大题每日一题规范练(第二周).doc

星期一(三角函数、解三角形) ____年____月____日

【题目1】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12. (1)求角A 的大小；

(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值．

解 (1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12，

∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝1

2， 则cos A ＝－1

2. 又A ∈(0，π)， 所以A ＝2

3π.

(2)S △ABC ＝1

2bc sin A ＝3，∴bc ＝4，

又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2＋bc ， ∴(b ＋c )2＝16，故b ＋c ＝4.

星期二(数列) ____年____月____日

【题目2】 (开放题)在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在k ，使得S k >S k ＋1，且S k ＋1

若S k>S k＋1，则只需S k>S k＋a k＋1，

即a k

＋1

<0，同理，若S k＋1

则只需S k

＋1

0.

若选①：b1＋b3＝a2时，a2＝－1－9＝－10，

∴a n＝3n－16.

当k＝4时，a5<0，a6>0，S k>S k＋1，且S k＋1

∴{a n}为递减数列，故不存在a k＋1<0，a k＋2>0，

即不存在k，使得S k>S k＋1，且S k＋1

若选③：S5＝－25，S5＝5（a1＋a5）

2＝5a3＝－25，

∴a3＝－5.∴a n＝2n－11.

当k＝4时，a5<0，a6>0，S k>S k＋1，且S k＋1

星期三(立体几何)____年____月____日

【题目3】如图，在三棱柱ABC－DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED 内的射影为O，G为CF的中点．

(1)求证：平面ABED⊥平面GED；

(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角A－CE－B的余弦值．

(1)证明取DE中点M，连接OM，GM，在△BDE中，OM∥BE，

OM＝1

2BE.

又因为G为CF中点，

所以CG∥BE，

CG ＝12BE .

∴CG ∥OM ，CG ＝OM .

∴四边形OMGC 为平行四边形． ∴GM ∥CO .

因为C 在平面ABED 内的射影为O . 所以CO ⊥平面ABED . 所以GM ⊥平面ABED ， 又因为GM ⊂平面DEG ， 所以平面ABED ⊥平面GED . (2)解 ∵CO ⊥平面ABED ， ∴CO ⊥AO ，CO ⊥OB .

又∵AB ＝BE ，∴四边形ABED 为菱形，∴OB ⊥AO ，

以O 为坐标原点，OA

→，OB →，OC →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立

如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 于是A (3，0，0)，B (0，1，0)， E (－3，0，0)，C (0，0，3)，

向量BE

→＝(－3，－1，0)，向量BC →＝(0，－1，3)， 设平面BCE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， ⎩⎪⎨⎪⎧m ·BE →＝0，m ·

BC →＝0，即⎩⎨⎧－3x 1－y 1＝0，－y 1＋3z 1＝0.

不妨令z 1＝1，则y 1＝3，x 1＝－1，取m ＝(－1，3，1)． 又n ＝(0，1，0)为平面ACE 的一个法向量． 设二面角A －CE －B 大小为θ，显然θ为锐角，

于是cos θ＝|cos〈m，n〉|＝|m·n|

|m|·|n|＝

3

5

＝

15

5，

故二面角A－CE－B的余弦值为15 5.

星期四(概率与统计)____年____月____日

【题目4】某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：

(1)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；

(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和(单位：千元)，求X的分布列和数学期望．

解(1)由统计表知，a＝25

50＝0.5，b＝

15

50＝0.3.

依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p＝0.5，

设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，而Y～B(5，0.5)，

所以P(Y＝2)＝C25×0.52×(1－0.5)3＝0.312 5.

(2)X的可能取值为4，5，6，7，8，

P(X＝4)＝0.22＝0.04，P(X＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2，

P(X＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37，

P(X＝7)＝2×0.3×0.5＝0.3，

P(X＝8)＝0.32＝0.09，

所以X的分布列为：

X的数学期望E(X)0.09＝6.2(千元)．

星期五(解析几何)____年____月____日

【题目5】已知椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的短轴长为42，离心率为

1

3.