2013年华约自主招生数学试题及答案
---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题
取到三个，设其中三个分别为 3a r、3b r 、3c r ， 则 (3a r ) (3b r ) (3c r ) 3(a b c r ) ，不可能为素数 .所以每类数最多只能取两
个.
结合上述两条，我们知道最多只能取 2 2 4个数，才有可能满足题设条件 .
另一方面，设所取的四个数为 1、 7、 5、 11，即满足题设条件 .
最上面一行的红色车位置选定后， 中间一行的红色车位置有 5 种选择； 上面两行的红色车位 置选定后， 最下面一行的红色车位置有 4 种选择。 三辆红色车的位置选定后， 黑色车的位置
3
有 3！ =6 种选择。所以共有 C6 6 5 4 6 14400 种停放汽车的方法 .
3．已知 x2 2 y 5, y 2 2 x 5 ，求 x3 2x 2 y 2 y 3的值 .
.否则，若三类数都有取到，设所取
数为 3a ， 3k 1 型数为 3b 1， 3k 2 型数为 3c 2 ，
3k 型
则 3a (3b 1) (3c 2) 3(a b c 1) ，不可能为素数 .所以三类数中， 最多能取到两类 .
其次， 我们容易知道， 每类数最多只能取两个 .否则， 若某一类 3k r (r 0、1、2) 型的数至少
综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数
.
8 ． 已 知 a1、 a2、 a3、 、 a2013 R ， 满 足 a1 a2 a3
a2013 0 ， 且
a1 2 a2
a2 2 a3
a23
a4
a22 0 1 2 a
2 0 2a，1 3 求 a2证0 1 ：3
1
a1 a2 a3
a2013 0 .
5．数列 an 满足 a1 1，前 n 项和为 Sn , Sn 1 4an 2 ，求 a2013 . 解析：根据条件知： 4an 1 2 Sn 2 an 2 Sn 1 an 2 4an 2 an 2 4 an 1 4an . 又根据条件知： a1 1,S2 a1 a2 4a1 2 a 2 5 .
一道2013年“华约”自主招生题的解法及推广
一
或
Ｐ
／
一 ．
，
于是 切线 方 程 为
—Ｐ Ｙ 一１ ＝０ 或
得何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
据 ：入 痂 ， 得
ｉ
Ｐ
＋ ＰＹ ＋ ｌ＝ ０．
． ＿ 观 ｌ ＝ ｚ 蒜
’ 根
在本题 中， 不仅 Ｉ ＯＡｉ ． Ｉ Ｏ ＢＩ 是一个与直线 Ｙ＝ ｋ ｘ的斜 率 ｋ有 关 的 量 ， 而 且 点 Ｍ 是 ＡＢ 中 点． 点 和 点 Ｂ 分 别 所 在 的直 线 Ｙ＝ ｋ ｘ与 Ｙ＝ ｋ ｘ又关于 轴对称． 如果 １ ＯＡ Ｉ ． １ ＯＢｌ 是一 ‘ 个 与ｋ 无 关的常数， 且 点 Ｍ 是 线 段 ＡＢ 的任 一 分 点， 点 和 点 Ｂ分 别 所 在 的直 线 又 是 任 意 两 条 直 线 ，那 么 点 Ｍ 的 轨 迹 方 程 又 该 如 何 ？笔 者
解 法二： 把 ：
代入 。 一 ＝１ 中
得ｏ Ａ ． ＝ ｆ １ ． ｆ 『 ． ｃ ｏ ｓ ２ ０ ： （ ｋ ２ ＋ １ ） ．
消去 Ｘ ， 得Ｙ 。 一２ ｐ ｋ Ｙ ＋ｋ ＝０ ． 因为 曲线 Ｃ和
数 学教 学
抛物线相切． 所 以Ａ ＝４ ｐ ４ —４ ｋ ２＝ ０ ， 且 Ｙ＝
切， 求证 ： 切 点分别在两条定直线上， 并求切线 方程 ．
（ １ ）分 析： 本 题 的关 键 是如 何 利用 Ｉ ＯＡ『 ． １ Ｏ ＢＩ ：ｋ ２ ＋１ ， 由于 该条件 是关于线段 Ｏ Ａ与 Ｏ Ｂ 的长 度 之 积 的一 个 等 式，所 以可 以分 别 从 两 点 间距 离 公 式 、 向量 （ 二 ） 与（ ＝ ） 百数 量 积
Ｓ ＝专 （ ｚ １ ＋ ｘ ２ ） （ ｖ ｌ — Ｙ ２ ） 一 言 ｚ １ １ ＋ ￣ ｘ ２ ｙ ２
2013年“华约”自招第2题-一道奇妙有趣的三角函数题,做完后充分感到了数学的乐趣
【题目】
已知sinx+siny=1/3，cosx-cosy=1/5，求cos(x+y)，sin(x-y)，cos(x-y). 【温馨提醒：题目和解答过程都在第二页图中！可不看我的分析和感想】
【分析和感想】
1、用到了三角函数的很多结论，比如sin²t+cos²t=1，诱导公式，恒等变换，和差化积，tan(t/2)和sint,cost的转化公式。
2、看到这种形式的方程组，绝大多数同学心中的第一想法是两个方程的两边同时平方，求和，虽然不知道会算出什么，但肯定能求出
sin(x+y),cos(x+y),sin(x-y),cos(x-y)中的一个，试一试呗。
果不其然，算出了cos(x+y)，具体过程见图中(1).
3、再接下来，碰到两个不同角度（此处是x,y）的三角函数的和（差），就会想到“和差化积”。
两个方程运用之后，最终得到tan[(x-y)/2]的值，但题目要求sin(x-y)和cos(x-y)，有经验的人们立刻就会想到一个常用公式，即
tan(t/2)=sint/(1+cost)=(1-cost)/sint，进而得到关于sin(x-y)和cos(x-y)的方程组，具体见图中(2)方法二.
4、图中(2)方法一，绝对是我“歪打正着”得出来的。
结果将x换成x-y+y，将-y换成x-y-x，把x-y看做整体，展开①②后，正好就得到了方法二中的方程组。
当时我真的震惊了！我又一次感到了数学的乐趣！。
2010-2013华约试题及答案(精校版+完整版)
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为 度 （A ）60 （B ）45 （C ）30 （D ）22.54.正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点， 则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（A ）1：6 （B ）1：5 （C ）1：4 （D ）1：35．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
“北约”“华约”自主招生数学模拟试题
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。
2011-2013华约数学
2013一、已知集合A ={}|10x Z x ∈≥,B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件：⑴数字两两不相等，⑵任意两数字之和不等于9. 试求：（Ⅰ）B 中有多少个两位数？有多少个三位数？（Ⅱ）B 中是否有五位数？是否有六位数？（Ⅲ）将B 中的元素从小到大排列，第1081个元素是多少？二、已知1sin sin3x y +=，1cos cos 5x y -=，求sin(x - y ) , cos(x + y )的值 三、设k > 0，从直线y = kx 和y = -kx 上分别选取点A (x A , y A ) , B (x B , y B ) ,使得x A ⋅x B > 0 , |OA |⋅|OB |=1+k 2 ,O 为坐标原点，AB 的中点M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求C 的轨迹方程；（Ⅱ）抛物线x 2=2px (p >0)与C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程四、7个红球和8个黑球，从中任取4个。
（Ⅰ）求恰好有一个红球的概率（Ⅱ）社四个求中黑球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX 。
（Ⅲ）求当四个求均为一种颜色时，这种颜色为黑球的概率。
五、已知a n +1 = a n + ca n 2，n = 1 , 2 , 3 , ……, a 1 > 0 ,c > 0，（Ⅰ）对任意的M > 0，存在正整数N ，使得对于n > N ，恒有a n > M ；（Ⅱ）设11+=n nca b ，S n 为{b n }的前n 项和。
证明：{S n }有界且对d >0，存在正整数k ，当n > k 时，恒有d ca S n <-<11。
六、已知x 、y 、z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(xy -1)(yz -1)(zx -1)，求x 、y 、z 的所有可能的值。
七、已知f (x )=(1-x )e x -1.（Ⅰ）证明：当x > 0时，f (x ) < 0；（Ⅱ）若11-=+n n x x n e e x ，x 1=1，证明数列{x n }递减，且nnx 21>.2012（1）在锐角ABC ∆中，已知A B C >>,则cos B 的取值范围为（ ）(A)2(0,)2 (B) 12[,)22 (C) (0,1) (D) 2(,1)2（2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 （3）正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是（ ）(A)αβθγ<<< (B)αβγθ<<< (C) αγβθ<<< (D) βαγθ<<<（4）向量a e ≠，||1e =。
2013年自招数学答案
2013年高中自主招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共24分）ABDC CABC 二、填空题：（每小题4分，共32分）9. 0 10. 161 11. 26 12. ﹙0，1﹚ 13. 1 14.28 15. 22 16. 6, n (n +1) 三、解答题：（10大题，共94分）17. （5分）解：原式=919)3(2)3()9)(9(2+•-+•++-a a a a a a =32+a ………………………………………3分 当33-=a 时，原式=332 …………………………………………………………5分 18.（5分）解：由|1-a |+2+b =0，得a =1，b =-2. ……………………………………………2分由方程x 1-2x =1得2x 2+x -1=0解之，得x 1=-1，x 2=21.…………………………………………4分 经检验，x 1=-1，x 2=21是原方程的解. …………………………………………………………5分 19.（6分）(1) 被抽查的居民中，人数最多的年龄段是21~30岁 ……………………………1分(2)总体印象感到满意的人数共有400×83%=332 (人)31~40岁年龄段总体印象感到满意的人数是：332(5412653249)66-++++=(人) 图略 ……………………………………………………3分(3) 31~40岁年龄段被抽人数是2040080100⨯=(人) 总体印象的满意率是66100%82.5%83%80⨯=≈ ； 41~50岁被抽到的人数是1540060100⨯=人,满意人数是53人, 总体印象的满意率是5388.3%88%60=≈ ； ∴41~50岁年龄段比31~40岁年龄段对博览会总体印象的满意率高. ………………………6分20.（6分）解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB =x 米，在Rt △DEC 中，∠DCE =30°，CD =200，∴DE =100，CE =1003.在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，∴BC=x 米.则AF =AB －BF =AB －DE =x －100，DF =BE =BC ＋CE =x ＋1003.在Rt △AFD 中，∠ADF =30°，tan30°=FD AF ， ∴333100100=+-x x . ∴473)33(100≈+=x （米）.……………………………………5分答：山AB 的高度约为473米.……………………………………………6分21．（6分）解：（1）画树状图得：∴点Q 所有可能的坐标有6个：（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，，﹣2），（﹣2，0），（﹣2， 1）.………………………2分（2）∵点Q 在y 轴上的有：（0，﹣2），（0，0），（0，1），∴点Q 在y 轴上的概率为：21.…4分 （3）∵⊙O 的半径是2，∴在⊙O 外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），在⊙O 上的有（0，﹣2），（﹣2，0）. ∴过点Q 能作⊙O 切线的概率为：3264=.…………………………………………………6分 22．（7分）解：（1）由图象知：线段BC 经过点（20，500）和（40，600），∴设解析式为：Q =kt +b ， ∴⎩⎨⎧=+=+6004050020b k b k ，解得⎩⎨⎧==4005b k ，∴解析式为：Q =5t +400（20＜t ＜40）……………2分 （2）设乙水库的供水速度为x 万m3/h ，甲为y 万m 3/h ， ∴⎩⎨⎧-=--=-600400)2(40500600)(20y x y x ，解得⎩⎨⎧==1015y x ， ∴乙水库供水速度为15万m 3/h 和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m 3/h ；………… 5分（3）∵正常水位的最低值为a =500-15×20=200，∴（400-200）÷（2×10）=10h ，∴10小时后降到了正常水位的最低值．……………………………………………………… 7分23．（8分）（1）∵∠B 、∠F 同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F∵BO =PO ，∴∠B =∠BPO ∴∠F =∠BPF ，∴AF ∥BE …………………………3分（2）∵∠C PE = ∠B PO =∠B =∠EA P ，∠C =∠C ，∴△P C E ∽△ACP ，∴APAC PE PC =. ∵∠EA P =∠B ，∠E P A =∠A P B =90°，∴△EA P ∽△A B P ， ∴APAB PE AE =. 又∵AC =AB ，∴PEAE PE PC = ∴CP =AE ． …………………………………………………8分 24.（8分）解：（1）BE ＝GH ； ……………………………………………………………………1分（2）EF ＝GH ； …………………………………………………………………………………………2分（3）过点A 作m 的平行线交BC 于点F ′，过点D 作n 的平行线交AB 于点G ′．∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°．∴四边形AEFF ′是平行四边形，四边形DHGG ′是平行四边形，∴EF ＝AF ′，GH ＝DG ′，且EF ∥AF ′，GH ∥DG ′，又∵EF ⊥GH ∴AF ′⊥DG ′．∴∠BAF ′＋∠AG ′D ＝90°．又∵∠BAF ′＋∠AF ′B ＝90°，∴∠AG ′D ＝∠AF ′B ．………………………………………………5分 在△ADG ′和△ABF ′中，⎪⎩⎪⎨⎧='∠='∠︒=∠=∠AB AD B F A D G A ABC DAB 90∴△ADG ′≌△ABF ′ ，∴AF ′＝DG ′ ，∴EF ＝GH ．…8分25.（9分）解：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．…………………………2分（2）当4.55.49.02=+-x x 时，即0544592=+-x x ，21=x ，32=x .从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建2公顷大棚． ………………………5分（3）方法一：设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+………………………8分∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．………………9分 方法二：设三年的收益为W （万元）W =225.99)5.10(9.09.189.0)3.039.07.2(5.73222+--=+-=⨯---⨯x x x x x x ………8分 ∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． ……………9分26. （12分）解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点O 、A 、C ，可得c =0，∴⎩⎨⎧=+=+1242b a b a ，解得a =，b =，∴抛物线解析式为x x y 27232+-=． （2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴△OPN ∽△OCD ， 可得PN =2t ，∴P （t ，2t ）， ∵点M 在抛物线上，∴M （t ，t t 27232+-）． 如解答图1，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG =y A ﹣y M =2-（t t 27232+-）=227232+-t t ，BH =PN =2t ． 当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴227232+-t t =2t ， 化简得3t 2﹣8t +4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=32， ∴点P 的坐标为（32，31），∴存在点P （32，31），使得四边形ABPM 为等腰梯形． （3）如解答图2，△AOB 沿AC 方向平移至△A ′O ′B ′，A ′B ′交x 轴于T ，交OC 于Q ，A ′O ′交x 轴于K ，交OC 于R ．求得过A 、C 的直线为y =﹣x +3，可设点A ′的横坐标为a ，则点A ′（a ，﹣a +3），易知△OQT ∽△OCD ，可得QT =2a ， ∴点Q 的坐标为（a ，2a ）． 解法一：设A B 与OC 相交于点J ，∵△ARQ ∽△AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴AJQ A OB HT /=. ∴HT =a a a OB AJ Q A -=⨯---=⋅21212213/， KT =)3(2121/a T A -=， a a a y y Q A Q A 2332)3(//-=-+-=-=． S 四边形RKTQ =S △A ′KT ﹣S △A ′RQ =KT •A /T ﹣A /Q •HT=)2)(233(21)3(2321+----⋅-⋅a a a a =83)23(2143232122+--=-+-a a a ∵＜0，∴在线段AC 上存在点A /（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③则KT=④由△A′KT∽△A′O′B′，得，由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，∴点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+.∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。
2010-2013华约试题及答案(精校版+完整版)
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为 度 （A ）60 （B ）45 （C ）30 （D ）22.54.正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点， 则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（A ）1：6 （B ）1：5 （C ）1：4 （D ）1：35．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
“华约”自主招生数学全真模拟试题
2013年“华约” 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1数学与逻辑A 1/2B 2/5C 3/5D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（ ） （A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（ ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（ ）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（ ）．（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++L n n n n na a a a a n n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1Λ的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且1 2 3 4 5 6 7 89“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D1209．设a n =2n，b n =n ，（n=1，2，3，。
2013年自主招生数学试题及答案
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题
2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
8
4
(II) 直线 l1 : x 1 , l2 : y
x
m ,D(1,4),
( x 1)2
椭圆 Q:
(y
2)2
1
8
4
①若 l2 过点 F1 或 D,由 F1 ,D 两点既在直线 l1 上 , 又在椭圆 Q上 , 但不在 F2 的轨迹上 ,
知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点 , 不合题意 .
②若 l2 不过 F1 ,D 两点 ( m 1, m 3 ). 则 l 2 与 l1必有一个公共点 E, 且点 E不在椭圆 Q上 ,
(I) 求点 F2 的轨迹方程 ;
(II)
是否存在直线 y x m 与点 F2 的轨迹有 且只
有两个公共点 ?若存在 , 求实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明理由 .
5. 已知 a， b 均为正整数，且 a b, sin 证：对一切 n N * ， An 均为整数
2ab a 2 b 2 (其中 0
当 t ( , 1) , g' (t ) 0 , g(t ) 为增函数 ; 当 t ( 1,1) 时 , g' (t ) 0 , g (t ) 为减函数 ;
当 t (1, ) 时 , g '(t ) 0 , g (t) 为增函数 .
所以当 t
值
1
.
2
1, 即
时 , m g (t) 有极 大值 1 ; 当 t 1, 即
4
2
4．解 :(I) F1 (1,0) , AF1 BF2 2 2 , 设 F2( x, y) 则
时 , m g(t) 有极小 4
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 0 , 去掉绝对值号有两种情况 , 分别得 F2 的轨迹