2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期学情调研测试(一)数学试题含答案

金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）
数学试卷
命题人：
审核：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝ ( )
A ．
B ．(0，4]
C ．(1，4]
D ．(4，＋∞)
2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚数”的 ( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 下列命题中正确的是 ( )
A ．若a ＞b ，则ac ＞bc
B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d
C ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1
b
D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞b
d
4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝3
4，则S 5＝ ( )
A ．31
32
B ．3116
C ．318
D ．314
5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为 ( )
A ．－512
B ．1024
C ．4096
D ．5120
6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试
卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的1
5，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150
B ．200
C ．300
D ．400
7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |
＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x
8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭
圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于6
5，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A ．(0，5
9]
B ．(0，3
2]
C ．(0，5
3]
D ．(13，32]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π
4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可
能取值为 ( ) A ．π6
B ．π3
C ．π2
D ．5π12
10. 下列说法中正确的是 ( )
A ．设随机变量X 服从二项分布
B ⎝⎛⎭⎫
6，12，则P (X ＝3)＝516
B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4
C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；
D (2X ＋3)＝2D (X )＋3
D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜1
2，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大
11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( )
A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1
x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则
x 2＋y 22≥2xy x ＋y
C ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]
D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，
＋∞)
12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A ．a 6＝8
B ．S 7＝33
C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022
D ．a 21＋a 22＋…＋a 2
2019a 2019
＝a 2020
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→
b |，则m ＝▲________．
14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三
个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．
15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1
的长度为▲________．
16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x
)，x ＜0，
x 2－2k ，x ≥0，
若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k
的取值范围是▲________．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．
17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在
下面的问题中，并以此为依据求解问题．
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；
(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．
18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2
＝a n (S n －1
2)．
(1)求S n 的表达式；
(2)设b n ＝S n
2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．
19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M
为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；
(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%
拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．
拥有驾驶证 没有驾驶证 总计
具有很强安全意识 不具有很强安全意识
58 总计
200
驾驶证有关?
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．
21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C
上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →
为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．
22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩
⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；
(2)若g (x )＝xf '(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．
金陵中学高三年级学情调研测试（一）
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝( )
A ．
B ．(0，4]
C ．(1，4]
D ．(4，＋∞)
答案：C
2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚数”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：C
3. 下列命题中正确的是( )
A ．若a ＞b ，则ac ＞bc
B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d
C ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1
b
D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞b
d
答案：C
4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝3
4，则S 5＝( )
A ．3132
B ．3116
C ．318
D ．314
答案：B
5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为( )
A ．－512
B ．1024
C ．4096
D ．5120
答案：C
6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试
卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的1
5，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150
B ．200
C ．300
D ．400
答案：C
7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准
线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x
B ．y 2＝6x
C ．y 2＝3x
D ．y 2＝3x
答案：B
8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭
圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于6
5，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0，5
9]
B ．(0，3
2]
C ．(0，5
3]
D ．(13，32]
答案：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π
4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可
能取值为( ) A ．π6
B ．π3
C ．π2
D ．5π12
答案：AB
10. 下列说法中正确的是( )
A ．设随机变量X 服从二项分布
B ⎝⎛⎭⎫
6，12，则P (X ＝3)＝516
B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4
C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；
D (2X ＋3)＝2D (X )＋3
D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜1
2，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD
11. 下列四个命题中，是真命题的是( )
A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1
x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则
x 2＋y 22≥2xy x ＋y
C ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]
D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，
＋∞) 答案：BCD
12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，
其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．a 6＝8
B ．S 7＝33
C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022
D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019
＝a 2020 答案：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→
b |，则m ＝▲________． 答案：1
14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三
个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)． 答案：40
15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1
的长度为▲________． 答案：4
16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x
)，x ＜0，
x 2－2k ，x ≥0，
若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k
的取值范围是▲________． 答案：(27，＋∞)
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．
17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在
下面的问题中，并以此为依据求解问题．
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；
(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．
解析：若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．
(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 2
2ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分
可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝3
2．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·3
2，………6分 即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )2
4，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )2
4，
解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤2
2＋
3－1，即△ABC 周长的最大值为2
2＋
3－
1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，
由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝3
2，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
6． (2)同上
18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2
＝a n (S n －1
2)．
(1)求S n 的表达式；
(2)设b n ＝S n
2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解析：(1)因为
S n 2＝a n (S n －1
2)，
当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －1
2)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分 由题意得S n －1·
S n ≠0，所以1S n －1
S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1
a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分
所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝1
2n －1． …………………………………………7分
(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1
(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－1
2n ＋1)，……………………………10分
所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－1
2n ＋1)
＝n
2n ＋1． …………………………………12分
19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M
为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；
(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
(1)证明：取BP 的中点T ，连接AT ，TN ．
由N 为PC 的中点，知TN ∥BC ，TN ＝1
2BC ＝2．
又AD ∥BC ，AM ＝2
3AD ＝2，所以TN _∥AM ，因此四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ． …………………………………3分
因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …………………………………5分
(2)取BC 的中点E ，连接AE ．
由AB ＝AC ，得AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，AE ＝AB 2
－BE 2
＝
AB 2
－⎝⎛⎭⎫BC 22
＝5．
以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立
空间直角坐标系A －xyz ．
由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫5
2，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫5
2，1，2．…………………………………7分
设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪
⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．
……………………………………………………………………9分
于是|cos ＜n ，AN →
＞|＝|n ·AN →
||n |·|AN →|
＝8525．…………………………………11分
设AN 与平面PMN 所成角为θ，则sin θ＝8525，即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为85
25． …………………………………12分
20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%
拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．
拥有驾驶证 没有驾驶证 总计
具有很强安全意识 不具有很强安全意识
58 总计
200
(1)补全上面的驾驶证有关?
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．
附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．
解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．
补全的2×2列联表如表所示：
计算得K 2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝75
16＝4.6875＞3.841， 所以有超过
95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有
关． …………………………………5分
(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为1
5，所以X ＝0，
1，2，3，4，且X ~B ⎝⎛⎭⎫
4，15．
于是
P (X ＝k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭
⎫
45
4－k
(k ＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为
0分 所以E (X )＝4×15＝4
5．
答：X 的数学期望为4
5． …………………………………12分 21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，3
2)在椭圆C
上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →
为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由． 解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋9
4b 2＝1．
又点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ，所以AB ⊥BF 2，即AB →·BF 2→
＝(3c ，b )·(c ，－b )＝0，即b 2＝3c 2．
又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3．
所以椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1． …………………………………4分 (2)易得右焦点F 2(1，0)，假设存在点P (t ，0)满足要求．
①当直线MN 的斜率不为0时，设直线MM 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝1，整理可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·
y 2＝－94＋3m 2，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝8
4＋3m 2，x 1x 2＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－9m 24＋3m 2＋－6m 24＋3m 2＋1＝4－12m 24＋3m 2．
…………………………………6分
因为PM →·PN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝4－12m 24＋3m 2－8t 4＋3m 2＋t 2－94＋3m 2 ＝t 2(4＋3m 2)－12m 2－8t －54＋3m 2＝3m 2(t 2－4)＋4t 2－8t －5
4＋3m 2
．
…………………………………9分 要使PM →·PN →为定值，则t 2－41＝4t 2－8t －54
，解得t ＝118，此时PM →·PN →
＝－13564为定值． …………………………………11分
②当直线MM 的斜率为0时，则M (－2，0)，N (2，0)，P (118，0)，此时PM →·
PN →
＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－135
64． …………………………………12分
综上，所以存在P (118，0)，使PM →·PN →
为定值．
22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩
⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，
g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；
(2)若g (x )＝xf'(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．
解析：(1)求导得f'(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f'(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2
a ．…………………………………1分
因为a ＞0，所以x 1＜x 2，列表如下：
所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12
a 2＋1＝1－4a 2．…………………………………3分
(2)g (x )＝xf'(x )＝3ax 3－6x 2．
因为存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，所以f (x )≥g (x )在x ∈[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2
在x ∈[1，2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3
x 在x ∈[1，2]上有解．………………………5分
设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1
x 3，x ∈[1，2]．
因为y'＝－3x 2－3x 4＜0对x ∈[1，2]恒成立，所以y ＝1x 3＋3
x 在[1，2]上递减，故当x ＝1时，y max
＝4．
所以2a ≤4，即a ≤2，故a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分
(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫
2a ＝1－4a 2．
①当1－4
a 2＞0，即a ＞2时，f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥f (x )＞0，因此h (x )在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分
②当1－4
a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0，又g (1)＝0，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分
③当1－4
a 2＜0，即0＜a ＜2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x ，0＜x ＜1． 因为φ'(x )＝3ax 2
－6x －1x ＜6x (x －1)－1
x ＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递减．
又φ(1)＝a －2＜0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 3＋2e 2
－3e 2＞0，所以存在唯一的x 0∈⎝⎛
⎭⎫1e ，1，使得φ(x 0)＝0． (i )当0＜x ≤x 0时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0，所以h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0＜ln1＝0，f (0)＝1＞0，所以h (x )在(0，x 0)上有一个零点． (ii )当x 0＜x ＜1时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )＜φ(x 0)＝0，所以h (x )＝g (x )且h (x )为增函数．
因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝ln x＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．
从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点．
综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点．
…………………………………12分。