9.合作博弈

x1 , x2 , x3 0 易知 ，1 4 ， x2 2 ，x3 1 。 x
故该博弈的核 c(v ) {( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 5,0 x1 4,0 x2 2,0 x3 1}
其图形为单纯形 A {x ( x1 , x 2 , x3 ) x1 x 2 x3 5, x1 , x 2 , x3 0} 内以
第7章 合作博弈 COOPERATIVE GAMES

熊、狼、狐狸一起抓了一只兔子，民主协商如何分 配。狐狸对熊说：平均分只能各得1/3，这样吧，我 们俩联合起来，平分如何？熊要答应，狼急了，于 是狐狸对狼说：怎么样，我和熊联合起来可以让你 什么也得不到，我可以和你合作，不过我要3/4。狼 感激的点头，熊琢磨过味来，对狼说：别听那个两 面三刀的，和我合作，我给你1/3。狐狸见势不妙， 对狼说：别，我给你2/3，我只要1/3。狼成了抢手 货，正得意，没留神狐狸和熊又开始嘀咕起来，有 再次把自己晾在一边的不妙趋势，连忙钻去继续讨 价还价。结果呢？
y ，总可以在 S (v) 中找到优于 y
的
x。

稳定集定义中第1条表明在稳定集内部的任何两个分配之间不存在优
超关系，称为稳定集的内稳定性，它可以防止由于联盟内部成员因 利益冲突而导致联盟解体；第2条表明稳定集外的任一分配，至少被
稳定集内的某个分配优超，称为稳定集的外稳定性。稳定集的概念
由冯.诺依曼（V.Neumann）和摩根斯坦恩（Morgenstern）提出， 也称为合作博弈的 VN M 解。
s
在一个联盟 T B ，使 ，则称 优于 ，记为 T

。
定义中条件（1）表明，联盟 S 中每个成员都认为分配
x 比 y 好。条
件（2）表明分配 S 对 x 中成员的支付能够由联盟 S 付出。

单人联盟不可能存在转归之间的占优关系 实际，如果 Y X，由定义 yi v ({i}) ，且 y i x i ，于是 i 有 v({i}) yi xi ，这与 X 为转归相矛盾。 全联盟 N 也不可能存在转归之间的占优关系
S
SFra Baidu bibliotek
S
般不能得到 X Z 的结论。
7.4 稳定集与核


稳定集的定义
定义7.5 对于联盟博弈 N, v ，集合 S (v) I (v) 称为联盟博弈 N, v 的稳定集（stable set），如果以下条件成立。


（1） S (v) 中任意分配
分配
x
都不优于 S (v) 中的其余分配。
（2） 不属于S (v) 中的任何分配
（1）式表明n个局中人的支付总和应与他们全体构成一个联盟所获的支 付相等。这说明如果要使某个局中人的支付增加，必需减少其它局中人 的支付。这描写了帕累托最优性，因而，称（1）为整体合理性。 （2）式表明每个局中人在合作博弈中所获得的支付不应低于他“单干” 所获的支付。称（2）为个体合理性。
i 1



青山原不动，白云自去来
如果在实际博弈问题中，具有有力的保障使局 中人能够进行协商、谈判，联合选择行动，共 同分享利益，我们就面对一个合作博弈问题。 本章通过合作博弈模型的介绍，讨论在合作博 弈中，局中人如何进行协商谈判、结成联盟及 分享利益。 1、纳什讨价还价问题(略） 2、联盟博弈 3、联盟博弈的分配 4、核和稳定集 5、沙普利值





分配的优超关系
为了比较哪个分配好些，给出以下定义。
定义7.4 设有分配 x, y I (v) ，及联盟 S B ,如果
(1) 对 i S , x i y i ，
(2)
is
x i v( S )
则称联盟 S 为分配 x 优于分配
y ，记作 x y。如果对于 , I (v)，存

下面讨论的联盟博弈都是指具有可转移支付的联盟博弈。特征函数满
足超可加性。

例7.1 局中人1（卖主）要把一件物品卖掉，局中人2和3（买主）分别出
价9元和10元。如果局中人1将物品卖给局中人2的要价是 x 元，则局中人 2赢利 9-x 元。联盟 { ,2} 的总收益为9元。类似，联盟 { ,3}的总赢利 1 1
我们可以给出满足可加性的特征函数的例子。
例7.2 在某项工作中，不熟练工人 1,2, , n 1
可获报酬
a


元，熟练工人可得报酬
sa v( s ) b ( s 1)a
b 元，于是可以定义特征函数
当nS 当n S
。


这里 S 表示集合 S 中的局中人个数，以后也用这种记法。

例7.3 设有三个局中人 ，拟合伙开商店，每月可赢利2000元。要使商
店正常营业，起码需要两人。试问，应采用怎样的方式经营，以及怎 样分配利润才是合理的。

这是一个联盟博弈问题。特征函数为 v(i ) 0, i 1,2,3
v{ ,2} v{2,3} v{ ,3} v{ ,2,3} 2. 1 1 1


人们花费了近20年的时间来证明联盟博弈的存在性。但卢卡斯（Lucas， １９６９）举出了反例说明联盟博弈的稳定集可以是空的。另外，寻求 稳定集至今还没有通用的方法。


核的定义
定义7.6 记为
n
人联盟博弈 c (v。 )
N, v 的所有不被优超的分配构成的集合称为核，

对于核中的分配
X
，局中人不能通过重组联盟而增加支付。


合作博弈的意义与构成




合作博弈的意义表现在它与非合作博弈的差别上。如果协议有 外在力量保证强制执行，则为合作博弈，否则为非合作博弈。 非合作博弈的重点是在个体，是每个局中人该采用什么策略； 强调个体理性（individual rationality） 合作博弈的重点则在群体，讨论何种联盟将会形成，联盟中的 成员将如何分配他们可以得到的支付；强调群体理性(group rationality) 合作：为共同的目的而一起行动 需要一个描述集体理性的效用函数。 描述n人合作博弈，通常假设合作博弈具有可传递效用。简单 地说，该效用就像货币一样，可以在各局中人之间自由转让。 （合作，人类进化之舟。）

核的充要条件 定理7.2
充要条件是
n
X ( x1 , x2 ,, xn ) 是
i 1
n 人联盟博弈 N, v
的核中的分配的

（1） xi v( N ) （2）对 S B ， x( S ) xi v( S ) 。
iS

例7.4 设有三人联盟对策，其特征函数
7.2 具有可转移支付的联盟博弈


7.2.1 具有可转移支付的联盟博弈及分类
具有可转移支付的
n 人合作博弈
在非合作的 n 人博弈中，局中人之间不允许事先协商如何选择策略，不允 许他们把策略结合起来，不允许局中人对得到的支付重新分配，一个局 中人不能分享另一个局中人的支付，或支付是不可能转移的。

三人利润分配是向量 x ( x1 , x 2 , x3 ) ，满足

如果联盟 1,2}形成，即局中人 1、2合伙，则分配 x (1,1,0) 是合理的。 { ( 否则，局中人1要求采取分配1 ,1 ,0) ，其中 (0,1) ，那么局中人2 将与局中人3合伙。如果局中人3也采取类似的要求，则局中人2不与 (1 任何人结盟，余下1与3各持己见。 , 0, 1 ) 不构成分配。同样，如果

本章所讨论的 n人合作博弈对上述问题都不加限制。局中人在选择策略时 可以协商，并且局中人的支付可以相互转让，或支付是可以转移的。在 具有可转移支付的 n人合作博弈中，局中人如何选择自己的策略已不是主 要讨论的问题，我们主要讨论的问题是局中人如何分配通过合作所获得 的收益或效用。


联盟与特征函数
为10元。于是有

u{1,2} 9, v{1,3} 10。
另一方面，单个局中人或者两个买主在一起都不可能赢利， 即 v{i} v{2,3} 0 ， i 1,2,3 。

当三个局中人在一起交易时，局中人1显然要把物品卖给局中人3，从而
v({1,2,3})=10， () 显然满足超可加性，于是我们建立了联盟博弈 N, v 。 v
如果 Y X，则 v( N ) yi ， yi xi ， i N 。于是 yi xi v( N ) ，这与
N
i 1
i 1 i 1

n
n
n

Y 为转归矛盾。

关于某个联盟 S 转归之间的占优关系满足下述的传递性： 设 X , Y , Z I (v) ，如果 X Y ，Y Z ，则X Z 。但由 X Y , Y Z，一
x1 x 2 x3 v{ ,2,3} 2 1
xi 0, i 1,2,3.

{2,3} 结盟， (0,1,1) 是合理的分配 ；{1,3} 结盟， (1,0,1) 是 y z 合理的分配。易知 w {x, y, z} 是稳定集
（1） x, y, z 之间没有优超关系； （2）对于 W 之外的任何一个分配 ，必被中某个分配优超。
v: B R
。

定义7.2 对于局中人集合N {1,2, , n} 的任一子集 S ，给定集合 S 的 支付 v(S ) ，如果 v满足 v() 0 ,则称 v () 为特征函数，称 N, v 为具有可转移支付的联盟博弈。

若 v(S ) 满足对 S , T B，S T ，有v(S T ) v(S ) v(T ) ，则说 v () 满足超可加性。
(小知识：中国参与环保组织的志愿者约30万人，美国有60%，欧洲有 50%的人参与。参与环保，保护共同家园，需要我们合作，如二氧化碳 排放，如如何保护森林。当前，最大的善，不是施舍，而是节约资源！)
7.3 联盟博弈的分配


转归或分配的定义
在联盟博弈中局中人通过合作，获得一定的联盟支付，联盟还要将这笔 支付转归于每个局中人，联盟博弈中每个局中人 i ( 1,2,, n) 从联盟 中所获的支付或转归可用 n 维向量 X ( x1 , x2 ,, xn ) 表示，这里 x i 为局中 人 i ( 1,2,, n) 所得到的支付。 定义7.3 称向量 X ( x1 , x2 ,, xn ) 是联盟博弈 N , v 的一个转归或分配， 如果 X 满足 n （1） x i v( N ) ， （2） xi v ({i}) 。
v{1} v{2} v{3}} 0 ， v{1,2} 4, v{2,3} 1, v{1,3} 3, v{1,2,3} 5
由定理7.2 易知,该博弈的核由下面不等式组确定： x1 x2 4
x1 x3 3 x2 x3 1 x1 x2 x3 5

特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特征函数过程实际就是一个建立
合作博弈模型的过程。有的问题，特征函数可以容易地得到，有的问题
需要仔细分析，甚至需要一些专业知识。

若对 S , T B ， S T
，都有
v( S T ) v(S ) v(T ) ,则称
v
满
足可加性。


(4,0,1), (4,1,0), (3,2,0), (2,2,1)为顶点的四边形，如图7-1所示(p201) 。


图 7-1
（0,0,5）
(4,0,1)
(2,2,1)
（0,5,0） (5,0,0) (4,1,0) （3,2,0）


例7.5 污染问题
沙普利（Shaplay） 和舒比克（ Shubik）描述了一个湖的污染模型。设 有个工厂分布在某湖的沿岸，为简便起见，设问题是对称的。即每个工 厂的污染程度相同。假设每个工厂每天必须在湖里抽取相同数量的清洁 水，用完后将污水排入湖中。所涉及的方案和费用如下: (1) 每个工厂每天必须因每个直接向湖中排放污水的工厂（包括自身）花 费 c 美元净化它所用的水。
设局中人集合 N {1,2, , n} ，称 N 的任一子集为一个联盟。为方便， 把 N 的空子集 也视为一个联盟。记所有联盟构成的集类为 B 。
对 S B ，用 v (S ) 表示联盟 S 中的局中人通过合作所能获得的最大 支付。且可认为这个值与N \ S 中的局中人的行为是独立的，因而 v(S ) 是定义于 B 上的函数，即