）
ｕ 这是贝努里方程。 ＝ｐ（ｘ）＋
，
＝ － ｐ（ｘ）－
，令 ＝ｔ，
则 ＋（ｑ（ｘ）－２ｋｐ（ｘ））ｔ＝－ｐ（ｘ）其解为：
ｔ＝
［ｃ－
］
所以原方程的通解为
ｄｕ＝０
ｌｎｘ＋
ｄｕ＝ｃ
例 ２ 解方程 ＝ｆ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）
解：作变换 ｕ＝ａｘ＋ｂｙ＋ｃ，则 ＝ ａ＋ｂ
原方程化为 ＝ａ＋ｂｆ（ｕ） 分离变量两边积分得
＝ｘｄｘ＋ｃ 所以原方程的解为 ｌｎ［ ａ＋ｂｆ （ｕ） ］＝ｘ＋ｃ
（２）形如 ＝
方程中 ｆ（ｘ，ｙ）与 ｇ（ｘ，
ｙ）均含有 ｘ，ｙ 的幂函数，且 ｘ 与 ｙ 方幂之和相
等或它们可化为 函数，则此方程化为齐次方 程。
例３解方程 ｘｙｄｙ － ｙ２ｄｘ＝（ｘ＋ｙ）２ ｄｘ
解： ｘ ｙ ， ｙ ２， 均为二次齐次式。
作变换 ｙ＝ｘｕ，则方程化为（ｘ＋ｕｘ）２ ＋ ｕ ２ ｘ ２ｄｘ － ｕｘ２（ｕｄｘ＋ｘｄｕ）＝０，
原方程化为 （１＋ｕ２） ｄｘ＝ｘｕｄｕ，分离变
量两边积分得（ｘ＋ｙ）ｌｎｃｘ＝ｘ （３）利用变量替换ｙ＝ （ 适当选取）将某
关键词：一阶微分方程 变换 初等解法
中图分类号： Ｇ ６ ３ ３ ． ６
文献标识码： Ａ
文章编号：１６７３－９７９５（２００８）０２（ｂ）－００９８－０１
解决许多生产实际或科学技术中，有一类 函数方程不能直接找到所需要的函数关系，但 根据问题所 提供的条件，可以列出包含未知 函数的导数或微分，这就是微分方程。本文主 要介绍一阶微分方程的初等解法。
＝ｐ（ｘ） ＋ｋｘｐ（ｘ）ｕ 这是贝努里方程。
＝ｐ（ｘ）＋
＝ － ｐ（ｘ）－
，令 ＝ｔ，
则 ＋ ｋｘｐ（ｘ）ｔ＝ － ｐ（ｘ）
其解为：ｔ＝
［ｃ－
］
所以原方程的通解为
ｙ＝ｋｘ ＋
类型（三）形如 ＝ｐ（ｘ） ＋ｑ（ｘ）ｙ－ｋ２ｐ（ｘ）
＋ｋｑ（ｘ）（这里 ｋ 为常数）的方程 ＝（ｐ ＋２ｋｐｙ＋ｋ２ｐ）＋（ｑｙ＋ｋｑ）－ ２ｋｐｙ－
代入方程（１）得 ｖ＝
＋ｂ
所以原方程的通解为
ｙ＝ ＝
［ｃ ＋
］（这里
ｃ＝ａｂ） 例 ５ 解方程 ｙ － ｘ ＝ｘ２ 解：令ｙ＝ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）代入方程得（ｕ－
ｘ ）ｖ — ｘ ｕ＝ｘ２ 令ｕ－ｘ ＝０ 得 ｕ＝ａｘ，代入上式，
得 ｖ＝ － ｘ ＋ ｂ 所以原方程的通解为 ｙ＝ － ｘ２ ＋ ｃｘ（ｃ＝ａｂ）
中国科教创新导刊 ２００８ ＮＯ．０５ Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ 某些特殊的一阶微分方程的解法
科 教 研 究
董伟 （ 武汉市蔡甸区柏林中学 湖北武汉 ４ ３ ０ ２ ０ ５ ）
摘 要：本文叙述了几类能有初等解法的一解微分方程，主要是运用变量变换将微分方程化为可分离变量的方程齐次方程和贝努里方程。
ｙ＝ｕ — ｋ＝
－ｋ
参考文献
［１］ 王高雄，朱思铭，王寿．常微分方程（第二版） ［Ｍ］．高等教育出版社，１９８４．
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பைடு நூலகம்
中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
作变换 ｕ ＝ ， 所以 ｙ ＝ ｘ ｎｕ ， ＝ ｘ ｎ ＋ ｎｕ
＝ ＋ ｕ＝ ＋ ｕ ＋ ｋ，
于是 ＝ ＋ｋ
分离变量两边积分算出它的解，用 ｘ，ｙ 代 替其中的 ｕ ， 即得方程的通解。
类型（二）形如 ＝ｐ（ｘ） － ｋｘｐ（ｘ） ｙ＋ｋ （这里 ｋ 为常数）
作变换 ｕ ＝ ｙ－ｋｘ，于是 ＝ － ｋ，将其 代入方程 ， 则原方程化为
些形如 ＝ｆ（ｘ，ｙ）化为齐次方程。
例４解方程（ｘ２ｙ２ － ｘ）ｄｙ＋２ｙｄｘ＝０ 解： 作变换 ｙ＝ ， 得（ｘ ２ － ｘ ） ｄｕ＋２ ｄｘ＝０
取 ＝ ，得（ｘ２ － ｘｕ）ｄｕ － ４ｕ２ｄｘ＝０，令
ｕ＝ｘｚ，有（１ － ｚ）（ｚｄｘ＋ｘｄｚ）＝４ｚ２ｄｘ 即 原方程化为 （１ — ５ｚ２）ｄｘ＋ｘ（２－ｚ２）ｄｚ＝０ 分离变量原方程的通解为 ｙ２（５ － ｘｙ２）４＝ｃｘ４ （ ４ ） 利用变量替换求一阶线性微分方程
（１）方程中出现了形如ｆ（ｘｙ），ｆ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）， ｆ（ｘ ＋ｙ ）等形式的项时，作变量替换ｕ＝ｘｙ， ａｘ＋ｂｙ＋ｃ，ｘ＋ｙ，…
例 １ 解方程 ｆ（ｘｙ）ｙｄｘ＋ｇ（ｘｙ）ｘｄｙ＝０ 解： 作变换 ｕ ＝ ｘ ｙ ， 则 ｄ ｕ ＝ ｘ ｄ ｙ ＋ ｙ ｄ ｘ
原方程化为 ＋ 分离变量两边积分得
＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｑ（ｘ）的通解。大家知道一阶微分
方程 ＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｑ（ｘ）基本解法为常数变易法， 下面我们用变量替换的方法求它的解。
方法一：作变换 ｙ＝ｕ（ｘ）ｖ（ｘ） 则 ｄ ｙ ＝ ｖ ｄ ｕ ＋ ｕ ｄ ｖ ， 将其代入方程得 ｖ＋ｕ ＋ｐｕｖ ＝ｑ，于是（ ｖ＋ｐｕｖ）＋（ｕ － ｑ）＝０