2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期学情调研测试(一)数学试题含答案
高2021届高2018级江苏省南京市金陵中学高三上学期8月学情调研测试数学试题解析版
2021届江苏省南京市金陵中学高三第一学期8月学情调研测试数学试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =-->,{}ln 0B x x =>,则()RA B =（ ）A ．∅B ．(]0,4C ．(]1,4D ．()4,+∞【参考答案】C【试题解析】先解出集合A 、B ,再求解出集合A 的补集,根据集合交集的运算即可求解.由题意得{1A x x =<-或}4x > ,{}1B x x =>,所以{}14RA x x =-≤≤,()(]1,4R AB =.故选：C本题主要考查了集合补集、交集的运算,属于简单题,计算中可以借助数轴法求解集合的补集和集合间的交集.2．设,R a b ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【参考答案】B【试题解析】0ab =即,a b 中至少有一个是零；复数ba a bi i+=-为纯虚数,故0,0a b =≠为小范围,故为必要不充分条件.3．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >,则ac bc > B ．若a b >,c d >,则a c b d ->- C ．若0ab >,a b >,则11a b < D ．若a b >,c d >,则a b c d> 【参考答案】C【试题解析】分析：根据不等式性质逐一排除即可.A. 若a b >,则ac bc >,当c 取负值时就不成立,故错误；B. 若a b >,c d >,则a cb d ->-,例如a=3,b=1,c=2,d=-2显然此时ac bd -<-,故错误；D,若a b >,c d >,则a b c d >,例如a=3,c=-1,b=-1,d=-2,此时a bc d<,故错误,所以综合得选C.点睛：考查不等式的简单性质,此类题型举例子排除法比较适合,属于基础题. 4．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若43113,84a S a =-=,则S 5＝（ ） A ．3132B ．3116C ．318D ．314【参考答案】B【试题解析】利用正项等比数列{a n }的前n 项和公式,通项公式列出方程组,求出a 1＝1,q ＝12,由此能求出S 5的值．解：正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,43113,84a S a =-=, ∴()31311181314a q a q a q ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪-⎩,解得a 1＝1,q ＝12, ∴S 5＝()5111a q q --＝1132112--＝3116．故选：B ． 【点评】本题考查等比数列的前n 项和的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题．5．()101(21)x x -+的展开式中10x 的系数为（ ）A ．512-B ．1024C ．4096D ．5120【参考答案】C【试题解析】先将二项式变形为1010(21)(21)x x x +-+,分别写出两个二项式展开式的通项,并分别令x 的指数为10,求出两个参数的值,代入展开式之后将两个系数相减可得出答案．()1010101(21)(21)(21)x x x x x -+=+-+,二项展开式10(21)x x +的通项为1010111010(2)2r rr r r xC x C x ---⋅=⋅⋅,二项展开式10(21)x +的通项为1010101010(2)2kkk k k C x C x ---⋅=⋅⋅,则111011010r r k -=⎧=⎨-=⎩，解得,0k =, 所以,展开式中10x 的系数为19010101022512010244096C C ⋅-⋅=-=．故选C ．本题考查了利用二项式定理求指定项的系数,考查二项式定理的应用,同时也考查了计算能力,属于中等题．6．某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>,试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【参考答案】C【试题解析】求出()39010510P X ≤≤=,即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．∵()()1901205P X P X ≤=≥=,()2390120155P X ≤≤=-=, 所以()39010510P X ≤≤=, 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 故选C ．本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想．属于基础题．7．如图,过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C ,若2BC BF =,且6AF =,则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =【参考答案】B【试题解析】分别过A ,B 作准线的垂线,交准线于E ,D ,设|BF |=a ,运用抛物线的定义和直角三角形的性质,求得p ,可得所求抛物线的方程．如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设BF a =, 则由已知得2BC a =,由抛物线定义得BD a =,故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中,因为6AE AF ==,63AC a =+,2AE AC =, 所以6312a +=,得2a =,36FC a ==,所以132p FG FC ===, 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B本题考查抛物线的定义和方程、性质,以及直角三角形的性质,考查方程思想和数形结合思想,属于中档题．8．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ,短轴的一个端点为P ,直线l ：430x y -=与椭圆C 相交于A ,B 两点.若6AF BF +=,点P 到直线l 的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．50,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛ ⎝⎦C ．50,3⎛ ⎝⎦D ．13,32⎛⎤⎥ ⎝⎦【参考答案】C【试题解析】设椭圆的左焦点为F ',根据双曲线的定义,求得3a =,再由点P 到直线l 的距离不小于65,求得2b ≥,得到213b a≤<,进而求得离心率的范围,得到答案.设椭圆的左焦点为F',根据椭圆的对称性可得AF BF '=,BF AF '=, 所以62AF AF BF AF a '+=+==,解得3a =,因为点P 到直线l 的距离不小于65,所以()226543≥+-,解得2b ≥, 又由b a <,所以23b ≤<,故213ba≤<, 所以离心率22510,c b e a a ⎛⎤==-∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：C.本题考查了椭圆的定义,以及椭圆的几何性质——离心率的求解,其中求椭圆的离心率(或范围),常见有两种方法：①求出,a c ,代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式,转化为,a c 的齐次式,然后转化为关于e 的方程,即可得e 的值(范围)．二、多选题9．若函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间(),a b （0a b π<<<）上单调递减,则b a -的可能取值为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．512π 【参考答案】AB【试题解析】先求()f x 在()0,π上的单调递减区间,再求()g x 在()0,π上的单调递减区间,再求交集即可得()f x 和()g x 两个函数的递减区间,可得b a -的最大值,进而可得b a -的可能取值.当()0,x π∈时,52,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以当32,322x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时,即511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 单调递减,即函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,当()0,x π∈时,,44x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,即30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()g x 单调递减, 因为30,451153,,1212124πππππ⎛⎫= ⎪⎝⎛⎭⎫⎛⎫⋂⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以,53124a b ππ≤<≤ 所以354123b a πππ-≤-=,所以b a -可能为6π或3π, 故选：AB本题主要考查了三角函数的单调性,属于中档题. 10．下列说法中正确的是（ ） A ．设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()5316P X == B ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=,则()020.4P X <<=C ．()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+ D ．已知随机变量ξ满足()0P x ξ==,()11P x ξ==-,若102x <<,则()E ξ随着x 的增大而减小,()D ξ随着x 的增大而增大 【参考答案】ABD【试题解析】对于选项,,A B D 都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项,C 根据方差的性质,即可判断选项C .对于选项,A 设随机变量16,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以选项A 正确； 对于选项,B 因为随机变量()22,N ξσ,所以正态曲线的对称轴是2x =,因为()40.9P X <=,所以(0)0.1P X <=, 所以(02)0.4P X <<=,所以选项B 正确； 对于选项,C ()()2323E X E X +=+,()()234D X D X +=,故选项C 不正确；对于选项,D 由题意可知,()1E x ξ=-,()()21D x x x x ξ=-=-+,由一次函数和二次函数的性质知, 当102x <<时,()E ξ随着x 的增大而减小, ()D ξ随着x 的增大而增大,故选项D 正确.故选：ABD .本题主要考查二项分布和正态分布的应用,考查期望和方差的计算及其性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．下列四个命题中,是真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ,且0x ≠,12x x+≥B ．若0x >,0y >,2xyx y≥+C ．函数()f x x =值域为⎡⎤⎣⎦D ．已知函数()9f x x a a x=++-在区间[]1,9上的最大值是10,则实数a 的取值范围为[)8,-+∞ 【参考答案】BCD【试题解析】结合基本不等式的条件及基本不等式可以判断A ,B ,结合三角换元及三角函数的性质可判断C ,结合含绝对值函数的图像变换可检验D ,即可判断．对于A ,x ∀∈R ,且0x ≠,12x x+≥对0x <时不成立； 对于B ,若0x >,0y >,则()()22222248x yx y xy xy x y ++≥⋅=,化为2xyx y≥+,当且仅当0x y =>时取等号,故B 正确；对于C ,令x θ=,[]0,θπ∈,则()2sin 4f x x πθθθ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭,由[]0,θπ∈,得5,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()2sin 24f x πθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭；对于D ,当[]1,9x ∈,[]96,10x x +∈,令[]96,10x t x+=∈,转化为y t a a =+-在[]6,10t ∈有最大值是10.①10a -≥,当6t =时,max 62610y a a a =+-=--=,得8a =-（舍去）. ②6a -≤时,当10t =时,max 1010y a a =+-=恒成立.③610a <-<,{}max max 26,10y a =--,此时只需2610a --≤,得86a -≤<-. 综上,8a ≥-,故D 正确． 故选：BCD本题以判断命题真假为载体,主要考查了函数,不等式的综合应用,属于中档题． 12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数：1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 【参考答案】ABCD【试题解析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案.对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确； 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确；对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-,可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =- 2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确；故选：ABCD.本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换.三、填空题13．已知向量()2,6a =-,()3,b m =,若a b a b +=-,则m =______. 【参考答案】1【试题解析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得a b +与a b -,再结合向量的模长公式即可求得m 的值.向量()2,6a =-,()3,b m =则()5,6a b m +=-+,()1,6a b m -=---则25a b +=+=()()16a b m -=-+--=因为a b a b +=-=化简可得12611237m m -+=+ 解得1m = 故答案为: 1本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14．某学校高一学生2人,高二学生2人,高三学生1人,参加A 、B 、C 三个志愿点的活动.每个活动点至少1人,最多2人参与,要求同年级学生不去同一活动点,高三学生不去A 活动点,则不同的安排方法有_____种.（用数字作答） 【参考答案】40【试题解析】以高三学生是否单独去志援点分为两类,每一类中先安排高三学生,再安排高一、高二学生,由乘法原理算出两类安排方法,相加即可.若高三学生单独去志愿点,则有1222228C A A =种,若高三学生与其它年级学生合去志愿点,按先分组再分到志愿点的思路,有11214222C A C C =32种,则共有83240+=种安排方法. 故答案为：40.本题考查分类计数原理的运用,以高三学生是否单独去志愿点确定分类的方法,再逐级安排,考查乘法原理,属于中档题.15．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与各个面均相切的球.若AB BC ⊥,6AB =,8BC =,则1AA 的长度为______.【参考答案】4【试题解析】求出△ABC 内切圆的半径,根据球是三棱柱的内切球,求出其半径,从而求出AA 1的长度即可．由AB BC ⊥,6AB =,8BC =,得10AC =.设底面Rt ABC △的内切圆的半径为r ,则()1168681022r ⨯⨯=⨯++⋅,得2r .因为球与三个侧面相切,所以内切球的半径也为2.又该球也与直三棱柱的上、下底面相切,所以124AA r ==. 故答案为：4本题考查了三棱柱的内切球,考查三角形内切圆以及直三棱柱问题,是一道常规题．16．已知函数22(1),0()2,0k x f x xx k x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩,若函数()()()g x f x f x =-+有且仅有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是_______． 【参考答案】()27,+∞【试题解析】根据题意可求得222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,再分0,0,0k k k =<>三种情况求函数的单调性,进而根据零点存在性定理求出函数的最小值求解不等式即可.由题, ()22212,0()22,0221,0k x k x x g x k k x x k k x x ⎧⎛⎫++-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=--=⎨⎪⎛⎫⎪--+-< ⎪⎪⎝⎭⎩,即222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,当k ＝0时,原函数有且只有一个零点,不符题意,故k ≠0, 观察解析式,可知函数()g x 有且仅有四个不同的零点, 可转化为22(),0kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点, 当k ＜0,函数()g x 在(0,+∞)单调递增,最多一个零点,不符题意,舍；当k ＞0,322()(),0x k g x x x-'=>, 令()0g x '=有13x k =,故要使()g x在(0,+∞)有且仅有两个不同的零点, 则1233min 132()()0k g x g k k k k==+-<,因为0k >,故213333k k k <⇒<,解得k ＞27,综上所述,实数k 的取值范围是(27,+∞)． 故答案为：(27,+∞)本题主要考查了根据分段函数的零点个数求解参数范围问题,需要根据函数的性质求出单调性以及最值,进而根据零点存在性定理列式求解.属于中档题.四、解答题17．现给出两个条件：①22cosc a B=,②()2cos cos bA C =,从中选出一个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题. 在ABC 中,a ,b,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,______. （1）求A ；（2）若31a,求ABC 周长的最大值.【参考答案】（1）6π；（2）1. 【试题解析】若选条件①,（1）由余弦定理对2cb =2a cos B ,化简可得c 2+b 2﹣a2=,再利用余弦定理可求出A ；（2）由余弦定理可得1)2=b 2+c 2﹣2bc化简再利用基本不等式可得b c +≤可求出△ABC 周长的最大值；若选条件②,（1）由(2b )cos A =cos C ,结合正弦定理化简可得2sin B cos A =B ,从而可求出A ；（2）由余弦定理可得1)2=b 2+c 2﹣2bc 化简再利用基本不等式可得b c +≤可求出△ABC 周长的最大值；若选择条件①22cos c a B =.（1）由余弦定理可得22222cos 22a c b c a B a ac +-==⋅,整理得222c b a +-=,可得222cos 222b c A bc bc a +===-. 因为()0,A π∈,所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得)222122b c bc =+-⋅,即()(22242b c b c bc -=+=+-+,亦即(()(224bc b c =+--,因为()24b c bc +≤,当且仅当b c =时取等号,所以()((()22424b c b c ++--≤⨯,解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤,即ABC 周长的最大值为1若选择条件②()2cos cos b A C =.（1）由条件得2cos cos cos b A C A =+, 由正弦定理得)()2sin cos sin cos sin cos B A A C C A A C B =+=+=.因为sin 0B ≠,所以cos A =因为()0,A π∈,所以6A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得)222122b c bc =+-⋅,即()(22242b c b c bc -=+=+-+,亦即(()(224bc b c =+--,因为()24b c bc +≤,当且仅当b c =时取等号,所以()((()22424b c b c ++--≤⨯,解得b c +≤当且仅当b c ==.所以1a b c ++≤,即ABC 周长的最大值为1此题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查基本不等式的应用,考查计算能力,属于基础题18．已知数列{}n a 中,11a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求n S 的表达式； （2）设21nn S b n =+,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【参考答案】（1）121n S n =-；（2）111221n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．【试题解析】（1）运用()12n n n a S S n -=-≥,代入化简整理,再由等差数列的定义和通项公式即可得到所求； （2）求得21nn S b n =+＝1(21)(21)n n -+＝11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,运用数列的求和方法：裂项相消求和,即可得到所求和．解：（1）∵212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()12n n n a S S n -=-≥, ()2112n n n n S S S S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,112n n n nS S S S --=-①,由题意10n n S S -≠,将①式两边同除以1n n S S -得,()11122n n n S S --=≥ ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a ==,公差为2的等差数列． 可得()112121nn n S =+-=-, 得121n S n =-； （2）21nn S b n =+＝1(21)(21)n n -+＝11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,111111111++=123352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦本题考查数列中()12n n n a S S n -=-≥的运用,考查数列的求和方法：裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题．19．如图,四棱锥P−ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明MN ∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 【参考答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）85． 【试题解析】 （Ⅰ）由已知得. 取的中点T ,连接,由为中点知,.又,故=TN AM ∥,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN AT ∥.因为平面,平面,所以平面.（Ⅱ）取的中点,连结.由得,从而,且.以A为坐标原点,AE的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知,,,,,(0,2,4) PM=-,5(,1,2) PN=-,5(,1,2)AN=.设(,,)x y z=n为平面PMN的一个法向量,则0,{0,n PMn PN⋅=⋅=即240,{520,y zx y z-=+-=可取(0,2,1)n=.于是85cos,n ANn ANn AN⋅〈〉==.【考点】空间线面间的平行关系,空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系,利用空间向量中的夹角与距离来处理．20．成都市现在已是拥有1400多万人口的城市,机动车保有量已达450多万辆,成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况,某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证,用分层抽样的方法抽取了200名成年人,然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[]30,100范围内,规定分数在80以上（含80）的为“具有很强安全意识”,所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200（1）补全上面的22⨯列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关？（2）将上述调查所得的频率视为概率,现从全市成年人中随机抽取4人,记“具有很强安全意识”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++．P （20K k ≥） 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【参考答案】（1）表格见解析,有超过95%的把握；（2）分布列见解析,数学期望为45． 【试题解析】（1）拥有驾驶证的有80人,具有很强安全意识的有40人,由此可得列联表,再计算得2K 后与3.841比较大小即可得出结论；（2）由题意可知X 可以取0,1,2,3,4,且14,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭,由此可求出分布列及数学期望．解：（1）200人中拥有驾驶证的占40%,有80人,没有驾驶证的有120人, 具有很强安全意识的占20%,有40人,不具有很强安全意识的有160人, 补全的22⨯列联表如表所示：计算得()2220022102185875 4.6875 3.841408016012016K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯,∴有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关；（2）由频率分布直方图中数据可知,抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15, ∴X 可能取0,1,2,3,4,且14,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 于是()4241455kkP X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0k =,1,2,3,4）,X 的分布列为∴()14455E X =⨯=．本题主要考查独立性检验与二项分布的应用,属于基础题．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c ,点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上,点()3,0A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于,M N 两点,在x 轴上是否存在点(),0P t 使得PM PN ⋅为定值？如果存在,求出点P 的坐标；如果不存在,说明理由.【参考答案】（1）22143x y +=；（2）存在,11,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【试题解析】（1）由点在椭圆上代入可得a ,b 的关系,再由点(3,0)A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B ．可得20AB BF =可得b ,c 的关系,再由a ,b ,c 的关系求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标,分坐标MN 的斜率为0和不为0两种情况讨论,假设存在P 满足条件,设直线MN 的方程,与椭圆联立求出两根之和及两根之积,进而求出数量积PM PN 的表达式,要使数量积为定值,则分子分母对应项的系数成比例,可得t 的值,且可求出定值．解：（1）由题意可得上顶点(0,)B b ,2AB BF ⊥,所以：221914a b +=,20AB BF =,即(3c ,)(b c ,)0b -=即223b c =,222a b c =+,解得：24a =,23b =,所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标(1,0),假设存在(,0)P t)i 当直线MN 的斜率不为0时,设直线MN 的方程为：1x my =+,设1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y ,联立直线与椭圆的方程22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩,整理可得：22(43)690m y my ++-=,122643my y m -∴+=+,122943y y m-=+, 121228()243x x m y y m ∴+=++=+,222212121222296412()11434343m m m x x m y y m y y m m m ---=+++=++=+++,因为()()1122,,PM PN x t y x t y =--2222222221212122222241289(43)12853(4)(48()4343434343m t t m m t m t t x x t x x t y y t m m m m m -+----+-=-+++=-+-==+++++,要使PM PN 为定值,则22448514t t t ---=,解得：118t =,这时13564PM PN =为定值,)ii 当直线MN 的斜率为0时,则(2,0)M -,(2,0)N ,P 为11(8,0),则11(28PM PN =--,110)(28-,2111350)()4864=-=,综上所述：所以存在11(8P ,0),使PM PN 为定值．考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合,属于中档题． 22．已知()3231f x ax x =-+（0a >）,定义()()(){}()()()()()(),,max ,,.f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩（1）求函数()f x 的极小值；（2）若()()g x xf x '=,且存在[]1,2x ∈使()()h x f x =,求实数a 的取值范围； （3）若()ln g x x =,试讨论函数()h x （0x >）的零点个数. 【参考答案】（1）241a-；（2）(],2-∞；（3）答案见解析. 【试题解析】（1）求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为不等式3132a x x≤+在x ∈[1,2]上有解,根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）通过讨论a 的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．（1）求导得()()23632'=-=-f x ax x x ax ,令()0f x '=,得10x =或22x a=. 因为0a >,所以12x x <,列表如下：所以()f x 的极小值为2222812411f a a aa ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭. （2）()()3236g x xf x ax x '==-.因为存在[]1,2x ∈使()()h x f x =,所以()()f x g x ≥在[]1,2x ∈上有解,即32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2x ∈上有解,即不等式3132a x x≤+在[]1,2x ∈上有解 设2331331x y x x x+=+=,[]1,2x ∈. 因为24330x y x--'=<对[]1,2x ∈恒成立,所以313y x x =+在[]1,2上递减,故当1x =时,max 4y =.所以24a ≤,即2a ≤,故a 的取值范围为(],2-∞.（3）由（1）知,()f x 在()0,∞+上的最小值为2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ①当2410a ->,即2a >时,()0f x >在()0,∞+上恒成立,所以()()(){}()max ,0h x f x g x f x =≥>,因此()h x 在()0,∞+上无零点.②当2410a-=,即2a =时,()()min 10f x f ==,又()10g =,所以()()(){}max ,h x f x g x =在()0,∞+上有且仅有一个零点.③当2410a-<,即02a <<时,设()()()3231ln x f x g x ax x x ϕ=-=-+-,01x <<.因为()()21136610x ax x x x x xϕ'=--<--<,所以()x ϕ在()0,1上单调递减.又()120a ϕ=-<,2321230a e e ee ϕ-⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,所以存在唯一的01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00x ϕ=.（i ）当00x x <≤时,因为()()()()00x f x g x x ϕϕ=-≥=,所以()()h x f x =且()h x 为减函数.又()()()0000ln ln10h x f x g x x ===<=,()010f =>,所以()h x 在()00,x 上有一个零点.（ii ）当01x x <<时,因为()()()()00x f x g x x ϕϕ=-<=,所以()()h x g x =且()h x 为增函数.因为()10g =,又()()(){}()max ,ln 0h x f x g x g x x =≥=>在1x >上恒成立,所以()h x 在()0,x +∞上有且仅有一个零点.从而()()(){}max ,h x f x g x =在()0,∞+上有两个零点.综上,当02a <<时,()h x 有两个零点；当2a =时,()h x 有一个零点；当2a >时,()h x 无零点.本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题．。
金陵中学21-22高三11月学情调研卷--数学
金陵中学21-22高三11月学情调研卷--数学数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时刻为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试终止后，交回答卷纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上） 1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R}，则A ∩Z 中元素的个数为 ． 2．已知2＋3ii ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝ ． 3．为了调查都市PM2.5的值，按地域把36个都市分成甲、乙、丙三组，对应的都市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个都市，则乙组中应抽取的都市数为 ．4．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个爱好小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个爱好小组的概率为 ．5．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，则线段PF 的长为 ．7．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝ ．8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ． 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为 ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k的取值范畴是 ．12．已知α，β为平面，m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ．其中是真命题的有 ．(填写所有正确命题的序号)13．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．(第8题)14．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取值范畴为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知平面向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝(5cos θ，3)． （1）若a ∥b ，求sin2θ的值； （2）若a ⊥b ，求tan(θ＋π4)的值．16．（本小题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点． （1）若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1； （2）求证：A 1B//平面ADC 1．17．（本小题满分14分）经观看，人们发觉鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ，其中v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时刻(单位：h)，k为大于零的常数．假如水流的速度为 3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ．（1）将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数；ABC DA 1B 1C(第16题)（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若→AM ＝→MP ，判定点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由； （3）连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．19．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，(第18题)1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值． 20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：S 2n＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *． （1）若数列{a n }是等差数列，求a 的值；（2）确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．【附加题】 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时刻30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试终止后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD⊥CP ，垂足为D ． 求证：∠DAP ＝∠BAP ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1． （1）求a ，b 的值； （2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6)＝a 截得的弦长为2 3，求实数a 的值．ABD CPO· (第21A 题)D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B －PC －D 的余弦值．23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X 为摸出的3PA B C DE(第22题)个球上的数字和．（1）求概率P(X≥7)；（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)．参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对运算题，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定给分，但不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题1．4 2．－6 3．4 4．13 5．1 6．72 7．－5 8．11 9．36 10． 2 11．[12，1) 12．②③④ 13．710 14．(－∞，－12－ln2) 二、解答题15．解：（1）因为a ∥b ，因此1×3－2sin θ×5cos θ＝0， …………………3分即5sin2θ－3＝0，因此sin2θ＝35． …………………6分（2）因为a ⊥b ，因此1×5cos θ＋2sin θ×3＝0． …………………8分因此tan θ＝－56． …………………10分因此tan(θ＋π4)＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝111． …………………14分16．证明：（1）因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，因此AD ⊥BC ． 因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ， 因此AD ⊥平面BCC 1B 1． …………………5分因为DC 1⊂平面BCC 1B 1，因此AD ⊥DC 1． …………………7分 （2）(证法一)连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ， 则O 为A 1C 的中点． 因为D 为BC 的中点，因此OD//A 1B ． …………………11分 因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B /⊂平面ADC 1， 因此A 1B//平面ADC 1． …………………14分 (证法二)取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B ．则D 1C 1＝∥BD ． 因此四边形BDC 1D 1是平行四边形．因此D 1B// C 1D ． 因为C 1D ⊂平面ADC 1，D 1B /⊂平面ADC 1， 因此D 1B//平面ADC 1． 同理可证A 1D 1//平面ADC 1．因为A 1D 1⊂平面A 1BD 1，D 1B ⊂平面A 1BD 1，A 1D 1∩D 1B ＝D 1， 因此平面A 1BD 1//平面ADC 1． …………………11分ABC DA 1B 1C 1（第16题图）OABC DA 1B 1C 1（第16题图）D 1因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，因此A 1B//平面ADC 1．…………………14分17．解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km 所用的时刻为t ＝100v －3．…………………2分因此E ＝kv 3t ＝kv 3100v －3＝100kv3v －3(v ∈(3，＋∞))． …………………6分（2）E '＝100k 3v 2(v －3)－v 3(v －3)2＝100k 2v 2(v －4.5)(v －3)2．…………………10分令E '＝0，解得v ＝4.5或v ＝0(舍去)．因为k ＞0，v ＞3，因此当v ∈(3，4.5)时，E '＜0，当v ∈(4.5，＋∞)时，E '＞0．故E ＝100kv3v －3在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋∞)上单调递增．…………13分因此，当v ＝4.5时，E 取得最小值．即v ＝4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小． …………………14分18．解：（1）由⎩⎨⎧c a ＝12，a 2c ＝4．解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．因此b 2＝3． 因此椭圆方程为x 24＋y 23＝1． …………………4分 （2）因为→AM ＝→MP ，因此x M ＝1，代入椭圆得y M ＝32，即M (1，32)，因此直线AM 为：y ＝12(x ＋2)，得P (4，3)，因此→BM ＝(－1，32)，→BP ＝(2，3)．…………………8分 因为→BM ·→BP ＝52≠0，因此点B 不在以PM 为直径的圆上．…………………10分（3）因为MN 垂直于x 轴，由椭圆对称性可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)． 直线AM 的方程为：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，因此y p ＝6y 1x 1＋2，直线BN 的方程为：y ＝－y 1x 1－2(x －2)，因此y p ＝－2y 1x 1－2， …………………12分因此6y 1x 1＋2＝－2y 1x 1－2．因为y 1≠0，因此6x 1＋2＝－2x 1－2．解得x 1＝1． 因此点M 的坐标为(1，32)． …………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，因此当x ＞2t3或x ＜0时，f ′(x )＞0，因此(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间； 当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，因此(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间．……4分（2）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，因此2t ≤3x 0＋12x 0恒成立，………………6分因为x 0∈（0，1]，因此3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．因此2t ≤6，即t 的最大值为62． …………………8分 （3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t3处取得极小值－4t327．因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，因此直线l 的方程为y ＝－4t327． …………………10分令f (x )＝－4t 327，因此x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t3． 因此C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t327）． …………………12分 因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t3)2＋(－4t327)2，且AD ＝AB ＝t ，因此(－t3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． (16)分20．（本小题满分16分）解：（1）在S 2n＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3，及a 1＝a 得 (a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2，因为a n ≠0，因此a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ． …………………2分 因为数列{a n }是等差数列，因此a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3．…………………………………………………………………………4分 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n (n ＋1)2，S n －1＝3n (n －1)2满足S 2n ＝3n 2a n＋S 2n －1． （2）由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n ，因为a n ≠0，因此S n ＋S n －1＝3n 2，(n ≥2)，① ……………6分 因此S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2，②②－①，得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3，(n ≥2)．③………………8分 因此a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9，④ ④－③，得a n ＋2－a n ＝6，(n ≥2)即数列a 2，a 4，a 6，…，及数列a 3，a 5，a 7，…差不多上公差为6的等差数列………10分因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．因此a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，3n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，…………………12分要使数列{a n }是递增数列，须有a 1＜a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n ＜a n ＋1，且当n 为偶数时，a n ＜a n ＋1，即a ＜12－2a ，3n ＋2a －6＜3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)， 3n －2a ＋6＜3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)， 解得94＜a ＜154．因此M ＝(94，154)，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．………………16分 【附加题】21． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为CP 与圆O 相切，因此∠DPA ＝∠PBA ． ………………2分因为AB 为圆O 直径，因此∠APB ＝90°，因此∠BAP ＝90°－∠PBA ． ………………6分 因为AD ⊥CP ，因此∠DAP ＝90°－∠DPA ， 因此∠DAP ＝∠BAP ． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解（1）：设点P （x ，y ）为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 通过矩阵A 变换后对应点为P ′（x ′，y ′）则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，因此⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．． ………………2分ABD CPO·(第21A 题)因为点P ′（x ′，y ′）在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，因此a 2x 24＋b 2y 23＝1，那个方程即为圆C 方程． ………………6分因此⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3．，因为a ＞0，b ＞0，因此a ＝2，b ＝3．………………8分（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 3，因此A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 33．………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为圆C 的直角坐标方程为(x －2) 2＋y 2＝4，直线l 的直角坐标方程为x － 3y ＋2a ＝0．………………4分 因此圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |2＝|1＋a |． ………………6分因为圆C 被直线l 截得的弦长为2 3，因此r 2－d 2＝3．即4－(1＋a )2＝3．解得a ＝0，或a ＝－2． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．证明：因为a ，b 是正数，因此a 2＋4b 2≥4ab ．………………2分因此a 2＋4b 2＋1—ab ≥4ab ＋1—ab≥24ab ×1—ab＝4．即a 2＋4b 2＋1—ab≥4． ………………10分22．解（1）依照题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)， D (0，3，0)，P (0，0，1)，E (12，0，12)，→AE ＝(12，0，12)，→BC ＝(0，1，0)，→BP ＝(－1，0，因为→AE ·→BC ＝0，→AE ·→BP ＝0， 因此→AE ⊥→BC ，→AE ⊥→BP ． 因此AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP 平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ， 因此AE ⊥平面PBC ． ………………4分（2）设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·→CD ＝0，n ·→PD ＝0． 因为→CD ＝(－1，2，0)，→PD ＝(0，3，－1)，因此－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0．令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．因此n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量．………………8分 因为AE ⊥平面PBC ，因此→AE 是平面PBC 的法向量． 因此cos<→AE ，n >＝→AE ·n |→AE |·|n |＝5714．由此可知，→AE 与n 的夹角的余弦值为5714．依照图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－5714． ………………10分23．解（1）P (X ＝7)＝C 23C 12 + C 22C 12C 37＝835，P (X ＝8)＝C 22C 13C 37＝335． 因此P （X ≥7）＝1135. ………………………4分（2）P (X ＝6)＝C 12C 13C 12 + C 33C 37＝1335，P (X ＝5)＝C 22C 12 + C 23C 12C 37＝835，P (X ＝4)＝C 22C 13C 37＝335． 因此随机变量X 的概率分布列为X 4 5 6 7 8P335 835 1335 835 335…………………………………………8分因此E (X )＝4×335＋5×835＋6×1335＋7×835＋8×335＝6． ………………………10分。
2021-2022学年江苏省南京市金陵中学高三(上)学情检测热身-解析
故选： A.
2．设U R ，集合 A
x x2 3x 2 0
，B
x
x
1
1
1
，则
A
(CU
B
)
A． (0,1) (2, )
B． (, 1] (2, )
C． (, 1) (0,1) (2, )
D． (, 1] (0,1) (2, )
【答案】D
【解析】集合 A x x2 3x 2 0 x (x 1)(x 2) 0 x x 1或x 2，
函数 g(x)
f
(x)
k(x
2) 的所有零点为 xi (i
1, 2,3,, n) ，当 3 7
k
1时，
n i1
xi
A． 6
B． 8
C．10
D．12
【答案】C
【解析】定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x) f (2 x) ，故图象关于 x 1对称，
f (x) f (2 x) ，故 f (2 x) f (x) ， f (4 x) f (2 x) f (x) ，
2
章 算 术 》 中 古 人 对 其 解 法 的 研 究 记 载 如 下 ： 记 解 n 连 环 需 要 的 步 骤 为 f (n) ，
an f (n 1) f (n) ，研究发现an 1 是等比数列，已知 f (1) 1， f (2) 2 ， f (3) 5，
则 a7
A．127
B．128
个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 (xi , yi ) (i 1, 2,, 20) 得到下面的散点
图：
由此散点图，在10℃至 40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的
江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期学情检测热身数学试卷(解析版)
攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的 明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥 的侧面等腰三角形的顶角为 2θ，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）
A．
B．
C．
Байду номын сангаасD．
7．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）＝f（2﹣x），当 x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，
辽宁省实验中学校园内的明心亭为一个八角攒尖它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为为正八棱锥sabcdefgh底面内切圆的圆心连接oaob取ab的中点m连接smom则om是底面内切圆半径r如图所示
2021-2022 学年江苏省南京市金陵中学高三（上）学情检测热身
若函数 g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点为 xi（i＝1，2，3，…，n），当
时，
＝（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
8．已知实数 m，n 满足（m+5）2+n2＝1，则对于任意实数 a，（a2﹣m）2+（a﹣n）2 的最小
值为（ ）
A．4
B．16
C．17
D．25
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.每题全选对的得 5 分，部分选对的
21．已知点 B（﹣2，0），C（2，0），△ABC 的周长等于 4+4 ，点 M 满足 ＝2 ． （1）求点 M 的轨迹 E 的方程； （2）是否存在过原点的直线 l 与曲线 E 交于 P，Q 两点，与圆 F：（x﹣ ）2+y2＝ 交 于 R，S 两点（其中点 R 在线段 PQ 上），且|PR|＝|QS|，若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，请说明理由．
江苏省南京市金陵中学2021至2022学年高三上学期期中检测数学试卷
2022届高三第一学期数学学科期中检测考试时间：120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．韦恩用图1中的四块区域Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ分别表示下列四个集合：AB ，()U A B ∩，()U A B ⋂，()()U U A B ⋂，则图2中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．ABC ⋂⋂B ．()U A BC ⋂⋂ C ．()U A B C ⋂⋂D ．()U A B C ⋂⋂2．在复平面内，复数z 的对应点为()1,1-，则2z =（ ）AB ．C ．2i -D ． 2i3．已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ． a ⃗+2b ⃗⃗ B ．2a ⃗+b ⃗⃗ C ． 2a ⃗−b⃗⃗ D ．a ⃗−2b⃗⃗ 4．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θ︒，空气温度为0C θ︒，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ︒）满足：()010kte θθθθ-=+-.若常数0.05k =，空气温度为30C ︒，某物体的温度从90C ︒下降到50C ︒，大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln 3≈1.1） A ．16分钟B ．18分钟C ．20分钟D ．22分钟5．已知函数()1sin 1sin f x x x=++，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（ ） A ．0B ．6C ．12D ．246．在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，AB AC =2BC =，点G 为三角形ABC 的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠=（ ）A ．12B ．2C D 7．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左，右焦点，点P 在C 上，若123F PF π∠=，且||2OP a =(O 为坐标原点)，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±8．设2021ln2019a =，2020ln2020b =，2019ln2021c =，则（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩()~70,100X N ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-≤<+=，()220.9544P X μσμσ-≤<+=.A ．该校学生体育成绩的方差为10B ．该校学生体育成绩的期望为70C ．该校学生体育成绩的及格率不到85%D ．该校学生体育成绩的优秀率超过4%10．等差数列{}n a 中，11a =，公差[]1,2d ∈，且391515a a a λ++=，则实数λ的可能取值为（ ）A ．13-B ．1917-C ．32-D ．2-11．设0x >，,x y R ∈，则（ ） A ．“x y >”⇒“||x y >” B ．“x y <”⇒“x y <” C ．“x y ≥”⇒“x y x y +≥+”D ．“x y >”⇒“x y x y +≥+”12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题: A 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； B 当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；C 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +1；D 若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为12. 其中所有正确结论的序号是（ ）三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数a =___________ 14．已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________.15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底而直径和高均为10cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为___________.（精确到0. 01cm ）.16．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O ABC 的周长最小值为___________四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法.在实际测量中遇到高大障碍物的测量，需要跨越时的测量，无法得到平距的测量都需要用到三角测量法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC ，由于实际情况，Rt △ABC （∠ACB =2π）的边和角无法测量，以下为可测量数据：①BD =2；②CD ；③∠BDC =6π；④∠BCD =4π.以上可测量数据中至少需要几个可以推算出Rt △ABC 的面积？请选择一组并写出推算过程.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个作答计分.18．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足()22*1120,n n n n a a a a n N ++--=∈且1 2.a =（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设12n n n b a log a =⋅，若n b 的前n 项和为n S ，求n S19．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下∶（1）将上2×2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望.（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n =a +b +c +d ）20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小． 21．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，双曲线C 的右顶点A 在圆22:2O x y +=上，且122AF AF →→⋅=-. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ､N ，问(OMN O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.22．（12分）已知函数()()2x xf x ae x e =-.（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的R x ∈，()10f x a+≤恒成立，求a 的最小值.数学期中测试参考答案17．解：至少需要3个可测量数据. 选择组合一：①③④或②③④ 在BCD △中，因为sin sin sin BC BD CDBDC BCD CBD==∠∠∠，所以BC =因为tan tan 2642ABC ACB πππ⎛⎫∠=+=∠= ⎪⎝⎭，所以tan AC BC ABC =⋅∠=故122ABCSAC BC =⋅= 选择组合二：①②③在BCD △中，因为2222cos 2BC BD CD BD CD BDC ∠=+-⋅⋅=，所以BC =结合正弦定理sin sin sin BC BD CD BDC BCD CBD ==∠∠∠，可求得7,412BCD CBD ππ∠=∠=.因为7tan tan 2122ABC ACB πππ⎛⎫∠=-=∠= ⎪⎝⎭，所以AC =故122ABCSAC BC =⋅= 选择组合三：①②④ 在BCD △中，因为sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin CBD ∠=. 因为CBD ∠为钝角，所以712CBD π∠=.因为7tan tan 2122ABC ACB πππ⎛⎫∠=-=∠= ⎪⎝⎭，所以AC =故122ABCSAC BC =⋅= 18．（1）2n n a =；（2）()1122n n +-⋅-.19．（1）根据所给数据得到如下2×2列联表Ⅰ根据公式可得22100(40401010)36 2.70650505050K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）根据分层抽样知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，则X 的可能为1，2，3，12823108(1)120C C P X C ===211231056(2),120C C P X C ===3831056(3)120C P X C ===其分布列为()1231201201205E X =⨯+⨯+⨯= 20．（1）因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥， 又90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，又PA ，AB 为平面PAB 内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面PAB ， 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PAB ；（2）解法一：由（1）可知，ABP ∠为二面角P BC A --的平面角，所以45ABP ∠=︒， 又2PA =，AC =90ABC ∠=︒，所以2AB BC ==，过点A 作AM PB ⊥于M ，则AM ⊥平面PBC 且M 为PB 中点，连接MN ， 则ANM ∠为直线AN 与平面PBC 所成的角， 在Rt ANM △中，AM =AN =所以sin AM ANM AN ∠==故60ANM ∠=︒，所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°． 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()2,0,2P ，()0,2,0C ，设(),,N x y z ，PN PC λ=（01λ<<），则22x λ=-，2y λ=，22z λ=-， 因为AN PC ⊥，()2,,AN x y z =-，()2,2,2PC =--， 所以()22220x y z --+-=，解得13λ=，所以424,,333N ⎛⎫⎪⎝⎭，故224,,333AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(),,a x y z =，因为()0,2,0BC =，()2,0,2BP =， 由00a BC a BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20220y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以()1,0,1a =-为平面PBC 的一个法向量，所以24cos ,a AN --==，故直线AN 与平面PBC所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°．21．解：（1）设双曲线C 的半焦距为c ，由点(,0)A a 在圆22:2O x y +=上，得a =由221((2c c c AF AF →→⋅=-⋅=-=-2，得2c =，所以2222b a c =-=，所以双曲线C 的标准方程为22122x y -=. （2）设直线l 与x 轴相交于点D ，双曲线C 的渐近线方程为y x =±当直线l 的斜率在存在时，直线l为|x OD =|MN ==1||||2OMN S MN OD =⋅=2 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，显然0k ≠，则,0m D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得()221k x -2220,kmx m +++=由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l 与双曲线的渐近线不平行，所以210k -≠，且0m ≠，于是得()()22222Δ4412010k m k m k ⎧=--+=⎪⎨-≠⎪⎩, 得()22210m k =->，得1k >或1k <-,设()()1122,,,M x y N x y ,由y kx m y x =+⎧⎨=⎩，得11m y k =-, 同理得21m y k=+,所以121||2OMN S OD y y =-221 2.2111m m m m k k k k =-==-+- 综上，OMN 的面积恒为定值2.22．解：（1）因为0a =，所以()x f x xe =-，()()1x f x x e '=-+.令()0f x '=，得1x =-.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>；当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<.故()f x 的单调速增区间是(),1-∞-，单调递减区间是()1,-+∞.（2）()()()24114x x x x f x ae x e e x ae '=-+=-+-.因为R x ∀∈，()10f x a+≤， 又()02f a =，所以120a a +≤，则0a <. 令()14x g x x ae =+-，则()g x 在R 上单调递增.因为当0x <时，()14g x x a <+-，所以()4141140g a a a -<-+-=.因为()1140g ae --=->，所以()041,1x a ∃∈--，使得()00g x =.且当()0,x x ∈-∞时，()0g x <，则()0f x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，则()0f x '<， 所以()f x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.故()()00200max 2x x f x f x ae x e ==-.由()000140x g x x ae =+-=，得0014x x a e +=. 由()max 10f x a+≤，得0000200014e e e 2e 1x x x x x x x +-⋅≥+， 即001421x x -≥+. 结合010x +<，得2018x -≤，所以031x -≤<-.令()()1314x x h x x e +=-≤<.则()04x x h x e -'=>， 所以()h x 在[3,1)--上单调递增，所以()()332e h x h -≥-=，即32e a ≥-. 故a 的最小值为32e -.。
A01 2021届江苏省南京市高三年级学情调研数学试题
南京市2021届高三年级学情调研数 学 2016.09注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝ ▲ ．2．设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i (i 为虚数单位)，则z 的模为 ▲ ． 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽车有 ▲ 辆．4．若函数f (x )＝sin(ωx ＋π6) (ω＞0)的最小正周期为π，则f (π3)5．右图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 ▲ ．6．设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ．若a ∥c 7．某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2至少有一人被选中的概率是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2 － y 24＝1（a ＞0y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 ▲ ．10．已知圆柱M 的底面半径为2，高为6；圆锥N 的底面直径和母线长相等．若圆柱M 和（第5题）（第3题）0.0.0.0.圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ ．11．各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ▲ ．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0．当x ∈(－∞，m ] 时，f (x )的取值范围为 [－16，＋∞)，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →．若DB →·DC →＝3，则AC 的长是 ▲ ．14．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝(12)x ．若存在x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B ．若点A 的横坐标．．．是31010，点B 的纵坐标．．．是255． （1）求cos(α－β)的值； （2）求α＋β的值．16．（本小题满分14分）（第15题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．18．（本小题满分16分）（第17题）AB CDM NA1B1 C1（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →．（1）若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，22]，求实数λ的取值范围．19．（本小题满分16分）（第18题）已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2·a3＝15，S4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b1＝a1，b n＋1－b n＝1a n·a n+1．①求数列{ b n}的通项公式；②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，b m，b n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋ln x ，a ，b ∈R ．（1）当a ＝b ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； （2）当b ＝2a ＋1时，讨论函数f (x )的单调性；（3）当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)．求证：f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2．南京市2017届高三年级学情调研数学附加题2016.0921．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图， AB 为 圆O 的一条弦，C 为圆O 外一点． CA ，CB 分别交圆O 于D ，E 两点． 若AB ＝AC ，EF ⊥AC 于点F ，求证：F 为线段DC 的中点．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0 0 －1 ，设M ＝AB ．（1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin(θ＋π6)＝m ．若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．（第21题A ）D．选修4—5：不等式选讲解不等式|x－1|＋2|x|≤4x．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E 是线段PC的中点．（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角F－DE－B的正弦值为33，求PFPB的值．23．（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．AC DFPE（第22题）南京市2017届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，1} 2．2 5 3．80 4．12 5．5 6．47．56 8．1 9.－1 10．6 11．3n －1 12．[－2，8] 13． 10 14．[22，522]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解： 因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010． ……………… 2分 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55． …………… 4分（1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×(－55)＋1010×255＝－210． ……………… 8分 （2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22． ……… 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝3π4． …………… 14分16．（本小题满分14分） 证明：（1）如图，连结A 1C ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分 因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分 又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分 （2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． ………… 8分 因为AD ⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1， 所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． ……………… 10分 又BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………… 12分 又由（1）知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以 扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x ，0＜x ＜π． …………… 2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝12·OC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x ．…………… 4分从而 S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π． …………… 6分 （2）由（1）知， S (x )＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)． ………… 8分A BCDMNA 1B 1C 1（第16题）由 S ′(x )＝0，解得x ＝2π3．从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π3＜x ＜π时， S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，2π3)上单调递增；在区间(2π3，π)上单调递减． …………… 11分所以 当x ＝2π3，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大． …………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a ＝8，解得a ＝2． …………… 2分 因为点P 的坐标为 (1，32)，所以1a 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． …………… 5分（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a )． ………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a )，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b 2λa )． …………… 11分因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1， 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． ………… 14分 因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． ……………… 16分方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a )． ………… 7分因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac (x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b 22ac(x ＋c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，b 2a)．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2． ………… 11分因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． ………… 14分因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2， 或 ⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2．（舍去）所以a n ＝2n －1． …………………… 4分 （2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n +1，所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝1a n ·a n +1＝1 (2n －1)·(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， …………… 6分即 b 2－b 1＝12(1－13)，b 3－b 2＝12(13－15)，……b n －b n －1＝12(12n －3－12n －1)，（n ≥2）累加得：b n －b 1＝12(1－12n －1)＝n －12n －1， ……………… 9分所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1．b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N*． …………… 11分②假设存在正整数m 、n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列， 则b 2＋b n ＝2b m ．又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋(32－14n －2)＝2(32－14m －2)，即1 2m －1＝16＋14n －2，化简得：2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1． …………………… 14分当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，（舍去）； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列． …………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x －1＋1x．因为f (1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0． ……………… 3分 （2）因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x ＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x ，x ＞0． …… 5分当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………… 7分 当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a， 所以f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号）， 所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．…… 10分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x(x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝3－b2＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝2x 2i ＋1 (i ＝1，2)． …… 12分 f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－x 22)－(bx 1－bx 2)＋ln x 1x 2＝－(x 21－x 22)＋ln x 1x 2． 因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 22－14x 22－ln(2x 22)，x 2∈(1，＋∞)． ……… 14分 令t ＝2x 22∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝t 2－12t －ln t ． 因为φ′(t )＝(t －1)22t 2≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． ………… 16分方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x(x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝3－b2＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． (12)分所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－b 2＋ln 12)－(1－b )＝－34＋b2－ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋b 2－ln2＞34－ln2． (16)南京市2017届高三年级学情调研 数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为点A 、D 、E 、B 在圆O 上，即四边形ADEB 是圆内接四边形，所以∠B ＝∠EDC ． ……………………… 3分 因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ． ………… 5分 所以∠C ＝∠EDC ，从而ED ＝EC ． ………… 7分 又因为EF ⊥DC 于点F ，所以F 为线段DC 中点． ……………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0 0 －1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 2 1 3 ． ……………… 5分 （2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2 －1 λ－3 ＝(λ－2)(λ－3)－2令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M 的特征值为1或4． …………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………… 3分 直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋ 3y －2m ＝0． …… 6分 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 解：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x 或⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x 或⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．……………… 6分 解⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈∅； 解⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得 13≤x ≤1；解⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．得x ＞1． 所以原不等式的解集为 [13，＋∞)． ……………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)． 所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)， 所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． …………… 4分（2）由（1）可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，即⎩⎨⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，（第22题）取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ………… 6分 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． …………… 8分 因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为63， 即 |cos<m ，n >|＝63， 所以|m ·n || m |·| n |＝63， |4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝63， 化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12． ………………………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3． P (A 1)＝25；P (A 2)＝35×13×25＝225；P (A 3)＝(35)2×(13)2×25＝2125．所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125．答：甲获胜的概率为62125． ……………………… 4分（2）X 所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425；P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为…………… 8分所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ………… 10分。
南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题(含答案)
z2021-2022学年南京市金陵中学高三12月调研数学一、单项选择题：1. 已知集合，则（ ） A. B.C.D.2. 已知，则（ ） A.B.C.D.3. “”是“函数是定义在上的减函数”的（ ） A 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数等于（ ） A.B.C.D.5. 已知数列满足，若，则（ ）A. 3B. 6C. 8D. 106. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，则（ ）A.B.C.D.7. 设函数，若对于任意的都成立，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.{lg 0},{0 4}M xx N x x =>=∣∣M N Ç=(0,1)[0,4](1,4]{1,4}1tan 3a =sin 2a =453531011010,3m æöÎç÷èø()()314,1,1m x m x f x mx x ì-+<=í-³îR :0(0)l x y m m +-=>224x y +=,A B O 2OA OB ×=u u r u u u rm 2{}n a 1,3,n n n n a n +ì=íî为偶数为奇数11(2)m m m a a a m -+×=m =1111ABCD A B C D -ABCD 1113,60AA A AD A AB °=Ð=Ð=1AC =24(),()sin ,()f x x g x x h x ax x=+==(0,),()()()x g x h x f x Î+¥££a []1,31,42éùêúëû[]1,81,172éùêúëûz8. 设椭圆的左右两个焦点分别为，右顶点为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：9. 对于实数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则D. 若，则10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. C. 在上单调递增 D. 为奇函数11. 在平面直角坐标系中，已知，若动点满足，则（ ） A. 存在点，使得B. 面积最大值为C. 对任意的点，都有D. 有且仅有个点，使得的面积为12. 已知正方体的边长为，为棱的中点，点分别为线段上两动点（包括端点），记直线与平面所成角分别为，且，则2222:1x y C a b+=12,F F ,A M 2212MF A MAF MF A Ð=Ð=ÐC ,,a b c a b >ac bc <22ac bc >a b >0a b <<||||a b >0c a b >>>11c a c b>--()()sin 0,0,02f x A x A p w j w j æö=+>><<ç÷èø()f x p 1212f x f x p p æöæö+=-ç÷ç÷èøèø()f x ,2p p éùêúëû6f x p æ-öç÷èøxOy 12(1,1),(1,0),(1,0)A F F -P 124PF PF +=P 21PF =12PF F △的P 2||3PA PF +>3P 1PAF V 32''''ABCD A B C D -2Q 'AA ,M N '',C D CD ,QM QN ''ABB A ,a b 22tan tan 4a b +=z（ ）A. 存在点使得B.为定值C. 存在点使得D. 存在点使得三、填空题：13. 甲乙丙丁四人站成一排，其中甲不站排头和排尾，共有______种不同的站法（用数字作答）. 14. 若复数满足，则的最大值是______.15. 已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，平面ABC ，，则球的表面积为__________.16. 若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为______.四、解答题：17. △中，内角，，所对边分别为，，，．（1）求；（2）如图，点为边上一点，，，求△的面积． 18. 已知数列满足a 1＝3，a 2＝5，且，n ∈N *． （1）设b n ＝a n ＋1－a n ，求证：数列是等比数列；（2）若数列{a n }满足（n ∈N *），求实数m 的取值范围． 19. 一个盒子里有8个大小相同的小球，其中有6个白球，2个黑球，现依次从盒中随机摸出一个球且不放回，直至8个球都被摸出，以表示6个白球被两个黑球隔成的段数，例如，摸出的顺序为“黑白白白白白白黑”，则此时，摸出的顺序为“白黑白白黑白白白”，则此时. （1）求两个黑球连在一起被摸出概率； （2）求的分布列和期望.,M N //'MN AA DM DN ×"",M N 52MN =,M N MN CQ ^z 1z z ×=|2i |z -ABC !AD ^2AD =O ,x y 2(3)(ln ln )0e y x x y ay ---=e a ABC A B C 的a b c a =sinsin 2B C b B +=sin A M AC MC MB =π2ABM Ð=ABC {}n a 2123n n n a a a ++=-{}n b n a m £X 1X =3X =的Xzx20. 如下图所示，在多面体中，是边长为2的等边三角形，是中点，平面平面.（1）求证：平面；（2）是直线上的一点，若二面角为直二面角，求的长.21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆的标准方程； （2）我们称圆心在椭圆上，半径为的圆是椭圆的"卫星圆"，过原点作椭圆的"卫星圆"的两条切线，分别交椭圆于两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22. 设, 其中为自然对数的底数，. （1）若对任意的都成立，求实数的取值范围；（2）设，当时，有三个不同的零点，求实数的最小值.ABCDP ABC !,PA AB BD CD ===PC PB ==E BC ABC ^BCD //DE PAC F BC F DA B --BF xOy 2222:1(0)x y C a b a b +=>>3C C 2aC O C C ,A B 22||||OA OB +2()e ,()1x f x ax g x x =-=-e a ÎR ()0f x >,()0x Î+¥a ()()()F x f x g x =-(,)a t Î+¥()F x t2021-2022学年南京市金陵中学高三12月调研数学一、单项选择题：1. 已知集合，则（ ） A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】解对数不等式得集合，然后由交集定义计算． 【详解】由已知，所以． 故选：C ． 2. 已知，则（ ） A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值. 【详解】由知，则， 故选：B3. “”是“函数是定义在上的减函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】{lg 0},{0 4}M xx N x x =>=∣∣M N Ç=(0,1)[0,4](1,4]{1,4}A {|1}M x x =>{|14}M N x x =<£!1tan 3a =sin 2a =45353101101tan 3a =sin a =cos a =sin a =cos a =3sin 22sin cos 25a a a ===10,3m æöÎç÷èø()()314,1,1m x m x f x mx x ì-+<=í-³îRz本题首先可以根据函数是定义在上的减函数得出，然后根据是的真子集即可得出结果.【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得，因为是的真子集，所以“”是“函数是定义在上的减函数”的必要不充分条件， 故选：B.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判断，可借助集合的方式进行判断，考查分段函数的单调性，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都递减，且要注意分界点处函数值的处理，是中档题. 4. 已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数等于（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】设，直线方程代入圆方程，应用韦达定理求得，再代入用坐标表示的数量积可求得参数． 【详解】设， 由得，，，，所以，()f x R 11,83m éöÎ÷êëø11,83éö÷êëø10,3æöç÷èø()()314,1,1m x m x f x mx x ì-+<=í-³îR ()3100314m m m m mì-<ï-<íï-+³-î11,83m éöÎ÷êëø11,83éö÷êëø10,3æöç÷èø10,3m æöÎç÷èø()()314,1,1m x m x f x mx x ì-+<=í-³îR :0(0)l x y m m +-=>224x y +=,A B O 2OA OB ×=u u r u u u rm 21122(,),(,)A x y B x y 1212,x x x x +OA OB ×""m 1122(,),(,)A x y B x y 2204x y m x y +-=ìí+=î222240x mx m -+-=2248(4)0m m D =-->m -<<0m <<12x x m +=21242m x x -=12121212()()OA OB x x y y x x m x m x ×=+=+--u u r u u u r 222212122()42x x m x x m m m m =-++=--+=z又故选：D ．5. 已知数列满足，若，则（ ） A. 3 B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】对m 分奇偶数讨论，分别验证是否存在满足条件的值即可.【详解】当为偶数时，由题知， 由函数解析式知，此时；当为奇数时，由题知，即， 易知，当时，，，上式不存在解集； 故选：C6. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，则（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量的基本性质知，，由模长公式，结合条件求得模长即可.【详解】由题知，，则故选：D0m <<m ={}n a 1,3,n nn n a n +ì=íî为偶数为奇数11(2)m m m a a a m -+×=m =m 1111393m m m m m a a a ++--===8m =m 32m m m ×=+2231mm m m+==+2m ³39m ³212m+£1111ABCD A B C D -ABCD 1113,60AA A AD A AB °=Ð=Ð=1AC =11AC AB AD AA ®®®®=++11AC AB AD AA ®®®®=++11AC AB AD AA ®®®®=++====7. 设函数，若对于任意的都成立，则实数的取值范围为（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】分别证明，，对于，先证明，变形为，利用导数求得新函数的最小值，从而求得参数取值范围. 再证明，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，求得参数取值范围.【详解】对于，先证明，，即， 令，则，易知单增，且， 则时，，函数单减；时，，函数单增； 函数在处取最小值，此时；再证明，即，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，函数的导数为，时，，即， 综上，， 故选：A8. 设椭圆的左右两个焦点分别为，右顶点为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】24(),()sin ,()f x x g x x h x ax x=+==(0,),()()()x g x h x f x Î+¥££a []1,31,42éùêúëû[]1,81,172éùêúëû()()h x f x £()()h x f x £,()0x Î+¥()()h x f x £24a x x£+()()g x h x £sin y x =y ax =sin x ax £,()0x Î+¥y ax =sin y x =a 0x =,()0x Î+¥()()h x f x £24ax x x £+24a x x£+24()m x x x =+38()1m x x¢=-()m x ¢(2)0m ¢=(0,2)x Î()0m x ¢<(2,)x Î+¥()0m x ¢>2x =(2)3a m £=()()g x h x £sin x ax £sin y x =y ax =sin x ax £,()0x Î+¥y ax =sin y x =a 0x =sin y x =cos y x ¢=0x =1y ¢=1a ³[]1,3a Î2222:1x y C a b+=12,F F ,A M 2212MF A MAF MF A Ð=Ð=ÐC 14z【分析】由题知，，，，作于N 点，则N 为的中点，求得的值，从而在和中，，代入化简得到离心率满足的关系式，求得离心率.【详解】由知，，由题知，，，作于N 点，则N 为的中点， 因此，， 则在和中，，即，化简得， 即，解得离心率为正，只能故选：B二、多项选择题：9. 对于实数，下列结论正确是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BCD2122MA MF F F c ===122MF a c =-2AF a c =-2MN AF ^2AF 12,NF NF 2Rt MNF !1Rt MNF !222222211MN MF NF MF NF =-=-2212MF A MAF MF A Ð=Ð=Ð2122MA MF F F c ===122MF a c =-2AF a c =-2MN AF ^2AF 22122a c NF AF -==13222a c a c NF c -+=+=2Rt MNF !1Rt MNF !222222211MN MF NF MF NF =-=-22223(2)()(22)()22a c a c c a c -+-=--22250a ac c --=2520e e +-=e =,,abc 的a b >ac bc <22ac bc >a b >0a b <<||||a b >0c a b >>>11c a c b>--z【解析】【分析】根据不等关系对选项一一分析即可.【详解】对于A ，当时，，故A 错误； 对于B ，若，则，故B 正确； 对于C ，若，则，故C 正确；对于D ，若，则 ，从而有，故正确. 故选：BCD10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. C. 在上单调递增D. 为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】首先根据函数的图象求A 的值；然后根据的值；根据图象过点和求出，从而可求出函数，然后再逐个判断选项即可. 【详解】由图知，由又因为，所以，由得，又，所以，所以， 0c =ac bc =22ac bc >a b >0a b <<||||a b >0c a b >>>0c a c b <-<-11c a c b>--()()sin 0,0,02f x A x A p w j w j æö=+>><<ç÷èø()f x p 1212f x f x p p æöæö+=-ç÷ç÷èøèø()f x ,2pp éùêúëû6f x p æ-öç÷èø()0f =j ,03p æöç÷èø32T p <2w =()2sin 23f x x p æö=+ç÷èø2A =()02sin f j ==sin 2j =02p j <<3p j =233k pw pp p +=+26k w =+32T ppw<=3w <2w =所以. 故，选项A 正确； 又，所以为函数的一条对称轴，故选项B 正确； 由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增，故C 错误；为奇函数，故D 正确.故选：ABD .11. 在平面直角坐标系中，已知，若动点满足，则（ ） A. 存在点，使得B.C. 对任意的点，都有D. 有且仅有个点，使得的面积为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆为，从而判断椭圆上是否存在点，使得；当点P 为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值；由椭圆定义知，，验证C 选项；求得使得的面积为的P 点坐满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数.【详解】由题知，点P 的轨迹是，，焦点在x 轴上的椭圆， 则， 当点P 为椭圆右顶点时，，故A 正确； 当点P 为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值，为B 正确； ()2sin 23f x x p æö=+ç÷èøT p =212f p æö=ç÷èø12x p =222,232k x k k p p p-+p £+£+p ÎZ 5,1212k x k k Z p p p p -+££+Î3222,232k x k k Z ppp p p +£+£+Î7,1212p pp p +££+Îk x k k Z ()f x 7,212p p éùêúëû7,12p p éùêúëû2sin 22sin 2663f x x x p p p éùæöæö-=-+=ç÷ç÷êúèøèøëûxOy 12(1,1),(1,0),(1,0)A F F -P 124PF PF +=P 21PF =12PF F △P 2||3PA PF +>3P 1PAF V 3222143x y +=P 21PF =12PF F △21122PA PF PA a PF a AF +=+-³-1PAF V 322a =1c =b =为22143x y +=21PF a c =-=12PF F △1212F F b ×=z因，故C 错误； 设使得的面积为的P 点坐标为， 由坐标知，的方程为，则，解得或， 联立，化简得， 则，因此存在两个交点；同理可得直线与椭圆仅有一个交点； 综上，有且仅有个点，使得的面积为，故D 正确； 故选：ABD12. 已知正方体的边长为，为棱的中点，点分别为线段上两动点（包括端点），记直线与平面所成角分别为，且，则（ ）A. 存在点使得B. 为定值C. 存在点使得D. 存在点使得【答案】ABCD 【解析】【分析】在正方体中，以D 为原点建立空间直角坐标系，设，，作，，则，，根据求得.对于ACD ，只需验证条件成立时，对应的m 、n 的值是否存在即可，B 选项，为定值. 【详解】如图所示，在正方体中，以D 为原点建立空间直角坐标系，2112244PA PF PA a PF a AF +=+-³-==43<1PAF V 3200(,)x y 1,A F 1AF =1AF 210x y -+=1322=00220x y --=00240x y -+=002200220143x y x y --=ìïí+=ïî200230y y -=90D =>00240x y -+=3P 1PAF V 32''''ABCD A B C D -2Q 'AA ,M N '',C D CD ,QM QN ''ABB A ,a b 22tan tan 4a b +=,M N //'MN AA DM DN ×"",M N 52MN =,M N MN CQ ^(0,,2)M m (0,,0)N n 11'MM A B ^'NN AB ^'MQM a Ð='NQN b Ð=22tan tan 4a b +=1mn =1DM DN mn ®®×==z则，，设，，作，， 则，，，， 所以，则由知，，， 则，即 从而，对于A ，，即，解得，满足题意，故A 正确； 对于B ，，为定值，故B 正确； 对于C ，若，解得或，故C 正确； 对于D ，，，若， 则，解得D 正确； 故选：ABCD三、填空题：13. 甲乙丙丁四人站成一排，其中甲不站排头和排尾，共有______种不同的站法（用数字作答）. 【答案】12 【解析】(2,0,1)Q (0,2,0)C (0,,2)M m (0,,0)N n 11'MM A B ^'NN AB ^'MQM a Ð='NQN b Ð='(2,,2)M m '(2,,0)N n ''2MM NN =='QM ='QN ='tan 'MM QM a =='tan 'NN QN b ==22tan tan 4a b +=2244411m n +=++,[0,2]m n Î2222111111n m n n =-=+++22211n m n++=1mn =//'MN AA m n =1m n ==1DM DN mn ®®×==52MN =52=12,2m n ==1,22m n ==(2,2,1)CQ ®=-(0,,2)MN n m ®=--MN CQ ^2()20CQ MN n m ®®×=---=n =m =【分析】先安排甲站中间一个位置，然后其余人随机站位即可.【详解】先安排甲站中间一个位置，然后其余人随机站位，即， 故答案为：1214. 若复数满足，则的最大值是______. 【答案】3 【解析】【分析】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，从而求得最大值.【详解】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离， 则最大值为， 故答案为：315. 已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，为等边三角形且其面积为平面ABC ，，则球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体的外接球的半径，即可求出球的表面积．【详解】因为为等边三角形且其面积为，所以由正弦定理可得外接圆的半径为， 平面，，四面体球的表面积为．故答案为：16. 若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围132312A A =z 1z z ×=|2i |z -i,,z a b a b R =+Î221a b +=|2i |z -(,)a b (0,2)i,,z a b a b R =+Î221a b +=|2i |z -(,)a b (0,2)213+=ABC !4AD ^2AD =O 8p ABC !ABCD O ABC !244a =ABC !ABC !112=AD ^!ABC 2AD =\ABCD =\O 428p p ´=8p ,x y 2(3)(ln ln )0e y x x y ay ---=e a为______.【答案】##【解析】【分析】条件化为，令，，构造函数，利用导数求得函数最大值，从而将问题转化为即可. 【详解】条件等式两边同除以y 得，， 令，，函数， 则，易知单减，且，则函数在上，，函数单增；在上，，函数单减； 且，，因此若存在正数，使得，即.故答案为：四、解答题：17. △中，内角，，所对的边分别为，，，．（1）求；（2）如图，点为边上一点，，，求△的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）由题设三角恒等式，结合三角形内角的性质、正弦定理的边角关系、二倍角正弦公式化简可24a e £(2,4e ù-¥û2(3)ln x x a e y y =-xt y=(0)t >2()(3)ln f t e t t =-max ()a f t £2(3)ln x xa e y y=-xt y=(0)t >2()(3)ln f t e t t =-23()ln 1e f t t t¢=-+-()f t ¢2()0f e ¢=()f t 2(0,)e ()0f t ¢>2(,)e +¥()0f t ¢<0,()t f t ®®-¥22()4f e e =,x y 2(3)(ln ln )0e y x x y ay ---=22max ()()4a f t f e e £==24a e £ABC A B C a b c a =sinsin 2B C b B +=sin A M AC MC MB =π2ABM Ð=ABC 4sin 5A =278z得进而求. （2）由（1）及已知条件可得，再应用正弦定理求，，最后根据三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）∵，即， ∴． 由正弦定理，得：，又，∴，则，又且，∴∴． （2）由（1）有，易知为锐角， 由，则． ∵，故，则， ∴，在△中，由正弦定理，得∴，． 又，∴． 18. 已知数列满足a 1＝3，a2＝5，且，n ∈N *．sin2A =sin A 3sin 2cos 5C A ==b c sin sin 2B Cb a B +=2sin sin 2B Cb B +=π2sinsin 2Ab B -=2sin cos sin 2AB A B =sin 0B ¹2cos 2A A =cos cos 222A A A =cos 02A ¹022A p<<sin2A =cos 2A =4sin 2sincos 225A A A ==23cos 2cos 125A A =-=A MB MC =MBC MCB Ð=Ðπ2ABM Ð=π22A C +=π22C A =-πsin 2sin s 523co C A A æö=-==ç÷èøABC sin sin sin 4b c a ABC C A ===Ðsin 4b ABC =Ð4c C =()()πsin sin πsin sin cos 2ABC C A A C C C æöÐ=--=+=-=ç÷èø114sin sin 22445ABC S bc A ABC C ==´Ð´´△45454527cos sin sin cos sin 24488C C C C C ===={}n a 2123n n n a a a ++=-（1）设b n ＝a n ＋1－a n ，求证：数列是等比数列；（2）若数列{a n }满足（n ∈N *），求实数m 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】【分析】（1）构造证明即可；（2）根据是等比数列，利用累加法与等比数列的求和公式可得，再根据的最大值分析即可 【小问1详解】因为，所以． 即，又因为，所以，则， 所以，数列是等比数列 【小问2详解】由（1）数列是首项为2公比为的等比数列，则．所以，则．经检验时也符合，则．又因为，所以．19. 一个盒子里有8个大小相同的小球，其中有6个白球，2个黑球，现依次从盒中随机摸出一个球且不放回，直至8个球都被摸出，以表示6个白球被两个黑球隔成的段数，例如，摸出的顺序为“黑白白白白白白黑”，则此时，摸出的顺序为“白黑白白黑白白白”，则此时. （1）求两个黑球连在一起被摸出的概率；{}n b n a m £7m ³()2112n n n n a a a a +++-=-{}n b 372nn a -=-n a 2123n n n a a a ++=-()2112n n n n a a a a +++-=-12n n b b +=12120b a a =-=¹0n b ¹112n nb b +={}n b {}n b 1222nn b -=121321n n n a a a a a a a a --=-+-++-L 11211122(2)112n n b b b n --æö-ç÷èø=+++=´³-L 131123272(2)112n n na n --æö-ç÷èø=+´=-³-1n =372nn a -=-3727nn a -=-<7m ³X 1X =3X =（2）求的分布列和期望. 【答案】（1）（2）分布列见详解；期望为. 【解析】【分析】（1）结合古典概型概率公式及排列计算，计算出所求的概率. （2）按照列分布列步骤求得各变量概率，列出分布列，求得期望. 【小问1详解】两个黑球连在一起被摸出可以看做一个整体，即捆绑法与白球全排列，从而其概率为. 【小问2详解】解：由题意知，X 的可能取值为1、2、3，；； ；所以期望 20. 如下图所示，在多面体中，是边长为2的等边三角形，是中点，平面平面.X 149427278814A A A =3636883(1)28A A P X A ===261112625588()15(2)28A A C C C P X A +===()6265885314A A P X A ===31559()1232828144E X =´+´+´=ABCDP ABC !,PA AB BD CD ===PC PB ==E BC ABC ^BCDz（1）求证：平面；（2）是直线上的一点，若二面角为直二面角，求的长. 【答案】（1）证明见详解； （2）【解析】【分析】小问1：根据题目条件证明平面，从而得到//，得出//平面；小问2：建立空间直角坐标系，假设存在点，计算平面和平面的法向量，使法向量数量积为零，然后求解，根据的值求的长．【小问1详解】因为，又点为的中点，所以．因为平面平面，平面平面， 所以平面．因为，所以，， 故，． 又， 所以平面， 所以．因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】//DE PAC F BC F DA B --BF 74DE^ACE DE PA DE PAC (),0,0F l FDA BDA l l BF BD CD =E BC DE BC ^BDC ^ABC BDC ÇABC BC =DE^ABC PC PB ==2PA AC AB ===22222228PA AC PC +=+==22222228PA AB PB +=+==PA AC ^PA AB ^AC AB A Ç=PA ^ABC //DE PA PA ÌPAC DE ËPAC //DE PACz连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 设，使得二面角直二面角，易知，设平面的法向量为，则由，，得，令，得，，故． 设平面的法向量为，则由，，得，令，得，故．由，得，故． 所以．AE E EC EA ED x y z ()A ()1,0,0B -()1,0,0C ()0,0,1D (),0,0Fl F DA B--为11l -££BAD ()1111,,x n y z =!"()1,0,1BD ="()0,AD ="111100x z z +=ìïí+=ïî11z =11x =-13y =11,3n æö=-ç÷ç÷èø!"FAD ()2222,,n x y z =!!"(),0,1DF l =-"(),AF l ="22220,0x z x l l -=ìïí=ïî21z =21x l =23y =2,31n l æö=ç÷ç÷èø!!"121cos ,01n n -+´+==!"!!"11013l -+=34l =37144BF =+=z21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆的标准方程； （2）我们称圆心在椭圆上，半径为的圆是椭圆的"卫星圆"，过原点作椭圆的"卫星圆"的两条切线，分别交椭圆于两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）； （2）是定值，为16.﹒ 【解析】【分析】（1）由离心率及两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积及，，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线，的方程，设圆心的坐标，由直线，与圆相切，可得的关系；直线，的方程与椭圆的方程联立，求出A ，的坐标，即可求出的表达式，结合前步的的关系即可判断是否为定值．【小问1详解】 xOy 2222:1(0)x y C a b a b +=>>3C C 2a C O C C ,A B 22||||OA OB +221124x y +=a b c a b OA OB OA OB 12k k 、OA OB B 22||||OA OB +12k k 、z x 由题意可得，，，所以椭圆的方程为：；【小问2详解】当直线，的斜率存在时，记为，，则直线，的方程为，，设椭圆的“卫星圆”的圆心，，因为直线，化简可得，，所以，是关于k 的二次方程的两个根，所以，因为，在椭圆上，所以，所以，设，，，，则由，，解得，，所以，因为，所以，所以，2221222c e a c b c a b ì==ïïï××=íï=-ïïî212a =24b =28c =C 221124x y +=OA OB 1k 2k OA OB 1y k x =2y k x =C0(x 0)y OA OB 2a ==2a=222010010(3)230x k x y k y --+-=222000022(3)230x k x y k y --+-=1k 2k 2220000(3)230x k x y k y --+-=20122033y k k x -=-0(x 0)y 221124x y +=22001222003313933y y k k x y --===---1(A x 1)y 2(B x 2)y 11122111124y k x x y =ìïí+=ïî22222221124y k x x y =ìïí+=ïî21211123x k =+22221123x k =+2222122212||||(1)(1)13131212OA OB k k k k +=+++++1213k k ×=-222119k k =222222111122211121112(1)12(1)912(1)4(19)||||161131313139k k k k OA OB k k k k +++++=+=+=++++×z∴为定值16．若OA 和OB 其中一条斜率不存在，不妨设OA 斜率不存在，设圆心在一象限，∵OA 与圆相切，∴OA 所在直线为y又∵圆心在椭圆C 上，∴由∴圆也与x轴相切，切点为B (0)，∴此时＝16．综上所述，为定值16﹒【点睛】本题考查椭圆方程的求法，以及直线与曲线位置关系的综合应用，第二问的关键点是求得OA 与OB 的斜率的关系，属于难题．22. 设, 其中为自然对数的底数，.（1）若对任意的都成立，求实数的取值范围；（2）设，当时，有三个不同的零点，求实数的最小值.【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）对任意的都成立等价于对任意的都成立，设，利用导数可求其最小值，从而可得的取值范围. （2）就分类讨论，利用导数结合零点存在定理可求的取值范围，从而得到的最小值.【小问1详解】对任意的都成立等价于对任意的都成立， 设，则， 22||||OA OB +221124y y Þ＋＝22||||OA OB +22||||OA OB +2()e ,()1x f x ax g x x =-=-e a ÎR ()0f x >,()0x Î+¥a ()()()F x f x g x =-(,)a t Î+¥()F x t 2e 4a <2e 14-()0f x >,()0x Î+¥2e x a x<,()0x Î+¥()2e xh x x=a 1110,0,,222a a a a £<<=>a t ()0f x >,()0x Î+¥2e x a x <,()0x Î+¥()2e xh x x =()()3e 2x x h x x -¢=当时，，当时，，故在上减函数，在为增函数， 故，故. 【小问2详解】，故，，当时，，故为上的增函数，而，故当时，；当时，，此时在为减函数，在上为增函数，这与有三个不同的零点矛盾.当时，当时，；当时，，此时在为减函数，在上为增函数，故，令，则，当时，，当时，，故在为增函数，在上为减函数，而，故恒成立，当且仅当时等号成立，.若即，则为上的增函数， 这与有三个不同的零点矛盾.当时， 若，此时，， 02x <<()0h x ¢<2x >()0h x ¢>()h x ()0,2为()2,+¥()()2min e 24h x h ==2e 4a <2()e 1x F x ax x =--+()e 21x F x ax ¢=--()e 2x F x a ¢¢=-0a £()0F x ¢¢>()F x ¢R (0)0F ¢=0x <()0F x ¢<0x >()0F x ¢>()F x (),0¥-()0,+¥()F x 0a >()ln 2x a <()0F x ¢¢<()ln 2x a >()0F x ¢¢>()F x ¢()(),ln 2a -¥()()ln 2,+a ¥()()()()()ln 2min ()ln 2e 2ln 2122ln 21a F x F a a a a a a ¢¢==--=--()ln 1s x x x x =--()ln s x x ¢=-01x <<()0s x ¢>1x >()0s x ¢<()s x ()0,1()1,+¥()10s =()0s x £1x =()min ()22ln 210F x a a a ¢=--³12a =()F x R ()F x 10,2a a >¹()min ()22ln 210F x a a a ¢=--<102a <<()ln 20a <11221e 11e 02a a F a --æö¢-=+-=>ç÷èø故在上有且只有一个零点，又，故在上有且只有一个零点，且：当时，；当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，而，故，故此时在上至多有一个零点，这与题设矛盾.若，则， 下证：当时，有， 设，则， 当时，，故在上为增函数， 故，故成立. 故当时，，故当时，有，由的图象可得存在且，使得， 故.故在有且只有一个零点，且， 而，故在有且只有一个零点0，且在上，在上，在上故在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，当时，，由的图象可知存在，使得， 故，故在上有且只有一个零点.又 ()F x ¢()(),ln 2a -¥0x ()00F ¢=()F x ¢()()ln 2,a +¥00x x <()0F x ¢>00x x <<()0F x ¢<0x >()0F x ¢>()F x ()0,x -¥()0,0x ()0,¥+()02F =()00F x >()F x R 12a >()ln 20a >9x >3xe x >()3xu x e x =-()3113x u x e ¢=-9x >()31103u x e ¢>->()u x ()9,+¥()()3990u x u e >=->3xe x >9x >3x e x >9x >32121x e ax x ax -->--321y x ax =--()19,x Î+¥()1ln 2x a >211210x ax -->()10F x ¢>()F x ¢()()ln 2,a +¥2x 22210x e ax --=()00F ¢=()F x ¢()(),ln 2a -¥(),0¥-()0F x ¢>()20,x ()0F x ¢<()2,x +¥()0F x ¢>()F x (),0¥-()20,x ()2,x +¥0x <22e 12x ax x ax x --+<--+22y ax x =--+()3,0x Î-¥23320ax x --+<()30F x <()F x (),0¥-()22222222222e 1e 1e 12x x x F x ax x x x x -=--+=-´-+， 因为有三个不同的零点，故即，所以，故， 因为时，总有，故当时，有， 由的图象可得存在且， 故，故在上有且只有一个零点，因，，故在上有且只有一个零点，综上，有3个不同零点时，，故， 故. 【点睛】思路点睛：导数背景下的零点问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，并结合零点存在定理判断零点的存在性，有时特殊点处函数值的符号可通过函数放缩，把复杂函数值的符号判断转化为多项式函数值的符号判断.()221e 12x x æö=-+ç÷èø()F x ()20F x <22x >2e 410a --<2e 14a ->9x >3x e x >{}2max 9,x x >()321F x x ax x >--+()321v x x ax x =--+42x x >()40v x >()40F x >()F x ()2,x +¥为()020F =>()20F x <()F x ()20,x ()F x 2e 14a ->2e 14t -³2min 14e t -=。
南京2021-2022学年高三上学期第一次调研检测 数学试题
南京2021-2022学年高三上学期第一次调研检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合290240{},{},A x x B x x =-≤=->则A B ⋂=A.3(,]-∞-B.3[,)-+∞C.D.23(,]2.已知2a ii+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a = A.2- B.12-C.12D.23.“1m =”是“直线304x y m ++=与圆2220x y x +-=相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 条件 D.既不充分也不必要条件4.已知,a b 为单位向量，且43()(),a b a b -⊥+则,a b 夹角的余弦值为 A.7-11 B.1-11 C.111 D.7115.将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有A. 24种B.36种C. 60种D.72种6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222100:(,)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,,F F 过2F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,P Q 两点，1F Q 与y 轴的交点为,R 1,F Q PR ⊥则C的离心率为2【答案】B7.取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分,各去掉中间一段,留剩下的更短的四段;……;将这样的操作一直继续下去,直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下，得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为A.6B. 7C.8D.98. 已知01,,(,),a b c ∈且22223212223ln ,ln ,ln a a e b b e c c e -+=-+=-+=，其中e 是自然对数的底数，则A.a b c >>B. a c b >>C.c a b >>D.c b a >>二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.房地产市场与城市经济发展密切相关,更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图,则下列结论中正确的是A. 这七个楼盘中,每个楼盘的成交均价都在[88.8,120.0]内B. 这七个楼盘中,楼盘2的成交总额最大C. 这七个楼盘﹐成交面积的平均值低于200D. 这七个楼盘,成交面积与成交均价呈负相关10. 已知m,n 是两条不同的直线,a,β,是三个不同的平面.下列说法中正确的是 A.若m//a,m ⊂β,a∩β=n ,则m// n B.若m//n,m //α,则n// α C.若a∩β=n ,α⊥β，βγ⊥,则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥,则//βγ11.设正实数x ，y 满足12=+y x ，则 A.xy 的最大值是41B.y x 12+的最小值是9C.224y x +的最小值为21D.y x +2的最大值为212.已知()x f 是周期为4的奇函数，且当20≤≤x 时，()⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,x x x x x f ，设()()()1++=x f x f x g ，则A.函数()x g y =为周期函数B.函数()x g y =的最大值为2C.函数()x g y =在区间()8,7上单调递增D.函数()x g y =的图像既有对称轴又有对称中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将函数x y cos =的图像向右平移()0>ϕϕ个单位长度，所得图像与x y sin =的图像重合，则ϕ的一个可能的值为 .（写出一个正确答案即可）14. 已知()*∈⎪⎭⎫⎝⎛+N n x n211的展开式中2x 的系数是7，则=n ；若r x 与1+r x ()N r ∈的系数相等，则=r .15.如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ.焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值df称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于5.0，那么馈源方向角θ的正切值为 .16.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆和PBC ∆都是边长为32的正三角形，23=PA .若M 为三棱锥ABC P -外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，137a S =，且1a ，22+a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.18.（本小题满分12分） 请在①2=⋅AC AB ；②734sin =B ；③5=+b a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()A B C A sin sin sin =+-，2=c ， ，若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由.19.科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)26,21，[)31,26，[)36,31，[)41,36，[]46,41（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有%9.99的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,σμN ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5≈σ，请估计对照园中果径落在区间()50,39内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()d b c a d c b a bc ad n x ++++-=22②若X 服从正态分布()2,σμN ，则()683.0=σ+μ<<σ-μX P ，()954.022=σ+μ<<σ-μX P ，()997.033=σ+μ<<σ-μX P20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，2=AC ，4=BC ，PAC ∆为正三角形，D 为AB 的中点，PD AC ⊥，︒=∠90PCB .（1）求证：PAC BC 平面⊥；（2）求PD 与平面PBC 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为A ，B .F 是椭圆C 的右焦点，且FB AF 3=，3=⋅FB AF . （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若()121=+k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标.22.设函数()()x e a x x f -=2，R a ∈，e 是自然对数的底数. （1）若3=a ，求函数()x f 的极值；（2）当0≥x 时，()0≥++a x x f ，求a 的取值范围.答 案三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合290240{},{},A x x B x x =-≤=->则A B ⋂=A.3(,]-∞-B.3[,)-+∞C.D.23(,]【答案】D【解析】33223[,](,)(,],A B ⋂=-⋂+∞=故选D32[,)-2.已知2a ii+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a = A.2- B.12-C.12D.2 【答案】C 【解析】2212255()()()()=,a i a i i a a i i +++-++=-若为纯虚数，则12102,a a -==，故选C3.“1m =”是“直线304x y m ++=与圆2220x y x +-=相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要 条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意可知，圆心为10(,),半径为1，若直线和圆相切，则圆心到直线的距离为41195,,,m d m +===-所以为充分不必要条件，所以选A4.已知,a b 为单位向量，且43()(),a b a b -⊥+则,a b 夹角的余弦值为A.7-11 B.1-11 C.111 D.711【答案】B【解析】由题意可知，431110()()=cos ,a b a b a b θ-•++=所以1cos -，11θ=故选B5.将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有B. 24种 B.36种C. 60种D.72种 【答案】B【解析】234336,C A =故选B6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222100:(,)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F 过2F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,P Q 两点，1F Q 与y 轴的交点为,R 1,F Q PR ⊥则C 的离心率为2【答案】B【解析】由题意可知1,PQ PF =22b c a⋅=，故e = B7.取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分,各去掉中间一段,留剩下的更短的四段;……;将这样的操作一直继续下去,直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下，得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为A.6B. 7C.8D.9 【答案】C【解析】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度之和为221333⨯⨯，...，第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，由题意可知，12113360n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭≥，则21330n⎛⎫⎪⎝⎭≥，则2lg lg301lg33n -=--≥，所以()lg2lg31lg3n ---≥，即1lg 3lg 3lg 2n +-≤，又lg 20.3010,lg30.4771≈≈，带入上式，可得8n ≤9. 已知01,,(,),a b c ∈且22223212223ln ,ln ,ln a a e b b e c c e -+=-+=-+=，其中e 是自然对数的底数，则A.a b c >>B. a c b >>C.c a b >>D.c b a >> 【答案】A【解析】设()()22ln ,e x f x x x g x x =-=-，则()()()()()()1,2,3f a g f b g f c g ===， 又()()'e 100x g x x =-＞＞，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以()()()321g g g ＞＞，即()()()f c f b f a ＞＞，因为()()()()2212'200,1x f x x x x x-=-=∈＜，所以()f x 在()0,1上单调递减，所以a b c ＞＞四、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.房地产市场与城市经济发展密切相关,更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图,则下列结论中正确的是E. 这七个楼盘中,每个楼盘的成交均价都在[88.8,120.0]内F. 这七个楼盘中,楼盘2的成交总额最大G. 这七个楼盘﹐成交面积的平均值低于200H. 这七个楼盘,成交面积与成交均价呈负相关 【答案】BD【解析】由楼盘2,3,4,5的数据可知，A 错误； 计算七个楼盘各自的成交总额可知，B 正确； 成交面积的均值1123894212401978011145020077++++++=＞，C 错误；7个楼盘整体呈现均价越低，则成交面积越大的趋势，D 正确.10. 已知m,n 是两条不同的直线,a,β,是三个不同的平面.下列说法中正确的是 A.若m//a,m ⊂β,a∩β=n ,则m// n B.若m//n,m //α,则n// α C.若a∩β=n ,α⊥β，βγ⊥,则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥,则//βγ 【答案】ACD【解析】由线面平行的性质定理可知，A 正确； 若,m m n α∥∥，则n α∥或n α⊆，即B 错误； 设,αβ的法向量分别为,a b ，若n αβ=，则,n n ⊥⊥a b ，又,αγβγ⊥⊥，则γγ∥,∥a b ，所以n γ⊥，即C 正确；若,m m αβ⊥⎰，则αβ∥，又αγ∥，则βγ∥，即D 正确.11.设正实数x ，y 满足12=+y x ，则 A.xy 的最大值是41B.y x 12+的最小值是9C.224y x +的最小值为21D.y x +2的最大值为2 【答案】BC【解析】因为21x y +=≥18xy ≤，A 错误；()2121222559y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥，B 正确；()22221422x y x y ++=≥，即C 正确；2122x y +=+≥D 错误.12.已知()x f 是周期为4的奇函数，且当20≤≤x 时，()⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,x x x x x f ，设()()()1++=x f x f x g ，则A.函数()x g y =为周期函数B.函数()x g y =的最大值为2C.函数()x g y =在区间()8,7上单调递增D.函数()x g y =的图像既有对称轴又有对称中心 【答案】ACD【解析】由()()4f x f x +=，所以()()()()()()4451g x f x f x f x f x g x +=+++=++=，A 正确；易知()()11f x f =≤，所以()()12f x f x ++≤，又()1f x =与()11f x +=不能同时取等， 所以()2g x ＜，B错误；当()7,8x ∈时，()()81,0,70,1x x -∈--∈，所以()()()()887g x g x f x f x =-=-+-，所以()()()()8787215g x f x f x x x x =--+-=--+-=-，单调递增，C 正确；作图可知，()g x 关于12x =成轴对称，关于1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将函数x y cos =的图像向右平移()0>ϕϕ个单位长度，所得图像与x y sin =的图像重合，则ϕ的一个可能的值为 .（写出一个正确答案即可） 【答案】π2（满足即可） 【解析】因为πcos sin 2x ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π2ϕ=满足.15. 已知()*∈⎪⎭⎫⎝⎛+N n x n211的展开式中2x 的系数是7，则=n ；若r x 与1+r x ()N r ∈的系数相等，则=r . 【答案】8;2【解析】由题意，221C 72n⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，则()156n n -=，解得8n =，由118811C C 22r r r r ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1882C C r r +=，即()()()28!8!!8!1!7!r r r r ⨯=⋅-+⋅-，即2181r r =-+， 解得2r =.15.如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A ，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ.焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值df称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于5.0，那么馈源方向角θ的正切值为 .【答案】247-【解析】设抛物线方程为()220y px p =＞，则2p f =，又0.5fd =，所以d p =， 所以,,,8282p p p p A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线BF 的斜率42328pk p p ==-，所以4tan 23θ=，所以8243tan 16719θ==--.16.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆和PBC ∆都是边长为32的正三角形，23=PA .若M 为三棱锥ABC P -外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为 .1【解析】设BC 中点为T ，ABC △的外心为1O ，PBC △的外心为2O ，球心为O ， 易知3PT AT ==，又PA =PT AT ⊥，所以平面PBC ⊥平面ABC ，所以四边形12OO TO 是边长为1的正方形，所以外接球半径R ===， M 到平面ABC的距离11d R OO +=≤.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，137a S =，且1a ，22+a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.【解析】(1)因为137a S =，所以，712=++q q解得（舍）； 又1a ，22+a ，3a 成等差数列， 所以2（22+a ）=1a +3a ，解得41=a ， 所以{}n a 的通项公式为12+=n n a .(2)因为⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，所以)1(344)2...64164()2...642(122++-=+++++++++=+n n n T n nn . 3,2-==q q18.（本小题满分12分） 请在①2=⋅AC AB ；②734sin =B ；③5=+b a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()A B C A sin sin sin =+-，2=c ， ，若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由.【解析】选③，因为πA B C ++=，所以()()()sin sin πsin sin cos sin cos B A C A C A C C A =-+=+=+， 又()sin sin cos sin cos A C A C C A -=-，所以()sin sin 2sin cos A C B A C -+=， 又()sin sin sin A C B A -+=，所以1cos 2C =，即π3C =， 因为2c =，由余弦定理可知，()22242cos 3a b ab C a b ab =+-=+-， 即()()223434a b a b ab ++-=≤，所以4a b +≤，即5a b +=不可能成立，该三角形不存在.19.科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)26,21，[)31,26，[)36,31，[)41,36，[]46,41（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（3）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有%9.99的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（4）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,σμN ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5≈σ，请估计对照园中果径落在区间()50,39内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()d b c a d c b a bc ad n x ++++-=22②若X 服从正态分布()2,σμN ，则683.0=σ+μ<<σ-μX P ，)954.022=σ+μ<<σ-μX P ，()997.033=σ+μ<<σ-μX P【解析】（1）列联表如下：合计 100100 200()222006070304020010.8281001009011011χ⨯-⨯==⨯⨯⨯＞，所以有99.9%的把握认为两者有关； （2）由题中数据，23.50.128.50.233.50.438.50.243.50.133.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则()()0.9970.683395030.1572P X P X μσμσ-=++==＜＜＜＜.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，2=AC ，4=BC ，PAC ∆为正三角形，D 为AB 的中点，PD AC ⊥，︒=∠90PCB .（1）求证：PAC BC 平面⊥；（2）求PD 与平面PBC 所成角的正弦值.【解析】（1）证明：作AC 的中点O ，连接,OD OP ， 因为PAC △是正三角形，所以OP AC ⊥，又,,,AC PD PD OP P PD OP ⊥=⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD ， 又OD ⊂平面POD ，所以AC OD ⊥， 因为OD BC ∥，所以AC BC ⊥， 又,,,PC BC PCAC C PC AC ⊥=⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ；（2）以{},,OA OD OP 为,,x y z 轴非负半轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()1,0,0,0,2,0,1,4,0,0,0,3C D B P --， 所以()()()1,0,3,0,4,0,0,2,3CP CB PD ===-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则3040m CP x z m CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取3x =，则()3,0,1m =-，设PD 与平面PBC 所成角为θ，则sin 144m PD m PDθ⋅==⋅.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为A ，B .F 是椭圆C 的右焦点，且FB AF 3=，3=⋅FB AF . （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若()121=+k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标.【解析】（许志伟）（1）13422=+y x ；（2）设直线l 方程为m kx y +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y ，整理得()0124834222=-+++m mkx x k348221+-=+k mk x x 341242221+--=k m x x()()()()424222221212121221121+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x x x x mx x m k x kx k x y x y k k k k 化简得()()052=--k m k m ，所以k m 2=或k m 5= 对应直线方程分别为k kx y 2+=，k kx y 5+=故过定点()0,2-，()0,5-，因为l 不过()0,2-A ,所以过()0,5-.1161642412222=+--=k mk m k mk22.设函数()()x e a x x f -=2，R a ∈，e 是自然对数的底数. （1）若3=a ，求函数()x f 的极值；（2）当0≥x 时，()0≥++a x x f ，求a 的取值范围.【解析】(许志伟）（1）()()x e x x f 32-=，()()()()3132'2+-=-+=x x e x x e x f x x ，所以()x f 在()3,-∞-，()+∞,1单增，()1,3- 单减， 所以极大值()363ef =-，极小值()e f 21-=， （2）()()()a x e a x a x x f x g x ++-=++=2，()00=g ，()()12'2+-+=a x x e x g x ，()10'+-=a g ， ()()a x x e x g x -++=24''2，()a g -=20''，①当01≥+-a ，即1≤a 时，()0''>x g ，所以()x g '单增，()()00''≥≥g x g ， 所以()x g 单增，()()00=≥g x g ，符合题意.②当01<+-a ，即1>a 时，00>∃x ，使得当()0,0x x ∈时()0'<x g ，所以()x g 在()0,0x 单减，()()00=<g x g ，矛盾，所以舍去. 综上1≤a .。
高三数学综合测试卷一 试题
2021年金陵中学2021届高三数学综合测试卷一制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
(按2021年考试说明出题,选择10道,填空6道,解答5道)本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．满分是150分，考试时间是是120钟．第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．“假设a 、b 都是奇数，那么a +b 是偶数〞的否命题是〔 〕A ．假设a +b 不是偶数，那么a 、b 都不是奇数B ．假设a +b 是偶数，那么a 、b 都是奇数C ．假设a +b 不是偶数，那么a 、b 不都是奇数D ．假设a 、b 不都是奇数，那么a +b 不是偶数 2．向量a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，那么以下为a 与b 一共线的充要条件是 ( ) A ．存在一个实数λ，使得a =λbB ．1122x y x y =C ．x 1x 2-y 1y 2=0D ．x 1y 2-x 2y 1=03.曲线 2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 〔θ为参数，—π≤θ≤—3π〕的长度为 〔 〕A.34π B.32π C.35π D.3π4、假设2()f x x ax b =++,且1(1)2,2(1)4f f ≤-≤≤≤,那么点(a ,b )在a O b 平面上的区域是一个 〔 〕 A. 三角形 B.矩形 C. 菱形 D. 直角梯形5、函数3221x e y -⋅=π的局部图象大致是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕6、ω>0，假设函数()2cos2sin4xxx f ωω•=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上单调递增，那么ω的取值范围是( ) A.]32,0( B.]23,0( C.]2,0( D.),2[+∞7．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 分别为DE 、FC 、EF 的中点，将△ABC沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，BG 与IH 所成的角的弧度数为 〔 〕A ．6πB ．3πC ．32arccos D ．33arccos8．假设0,0a b >>且a b ≠,在a ,b 之间插入n 个正数12,,,n x x x ,使之成为等比数列()*2,n n N ≥∈,记12nn M x x x =,2a bN +=,那么M 与N 的大小关系是 ( )9. 一种专门占据内存的计算机病毒开场时占据内存2KB ，工作时3分钟自身复制一次，〔即复制后所占内存是原来的2倍〕，那么，开机后〔 〕分钟，该病毒占据64MB 〔1210MB KB =). A. 45B. 48C. 51D. 4210.假设直线 )0,(022>=+-b a by ax 过圆014222=+-++y x y x 的圆心,那么ab 的最大值是( ) A.41 B. 21C. 1D. 2 第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题4个小题，每一小题4分，一共16分．图7－5图7－711．假设32(1)1nnx x ax bx +=+++++，且a :b =3:1,那么(1)n x -的展开式中系数最大的项是 . 12．假设函数1()()x f x ax R -=∈的反函数()1f x -的图像经过点〔4，2〕，那么()12f -的值为 .13．甲、乙两名射击运发动参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：假如甲、乙两人中只有1人入选，那么入选的应是 ． 15．给出以下四个命题：① 函数()f x =()()43f f >；② 函数223sin sin y x x=+的最小值是 ③ 函数()()log 20,1x a y a a a =+>≠在R 上是增函数；④ 函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的一个对称点是,012π⎛⎫⎪⎝⎭； 其中正确命题的序号是 〔把你认为正确的都写上〕.16. 在数列{}n a 中，假如存在非零常数T ，使得n T n a a +=对于任意的非零自然数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期。
南京市2021届高三年级学情调研(数学)参考答案
南京市2021届高三年级学情调研 数学参考答案 2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B 二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．2 14．643 15．4；220 16．(－∞，－1]四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：因为 m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2x )，所以f (x )＝m ·n ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)． ……………………… 4分（1）T ＝2π2＝π． ……………………… 5分（2）由f (α)＝85，得sin(2α－π6)＝45．由α∈[π3，7π12]，得π2≤2α－π6≤π，所以cos(2α－π6)＝－1－sin 2(2α－π6)＝－1－(45)2＝－35，……………… 7分从而 cos2α＝cos[(2α－π6)＋π6]＝cos(2α－π6)cos π6－sin(2α－π6)sin π6＝－35×32－45×12＝－4－3310． …………………… 10分18．（本小题满分12分） 解：（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1． …………………………………… 4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1． ………………………………… 4分此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1． …………………………………4分 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 （2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，则2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ………………………10分 ＝1－2n1－2－n ×2n＝(1－n )2n －1，所以T n ＝(n －1)2n ＋1． ……………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2＝100×(36×30－24×10)2(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)＝2450207≈11.836＞6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分 （2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P (A )＝2460＝25，P (B )＝3040＝34． ……………………… 6分随机变量X 的取值可能为0，1，2，3． P (X ＝0)＝(1－25)2×(1－34)＝9100，P (X ＝1)＝C 12×25×(1－25)×(1－34)＋34×(1－25)2＝39100， P (X ＝2)＝(25)2×(1－34)＋C 12×25×(1－25)×34＝25， P (X ＝3)＝(25)2×34＝325．所以随机变量X 的分布列为：………………………… 10分 期望E (X )＝0×9100＋1×39100＋2×25＋3×325＝1.55． ………………………… 12分20．（本小题满分12分）（1）证明：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ． ………………………… 2分 又CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A ．在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB ＝90°，所以∠ABC ＝90°，又AB ＝BC ＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC ＝∠CAD ＝45°，AC ＝2．在△CAD 中，∠CAD ＝45°，AC ＝2，AD ＝2，所以CD ＝ AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos ∠CAD ＝2，从而AC 2＋CD 2＝4＝AD 2．所以CD ⊥AC ． ………………………… 4分 又AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，所以CD ⊥平面P AC ．又AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE ． ………………………… 6分 （2）解：因为P A ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，故以{→AB ，→AD ，→AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB ＝BC ＝P A ＝1，AD ＝2， 所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)， 则→CD ＝(－1，1，0)，→AD ＝(0，2，0)．因为点E 在棱PC 上，且CE ＝λCP ， 所以→CE ＝λ→CP ，设E (x ，y ，z )，则(x －1，y －1，z )＝λ(－1，－1，1)，故E (1－λ，1－λ，λ)，所以→AE ＝(1－λ，1－λ，λ)．由（1）知，CD ⊥平面P AC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝→CD ＝(－1，1，0)． 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·→AE ＝0，m ·→AD ＝0，得⎩⎨⎧(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)．………………………… 9分因此 |cos θ|＝|cos<m ，n >|＝|m ·n|m ||n ||＝|λ2·λ2＋(1－λ)2|＝105，化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝23．所以当|cos θ|＝105时，实数λ的值为23． ………………………… 12分 21．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设T (x 0，y 0)，则 TF 1→·TF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－3．因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即x 024＋y 02＝1，所以TF 1→·TF 2→＝34x 02－2，且x 02∈[0，4]，所以TF 1→·TF 2→的取值范围是[－2，1]． ………………………… 4分 （2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m ≠－1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1．得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1) 1＋4k 2． ………………………… 6分因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB →·AD →＝0， 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0， 从而 (1＋k 2) x 1x 2＋k (m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝0， 即(1＋k 2)×4(m 2－1)1＋4k 2－k (m ＋1)×8km1＋4k2＋(m ＋1)2＝0， 也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2) (m ＋1)＝0，解得m ＝35． ………………………… 9分又线段BD 的中点M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)，且AM ⊥BD ，所以m1＋4k 2＋1－4km 1＋4k 2＝－1k ，即3m ＝1＋4k 2，解得k ＝± 5 5．又当k ＝±5 5，m ＝35时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝57625＞0， 所以满足条件的直线l 的方程为y ＝± 5 5x ＋35. ……………………… 12分 22．（本小题满分12分）解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f ′(x )＝1－ln x ， 由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f ′(x )＜0，解得x ＞e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．……… 2分 （2）f (x )＝kx －x ln x ，故f ′(x )＝k －1－ln x ．当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ， 因此f ′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立． …………………………… 4分 当k ＜1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝e k －1∈(0，1)．当x ∈(0，e k －1)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －1，1)，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 于是f (e k －1)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． …………………………… 7分 （3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．令x ＝1n 2(n ∈N *)，则 1n 2＋2n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2－1，因此ln n n ＋1≤n －12． ……………………………………10分所以ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝n (n －1)4． …………………12分。
江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷(解析版)
5
A
D
B
C
高三数学试题第 4页
21．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2＋ y2＝ 1． 4 （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求T→F1·→ TF2的
取值范围； （2）设 A(0，－1)，与坐标轴不．垂．直．的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点．若△ABD 是以 A
升高r，则R＝ ▲ ． 3r
r 3
r
14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287－前 212），是古希腊伟大的物理学家、数学
家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的
封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三
分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在
2．已知(3－4i)z＝1＋i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝ 3，则 a 与 b 的夹角为
A．π 6
B．π 3
C．5π 6
D．2π 3
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C：ax22－y92＝1 的一条渐近线的距离
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信
息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，
江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研数学试题附参考答案
16．若不等式 (ax2 bx 1)ex 1对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数的底
数，则 a＋b 的取值范围是
．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知向量 m ＝(2cosx，﹣1)， n ＝( 3 sinx，2cos2x)，xR，设函数 f (x) m n 1．
面直角坐标系心中，已知直线 l：y＝4 与抛物线 C： y 1 x2 交于 A，B 两点，则弦与 4
拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为
．
15．已知数列an 的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn ，且 2Sn anan1 ，n N ，则 a4 ＝
；若 a1 ＝2，则 S20 ＝
．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
A．
6
B．
3
5
C．
6
2
D．
3
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P( 4
3 ，0)到双曲线
C：
x2 a2
y2 9
1的一条渐近线的
距离为 6，则双曲线 C 的离心率为
A．2
B．4
C． 2
D． 3
5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 2bcosC≤2a﹣c，则角 B 的取值 范围是
A．x 1 x 3 B．x 1 x 1 C．x 1 x 2 D．x 2 x 3
2．已知(3﹣4i)z＝1＋i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知向量 a ， b 满足 a ＝1， b ＝2，且 a b 3 ，则 a 与 b 的夹角为
2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三(上)期初调研数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三（上）期初调研数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={x|2−x >0}，则A ∩B =( )A. [−1,2)B. (−1,2)C. (−1,2]D. (−∞,−1)2. 已知z =2+i ，则z(z −−i)=( )A. 6+2iB. 4−2iC. 6−2iD. 4+2i3. 已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为( )A. 2√33π B. 4√33π C. 8√33π D. 2√3π4. 已知α∈(−π2,π2)，且3cos2α−8sinα=5，则cosα=( )A. 13B. 2√23C. 23D. 2√295. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34，那么三人中恰有两人通过的概率为( )A. 2180B. 2780C. 3380D. 27406. 已知O 为椭圆C 的中心，F 为C 的一个焦点，点M 在C 外，MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，经过M 的直线l 与C 的一个交点为N ，△MNF 是有一个内角为120°的等腰三角形，则C 的离心率为( )A. √34B. √33C. √3−1D. √3+147. 设函数f(x)的定义域为R ，f(x)为奇函数，f(x +1)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)=ax 2+b.若f(3)=3，则f(172)=( )A. 94B. −74C. 32D. −1548. 若函数f(x)=1−ax 2(a >0)与g(x)=1−lnx 的图象存在公切线，则实数a 的最小值为( )A. 12eB. 1e 2C. 2eD. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X ～N(70,100)，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是( )附：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ≤X <μ+2σ)=0.9544．A. 该校学生体育成绩的方差为10B. 该校学生体育成绩的期望为70C. 该校学生体育成绩的及格率不到85%D. 该校学生体育成绩的优秀率超过4%10. 已知向量a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，则下列结论正确的是( )A. (a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗B. |2a ⃗ +b ⃗ |=√10C. 向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为3π4D. b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影是√10 11. 已知点P(2,4)，若过点Q(4,0)的直线l 交圆C ：(x −6)2+y 2=9于A ，B 两点，R 是圆C 上动点，则( )A. |AB|的最小值为2√5B. P 到l 的距离的最大值为2√5C. PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12−2√5 D. |PR|的最大值为4√2+312. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，点M ，N 分别在棱AB 和BB 1上运动(不含顶点)，若D 1M ⊥MN ，下列命题正确的是( )A. MN ⊥A 1MB. MN ⊥平面D 1MCC. 线段BN 长度的最大值为34D. 三棱锥C 1−A 1D 1M 体积不变三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=log 2(x +1)，若f(m 2+2)<f(3m)，则实数m 的取值范围是______． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x −2)2+(y −2)2=1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx +y +3=0上，则实数k 的最大值为______． 15. 在△ABC 中，B =60°，AB =1，M 是BC 的中点，AM =√3，则AC =______，cos∠MAC =______．16.已知函数f(x)={3x 2,x≤0−4|x−1|+4,x>0.若存在唯一的整数x，使得x(f(x)−a)>0成立，则实数a的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)．(1)求函数y=[f(x+π4)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在区间[0,π4]上的最大值．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，且S n=a n+1−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{(2n+1)⋅a n}的前n项和T n．19.2021年2月1日教育部办公厅《关于加强中小学生手机管理工作的通知》中明确“中小学生原则上不得将个人手机带入校园”，为此某学校开展了一项“你能否有效管控手机”调查，并从调查表中随机抽取200名学生(其中男、女生各占一半)的样本数据，其2×2列联表如下：性别能管控不能管控总计男30女总计90200(1)完成上述2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关？(2)若学生确因需要带手机进入校园需向学校有关部门报告，该校为做好这部分学生的手机管理工作，学校团委从能管控的学生中按样本中的比例抽取了6名学生组成一个团队．(ⅰ)从该团队中选取2名同学作个人经验介绍，求选取的2人中恰有一名女生的概率．(ⅱ)从这6人中随机抽取4人，设抽到的女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82820.如图，在四棱锥A−BCDE中，△BCE为等边三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D−AC−E的大小为60°．(1)求证：CD//平面ABE；(2)若AC=BC=2，点G为线段AB上的点，若直线CB与平面CEG所成角的正弦值为√21，求线段AG的长度．721.已知F1是椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的左焦点，经过点P(0,−2)作两条互相垂直的直线l1和l2，直线l1与C交于点A，B.当直线l1经过点F1时，直线l2与C有且只有一个公共点．(1)求C的标准方程；(2)若直线l2与椭圆C有两个公共点，求线段AB的取值范围．22.已知函数f(x)=xe x+12ax2+ax，g(x)=12ax2−alnx(a∈R)．(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)>g(x)在区间(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，B={x|2−x>0}={x|x<2}，∴A∩B={x|−1≤x<2}=[−1,2)．故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=2+i，∴z(z−−i)=(2+i)(2−2i)=4−4i+2i+2=6−2i，故选：C．直接利用复数代数形式的四则运算即可求解．本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于4，如图：∴圆锥的高AO=√32×4=2√3，圆锥的底面半径r=12×4=2，因此，该圆锥的体积V=13πr2⋅AO=13π×22×2√3=8√3π3．故选：C．根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：α∈(−π2,π2)，且3cos2α−8sinα=5，即3(1−2sin 2α)−8sinα=5，求得sinα=−1(舍去)，或sinα=−13， ∴cosα=√1−sin 2α=2√23， 故选：B ．由题意利用二倍角的余弦公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34， 则三人中恰有两人通过的概率为：P =45×34×(1−34)+45×(1−34)×34+(1−45)×34×34=3380． 故选：C ．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中恰有两人通过的概率．本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】B【解析】解：不妨设F(c,0)，MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则M(−3c,0)， 易知△MNF 中只能∠MNF =120°，△MNF 是有一个内角为120°的等腰三角形，则N(−c,±2√33c)， 将N 代入椭圆方程得到c 2a 2+43c 2b 2=1，即e 2+4e 23(1−e 2)=1，解得e 2=13或e 2=3(舍去)， 故e =√33，故选：B ．不妨设F(c,0)，计算M 的坐标，根据等腰三角形得到N 点坐标，代入椭圆方程化简即可求出离心率．本题主要考查了椭圆的离心率，考查了学生的计算能力和转化能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)， 因为f(x +1)为偶函数，所以f(−x +1)=f(x +1)，所以f(x +2)=f[(x +1)+1]=f[−(x +1)+1]=f(−x)=−f(x)， 所以f(x +4)=−f(x +2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 因为f(0)=0，所以f(2)=f(0)=0， 所以f(2)=4a +b =0①，又f(3)=f(−1)=−f(1)=−a −b =3②， 所以①②联立可解得a =1，b =−4， 所以当x ∈[1,2]时，f(x)=x 2−4， 所以f(172)=f(12)=f(32)=94−4=−74． 故选：B ．由奇函数与偶函数的定义，求出函数f(x)的周期，由f(2)=f(0)=4a +b =0，f(3)=f(−1)=−f(1)=−a −b =3联立可求得a ，b ，从而可得当x ∈[1,2]时，f(x)的解析式，然后由周期性进行求解即可．本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性与周期性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解法一、设公切线与f(x)，g(x)图象分别切于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， f(x)=1−ax 2(a >0)的导数为f′(x)=−2ax ，g(x)=1−lnx 的导数为g′(x)=−1x ，则f(x)图象在A 处的切线方程为：y −(1−ax 12)=−2ax 1(x −x 1)，即y =−2ax 1x +ax 12+1；同理可得g(x)图象在B 处的切线方程为：y −(1−lnx 2)=−1x 2(x −x 2),y =−1x2x +2−lnx 2．由上述两直线重合，可得{2ax 1=1x 2ax 12+1=2−lnx 2，消元x 1可得，14a =x 22(1−lnx 2)， 令ℎ(x)=x 2(1−lnx)(x >0)，则ℎ′(x)=(1−2lnx)， 得ℎ(x)在(0,√e)单调递增，在(√e,+∞)单调递减， 即有14a ≤ℎmax (x)=ℎ(√e)=e2，得a ≥12e ， 即a 的最小值为12e ． 故选A ．解法二、由图象易知：f(x)，g(x)分别为上凸和下凸函数，要使f(x)，g(x)存在公切线，只须f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立即可， 即a ≥lnx x 2恒成立，设ℎ(x)=lnx x 2，ℎ′(x)=1−2lnx x 3，当x >√e 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减；当0<x <√e 时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增． 所以ℎ(x)的最大值为12e ． 则a ≥(lnxx 2)max =12e ． 即a 的最小值为12e ． 故选：A ．方法一、设出切点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，，求得导数和切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，消元x 1可得，14a =x 22(1−lnx 2)，构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求范围；方法二、根据f(x)，g(x)的图象，要使f(x)，g(x)存在公切线，只须f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立即可，即a ≥lnx x 2恒成立，运用构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：由题意知，X ～N(70,100)，所以期望值为μ=70，标准差为σ=10，方差为100，选项A 错误，选项B 正确； 因为P(X >70)=0.5，P(60≤X ≤80)=P(μ−σ<μ+σ)=0.6826， 所以P(60≤X ≤70)=12×0.6826=0.3413，所以P(X ≥60)=P(60≤X ≤70)+P(X >70)=0.3413+0.5=0.8413<85%，选项C 正确；因为优秀的概率为：P(X ≥90)=P(X ≥70)−P(70≤X ≤90)=0.5−12×0.9544=0.0228<0.4，选项D 错误． 故选：BC ．由已知可得即可求出期望与标准差，方差，再根据公式即可求解本题考查了正态分布的性质与应用问题，与考查了分析与判断能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：∵a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，∴a ⃗ +b ⃗ =(3,−1)、2a ⃗ +b ⃗ =(4,2)， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =1×3+3×(−1)=0，∴∴(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ． |2a ⃗ +b⃗ |=√42+22=2√5.∴A 对B 错． 设向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√12+32×√22+(−4)2=−√22，∴θ=3π4，∴C 对；b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=√12+32=−√10.∴D 错． 故选：AC ．由a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，得a ⃗ +b ⃗ 、2a ⃗ +b ⃗ 坐标可判断AB ； 根据cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |可判断C ；根据投影公式计算可判断D ． 本题考查平面向量数量积性质及运算、投影求法、垂直判定，考查数学运算能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：如图，当直线l 与x 轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为2√5，故A 正确； 当直线l 与PQ 垂直时，P 到l 的距离有最大值，且最大值为|PQ|=2√5，故B 正确；设R(6+3cosθ,3sinθ)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−4)⋅(4+3cosθ,3sinθ−4)=6cosθ−12sinθ+24，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =6√5cos(θ+φ)+24，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为24−6√5，故C 错误； 当P ，C ，R 三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|+r =4√2+3，所以D 正确． 故选：ABD ．由题意画出图形，分别求出|AB|的最小值及P 到l 的距离的最大值判断A 与B ；设R(6+3cosθ,3sinθ)，写出数量积，利用三角函数求最值判断C ；求出P 到圆心的距离，加上半径判断D ．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合思想及运算求解能力，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A ，∵A 1D 1⊥平面ABCD ，∴A 1D 1⊥MN ，又MN ⊥D 1M ，D 1M ∩A 1D 1=D 1，∴MN ⊥平面A 1D 1M ，∴MN ⊥A 1M ，所以A 正确；对于B ，∵MN ⊥A 1M ，∴MN 不与A 1B 垂直，∴MN 不与D 1C 垂直，∴MN ⊥平面D 1MC 不成立，所以B 错误；对于C ，∵MN ⊥A 1M ，∴△A 1AM∽△MBN ，∴A 1A ⋅BN =AM ⋅MB ≤(AM+MB 2)2=94，∴BN ≤34，所以C 正确；对于D ，显然M 到平面A 1C 1D 1的距离为3，∵V C 1−A 1D 1M =V M−A 1C 1D 1=13⋅S △A 1C 1D 1⋅3=92，所以D 正确． 故选：ACD ．对于A ，证明MN ⊥平面A 1D 1M 即可；对于B ，证明MN 不与D 1C 垂直；对于C ，利用△A 1AM∽△MBN 得到A 1A ⋅BN =AM ⋅MB 即可判断；对于D ，利用V C 1−A 1D 1M =V M−A 1C 1D 1即可判断．本题考查了空间中的垂直位置关系的判断和空间长度的最值问题，其中结合了等体积法进行考查，属于中档题．13.【答案】(1,2)【解析】解：由题意可得函数的定义域为(−1,+∞)， 又因为函数f(x)=log 2(x +1)在(−1,+∞)单调递增， ∴有{m 2+2>−13m >−1m 2+2<3m ，解得，1<m <2，所以实数m 的取值范围为(1,2)． 故答案为：(1,2)．根据对数函数的定义域和单调性列出不等式组{m 2+2>−13m >−1m 2+2<3m ，解出不等式即可．本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：M 在圆上，故设M(2+cosθ,2+sinθ)， 可得N(2+cosθ,−2−sinθ)，将N 的坐标代入kx +y +3=0，可得sinθ−kcosθ=2k +1，|2k +1|≤√k 2+1，化为得3k 2+4k ≤0,−43≤k ≤0， k 的最大值为0． 故答案为：0．首先设出点M 的坐标，然后结合题意得到关于k 的不等式，求解不等式即可确定k 的最大值．本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程中的参数问题等知识，属于基础题．15.【答案】√13 2√3913【解析】解：在△ABM 中，由余弦定理得AM 2=AB 2+BM 2−2BM ⋅BA ⋅cosB ， 所以3=1+BM 2−2BM ⋅cos60°，即BM 2−BM −2=0， 解得BM =2或−1(舍负)， 所以BC =2BM =2CM =4，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =1+16−2×1×4×12=13，所以AC=√13，在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC=AC2+AM2−MC22AM⋅AC =2√3913．故答案为：√13；2√3913．先在△ABM中，利用余弦定理求出BM的长，再△ABC中，由余弦定理求得AC的长，最后在△AMC中，由余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】[0,3]∪[4,12]【解析】解：作出f(x)的函数图象如图所示：①当x>0时，f(x)≤f(1)=4，存在唯一的整数x，使得x[f(x)−a]>0成立，则a<f(x)只有1个整数解，又f(2)=0，故0≤a<4；②当x<0时，则f(x)≥f(0)=0，存在唯一的整数x，使得x[f(x)−a]>0成立，则a>f(x)只有1个整数解，又f(−1)=3，f(−2)=12，∴3<a≤12，当0≤a≤3或4≤a≤12时，x[f(x)−a]>0只有1个整数解．故答案为：[0,3]∪[4,12]．作出f(x)的函数图象，对x的符号进行讨论，根据不等式只有唯一整数解得出a的范围．本题主要考查分段函数及其应用，由不等式求解参数取值范围的方法等知识，属于中等题．17.【答案】解：(1)由辅助角公式得f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则y=[f(x+π4)]2=[√2sin(x+π2)]2=2cos2x−1+1=cos2x+1，所以该函数的最小正周期T=2π2=π；(2)由题意，y=f(x)f(x−π4)=√2sin(x+π4)⋅√2sinx=2sin(x+π4)sinx=2sinx⋅(√2 2sinx+√22cosx)=√2sin2x+√2sinxcosx，=√2⋅1−cos2x2+√22sin2x=√22sin2x−√22cos2x+√22=sin(2x−π4)+√22，由x∈[0,π4]可得2x−π4∈[−π4,π4]，所以当2x−π4=π4即x=π4时，函数取最大值√2．【解析】(1)由辅助角公式可得f(x)的解析式，进而求出函数y的解析式，可得函数的周期；(2)求出函数y的解析式，由函数的单调性求出函数的最大值．本题考查函数的辅助角公式的应用及函数的单调性求最值，属于中档题．18.【答案】解：(1)依题意，当n≥2时，由S n=a n+1−2，可得S n+1=a n+2−2，两式相减，得a n+1=2a n(n≥2)，又∵a2=a1+2=4=2a1≠0，∴a n+1a n=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2⋅2n−1=2n，n∈N∗．(2)由(1)，可得(2n+1)⋅a n=(2n+1)⋅2n，则T n=3×21+5×22+7×23+⋯+(2n+1)⋅2n，2T n=3×22+5×23+⋯+(2n−1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1，两式相减，得−T n=6+2×(22+23+⋯+2n)−(2n+1)⋅2n+1=6+2×22×(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1，∴T n=2+(2n−1)⋅2n+1．【解析】(1)根据题干并结合公式a n=S n−S n−1(n≥2)进行推导即可发现数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可计算出数列{a n}的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{(2n+1)⋅a n}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n项和T n．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：(1)完成2×2列联表如下：∴K2的观测值k=200(30×40−70×60)2100×100×90×110=20011≈18.18>10.828，∴有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关．(2)(i)从样本中的数据可知能管控手机的男、女生的比例为1：2，∴6人中有2名男生，4名女生，从这6人中选2人的所有情况为C62=15，恰有1名女生的情况为C21C41=8种，∴恰有一名女生的概率P=815．(ii)由题可知X的所有可能取值为2，3，4，P(X=2)=C22C42C64=615，P(X=3)=C21C43C64=815，P(X =4)=C 44C 64=115，∴X 的分布列为： X 2 3 4 P 615815115∴E(X)=2×615+3×815+4×115=83．【解析】(1)完成2×2列联表，求出K 2的观测值k =20011≈18.18>10.828，从而有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关．(2)(i)从样本中的数据可知能管控手机的男、女生的比例为1：2，从而6人中有2名男生，4名女生，从这6人中选2人，由古典概型、排列组合能求出恰有一名女生的概率． (ii)由题可知X 的所有可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注，是中档题．20.【答案】(1)证明：在四棱锥A −BCDE 中，因为平面ACD ⊥平面CDE ，平面ACD ∩平面CDE =CD ，AC ⊥CD ，AC ⊂平面ACD ， 所以AC ⊥平面CDE ．又CE ，CD ⊂平面CDE ，所以AC ⊥CE ，AC ⊥CD ．所以∠ECD 为二面角D −AC −E 的平面角，所以∠ECD =60°， 又∠BEC =60°，所以CD//BE ． 又BE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ， 所以CD//平面ABE ．(2)解：取BE 的中点F ，连结CF.则CF ⊥BE ，又BE//CD ，所以CF ⊥CD ． 又AC ⊥平面CDE ，CF ⊂平面CDE ，所以AC ⊥CF ，所以AC ，CF ，CD 两两垂直． 以C 为坐标原点，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，则A(0,0,2)，B(√3,−1,0)，C(0,0,0)，E(√3,1,0)， 则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,−2)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得G(√3λ,−λ,2−2λ)，所以CG⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,−λ,2−2λ)， 设平面CEG 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{√3λx −λy +(2−2λ)z =0√3x +y =0，不妨令x =√3，可得n ⃗ =(√3,−3,3λλ−1)为平面CEG 的一个法向量， 设直线CB 与平面CEG 所成的角为α，则sinα=|cos〈n ⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CB⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√3+9+(3λλ−1)2=√217，解得λ=12， 所以AG 的长为√2．【解析】(1)证明AC ⊥CD ，推出AC ⊥平面CDE.说明∠ECD 为二面角D −AC −E 的平面角，推出CD//BE.然后证明CD//平面ABE ．(2)取BE 的中点F ，连结CF.说明AC ，CF ，CD 两两垂直．以C 为坐标原点，CF⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，求出平面CEG 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线CB 与平面CEG 所成的角为，解得λ=12，然后求解AG 的长． 本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设F 1(−c,0)，其中c =√a 2−3①当直线l 1经过点F 1时，直线l 1的斜率k PF 1=−2c，所以直线l 2的斜率为c2，方程为y =c2x −2，与椭圆C 的方程联立，消去y 得：3x 2+a 2(c2x −2)2=3a 2， 整理得：(a 2c 2+12)x 2−8a 2cx +4a 2=0．因为直线l 2与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ=64a 4c 2−16a 2(a 2c 2+12)=0， 即ac =2，②由①②得：a 2=4，解得：a =2，c =1，所以b =√a 2−c 2=√3， 所以C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)由题意知：直线l 1的斜率存在且不为零，设其方程为y =kx −2(k ≠0)， 与椭圆C 的方程联立，消去y 得：(3+4k 2)x 2−16kx +4=0， 则Δ=256k 2−16(3+4k 2)>0，解得：k 2>14．同理：当直线l 2与椭圆C 有两个交点时，k 2<4，所以14<k 2<4．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，所以|AB|=√1+k2⋅|x1−x2|=√1+k2⋅4√3(4k2−1)3+4k2=2√3⋅√(4k2+4)(4k2−1)(3+4k2)2．设t=3+4k2，则t∈(4,19)，所以(4k 2+4)(4k2−1)(3+4k2)2=(t+1)(t−4)t2=t2−3t−4t2=−4(1t+38)2+2516，因为f(t)=−4(1t +38)2+2516在(4,19)上单调递增，所以f(t)∈(0,300192)，所以AB的取值范围是(0,6019)．【解析】(1)设F1(−c,0)，其中c=√a2−3①求解直线的斜率，结合椭圆方程，转化求解a，c，得到椭圆方程．(2)由题意知：直线l1的斜率存在且不为零，设其方程为y=kx−2(k≠0)，与椭圆C的方程联立，消去y得：(3+4k2)x2−16kx+4=0，推出k的范围，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韦达定理弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)由f(x)=xe x+12ax2+ax，得f′(x)=(x+1)e x+a(x+1)=(x+1)(e x+a)，因为x∈(0,+∞)，所以当a≥−1时，e x+a≥e x−1>0，所以f′(x)>0，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a<−1时，x=ln(−a)>0，所以在(0,ln(−a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(ln(−a),+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，a≥−1时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a<−1时，f(x)在(0,ln(−a))上单调递减，f(x)在(ln(−a),+∞)上，f(x)单调递增．(2)由题意知f(x)>g(x)等价于xe x+alnx+ax>0，记ℎ(x)=xe x+alnx+ax，所以函数ℎ(x)的定义域为(0,+∞)，且ℎ′(x)=(x+1)e x+ax +a=(x+1)(xe x+a)x，当a>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且当x趋近于0时，存在x1，使得ℎ(x1)<0，所以不满足题意，当a=0时，ℎ(x)=xe x>0恒成立，当a<0时，令φ(x)=xe x+a，则φ′(x)=(x+1)e x>0在区间(0,+∞)上恒成立，所以φ(x)单调递增，又φ(0)=a<0，当x趋近于+∞时，φ(x)趋近于+∞，所以关于x的方程xe x+a=0有唯一的根，该根记为x0，即由x0e x0+a=0，所以当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，从而ℎ(x)的最小值为ℎ(x0)，所以ℎ(x0)=x0e x0+alnx0+ax0=x0e x0+aln(x0e x0)=−a+aln(−a)=−a[1−ln(−a)]，要使得ℎ(x)≥0恒成立，只需1−ln(−a)>0恒成立，即a>−e，综上所述，a的取值范围为(−e,0]．【解析】(1)求导得f′(x)=(x+1)(e x+a)，分两种情况：当a≥−1时，当a<−1时，f′(x)的正负，f(x)的单调区间．(2)由题意知f(x)>g(x)等价于xe x+alnx+ax>0，记ℎ(x)=xe x+alnx+ax，只需ℎ(x)min>0，进而可得a的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中需要注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．。
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金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）数学试卷命题人：审核：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题中正确的是 ( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝ ( )A ．3132B ．3116C ．318D ．3145. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为 ( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．51206. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．4007. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为 ( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1210. 下列说法中正确的是 ( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞)12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________．14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________．16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf '(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．金陵中学高三年级学情调研测试（一）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)答案：C2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3. 下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd答案：C4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( )A ．3132B ．3116C ．318D ．314答案：B5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．5120答案：C6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．400答案：C7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案：B8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]答案：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12答案：AB10. 下列说法中正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD11. 下列四个命题中，是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞) 答案：BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020 答案：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________． 答案：114. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)． 答案：4015. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________． 答案：416. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________． 答案：(27，＋∞)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．解析：若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分 即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC 周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解析：(1)因为S n 2＝a n (S n －12)，当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －12)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分 由题意得S n －1·S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝12n －1． …………………………………………7分(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－12n ＋1)，……………………………10分所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1． …………………………………12分19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．(1)证明：取BP 的中点T ，连接AT ，TN ．由N 为PC 的中点，知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2．又AD ∥BC ，AM ＝23AD ＝2，所以TN _∥AM ，因此四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ． …………………………………3分因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …………………………………5分(2)取BC 的中点E ，连接AE ．由AB ＝AC ，得AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝5．以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2．…………………………………7分设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．……………………………………………………………………9分于是|cos ＜n ，AN →＞|＝|n ·AN →||n |·|AN →|＝8525．…………………………………11分设AN 与平面PMN 所成角为θ，则sin θ＝8525，即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525． …………………………………12分20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200(1)补全上面的驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：计算得K 2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841， 所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关． …………………………………5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X ＝0，1，2，3，4，且X ~B ⎝⎛⎭⎫4，15．于是P (X ＝k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭⎫454－k(k ＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为0分 所以E (X )＝4×15＝45．答：X 的数学期望为45． …………………………………12分 21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由． 解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1．又点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ，所以AB ⊥BF 2，即AB →·BF 2→＝(3c ，b )·(c ，－b )＝0，即b 2＝3c 2．又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1． …………………………………4分 (2)易得右焦点F 2(1，0)，假设存在点P (t ，0)满足要求．①当直线MN 的斜率不为0时，设直线MM 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝1，整理可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m 2，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝84＋3m 2，x 1x 2＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－9m 24＋3m 2＋－6m 24＋3m 2＋1＝4－12m 24＋3m 2．…………………………………6分因为PM →·PN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝4－12m 24＋3m 2－8t 4＋3m 2＋t 2－94＋3m 2 ＝t 2(4＋3m 2)－12m 2－8t －54＋3m 2＝3m 2(t 2－4)＋4t 2－8t －54＋3m 2．…………………………………9分 要使PM →·PN →为定值，则t 2－41＝4t 2－8t －54，解得t ＝118，此时PM →·PN →＝－13564为定值． …………………………………11分②当直线MM 的斜率为0时，则M (－2，0)，N (2，0)，P (118，0)，此时PM →·PN →＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－13564． …………………………………12分综上，所以存在P (118，0)，使PM →·PN →为定值．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf'(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f'(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ．…………………………………1分因为a ＞0，所以x 1＜x 2，列表如下：所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2．…………………………………3分(2)g (x )＝xf'(x )＝3ax 3－6x 2．因为存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，所以f (x )≥g (x )在x ∈[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1，2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1，2]上有解．………………………5分设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3，x ∈[1，2]．因为y'＝－3x 2－3x 4＜0对x ∈[1，2]恒成立，所以y ＝1x 3＋3x 在[1，2]上递减，故当x ＝1时，y max＝4．所以2a ≤4，即a ≤2，故a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2．①当1－4a 2＞0，即a ＞2时，f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥f (x )＞0，因此h (x )在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1－4a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0，又g (1)＝0，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a 2＜0，即0＜a ＜2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x ，0＜x ＜1． 因为φ'(x )＝3ax 2－6x －1x ＜6x (x －1)－1x ＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a －2＜0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 3＋2e 2－3e 2＞0，所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得φ(x 0)＝0． (i )当0＜x ≤x 0时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0，所以h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0＜ln1＝0，f (0)＝1＞0，所以h (x )在(0，x 0)上有一个零点． (ii )当x 0＜x ＜1时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )＜φ(x 0)＝0，所以h (x )＝g (x )且h (x )为增函数．因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝ln x＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点．…………………………………12分。