自动控制原理-第3章 时域分析法概要
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自动控制原理 第三章
如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号， 则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突 变性质时，则选用阶跃函数较合适。需要注意的是，不管采用何 种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统 特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制 系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便 于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的 输入信号作为典型实验信号。 本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数等 输入信号作用下的输出响应。
为了研究控制系统的输出响应，必须了解输入信号的变化形 式。在工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系 统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是 如何变化的（如随动系统）。因此，为了方便系统的分析和设计， 使各种控制系统有一个进行比较的基础，需要选择一些典型试验 信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。 常用的试验信号已作介绍，它们是阶跃函数、斜坡函数、抛物线 函数、脉冲函数及正弦函数。这些函数都是简单的时间函数，并 且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。
为便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前 处于静止状态，而且系统输出量及其各阶导数均等于零。对于 大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。控制系统 的典型单位阶跃响应曲线如下页图所示 一般认为，阶跃输入对系统来说是最为严峻的工作状态， 如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，在其他输入 形式作用下的动态性能也能满足要求。因此，通常在阶跃函数 作用下测定或计算系统的动态性能。而系统的动态性能指标就 用其在单位阶跃函数作用下的响应，即系统的单位阶跃响应的 特征量来描述。
A s
2 2
自动控制原理第3章
间常数“T”。
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理课件 第三章线性系统的时域分析法
1 tA T
)
1 T tA e T
1
tB- tA=T
3-3二阶系统分析 1. 数学模型
d 2 c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
C ( s) n ( s ) 2 2 R( s ) ( s 2n s n
。
ξ>1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根
ξ=1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-ωn 0<ξ<1 称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的 共轭复数。 ξ=0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特 征根 ξ<0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。
1.
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
（2）上升时间 t r 的计算
h(t r ) 1 e ntr 1 2 sin( n 1 2 tr ) 1 sin( n 1 2 t r ) 0
tr d 1 2 n
（3）峰值时间 t p 的计算
( 2) n K
(3)
1 K 2 K
100%, ln( 1/ p ) 1 0.456 )2
p % e
/ 1 2
(ln
2
p
(4)
n Biblioteka t p 1 2 3.53 (rad / s)
(5) K n 12.46
3-2 一阶系统分析 1. 数学模型
图3.3一阶系统典型结构
一阶系统微分方程
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt
Φ （s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1)
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理第三章时域分析
工程上典型测试信号（输入函数）
时域函数：r(t) t 0 单位脉冲 单位阶跃 (t) 复域：F（s） r(t) 图形
o
1
1 S
1 S2
t t t t t
1
o
1(t )
单位速度 单位加速度
单位正弦
t
1 2 t 2
sin t
o o
1 S3
s2 2
o
3.2 一阶系统的瞬态响应
[提示]：上述几种典型响应有如下关系： 单位脉冲 函数响应
14
2.2.3 典型环节及其传递函数
1、比例环节（又叫放大环节）
R( s)
K
C ( s)
特 点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。 运动方程: 传递函数： c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。
G(s) C(s) K R(s)
比例环节又称为放大环节。k为放大系数。 实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。
1
4S 2 c1 (t ) L C1 ( s ) ＝L S ( S 1 )( S 2 )
j
1 -1.33 -2 -1 -0.5 0
c(t) c1(t) 1 2et 3e2t
1.0
c2 (t) 1 0.5et 0.5e2t
-1 极点和零点分布图
积分
单位阶跃 函数响应
积分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
微分
微分
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系 统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输 入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数 为典型输入信号。
自动控制原理第三章一控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析 法
第三章 控制系统的时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标 增加零极点对二阶系统响应的影响 反馈控制系统的稳态误差 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法：
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定 义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统
的特征。
wn 1 2
e w nt
s in(w n
1 2t)
1
e ( 2 1)wnt
第三章 控制系统的时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标 增加零极点对二阶系统响应的影响 反馈控制系统的稳态误差 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法：
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定 义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统
的特征。
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1 2t)
1
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自动控制原理-胡寿松-第三章-线性系统时域分析法
impulse(G) 简单介绍一下m文件的用法 Simulink 用法
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
二阶系统定义：能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 本节内容
0. 预备知识 1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程
超调量 % ：
显然 h(tp) hmax
若 h(tp) h() 则响应无超调
实际中，常用的动态性能指标
tr
tp
评价系统起始段的响应速度；
ts
评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。
%
评价系统的阻尼程度；
思考：稳态误差从图中怎么看？
3-2 一阶系统的时域分析
一阶系统定义：能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
第三章 线性系统的时域分析法
系统的数序模型确定后，便可以用多种不同的方 法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。
在经典控制理论中
时域分析的一般思路：
时域分析法 根轨迹法 频域分析法
数数数数
数数数数数数数 求解微分方程
数数数数
数数数数
优点：直接在时间域对系统进行分析，具有直观、准确的 优点，并可以提供系统时间响应的全部信息。
本章内容
▪ 3-1 系统时间响应的性能指标 ▪ 3-2 一阶系统的时域分析 ▪ 3-3 二阶系统的时域分析 ▪ 3-4 高阶系统的时域分析 ▪ 3-5 线性系统的稳定性分析 ▪ 3-6 线性系统的稳态误差计算 ▪ 3-7 控制系统时域设计
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
二阶系统定义：能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 本节内容
0. 预备知识 1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程
超调量 % ：
显然 h(tp) hmax
若 h(tp) h() 则响应无超调
实际中，常用的动态性能指标
tr
tp
评价系统起始段的响应速度；
ts
评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。
%
评价系统的阻尼程度；
思考：稳态误差从图中怎么看？
3-2 一阶系统的时域分析
一阶系统定义：能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
第三章 线性系统的时域分析法
系统的数序模型确定后，便可以用多种不同的方 法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。
在经典控制理论中
时域分析的一般思路：
时域分析法 根轨迹法 频域分析法
数数数数
数数数数数数数 求解微分方程
数数数数
数数数数
优点：直接在时间域对系统进行分析，具有直观、准确的 优点，并可以提供系统时间响应的全部信息。
本章内容
▪ 3-1 系统时间响应的性能指标 ▪ 3-2 一阶系统的时域分析 ▪ 3-3 二阶系统的时域分析 ▪ 3-4 高阶系统的时域分析 ▪ 3-5 线性系统的稳定性分析 ▪ 3-6 线性系统的稳态误差计算 ▪ 3-7 控制系统时域设计
第3章时域分析法
A
0
sin(t
)
t0 t0
《自动控制原理》
21
3.2.2 暂态性能指标
利用系统的单位阶跃响应曲 线的特征来定义控制系统 的动态性能指标,直观，含 义清楚。
1
初始条件为零
0 控制系统
单位阶跃输入
单位阶跃响应
《自动控制原理》
22
典型的单位阶跃响应曲线（衰减振荡形式）
响应稳态值
5%的稳态值
《自动控制原理》
《自动控制原理》
29
微分方程： T dc(t) c(t) Kr(t)
dt
r(t)
c(t)
传递函数： (s) C(s) K R(s) Ts 1
R(s)=1/s 一阶系统 C(s)
c(t) L1[C(s)] L1[
K
] KL1[1
1
] K (1 e T )
s(Ts 1)
s s 1
T
设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为
an y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bmu (m) b1u b0u
系统的特征方程为
D(s) an s n an1s n1 a1s a0 0
系统的脉冲响应为
k
r
y(t) Ci eit eit ( Ai cos dit Bi sin dit)
28
3.2.3 一阶系统的暂态性能分析 为什么要研究典型系统的性能分析？
• 现实中存在大量的系统，他们本身就属于典型的一阶或
二阶系统。（温度计系统，单自由度机械振动系统等等）
• 大量的高阶、复杂系统可以在一定的近似范围内简化为
典型的系统，以便于系统的分析与设计。
• 在校正系统时，往往把系统设计成一个典型的系统。 • 分析和理解高阶系统的动态响应的基础。
朱玉华自动控制原理第3章 时域分析3-1,2,3
1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s4 3s3 s2 3s 1 0 s3 3 3
试判别该系统的稳定性。 s2 0 1
当 0时,3 3 0,
s1 3 3 0
s0
1
有2个特征根在s平面第右3章边控. 制系系统统的是时域不分析稳定的
10 0 0
(2) 劳斯表中某一行的元素全为零。
——这时系统在s平面上存在一些大小相等符号相反的
61
s0 6
劳斯表中第一列元素大于零，所以该系统是稳定的。 这时，系统所有的特征根均处于s平面的左半平面。
第3章 控制系统的时域分析
课程回顾(1)
1、 稳态性能指标 2、 动态性能指标
ess
lim[r(t)
t
cr (t)]
(1)延迟时间td (2)上升时间tr
(3)峰值时间tp
(4)调整时间ts
负可化为全为正） （2）劳斯表中第一列所有元素均大于零。
第3章 控制系统的时域分析
例3-1 已知三阶系统特征方程为 a0s3 a1s2 a2s a3 0
试写出系统稳定的充要条件
解：列写劳斯表 s3
a0
a2
0
s2
a1
a3
0
s1 a1a2 a0a3 0
a1
s0
a3
0
故得出三阶系统稳定的充要条件为：
0
9
s0 5
s1 32
0
s0 5
所得结论不变
第3章 控制系统的时域分析
2、劳斯稳定判据的特殊情况
(1) 劳斯表中某一行的第一个元素（系数）为零，而该 行其它元不为零。
——计算下一行第一个元素时将出现无穷大，以至劳斯 表的计算无法进行。
自动控制原理 第三章时域分析方法
位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
自动控制原理-控制系统的时域分析法 精品
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
3.2.5 一阶系统的单位加速度响应
自动控制原理
3.2 一阶系统的时域分析 第3章 控制系统的时域分析法
3.2.1 一阶系统的数学模型
微分方程 dc(t) T —— + c(t)=r(t) dt R(s) 1 G(S) = —— = —— = C(S) TS+1 K K/S
当 a0 1 时，则称为单位等加速度信号
其拉氏变换为
L[r (t )] 13 s
自动控制原理
第3章 控制系统的时域分析法
4. 脉冲信号(impulse signal)
t0 0， r (t ) H ， 0 t
单位脉冲函数 ：令H=1，记为 (t ) 理想单位脉冲函数：若 0 记为 (t ) 面积：
根轨迹法 频域分析法
自动控制原理
第3章 控制系统的时域分析法
本章主要内容
3.1控制系统的时域指标
3.2一阶系统的时域响应
3.3二阶系统的时域响应
3.4线性系统的稳定性分析
3.5线性系统的稳态误差
自动控制原理
第3章 控制系统的时域分析法
3.1控制系统的时域指标
3.1.1 典型输入信号 3.1.2 时域性能指标
稳态分量 瞬态分量
c(t ) 1 e
1 t T
,
(t 0)
自动控制原理
第3章 控制系统的时域分析法 斜率逐渐变小 ，最后趋于零
位置误差随时间 的增加而减小
动态性能指标：ts=3T(s) 对应5%误差带 ts=4T(s) 对应2%误差带 ∴T反映了系统的响应速度。 稳态误差：ess=1-h(t)=0 对于一阶系统，其单位阶跃响应没误差，可完 全复现输入信号。
自动控制原理 第3章时域分析
该曲线的特点是：在t＝0处曲线的斜率最大，其值为 1/T。若系统保持初始响应的变化率不变，则当t＝T时输出 就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的63.2%，经过 4T的时间，响应达到稳态值的98％。显然，时间常数T反映 了系统的响应速度。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
自动控制原理第三章 控制系统的时域分析方法
ln p
( 2%);
2 1 2
N
1.5 1 2
N
N 1.5 ( 5%)
ln p
3.3.4 二阶系统的计算举例
例 3-3-1
二阶系统如图所示，其中 0.6，n 5rad/s。 r(t) 1(t),求tr , t p , ts , p和N。
解 : 1 2 1 0.62 0.8, d n 1 2 5 0.8 4， n 0.6 5 3
tp
d
n
1 2
1 2
Td
3.最大超调（量） p 的计算
p
c(tp ) c() c()
entp
cosdtp
1
2
sin dt p
100%
entp cos
sin 100%
1 2
即
p e / 1 2 100% e cot
4.过渡过程时间 ts 的计算
c(t)位于响应曲线包络线1 ent 内，
c(3T ) 1 e3 0.95, c(4T ) 1 e4 0.982, c() 1
率•
c(0)
1
t
eT
T
t 0
1 T
T为时间常数，1/T为初始斜
3.2.2一阶系统的单位斜坡响应
令r(t)=t,则有R(s) 1/ s 2 可求得输出信号的拉氏变换式
C(s) 1 1 1 T T 2 Ts 1 s 2 s 2 s Ts 1
C(s)
n2
1
s 2 2 n s n2 s
c(t) L1[C(s)]
1.欠阻尼状态（0<ζ<1）
C(s) 1
s 2 n
s (s n jd )(s n jd )
1
s n
( 2%);
2 1 2
N
1.5 1 2
N
N 1.5 ( 5%)
ln p
3.3.4 二阶系统的计算举例
例 3-3-1
二阶系统如图所示，其中 0.6，n 5rad/s。 r(t) 1(t),求tr , t p , ts , p和N。
解 : 1 2 1 0.62 0.8, d n 1 2 5 0.8 4， n 0.6 5 3
tp
d
n
1 2
1 2
Td
3.最大超调（量） p 的计算
p
c(tp ) c() c()
entp
cosdtp
1
2
sin dt p
100%
entp cos
sin 100%
1 2
即
p e / 1 2 100% e cot
4.过渡过程时间 ts 的计算
c(t)位于响应曲线包络线1 ent 内，
c(3T ) 1 e3 0.95, c(4T ) 1 e4 0.982, c() 1
率•
c(0)
1
t
eT
T
t 0
1 T
T为时间常数，1/T为初始斜
3.2.2一阶系统的单位斜坡响应
令r(t)=t,则有R(s) 1/ s 2 可求得输出信号的拉氏变换式
C(s) 1 1 1 T T 2 Ts 1 s 2 s 2 s Ts 1
C(s)
n2
1
s 2 2 n s n2 s
c(t) L1[C(s)]
1.欠阻尼状态（0<ζ<1）
C(s) 1
s 2 n
s (s n jd )(s n jd )
1
s n
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自动控制原理
昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系
3.2 稳定性和代数稳定判据
设系统特征方程为：
s 2s 2s 4s 1 0
4 3 2
S4： S3： S2： S1： S0：
自动控制原理
1 2 0 ε ？ 2－ 1
2
2 4 1
1
ε
用无穷小ε 代替0 然后继续完成劳 斯表
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1 典型输入信号
自动控制原理
昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系
3.1自动控制系统时域响应的基本概念
2 瞬态响应 指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从 初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程或 过渡过程。 瞬态响应可以提供关于系统稳定性、响应速度 及阻尼情况等信息。 3 稳态响应 指系统在典型输入信号作用下，当时间t 趋于 无穷时，系统输出量的表现方式。稳态响应又称稳 态过程。 稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。
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3.1自动控制系统时域响应的基本概念
4 稳定性 若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响 应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统 稳定；反之，不稳定。 控制系统能在实际中应用，其首要条件是保证 系统具有稳定性。不稳定的控制系统，当受到外界 或其内部一些因素的扰动，如负载或电源的波动， 系统的变化等，就会使系统的输出量越来越偏离其 平衡状态，即使扰动因素消失，也不可能再恢复到 原平衡状态。控制系统的稳定性取决于系统本身的 结构和参数，与外加信号无关。
b1 a5 a1b3 c2 b1
a5
a1a6 a0 a7 b3 a1
s
n 3
0
s
自动控制原理
昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系
3.2 稳定性和代数稳定判据
设系统特征方程为：
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 3 5 7 s6 1 (6－4)/2=1 5 (10-6)/2=2 s 2 4 6 劳 s4 1 (6-14)/1= -8 劳斯表特点 7 2 3 ε -8 s 0 斯 1 右移一位降两阶 2 每两行个数相等 s2 2+8/ε 3 行列式第一列不动 表 s1 4 次对角线减主对角线 5 分母总是上一行第一个元素 s0
第3章 线性系统的时域分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 自动控制系统时域响应的基本概念 自动控制系统的稳定性和代数稳定判据 一阶系统的阶跃响应 二阶系统的阶跃响应 二阶系统的时域指标 高阶系统 误差分析
自动控制原理
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3.1自动控制系统时域响应的基本概念
n1
an1s an 0
编写劳斯表如下 ：
昆明理工大学信息工程与自动化学院自动化系
3.2 稳定性和代数稳定判据
劳斯表
s n 1
s
n2
s
n
a0
a2
a4
a1
a1a2 a0 a3 b1 a1
b1 a3 a1b2 c1 b1
a3
a1a4 a0 a5 b2 a1
3.2 稳定性和代数稳定判据
1 稳定性定义 （1）当系统受到有界输入作用时，输出也是有界 的，称为有界输入有界输出稳定； （2）系统没有输入作用，仅在初始条件作用下输 出能随时间趋于平衡状态，称为渐近稳定。 系统在有界输入作用下稳定的充分必要条件是系 统传递函数分母多项式的根具有负实部。
自动控制原理
自动控制原理
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劳斯表介绍
6 一行可同乘以或同除以某正数
3.2 稳定性和代数稳定判据
劳斯 (Routh)判据如下： 系统特征方程的根全部具有负实部（位于 左半 s 平面即系统稳定）的充分必要条件， 是该方程式的系数都是正的，且由该方程系 数作出的劳斯表第一列元素全部为正数；否 则，第一列元素符号改变的次数，等于特征 方程正实部根（位于右半 s 平面）的个数。
劳斯表出现零行
s4 1 劳 s3 5 1 斯 s2 6 1 1 s 0 2 表 s0 1
设系统特征方程为： s4+5s3+7s2+5s+6=0
7 1 5 6 1
6
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1 继续计算劳斯表
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第3章 线性系统的时域分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 自动控制系统时域响应的基本概念 自动控制系统的稳定性和代数稳定判据 一阶系统的阶跃响应 二阶系统的阶跃响应 二阶系统的时域指标 高阶系统 误差分析
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3.2 稳定性和代数稳定判据
2 劳斯－胡维茨(Routh -Hurwitz)判据 劳斯－胡维茨判据就是可以不用求系统特征根 而可以判断系统特征根是否具有负实部的方法。 （1）劳斯(Routh)判据 一般地，系统特征方程具有如下形式
a0 s a1s
n
自动控制原理
自动控制原理
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3.1 自动控制系统时域响应的基本概念
5 误差和稳态误差 控制系统在输入信号的作用下，其输出量中包含 瞬态分量和稳态分量两个分量。对于稳定的系统， 瞬态分量随时间的推移而逐渐消失，稳态分量则从 输入信号加入的瞬时起就始终存在，其表现方式就 是稳态响应。稳态响应反映了控制系统跟踪输入信 号或抑制扰动信号的能力和精度。这种能力或精度 称为系统的稳态性能。一个系统的稳态性能是以系 统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价的。
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3.2 稳定性和代数稳定判据
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 均大于零! 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定! -s2-5s-6=0稳定吗？ 系统稳定的充分条件: 劳斯表第一列元素不变号! 若变号系统不稳定! 变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
第一列全大于零,所以系统稳定?
劳斯表出现零行 1 劳斯表何时会出现零行 ? 系统一定不稳定 2 出现零行怎么办 ? 3 如何求对称的根?
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3.2 稳定性和代数稳定判据
设系统特征方程为：
s 2s 2s 4s 1 0
4 3 2
S4： S3： S2： S1： S0：
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1 2 0 ε ？ 2－ 1
2
2 4 1
1
ε
用无穷小ε 代替0 然后继续完成劳 斯表
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1 典型输入信号
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3.1自动控制系统时域响应的基本概念
2 瞬态响应 指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从 初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程或 过渡过程。 瞬态响应可以提供关于系统稳定性、响应速度 及阻尼情况等信息。 3 稳态响应 指系统在典型输入信号作用下，当时间t 趋于 无穷时，系统输出量的表现方式。稳态响应又称稳 态过程。 稳态响应可以提供系统有关稳态误差的信息。
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3.1自动控制系统时域响应的基本概念
4 稳定性 若控制系统在初始条件或扰动影响下，其瞬态响 应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统 稳定；反之，不稳定。 控制系统能在实际中应用，其首要条件是保证 系统具有稳定性。不稳定的控制系统，当受到外界 或其内部一些因素的扰动，如负载或电源的波动， 系统的变化等，就会使系统的输出量越来越偏离其 平衡状态，即使扰动因素消失，也不可能再恢复到 原平衡状态。控制系统的稳定性取决于系统本身的 结构和参数，与外加信号无关。
b1 a5 a1b3 c2 b1
a5
a1a6 a0 a7 b3 a1
s
n 3
0
s
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3.2 稳定性和代数稳定判据
设系统特征方程为：
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 3 5 7 s6 1 (6－4)/2=1 5 (10-6)/2=2 s 2 4 6 劳 s4 1 (6-14)/1= -8 劳斯表特点 7 2 3 ε -8 s 0 斯 1 右移一位降两阶 2 每两行个数相等 s2 2+8/ε 3 行列式第一列不动 表 s1 4 次对角线减主对角线 5 分母总是上一行第一个元素 s0
第3章 线性系统的时域分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 自动控制系统时域响应的基本概念 自动控制系统的稳定性和代数稳定判据 一阶系统的阶跃响应 二阶系统的阶跃响应 二阶系统的时域指标 高阶系统 误差分析
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3.1自动控制系统时域响应的基本概念
n1
an1s an 0
编写劳斯表如下 ：
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3.2 稳定性和代数稳定判据
劳斯表
s n 1
s
n2
s
n
a0
a2
a4
a1
a1a2 a0 a3 b1 a1
b1 a3 a1b2 c1 b1
a3
a1a4 a0 a5 b2 a1
3.2 稳定性和代数稳定判据
1 稳定性定义 （1）当系统受到有界输入作用时，输出也是有界 的，称为有界输入有界输出稳定； （2）系统没有输入作用，仅在初始条件作用下输 出能随时间趋于平衡状态，称为渐近稳定。 系统在有界输入作用下稳定的充分必要条件是系 统传递函数分母多项式的根具有负实部。
自动控制原理
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劳斯表介绍
6 一行可同乘以或同除以某正数
3.2 稳定性和代数稳定判据
劳斯 (Routh)判据如下： 系统特征方程的根全部具有负实部（位于 左半 s 平面即系统稳定）的充分必要条件， 是该方程式的系数都是正的，且由该方程系 数作出的劳斯表第一列元素全部为正数；否 则，第一列元素符号改变的次数，等于特征 方程正实部根（位于右半 s 平面）的个数。
劳斯表出现零行
s4 1 劳 s3 5 1 斯 s2 6 1 1 s 0 2 表 s0 1
设系统特征方程为： s4+5s3+7s2+5s+6=0
7 1 5 6 1
6
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1 继续计算劳斯表
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第3章 线性系统的时域分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 自动控制系统时域响应的基本概念 自动控制系统的稳定性和代数稳定判据 一阶系统的阶跃响应 二阶系统的阶跃响应 二阶系统的时域指标 高阶系统 误差分析
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3.2 稳定性和代数稳定判据
2 劳斯－胡维茨(Routh -Hurwitz)判据 劳斯－胡维茨判据就是可以不用求系统特征根 而可以判断系统特征根是否具有负实部的方法。 （1）劳斯(Routh)判据 一般地，系统特征方程具有如下形式
a0 s a1s
n
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3.1 自动控制系统时域响应的基本概念
5 误差和稳态误差 控制系统在输入信号的作用下，其输出量中包含 瞬态分量和稳态分量两个分量。对于稳定的系统， 瞬态分量随时间的推移而逐渐消失，稳态分量则从 输入信号加入的瞬时起就始终存在，其表现方式就 是稳态响应。稳态响应反映了控制系统跟踪输入信 号或抑制扰动信号的能力和精度。这种能力或精度 称为系统的稳态性能。一个系统的稳态性能是以系 统响应某些典型输入信号时的稳态误差来评价的。
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3.2 稳定性和代数稳定判据
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 均大于零! 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定! -s2-5s-6=0稳定吗？ 系统稳定的充分条件: 劳斯表第一列元素不变号! 若变号系统不稳定! 变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
第一列全大于零,所以系统稳定?
劳斯表出现零行 1 劳斯表何时会出现零行 ? 系统一定不稳定 2 出现零行怎么办 ? 3 如何求对称的根?