4-1复数项级数与幂级数

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复数项级数

n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1

复数项级数与幂级数

∞
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >

lim

∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −

复变函数的级数

n0
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如果在 z3 收敛，则在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn

高等数学课件-复变函数与积分变换第四章级数

称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解：将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0

《复变函数论》第四章

第四章解析函数的幂级数表示方法第一节级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。

如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。

如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。

令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。

由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。

注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。

定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。

通信工程专业函授(业余)本科教学大纲

（二）参考书目
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。

复变函数幂级数

z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义若n收敛，则称n为绝对收敛；
n1
n1
若n发散，而n收敛，则称n为
n1
n1
n1
条件收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z

复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数

n
3
§4.1 复数项级数第一、收敛序列四章 2. 复数序列极限存在的充要条件定理设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是解 n P76 析定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数第二、复数项级数四章 3. 复数项级数收敛的必要条件定理设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解析 P79 函证明由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数的而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是：级数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数第二、复数项级数四章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。解析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。函数的定理若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明由收敛， n n 收敛， n 数表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又示 n n n n n n,

4-1复数项级数和幂级数

则 limr n cosn limr n sinn 0, lim n 0
n
n
n
20
（2）若r 1, 则 n r n(cosn i sinn ),
则1
n
r -n[co（s - n）
i sin（- n )],
r-n[cosn - i sinn ],
则 limr-n 0,cosn ,sinn有界， n
称为该级数前n项的部分和.
24
n
Sn (z) f1(z) f2(z) fn(z)= fk (z) k 1
若对
D
内的
某一点
z0，
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 )
存在，称 fn(z) 在 z0 收敛, 且S(z0 )为它的和.
n1
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 S(z)
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
其中 z R, R min( r1, r2 )
32
定理4 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R, 则
（1）
1 (1 i ),
n1 n
n
(2)
(1
1
i
)e n
n1
n
解
（1）
n1
1 (1 n
i )= n
n1
(
1 n
i n2
)
(8i)n
(3) n1 n!

第七讲级数基本理论

n1
n1
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。
性质级数 n收敛的必要条:ln件 im n 0.
n1
定理3 若 n收敛 n 收敛， n 且 n.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2 an an2 bn2 n ,
由比较判定法
n0 n!
解
令z r,
zn
rn
er
n0 n! n0 n!
zn在复平面上处处绝对敛收。
n0 n!
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质
1. 幂级数的概念
定义
▪设复变函数列：{fn(z)}z D , n1 ,2 , fn (z)f1 (z)f2 (z) fn (z) (1 ) n 1
(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上
处处收敛。
(ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。
(iii)
0,
使
得
n0
cnn收
敛, 小，在c外部都是蓝色，
红、蓝色不会交错。故
0,使得 cn n发散一 . 定 cR：z R ,为红、
a
和
n
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2 n
由定理
2
得
收
n
敛
。
n
n
k k, nn
n1
k1
k1
n1
n1
由定理3的证明过程，及不等式 an2bn2 anbn有:

数学物理基本方法4.1数项级数、幂级数

幂级数在物理学中的应用
弹性力学
幂级数在弹性力学中用于描述弹性体的应力和应变关系。
热力学
热力学中的理想气体状态方程就是通过幂级数来表达的。
电磁学
在电磁学中，幂级数用于描述电磁波的传播和电磁场的分布。
数项级数与幂级数在金融领域的应用
复利计算
通过使用幂级数和数项级数，可以更精确地计算复利，这对于金融投资和保险非常重要。
定义
数项级数与幂级数的乘法运算是将两个级数的对应项相乘，得到
一个新的级数。
规则
乘法运算有特定的规则，如合并同类项、调整系数等，需要细心
操作避免出错。
应用
数项级数与幂级数的乘法运算在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如求解物理问题、研究复
合材料的性质等。
Part
05
数项级数与幂级数的应用实例
数学物理基本方法 4.1数项级数、幂级数
• 数项级数简介 • 幂级数简介 • 数项级数与幂级数的联系与区别 • 数项级数与幂级数的运算方法 • 数项级数与幂级数的应用实例
目录
Part
01
数项级数简介
数项级数的定义
01
数项级数是无穷序列的和，表示为 $sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中 $a_n$是序列中的第$n$项。
的时间序列数据。
Part
03
数项级数与幂级数的联系与区别
数项级数与幂级数的共同点
01
两者都是无穷序列
数项级数和幂级数都是无穷序列，可以表示为无限多个项的和或乘积。
02
两者都有收敛和发散的概念
数项级数和幂级数都有收敛和发散的概念，收敛的级数或幂级数具有确
定的极限值，而发散的级数或幂级数则没有确定的极限值。

复变函数第10讲

同理，
sin n
2 也收敛。
n1 n
从而复级数
i n 收敛，且为条件收敛。
n1 n
§2 幂级数
1. 复变函数项级数
设{ fn (z)}为一复变函数序列，其中各项在区域D
内有定义。称 fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) n1
为复变函数项级数。sn (z) f1(z) f2 (z) fn (z)称为级数的部分和。
因而 cn z0n M
（收敛数列必有界！）
至此，有
cn zn M qn
n0
n0
因右端收敛，由比较法，左端也收敛。1）证毕
至于2），实际上为1）的逆否命题，也成立。
阿贝尔定理说明：
以原点为圆心，过收敛点作圆周，则圆内点皆收敛且绝对收敛。
以原点为圆心，过发散点作圆周，则圆外点皆发散。
问题：对于级数 cn (z z0 )n，阿贝尔定理的 n1
结论如何叙述？
2. 收敛圆与收敛半径
根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不外乎以下三种可能：
1）处处收敛，即收敛点集为整个复平面。
2）除z=0外处处发散。
3）既存在使级数收敛的复数，也存在使级数发散的复数。
下面对情况 3）作进一步的分析。
我们考虑正实轴上的收敛点和发散点。
首先，收敛点和发散点不会相间分布，收敛点以左的为收敛点，发散点以右的为发散点。据此，动点从原点
n1
n1
n1
实际上，由于 an2 bn2 | an | | bn |, 所以当 an与 n1
bn绝对收敛时，
也绝对收敛。结合上面定理三
n
n1
n 1
可知， n也绝对收敛的充要条件是 an与bn绝对

复变函数-10

n
称s(z)为级数
( z ) 的和函数。
机动目录上页下页返回结束
n 1
珞珈学院
n 2 n z 1 z z z 例4.1.3 求级数 1
的定义域、收敛域,证明和函数为 1 z 。解 n N，z n在复数域 C上有定义，
n
n0
z 的定义域为复数域 C。 n n 1 1 z k , ( z 1) 级数的部分和函数为 Sn ( z ) z k 0 n 1 z 1 z 1 ; 当|z|<1时， s( z ) lim S n ( z ) lim n n 1 z 1 z
z
n 1
n s a bi源自xn 1n
a且 yn b。
n 1

注：定理4.1.2表明由实级数的性质可以平行地得到复级数的性质；复级数的审敛问题可以转化为实级数的审敛问题。
珞珈学院
的敛散性。例 4.1.2 1 解由实级数敛散性判别可知, 调和级数发散, n 1 n 1 等比级数 n 收敛, 由定理4.1.2可知题设级数发散。
in 1 | n | n发散， n n n sin cos 2 (1) 2 n 2n , n

(1) n 2n 1收敛
机动目录上页下页返回结束
珞珈学院
4.1.4. 复函数项级数及其收敛域
复函数列设 f n(z) ( n=1,2, …)是定义在D上的复变函数, 称{f n(z)}为定义域是 D C的复函数列。复变函数项无穷级数设{f n(z)}的定义域为D C ;

下列序列是否收敛, 若收敛求其极限
ni 2
2)

4 解析函数的级数表示 (2014)

因| z | 1,所以lim | z |n1 0, lim zn1 lim | z |n1 0.
n
n 1 z n |1 z |
有lim zn1 0. n 1 z
lim
n
Sn
lim n
n
zk
k 1
1 1 z
即| z | 1时，1 z z2 ... zn ... 1 . 1 z
lim
n
xn

0和 lim n
yn

0,

立即可得 lim n
zn

0, 从而推出复数项级数
n1
zn收敛的必要条件是
lim
n
zn

0.
11 11
复变函数与积分©变Co换pyright 湖南师大 2006
湖南师范大学工学院电子系 - 课程讲义
§4.1.2 复数项级数
定理4.4
所以
lim
n
zn

z0 .
注解：利用两个实数序列的相应的结果，可以证明两个
收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限
是相应极限的和、差、积、商。
66
复变函数与积分©变Co换pyright 湖南师大 2006
湖南师范大学工学院电子系 - 课程讲义
§4.1.2 复数项级数
复数项无穷级数
设{zn}={xn+iyn}(n=1,2,...)为一复数序列, 表达式
湖南师范大学工学院电子系 - 课程讲义
例：判别下列级数的敛散性.
(1)
(1 i ) n1 n 2n
1+5i n
(2) n0
2

复变函数第四版(第四章)

1 n 1) a n 1 e ; n
i

2) a n n cos in
}
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
第4章
级数
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
}
n
n
n
任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-
a|<e在n>N时成立则a称为复数列{an}当n时的 §4.1 ,复数项级数
极限, 记作
lim a n a
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
(-1) n n n 1

(8i ) 8 , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
故原级数收敛 . 但因 n n
}
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1

n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
z
n
在圆 |
1

内收敛.
}
再证当
| z |
| z |
1

时, 级数

n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿

第4章级数

z1 + ( z2 − z1 ) + ( z3 − z 2 ) + ... + ( zn − zn −1 ) + ...
则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。
§4-1复数项级数
如果级数 ∑ zn 收敛，那么
n→+∞
lim zn = lim (σ n − σ n+1 ) = 0
n→+∞
设 an = Re zn , bn = Im zn , sa = Re(s), sb = Im(s)
n 2 ∞ n =0
形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1, c2 ,…, a 都是复常数. 若令z = z − a ,则以上幂级数还可以写成
cn z n = c0 + c1 z + c2 z 2 + L ∑
n =0 ∞
§4-2 幂级数
2. 阿贝尔(Abel)定理
定理2 如果幂级数 ∑cn z 在 z = z0 收敛, 那么
cn = μ (μ ≠ 0 ) ，那么收敛半径
R=
1
μ
§4-2 幂级数
5. 幂级数的运算和性质
象实变幂级数一样，复变幂级数也能进行有理运算。
∞ n =0 n f ( z ) = ∑ an z n , R = r1 , g ( z ) = ∑ bn z , R = r2 设 ∞
那么，在以原点为中心， r1 , r 2 中较小的一个为半径的圆内，这两个幂级数的和函数分别是 f (z )和 g (z ) 的和、差与积。
sn = z1 + z2 + ... + zn
§4-1复数项级数
如果序列 {sn } 收敛，那么级数 ∑ zn 收敛；如果

4.1级数的基本性质

由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
z
,
所以当 z 1时级数收敛.
复数项级数收敛的等价条件
设S a ib为复数.
复数项级数 zn收敛于S n1
an a, bn b .
n1
n1
复数项级数收敛的必要条件
复数项级数 zn收敛于S的必要条件为 n1
lim
则称{zn}收敛于z0，记作
lim
n
zn
z0.
如果序列{zn}不收敛,则称{zn}发散,或称{zn}为发散序列.
复数序列收敛的等价条件
设z0 a ib为复数. 复数列 {zn} (n 1, 2, ) 收敛于 z0
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
即序列 {zn} 收敛于 z0 的充要条件是{an}收敛于a 与{bn}收敛于b.
n1 n!
解
因为
(8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比式判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例7
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n
fn(z) S(z) ,
k 1
或
fn(z) f (z) ,
则称复函数级数 fn (z),或复序列{ fn (z)}在E上 n1
一致收敛于S(z)或f (z).
定义4.1.1 如果 0, N N ,当n N, z E时,

复变幂级数也有所谓的收敛定理

n
复变函数与积分变换
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课程
第四章幂级数
级数收敛判定： 1.正项级数收敛判定：
部分和有上界；（比较） un v n , 若v n收敛，则un收敛；若un发散，则v n发散； u （达朗贝尔） l i m n 1 q , 若q 1, 则级数收敛；q 1, 则发散；q 1，不能确定； n u n （柯西） l i mn un p, 若p 1, 则级数收敛；p 1, 则发散；p 1，不能确定； n 若 l i mnu l 0, 则 un发散； n n n 1 （极限判别） p 若p 1, l i mn un l (0 l ),则 un收敛. n n 1
当z0 0 cn z n
n0

( 3)
称为幂级数
在( 2)中令z z0
( 2) cn k
k 0

研究级数 ( 3)并不失一般性。
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2
2
an a n 故 lima n a , limbn b.
n n
bn b n
“” 已知 l i ma n a , l i mbn b 即，
n n
0, N 0, n N , 恒有 a n a ， bn b 2 2 又 n (a n a ) i (bn b ) a n a bn b