第二章 多自由度模态分析理论

我们以N个自由度的比例阻尼系统作为讨论的对象。然后将所分析的结 果推广到其他阻尼形式的系统。
设所研究的系统为N个自由度的定常系统。其运动微分方程为：
MX CX KX F
（2—1）
式中M、C、K分别为系统的质量、阻尼及刚度矩阵。均为N-N阶矩阵。并且M及 K矩阵为实系数对称矩阵，而其中质量M矩阵是正定矩阵，K刚度矩阵 。
xl ()

N r 1
Kr
lr pr f p () 2M r jCr
（2—35） （2—36）
因此，测量点 与激l 励点 之间的p频响函数为
xl ()
f p ()
Hlp ()
N
r 1 Kr
lr pr 2Mr
jCr
（2—37）
上式表示为 点的l 响应是单独由 点的激励力p引起的。换言之的含 意即为， 点作用一单位正弦力，在 点p 产生的复响应。由此可见，
由振动分析理论知道，对线性时不变系统，系统的任一点响应
均可表示为各阶模态响应的线性组合。对 点的响应可表示
为:
l
xl l1q1() l 2q2 ()
N
lN qN () lrN qr () r 1
（2—31）
2.2多自由度系统模态参数
多自由度系统模态分析将主要用矩阵分析方法来进行。
（2—32）
, N ) （2—33）
（2—34）
p
我们讨论单点激励情况。设激励力作用于点 ，则激励力向量变为
F [0
0 f p () 0
0]T
模态力为
Fr pr f p ()
因此， （2—模32）态坐标可表示为
qr

Kr
pr f p () 2M r jCr
将上式代入（2—32）式 响应表达式得
f1
F


f2


f N N 1
阶矩阵。即
X,X,X
（2—1）式是用系统的物理坐标
描述的运动方程组。在其每一个方程中
均包含系统各点的物理坐标，因此是一组耦合方程（请大家想象一下其展开
式）。当系统的自由度数很大时，求解很困难。我们能否将上述耦合方程变成
非耦合的独立的微分方程组，就是模态分析所要解决的主要任务。故所以模态
Z (s) 为位移阻抗；是
N N 阶矩阵。
（2—4）
阻抗矩阵 Z(s) 的逆矩阵称为传递函数矩阵
H (s) Z 1(s) (s2M sC K )1
对时不变系统，其极点在复平面左半平面，因此可将
（2—6a）
s
换成 j ，便可得出付氏域中的阻抗矩阵及频响函数矩阵：
Z () (K 2M jC)
对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的自由系统则是半正定 的。当阻尼为比例阻尼时，阻尼矩阵 C对于无刚体运动的约束系统是正定的； 对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。
X及 分F别为系统的位移响应向量及激励力向量，均为
N 1
x1
X


x2


xN N 1
分析的经典定义是：以无阻尼系统的各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理
坐标，使坐标耦合的微分方程组解耦为各个坐标独立的微分方程组，从而使求
出系统的各阶模态参数。
对（2—1）式两边进行拉氏变换，可得 (s2M sC K ) X (s) F (s)
式中 s j s j
l
xl l1q1() l 2q2 ()
式中 lr 为第 l 个测点、第
N
lN qN () lrN qr () r 1
r 阶模态的振型系数。
（2—9）
由N个测点的振型系数所组成的列向量为
1
r


2


N r
（2—10）
2.3多自由度系统模态分析
（2—6b）
H () Z 1() (K 2M jC)1 此时，系统的频域运动方程为：
(K 2M jC) X () F ()
（2—7） （2—8）
由振动分析理论知道，对线性时不变系统，系统的任一点响应均可表示为各
阶模态响应的线性组合。对 点的响应可表示为
试验模态分析
第二章多自由度系统模态分析理论
§1.11、多自由度系统频响函数以及与模态参数的关系
前面我们引出了模态坐标、模态参数以及模态正交性的概念。这些都是模态分 析的基本概念。当我们知道物理空间中结构的质量、阻尼及刚度矩阵时，即知道，及 时就可以用计算机分析其结构的动态特性以及求解其响应了。这就是所谓的正向求解 方法。但对一个实际结构的和必须经简化以及离散化后才可以得，这里就有一定的误 差。至于阻尼矩阵就更难确定了。
另外还有用试验的方法来测得结构的动态特性的方法。这就 是所谓的逆向求解方法。即《试验模态技术》。所谓试验模 态就是由试验测量激励 和响应 （或 、 ）来获得结构 的动态F特(性t) 。这就与频X响(t函) 数的概X念(t)有关。X下(t)面我们讨论频 响函数（或传递函数）与模态参数之间的关系，即频响函数 的各种表达式。
为拉氏变换因子；
X (s) 及 F(s)
分别为位移响应与激励的拉氏变换（初试条件为零），即
（2—2） （2—3）
X (s) x(t)est dt
F (s) f (t)est dt
（2—2）式又可写为：
Z(s)X (s) F(s)
式中
Z (s) (s2M sC K )
试验实模态分析
设系统的自由度为 ，阻尼N 为比例阻尼，由（2—31）式可得
第 阶模态坐标为：
r
qr

(Kr
Fr
2M r

Байду номын сангаас
jCr )
式中:
n
Fr rT F () ir f j () j 1
结构上任意 测l点的响应为
(i 1, 2,
N
xl lrN qr () r 1
在上节讨论中，我们引出了模态坐标、模态参数以及模态正交性的概念。这 些都是模态分析的基本概念。这里我们要讨论频响函数（或传递函数）与模 态参数之间的关系，即频响函数的各种表达式。
按照模态参数（主模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可分为实模态 与复模态两类。由于这两类模态的特性有一定的区别，故分别加以叙述。这里 先讨论实模态