2017九年级数学上方法技巧训练：圆中常见的计算题型 (人教版)最新版

∴∠AOB＝60°.
∴即S扇阴形O影AB部＝分的6 0面3p6积×02 为2 ＝2
2 π(cm2)． 3 π cm2.
3
本题利用△AEB的面积等于△AOB的面积， 将阴影部分面积转化为扇形面积，体现了“等 积变形法”的运用．
技巧3 利用“平移法”求面积
6．如图所示，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长 为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那 么图中阴影部分的面积等于多少？
解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，
如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积．
作OE⊥AB于E(易知E为切点)，连接OA， ∴AE＝ 1 AB＝9.
2 ∴阴影部分的面积
＝1 2
π·OA2－
1 2
π·OE2
＝ 1 π(OA2－OE2) 2
＝ 1 π·AE2＝ 1 π·92＝ 8 1 π.
2
2
2
观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆 的面积减去小半圆的面积，因此当小半圆在大 半圆范围内左右移动时，阴影部分面积不改变， 所以我们可以通过平移，使两个半圆圆心重合， 这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积．
(1)试说明台风是否会影响B市；
解：(1)如图，过B作BH⊥PQ于H， 在Rt△BHP中， 由条件易知：BP＝320 km，∠BPQ＝30°. ∴BH＝ 1 BP＝160 km<200 km. 2 ∴台风会影响B市．
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
(2)如图，以B为圆心，200 km为半径作圆，交PQ 于P1，P2两点，连接BP1， 由垂径定理知P1P2＝2P1H. 在Rt△BHP1中， BP1＝200 km，BH＝160 km， ∴P1H＝ 2002- 1602 ＝120(km)． ∴P1P2＝2P1H＝240 km. ∴台风影响B市的时间为 2 4 0 ＝8(h)． 30
(2)若OA＝2 cm，OC＝1 cm，求图中阴影部分的
面积．
解：由(1)知△AOC≌△BOD，
∴阴影部分的面积
＝扇形OAB的面积－扇形OCD的面积．
则S阴影＝
90p鬃 OA2360
90p OC2 360
＝ 90p×(OA2 - OC2) 360
＝ 90p ×(22 - 12 ) ＝ 3
360
4
π(cm2)．
题型 1 有关角度的计算
1．【中考·娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径， BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD. (1)求证：△ABD≌△CDB； (2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
证明：(1)∵AB，CD是直径，
来自百度文库
∴∠ADB＝∠CBD＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
ìïïíïïî
A B
B＝ D＝
C D
D， B.
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)
(2)∵BE是⊙O的切线， ∴AB⊥BE. ∴∠ABE＝90°. ∵∠DBE＝37°， ∴∠ABD＝53°. ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°. 即∠ADC的度数为37°.
题型 2 半径、弦长的计算
本题通过割补法将不规则图形的面积转化 为两个规则图形的面积的差的形式．
题型 4 实际应用的计算
应用1 利用垂径定理解决台风问题
8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动， 已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半 径为200 km，B市位于点 P北偏东75°的方向上， 距离P点320 km处．
2．【中考·南京】如图，在⊙O中，CD是直径，弦 AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝ 2 2 cm， ∠BCD＝22°30′，则⊙O 的半径为____2____cm.
如图，连接OB，∵∠BCD＝22°30′，
∴∠BOD＝2∠BCD＝45°.
∵AB⊥CD，
∴BE＝AE＝ 1 AB＝ 1 × 2 2
技巧2 利用“等积法”求面积
5．如图所示，E是半径为2 cm的⊙O的直径CD延 长线上的一点，AB∥CD且AB＝ 1 CD，求阴 2 影部分的面积．
解：如图，连接OA，OB.
∵AB∥CD，∴S△ABE＝S△AOB，
∴S阴影＝S扇形OAB. ∵AB＝ 1 CD＝AO＝OB＝2 cm，
2 ∴△OAB是等边三角形，
技巧4 利用“割补法”求面积
7．如图所示，扇形OAB与扇形OCD的 圆心角都是 90°，连接AC，BD. (1)求证：AC＝BD；
证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°， 即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD， ∴∠AOC＝∠BOD. 又∵AO＝BO，CO＝DO， ∴△AOC≌△BOD. ∴AC＝BD.
2
2
＝ 2 (cm)，
△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝ 2 BE＝2 cm，故答案为2.
同类变式
3．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°， 过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D， OD＝30 cm. 求直径AB的长．
题型 3 面积的计算
技巧1 利用“作差法”求面积
4．【2015·丽水】如图，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O分别与BC， AC交于点D，E，过点D作 ⊙O的切线DF，交AC于点 F.
习题课 阶段方法技巧训练（一）
专训1 圆中常见的计 算题型
与圆有关的计算主要体现在： 利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直
角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半 径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利 用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积，利用 圆的知识解决实际问题等；其中涉面积的计算，常 采用作差法、等积法、平移法、割补法等，涉实际 应用计算常采用建模思想进行计算．
(1)求证：DF⊥AC；
证明：(1)如图，连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴∠ODB＝∠ACB. ∴OD∥AC. ∵DF是⊙O的切线， ∴DF⊥OD. ∴DF⊥AC.
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分 的面积．
解：(2) 如图，连接OE， ∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°， ∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°. ∴∠BAC＝45°. ∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAC＝45°. ∴∠AOE＝90°. ∵⊙O的半径为4， ∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8. ∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.