数学旋转的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案

如图 3 所示，分两种情况讨论：
在 Rt△ PED 中，PD=DE•sin∠ PED，因此锐角∠ PED 的大小直接决定了 PD 的大小． ①当小三角形旋转到图中△ ACB 的位置时，
在 Rt△ ACE 中，CE= 52 32 =4， 在 Rt△ DAE 中，DE= 52 52 5 2 ，
∵ 四边形 ACPB 是正方形， ∴ PC=AB=3， ∴ PE=3+4=7，
（1）当 OC∥ AB 时，旋转角 α＝
度；
发现：（2）线段 AC 与 BD 有何数量关系，请仅就图 2 给出证明．
应用：（3）当 A、C、D 三点共线时，求 BD 的长．
拓展：（4）P 是线段 AB 上任意一点，在扇形 COD 的旋转过程中，请直接写出线段 PC 的
最大值与最小值．
【答案】（1）60 或 240；(2) AC=BD，理由见解析；（3） 13+1 或 13 1 ；（4）PC 的
可 BA=CA，∠ BAD=∠ CAE，DA=EA，进而得到△ ABD≌ △ ACE，可得出 BD=CE；
（2）分两种情况：依据∠ PDA=∠ AEC，∠ PCD=∠ ACE，可得△ PCD∽ △ ACE，即可得到
PD CD
=
，进而得到 PD=
5
34 ；依据∠ ABD=∠ PBE，∠ BAD=∠ BPE=90°，可得
AB BD
3 34
解得 PB= 6 34 ， 34
∴ PD=BD+PB=
6 34 +
34 = 20 34 ，
34
17
故答案为 5 34 或 20 34 ；
17
17
（3）如图 3 所示，以 A 为圆心，AC 长为半径画圆，当 CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PD
的值最小；当 CE 在在⊙A 右上方与⊙A 相切时，PD 的值最大．
此时，CD=2 3 cm，
∴ △ BDE 的最小周长=CD+4=2 3 +4；
（3）存在，①∵ 当点 D 与点 B 重合时，D，B，E 不能构成三角形， ∴ 当点 D 与点 B 重合时，不符合题意； ②当 0≤t＜6 时，由旋转可知，∠ ABE=60°，∠ BDE＜60°， ∴ ∠ BED=90°， 由（1）可知，△ CDE 是等边三角形， ∴ ∠ DEB=60°， ∴ ∠ CEB=30°， ∵ ∠ CEB=∠ CDA， ∴ ∠ CDA=30°， ∵ ∠ CAB=60°， ∴ ∠ ACD=∠ ADC=30°， ∴ DA=CA=4， ∴ OD=OA﹣DA=6﹣4=2， ∴ t=2÷1=2s； ③当 6＜t＜10s 时，由∠ DBE=120°＞90°， ∴ 此时不存在； ④当 t＞10s 时，由旋转的性质可知，∠ DBE=60°，
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在等边△ AOB 中，将扇形 COD 按图 1 摆放，使扇形的半径 OC、OD 分别与 OA、OB 重
合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△ AOB 不动，让扇形 COD 绕点 O 逆时针旋转，线
段 AC、BD 也随之变化，设旋转角为 α．（0＜α≤360°）
2
2
如图 4 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
易知 AC=BD=AH﹣CH= 13 1 ． 2
综上所述：当 A、C、D 三点共线时，BD 的长为 13 1 或 13 1 ；
2
2
（4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作
OH⊥AB 于 H，直线 OH 交⊙O 于 C′、C″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 C″H 的长即
2．如图所示，△ ABC 和△ ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠ BAC=∠ DAE=90°，EC 的
延长线交 BD 于点 P．
（1）把△ ABC 绕点 A 旋转到图 1，BD，CE 的关系是
（选填“相等”或“不相等”）；简
要说明理由；
（2）若 AB=3，AD=5，把△ ABC 绕点 A 旋转，当∠ EAC=90 °时，在图 2 中作出旋转后的图
2
2
最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
【解析】 分析：（1）如图 1 中，易知当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋 转角 α=60°或 240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△ AOC≌ △ BOD 即可． （3）在图 3、图 4 中，分别求解即可． （4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作 OH⊥AB 于 H，直线 OBaidu Nhomakorabea 交⊙O 于 C′、C″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 C″H 的长即
又由（1）知∠ CDE=60°， ∴ ∠ BDE=∠ CDE+∠ BDC=60°+∠ BDC， 而∠ BDC＞0°， ∴ ∠ BDE＞60°， ∴ 只能∠ BDE=90°， 从而∠ BCD=30°， ∴ BD=BC=4， ∴ OD=14cm， ∴ t=14÷1=14s. 综上所述：当 t=2 或 14s 时，以 D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形． 点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代 数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变 量，从某一个方面出发去分类.
为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、
勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属 于中考压轴题．
在 Rt△ PDE 中，PD= DE2 PE2 50 49 1，
即旋转过程中线段 PD 的最小值为 1； ②当小三角形旋转到图中△ AB'C'时，可得 DP'为最大值， 此时，DP'=4+3=7， 即旋转过程中线段 PD 的最大值为 7． 故答案为 1，7． 点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三 角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这 些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问 题．
∴ PD= 5 34 ； 17
若点 B 在 AE 上，如图 2 所示：
∵ ∠ BAD=90°，
∴ Rt△ ABD 中，BD= AD2 AB2 34 ，BE=AE﹣AB=2，
∵ ∠ ABD=∠ PBE，∠ BAD=∠ BPE=90°， ∴ △ BAD∽ △ BPE，
∴ PB BE ，即 PB 2 ，
形，PD=
，简要说明计算过程；
（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段 PD 的最小值为
，最大值为
．
【答案】（1）BD，CE 的关系是相等；（2） 5 34 或 20 34 ；（3）1，7
17
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【解析】
分析：（1）依据△ ABC 和△ ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠ BAC=∠ DAE=90°，即
为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
详解：（1）如图 1 中，∵ △ ABC 是等边三角形，∴ ∠ AOB=∠ COD=60°，∴ 当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋转角 α=60°或 240°．
故答案为 60 或 240； （2）结论：AC=BD，理由如下： 如图 2 中，∵ ∠ COD=∠ AOB=60°，∴ ∠ COA=∠ DOB．在△ AOC 和△ BOD 中，
4．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片 ABCD(AB>BC)，使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；②沿折痕 BG 折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的点 P 处，再折出 PB、PC，最后用笔画出△ PBC(图 1)．
（1）求证：图 1 中的 PBC 是正三角形： （2）如图 2，小明在矩形纸片 HIJK 上又画了一个正三角形 IMN，其中 IJ=6cm， 且 HM=JN． ①求证：IH=IJ ②请求出 NJ 的长； （3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为 6cm，当另一边的长度 a 变化时，在矩形纸片 上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示 意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的 a 的取值范围．
AE CE
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△ BAD∽ △ BPE，即可得到 PB BE ，进而得出 PB= 6 34 ，PD=BD+PB= 20 34 ；
AB BD
34
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（3）以 A 为圆心，AC 长为半径画圆，当 CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PD 的值最小；当
CE 在在⊙A 右上方与⊙A 相切时，PD 的值最大．在 Rt△ PED 中，PD=DE•sin∠ PED，因此锐
OA OB COA DOB ，∴ △ AOC≌ △ BOD，∴ AC=BD； CO OD
（3）①如图 3 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
在 Rt△ COH 中，∵ OC=1，∠ COH=30°，∴ CH=HD= 1 ，OH= 3 ．在 Rt△ AOH 中，
2
2
AH= OA2 OH 2 = 13 ，∴ BD=AC=CH+AH= 1 13 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）存在
【解析】 试题分析：（1）由旋转的性质得到∠ DCE=60°，DC=EC，即可得到结论； （2）当 6＜t＜10 时，由旋转的性质得到 BE=AD，于是得到 C△ DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到 DE=CD，由垂线段最短得到当 CD⊥AB 时，△ BDE 的周长最小，于是得到结论； （3）存在，①当点 D 于点 B 重合时，D，B，E 不能构成三角形，②当 0≤t＜6 时，由旋 转的性质得到∠ ABE=60°，∠ BDE＜60°，求得∠ BED=90°，根据等边三角形的性质得到 ∠ DEB=60°，求得∠ CEB=30°，求得 OD=OA-DA=6-4=2，于是得到 t=2÷1=2s；③当 6＜t＜10s 时，此时不存在；④当 t＞10s 时，由旋转的性质得到∠ DBE=60°，求得∠ BDE＞60°，于是 得到 t=14÷1=14s. 试题解析：（1）证明：∵ 将△ ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60°得到△ BCE， ∴ ∠ DCE=60°，DC=EC， ∴ △ CDE 是等边三角形； （2）存在，当 6＜t＜10 时， 由旋转的性质得，BE=AD， ∴ C△ DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE， 由（1）知，△ CDE 是等边三角形， ∴ DE=CD， ∴ C△ DBE=CD+4， 由垂线段最短可知，当 CD⊥AB 时，△ BDE 的周长最小，
∴ △ ABD≌ △ ACE，
∴ BD=CE；
故答案为相等．
（2）作出旋转后的图形，若点 C 在 AD 上，如图 2 所示：
∵ ∠ EAC=90°，
∴ CE= AC2 AE2 34 ，
∵ ∠ PDA=∠ AEC，∠ PCD=∠ ACE， ∴ △ PCD∽ △ ACE，
∴ PD CD ， AE CE
3．如图 1，△ ABC 是边长为 4cm 的等边三角形，边 AB 在射线 OM 上，且 OA=6cm，点 D 从 O 点出发，沿 OM 的方向以 1cm/s 的速度运动，当 D 不与点 A 重合时，将△ ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60°得到△ BCE，连结 DE． （1）求证：△ CDE 是等边三角形； （2）如图 2，当 6＜t＜10 时，△ BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出△ BDE 的最小 周长；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当点 D 在射线 OM 上运动时，是否存在以 D、E、B 为顶点的三角形是直角 三角形？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．
角∠ PED 的大小直接决定了 PD 的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段
PD 的最小值以及最大值．
详解：（1）BD，CE 的关系是相等．
理由：∵ △ ABC 和△ ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠ BAC=∠ DAE=90°，
∴ BA=CA，∠ BAD=∠ CAE，DA=EA，