初高中数学衔接：第一讲 十字相乘法进行因式分解
初高中衔接数学及参考答案
数 学代数部分第一讲 乘法公式一、知识要点1．平方差公式： 22()()a b a b a b +-=-﹒ 2．完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+；2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++﹒3．立方和公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+﹒ 4．立方差公式： 2233()()a b a ab b a b -++=-﹒ 5．完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-﹒二、例题选讲例1、填空（1）=++-)9)(3)(3(2x x x _______________﹒ 解：原式=81)9)(9(422-=+-x x x ﹒ （2）=+--22)2()12(x x ______________﹒解：原式=383)44(144222--=++-+-x x x x x x ﹒ 例2、已知31=+xx ，求下列各式的值： （1）221x x +；（2）331xx +﹒ 解：（1）21112)1(22222++=+⋅⋅+=+xx x x x x x x Θ，7292)1(1222=-=-+=+∴x x xx ﹒ (2) 18)17(3)11)(1(12233=-⨯=+-+=+x x x x x x ﹒例3、已知2x y +=，求代数式336x y xy ++的值． 解：33226()()6x y xy x y x xy y xy ++=+-++2222(3)2()8x xy y xy x y =-++=+=﹒例4、 已知8,9,x y y z -=-=试求代数式222x y z xy yz xz ++---的值． 解：8,9,17x y y z x z -=-=∴-=Q ，2222221(222222)2x y z xy yz xz x y z xy yz xz ∴++---=++---22222211[()()()](8917)21722x y y z x z =-+-+-=++= 三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．计算=+-++-++-))(())(())((a c a c c b c b b a b a _________． 2．计算22()2()()()x y x y x y x y +-+-+-= ． 3．2200620082004-⨯= ． 4．已知2510x x -+=，则221x x += ． 5．计算16842321)13)(13)(13)(13(⋅-++++= ．6．计算222222221234562009201012345620092010----++++++++L +201220112012201122+-﹒7．已知2a c b +=+，则222222a b c ab bc ac ++--+= ．8．已知2x y -=，求代数式336x y xy --的值．9．已知1,3x y xy -==，试求下列各式的值： （1）22;x y +（2）33.x y -第二讲 因式分解一、知识要点1．因式分解：把一个整式化为几个整式的乘积形式． 2．因式分解的基本方法：（1）提公因式法 )(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法 常见公式有：①22()()a b a b a b -=+-， ②2222()a ab b a b ±+=±， ③3322()()a b a b a ab b ±=±+m ， ④3223333()a a b ab b a b ±+±=±，⑤2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++， （3）十字相乘法：2()()()x a b x ab x a x b +++=++ （4）配方法、添项拆项法，分组分解法 二、例题选讲例1、 因式分解：（1）244x x -+ ；（2）38x -；（3）33)2()2(a y a x ---﹒ 解：（1）244x x -+2(2)x =-（2）38x -3322(2)(24)x x x x =-=-++（3）33)2()2(a y a x ---=)()2()2()2(333y x a a y a x +-=-+-例2 、因式分解（1）256x x -+；（2）2215x x --；（3）26136x x -+﹒ 解：（1）256x x -+(2)(3)x x =--；（2）2215x x --(25)(3)x x =+-； （3）26136x x -+(23)(32)x x =--﹒例3、 因式分解225636x xy y x y -+-+ 解：225636x xy y x y -+-+(2)(3)3(2)x y x y x y =----(2)(33)x y x y =---例4、因式分解523325a ab a b b --+ 解：523325a ab a b b --+233233()()a a b b a b =---3322()()a b a b =-- 222()()()a b a b a ab b =-+++三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．将下列各式分解因式： （1）32x x y -__________________________________________________________________ （2）44-x__________________________________________________________________ （3）33125x y -__________________________________________________________________ （4）1322+-x x__________________________________________________________________ （5）2(1)x a x a -++__________________________________________________________________（6）32331a a a +++__________________________________________________________________ （7）222221a b ab a b ++--+__________________________________________________________________ （8）22122512x xy y ++__________________________________________________________________ （9）2226x xy y x y ++---__________________________________________________________________ 2．已知25a b -=，346a b +=，求多项式22328a ab b --的值．第三讲 因式定理一、知识要点定理1（因式定理）：若a 是一元多项式)(0111是非负整数n a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--的根，即00111=++⋅⋅⋅++--a a a a a a a n n n n ，则多项式0111a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--有一个因式a x -.根据因式定理，找出一元多项式的一次因式的关键是求出该多项式的一个根，对于任意的多项式，求出它的根是没有一般方法的，然而对于整系数多项式常用下面的定理来判定它是否有有理根。
初升高衔接一一十字相乘法分解因式
初升高衔接一一十字相乘法分解因式因式分解是高中数学常用的变形方式，它能把一个多项式化为几个整式的积。
在以下几个方面应用广泛：1、求解一元二次方程，一元二次不等式常用因式分解2、用定义法证明函数单调性，变形时常用因式分解3、此较大小和不等式证明中，作差后常用因式分解判定符号4、函数求导后因式分解判定符号5、初中数学解决一元二次多项式因式分解局限于二次项系数为1，而高中数学常常是二次项系数不是1，且含有多个字母。
6、因式分解方法很多，这节专讲“十字相乘法'。
“十字相乘法'分解因式，方法是“拆两头凑中间，横写加法，因式相乘”。
题型一、二次项系数为1的二次三项式X^2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)例：题型二、二次项系数≠1的二次三项式因式分解。
思路探寻：以二次项系数是正数为例(如果二次项系数是负教，可以提一个负号变为正数)，二次项分解为两个正因数的积，常数项是正数时，分解为两个同号因数的积，符号与一次项系数符号相同;如果是负数，分解为两个异号因数的积，绝对值较大的数的符号与一次项系数符号相同。
题型三、含有两个字母的二次三项式的因式分解思路探寻：把其中任意一个字母当作“主”元，另一个当作一个数，然后写成“主'元降幂排列的二次三项式。
分解方法仍然是“拆两头，凑中间。
横写加法，因式相乘。
'只是记住写上字母。
题型四、“双十字相乘法”“双十字相乘法”指用此法两次。
方法一、①前三项结合分解成两个因式的积;②把这两个因式当作两个数，再用十字相乘法。
因为有两个字母，所以凑中间时一定要检验每一个字母的系数是否相同。
方法二、把其中一个字母当做“主元”，然后按“主元”降幂排排列写成二次三项式，这时常数项是另外一个字母的二次三项式。
先对常数项用十字相乘法分解，把分解后的两个因式当作两个数再次用“十字相乘法”分解。
题型五、转化为用“十字相乘法”分解的形式。
①分解因式ab+b^2+a一b一2=b^2+(a一1)b+(a一2)思路探寻：转化为关于b的二次三项式，再用“十字相乘法'分解。
第01讲 因式分解之十字相乘法 (解析版)
第1讲 因式分解之十字相乘法一、知识回顾1. 因式分解的概念【思考】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．x 2+2x +3＝（x +1）2+2B ．15x 2y ＝3x •5xyC ．2（x +y ）＝2x +2yD ．x 2+6x +9＝（x +3）2【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是：①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．【解答】解：A 、x 2+2x +3＝（x +1）2+2，等式的右边不是几个整式的积，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、15x 2y ＝3x •5xy ，等式的左边不是一个多项式，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、2（x +y ）＝2x +2y 是整式乘法，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；D 、x 2+6x +9＝（x +3）2，是因式分解，故此选项符合题意；故选：D ．2. 运用提公因式法和公式法进行因式分解【思考】（1）﹣20a ﹣15ax （2）4x 2﹣16 （3） 9（x ﹣3y ）2﹣4 （4）x 3+2x 2y +xy 2【分析】（1）直接提取公因式﹣5a ，进而得出即可；（2）先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可；（3）先将9（x ﹣3y ）2转化为[3（x ﹣3y ）]2，再利用平方差公式进行因式分解，最后再化简即可；（4）先提取公因式x ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】（1）﹣20a ﹣15ax ＝﹣5a （4+3x ）；（2）4x 2﹣16＝4（x 2﹣4）＝4（x +2）（x ﹣2）；（3）9（x ﹣3y ）2﹣4＝[3（x ﹣3y ）]2﹣22＝[3（x ﹣3y ）+2][3（x ﹣3y ）﹣2]＝（3x ﹣9y +2）（3x ﹣9y ﹣2）；（4）x 3+2x 2y +xy 2＝x （x 2+2xy +y 2）＝x （x +y ）2．二、课堂学习q px x ++2型的二次三项式因式分解：（其中p a b =+，q ab =）例1.因式分解：（1）x 2﹣x ﹣6 （2）x 4﹣8x 2﹣9 （3）2x 2﹣6x +4【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；（2）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可；（3）先提取公因式2，在利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝（x ﹣3）（x +2）；（2）原式＝（2a ）2﹣（a 2+1）2＝（2a +a 2+1）（2a ﹣a 2﹣1）＝﹣（a +1）2（a ﹣1）2；（3）2x 2﹣6x +4＝2（x 2﹣3x +2）＝2（x ﹣1）（x ﹣2）．变式训练1.因式分解：（1）m 2﹣13m +12 （2）（x 2+4x ）2﹣2（x 2+4x ）﹣15 （3）x 3﹣7x 2﹣30x【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）把（x 2+4x ）看成一个整体，利用十字相乘法因式分解，注意分解要彻底；（3）先提取公因式x ，再用十字相乘法分解即可．【解答】（1）解：m 2﹣13m +12＝（m ﹣12）（m ﹣1）；（2）原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +3）＝（x +5）（x ﹣1）（x +3）（x +1）；（3）x 3﹣7x 2﹣30x ＝x （x 2﹣7x ﹣30）＝x （x +3）（x ﹣10）．二次三项式c bx ax ++2的分解：如果二次项系数a 分解成1a 、2a ，常数项c 分解成1c 、2c ；并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么二次三项式： ))(()(22112112212212c x a c x a c c x c a c a x a a c bx ax ++=+++=++借助于画十字交叉线排列如下：例2. 因式分解：2x 2﹣x ﹣6【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．))((b x a x ++【解答】2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．变式训练2.因式分解：2x2﹣3x+1【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．【解答】2x2﹣3x+1＝（x﹣1）（2x﹣1）．小结. 因式分解的一般步骤：一提二代三分组①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；④用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。
十字相乘法因式分解课件
步骤二：寻找两个数，它们的乘积等于常数项
总结词
确定两个数的乘积与常数项相等
详细描述
在找到两个数的和与一次项的系数相等后，我们需要找到这两个数的乘积等于常数项的数。例如，在因式分解 “x^2 + 5x + 6”，我们需要找到两个数，它们的乘积为6。
步骤三：验证结果
总结词
验证分解结果的正确性
详细描述
十字相乘法因式分解
目录
CONTENTS
• 引言 • 十字相乘法的基本原理 • 十字相乘法的步骤 • 十字相乘法的应用 • 练习与挑战
01 引言
什么是十字相乘法
十字相乘法是一种数学方法，用于将 多项式因式分解为两个一次因式的乘 积。
该方法通过将多项式的常数项和一次 项系数分别分解为两个数的乘积，然 后交叉相乘得到一次项系数，从而找 到因式分解的两个一次因式。
代数式的化简
代数式化简的定义
将一个代数式通过变形、合并同 类项等方式简化。
十字相乘法的应用
在代数式化简过程中，有时需要通 过因式分解来简化代数式，而十字 相乘法是因式分解的一种常用方法 。
代数式化简的步骤
首先将代数式整理为易于因式分解 的形式，然后使用十字相乘法进行 因式分解，最后将因式分解后的代 数式进行简化。
在这个例子中，我们通过观察二次多项式的系数，找到两个数6和-1，它们的和 等于二次项的系数5，并且它们的乘积等于常数项-6，从而实现了因式分解。
03 十字相乘法的步骤
步骤一
总结词
确定两个数的和与一次项的系数相等
详细描述
在因式分解过程中，首先需要找到两个数，它们的和应等于一次项的系数。例 如，在因式分解“x^2 + 5x + 6”，我们需要找到两个数，它们的和为5。
初中数学 如何能理解和掌握十字相乘法进行《因式分解》
因式分解的方法有很多，我们对提公因式法、公式法、添项拆项、分组、换元等方法都好理解，做题时可以很好的加以利用。
对于“十字相乘法”的理解。
用添项拆项、分组的方法，是为了可以使用提公因式法或公式法，而十字相乘法却可以看成一个独立的方法。
因此对它的理解，不要直接按因式分解的步骤去看，而是当成整式的乘法倒过来看，看上面这张图：在二次项系数为“1”的时候，把常数项分成两个因数的乘积，而一次项的系数要刚好是这两个因数的和。
如果你能看明白这组公式正推、倒推
的过程，就不难明白十字相乘法的真谛了。
当常数项的因数比较多时，可能需要多尝试几次，才能找到合适的一组因数。
在二次项系数不是“1”的时候，不但要把常数项分成两个因数的乘积，还要把二次项的系数也分成两个因数的乘积了，而一次项的系数，要刚好是这两组、四个因数交叉相乘所得的和。
这就用到你的数感了，好的话很快可以找出来，不然就只能多尝试，多组合几次才能找到，这里，还要特别注意，一定不要忽略各项系数的正负号问题。
把常数项换做带字母的二次单项式了，分解的思维其实是一样的，十字相乘法主要针对的是各项的系数，当然这类题目要符合一定的形式。
用十字相乘法解一元二次方程教案(初高中衔接1)
新授课补1 用十字相乘法解一元二次方程通过对例题的研究，初步掌握用十字相乘法解一元二次方程； 教学重点： 用十字相乘法解一元二次方程 教学难点： 十字相乘法解原理的理解。
一 体 化设 计：导入新课 十字相乘法原理研究 例题 练习、巩固 教学过程：一、复习准备：在初中,我们学习过用公式法解一元二次方程，但这种方法对解系数比较简单的一元二次方程显得比较麻烦，用十字相乘法解解一些系数比较简单的一元二次方程比较快，这节课就学习用十字相乘法解一元二次方程。
（二）探索新知二、讲授新课：1. 我们知道，2()()(),mx a nx b mnx na mb x ab ++=+++反过来， 2()()()mnx na mb x ab mx a nx b +++=++如果二次三项式2rx px q ++的①二项式系数r 恰好能分解成两个因数,m n 的乘积，②常数项q 恰好可以分解成两个因数,a b 的乘积， 而且③一次项系数p 又恰好是na mb +，那么22()()()rx px q mnx na mb x ab mx a nx b ++=+++=++2. 例如：2223221(1(1)22(1)2=(21)(2)x x x x x x +-=⨯+⨯-+⨯+-⨯-+上式不易记住，我们可以借助画十字交叉线来表示，212x x -⨯ 按照十字相乘，它们的和是43x x x -=，所以 2232(21)(2)x x x x +-=-+3. 对二次三项式2rx px q ++因式分解时22()()()rx px q mnx na mb x ab mx a nx b ++=+++=++借助画十字交叉线来表示，mxanx b ⨯这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到na mb +，如果它正好等于2rx px q ++的一次项系数p ，那么2()()rx px q mx a nx b ++=++，这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．2. 例题：例1 用十字相乘法解一元二次方程：(1) 25240x x +-= (2) 212520x x --=必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例2 用十字相乘法解一元二次方程：（1）2(2)20x a x a +++=（2）2(21)20ax a x -++= 0a ≠三、练习与作业1. 2230x x +-=2. 219600x x ++=3. 2450x x --=4. 22150x x --=5. 220x x +-= 6 2524x x +-=07 25410x x --= 8 229350x x --=9. 2610x x --= 10 261130x x -+=11. 241130x x +-= 12 2141760x x --=13 26120x x --= 14. 2182150x x -+=15. 26750x x -++= 16 236240x x --=17. 23642100x x -+= 18 2623200x x ++=19. 2(1)0x a x a -++= 20. 223(2)0x x m m +-+-=。
初高中数学衔接(1)
初高中数学衔接知识数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录一、绝对值二、分式三、二次根式四、乘法公式五、因式分解六、一元二次方程七、一元二次不等式八、二次函数一、绝对值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要的概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，并随着知识的发展，不断深化．【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．【高中】接触含字母的绝对值，含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲．含字母的绝对值运算贯穿于整个高中数学中.【建议】掌握含字母的绝对值及简单的含绝对值的方程（不等式）的解法． 【补充知识】1. 和差的绝对值与绝对值的和差的关系b a b a b a +≤+≤- b a b a b a +≤-≤-2. 含有绝对值的不等式的解法（1）最简单的含有绝对值的不等式的解法 n无解无解的解为)0()0()0(<<=<<<-><a a x a a x a x a a a x 一切实数的全体实数的解为或的解为)0(0)0()0(<>≠=>-<>>>a a x x a a x a x a x a a x（2）①⎩⎨⎧<+->+⇔<+<-⇔><+cb ax cb axc b ax c c c b ax )0(②c b ax c b ax c c b ax >+-<+⇔>>+或)0( 【高一前应掌握的练习】 例1：解关于x 的不等式14<-x二、分式【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．【高中】不再学习. 但在整个高中学习中都会用到分式的计算. 高二选修中，有少量分式不等式的学习. 【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘方）；解可化为一元二次方程的分式方程． 【补充知识】 1. 繁分式像pn m pn m d c b a++++2,这样的分子或分母中含有分式的分式叫繁分式，一定要分清谁是分子，谁是分母，将其化简。
1十字相乘法进行因式分解
解：设另一个多项式为 x2 bx 3，则 x4 6x2 x 12 (x2 ax 4)( x2 bx 3) x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b)x 12 ， ∵ x4 6x2 x 12 与 x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b)x 12 是同一个多项式，所以其对应项
x2 (2 y 5)x ( y 6)( y 1) [ x ( y 6 )][ x ( y 1)] ＝(x－y－6)(x－y＋1)．
例 7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)
点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙， 令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个 重要环节．
例 6 分解因式 x2 2xy y2 5x 5y 6 ．
点悟：方法 1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式． 方法 2：把字母 y 看作是常数，转化为关于 x 的二次三项式．
点悟：把 x2 2x 看作一个变量，利用换元法解之．
解：设 x2 2x y ，则原式＝(y－3)(y－24)＋90 y2 27 y 162 ＝(y－18)(y－9)
(x2 2x 18)(x2 2x 9) ．
点拨：本题中将 x2 2x 视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外， y2 27 y 162 ( y 18)( y 9) 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．
2020年初升高数学衔接辅导之分解因式(含答案)
02分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++.要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >， 则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x 2+6x +8； （2）x 2﹣x ﹣6； （3）x 2﹣5xy +6y 2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式： x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
初高中衔接十字相乘法分解因式
因式分解的一点补充——十字相乘法同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？观察=，可知=。
这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。
这就是分解因式的十字相乘法。
下面举例具体说明怎样进行分解因式。
例1、因式分解。
分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。
分析：因为-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。
但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了课前练习：下列各式因式分解1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+483．x4-7x2+18 4．x2-5xy+6y2我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
例3 把2x2-7x+3因式分解。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数）：2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 ×3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-11×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。
十字相乘法分解公因式
十字相乘法分解公因式
十字相乘法是一种常见的代数运算技巧，用于将多项式进行因式分解。
当一个多项式中含有公因式时，可以使用十字相乘法将其分解为公因式和一个括号内的多项式的乘积。
具体步骤如下：
1. 确定公因式：找出多项式中各项的公因式，将其提取出来，作为公因式。
2. 提取公因式：将多项式中每一项都除以公因式，得到括号内的多项式。
3. 使用十字相乘法：将公因式和括号内的多项式使用十字相乘法相乘，得到最终的因式分解式。
举个例子，假设要对多项式6x2 + 18x 进行因式分解。
首先，将公因式6提取出来，得到：
6x2 + 18x = 6(x2 + 3x)
然后，将括号内的多项式x2 + 3x使用十字相乘法相乘，得到：
(x + 3)(x + 1)
最后，将公因式和括号内的多项式相乘，得到因式分解式：
6x2 + 18x = 6(x + 3)(x + 1)
这就是使用十字相乘法对多项式进行因式分解的基本
步骤。
需要注意的是，在使用十字相乘法时，需要注意公因式的选取和括号内多项式的分解。
初升高 初中、高中衔接课(学)
初中、高中衔接课第1课时因式分解学习目标 1.理解提取公因式法、分组分解法.2.掌握十字相乘法.3.对于复杂的问题利用因式分解简化运算.知识点一常用的乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.(3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.(4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.(6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.知识点二因式分解的常用方法(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解.(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法.(3)公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法.(4)求根法：若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2).(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式.如2x3－x－1，试根知x＝1为2x3－x－1＝0的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x＋x－1提取公因式后分解因式.1.a3＋b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2).()2.a2＋2ab＋b2＋c2＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2.()3.a3－3a2b－3ab2＋b3＝(a－b)3.()4.多项式ax2＋bx＋c(a≠0)一定可以分解成a(x－x1)·(x－x2)的形式.()突破一配方法因式分解例1把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2.跟踪训练1分解因式x2＋6x－16..突破二十字相乘法因式分解命题角度1形如x2＋(p＋q)x＋pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q).因此，x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.我们也可以用一个图表，此方法叫做十字相乘法.例2把下列各式因式分解：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；(3)x2－(a＋b)xy＋aby2；(4)xy－1＋x－y.反思感悟十字相乘法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实质是乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算.跟踪训练2把下列各式因式分解：(1)x2＋xy－6y2；(2)(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12.命题角度2形如一般二次三项式ax2＋bx＋c型的因式分解我们知道，(a1x＋c1)(a2x＋c2)＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2.反过来，就得到：a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1，a2，c1，c2写成a1a2×c1c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)·(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上一行，a2，c2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法.例3 把下列各式因式分解： (1)12x 2－5x －2；(2)5x 2＋6xy －8y 2.跟踪训练3 把下列各式因式分解： (1)6x 2＋5x ＋1；(2)6x 2＋11x －7； (3)42x 2－33x ＋6；(4)2x 4－5x 2＋3.1.分解因式x 2－3x ＋2为( ) A.(x ＋1)(x ＋2) B.(x －1)(x －2) C.(x －1)(x ＋2) D.(x ＋1)(x －2)2.分解因式x 2－x －1为( ) A.(x －1)(x ＋1) B.(x ＋1)(x －2)C.⎝⎛⎭⎫x －1＋52⎝⎛⎭⎫x －1－52 D.⎝⎛⎭⎫x ＋1－52⎝⎛⎭⎫x －1＋52 3.分解因式：m 2－4mn －5n 2＝________.4.分解因式：(a －b )2＋11(a －b )＋28＝________.5.分解因式：x 2－y 2－x ＋3y －2＝____________.一、选择题1.计算(－2)100＋(－2)101的结果是( ) A.2 B.－2 C.－2100 D.21002.边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为( ) A.120 B.60 C.80 D.403.下列各式中，能运用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是()A.x2＋4xB.a2－4b2C.x2＋4x＋1D.x2－2x＋14.将代数式x2＋4x－5因式分解的结果为()A.(x＋5)(x－1)B.(x－5)(x＋1)C.(x＋5)(x＋1)D.(x－5)(x－1)5.要在二次三项式x2＋()x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是()A.1，－1B.5，－5C.1，－1,5，－5D.以上答案都不对6.已知多项式x2＋bx＋c因式分解的结果为(x－1)(x＋2)，则b＋c的值为()A.－3B.－2C.－1D.07.下列变形正确的是()A.x3－x2－x＝x(x2－x)B.x2－3x＋2＝x(x－3)－2C.a2－9＝(a＋3)(a－3)D.a2－4a＋4＝(a＋2)28.若2m＋n＝25，m－2n＝2，则(m＋3n)2－(3m－n)2的值为()A.200B.－200C.100D.－100二、填空题9.因式分解：ax＋ay＋bx＋by＝______________________.10.因式分解：(x＋y)2－2y(x＋y)＝_________________________________________________.11.分解因式：(a2＋1)2－4a2＝__________________.三、解答题12.分解因式：(1)x2＋6x＋8；(2)x2－x－6.14.若x(x＋1)＋y(xy＋y)＝(x＋1)·M，则M＝_______________________________________.15.分解因式：(1)(x－y)2＋4(x－y)＋3；第2课时 二次函数、二次方程及简单的一元二次不等式学习目标 理解和掌握二次函数的图象和性质，理解和掌握一元二次方程的相关知识并能熟练解出一元二次方程，借助于二次函数的图象会解简单一元二次不等式.知识点一 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，用配方法将其变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2. (1)当b 2－4ac >0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：x 1,2＝－b ±b 2－4ac2a ；(2)当b 2－4ac ＝0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x 1,2＝－b2a；(3)当b 2－4ac <0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.由于可以用b 2－4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，表示为Δ＝b 2－4ac . 知识点二 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，所以：x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac2a＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a＝(－b )2－(b 2－4ac )2(2a )2＝4ac 4a 2＝c a .一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”.定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.知识点三 二次函数的图象与性质 仅讨论y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的情况： 1.x 的取值范围为一切实数.2.y 的取值范围为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ 当x ＝－b2a 时，y 取得最小值4ac －b 24a.3.二次函数的三种表达方式： ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ＋c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2)；y ＝a (x －h )2＋k .4.对称轴x ＝－b 2a (图象关于x ＝－b2a 对称). 5.(1)当x 1<x 2≤－b2a 时，则y 1>y 2.(2)当x 2>x 1≥－b2a时，则y 1<y 2.6.有相异两实根x,＝＝x1.方程ax2＋bx＋c＝0如果有实数根，则Δ＝b2－4ac≥0.()2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－b2a时取得最值.()3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实数根，则ax2＋bx＋c>0的范围为x>x2或x<x1.()突破一一元二次方程的相关知识的应用例1已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值.反思感悟(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大于21”求出m的值，取满足条件的m的值即可.(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由根与系数的关系解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.因为，根与系数的关系成立的前提是一元二次方程有实数根.跟踪训练1若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，(1)求|x1－x2|的值；(2)求1x21＋1x22的值；(3)x31＋x32.突破二二次函数的图象与性质例2已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.反思感悟在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.跟踪训练2求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？画出该函数的图象，并指出y>0时x的取值范围.突破三一元二次不等式的解法例3求不等式4x2－4x＋1>0的解.跟踪训练3求不等式－3x2＋6x>2的解.1.不等式9x2－6x＋1≤0的解为()A.全体实数B.无解C.x≠13 D.x＝132.不等式－4x2＋4x<－15的解为()A.－32<x<52 B.－52<x<32C.x>52或x<－32 D.x>32或x<－523.函数y＝x2－2x，当－1≤x≤t时，该函数的最大值为3，则t的最大值为__________.4.方程x2－ax＋1＝0的两根为x1，x2，若|x1－x2|＝5.则a＝________.5.不等式ax2＋bx＋1>0的解为－12<x<13，则a＋b＝________.一、选择题1.若关于x的方程(a＋1)x2－3x－2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是()A.a≠0B.a≠－1C.a＞－1D.a＜－12.若一元二次方程x2－2x＋1－a＝0无实根，则a的取值范围是()A.a＜0B.a＞0C.a＜34 D.a＞343.若m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根，则m＋n－mn的值是()A.－3B.3C.－1D.14.不等式2x2－x－1>0的解是()A.－12＜x＜1 B.x＞1C.x＜1或x＞2D.x＜－12或x＞15.关于二次函数y＝－2x2＋1，下列说法中正确的是()A.它的开口方向是向上B.当x＜－1时，y随x的增大而增大C.它的顶点坐标是(－2,1)D.当x＝0时，y有最大值是26.若二次函数y＝x2－mx的对称轴是x＝－3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解是()A.x1＝0，x2＝6B.x1＝1，x2＝7C.x1＝1，x2＝－7D.x1＝－1，x2＝77.y＝ax2＋ax－1对于任意实数x都满足y＜0，则a的取值范围是()A.a≤0B.a＜－4C.－4＜a＜0D.－4＜a≤0二、填空题8.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解为1<x<2，则关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解为_______________.9.函数y＝－x2＋1，当－1≤x≤2时，函数y的最小值是________.10.不等式x2－5x＋6≤0的解为________________.11.x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则代数式x21＋3x1＋x2＝________.三、解答题12.画出函数y＝2x2－4x－6的草图.13.已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1＋x2|＝2x1x2，求k的值.14.将抛物线y＝(x－1)2＋1向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为()A.y＝(x－2)2＋1B.y＝x2＋1C.y＝(x＋1)2＋1D.y＝(x－1)215.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.。
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能把一些二次三项式分解因式。
对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q)。
不仅仅局限于课堂45分钟课下积极的练习反思，总结也是至关重要你可能曾经懊恼自己当初在课堂上没有好好听课那么请收起你的沮丧就现在，开始学每天进步一点点相信你能做到致迷途知反的你们定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.解析：十字相乘法的精髓，在于分解常数项。
对于初学者来说，可以根据常数项的具体数值，尝试着分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因式的值相加等于一次项系数。
上面的例题，很好的说明了十字相乘法因式分解的具体应用。
例题二：例题三：例题四例题五：练一练一、前言在北师版数学教材上，并没有十字相乘法这一章，在中考中十字相乘法也不作为考点考察。
但是，在初中阶段，一些一元二次方程的题目使用十字相乘法可以更快的解出答案；在高中阶段，十字相乘法可以说是随时可能用到；更重要的是，十字相乘法可以很好的培养数感。
因此，熟练掌握十字相乘法是非常必要的二、知己知彼想要熟练的掌握十字相乘法，就一定要了解它的原理，我们先看这样几个式子：观察这几个式子，相信大家能很快的说出下面这个式子的结果为了更加清晰的说明十字相乘的原理：我们做如下的说眀：小学我们都学过竖式乘法其实刚才列举的式子也可以用竖式进行计算从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）搞清楚了这个原理，十字相乘法就很容易了，其实就是把上面的过程反过来，下面以一道题目为例进行具体的说明例1：因式分解我们心里清楚，最后的结果一定是下面这种形式问题的关键就是求出a和b而通过刚才的例子，我们知道14=ab，9=a+b，那么我们该从哪里入手呢？这里做两个说明：（1）分解的结果中a、b都是整数（不会出分数、无理数什么的）（2）要分解14，而不是去拆解9、因式分解题目结果中的系数，都是整数，那么14的分解情况就很少了，而和为9的情况太多了，由此可见去分解14是最简单的做法于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：先把常数14分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。
编号1-初高中衔接教材因式分解-(1)
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 2 2x 3y 3y2 2x 3 y 2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
请运用完全平方公式把下
式成为完全平方式
1 x2 __2_x__y__ y2
2 4a2 9b2 ___1_2_a_b_
3 x2 _4__x_y__ 4 y2
4 a2 __a_b____ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
3、十字相乘法
1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q)
(3) x 2 6xy 9y 2 10x 30y 25
(4) a 2 b2 a 2b ab2 a b (5) a 2 4ab 4b2 2a 4b
探究问题四 配方法
【例】因式分解： (1)x2 6x 16 (2)x2 4xy 4 y2
解 : (1)x2 6x 16 ( x 3)2 52 ( x 8)( x 2).
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x2 (a1c2 a2c1 )x c1c2 ．
反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1 x c1)(a2 x c2 )
我们发现，二次项
系数
a
分解成
a1
a2
，常数项
c
分解成
c1c2
因式分解
高一衔接： 十字相乘法
第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1 十字相乘法十字相乘法是一种操作性很强又很实用的因式分解方法，通常表现为两种形式：第一种叫分拆系数形式，由()()()n bx m ax mn x bm an abx ++=+++2中二次项系数、常数项与一次项系数间的关系得出，如图1；第二种叫分拆项形式，即把二次三项式中的二次项拆成二个一次式的乘积，再把常数项写成二个常数的乘积，然后交叉相乘的和是一次项，如图2．a m ax mb n bx nbm an + x bm an bmx anx )(+=+图1 图2 【例1】把下列各式因式分解：（1）x 2－3x ＋2； (3) 276x x -+(4) 21336x x ++解：解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．(3) 276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (4) 2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：1此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 2今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．练习 2(1)109x x -+＝)1)(9(--x x （2）)3)(2(652++=++x x x x（3）)9)(2(18112--=+-x x x x _。
（4）)3)(2(652--=+-x x x x【例2】因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x -- （2）x 2＋4x －12；解：(1)2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+（3）由图1．1－3，得 x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．－1 －2x x图1．1－1－1 －21 1图1．1－2练习（1）=-+652x x （2）2310b b +-= (3) 2832--x x （4）=--652x x【例3】把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+． 解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．练习 （1）()=++-a x a x 12。
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第一讲 十字相乘法进行因式分解
【基础知识精讲】
（1）理解二次三项式的意义；
（2）理解十字相乘法的根据；
（3）能用十字相乘法分解二次三项式；
（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．
【重点难点解析】
1．二次三项式
多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．
在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．
在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．
十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．
2．十字相乘法的依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式
))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因
式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，
那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：
)45)(2(86522-+=-+x x y xy x
3．因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
【典型热点考题】
例1 把下列各式分解因式：
（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．
点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；
（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．
例2 把下列各式分解因式：
（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．
点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．
解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ；
（2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．
点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
例3 把下列各式分解因式：
（1）91024+-x x ；
（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；
（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．
点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式；
（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；
（3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．
)108)(6)(2(2++++=a a a a
点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．
因式分解之十字相乘法专项练习题
(1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
(3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2；
(5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6；
(7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6；
(9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3；
(11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15；
(13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35；
(15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9；
(17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10；
(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20；
14．把下列各式分解因式：
（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；
（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；
（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．
15．把下列各式分解因式：
（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；
（3）2222)332()123(++-++x x x x ；
（4）60)(17)(222++-+x x x x ；
（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；
（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2
576x x +-
2
61110y y -- 2252310a b ab +- 222231710a b abxy x y -+ 22712x xy y -+
42718x x +- 22483m mn n ++ 53251520x x y xy --
六、解下列方程
（1）220x x --= 2560x x +-= 23440a a +-= 2
27150b b +-=。