弹性力学第四章习题

Φ Acos 2φ Bsin 2φ Cφ D。 本题中结构对称于 0的 x 轴，而 M 是 反对称荷载，因此，应力应反对称于x 轴， 为 x 的奇函数，从而得
A D 0,
B sin 2 C。
第四章
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（4）由 Φ 求得应力分量， 1 σ ρ 2 4 Bsin 2φ, σ 0, ρ
1
1 d4Φ d2Φ ( 4 4 2 ) 0。 4 ρ dφ dφ
删去因子 4 ，得一个关于Φ (φ) 的常微分方程。 令其解为 Φ e λφ，代入上式，可得到一个关 于 的特征方程，2 (2 4) 0,
第四章
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2 i ae , 其解为 2i,2i,0,0。 于是得 的四个解 be 2i , c , d ；前两项又可以组合为正弦、 余弦函数。由此得


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例题4（习题4-19） 设有厚度为1的无限大薄板， 在板内小孔中受集中力F，试 用如下的应力函数求解，

y
ρ
0
F
φ
Φ Aρ ln ρ cos φ Bρ sin φ。
x
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解：
（1）经校核，上述 Φ 满足相容方程。
（2）代入应力公式，得


cos cos sin
( ) 2 0, 得C 0; ( ) 2 q, 得B q 2。
代入公式，得应力解答， q sin 2 , q sin 2 ,
q cos 2。
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例题3（习题4-18） 设半平面体在直 边界上受有集中 力偶，单位宽度 上的力矩为M，试 求应力分量。
y

0 2
M o 0,

0
将应力代入上式，其中第二、三式自然满足， 而第一式得出
B F 2 。
(a)
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（4）由此可见，考虑了边界条件后还 不足以确定待定常数。注意到本题是多连 体，应考虑位移的单值条件。因此，先求 出应变分量，再积分求出位移分量，然后 再考虑单值条件。
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再求出边界上的面力：
q 30面上， 0， ; a a面上, q cos 3 , q sin 3。
读者可由此画出边界上的面力分布。
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例题2（习题4-9）
半平面体表面受有均布水平力q，试用应力 函数 Φ ρ 2 ( Bsin 2φ Cφ) 求解应力分量。
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例题1 （习题4-8）试考察应力函数
能解决图中所示弹性体的何种受力问题？
y 0
q 3 Φ ρ cos3φ, 6a
a
30 o 30 o
a
x
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解：本题应按逆解法求解。 首先校核相容方程， 4Φ 0 是满足的。 然后，代入应力公式（4-5），求出应 力分量： qρ
σρ a qρ σφ cos3φ, a qρ τ ρφ sin 3φ。 a cos3φ,

( A 2 B), A, A。



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（3）考察边界条件。本题只有原 点o附近的小孔口上作用有集中力F， 可取出包含小孔口在内的、半径为 的脱离体，列出其三个平衡条件：
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F F
x
0, 0,

2
0 2
[(σ ρ ) ρ ρ cos φρ d φ ( τ ρφ ) ρ ρ sin φρ d φ] F 0, [(σ ρ ) ρ ρ sin φρ d φ ( τ ρφ ) ρ ρ cos φρ d φ] 0, ( τ ρ ) ρ ρ ρ 2 d φ 0。
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解：应用半逆解法求解。
（1）按量纲分析方法，单位宽度
上的力偶矩与力的量纲相同。应力应
与 M , , 有关，由于应力的量纲是单 位面积上的力，即 L1ML2 ，应力只能
2 M 以 形式组合。
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（2） Φ 应比应力的长度量纲高二次幂， 可假设 。 Φ Φ (φ) （3）将 Φ代入相容方程，得
第四章
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解：首先检验 Φ，已满足 4Φ 0。由 Φ 求应力，代入应力公式得
2 B sin 2 2C ,
2 B sin 2 2C ,
2 B cos 2 C。
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再考察边界条件。注意本题有两个 面, 即 2 ，分别为 面。在 面上，应力 符号以正面正向、负面负向为正。因此，有
y

2
2
M o 0,

2
2
第四章
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上式中前两式自然满足，而第三式成为
M 再由式（a）得出 C 。 π 代入应力公式，得最后的应力解答，
2B M 。
(b)

2 M sin 2

M cos 2 1 。 2
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2
,
0,
（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶 作用，应分别考察大边界上的条件和 原点附近的条件。 在 ρ 0,φ π 2 的边界上，有
1 τ ρ 2 (2 B cos 2φ C )。 ρ
(σ φ ) ρ0,φπ 2 0, ( τ ρφ ) ρ0,φπ 2 0。
第四章
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由物理方程求出应变分量，
1 cos φ ε ρ (σ ρ μσ φ ) [(1 μ) A 2 B], E Eρ 1 cos φ εφ (σ φ μσ ρ ) [(1 μ) A 2 μB], E Eρ 2(1 μ) 2(1 μ) γ ρφ τ ρφ Asin φ。 E Eρ
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前一式自然满足，而第二式成为
2 B C。 (a) 为了考虑原点o附近有集中力偶的作用， 取出以o为中心， 为半径的一小部分脱离体， 并列出其平衡条件，
F F
x
0, 0,

2
2
[( ) cos d ( ) sin d ] 0, [( ) sin d ( ) cos d ] 0, ( ) 2 d M 0。