2005年数学建模B题
全国大学生数学建模竞赛题目B题
B题公交车调度
公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。
下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。
公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。
运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。
试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。
20052009年度全国大学生数学建模竞赛试题
2002年全国大学生数学建模竞赛题目A 题 车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使AC=2AB=2.6米。
要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
B 题 彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组9~0号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从4~0号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。
投注者从9~0十个号码中任选6个基本号码（可重复），从4~0中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码“abcdef+g ”为例说明中奖等级，如表一（X 表示未选中的号码）。
个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从33~01个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。
又如“36选6+1”的方案，先从36~01个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
数学建模2005B DVD在线租赁(山东大学)
DVD 在线租赁方案摘要摘要本论文通过对DVD 租赁问题的抽象简化，建立了一个明确的、完整的数学模型，分别用线性规划模型与递归算法对DVD 分配进行优化，设计出一个使得会员满意度较高的分配方案。
针对问题一,我们利用正态分布等概率论知识建立了一个较为完整而又简单的数学模型1.6j j j d Q ω≥×在问题四中，关于问题一我们利用货币流通模型和信息源的最大熵原理，建立起关于需求量的另一种模型：j j j m d n ω=针对问题二, 考虑到当天会员的偏爱度加和可以用来衡量满意度，我们提出了在两种不同网站运行模式下的分配方案，方案一运用线性规划很好的解决了分配问题，使得满意度最大。
方案二运用递归算法较好的解决了此问题，并且跟方案一结果相当吻合。
针对问题三,我们利用问题一和问题二建立的数学模型组合起来解决了当前DVD 的购买和分发问题，并阐述了动态规划的方法。
针对问题四,我们从DVD 需求预测角度出发，利用本模型特点合理的引入了传染病模型，有效的解决了该预测问题。
最后,我们对模型的科学性和现实性进行了阐述,并得到了对模型的整体评价,及急需改进之处.关键字关键字:: 正态分布 线性规划 递归算法 货币流通 最大熵原理 SIS 模型SIR 模型问题重述问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
DVD 的在线租赁就是一种可行的服务。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD 租赁服务。
会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁.1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛雨量预报方法的评价模型参赛学校：钦州师范高等专科学校参赛队员：施毓茂 徐华良 于明周指导教师：龙启平联系电话:138****7579电子信箱:****************电子答卷文件名:C2003保 证 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则，我们完全明白在竞赛开始后不能以任何方式与队外的任何人（包括指导教师）讨论竞赛题的求解问题，抄袭别人的成果也是违反竞赛规则的，如果被发现将会受到严肃处置。
我们也知道如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）必须按照规定的参考文献的表述方式和参考文献中明确列出。
为了确保竞赛的公正、公平性，我们保证严格遵守竞赛规则。
参赛队员签名指导教师签名赛区评阅编号: 全国统一编号:雨量预测方法的评价模型摘要:雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题。
气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法。
预报的数据往往存放在大量的磁盘文件中。
处理起来难度很大。
本文提供了一种有效地从大量数据文件中读取有用数据的概要数据结构的算法，该算法有较好的时间和空间复杂度。
提取出有用数据后，使用方差分析来确定预测数值的准确性。
但气象部门往往是按照分级的办法向公众预报的，本文有效地设定了不同等级的属性值，并巧妙地利用了等级差异的办法来描述预测方法的好坏。
本文所提供的模型为评价预报方法的好坏提供了一条有效的途径。
本模型对于本例所提供的两种预报方法的评价，计算机运行的总的时间不超过1分钟。
1问题的重述雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题，广受世界各国关注。
我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。
2005年全国部分高校研究生数学建模竞赛B题
2005年全国部分高校研究生数学建模竞赛B 题空 中 加 油对飞行中的飞机进行空中加油，可以大大提高飞机的直航能力。
为了简化问题，便于讨论，我们作如下假设。
设A 为空军基地，基地有一架作战飞机（简称主机）和n 架加油机（简称辅机）。
主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为L （公里）。
辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。
今主机要执行某作战任务（如侦察或空投），所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。
主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在n 架辅机的协助下所能飞到的（并安全返回）离基地A 的最远距离。
显然当0=n 时，作战半径2/0L r =。
问题1 设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为n r 。
当4,3,2,1=n 时，求作战半径n r 。
问题2 在问题1的假设下，当4>n 时，尽你的可能求出n r （提示：先假设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形），或给出n r 的上、下界； 讨论当∞→n 的过程中n r 与n 的渐近关系； 试给出判断最优作战方案（主机能够飞到n r 处）的必要条件或充分条件。
问题3 若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行12/L 的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为n R ，讨论与问题1、问题2类似的问题。
问题4 若另有2个待建的空军基地（或航空母舰）21,A A ，有n 架辅机，主机从基地A 起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地A 降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且可在任一基地降落。
其他同问题3的假设，讨论21,A A 的选址和主机的作战半径*n R 。
问题5 设ABCD 为矩形，L AB 4=，L AD 2=，D B A ,,为三个空军基地，主机从A 起飞，到C 执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回A 。
2005福大数学建模竞赛题目参考答案
福州大学第一届数学建模竞赛题目参考解答A 题参考解答分析：该公司制定的2005年上半年商品房建造的月进度计划，应使得公司的利润最大。
其中销售收入是确定的，跟月进度计划无关，可以不予考虑。
销售费用与当月的销售金额成正比，也跟建造计划无关，固定费用是固定的支出，都可不予考虑。
题意最后变成制定建造计划使得可变成本和折旧费用之和最小。
模型假设1、商品房要求在6月份全部销售完，这样可变成本中的人工成本是固定的，不予考虑。
人工成本在可变成本中占到40%，因此当第i 月份的建造量为i u 套时，可变成本表示为)1(3.06.0)1(5.022i i i i a u a u +=⨯+万元；2、平均每套未售出的房屋每月折旧费为0.1万元，因此当第i 月份尚未售出的房屋为i x 套时，当月计提折旧费为0.1i x 万元；3、每个月的建造和销售是均匀发生的。
模型中用到的符号i x —第i 月初尚未售出的商品房套数（状态变量），i =1,2,3,4,5,6 i u —第i 月份建造的商品房套数（决策变量）, i =1,2,3,4,5,6 i s —第i 月份销售的商品房套数, i =1,2,3,4,5,6i a —第i 月份建材价格相对于2004年12月的涨幅, i =1,2,3,4,5,6模型建立与求解 问题（1）本题为求解下列非线性规划模型：6,5,4,3,2,100,496,5,4,3,2,1..))1(3.01.0(min 711612=≥===-+=+++=∑i u x x i s x u x t s a u xi i i i i i i i i上述模型也可以转化成求解如下动态规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-+===+++=+++≥0,491,2,3,4,5,60)(1,2,3,4,5,6)}()]1(3.01.0{[min )(71177112x x i s x u x x f i x f a u x x f i i i i i i i i i u i i i1、 逆向递推求解贝尔曼基本方程i =6，)}(]39.01.0{[min )(772660666x f u x x f u ++=≥ （1）将666*629x x s u -=-=代入（1）得26666)29(39.01.0)(x x x f -+=。
2005年数学建模竞赛题目(B题)
2005年数学建模竞赛题目-----------------------------------------------------------------------------------------B题洁具流水时间设计我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。
特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。
许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。
而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。
某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。
方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。
若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。
方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。
若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。
但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。
该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表：（1）请你根据以上数据，比较上述两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。
美国数学建模竞赛题目(1985--2009年)
美国数学建模竞赛题目1985年：A题：动物群体的管理B题：战略物资储备的管理问题1986年：A题：海底地型测量问题B题：应急设施的优化选址问题1987年：A题：堆盐问题（盐堆稳定性问题）B题：停车场安排问题1988年：A题：确定毒品走私船位置B题：平板列车车厢的优化装载1989年：A题：蠓虫识别问题；最佳分类与隔离B题：飞机排队模型1990年：A题：脑中多巴胺的分布B题：铲雪车的路径与效率问题1991年：A题：估计水塔的水流量B题：通信网络费用问题1992年：A题：雷达系统的功率与设计式样B题：紧急修复系统的研制1993年：A题：堆肥问题B题：煤炭装卸场的最优操作1994年：A题：保温房屋设计问题B题：计算机网络的最小接通时间1996年：A题：大型水下物体的探测B题：快速遴选优胜者问题1997年：A题：恐龙捕食问题B题：会议混合安排问题1998年：A题：MRI图象处理问题B题：分数贬值问题1999年：A题：小星体撞击地球问题B题：公用设施的合法容量问题C题：确定环境污染的物质、位置、数量和时间的问题2000年：A题：空间交通管制B题：无线电信道分配C题：大象群落的兴衰2001年：A题：选择自行车车轮B题：逃避飓风怒吼C题：我们的水系-不确定的前景2002年：A题：风和喷水池B题：航空公司超员订票C题：如果我们过分扫荡自己的土地，将会失去各种各样的蜥蜴。
2003年：A题：特技演员B题：Gamma刀治疗方案C题：航空行李的扫描对策2004年：A题：指纹是独一无二的吗？B题：更快的快通系统C题：安全与否？2005年：A题：flood planningB题：tollboothsC题: Nonrenewable Resources2006年：A题：Positioning and Moving SprinklerSystems for IrrigationB题：Wheel Chair Access at AirportsC题：Trade-offs in the fight againstHIV/AIDS2007年：A题：GerrymanderingB题：The Airplane Seating ProblemC题：Organ Transplant: The Kidney Exchange Problem2008年：A题：Take a BathB题：Creating Sudoku PuzzlesC题：Finding the Good in Health Care Systems2009年：A题：Designing a Traffic CircleB题：Energy and the Cell PhoneC题：Creating Food Systems: Re-Balancing Human-Influenced Ecosystems。
2005数学建模试题及答案
2005数学建模试题1．（10分）设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 78)(65)(+-=+=p p f p p ϕ其中p 为商品单价，试判断市场是否稳定并给出推理过程。
2．（10分）某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植 物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？ 3．（10分）建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的 捕捞量。
4. （10分）试建立Lanchester 游击战模型，并在无自然损失及没有增援的条件下求解模型，给出敌对双方获胜的条件。
5. （10分）根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.7, 出现高 水水情的概率为0.2, 出现洪水水情的概率为0.1。
.位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：a) 运走，需支付运费20万元。
b) 修堤坝保护，需支付修坝费8万元。
c) 不作任何防范，不需任何支出。
若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失600万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失300万元，发生洪水时损失设备600万元。
根据上述条件，选择最佳决策方案。
6．（10分）由七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高时一样的，但厚度（t ，以厘米计）及重量（ω，以公斤计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2米的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。
由于当地货运得限制，对C 5，C 6，C 7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7厘米。
试把包装箱（见下表）装到平板车上去使得浪费的空间最小。
大学生数学建模竞赛B题优秀论文
关于高等教育学费标准的评价及建议摘要本文通过对近几年来学费变化的研究，综合分析影响学费变化的五个要素，引入了三个变因：学校属性、专业类型、地域差异对学费的影响，对其合理性进行了定量的分析和评价。
首先，我们基于层次分析法建立了模型一。
模型一以五个要素，即教育市场供求关系、全国家庭支付承受力、国家财政及相关社会捐助、个人收益率、教育成本为方案层。
对于教育市场的供求关系我们用灰色预测GM（1，1）模型预测出未来几年的招生人数，用蛛网模型求解稳定的价格点为3225.51 元；对于国家财政及相关社会捐助，我们用回归分析得出其效应关系。
模型一以效率和公平两个标准作为准则层，应用极差归一化思想，构造指标函数，综合建立成对比较矩阵。
我们定义学费合理化指数为目标层，经准则层，得出五个要素对学费合理化指数的组合权重向量。
考虑到成对比较矩阵仍有一定主观因素，我们用熵值取权法修正组合权重向量。
最后，拟合出最佳学费曲线及其波动区间，其中 2007 年的结论值为 3370.75 元。
模型一的突出优点是客观可信，美中不足的是结论为一个平均最优值，没有考虑其他变因的影响，使用的局限性较大。
然后，我们基于学校属性、专业类型、地域差异三个变因对结论的影响建立了模型二。
评价了这三个变因对五个要素的综合影响，修正了五个要素对学费合理化指数的影响，使得结论更趋于合理，应用范围更加广泛。
修正后通过若干数据的检验，得出平均最佳学费约为 3000 元。
基于这两个模型，以及对高校学费现状的了解，我们提出三点主要建议： 1.鼓励高校开拓资金来源渠道，学习国外筹款方式，如发行教育彩票等； 2.建议国家增加助学贷款发放力度，并能够分类别基于不同金额的贷款，并出台一些补贴政策弥补不同地区的差异； 3.大力扶持民办高等院校发展，实现高等教育大众化，这样不仅缓解高等院校招生压力，并且能够促进高校教育健康发展。
本文的特色在于基于翔实丰富的资料，根据五个要素及三个变因的分析，建立了一种合理的高校学费评价体系，其拥有适用性广，稳定性好，灵敏度高等特点，对三个变因，即学校属性、专业类型、地域差异进行了深入定量的分析，并根据模型结论给提出了我们的一些可行性建议。
2005年数学建模B题(含代码)
i
j
k
第 j 种 DVD 总中张数
会员对网站的满意度
会员的标号
DVD 的种类
网站对 DVD 购买的量
一、问题的重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。 许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化 的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥 了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感 官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违
反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员 (打印并签名) ：1.
考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为网站会员， 可以订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站 就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张基于其偏爱程 度排序的 DVD。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每 个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就 可以继续下次租赁。考虑回答下面问题： （1）网站准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观 看这些 DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据）。此外，历史数据显 示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希 望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证 在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？ （2）表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线订单，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意 度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些 DVD。 （3）继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站 经营管理人员，如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配， 才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？
数学建模竞赛b题
学期四的平 均成绩：
74.9
10.29
学期一
学期二
学期三
学期四
各个学期的成绩波动由大到小的顺序是：第二学期>第四学期>第一学期>第三学期。 而且有表格二也证实了这个波动的顺序。这说明第三学期不同学生的成绩之间的差距最小， 第二学期不同学生的成绩之间的差距最大。 1.可以看到各个学生之间的差异是不同的，说明不同的学生的基础条件是有所不 同。基础较好的学生在取得更加优异的成绩上是本身具有优势的。 2.样本标准差呈折线变化，但整体来说，是有逐渐减小的趋势的。这说明虽然基 础条件不同，但是，学生成绩之间的差距是逐渐变小的。即基础条件不太好的学 生取得了进步的。
通过对学生的各学期的成绩的统计处理分析，并针对题目的三个 问题建立了数学模型，在模型的求解过程中，利用统计学软件 Excel计算工具，编写相应的函数，对建立的模型进行求解，得出 相应的结论。 问题一：我们假设第i个学期学生的平均成绩为Xi,则可利用excel 软件来求得Xi的平均值，用所得的平均值来分析说明所给出的学 生的整体情况 问题二：由于现在需要采用适当的方法来评价学生的学习情况， 为此我们把这目的转化为求学生的各学期Xi的变化规律及所能反 映学生成绩波动的方差变化。利用Excel软件编写相应函数关系式， 进行绘图，结合数据和图形，评价学生的学习情况。 问题三：其模型问题二相似，不同之处在于要收集数据，对数据 走向进行预测。为此我们将四个学期的成绩当成一个总体进行分 析。当总体数据n越大，则总体近似服从正态分布，故后两个学期 也近似服从正态分布。因此，可以选择不同的置信区间来估算得 出后两个学期学生的成绩的大致范围。
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题: 长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。
专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。
”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。
2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。
为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。
附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。
通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。
一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。
反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。
事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。
附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。
下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
2005MCMProblemB
2005MCMProblemB2005年数学建模MCM题目B2005 MCM ProblemsPROBLEM B: TollboothsHeavily-traveled toll roads such as the Garden State Parkway, Interstate 95, and so forth, are multi-lane divided highways that are interrupted at intervals by toll plazas. Because collecting tolls is usually unpopular, it is desirable to minimize motorist annoyance by limiting the amount of traffic disruption caused by the toll plazas. Commonly, a much larger number of tollbooths is provided than the number of travel lanes entering the toll plaza. Upon entering the toll plaza, the flow of vehicles fans out to the larger number of tollbooths, and when leaving the toll plaza, the flow of vehicles is required to squeeze back down to a number of travel lanes equal to the number of travel lanes before the toll plaza. Consequently, when traffic is heavy, congestion increases upon departure from the toll plaza. When traffic is very heavy, congestion also builds at the entry to the toll plaza because of the time required for each vehicle to pay the toll.Make a model to help you determine the optimal number of tollbooths to deploy in a barrier-toll plaza. Explicitly consider the scenario where there is exactly one tollbooth per incoming travel lane. Under what conditions is this more or less effective than the current practice? Note that the definition of "optimal" is up to you to determine.。
历年全国数学建模试题及其解法归纳
历年全国数学建模试题及解法归纳赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建赛题解法01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图论、0-1规划08A 照相机问题非线性方程组、优化08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分析、回归分析2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制2009年B题眼科病床的合理安排排队论，优化，仿真，综合评价2009年C题卫星监控几何问题，搜集数据2009年D题会议筹备优化赛题发展的特点： 1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B，某些问题需要使用计算机软件，01A。
全国大学生数学建模竞赛题目B题
B 题公交车调度
公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民岀行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。
下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给岀的是典型的一个工作日两个运行方向各
站上下车的乘客数量统计。
公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100人，据统计客车在该
线路上运行的平均速度为20公里/小时。
运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般
不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要低于50%。
试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点
站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指岀求解模型的方法；根据实际问题的要求, 如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。
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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：华南师范大学增城学院参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：DVD在线租赁摘要问题（三）：题目需要我们回答购买各种DVD的数量来使95%的会员能看到他DVD想看到的DVD，并且要怎么分配才能使满意度达到最大；每种建立以总的购买数最小、会员满意度最大为双目标的规划模型。
通过确定在一个月内每张DVD的在每个会员中手中的使用率；然后通过c语言程序编程来确定每种DVD 的购买量；建立0-1规划模型；通过LINGO软件使满意度达到最大，来最终确定DVD的分配；一级，二级目标，将多目标规划转化为单目标；同时将第j种DVD的购买量y的整数约束去掉，求解出最小购买数为张。
将最小购买数作为约束条件，优j化满意度后，得到最大满意度为95%；然后对此时DVD的购买量y向上取整，得j到总购买数为186张。
当购买数为186张时，会员满意度达到97%。
三、模型假设1、租赁周期为一个月，每月租两次的会员可以在月中再租赁一次；2、同一种DVD每人只能租赁一次；3、DVD在租赁过程中无损坏；4、会员每月至少交一次订单；5、会员只有把前一次所借的DVD寄回，才可以继续下一次租赁6、月底DVD全部收回，继续下个周期的租赁；7、随着时间的推移，该网站的会员们的流动情况不会出现大变动。
四、符号说明一、问题的重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为网站会员，可以订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张基于其偏爱程度排序的DVD。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
考虑回答下面问题：（1）网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？（2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
（3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？（4）如果你是网站经营管理人员，你觉得DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中。
二、问题的分析问题分析：题中列出了网站手上20种DVD 的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，要得到使会员获得最大满意度的DVD 分配方案，这可以通过建立线形规划模型来实现。
由于每个会员对不同DVD 的偏爱程度不同，且题中所给的列表中会员的在线订单中数字越小表示会员的偏爱程度越高。
由于每个会员可以按偏爱程度在20种DVD (可以参考)五、模型的建立与求解（一）：问题一由历史数据，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外40%的人只租一次。
由假设会员如果在当月归还了DVD ，一般会同时有第2次的租赁要求，因此认为有60%的会员在一个月有两次租赁需求，其他40%的会员为一次。
近似认为会员的需求基本上能满足，从而认为有60%的会员会在一个月内归还DVD ，另外40%则不能。
在一个月内归还的DVD 还可以满足另一个会员，又新购DVD 一般会较受欢迎，因此认为该DVD 一直在周转中，没有出现该DVD 空闲情况。
故可以合理地认为一张新DVD 在一个月内以60%的概率满足两个会员，40%的概率满足一个会员，从而一张DVD 的相对一个人来说使用率为 7.0%402%60=+；需要准备的j DVD 张数为j Q ；由调查结果1000个会员中愿意观看DVD 的购买量为i x 。
模型一、保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：7.0%501000100000⨯⨯⨯=j j x Q保证希望看到该DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：37.0%951000100000÷⨯⨯⨯=j j x Q模型的求解：当2001=x 时 保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数70007.0%5020010001000001=⨯⨯⨯=Q保证希望看到该DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：443437.0%9520010001000001=÷⨯⨯⨯=Q同理可得各种DVD 需要准备的张数，计算得下表1： 表1：各种DVD 需要准备的张数为了验证模型一的准确性：我们建立了模型二 模型二我们将每月租凭DVD 两次的会员平均分成两部分，一部分是在月初借DVD ，月中还DVD ；第二部分是在月中借DVD ，月末还DVD ；这样就将第一部分月初借的DVD 在月中的时候再借给第二部分；这样就能使需要准备的DVD 数达到最小。
保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：%50%)4010001000002%601000100000(⨯⨯+⨯⨯=j j j x x Q保证希望看到该DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：3%95%)4010001000002%601000100000(⨯⨯+⨯⨯=j j j x x Q 模型求解：保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：7000%50%)4020010001000002%602001000100000(=⨯⨯+⨯⨯=j Q保证希望看到该DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：44343%95%)6020010001000002%602001000100000(1=⨯⨯+⨯⨯=Q同理可得各种DVD 需要准备的张数，计算得下表2： 表2：各种DVD 需要准备的张数(二)、问题二会员i 对某种DVD 偏爱度ij c 的量化：会员对DVD 偏爱度ij c 是随着订单数字ij a ij (a 0)>时的增加而减少，其中会员对网站的满意度与满足会员的偏爱度是挂钩的；因此我们可用一非增函数来度量；从心理学的角度来看：随着ij a 的增加，相邻的两个订单数字之间的偏爱度的差会越来越小，所以我们定义了;⎪⎩⎪⎨⎧==01ij ij ij c a c00=≠ij ij a a 不同会员在对同一种DVD 偏爱指数相同时，我们在分配DVD 时优先考虑编号在前的会员。
要确定把那张DVD 租给哪个会员，才能使满意度达到最大，因此我们引入ij x 表示把第j 种DVD 是否租给第i 个会员；从问题我们可以看出这是一个如何分配的问题，我们不妨把其中现有DVD 的张数看成现有判断条件为需要完成的任务，把每一为会员看成完成这些任务的人选，其中他们对各种DVD 的偏爱度就代表他们完成相对应的任务的能力；我们就要使他们对各种任务的完成能力达到最大；iji i j j ij xc B ∑∑=====100011001max约束条件所有的会员分配到j 种DVD 的数量之和不能超过现有的第j 种DVD 的张数j i i ijb x<=∑==10001=j (1、2...100；ij x 为0-1变量)由于网站每次对每个会员DVD 的分配要么0张要么3张所以i j j u 3100=∑== （i=1、2、...1000；ij u 为0-1变量）对问题（2）建立0—1规划模型。
模型三： 目标函数；iji i j j ij xc B ∑∑=====100011001max约束条件：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=<=∑∑====3100010001j j ijj i i ij x b x （i u 、ij x 均为0-1变量；i=1、2....1000；j=1、2....100）； 模型求解： 用LINGO 数学软件实现对此题0-1规划模型的求解；执行的代码见附录一；可以获得的最大满意度为其中前30位会员（即C0001~C0030）获得DVD 情况如下表所示（三）：问题三问题三是问题一和问题二的结合，要求我们在确保95%的会员能得到他想看的DVD的前提下使会员对网站的满意度达到最大；在这里我们需要解决的问题如何使采购的DVD总数量最少；2、如何每种DVD的采购量，才能使客户的满意度达到最大；因此我们求出需要准备DVD总数的上下限，假定网站在一个月内分配给会员一次DVD （三张他想要看的DVD ）即认为会员得到他想看的DVD 。