(完整版)截长补短法专题
人教版八年级常见辅助线：截长补短专题
罕见的辅助线作法（截长补短）之勘阻及广创作
截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
例1、已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
（分别用截长补短两种方法证明）
例2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE=∠CBE，CE⊥BD的延长线于E。
求证：BD=2CE.
例3、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
例4、如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
几何辅助线之截长补短 总结+例题
截长补短专题知识导航“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。
补短法：①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：c b a =+。
②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。
即延长a ，得到c ，证：a c b -=。
【核心考点1】角平分线相关截长补短1. 如图，BP 平分ABC ∠，D 为BP 上一点，E ，F 分别在BA ，BC 上，且满足DE DF =，若140BED ∠=︒，则BFD ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【分析】作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，根据角平分线的性质得到DH DG =，证明Rt DEG Rt DFH ∆≅∆，得到DEG DFH ∠=∠，根据互为邻补角的性质得到答案．【解答】解：作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，D 是ABC ∠平分线上一点，DG AB ⊥，DH BC ⊥， DH DG ∴=，在Rt DEG ∆和Rt DFH ∆中， DG DHDE DF=⎧⎨=⎩， ()Rt DEG Rt DFH HL ∴∆≅∆，DEG DFH ∴∠=∠，又180DEG BED ∠+∠=︒， 180BFD BED ∴∠+∠=︒，BFD ∴∠的度数18014040=︒-︒=︒，故选：A ．2. 已知，如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，12∠=∠，求证：AB AC CD =+．【分析】在AB 上截取AE AC =，由“SAS ”可证ADE ADC ∆≅∆，可证DE DC =，C AED ∠=∠，可证B BDE ∠=∠，可得BE DE DC ==，即结论可得． 【解答】证明：如图，在AB 上截取AE AC =，AE AC =，12∠=∠，AD AD =()ADE ADC SAS ∴∆≅∆DE DC ∴=，C AED ∠=∠， 2C B ∠=∠，AED B BDE ∠=∠+∠，B BDE ∴∠=∠ BE DE DC ∴==，AB AE BE =+， AB AC DC ∴=+。
截长补短
截长补短一、知识点： 1.定义截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
例：已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2。
求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ， ∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,DCBA 12EDCBA12FDCBA 12ECDBADCB A⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD . 二、基础训练1、如图，在△ABC 中，∠BAC=1200，AD ⊥BC 于D ， 且AB+BD=DC ，则∠C 的大小为2、如图，已知正方形ABCD ，∠BAC 的角平分线交BC 于E ，试说明AB+BE=AC3、如图，已知： △ABC 中，BC=2AB ，D 、E 分别是BC 、BD 的中点.求证：AC=2AE4、如图，将一个含30°角的直角三角形△ABD沿斜边AD翻折得到△ACD，以D为顶点再用含60°角的直角三角板作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）求∠BDC的度数（2）求证：BM＋CN＝MN5、如图：在△ABC中，∠A=60°，∠B，∠C的平分线BE，相交于点O。
完整版)截长补短类辅助线作法
完整版)截长补短类辅助线作法截长补短类辅助线作法是解决三条线段之间数量关系问题的常用方法。
其中，“截长”是将最长的线段一分为二，使其中一条等于已知的较短线段之一，然后证明另一段与已知另一条线段的数量关系；“补短”是将一条较短的线段延长至与另一条较短的线段相等，然后证明延长后的线段与最长的线段的数量关系。
需要注意的是，截长补短类辅助线作法一般用于三条线段之间的数量关系问题，特别是当线段前的系数不是1时，可能会涉及到含特殊角的直角三角形。
在构造辅助线时，需要结合题目条件选择适当的方法，并不是所有题目都适用于截长和补短方法。
下面是一些例题的精讲：1.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
2.已知△ABC中，DP⊥BC，证明BD平分∠ABC，BC上有动点P；DP平分∠BDC时，求BD、CD、CP三者的数量关系。
3.已知△ABC中，D、E、F分别平分∠A、∠B、∠C，交于点P，试判断AD：DB、BE：EC、CF：FA的数量关系，并加以证明。
4.在△ABC中，AD是角平分线，点F、E分别在AC、AB上，且AF=DE，证明BF=CE。
5.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
6.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠AED=45°，证明AE=BD。
7.五边形ABCDE中，AD平分∠CDE，证明XXX。
8.在△ABC中，D是三角形外一点，且∠ACD=∠BCD，AB与CD交于点E，证明XXX。
9.如图1所示，AB、CD平行，AE、DE分别平分∠A、∠D，并交于点E。
过点E的直线分别交AM、DN于B、C。
1）当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系。
2）试证明你的猜想。
培训学习资料-截长补短法_2023年学习资料
N-如图3，点M、N分别在边-AB、CA的延长线上时，-猜想的结论还成立吗？-若不成立，又有怎样的-数量关 ？写出你的猜-想并加以证明.
截长法与补短法，具体做法是在某条-线段上载取一条线段与特定线段相等，或-是将某条线段延长使之与特定线段相等 -再利用三角形全等的有关性质加以说明-这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、-分等类的题目.
等-如图，AD∥BC,AE,BE分别平分-∠DAB,∠CBA,-CD经过点E,-求证：AB=AD+BC
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上-思考题-分别有两点M、N,D为△ABC外一点，且-∠MDN=60 ，∠BDC=120°，BD=DC.-探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，-BM、NC、MN之间的数 关系.-如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，-BM、NC、MN之间的数量关系是
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上-分别有两点M、N,D为△ABC外一点，且-∠MDN=60°，∠B C=120°，BD=DC.-探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，-BM、NC、MN之间的数量关系. 如图2，点M、N边AB、AC上，且-当DMDN时，猜想I的结论还成立吗？-写出你的猜想并加以证明；
例2、五边形ABCDE中，AB=AE,-BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°，求证-AD平分∠C E-学法辅导-1、可考虑补短法，延长DE-至F,使EF=BC,连AC,AF,B-证两次全等即可求解。-2、 意，用截长法得不到-两次全等，故本题不宜用-截长法来做
思考-㳇列1和例2，一牧出现十么杀件-时可以同时使用截长补短两种办法？-A-D-F-E-B-C-M
1.在△ABC中，∠B=2∠C,AD平分BAC.-求证：AB+BD=AC-证明：在AB的延长线截取BE=B ,-连结DE.-补短法-在射线AB截取BE=BD,
专题10：截长补短
专题10：截长补短专题10.1 截长补短--角平分线一．【知识要点】1.截长补短（截长法，补短法）是证明线段和差问题的基本方法:有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
二．【经典例题】1、如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．2、如图,△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线，点P是线段AD上异于A，D的任意一点,则AB+PC与AC+PB的大小关系是( )A. AB+PC>AC+PBB. AB+PC<AC+PBC.AB+PC=AC+PBD.不确定三．【练习】1．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。
（12分）（1）∠AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。
2.如图,P为△ABC内的点,连CP、BP、AP,∠PBA=30°,PC平分∠BCA，∠BPC =150°,求证:BC=AC+PA.一．【知识要点】1.截长补短（截长法，补短法）是证明线段和差问题的基本方法。
二．【经典例题】 1．已知：如图，△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD ．三、【练习】1．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB=AC+CD ，求证：∠C=2∠B2.已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．M ED CBA一．【知识要点】半角模型：若一个角等于整个角的一半,往往通过旋转将两个角搬到一起从而产生全等转化问题.有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。
截长补短经典例题20道
截长补短经典例题20道一、三角形中的截长补短例1：在△ABC中，∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点O。
求证：AC = AE+CD。
解析：在AC上截取AF = AE，连接OF。
因为AD平分∠BAC，所以∠EAO = ∠FAO。
在△AEO和△AFO中，AE = AF，∠EAO = ∠FAO，AO = AO，所以△AEO≌△AFO(SAS)。
所以∠AOE = ∠AOF。
因为∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，所以∠BAC+∠ACB = 120°，则∠AOE =∠COD =∠AOF = 60°。
所以∠COF = 180° - ∠AOF - ∠COD=60°，即∠COF = ∠COD。
又因为CE平分∠ACB，所以∠FCO = ∠DCO。
在△FOC和△DOC中，∠FOC = ∠DOC，∠FCO = ∠DCO，CO = CO，所以△FOC≌△DOC(ASA)。
所以CD = CF。
因为AC = AF+CF，AF = AE，CF = CD，所以AC = AE + CD。
例2：已知：如图，在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，BD是∠ABC的平分线。
求证：BC = AB+AD。
解析：过点D作DE⊥BC于E。
因为BD是∠ABC的平分线，∠A = 90°，DE⊥BC，所以AD = DE。
因为AB = AC，∠A = 90°，所以∠C = 45°。
在Rt△DEC中，因为∠C = 45°，所以DE = EC。
又因为BD = BD，AD = DE，∠A = ∠BED = 90°，所以△ABD≌△EBD(HL)。
所以AB = BE。
因为BC = BE+EC，AB = BE，AD = EC，所以BC = AB+AD。
二、四边形中的截长补短例3：如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，且∠EAF = 45°。
初二数学截长补短法专题
初二数学截长补短法专题嘿，小伙伴们，今天我们聊聊“截长补短法”！这可是一种妙招，能让咱们的数学成绩蹭蹭往上涨。
别担心，听我慢慢说，保证你听得津津有味。
想象一下，咱们在考试的时候，总会遇到一些难题，有的就像个硬骨头，让人捉襟见肘，真想在考场上大喊一声：“谁来帮帮我呀！”但别急，咱们可以用“截长补短法”来扭转局面，真的是一剂良药。
“截长补短法”听起来高大上，其实就是把长的地方给截短，把短的地方补上，简单吧？比如说，你的数学基础有点薄弱，那就把那些基本概念搞清楚，争取不掉链子。
想想看，连打个篮球都有“罚球”和“投篮”的区别，数学也是一样，得把基本功练扎实，才能在关键时刻不掉链子。
不然就像一个球员，老是投不中，心里那个郁闷啊，简直想找个地缝钻进去。
截长补短法不光是补基础，也能在解决问题的时候发挥大作用。
比如遇到一个复杂的应用题，你一看就头疼，没关系，咱们可以把这个题目拆开，像剥洋葱一样，一层一层的来。
先看看它问的是什么，再把已知条件一一列出来，最后一步一步地推理，就像玩拼图，拼好每一块，最终整个图案就清晰可见。
感觉很简单吧？不过要是你老是急着找答案，那可就大错特错了。
在学习的过程中，我们总会遇到这样那样的问题。
有些同学可能觉得：“哎呀，我数学真是个短板！”可是，真相是，没谁是全能的，谁都有自己的短处。
就像有些人唱歌特别好，但一提到篮球，可能就有点不行。
咱们的目标不是要做个全能选手，而是要学会利用自己的优势，来弥补那些短板。
比如数学特别好的人，可以帮助身边的小伙伴，大家一起进步，一起学习，谁说不能合作共赢呢？在这个过程中，别忘了多和老师、同学交流，抛出你的疑问，或者求助于别人，像一根筷子，单独的力量有限，双手合力，才能夹起更大的饭。
交流的过程也是成长的过程，搞清楚一个问题，跟别人讨论，收获的可不止是答案，还是更深的理解。
学数学，有时候不仅仅是要掌握公式，更要懂得它背后的逻辑，才能在考场上游刃有余，岂不是美滋滋？说到这里，大家肯定会问，截长补短法到底怎么在考试中用？嘿嘿，其实这就像备战一样，平时的练习是关键。
(完整版)几何模型截长补短模型
第三章截长补短模型截长补短如图①，若证明线段 AB CD EF 之间存在 EF=AB+CD 可以考虑截长补短法。
截长法：如图②，在 EF 上截取EG=AB 再证明 GF=C［即卩可。
补短法：如图③，延长 AB 至H 点，使BH=CD 再证明AH=EF 即卩可。
B © 模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等 于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
该类题目中常出现等腰 三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
模型实例例1.如图，已知在^ ABC 中,/ C=2/ B, AD 平分/ BAC 交BC 于点D 。
求证：AB=AC+CD例2.如图，已知 OD 平分/ AOB DCL OA 于点C,/ A=/ GBD 求证：AO+BO=2CO.1 HB热搜精练1.如图，在△ ABC中，/ BAC=60 , AD是/ BAC的平分线，且AC=AB+BD 求/ ABC勺度数。
C2 .如图，在△ ABC中，/ ABC=60 , AD CE分别平分/ BAG / ACB 求证：AC=AE+C 。
CD3 .如图，/ ABCf BCD=180 , BE CE分别平分/ ABC / BCD 求证：AB+CD=B。
4 .如图，在△ ABC中，/ ABC=90 , AD平分/ BAC交BC于点D,/ C=30°, BE丄AD于点E。
求证：AC-AB=2BEC5 .如图，Rt△ ABC中, AC=BC AD平分/ BAC交BC于点D, CE!AD交AD于F 点，交AB于点E。
求证：AD=2DF+CE6 .如图，五边形ABCDEK AB=AC BC+DE=C,D/ B+/ E=18O°。
求证：AD平分/ CDEC E。
专题.截长补短
截长补短专题适用范围：证明线段的和、差、倍、分时，考虑截长补短。
截长：在长线段上截取一段等于一短线段，再证剩下的一段等于另一短线段。
补短：把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。
1.已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .方法一（截长法）在AB 上截取AF =AC ，在△AFD 与△ACD 中,∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD . 方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE .又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .2.如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC . （截长法）在CD 上截取CF =BC ，在△FCE 与△BCE 中， ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .3．求证直角三角形斜边的中线等于斜边的一半FDCB A 12EDCBA12ADBCEF12344.在三角形ABC中。
BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线。
BE+CD=BC.求∠A度数。
截长补短模型专题解读
截长补短模型专题解读【专题说明】“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“a＋b ＝c”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
【方法技巧】常见类型及常规解题思路：① a b c ±= 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
② a b kc ±= 可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30o 的直角三角形等。
截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法常规辅助线：（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起【典例分析】【典例1】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠B ＝2∠C ，求证：AB +BD ＝AC ． 截长法：在AC 上截取AE ＝AB ，连接DE ，证明CE ＝BD 即可．补短法：延长AB 至点F ，使AF ＝AC ，连接DF ，证明BF ＝BD 即可．请结合右边的证明结论．求证：AB +BD ＝AC ．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【解答】证明：【截长法】在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．证明：【补短法】延长AB到F，使BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【变式1】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．【解答】证明：在AF上截取FG＝DF，连接CG，则DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【变式2】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB ＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【解答】证明：在DA上截取DE＝DB，连接BE，如下图所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD为等边三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A 作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，连接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥P A，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周长是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE ⊥DC于点E．（1）当α＝90°时，①求证：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【解答】（1）①证明：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四边形BDEF为矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BF A＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四边形BDEF为矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S△ABC＝＝；（2）证明：过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【变式5】【问题背景】如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC的中点时，AE＝EF．【初步探索】（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E 的坐标．【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中点，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BH＝BE，连接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S△AHE＝AH•BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．【典例2】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，∠A＝45°．（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC为等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为．【解答】解：如图，在BF上截取HF＝AF，连接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案为：2+4．【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．【解答】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠F AC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠F AC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝AD，点E为CD延长线上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，CF交AD于点H，过点D作DN⊥AE于点N，连接DF．（1）在不添加辅助线的情况下，找出一个与△CDH相似的三角形，并证明；（2）求证：FD＝2DN；（3）求证：CF＝AF+2FD．【解答】（1）解：选择△AFH，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，∴∠AFH＝∠CDH，∵∠AHF＝∠CHD，∴△AFH∽△CDH；（2）证明：连接AC，∵△AFH∽△CDH，∴，∴，∵∠FHD＝∠AHC，∴△FHD∽△AHC，∴∠DFC＝∠DAC，∵AB＝CD＝AD，∴∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠DAC＝60°，∴∠DFN＝30°，∵DN⊥AE，∴∠DNF＝90°，∴FD＝2DN；（3）证明：在线段FC上截取FO，使FO＝AF，连接AO，∵∠AFO＝90°，∴F AO＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠F AD＝∠OAC，∵，∴△F AD∽△OAC，∴，∴OC＝2FD，∴CF＝FO+OC＝AF+2FD，∴CF＝AF+2FD．【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．①求证：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【变式6】【问题探究】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD ＝3，求CD的长．【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，如图①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，∴BD﹣CD＝AD，∴＝，∴是定值；（3）在CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AF⊥CD 于F，如图③所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，∴∠ACE＝∠ABD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．。
截长补短法
Ｃ
一分为二，使其中的一条线段等于已知
的两条较短线段中的一条，然后证明其
ＡＦ
Ｂ中在的A另B一上段截与取已知一的段另A一FA条等C线于段A相C等或者等于
全等三角形之巧添辅助线——截长补 短法
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别
平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，
求证：ＥAB＝ＤAC＋B截D。长法
Ｃ
（1）在AB上截取AF=AC，连接EF
得到△ACE≌△AFE
Ａ Ｆ Ｂ （2）证明BD=BF，即要证△BFE≌
因此要证∠BFE=∠D或者∠FEB=
全等三角形之巧添辅助线——截长补 短法
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别
平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，
求证：ＥAB＝Ｄ证A明C∵：＋AEEB在B平平AD分分B上∠∠。DC截ABBA取，AF而∠=AACF，E+∠连B接FEE=F180
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
专题：全等三角形之巧添辅助线—
截长补短线法段和差处理技巧
截长补短法：是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法， 也是把几何题化难为
易的一种思想． （1）截长法：就是将三者中最长的那条线段一分为二，使 其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证 明其中的另一段与已知的另一条线段相等。 （2） 补短法：一般有两种方式—— 一种是将某短线段延
全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全学习资料
全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的 一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目典型例题精讲【例1】 如图，在 ABC 中， BAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ，求 ABC 的度 数.【解析】法一：如图所示，延长 AB 至E 使BE BD ，连接ED 、EC .由 AC AB BD 知 AE AC ,而 BAC 60，则AEC 为等边三角形.注意到 EADCAD , ADAD :,AE AC ,故AED 也 ACD .从而有DE DC , DEC DCE故 BED BDEDCEDEC 2 DEC .所以 DECDCE 20 ,ABCBECBCE 6020 80 法二：在AC 上取点 E ，使得 AE AB ，则由题意可知CE BD .在ABD 和AED 中，AB AE , BADEAD , AD AD ,则ABD 也AED ，从而BD DE ,进而有 DE CE , ECD EDC ,AED ECD EDC 2 ECD .注意到 ABD AED ，则:ABCACB1 ABC -23ABC — ABC2180BAC 120 ,故 ABC 80【例2】已知ABC中， A 60 , BD、CE分别平分ABC和.ACB, BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明. 【解析】BE CD BC ,理由是: :在BC上截取BF BE，连结OF ,利用SAS证得BEO也BFO , / -1 2,•/ A60 ,•BOC190 -2A 120 ,• DOE 120 ,••• A DOE180 , • AEO ADO 180 ,••• 1 3 180••• 2 4 180 1 2, • 3 4,利用AAS证得CDO 也CFO , • CD CF ,•BC BF CF BE CD .【答案】见解析.分别是/ BAC、/ ABC的角平分线，求证：BQ AQ AB BP .【例3】如图，已知在厶ABC内, BAC 60 ,40 , P、Q分别在BC、CA 上，并且AP、BQ【解析】延长AB至D，使BD BP，连DP.在等腰ABPD中，可得BDP 40 ,从而BDP 40 ACP ,△ADP ^△ACP (ASA ),故AD AC又QBC 40 QCB，故BQ QC , BD BP. 从而BQ AQAB BP.【答案】见解析.【解析】延长BA至F，使BF BC，连FD△BDF ^△BDC ( SAS),故DFB DCB , FD DC又AD CD，故在等腰ABFD中，DFB DAF故有BAD BCD 180Q【例4】如图，在四边形ABCD 中，BC BA , AD CD , BD 平分/ ABC，求证: C 180 .AC证：MN MB NC .【解析】延长NC 至E ，使得CE MBDBM 也 DCE .•••DE DM , 1 2.又•1 NDC 60 , • 2+ NDCEND 60在 MDN 与EDN 中，ND ND, MDNEDN60 , DEDMMND 也 END• MN EN NC MB【答案】见解析.••• BDC 是等腰三角形，且BDC 120 , •DBC ••• ABC 是等边三角形.• ABC ACB BAC 60• MBDABCDBCACB DCBDCN在DBM 和DCE 中，BDDC ,MB CEDCB 30DCE 90【例6】如图在△ ABC 中，AB AC , P 为AD 上任意一点， D求证： AB AC PB PC .C【解析】延长AC至F，使AF AB，连PD△ABP^△AFP (SAS)故BP PF由三角形性质知PB PC PF PC < CF AF AC AB AC【答案】见解析.【例7】如图，四边形ABCD中，AB// DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上.求证：BC AB DC .A【解析】在BC上截取BF AB，连接EF••BE 平分/ABC ,A ABE FBE又••• BE BE ‘•••△ABE 也/E BE (SAS), /• A BFE .TAB//CD, • A D 180•BFE CFE 180 , • D CFE又• DCE FCE , CE 平分/ BCD, CE CE z.ZDCE 也E CE (AAS ) , • CD CF• BC BF CF AB CD【例8】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与/ ABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DM MN •在AD上截取AG AM ,•••DG MB ,•••/ AGM 45•••/DGM / MBN 135，•/ ADM / NMB ,• DGM 也MBN , • DM MN .【答案】见解析.见解析.证：AE BC CE .AB AD , AD丄CD , AB丄BM , BM DFABM也ADFAFD AMB , DAF BAMAB// CDAFD BAF EAF BAE BAE BAMAMB EAM , AE EM BE BM BE DF，使得BM DF，连接AM •EAM【例9】已知：如图, ABCD是正方形，FAD FAE ,求证: BE DF AE .【解析】延长CB至M【例10】如图所示, 已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE 2 DAM .求B C【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1) 通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等.(2) 通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等•我们用(1)法来证明.【答案】延长AB到F，使BF CE，则由正方形性质知AF AB BF BC CEF面我们利用全等三角形来证明AE AF •为此，连接EF交边BC于G •由于对顶角BGF CGE，所以Rt A BGF 也CGE AAS ,1从而BG GC - BC, FG EG , BG DM2于是Rt A ABG 也Rt A ADM SAS ,1所以BAG DAM BAE EAG , AG 是2【解析】延长DE至F，使得EF BC ,连接AC.-ABC AED180 , AEF AED 180 , / • ABC AEFAB AE,BC EF ,•••△\BC也zAEF •• EF BC,AC AFBC DE CD , • CD DE EF DF•••公DC 也zADF ,••• ADC ADF即AD平分/CDE.EAF的平分线【例11】五边形ABCDE中，AB AE , BC DE CD , ABC AED 180，求证：AD 平分/ CDE •HDMEC【例12】若P 为 ABC 所在平面上一点，且 APB BPC CPA 120，则点P 叫做 ABC 的费马点.(1) 若点P 为锐角 ABC 的费马点，且 ABC 60 , PA 3 , PC 4，则PB 的值为 _________________ (2) 如图，在锐角 ABC 外侧作等边 ACB',连结BB'. 求证：BB'过 ABC 的费马点 P ，且BB ' PA PB PC .【解析】(2)证明：在 BB '上取点P ，使 BPC 120 , 连结AP ，再在PB'上截取PE PC ，连结CE .•/ BPC 120 , ••• EPC 60 , ••• PCE 为正三角形， ••• PC CE , PCE 60 , CEB ' 120 ,•/ ACB '为正三角形， • AC B C , ACB ' 60 , • PCAACE ACE ECB ' 60 , • PCA ECB ',• ACP 也 B'CE , • APC B'CE 120 , PA EB', • APB APC BPC 120 , • P 为ABC 的费马点， • BB'过 ABC 的费马点P , 且 BB ' EB ' PB PE PA PB PC .【答案】见解析.2.3课后复习【作业1】已知，AD平分/ BAC, AC AB BD【解析】延长AB至点E,使AE AC，连接DEAD 平分/ BAC, ••• EAD CADAE AC , AD AD ,•公ED也△CD(SAS), E CAC AB BD , • AE AB BDAE AB BE , • BD BE, …BDE-ABC E BDE ,• ABC 2 E , • ABC2 C .【答案】见解析.【作业2】如图，△ ABC中，AB2AC , AD 平分/ BAC，且AD BD，求证：CD丄AC .C【解析】在AB上取中点F,连接FD .则△ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DF 丄AB,故AFD 90△ADF ^△ADC ( SAS)ACD AFD 90 ，即：CD丄AC【答案】见解析.【作业3】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.【解析】如图所示，延长AC到E使CE BM .在BDM与CDE中，因为BD CD , MBD ECD90 , BM CE ,所以BDM羞? CDE , 故MD ED.因为BDC -120 , MDN60°，所以BDM NDC60 .又因为BDM CDE，所以MDN EDN60在MND与END中，DN DN , MDN EDN60,DM DE , 所以MND也END , 则NE MN，所以AMN的周长为2.【答案】见解析.【作业4】已知：AC平分/ BAD, CE丄AB, B D 180，求证：AE AD BE.【解析】在AE上取F，使EF EB，连接CF••CE 丄AB二CEB CEF 90•EB EF , CE CE ,/•JCEB ^/CEF••• B CFE•B+ D 180 , CFE CFA 180• D CFA••AC 平分/BAD•DAC FAC•/ AC AC•△DC 也/FC (SAS)•AD AF•AE AF FE AD BE【答案】见解析.。
人教版八年级常见辅助线：截长补短专题
罕有的帮助线作法（截长补短）
截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,使之与特定线段相等,再应用三角形全等的有关性质加以解释.这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题.
思虑：碰到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般办法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证实剩下部分等于另一条;
补短：将一条短线段延伸,延伸部分等于另一条短线段,然后证实新线段等于长线段.
例1.已知：如图,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
（分离用截长补短两种办法证实）
例2.已知：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠ABE=∠CBE,CE⊥BD的延伸线于E.求证：BD=2CE.
例3.如图,△ABC中,AM是BC边上的中线,求证：
例4.如图①所示,OP是∠MON的等分线,请你应用该图形画一对以OP地点直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD.CE分离是∠BAC.∠BCA的等分线,AD.CE订交于点F．请你断定并写出FE 与FD之间的数目关系;
(2)如图③,在△ABC中,假如∠ACB不是直角,而(1)中的其他前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证实;
若不成立,请解释来由．。
(完整版)截长补短类辅助线作法
截长补短类辅助线作法•“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段的数量关系；“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的长度相等，然后证明延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．•注：1、截长补短类辅助线解决的一般是三条线段之间的数量关系问题，特别要注意线段前系数不是“1”的时候，一般会涉及到含特殊角的直角三角形2、具体在利用截长或者补短构造辅助线时要结合题目条件选择恰当的方法，并不是所有题目截长和补短都可以例题精讲1、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．2、已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？3、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．4、（2014初二上期末昌平区）如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且．（1）求证：；（2）如果，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明．5、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．6、如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且．求证：．7、五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．8、如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：9、(2012初二上期中中关村中学)如图1所示：，AE、DE分别平分和，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：____ _____.（2）试证明你的猜想.（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程.10、（2012初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC中，，，，求证：．（2）如图，四边形ABCD中，，，P为四边形ABCD内一点，且，求证：．11、（2009山东临沂中考）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．12、（2013中考朝阳二模）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得，连接AG．（1）如图1，当EF与AB相交时，若，求证：；（2）如图2，当EF与AB相交时，若，请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF与CD相交时，且，请你写出线段EG、AG、BG 之间的数量关系，并证明你的结论．13、（2015初二上期末昌平区）为等腰直角三角形,,点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，（1）如图1，作于，求证：；（2）在图1中，连接交于，求的值；（3）如图2，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接.当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由.随堂练习1、已知等腰，，的平分线交于，则．2、已知：如图，是正方形，，求证：．3、（2015中考顺义一模）如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．（1）如图1，若，点P恰巧在∠ABC的平分线上，，求PB的长；（2）如图2，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．课后作业1、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：．2、（2013黑龙江龙东地区中考）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O 是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．3、（2015中考海淀一模）在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：_____________________________．4、（2014黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、黑河中考）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE 与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．。
(完整版)经典截长补短法巧解
截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法.通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法:（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
……补短法（1）延长短边。
(2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……例:B A在正方形ABCD中,DE=DF，DG⊥CE,交CA 于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）B A方法二（好证不好想)MB A例题不详解.（第2页题目答案见第3、4页）FE（1）正方形ABCD中,点E在CD上，点F在BC 上，∠EAF=45o.求证：EF=DE+BF(1）变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系? (1）变形b正方形ABCD中,点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o.请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1)变形cD正三角形ABC中,E在AB上，F在AC上∠EDF=45o。
DB=DC，∠BDC=120o。
请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？（1）变形dFE正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC 上,∠EAD=15o，∠FAB=30o。
AD=3求∆AEF的面积(完整版)经典截长补短法巧解（1)解：（简单思路）FE延长CD到点G，使得DG=BF,连接AG.由四边形ABCD是正方形得∠ADG=∠ABF=90oAD=AB又DG=BF所以∆ADG≅∆ABF（SAS）∠GAD=∠FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得∠DAB=90o=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF所以∠GAE=∠GAF-∠EAF=90o-45o=45o∠GAE=∠FAE=45o又AG=AFAE=AE所以∆EAG≅∆EAF（SAS)EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路)EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF,连接AG。
专题02 辅助线之截长补短
几何专题02 辅助线之截长补短一、 知识导航截长：在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证明剩下的线段长度与另一短边相等。
例：如图，在AB 上截取AD AC=补短：通过延长或是旋转等方式使两短边拼接在一起，然后证明与长边相等。
例：延长AC 至点D ，使得AD AB=二、 典型例题题型一 截长补短证明线段（角）和差关系例1 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AB BD AC +=．【分析】要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，此时有截长和补短两种方法。
截长法：如图1，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD CE =即可，这就将证明线段和差问题AB BD AC +=转化为证明线段相等问题，只要证出ABD AED ∆≅∆，得出B AED Ð=Ð及BD DE =，再证出EDC C Ð=Ð，进而得出ED EC =，则结论成立．补短法：如图2，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证F C Ð=Ð，再证出ADF ADC ∆≅∆，则结论成立．【证明】截长法：如图1，在AC 上截取AE AB =，连接DE ∵AD 平分BAC Ð∴BAD DAC Ð=Ð在ABD ∆和AED ∆中AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î∴ABD AED ∆≅∆（SAS ）∴B AED Ð=Ð，BD=DED CBA图1E ABCD∵2B C Ð=Ð∴2AED CÐ=Ð而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð∴EDC C Ð=Ð∴DE=CE∴AB+BD=AE+CE=AC补短法：如图2，延长AB 至点F ，使得BF BD =，连接DF ∴F BDFÐ=Ð∴2ABD F BDF F Ð=Ð+Ð=Ð∴2ABD C Ð=Ð∴F C Ð=Ð在AFD ∆和ACD ∆中FAD CAD F C AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴AFD ACD ∆≅∆（AAS ）∴AC=AF∴AC=AB+BF=AB+BD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．本题采用截长和补短两种方式都可以简化难度，但是并不代表所有的题采用两种辅助线方式会同样简化难度哟，这个得根据具体的题目选择合适的方式。
人教版八年级上数学截长补短专题
ADBCE图2-1截长补短法人教八年级上册课本中;在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质;这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法;在无法进行直接证明的情形下;利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知;如图1-1;在四边形ABCD 中;BC ＞AB ;AD =DC ;BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°;因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角;图中缺少全等的三角形;因而解题的关键在于构造直角三角形;可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ;作DF ⊥BC 于点F ;如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ;∴DE =DF ;在Rt △ADE 与Rt △CDF 中;∴Rt △ADE ≌Rt △CDFHL ;∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°;∴∠BAD +∠DCF =180°;即∠BAD +∠BCD =180°例2.如图2-1;AD ∥BC ;点E 在线段AB 上;∠ADE =∠CDE ;∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .ABCD图1-1FEDCBA图1-2分析：结论是CD =AD +BC ;可考虑用“截长补短法”中的“截长”;即在CD 上截取CF =CB ;只要再证DF =DA 即可;这就转化为证明两线段相等的问题;从而达到简化问题的目的.证明：在CD 上截取CF =BC ;如图2-2 在△FCE 与△BCE 中;∴△FCE ≌△BCESAS ;∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ;∴∠ADC +∠BCD =180°;∴∠DCE +∠CDE =90°; ∴∠2+∠3=90°;∠1+∠4=90°;∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中;∴△FDE ≌△ADEASA ;∴DF =DA ; ∵CD =DF +CF ;∴CD =AD +BC .例3.已知;如图3-1;∠1=∠2;P 为BN 上一点;且PD ⊥BC 于点D ;AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似;证两个角的和是180°;可把它们移到一起;让它们是邻补角;即证明∠BCP =∠EAP ;因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ;如图3-2 ∵∠1=∠2;且PD ⊥BC ;∴PE =PD ; 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中;ADBCEF1234图2-2ABCDP12N图3-1⎩⎨⎧==BPBP PDPE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPDHL ;∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ;∴AB +BD +DC =BD +BE ;∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中;∴Rt △APE ≌Rt △CPD SAS;∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°;∴∠BAP +∠BCP =180° 例4. 已知：如图4-1;在△ABC 中;∠C ＝2∠B ;∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析;“截长”或“补短”都可实现问题的转化;即延长AC 至E 使CE =CD ;或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一补短法延长AC 到E ;使DC =CE ;则∠CDE ＝∠CED ;如图4-2 ∴∠ACB ＝2∠E ;∵∠ACB ＝2∠B ;∴∠B ＝∠E ; 在△ABD 与△AED 中;∴△ABD ≌△AEDAAS ;∴AB =AE .P12NABCDE 图3-2DCB A 12图4-1EDCB A 12图4-2又AE =AC+CE =AC +DC ;∴AB =AC +DC . 方法二截长法在AB 上截取AF =AC ;如图4-3 在△AFD 与△ACD 中;∴△AFD ≌△ACDSAS ;∴DF =DC ;∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ;∴∠FDB ＝∠B ;∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ;∴AB =AC +CD .上述两种方法在实际应用中;时常是互为补充;但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析..让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助..FDCB A 12图4-3。
截长补短法
全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．典型例题精讲【例1】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数．【解析】法一：如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC ．由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=︒，则AEC ∆为等边三角形． 注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠， 故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=︒，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒. 法二：在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =. 在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =， 则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =， 进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠.注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=︒-∠=︒，故80ABC ∠=︒.【答案】见解析．【例2】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=︒+∠=︒，∴120DOE ∠=︒，∴180A DOE ∠+∠=︒，∴180AEO ADO ∠+∠=︒， ∴13180∠+∠=︒，∵24180∠+∠=︒，∴12∠=∠，∴34∠=∠， 利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =， ∴BC BF CF BE CD =+=+．【答案】见解析．【例3】 如图，已知在△ABC 内，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ AQ AB BP +=+．DOECB A4321FDOE CB A【解析】延长AB 至D ，使BD BP =，连DP ．在等腰△BPD 中，可得40BDP ∠=︒， 从而40BDP ACP ∠=︒=∠， △ADP ≌△ACP （ASA ），故AD AC =又40QBC QCB ∠=︒=∠，故 BQ QC =，BD BP =． 从而BQ AQ AB BP +=+．【答案】见解析．【例4】 如图，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD CD =，BD 平分∠ABC ，求证：180A C ∠+∠=︒．【解析】延长BA 至F ，使BF BC =，连FD△BDF ≌△BDC （SAS ）， 故DFB DCB ∠=∠，FD DC =又AD CD =，故在等腰△BFD 中，D FB D AF ∠=∠ 故有180BAD BCD ∠+∠=︒【答案】见解析．QPCBACDBA【例5】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD DC =，120BDC ∠=︒，60MDN ∠=︒，求证：MN MB NC =+．【解析】延长NC 至E ，使得CE MB =∵ BDC ∆是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，∴30DBC DCB ∠=∠=︒ ∵ ABC ∆是等边三角形． ∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒∴90MBD ABC DBC ACB DCB DCN DCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠=︒ 在DBM ∆和DCE ∆中，BD DC =，MB CE =， ∴ DBM DCE ∆∆≌. ∴D E D M =, 12∠=∠.又∵ 160NDC ∠+∠=︒，∴ 2+60NDC END ∠∠=∠=︒. 在MDN ∆与EDN ∆中，ND ND =，60MDN EDN ∠=∠=︒，D E D M =∴ MND END ∆∆≌ ∴ MN EN NC MB ==+【答案】见解析．【例6】 如图在△ABC 中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点，求证：AB AC PB PC ->-．1BMNM CBA21EABCMN【解析】延长AC至F，使AF AB=，连PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP PF=由三角形性质知<PB PC PF PC CF AF AC AB AC-=-=-=-【答案】见解析．【例7】如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：BC AB DC=+．【解析】在BC上截取BF AB=，连接EF∵BE平分∠ABC，∴ABE FBE∠=∠又∵BE BE=，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴A BFE∠=∠．∵AB//CD，∴180A D∠+∠=︒∵180BFE CFE∠+∠=︒，∴D CFE∠=∠又∵DCE FCE∠=∠，CE平分∠BCD，CE CE=∴△DCE≌△FCE（AAS），∴CD CF=∴BC BF CF AB CD=+=+【答案】见解析．DE CBA【例8】 如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【解析】猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =︒∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【答案】见解析．【例9】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠，求证：BE DF AE +=．【解析】延长CB 至M ，使得BM D F =，连接AM .∵AB AD =，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM D F = ∴ABM ADF ∆∆≌∴AFD AM B ∠=∠，DAF BAM ∠=∠ ∵AB CD ∥∴AFD BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴AM B EAM ∠=∠，AE EM BE BM BE DF ==+=+【答案】见解析．【例10】 如图所示，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且2BAE DAM ∠=∠．求证：AE BC CE =+．NCDEB M A NCDEB M A FE DCBAM F EDCB A【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等．我们用(1)法来证明．【答案】延长AB 到F ，使BF CE =，则由正方形性质知AF AB BF BC CE =+=+下面我们利用全等三角形来证明AE AF =．为此，连接EF 交边BC 于G ．由于对顶角BGF CGE ∠=∠，所以()Rt ΔBGF CGE AAS ∆≌，从而12BG GC BC FG EG ===，，BG DM =于是()Rt ΔRt ΔABG ADM SAS ≌，所以12BAG DAM BAE EAG ∠=∠=∠=∠，AG 是EAF ∠的平分线【例11】 五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒，求证：AD 平分∠CDE ．【解析】延长DE 至F ，使得EF BC =，连接AC .∵180ABC AED ∠+∠=︒，180AEF AED ∠+∠=︒，∴ABC AEF ∠=∠ ∵AB AE =，BC EF =，∴△ABC ≌△AEF ． ∴EF BC =，AC AF =∵BC DE CD +=，∴CD DE EF DF =+=M EDCBAFCEDB A∴△ADC ≌△ADF ，∴ADC ADF ∠=∠ 即AD 平分∠CDE .【答案】见解析．【例12】 若P 为ABC ∆所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则点P 叫做ABC ∆的费马点．（1）若点P 为锐角ABC ∆的费马点，且60ABC ∠=︒，34PA PC ==，，则PB 的值为_____；（2）如图，在锐角ABC ∆外侧作等边ACB ∆′，连结BB ′．求证：BB ′过ABC ∆的费马点P ，且BB PA PB PC =++′．【解析】（1）（2）证明：在BB ′上取点P ，使120BPC ∠=︒，连结AP ，再在PB ′上截取PE PC =，连结CE ． ∵120BPC ∠=︒，∴60EPC ∠=︒，∴PCE ∆为正三角形，∴PC CE =，60PCE ∠=︒，120CEB ∠=︒′， ∵ACB ∆′为正三角形，∴AC B C =′，60ACB ∠=︒′， ∴60PCA ACE ACE ECB ∠+∠=∠+∠=︒′，∴PCA ECB ∠=∠′， ∴ACP B CE ∆∆≌′，∴120APC B CE ∠=∠=︒′，PA EB =′，∴120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒， ∴P 为ABC ∆的费马点， ∴BB ′过ABC ∆的费马点，且BB EB PB PE PA PB PC =++=++′′． 【答案】见解析．ABDEFC B'BAP EPABB'课后复习【作业1】已知，AD 平分∠BAC ，AC AB BD =+，求证：2B C ∠=∠．【解析】延长AB 至点E ，使AE AC =，连接DE∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠ ∵AE AC =，AD AD =，∴△AED ≌△ACD （SAS ），∴E C ∠=∠ ∵AC AB BD =+，∴AE AB BD =+∵AE AB BE =+，∴BD BE =，∴BDE E ∠=∠ ∵ABC E BDE ∠=∠+∠，∴2ABC E ∠=∠，∴2ABC C ∠=∠．【答案】见解析．【作业2】如图，△ABC 中，2AB AC =，AD 平分∠BAC ，且AD BD =，求证：CD ⊥AC ．DCBAE CBADCDBA【解析】在AB 上取中点F ，连接FD ．则△ADB 是等腰三角形，F 是底AB 的中点，由三线合一知 DF ⊥AB ，故90AFD ∠=︒ △ADF ≌△ADC （SAS ）90ACD AFD ∠=∠=︒，即：CD ⊥AC【答案】见解析．【作业3】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【解析】如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=︒，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=︒，60MDN ∠= ，所以60BDM NDC ∠+∠=︒. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=︒.在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=︒，D M D E =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【答案】见解析．【作业4】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，180B D∠+∠=︒，求证：AE AD BE=+．【解析】在AE上取F，使EF EB=，连接CF∵CE⊥AB∴90CEB CEF∠=∠=︒∵EB EF=，CE CE=，∴△CEB≌△CEF∴B CFE∠=∠∵180B D∠∠=︒＋，180CFE CFA∠+∠=︒∴D CFA∠=∠∵AC平分∠BAD∴DAC FAC∠=∠∵AC AC=∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD AF=∴AE AF FE AD BE=+=+【答案】见解析．EDCBA11 / 11。
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选择第4题图
P
D
C
B
A
一、角平分线的性质
一．选择题填空（共10小题）
1．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ∠OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
2．到三角形的三边距离相等的点是（ ）
A ．三角形三条高的交点
B ．三角形三条内角平分线的交点
C ．三角形三条中线的交点
D ．三角形三条边的垂直平分线的交点 3．如图，AD 是∠ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（ ）
A ．BD ：CD
B ．AD ：CD
C ．BC ：A
D D ．BC ：AC 4．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝，PC ＝，AB ＝，AC ＝，则与的大小关系是（ ）
A 、＞
B 、＜
C 、＝
D 、无法确定
5．如图，在∠ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∠AC 交于点E ，DF ∠BC 于点F ，且BC=4，DE=2，则∠BCD 的面积是 ．
7．如图所示，在∠ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，AD=2cm ，AB+BC=8，S ∠ABC = ．
7．如图4，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。
8．如图所示，已知∠ABC 和∠DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论中：①AE=BD ；②AG=BF ；③FG ∠BE ；④∠BOA=60度，（5）、△AGC ≌△BFC ，（6）△DFC ≌△EGC ，（7）CO 平分∠BOE 正确的是 ．
二、截长、补短法的专题
例1、 如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，
求证：AB ＝AC ＋CD ．
m n c b )(n m +)(c b +n m +c b +n m +c b +n m +c b +
例2：已知AD ⊥AB,BC ⊥AB,E 是AB 的中点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD. 求证：AD+BC=CD
例3：已知AB ∥CD, ∠1=∠2, ∠3=∠4 求证：BC=AB+CD
例4：已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD,CE ⊥AB 于点E 且∠B+∠D=180. 求证：AE=AD+BE.
例5：正方形ABCD,的边CD 的中点，点F 在BC 上且∠DAE=∠FAE, 求证：AF=AD+CF.。