二次曲线的代数定义

分别以AM, BM截, 得 AM ( A, B' , K , M ) M M,
AM ( A, B' , K , M )
BM ( A' , B, K ' , M ). 注意到
BM ( A' , B, K ' , M ).
从而对应点的连线共点, 即AA', BB', KK'共点于S. 但是 S O' A OB 为定点, 故当M变动时, KK'经过定点S. 即 OP( K ) O' P( K ' ).
推论4.1' 平面上五直线(其 中无三线共点)唯一确定一条 非退化二级曲线. 推论4.2' 任一二级曲线可 由两个射影点列生成. 推论4.3' 二级曲线上四条 定直线被其上任意一条直线所 截得四点的交比为定值.
推论4.3 二阶曲线上四个 定点与其上任意一点连线所得 四直线的交比为定值.
注：推论4.3对于解析几何中的各种二次曲线都适用.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
2、切线的方程 问题：已知二阶曲线
: S aij xi x j 0
i , j 1 3
(aij a ji )
(1)
求过定点P(pi)的的切线方程. 设Q(qi)为平面上任一点. 则直线PQ上任一点可表为xi=pi+qi. PQ为的切线Q为的过P的切线上的点 PQ交于两个重 合的点将xi=pi+qi代入 ：S=0后只有一个解. 代入得 即
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§ 4.1 二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P)生成. 则在上 任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束
A(M ) B( M ).
证明. 设由O(P) O'(P)生成. A( M ) B( M ) AM OP K A( M ) OP( K ) 只要证 设 B ( M ) O' P ( K ' ) BM O' P K ' OP( K ) O' P( K ' ). 设 O' A BM A' , OB AM B'. O( P) O' ( P), O( A, B, P, M ) O' ( A, B, P, M ).
j
ij
i
j
0
(2)
§ 4.1 二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
2、切线的方程 2 aij qi q j ( aij pi q j aij qi p j ) aij pi p j 0 为简便计, 引入记号 S pp aij pi p j
(2)
S pq aij pi q j S p aij pi x j
Sqp aij qi p j Sq aij qi x j
Sqq aij qi q j
aij a ji , S pq Sqp .
以上述记号代入，(2)式可写为
Sqq 2 2S pq S pp 0
(3)
§ 4.1 二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
即
a ( p q )( p q ) 0 a ( p p p q q p q q ) 0 a q q ( a p q a q p ) a p p
ij i i j j 2 ij i j i j i j i j
2
ij i
j
ij
i
j
ij i
§ 4.1 二次曲线的射影定义
三、二次曲线的射影定义
由上述的两个定理及其推论, 我们有
定义4.3 在射影平面上, 称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线.
定义4.3' 在射影平面上, 称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线.
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的. 提示：考虑透视对应、射影变换的情况.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
定理4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一 条经过此二线束束心的二阶曲线. 即：O(p) O'(p') {P p p'| p O( p), p' O' ( p' )}. 若A+B↔A'+'B'： a ' b c ' d 0 (ad bc 0) 则的方程为 aAA ' dBB ' bAB ' cA ' B 0.
(3) 从而, Q(qi)在过P(pi)的切线上(3)对有二重根=0 2 S pq Sqq S pp (4) (4)式即为Q(qi)是过P(pi)的切线上的点的充要条件. 习惯地, 将其 中的流动坐标qi换为xi , 得到二阶曲线过点P(pi)的切线方程为 2 Sp S pp S (5) (5)式为一个二次方程, 故经过平面上一点P一般有两条切线. 如果 P在上, 则Spp=0, 从而, 二阶曲线上一点P处的切线方程为
§ 4.1 二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P)生成. 则在上 任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束
A(M ) B( M ).
注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成, 则其上点 的地位平等,任意取定上相异二点为束心与上的点连线则得到 两个也生成此的射影线束.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P')生成. 则在上 任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束
A(M ) B( M ).
推论4.1 平面上五点(其中 无三点共线)唯一确定一条非 退化二阶曲线. 推论4.2 任一二阶曲线可 由两个射影线束生成.
注 请自学教材例4.2, 并与§2.3(P.67)习题6, 7比较.
§ 4Байду номын сангаас1 二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
本部分总假定：所论二次曲线为非退化的.
1. 定义 定义4.4 与二阶曲线交于两个重合的点的直线称为的切线.
外 相异的实切线 一般地 , 点P在 上 过P有的两条 重合的实切线 内 共轭的虚切线