2017九年级数学上方法技巧训练：圆中常见的计算题型 (人教版)最新版

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人教版初中数学圆的技巧及练习题附答案解析

∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径= =1，
∴S△ABC= AC•BC= ×4×3=6，
S圆=π，
∴小鸟落在花圃上的概率= ，
故选B．
【点睛】
本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.
14．如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是( )．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径= =1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
【详解】
解：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB2=BC2+AC2，
【详解】
根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，
所以圆锥的母线长= ，
所以这个圆锥的侧面积= ×2π×5×13=65π（cm2）．
故选B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆心为，连接，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数．
【详解】
解：设圆心为，连接，如图，
∵弦的长度等于圆半径的倍，
即，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，，
∴ °．
故选：C．

【最新】人教版九年级数学上册小专题圆的有关计算

新人教版九年级数学上册小专题圆的有关计算类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题【例1】(黄冈中考改编)如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚，当点A 第一次翻滚到点A1位置时，求点A 经过的路线长.【方法总结】从点A 第一次翻滚到点A1位置时，先确定翻转过程中点A 每一次旋转角及旋转半径大小，再求各弧长，最后求和.求运动的轨迹长问题要扣住两点：一是理清运动的轨迹，二是分析每段轨迹的运动规律. 变式练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m ，半圆的直径为4 m ，则圆心O 所经过的路线长是______m.(结果用π表示)变式练习2 如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC=3,∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示)变式练习3 (恩施中考)如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成图形的面积为( )A.2π+21B.2π+1 C.π+1 D.π+21 变式练习4 如图所示，扇形OAB 的圆心角为60°，半径为1，将它向右滚动到扇形O ′A ′B ′的位置，点O 到O ′所经过的路线长为( ) A.πB.34π C.35πD.2π变式练习5 (日照中考)如图，正六边形ABCDEF 是边长为2 cm 的螺母，点P 是FA 延长线上的点，在A 、P 之间拉一条长为12 cm 的无伸缩性细线，一端固定在点A ，握住另一端点P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P 运动的路径长为( ) A.13π cm B.14π cm C.15π cm D.16π cm变式练习6 如图，边长为2的正六边形ABCDEF 在直线l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚.(1)当正六边形绕点F 顺时针旋转60度时，A 落在点A 1位置； (2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，求点A 所经过的路径长.类型2 圆中不规则图形的面积问题【例2】(盐城中考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，求线段AB 扫过区域(图中阴影部分)的面积.【方法总结】求阴影面积(或不规则图形面积)时常用图形割补的方法(图形变换)，或用几个特殊图形的面积的和或差来求.变式练习7 (泰安中考)如图，半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.(2π-1) cm 2B.(2π+1) cm 2C.1 cm 2D.2πcm 2变式练习8 (重庆中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.25π-6B.225π-6 C.625π-6 D.8258-6 变式练习9 (乐山中考)如图，正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧，以D 为圆心，3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为S 1、S 2，则S 1-S 2=______变式练习10 (河南中考)如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°.把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为CC ′，则图中阴影部分的面积为______变式练习11 (襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD=2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处.再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的弧AC,弧AG 与线段CG 所围成的阴影部分的面积.参考答案类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题【例1】如图，由A ″C 1=5，则弧AA ′=180390⨯π=23π，弧A ′A ″=180490⨯π=2π，弧A ″A 1=180590⨯π=25π，则点A 第一次翻滚到点A 1位置时，经过的路线长为弧AA ′+弧A ′A ″+弧A ″A 1=23π+2π+25π=6π.变式练习1 （2π+50）变式练习2 4π+3π变式练习3 C变式练习4 B 变式练习5 B变式练习6 (1)60度时；(2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，点A 所经过的路径长为： l=弧AA 1+弧A 1A 2=3)13(2π+.类型2 圆中不规则图形的面积问题【例2】∵∠BAC ＝90°，∴BC 2＝AB 2＋AC 229.∵S 阴影＝S 扇形CBB1＋S △A1B1C -S △ABC -S 扇形CAA1，又∵△ABC 旋转得到△A 1B 1C ， ∴S △ABC ＝S △A1B1C .∴S 阴影＝S 扇形CBB1-S 扇形CAA1 =258π(cm2). 变式练习7 A 变式练习8 D 变式练习9 413π-9. 变式练习104π-3+23. 变式练习11(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=AD=2，∠ABC=90°. ∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，∴△ABF ≌△CBE.∴∠FAB=∠ECB ，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC.∴∠AFB+∠FAB=90°. ∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ， ∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，AF=FG. ∴∠CFG=∠FAB=∠ECB.∴EC ∥FG. ∵AF=EC ，AF=FG ，∴EC=FG.∴四边形EFGC 是平行四边形.∴EF ∥CG. (2)∵△ABF ≌△CBE ，∴FB=BE=21AB=1.∴AF=5. 在△FEC 和△CGF 中,∵EC=FG ，∠ECB=∠CFG ，FC=CF ，∴△FEC ≌△CGF. ∴S △FEC =S △CGF .∴S 阴影=S 扇形BAC +S △ABF +S △FGC -S 扇形FAG =425π-。

人教版九年级数学上册《圆》阶段核心题型专训圆中常见的计算题型

R版九年级上
第二十一章一元二次方程
阶段核心题型专训圆中常见的计算题型
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1 见习题 2A 3 见习题 4 见习题
5 见习题 6 见习题 7 见习题 8 见习题
9C
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10 见习题
11 见习题
阶段核心题型专训
1．【中考·娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE 是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
阶段核心题型专训
7．如图所示，扇形OAB与扇形OCD的圆心角都是90°，连接AC，BD.
(1)求证：AC＝BD；【点拨】本题通过割补法将不规则图形的面积转化为两个规则图形的面积的差的形式．
阶段核心题型专训
证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD， ∴∠AOC＝∠BOD. 又∵AO＝BO，CO＝DO， ∴△AOC≌△BOD.∴AC＝BD.
园？为什么？
阶段核心题型专训
解：修建的这条水渠不会穿过公园．理由：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D. 由题易得∠CBA＝45°， ∴∠BCD＝45°.∴CD＝BD. 设CD＝x km，则BD＝x km. 由题易得∠CAB＝30°， ∴AC＝2CD＝2x km，
阶段核心题型专训
∴AD＝ (2x)2－x2＝ 3x(km)，
同学们下课啦

【新】九年级上册数学有关圆的计算 (知识点+练习题)人教版

有关圆的计算教案知识点：（十二）和圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若F为切点则有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2EM·MD=BM·MGCN·NH=DN·NE（十三）圆和圆的位置关系如图6－9若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：1、两圆外离⇔d ＞R＋r；2、两圆外切⇔d = R＋r；3、两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r（R＞r）4、两圆内切⇔d = R－r；（R＞r）5、两圆内含⇔d＜R－r。

（R＞r）定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。

如图6－10，O1，O2为圆心，则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分（十四）两圆的公切线和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。

如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，OO1A为直角三角形。

d2=（R－r）2＋e2为外公切线长，又如图 6－13， OO1C为直角三角形。

d2＝（R十r）2＋ e’2为内公切线长。

（十五）相切在作图中的应用生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14（十六）正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。

人教版初中数学圆的技巧及练习题含答案

【详解】
解：∵S扇形FCD ，S扇形EAD ，S矩形ABCD ，
∴S阴影＝S扇形FCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形EAD）
＝9π﹣（24﹣4π）
＝9π﹣24+4π
＝13π﹣24
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD的面积﹣（矩形ABCD的面积﹣扇形EAD的面积）是解答本题的关键．
【详解】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=4 ，
∴光盘的直径为8 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
6．下列命题中，是假命题的是
A．10B．9C．8D．7
【答案】D
【解析】
分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10．∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝30°，DC＝1，
∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，
则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝2 ，

人教版九年级数学上册《圆》阶段归类专训圆中常见计算题的四种类型、四种技巧

阶段归类专训 6．(中考·新疆)如图，在⊙O 中，半径 OA⊥OB，过 OA 的中点 C
作 FD∥OB 交⊙O 于 D，F 两点，且 CD＝ 3，以 O 为圆心， OC 的长为半径作C︵E，交 OB 于 E 点． (1)求⊙O 的半径 OA 的长；
阶段归类专训解：连接 OD. ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°. ∵FD∥OB，∴∠OCD＝90°. 设 OC＝a，则 OA＝2a＝OD. 在 Rt△OCD 中，由勾股定理，得 CD2＋a2＝(2a)2，即( 3)2＋a2＝4a2，解得 a1＝1，a2＝－1(舍去)． ∴半径 OA 的长为 2a＝2.
【答案】D
阶段归类专训 9．如图，已知 A，B 两地相距 1 km，要在 A，B 两地之间修建
一条笔直的水渠(即图中的线段 AB)，经测量在 A 地的北偏东 60°方向，B 地的北偏西 45°方向的 C 处有一个以 C 为圆心， 350 m 为半径的圆形公园，且∠CBA＝45°.请问：修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？
阶段归类专训
(2)计算阴影部分的面积．解：S△OCD＝12OC·CD＝12×1× 3＝ 23，在 Rt△OCD 中，∵OC＝1，OD＝2，∴∠ODC＝30°. ∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠ODC＝30°. ∴S 阴影＝S△OCD＋S 扇形 OBD－S 扇形 OCE＝ 23＋303π6·022－903π6·012＝ 23＋1π2.
人教版九年级上
第二十四章圆
段归类专训圆中常见计算题的四种类型、四种技巧
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7 10 cm或70 cm 8D

(2017秋)人教版九年级数学上册阶段方法技巧训练：专训1 圆中常见的计算题型 (共33张PPT)

题型
1
有关角度的计算
1．【中考· 娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，
BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB； (2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
证明：(1)∵AB，CD是直径， ∴∠ADB＝∠CBD＝90°. 在Rt△ABD和Rt△CDB中，
ì AB＝CD， ï ï í ï ï î BD＝DB.
∴∠AOB＝60°. 60p ×22 2 ∴S扇形OAB＝＝ π(cm2)． 360 2 3 即阴影部分的面积为 π cm2. 3
本题利用△AEB的面积等于△AOB的面积，将阴影部分面积转化为扇形面积，体现平移法”求面积
6．如图所示，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那
观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，所以我们可以通过平移，使两个半圆圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．
技巧4
利用“割补法”求面积
7．如图所示，扇形OAB与扇形OCD的
圆心角都是 90°，连接AC，BD. (1)求证：AC＝BD； ∵∠AOB＝∠COD＝90°，证明：即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD，
∴∠AOC＝∠BOD.
又∵AO＝BO，CO＝DO， ∴△AOC≌△BOD. ∴AC＝BD.
(2)若OA＝2 cm，OC＝1 cm，求图中阴影部分的面积．解：由(1)知△AOC≌△BOD， ∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积－扇形OCD的面积． 90p 鬃 OA2 90p OC 2 则S阴影＝ 360 360
技巧2

2017-2018九年级数学上册圆中计算及综合训练讲义(新版)新人教版

圆上当算及综合训练（讲义）课前预习1.半径为 r的圆的周长为，面积为．2.如图，圆心角为 n°的扇形的弧长为，面积为．n°r3.已知圆上一段弧长为 4π cm，它所对的圆心角为 120 °，则圆的半径为．4.默写圆周角定理的有关推论：推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：；．推论 3 ：圆内接四边形对角互补．5.我们知道扇形可以围成圆锥，如图，从半径为 4 的⊙O上剪下一个圆心角度数为 n 的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰巧相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n的值为．n°46.依据给出的圆锥的有关信息，画出圆锥的三视图，并标明有关线段长．Rh主视图左视图r俯视图知识点睛1.圆中的计算公式弧长公式：．扇形面积公式：①；②．圆锥的侧面积公式：．圆锥的全面积公式：=+．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①；②．2.圆中办理问题，往常的思虑方向有：①找圆心、连半径；②遇弦，作垂线，配合建等式；③遇直径找直角，由直角找；（此处直角为圆周角）④遇切线，；⑤由弧找角，由角看弧．精讲精练1.如图，⊙O的半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠ BAC=36°，则劣弧 BC的长是．A B'OCB A B第1 题图第2题图2.如图，直径 AB 为6的半圆，绕 A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点 B′，则图中暗影部分的面积是．3.如图，一把翻开的雨伞可近似地当作一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）尾端各点所在圆的直径 AC 的长为12分米，伞骨AB 的长为9分米，则制作这样的一把雨伞起码需要绸布面料平方分米．BBA CA C4. 一个几何体的三视图如下图，此中主视图和左视图都是腰长为4、底边为 2 的等腰三角形，则这个几何体的侧面睁开图的面积为．AB F44O22C E左视图主视图俯视图第 4题图D第5 题图5.如图，正六边形 ABCDEF内接于⊙ O，若⊙ O 的半径为4，则图中阴影部分的面积为．6.如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50 cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应当是．7.如图 1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为 1 cm 的圆形，使之恰巧围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为．图1图28.如图， Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC= 3 ，∠ACB=90°，∠ A=30°．若Rt△ ABC 由此刻的地点向右无滑动地翻转，则当点 A 第3 次落在直线l 上时，点 A 所经过的路径长为．（结果保存π）AlC B9.如图，在三角板 ABC 中，∠ ACB=90°，∠ B=30°， AC=1．三角板绕直角极点 C 逆时针旋转，当点 A 的对应B′点 A′落在 AB 边的开端地点上时即停止转动，则点 B 转过的路径长为．C（结果保存π）A A′B10. 如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，已知 AO=45 cm， CO= 5 cm，当 AC绕点 O 顺时针旋转90°时，则雨刷器AC 扫过的面积为2cm（结果保留π ）．A'AA C C'O PCB第 10题图第11题图1.如图，在 Rt △ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且知足∠=∠，则线段CP 的最小值为．PAB PBC12.如图， CD 是⊙ O 的直径，且 CD=2 cm，点 P 为 CD 的延伸线上一点，过点 P 作⊙ O 的切线 PA，PB，切点分别为点 A，B．（ 1）连结AC，若∠ APO=30°，试证明△ACP 是等腰三角形．（ 2）填空：①当DP=cm 时，四边形AOBD是菱形；②当 DP=cm 时，四边形AOBP是菱形．ACO D PB13. 如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A， B 重合的一个动点，延伸BP到点，使= ，D是AC的中点，连结，．C PC PB PD PO（1）求证：△CDP≌△POB．（ 2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连结 OD，当∠ PBA 的度数为时，四边形 BPDO是菱形．CPDA O B14.如图，在 Rt △ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB 为直径作⊙ O 分别交 AC， BM于点 D，E．（1）求证：MD=ME．（ 2）填空：连结OD，OE，当∠A的度数为时，四边形 ODME是菱形．ADMOEB C︵︵15.已知：如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆， AB = AC，点 D 在边BC 上， AE∥ BC， AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）假如点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形 AGCE是平行四边形．A EOB D C【参照答案】课前预习1.2πr；πr2n r 22.n；360r3. 4.1806 cm直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径5.906.图形略知识点睛1.n Rl．180R2n lR① S；② S．3602S=π lr ．全面积；侧面积；底面积．①圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长；②圆锥的侧面积等于扇形面积．2.②垂径定理；勾股定理；③直径；④连半径精讲精练21.52. 63.54π4.4π165.36.18°7.15 cm10.500 π8.(49.333)2017-2018九年级数学上册圆中计算及综合训练讲义(新版)新人教版我爱你中国亲爱11. 212.（ 1）证明略；（ 2）① 1；②2 113.（ 1）证明略．（ 2）① 4；② 60°．14.（ 1）证明略．（ 2）60°．15.（ 1）证明略；（ 2）证明略．。

初三数学圆答题技巧

初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆题型分类
1.基础题型：包括圆的性质、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。

2.复合题型：涉及圆与三角函数、解析几何、概率与统计等知识的综合运用。

3.创新题型：如动态问题、几何构造、最值问题等。

二、答题技巧详解
1.审题要细：抓住题干中的关键信息，如圆的半径、圆心坐标等。

2.画图辅助：对于复杂题目，可以借助画图工具，将问题直观化。

3.公式运用：熟练掌握圆的相关公式，如圆的周长、面积、弧长等。

4.数学方法：灵活运用三角函数、解析几何等知识解题。

5.化简运算：在进行计算时，尽量化简复杂表达式，提高解题效率。

三、应对策略与实战演练
1.强化基础：通过练习基础题型，巩固圆的相关知识。

2.综合训练：多做复合题型，提高知识运用能力和解题技巧。

3.分析总结：在做题后，及时总结经验教训，查找自己的不足。

4.创新思维：尝试解答创新题型，拓宽解题思路。

5.考试策略：在考试中，先解答自己熟悉的题目，最后处理难题。

通过以上分析，我们可以看出，掌握初三数学圆答题技巧，需要在基础知识、解题方法和应试策略等方面下功夫。

人教新版数学初三上圆解答题题型总结

圆大题题型总结1 垂径定理1.如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）求证：∠BCD＝∠CBD；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．2．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．（1）求证：∠ADC=12∠AOB；（2）若AE＝2，BC＝6，求OA的长．2 圆周角定理3．如图，AE是⊙O的直径，半径OC⊥弦AB，点D为垂足，连接BE、EC．（1）若∠BEC＝26°，求∠AOC的度数；（2）若∠CEA＝∠A，EC＝6，求⊙O的半径．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD=4√2，AE＝2，求⊙O的半径．3 切线的判定5．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A、B），AD⊥CD．（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．6．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．4 三角形的内切圆与内心7．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．8．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若弧EF＝弧DE，如图．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）当AD＝8，BC＝10时，求⊙O的半径．9．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为DÊ的中点，连接BC，BE．（1）求证：AE＝BC；（2）若AE＝2√3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．10 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC=1 2，求图中阴影部分的面积．10．如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？（2）求出该圆锥的底面半径是多少？圆大题题型总结1 垂径定理1.如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）求证：∠BCD＝∠CBD；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵OD⊥BC于E，∴BD̂=CD̂，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC于E，∴OD∥AC，∵点O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12AC=12×6＝3，在Rt△OBE中，∵BE＝4，OE＝3，∴OB=2+OE2=√42+32=5，即OD＝OB＝5，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．2．如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一点．（1）求证：∠ADC=12∠AOB；（2）若AE ＝2，BC ＝6，求OA 的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵OA ⊥BC ， ∴AB̂=AC ̂， ∴∠ADC =12∠AOB ；（2）解：∵OA ⊥BC ， ∴BE ＝CE =12BC =12×6＝3，设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，OE ＝r ﹣2，在Rt △OBE 中，32+（r ﹣2）2＝r 2，解得r =134，即OA 的长为134．2 圆周角定理3．如图，AE 是⊙O 的直径，半径OC ⊥弦AB ，点D 为垂足，连接BE 、EC ．（1）若∠BEC ＝26°，求∠AOC 的度数；（2）若∠CEA ＝∠A ，EC ＝6，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵OC ⊥AB ， ∴AĈ=BC ̂， ∴∠CEB ＝∠AEC ＝26°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠AEC＝52°；（2）连接AC∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝∠ACE＝90°，∴∠AEB+∠A＝90°，∵∠CEA＝∠A，∠CEB＝∠AEC，∴∠A＝∠AEC＝30°，∴AE=ECcos30°=4√3，∴⊙O的半径为2√3．11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD=4√2，AE＝2，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图．∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE=12CD=12×4√2=2√2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2√2）2+（r﹣2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．3 切线的判定5．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A、B），AD⊥CD．（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得AC＝4；（2）证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC+∠OBC＝90°，∴∠OCA+∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线．26．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE＝∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠FEA．∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，∴∠FEA＝∠OEB．∵∠AEB＝90°，∴∠FEO ＝90°． ∴EF 是⊙O 切线．（2）解：在△FEA 与△FBE 中， ∵∠F ＝∠F ，∠FEA ＝∠FBE ， ∴△FEA ∽△FBE ， ∴AF EF=EF BF=AE BE，∴AF •BF ＝EF •EF ，∴AF ×（AF +15）＝10×10，解得AF ＝5． ∴BF ＝20． ∴1020=AE BE，∴BE ＝2AE ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴AE 2+BE 2＝152， ∴AE 2+（2AE ）2＝225， ∴AE ＝3√5．4 三角形的内切圆与内心7．如图，已知⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，且∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12．（1）求BF 的长；（2）求⊙O 的半径r ．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC=√AB2−BC2=√132−122=5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CF＝CE＝12﹣x，∵AE+EC＝5，∴13﹣x+12﹣x＝5，∴x＝10，∴BF＝10．（2）连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．即r＝2．8．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若弧EF＝弧DE，如图．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）当AD＝8，BC＝10时，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∴∠B+∠DOE＝90°，同理可得∠C+∠EOF＝90°，∵EF̂=DÊ，∴∠DOE＝∠EOF，∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形；（2）连接OA，如图，∵AD、AF为切线，∴OA平分∠BAC，∵△ABC为等腰三角形，∴OA⊥BC，∴点A、O、E共线，∴BE＝CE＝5，∵BD＝BE＝5，∴AB＝AD+BD＝13，在Rt△ABE中，AE=√132−52=12，设⊙O的半径为r，则OA＝12﹣r，在Rt△OAD中，r2+82＝（12﹣r）2，解得r=10 3，即⊙O 的半径为103．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理和勾股定理．5 扇形面积9．如图，已知AB ，CD 为⊙O 的直径，过点A 作弦AE 垂直于直径CD 于F ，点B 恰好为DE ̂的中点，连接BC ，BE ．（1）求证：AE ＝BC ；（2）若AE ＝2√3，求⊙O 的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接BD ， ∵AB ，CD 为⊙O 的直径， ∴∠CBD ＝∠AEB ＝90°， ∵点B 恰好为DE ̂的中点， ∴BD̂=EB ̂， ∴∠A ＝∠C ，∵∠ABE ＝90°﹣∠A ，∠CDB ＝90°﹣∠C ， ∴∠ABE ＝∠CDB ，∴AE ̂=BC ̂， ∴AE ＝BC ；（2）解：∵过点A 作弦AE 垂直于直径CD 于F ， ∴AC ̂=EC ̂， ∵AÊ=BC ̂， ∴AĈ=BE ̂=12AE ̂， ∴∠A =12∠ABE ， ∴∠A ＝30°，在Rt △ABE 中，cos ∠A =AEAB， ∴AB =AE cos30°=2√332=4，∴⊙O 的半径为2．（3）连接OE ， ∵∠A ＝30°， ∴∠EOB ＝60°， ∴△EOB 是等边三角形， ∵OB ＝OE ＝2， ∴S △EOB =12×2×2×√32=√3， ∴S 阴＝S 扇形﹣S △EOB =60π×22360−√3=2π3−√3．10 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得∠ACQ ＝∠ABC ．（1）求证：直线PQ 是⊙O 的切线．（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC=1 2，求图中阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO．∵∠ACQ＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，∴直线PQ是⊙O的切线．（2）连接OE，∵sin∠DAC=12，AD⊥PQ，∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°．∴∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAO＝∠DAC+∠CAB＝60°，又∵OA＝OE，∴△AEO为等边三角形，∴∠AOE ＝60°． ∴S 阴影＝S 扇形﹣S △AEO ＝S 扇形−12OA •OE •sin60° =60π360×22−12×2×2×√32=2π3−√3．∴图中阴影部分的面积为2π3−√3．6 圆锥的计算10．如图所示，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？（2）求出该圆锥的底面半径是多少？【解答】解：（1）圆锥的侧面积=120⋅π⋅62360=12π（cm 2）；（2）该圆锥的底面半径为r ，根据题意得2πr =120π⋅6180，解得r ＝2．即圆锥的底面半径为2cm ．。

九年级上册圆知识重点经典例题

九年级上册圆知识重点经典例题摘要：一、圆的基本概念和性质1.圆的定义2.圆心和半径3.圆的性质二、圆的计算1.圆的周长和面积2.弧和扇形3.圆的切线和圆的性质三、经典例题解析1.求解圆的周长和面积2.求解弧和扇形的相关问题3.求解圆的切线和圆的性质问题正文：九年级上册的数学课程中，我们学习了一个非常经典的数学概念——圆。

圆是几何图形中非常重要的一种，它在我们的日常生活中有着广泛的应用。

本篇文章将重点介绍圆的基本概念和性质，以及圆的计算方法和经典例题解析。

一、圆的基本概念和性质1.圆的定义：圆是一个平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。

这个定点被称为圆心，定长被称为半径。

圆心到圆上任一点的连线段叫做半径，通常用符号r 表示。

2.圆心和半径：圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任一点的距离。

在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的弧都等于半径。

3.圆的性质：圆具有许多有趣的性质，如圆周上所有点到圆心的距离相等，圆心到圆上任一点的连线段叫做半径，等等。

二、圆的计算1.圆的周长和面积：圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr。

其中，π是一个无理数，约等于3.14159。

2.弧和扇形：弧是圆周上的一段，扇形是由圆心角和半径所围成的图形。

弧长l=θr，扇形面积S=θ/360πr。

3.圆的切线和圆的性质：过圆外一点有且只有一条直线与圆相切，切线长d=sqrt(r-d)。

三、经典例题解析1.求解圆的周长和面积：假设一个圆的半径为5cm，求解这个圆的周长和面积。

解答：周长C=2πr=2π*5=10π≈31.4cm，面积S=πr=π*5=25π≈78.5cm。

2.求解弧和扇形的相关问题：一个半径为10cm 的圆，圆心角为90°的扇形面积是多少？解答：扇形面积S=θ/360πr=90°/360*π*10≈25π≈78.5cm。

3.求解圆的切线和圆的性质问题：一个半径为15cm 的圆，圆外一点到圆心的距离为10cm，求解这个点到圆的切线长。

(完整word版)人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习(含答案)

圆24.1.1 圆知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫作圆。

固定的端点O 叫作圆心，线段OA 叫作半径。

第二种：圆心为O，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径知识点一圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图所示，直径为CD，AB 是弦，且CD⊥AB，C MA BAM=BM垂足为M AC =BCAD=BD D垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD 与非直径弦AB 相交于点M，CD⊥ABAM=BMAC=BCAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3 弧、弦、圆心角知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

2017年秋人教版九年级上册与圆有关的计算讲与练(含答案)

与圆有关的计算一、中考考点透视：本章包括弧长、扇形的面积以及圆锥、圆柱的侧面积计算等内容.利用上述公式解决生活中实际应用性问题是本章的重点内容. 二、应考策略：随着新课程标准对圆的证明要求的降低，圆的有关计算逐步成为近年中考的热点问题，而且这些问题与现实生活接触的越来越紧密.中考中此类问题既有低档的填空、选择题，又有中档的解答题，分值约在5-10分左右.复习中我们首先要记准弧长公式、扇形的面积公式以及圆锥的侧面面积的计算方法.其次就是加强对这些公式在生活实际中的应用性问题的训练. 三、典例借鉴与剖析：例1.如图1，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A .3B .4C .D . 分析：首先搞清楚圆形纸片的半径和圆锥的母线是相等的，其次可求出圆形纸片阴影部分的弧长为4πcm =圆锥底面圆的周长,可求出半径为r =2cm ，再根据勾股定理求出圆锥的高为cm . 解；本题选C .点拨:对于此类题目主要搞清楚扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥地面圆的周长.记住扇形的弧长公式即可很好的解决.例2.如图2，水平地面上有一面积为的扇形AOB ，半径OA =，且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（）A ．B .C .D . 分析:观察开始的扇形和最终的扇形O 点发生的变化，O 点移动的距离就是AB 的长度即扇形的弧长。

解：本题选C 。

点拨：本题表面上是扇形滚动过程中圆心移动的距离，但实质上是求扇形的弧长，无论对于什么问题一定要抓住其本质,提高我们的数学水平。

例3.小亮家窗户上的遮雨罩是一种玻璃钢制品，它的顶部是圆柱侧面的一部分（如图3-1），它的侧面边缘上有两条圆弧（如图3），其中顶部圆弧AB 的圆心1O 在竖直边缘AD 上，另一条圆弧BC 的圆心2O 在水平边缘DC 的延长线上，其圆心角为90°，请你根据所标示的尺寸（单位：cm ）解决下面的问题（玻璃钢材料的厚度忽略不计，π取3.1416）.（1）计算出弧AB 所对的圆心角的度数（精确到0.01度）及弧AB 的长度（精确到0.1cm ）；（2）计算出遮雨罩一个侧面的面积（精确到1cm 2）；cm cm cm 21cm 62cm 21230cm π6cm 20cm 24cm 10cm π30cm π图3-2图3-140%5=R图160%图2（3）制做这个遮雨罩大约需要多少平方米的玻璃钢材料（精确到0.1平方米）？分析;(1)求弧AB 的长度关键是找到圆心O 1的位置和圆心角；（2）遮雨罩一个侧面的面积等于扇形1O AB 的面积+梯形12O BO D 的面积－扇形2O BC 的面积；（3）总面积包括三部分。