大题每日一题规范练(第二周).doc

星期一(三角函数、解三角形) ____年____月____日
【题目1】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12. (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值．
解 (1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m ·n ＝12，
∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝1
2， 则cos A ＝－1
2. 又A ∈(0，π)， 所以A ＝2
3π.
(2)S △ABC ＝1
2bc sin A ＝3，∴bc ＝4，
又由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2＋bc ， ∴(b ＋c )2＝16，故b ＋c ＝4.
星期二(数列) ____年____月____日
【题目2】 (开放题)在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在k ，使得S k >S k ＋1，且S k ＋1<S k ＋2? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解 ∵等比数列{b n }中b 2＝3，b 5＝－81， ∴b n ＝－(－3)n －1，b 1＝－1，∴a 5＝b 1＝－1.
若S k>S k＋1，则只需S k>S k＋a k＋1，
即a k
＋1
<0，同理，若S k＋1<S k＋2，
则只需S k
＋1
<S k＋1＋a k＋2，即a k＋2>0.
若选①：b1＋b3＝a2时，a2＝－1－9＝－10，
∴a n＝3n－16.
当k＝4时，a5<0，a6>0，S k>S k＋1，且S k＋1<S k＋2成立．若选②：a4＝b4＝27，∵a5＝－1，
∴{a n}为递减数列，故不存在a k＋1<0，a k＋2>0，
即不存在k，使得S k>S k＋1，且S k＋1<S k＋2成立．
若选③：S5＝－25，S5＝5（a1＋a5）
2＝5a3＝－25，
∴a3＝－5.∴a n＝2n－11.
当k＝4时，a5<0，a6>0，S k>S k＋1，且S k＋1<S k＋2成立．
星期三(立体几何)____年____月____日
【题目3】如图，在三棱柱ABC－DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED 内的射影为O，G为CF的中点．
(1)求证：平面ABED⊥平面GED；
(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角A－CE－B的余弦值．
(1)证明取DE中点M，连接OM，GM，在△BDE中，OM∥BE，
OM＝1
2BE.
又因为G为CF中点，
所以CG∥BE，
CG ＝12BE .
∴CG ∥OM ，CG ＝OM .
∴四边形OMGC 为平行四边形． ∴GM ∥CO .
因为C 在平面ABED 内的射影为O . 所以CO ⊥平面ABED . 所以GM ⊥平面ABED ， 又因为GM ⊂平面DEG ， 所以平面ABED ⊥平面GED . (2)解 ∵CO ⊥平面ABED ， ∴CO ⊥AO ，CO ⊥OB .
又∵AB ＝BE ，∴四边形ABED 为菱形，∴OB ⊥AO ，
以O 为坐标原点，OA
→，OB →，OC →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立
如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 于是A (3，0，0)，B (0，1，0)， E (－3，0，0)，C (0，0，3)，
向量BE
→＝(－3，－1，0)，向量BC →＝(0，－1，3)， 设平面BCE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， ⎩⎪⎨⎪⎧m ·BE →＝0，m ·
BC →＝0，即⎩⎨⎧－3x 1－y 1＝0，－y 1＋3z 1＝0.
不妨令z 1＝1，则y 1＝3，x 1＝－1，取m ＝(－1，3，1)． 又n ＝(0，1，0)为平面ACE 的一个法向量． 设二面角A －CE －B 大小为θ，显然θ为锐角，
于是cos θ＝|cos〈m，n〉|＝|m·n|
|m|·|n|＝
3
5
＝
15
5，
故二面角A－CE－B的余弦值为15 5.
星期四(概率与统计)____年____月____日
【题目4】某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：
(1)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；
(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和(单位：千元)，求X的分布列和数学期望．
解(1)由统计表知，a＝25
50＝0.5，b＝
15
50＝0.3.
依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p＝0.5，
设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，而Y～B(5，0.5)，
所以P(Y＝2)＝C25×0.52×(1－0.5)3＝0.312 5.
(2)X的可能取值为4，5，6，7，8，
P(X＝4)＝0.22＝0.04，P(X＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2，
P(X＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37，
P(X＝7)＝2×0.3×0.5＝0.3，
P(X＝8)＝0.32＝0.09，
所以X的分布列为：
X的数学期望E(X)0.09＝6.2(千元)．
星期五(解析几何)____年____月____日
【题目5】已知椭圆C：x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的短轴长为42，离心率为
1
3.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值． 解 (1)由题意，得2b ＝42，∴b ＝22， 又c a ＝1
3且a 2－c 2＝b 2＝8， ∴a ＝3，c ＝1.
∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2
8＝1. (2)由(1)，可知A (－3，0)， B (3，0)，F 1(－1，0)，
据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．
记直线F 1M 与椭圆的另一交点为M ′，设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)， ∵F 1M ∥F 2N ，根据对称性， 得N (－x 2，－y 2)．
联立⎩⎨⎧8x 2＋9y 2＝72，y ＝26（x ＋1），消去y ，
得14x 2＋27x ＋9＝0. 由题设知x 1>x 2， ∴x 1＝－37，x 2＝－3
2， 又k 1＝y 1
x 1＋3＝26（x 1＋1）x 1＋3
＝469， k 2＝
－y 2－x 2－3＝26（x 2＋1）x 2＋3
＝－26
3，
所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－
263＝0， 则3k 1＋2k 2＝0.
星期六(函数与导数) ____年____月____日
【题目6】 已知函数f (x )＝x 2
－a 2ln x 的图象在点⎝
⎛⎭⎪⎫
12，f ⎝
⎛⎭⎪⎫12处的切线斜率为0.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若g (x )＝f (x )＋1
2mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －a
2x ， 因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝1－a ＝0，∴a ＝1.
∴f (x )＝x 2－1
2ln x ，
f ′(x )＝2x －12x ＝（2x －1）（2x ＋1）
2x .
令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <1
2.
故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12.
(2)由(1)知g (x )＝x 2－12ln x ＋1
2mx ， 令g ′(x )＝2x －12x ＋m 2＝4x 2＋mx －1
2x ＝0，
得x ＝－m ＋m 2＋168(负值舍去)，
设x 0＝－m ＋m 2＋16
8
，
所以g (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上为增函数．
因为g (x )在区间(1，＋∞)上没有零点，所以g (x )>0在(1，＋∞)上恒成立， 由g (x )>0，得12m >ln x
2x －x .
令h (x )＝ln x
2x －x (x ≥1)，则h ′(x )＝2－2ln x －4x 24x 2
.
当x ≥1时，h ′(x )<0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，
所以当x ＝1时，h (x )的最大值为－1，由于g (x )在区间(1，＋∞)上没有零点，所以m
2≥－1，即m ≥－2.
所以实数m 的取值范围是[－2，＋∞)．。