高等数学定理及性质集锦
高中数学公式定理定律概念大全
１.1 集合的概念与运算（1）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；（2）常用数集： 自然数集：N 正整数集：*N 或N +整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1.2 子集（1）定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ，注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ （2）性质：①A A A ⊆⊆φ,；②若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆； ③若A B B A ⊆⊆,则A =B ；1.3 真子集 （1）定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）性质：①,A A φφ≠⊂；②若,A B B C ⊂⊂，则A C ⊂； 1.4 补集：（1）定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；（2）性质：A A C C U A C A A C A U U U U ===）（，， φ； 1.5 交集与并集 （1）交集：{|,且}AB x x A x B =∈∈性质：①φφ== A A A A , ②若B B A = ，则A B ⊆ （2）并集：{|,或}AB x x A x B =∈∈性质：①A A A A A ==φ , ②若B B A = ，则B A ⊆ 1.6 集合运算中常用结论 (1)U U AB A A B B A BC B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆（2）含n 个元素的集合的所有子集有n2个2.1 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系:3.1 简易逻辑真值表：p 或q ，同假为假，否则为真； p 且q ，同真为真, 否则为假； 非p ，真假相反。
3.2 四种命题（1）命题的四种形式： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ；逆否命题：若⌝q 则⌝p ； 注意：①互为逆否的两个命题是等价的；②“命题的否定”与“否命题”不同；（2）利用集合之间的包含关系判断命题之间的充要关系 设满足条件p 的元素构成集合A ， 满足条件q 的元素构成集合B①若A B ⊆，则p 是q 成立的充分条件； ②若A B =，则p 是q 的充要条件；③若A B ⊂，则p 是q 的充分不必要条件；④若,且A B B A ⊄⊄，则p 是q 的既不充分也不必要条件。
高等数学知识点归纳
六. 凹凸与拐点(必求导!):
1. y " 表格; ( f "(x0 ) 0 )
2. 应用: (1)泰勒估计; (2) f ' 单调; (3)凹凸.
七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)
(1)区别: *单变量与双变量?
* x [a,b] 与 x [a, ), x (, ) ?
(2)类型: * f ' 0, f (a) 0 ;
* f ' 0, f (b) 0
5
* f " 0, f (a), f (b) 0 ; * f "(x) 0, f '(x0) 0, f (x0) 0
(5)隐式(方程): F (x, y) 0
x x(t)
(6)参式(数一,二):
y
y (t )
(7)变限积分函数:
F(x)
x
f (x,t)dt
a
(8)级数和函数(数一,三): S (x) anxn, x n0
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); ( f (x) 单调 x0 , (x x0 )( f (x) f (x0 )) 定号)
f
(x)
;
f
'(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0) x x0
(1) f '(0) lim f (x) f (0) (注: lim f (x) A( f 连续) f (0) 0, f '(0) A )
x0
x
x0 x
(2)左右导:
高数定理定义归纳
2012年考研数学高数定理定义归纳第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f（x）≥K1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界；如果有f（x）≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f（x）在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理（极限的唯一性）数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中00（或A0（或f（x）>0），反之也成立。
函数f（x）当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f （x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。
一般的说，如果lim（x→∞）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f（x）的图形水平渐近线。
如果lim（x→x0）f（x）=∞，则直线x=x0是函数y=f（x）图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1（x）≥F2（x），而limF1（x）=a，limF2（x）=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim（x →0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
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( f o g )=f[g(x)].
1.3.4 函数的运算 设函数 f(x)，g(x)的定义域依次为 D1，D2，D=D1ÇD2¹Æ，则我们可以定义这两个函数 的下列运算：
(1)和(差) f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x)，xÎD； (2)积 f×g：(f×g)(x)=f(x)×g(x)，xÎD；
tan
-tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα tanα
cot
-cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα cotα
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映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射.
1.3 函数 1.3.1 函数 设数集 DÌ ¡ ，则称映射 f：D® ¡ 为定义在 D 上的函数，记为 y=f(x)，xÎD， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 Df，即 Df=D. 1.3.2 函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数 f（x）的定义域为 D，数集 X Ì D. 如果存在正数 M，使对任 一 xÎX，有|f(x)|£M，则称函数 f(x)在 X 上有界；如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x)在 X 上无界.即对任何 M，总存在 x1ÎX，使|f(x)|>M. (2)函数的单调性 设函数 y=f(x)的定义域为 D，区间 IÌD.如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)<f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)>f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. (3)函数的奇偶性 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称.如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=f(x) 恒成立，则称 f(x)为偶函数；如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=-f(x)恒成立，则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称. (4)函数的周期性 设函数 f(x)的定义域为 D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 xÎD 有 (x±l)ÎD，且 f(x+l)=f(x)，则称 f(x)为周期函数，l 称为 f(x)的周期. 1.3.3 反函数与复合函数
（word完整版）高等数学公式定理整理
（word完整版）⾼等数学公式定理整理⾼等数学公式定理整理1.01版本定理，公式整理仅⽤于参考，具体学习请多做题⽬以增进对知识的掌握。
蓝⾊为定理红⾊为公式三⾓函数恒等公式：两⾓和差tan αanα·ta+tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta-(1tan βa +(tan α=β)+tan(αcos αosα·s±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+和差化积]2β)-(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β)-(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α]2β)-(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α]2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α积化和差β)]-cos(α-β)+[cos(α21-=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21=cos αosα·c β)]-sin(α-β)+[sin(α21=cos αosα·s β)]-sin(α+β)+[sin(α21=sin αinα·c倍⾓公式（部分）：很重要！αtan -1αtan 2=tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α22sin αsinα·=sin2α22222⼀、函数函数的特性： 1.有界性：假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满⾜|f(x)|≤M 。
则称f （x ）是D 的有界函数。
如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的⽆界函数。
高数重要定理(高数上下)汇编
( x→∞)
则
lim
f (x) =
lim
f ′( x).
x→a F ( x) x→a F ′( x)
( x→∞)
( x→∞)
等价无穷小量替换（代换）定理： 在同一个极限过程,若α ∼α′, β ∼β′，则
limαβ
=limα β
′′=limαβ′=limβα′.
注：等价无穷小量代换一般只能用在整体乘、 除关系，而不能用在局部乘、除关系和整体加、 减关系.
和最小值.
(2)有界性:若 f (x)在[a,b]上连续，则 f (x)在[a,b]上有界. (3)介值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上可取到介于 它在[a,b]上最小值与最大值之间的一切值. (4) 零 点 定 理 ( 或 根 的 存 在 定 理 ): 若 f (x) 在 [a,b] 连 续 , 且 f (a)⋅ f (b)<0,则必∃ξ∈(a,b)，使 f (ξ )=0.
若C = 1，称α ( x), β ( x)是等价无穷小，记为α ( x) ∼ β ( x);
（4）无穷小量的阶:
若lim
α(x) [β ( x)]k
=C
≠ 0，称α ( x)是β ( x)
的k 阶无穷小量.
宝典公式： (1) limg(x)=0, lim gf ((xx))= A，则lim f (x)=0； (2) lim f (x)=0, lim f (x)= A≠0，则limg(x)=0；
α⎛
⎜⎜⎝
<β
⎞ ⎟⎟⎠
所围成的曲边扇形的面积
∫ A =
1 2
βr 2 (θ )dθ
α
.
高等数学公式定理(全)
高等数学公式定理(全)·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tan β)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tan β)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cos α·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sin α·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cos α·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
高等数学公式、定理全面版
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβα-+=--+=+βαβαβαβαβαβαβαβαtg tg tg ±=±=±±=±)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高中数学公式定理大全
高中数学公式定理大全有了这些，普通题、难题、偏题、怪题、竞赛题都不是问题，熟练掌握、灵活运用，大大提高解题效率、节省宝贵时间！公式：抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上bx再加上ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tan A^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*t anA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA ^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tan A^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC | e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)定理：1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a ／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
期末高数常用结论总结
期末高数常用结论总结1. 极限：极限是高等数学中最基本的概念之一。
极限可以用来描述函数在某点附近的性质。
常用结论有：- 函数极限的基本性质：唯一性、局部有界性、保号性等。
- 极限的四则运算法则：和、差、积、商等。
- 夹逼定理：如果有两个函数和一个数，满足在某点附近，一个函数小于等于这个数，另一个函数大于等于这个数，并且这两个函数的极限都为这个数，那么这两个函数的极限都为这个数。
2. 导数与微分：导数是描述函数变化率的概念，微分是导数的一个应用。
常用结论有：- 导数的四则运算法则：和、差、积、商等。
- 高阶导数的定义和性质：例如，二阶导数的性质、洛必达法则等。
- 高阶微分的定义和性质：例如，微分的和差中值定理等。
3. 积分与定积分：积分是某个函数的反函数，定积分是对一个函数在一个区间上的积分。
常用结论有：- 积分的基本性质：线性性、可积性等。
- 定积分的性质：例如，区间可加性、保号性等。
- 牛顿—莱布尼兹公式：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续并可微，则有∫[a,b] f'(x)dx = f(b) - f(a)。
4. 微分方程：微分方程是描述自然界现象的一种数学模型。
常用结论有：- 一阶线性微分方程的求解方法：分离变量法、齐次法、定积分法等。
- 二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法：特征方程法、常数变易法、欧拉方程等。
- 非齐次线性微分方程的求解方法：待定系数法、常数变易法等。
5. 级数：级数是数项级数的部分和无限求和。
常用结论有：- 级数的基本性质：和的唯一性、和的有界性等。
- 等比级数的求和公式：如果 |q| < 1，那么等比级数∑(n从0到∞)(a*q^n) 的和为 a / (1-q)。
- 幂级数的求和公式：如果幂级数的收敛半径 R > 0，则幂级数在收敛范围内可以逐项求和。
以上只是高等数学中的一部分常用结论，还有很多其他重要的结论无法一一列举。
这些常用结论在解题和应用中起到了非常重要的作用，帮助我们理解和掌握高等数学的知识。
大一高数知识点总结归纳
大一高数知识点总结归纳【大一高数知识点总结归纳】高等数学是大学阶段十分重要的一门基础学科，它涉及到许多重要的数学理论和方法。
在大一的学习过程中，我们接触到了许多高数的知识点，这些知识点对我们今后的学习和发展都具有重要的作用。
本文将对大一高数的知识进行总结归纳，以帮助我们更好地理解和掌握这些知识。
一、极限与连续1. 极限的概念与性质：极限的定义、左极限与右极限、无穷大与无穷小、极限运算的性质。
2. 连续函数与间断点：连续函数的定义、间断点的分类、间断点的性质。
3. 中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理。
二、导数与微分1. 导数的概念与性质：导数的定义、导数的几何意义、导数的运算法则。
2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
3. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的定义、高阶导数的计算、高阶微分的定义与计算。
4. 隐函数与参数方程求导：隐函数的导数与高阶导数、参数方程的导数与高阶导数。
三、积分与不定积分1. 不定积分的概念与性质：不定积分的定义、不定积分的运算法则。
2. 基本初等函数的不定积分：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的不定积分。
3. 定积分与定积分的计算：定积分的概念与性质、定积分的计算方法、变限积分。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式。
四、微分方程与应用1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、常微分方程与偏微分方程。
2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、一阶线性常微分方程。
3. 二阶常系数齐次线性微分方程：特征方程的求解、通解的求法。
4. 应用问题与数学模型：生物学、物理学、经济学等领域中的应用问题。
五、级数与幂级数1. 数列与级数：数列的极限、级数的定义与收敛性。
2. 常数项级数：等比级数与调和级数的性质与求和。
3. 幂级数与函数展开：幂级数的收敛半径、函数的幂级数展开。
4. 泰勒级数与麦克劳林级数：泰勒级数与麦克劳林级数的定义与求导。
高等数学知识点归纳
高等数学知识点归纳本文存在大量的格式错误，需要进行修正。
同时，文章结构混乱，需要重新组织和改写。
修正后的文章如下：数学是一门非常重要的学科，对于广东专插本学生来说，学好数学是非常必要的。
本文主要介绍数学中的数列函数和极限性质，以及常用结论和必备公式。
一、数列函数1.类型数列函数包括极限与连续、初等函数、分段函数、复合函数、隐式函数、参式函数、变限积分函数和级数和函数。
2.特征数列函数的特征包括单调性与有界性、奇偶性与周期性。
3.反函数与直接函数反函数与直接函数是数列函数中的两个重要概念，它们之间有着密切的联系。
二、极限性质1.类型极限性质包括数列极限、函数极限以及极限存在的条件。
2.无穷小与无穷大无穷小与无穷大是极限性质中的重要概念，需要掌握其定义和性质。
3.未定型未定型包括0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、∞^0、1^∞等情况，需要掌握其求解方法。
4.性质极限性质还有一些重要的性质，如有界性、保号性、归并性等，需要掌握。
三、常用结论常用结论包括数列求和、函数极限、极限存在的条件等，需要掌握并能够熟练应用。
四、必备公式必备公式包括等价无穷小和泰勒公式等，需要掌握并能够熟练应用。
总之，数学是一门非常重要的学科，需要广东专插本学生认真研究。
本文介绍了数列函数和极限性质，以及常用结论和必备公式，希望能够对广东专插本学生的研究有所帮助。
1-x+x^2/2+o(x^2);2(5)alpha(1+ x)=1+alpha x+x^2+o(x^2).1)e=1+x+x^2/2+o(x^2)五.常规方法:前提: 准确判断。
1.抓大弃小: 对于无穷大的情况，只保留最高阶的项，其余项可以忽略；对于无穷小的情况，只保留最低阶的项，其余项可以忽略。
同时，可以进行变量代换，如将x代换为t。
2.无穷小与有界量乘积: 如果一个无穷小与一个有界量相乘，那么它的极限仍为0.3.1处理: 对于一些特殊的情况，可以使用特定的方法进行处理，如sin x/x的极限为1.4.左右极限: 对于一些函数，其在左右极限处的极限值可能不同，需要分别计算。
高数定理大解析必背
高等数学定理大解析-考研必捋版（考研大纲要求范围+高数重点知识）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、数列的极限定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n +1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x) >0（或f(x) >0），反之也成立。
●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)= f(x0+0)，若不相等则lim f(x)不存在。
●一般的说，如果lim（x→∞）f(x)=c，则直线y=c是函数y = f(x)的图形水平渐近线。
如果lim（x→x0）f(x)=∞，则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。
高数公式定理大全
高数公式定理大全一、导数和微分1.导数的定义：如果函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在x0处的导数为：f'(x0) = lim(x→x0) (f(x) - f(x0))/(x - x0)。
2.常见函数的导数：（1）幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)。
（2）指数函数的导数：(a^x)' = a^x ln(a)，其中a是一个正实数。
（3）对数函数的导数：(ln x)' = 1/x。
（4）三角函数的导数：- (sin x)' = cos x。
- (cos x)' = -sin x。
- (tan x)' = sec^2 x。
- (cot x)' = -csc^2 x。
- (sec x)' = sec x tan x。
- (csc x)' = -csc x cot x。
3.高阶导数：函数f(x)的n阶导数可表示为：f^(n)(x) 或 d^n f / dx^n。
4.微分的定义：函数f(x)在点x0处的微分为：df = f'(x0) dx。
5.微分的性质：（1）微分与导数的关系：df = f'(x) dx。
（2）微分的加法性质：d(u + v) = du + dv。
（3）微分的乘法性质：d(uv) = u dv + v du。
（4）微分的链式法则：如果 y = f(u) 和 u = g(x)，则 dy/dx = dy/du * du/dx。
二、积分1.定积分的定义：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上有定义，且在[a, b]上可积，则记作∫(a→b) f(x) dx，表示从a到b的f(x)在x轴正方向的面积。
2.基本积分公式：（1）幂函数的积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
（2）三角函数的积分：- ∫sin x dx = -cos x + C。
高等数学定理及性质集锦
专升本高数定理及性质集锦1、数列极限的存在准则定理1（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件：（1），（2），则定理2 若数列{x n}单调有界，则它必有极限。
2、数列极限的四则运算定理（1）（2）（3）当时，推论：（1）（2），（3）3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。
反之，如果左、右极限都等于A，则必有。
4、函数极限的定理定理1（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。
定理2（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：（1），（2），则有。
5、无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。
6、等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。
7、重要极限Ⅰ8、重要极限Ⅱ是指下面的公式：9、（2）（3）10、函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。
定理1（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）±g（x）在x0处连续，（2）f（x）·g（x）在x0处连续（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。
定理2（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续。
定理3（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）11、闭区间上连续函数的性质在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。
高等数学性质定理
高等多元函数微分性质一☹(有界性和最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值.性质二☹(介值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.性质三☹(一致连续性定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必定在D 上一致连续定理 如果函数z=f(x,y)的二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
（即二阶混合偏导数在连续条件下的求导与次序无关）全微分的定义如果函数z=f(x,y)在点（x,y ）全增量∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)可表示为)(ρo +∆+∆=∆y B x A z其中A.B 不依赖于y x ∆∆.，而仅与x.y 有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而y B x A ∆+∆称为函数z=f(x,y)在点（x,y ）的全微分，记作dz ，即dz=y B x A ∆+∆定理（全微分必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数x z ∂∂，yz∂∂必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为dz=y yz x x z ∆∂∂+∆∂∂ 定理（全微分充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏导数x z ∂∂，yz∂∂在点(x,y)连续，则函数在该点可微分。
多元复合函数的求导法则1. 复合函数的中间便量均为一元函数的情形定理一 如果函数u=ϕ(t)及v=ψ（t ）都在点t 可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[ϕ(t),ψ(t)]在点t 可导，且有vdtzdvudt zdu dt dz ∂∂+∂∂= 2. 复合函数的中间便量均为多元函数的情形定理二 如果函数u=ϕ(x,y)及v=ψ（x,y ）都在点(x,y)具有对x 及对y 的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)可导，且有xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂3. 复合函数的中间便量既有一元函数，又有多元函数的情形 定理三 如果函数u=ϕ(x,y)在点(x,y)具有对x 及对y 的偏导数，函数v=ψ（y ）在点y 可导，函数z=f(u,v)在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则复合函数z=f[ϕ(x,y),ψ(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在，且有x u u z x z ∂∂∂∂=∂∂，yv vz y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 全微分形势不变性 设函数z=f(u ，v ）具有连续偏导数，则有全微分dz=dv vzdxu u z ∂∂+∂∂ 如果u 、v 又是x 、y 的函数数u=ϕ(x,y)及v=ψ（x,y ），且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数z=f[ϕ(x,y),ψ(x,y)]的全微分为dz=dy yz dx x z ∂∂+∂∂ 隐函数存在定理一 设函数F(x,y)在点P （οοy x ,）的某一邻域内具有连续偏导数，且F （οοy x ,）=0，F y （οοy x ,）≠0，则方程F （x,y ）=0在点（οοy x ,）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x),它满足条件)(0o x f y =，并有yx F F dx dy-= 隐函数存在定理二 设函数F(x,y,z)在点P （000,,z y x ）的某一邻域内具有连续偏导数，且F （000,,z y x ）=0，F y （000,,z y x ）≠0，则方程F （x,y,z ）=0在点（000,,z y x ）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数y=f(x,y),它满足条件),(000y x f z =，并有z x F F x z-=∂∂,zy F F y z -=∂∂隐函数存在定理三 设函数F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P （0000,,,v u y x ）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，且F （0000,,,v u y x ）=0，G （0000,,,v u y x ）=0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）式）；vG u G v Fu F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(则点P （0000,,,v u y x ）不等于零，则方程组F(x,y,u,v)=0、G(x,y,u,v)=0在点（0000,,,v u y x ）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数u=u （x,y ）,v=v(x,y),它满足条件),(),,(000000y x v v y x u u ==，并有vu v u v x vx G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u x u xu G G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u v y vy G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u y u yu G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1,重积分二重积分定义 设f(x,y)是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分成n 各校闭区域,,,21n σσσ∆⋅⋅⋅∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点（i i ηε,），作乘积f （i i ηε,）i σ∆(i=1,2,3…,n)并作和∑=∆ni i i f 1),(σηε，如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记作⎰⎰Dd y x f σ),(，即∑⎰⎰=→∆=ni iiDd y x f 1),(lim ),(σηεμσλ二重积分的性质 性质一 设βα.为常数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([性质二 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和。
高数定理大解析必背
高等数学定理大解析-考研必捋版（考研大纲要求范围+高数重点知识）第一章函数与极限1、函数(de)有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界；如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界.函数f(x)在定义域内有界(de)充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界.2、函数(de)单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、数列(de)极限定理(极限(de)唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同(de)极限.定理（收敛数列(de)有界性）如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界. 如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,（-1）n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛(de)必要条件而不是充分条件.定理（收敛数列与其子数列(de)关系）如果数列{xn}收敛于a,那么它(de)任一子数列也收敛于a.●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同(de)极限,那么数列{xn}是发散(de),如数列1,-1,1,-1,（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散(de)；同时一个发散(de)数列(de)子数列也有可能是收敛(de).4、函数(de)极限函数极限(de)定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关.定理（极限(de)局部保号性）如果lim(x→x0)时f(x)=A,而且A>0（或A<0）,就存在着点那么x0(de)某一去心邻域,当x在该邻域内时就有f(x)> 0（或f(x)>0）,反之也成立.●函数f(x)当x→x0时极限存在(de)充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等则limf(x)不存在.●一般(de)说,如果lim（x→∞）f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)(de)图形水平渐近线.如果lim（x→x0）f(x)=∞,则直线x=x0是函数y=f(x)图形(de)铅直渐近线.5、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小(de)乘积是无穷小；常数与无穷小(de)乘积是无穷小；有限个无穷小(de)乘积也是无穷小；定理如果F1（x）≥F2（x）,而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.6、极限存在准则●两个重要极限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1.●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立.●单调有界数列必有极限.7、函数(de)连续性●设函数y=f(x)在点x0(de)某一邻域内有定义,如果函数f(x)当x→x0时(de)极限存在,且等于它在点x0处(de)函数值f(x0),即lim（x→x0）f(x)=f(x0),那么就称函数f(x)在点x0处连续.●不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim （x→x0）f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim（x→x0）f(x)存在,但lim（x→x0）f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断.●如果x0是函数f(x)(de)间断点,但左极限及右极限都存在,则称x0为函数f(x)(de)第一类间断点（左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点）.非第一类间断点(de)任何间断点都称为第二类间断点（无穷间断点和震荡间断点）.●定理有限个在某点连续(de)函数(de)和、积、商（分母不为0）是个在该点连续(de)函数.●定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续,那么它(de)反函数x=f(y)在对应(de)区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加或减少且连续.反三角函数在他们(de)定义域内都是连续(de).●定理（最大值最小值定理）在闭区间上连续(de)函数在该区间上一定有最大值和最小值.如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值.●定理（有界性定理）在闭区间上连续(de)函数一定在该区间上有界,即m≤f(x)≤M.●定理（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号（即f(a)×f(b)<0）,那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)(de)一个零点,即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0.●定理（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间(de)端点处取不同(de)值f(a)=A,f(b)=B,那么对于A与B之间(de)任一数C,在开区间（a,b）内至少有一点ξ使f(ξ)=C,（a<ξ<b）.●推论在闭区间上连续(de)函数必取得介于最大值M与最小值m之间(de)任何值.第二章导数与微分1、导数存在(de)充分必要条件●函数f(x)在点x0处可导(de)充分必要条件是在点x0处(de)左极限lim（h→-0）[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim（h→+0）[f(x0+h)-f(x0)] /h都存在且相等,即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等.2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导.即函数在某点连续是函数在该点可导(de)必要条件而不是充分条件.3、原函数可导则反函数也可导,且反函数(de)导数是原函数导数(de)倒数.4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微(de)充分必要条件是函数在该点处可导.第三章中值定理与导数(de)应用1、定理（罗尔定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内可导,且在区间端点(de)函数值相等,即f(a)=f(b),那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b）,使(de)函数f(x)在该点(de)导数等于零：f’(ξ)=0.2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内可导,那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b）,使(de)等式f(b)-f(a)=f’(ξ)（b-a）成立即f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b -a）.3、定理（柯西中值定理）如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内可导,且F’(x)在（a,b）内(de)每一点处均不为零,那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ,使(de)等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立.4、洛必达法则应用条件●只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式.5、函数单调性(de)判定法●设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内可导,那么：（1）如果在（a,b）内f’(x)>0,那么函数f(x)在[a,b]上单调增加；（2）如果在（a,b）内f’(x)<0,那么函数f(x)在[a,b]上单调减少.●如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在(de)点外导数存在且连续,那么只要用方程f’(x)=0(de)根及f’(x)不存在(de)点来划分函数f(x)(de)定义区间,就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.6、函数(de)极值●如果函数f(x)在区间（a,b）内有定义,x0是（a,b）内(de)一个点,如果存在着点x0(de)一个去心邻域,对于这去心邻域内(de)任何点x,f(x) <f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)(de)一个极大值；如果存在着点x0 (de)一个去心邻域,对于这去心邻域内(de)任何点x,f(x)>f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)(de)一个极小值.●在函数取得极值处,曲线上(de)切线是水平(de),但曲线上有水平曲线(de)地方,函数不一定取得极值,即可导函数(de)极值点必定是它(de)驻点（导数为0(de)点）,但函数(de)驻点却不一定是极值点.●定理（函数取得极值(de)必要条件）设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0(de)导数为零,即f’(x0)=0.●定理（函数取得极值(de)第一种充分条件）设函数f(x)在x0一个邻域内可导,且f’(x0)=0,那么：（1）如果当x取x0左侧临近(de)值时,f’(x)恒为正；当x去x0右侧临近(de)值时,f’(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值；（2）如果当x取x0左侧临近(de)值时,f’(x)恒为负；当x去x0右侧临近(de)值时,f’(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值；（3）如果当x取x0左右两侧临近(de)值时,f’(x)恒为正或恒为负,那么函数f(x)在x0处没有极值.●定理（函数取得极值(de)第二种充分条件）设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么：（1）当f’’(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值；（2）当f’’(x0)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值；●驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点.7、函数(de)凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续,如果对任意两点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]< [f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凹(de)；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸(de).●定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内具有一阶和二阶导数,那么（1）若在（a,b）内f’’(x)>0,则f(x)在闭区间[a,b]上(de)图形是凹(d e)；（2）若在（a,b）内f’’(x)<0,则f(x)在闭区间[a,b]上(de)图形是凸(de).●判断曲线拐点（凹凸分界点）(de)步骤（1）求出f’’(x)；（2）令f’’(x)=0,解出这方程在区间（a,b）内(de)实根；（3）对于（2）中解出(de)每一个实根x0,检查f’’(x)在x0左右两侧邻近(de)符号,如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定(de)符号,那么当两侧(de)符号相反时,点（x0,f(x0)）是拐点,当两侧(de)符号相同时,点（x0,f(x0)）不是拐点.●在做函数图形(de)时候,如果函数有间断点或导数不存在(de)点,这些点也要作为分点.第四章不定积分1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F（x）,使对任一x∈I都有F’（x）=f(x)；简单(de)说连续函数一定有原函数.●分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数(de)乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数(de)幂降低一次.如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数(de)乘积,就可设对数和反三角函数为u.2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它(de)原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数.第五章定积分1、定积分解决(de)典型问题（1）曲边梯形(de)面积（2）变速直线运动(de)路程2、函数可积(de)充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积,即连续=>可积.●定理设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积.3、定积分(de)若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上(de)最大值和最小值,则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上(de)最大值及最小值可以估计积分值(de)大致范围.●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ,使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）.4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a<c<b）外连续,而在点c(de)邻域内无界,如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx都收敛,则定义∫abf(x) dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x) dx发散.第六章定积分(de)应用1、求平面图形(de)面积（曲线围成(de)面积）●直角坐标系下（含参数与不含参数）●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成(de)面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx,其中f(x)指曲线(de)方程）●平行截面面积为已知(de)立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）●功、水压力、引力●函数(de)平均值（平均值y=1/(b-a)∫abf(x)dx）第七章多元函数微分法及其应用1、多元函数极限存在(de)条件极限存在是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x0,y0）时,函数都无限接近于A,如果P（x,y）以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P 0（x0,y0）时,即使函数无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数极限存在.反过来,如果当P（x,y）以不同方式趋于P0（x0,y0）时,函数趋于不同(de)值,那么就可以断定这函数(de)极限不存在.例如函数：f(x,y)={0 (xy)/(x^2+y^2) x^2+y^2≠02、多元函数(de)连续性●定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义,P0（x0,y0）是D(de)内点或边界点且P0∈D,如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)则称f(x,y)在点P0（x0,y0）连续.●性质（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上(de)多元连续函数,在D上一定有最大值和最小值.●性质（介值定理）在有界闭区域D上(de)多元连续函数,如果在D 上取得两个不同(de)函数值,则它在D上取得介于这两个值之间(de)任何值至少一次.3、多元函数(de)连续与可导如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴(de)方向趋于P0时,函数值f (P)趋于f(P0),但不能保证点P按任何方式趋于P0时,函数值f(P)都趋于f(P0).4、多元函数可微(de)必要条件一元函数在某点(de)导数存在是微分存在(de)充分必要条件,但多元函数各偏导数存在只是全微分存在(de)必要条件而不是充分条件,即可微=>可偏导.5、多元函数可微(de)充分条件定理（充分条件）如果函数z=f(x,y)(de)偏导数存在且在点(x,y)连续,则函数在该点可微分.6多元函数极值存在(de)必要、充分条件定理（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0, y0)处有极值,则它在该点(de)偏导数必为零.定理（充分条件）设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)(de)某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=0=A, fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值(de)条件如下：（1） AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值；（2） AC-B2<0时没有极值；（3） AC-B2=0时可能有也可能没有.7、多元函数极值存在(de)解法（1）解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0求(de)一切实数解,即可求得一切驻点.（2）对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数(de)值A、B、C. （3）定出AC-B2(de)符号,按充分条件进行判定f(x0,y0)是否是极大值、极小值.注意：在考虑函数(de)极值问题时,除了考虑函数(de)驻点外,如果有偏导数不存在(de)点,那么对这些点也应当考虑在内.第八章二重积分1、二重积分(de)一些应用●曲顶柱体(de)体积●曲面(de)面积（A=∫∫√[1+f2x(x,y)+f2y(x,y)]dσ）●平面薄片(de)质量●平面薄片(de)重心坐标（x=1/A∫∫xdσ,y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D(de)面积.●平面薄片(de)转动惯量（Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ,Iy=∫∫x2ρ(x,y) dσ;其中ρ(x,y)为在点(x,y)处(de)密度.●平面薄片对质点(de)引力（FxFyFz）2、二重积分存在(de)条件当f(x,y)在闭区域D上连续时,极限存在,故函数f(x,y)在D上(de)二重积分必定存在.3、二重积分(de)一些重要性质●性质如果在D上,f(x,y)≤ψ(x,y),则有不等式∫∫f(x,y)dxdy≤∫∫ψ(x,y)dxdy,特殊地由于-|f(x,y)|≤f(x,y)≤|f(x,y)|又有不等式|∫∫f(x,y)dxdy|≤∫∫|f(x,y)|dxdy.●性质设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上(de)最大值和最小值,σ是D(de)面积,则有mσ≤∫∫f(x,y)dσ≤Mσ.●性质（二重积分(de)中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续,σ是D(de)面积,则在D上至少存在一点（ξ,η）使得下式成立：∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)σ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中(de)转换●把二重积分从直角坐标系换为极坐标系,只要把被积函数中(de)x, y分别换成ycosθ、rsinθ,并把直角坐标系中(de)面积元素dxdy换成极坐标系中(de)面积元素rdrdθ.。
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专升本高数定理及性质集锦
1、数列极限的存在准则
定理1（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件：
（1），（2），则
定理2 若数列{x n}单调有界，则它必有极限。
2、数列极限的四则运算定理
（1）
（2）
（3）当时，
推论：（1）
（2），（3）
3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是
这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。
反之，如果左、右极限都等于A，则必有。
4、函数极限的定理
定理1（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。
定理2（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）
满足条件：
（1），（2），则有。
5、无穷小量的基本性质
性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。
6、等价无穷小量代换定理：
如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。
7、重要极限Ⅰ
8、重要极限Ⅱ是指下面的公式：
9、（2）（3）
10、函数在一点处连续的性质
由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。
定理1（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则
（1）f（x）±g（x）在x0处连续，
（2）f（x）·g（x）在x0处连续
（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。
定理2（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续。
定理3（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）
11、闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。
定理1（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。
定理2（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。
定理3（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得
f（ξ）=C.
12、零点定理如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，
b]内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0.
13、初等函数的连续性
定理初等函数在其定义的区间内连续。
利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则
f（x）在x0处连续
也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。
14、可导与连续的关系
定理如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。
15、由上一个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。
16、导数的计算
a、导数的四则运算法则
设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有
（1）（u±v）'=u'±v'
（2）（u·v）'=u'·v+u·v'
（3）（cu）'=c·u'
（4）
（5）
（6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w'
b、复合函数求导法则
如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为
同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则复合函数y=f[φ（ψ（x））]的导数为
c、反函数求导法则
如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数
17、微分的计算
dy=f′(x)dx
求微分dy只要求出导数f′(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。
于是有下列的微分公式及微分法则：
（1）d（c）=0（c为常数）
（2）（为任意实数）
（6）d（e x）=e x dx
（7）d（sin x）=cos xdx
（8）d（cos x）=-sin xdx
（17）d（c·u）=cdu
18、微分形式不变性
设函数y=f(u)，则不论u 是自变量还是中间变量，函数的微分dy 总可表示为 dy=f′(u)du
19、常用的换元类型有：
被积函数类型
所用代换
代换名称 正弦代换
正切代换 22(,)R x x a -
sec x a t =
正割代换
n t ax b =+
根式代换
20、定积分的基本性质
（1）。
（k 为常数）。
（2）。
（3）。
（4）如果f （x ）在区间[a, b]上总有f （x ）≤g （x ），则。
（5）
（6）设M 和m 分别为f （x ）在区间[a, b]上的最大值和最小值，则有
（7）积分中值定理 如果f （x ）在区间[a, b]上连续，则在区间[a, b]上至少存在一点，使得
21、变上限定积分求导定理
1.变上限定积分定义:：定义积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。
变上限定积分是积分上限x的函数，记作，一般有
2.变上限定积分求导定理
定理如果函数f（x）在区间[a, b]上连续，则有
推论①，②
③
22、计算定积分
1.牛顿——莱布尼茨公式
如果f(x)在区间[a,b]上的连续，且，则有
推论：(1)若f(x)为奇函数，则
(2)若f(x)为偶函数，则
2、定积分的分部积分法
23、定积分的应用
1.计算平面图形的面积
(1)X型：曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直线x=a,x=b(a≤b)所围成的平面图形的面积A 为。
(2)Y型：曲线和直线y=c,y=d(c≤d)，所围成的平
面图形的面积A为。
2.旋转体的体积
(1)X型由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积
(2)Y型由连续曲线和直线y=c,y=d(c<d)及y轴所围成的平面图形
绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积
24、全微分
25、二元隐函数
设三元方程F(x,y,z)=0确定隐函数z=z(x,y)，如果F(x,y,z)对x,y,z存在连续偏导数，且，则z对x、y的偏导数为。