定义新运算
小学数学定义新运算
小学数学定义新运算一.什么是定义新运算我们已经学过了加、减、乘、除运算。
在有些情况下，常把「有多步含加、减、乘、除的运算」用某种新的符号表示，这就是定义了新的运算。
见到了这种用新的符号所定义的运算后，就按它所规定的「运算程序」进行运算，直到得出最后结果。
例如，设A、B表示自然数，如果定义符号「※」表示的运算如下：A※B＝3×A+4×B那么，根据新运算「※」的定义，就可以计算6※7如下：6※7＝3×6+4×7＝46。
如果定义符号「※」表示的运算为：A※B＝A÷B×2+3×A-2，那么，按此定义去计算4※2的话，就有：4※2＝4÷2×2+3×4-2＝2×2＋12－2＝14。
二.定义新运算需要注意的几个问题按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，如上面举例中的运算符号「※」所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算。
需要注意的是：（1）有括号时，应当先算括号里的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。
（3）上面例举中所定义的运算使用了符号「※」来定义，但并不是说只有「※」才是规定运算的符号，可能用△，＃，…等符号。
符号的种类是次要的，符号所定义的运算按照怎样的程序来进行才是主要的。
三．典型例题例1设a，b表示整数(包括0)，规定「*」的运算为a*b＝a÷b×2+3×a-b，计算：169*13。
分析与解答动手算之前，先让我们弄清「*」是怎么一种运算程序，按规定，a*b的值是用a除以b，把商数乘2之后，再加上a的3倍，最后减去b，这些运算有两个特点：(1)各步运算都是大家熟悉的四则运算；(2)各步运算的先后次序要按规定的顺序办。
那么，根据「*」的规定，我们可以计算得到：169*13＝169÷13×2+3×169-13＝520。
奥数第四讲定义新运算
奥数第四讲定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。
它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+ -、x、卞、>、V”等。
表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如b=3a-3b,新运算使用的符号是☆, 而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。
如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。
、例题与方法指导例1、设ab都表示数，规定a^ b表示a的4倍减去b的3倍，即a A b=4X a-3 >b, 试计算5A6，6A5。
解5A6=5X4-6 X=20-18=26A 5=6X4-5 X=24-15=9说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。
例2、对于两个数a、b,规定a^b表示3X a+2X b,试计算(5^6)^7,5^( 6^7)。
思路导航：先做括号内的运算。
解：(5^6) ☆ 7= (5X3+6X2) ☆ 7=27^ 7=27X3+7X2=955^ (6^7) =5^ (6X3+7X2) =5^32=5X3+32X2=79说明本题定义的运算不满足结合律。
这是与常规的运算有区别的。
例3、已知2A3=2X3X4，4A2=4X5, 一般地，对自然数a、b，a A b表示a X (a+1) X (a+b-1).计算(6A3) - (5A2)。
思路导航:原式=6X7--5 6=336-30规定：a A =a+(a+1)+(a+2)+ …+ (a+b-1),其中a,b表示自然数。
例4、已知3=1+2+3=6，求100 的值。
已知x△ 10=75，求x.思路导航：(1)原式=1+2+3+…+100= (1+100) 600吃=5050(2)原式即x+(x+1)+(x+2)+ •••+(X+9) =75,所以：10X+(1+2+3■…+9)=7510x+45=7510x=30x=3例5、定义运算：a© b=3a+5ab+kb,其中a, b为任意两个数，k为常数。
定义新运算
定义新运算
定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。
在定义新运算中的※，〇，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。
解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。
1、定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求（3△4）（25△13）7△（53△27）的值。
2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，8※10的值。
②求12※（3※4），（12※3）※4的值。
3、若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7 3*（8*6）的值。
4、对于两个不相等的自然数，定义运算a #b ，表示将a、b 中较大的数除以较小的数，结果取其余数。
比如9#5=9÷5余数是4，所以9#5=4，6#18=18÷6余数是0所以6#18=0。
求①76#12 35#145的值。
②如果x#13＝3，且x＜20，那么x 等于多少？
5、如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333请计算4※7 6 ※5 3※（2※4）
6、规定a△b=3×a-2×b ①求9△11 55△40的值。
②已知4△b=2 求b
7、我规定：7☆5=7×7-5×5，①求10☆7 20☆9
②如果A☆4=84，那么A得多少？
我定义，我做主。
定义新运算
定义新运算新运算是一种数学运算方式，通过对数字进行特定的计算规则和操作，得到一个新的数字结果。
下面将介绍新运算以及它的特点和应用。
新运算的定义：新运算是一种基于数字的运算方式，其计算规则和操作不同于传统的四则运算。
它通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
新运算的特点：1. 创新性：新运算采用了全新的计算规则和操作方式，与传统的四则运算不同，具有很高的创新性和独特性。
2. 多样性：新运算具有多种不同的运算规则和操作方式，可以根据需要进行选择和应用，适用于各种不同的计算问题。
3. 灵活性：新运算的计算规则和操作可以根据具体需求进行调整和扩展，具有很高的灵活性和可定制性。
4. 应用广泛：新运算可以在各个领域和行业中应用，如科学研究、工程设计、数据分析等，能够解决各种复杂的计算问题。
新运算的应用：1. 科学研究：新运算可以应用于物理学、化学、生物学等领域的科学研究中，可以处理大量的实验数据，分析数据间的关联和规律。
2. 工程设计：新运算可以用于工程设计中的优化问题，通过对不同参数的组合和变换，找到最优解决方案。
3. 数据分析：新运算可以应用于大数据分析中，通过对庞大的数据集进行排列和组合，发现数据中的隐藏规律和趋势。
4. 金融领域：新运算可以应用于金融领域中的风险管理和投资决策，通过对市场数据的分析和计算，提供决策支持和风险评估。
总之，新运算是一种具有创新性和独特性的数学运算方式，通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
它具有多样性、灵活性和广泛的应用领域，在科学研究、工程设计、数据分析和金融领域等方面都具有重要的应用价值。
定义新运算
定义新运算知识要点基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
例题讲解模块一、直接运算型1、若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
2、“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a ×c ＋b ×d (其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。
如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。
3、对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。
4、对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝m a b 2a b⨯⨯⨯＋（m 是一个确定的整数）。
如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。
5、[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:([18][22])[7]+÷= .6、如果规定a ※b =13×a -b ÷8，那么17※24的最后结果是______。
7、“*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。
8、一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗 规定：警察小偷=警察，警察小偷=小偷． 那么：（猎人小兔）（山羊白菜）= ．模块二、反解未知数型9、如果a△b表示(2)a b-⨯,例如3△4(32)44=-⨯=,那么,当a△5=30时, a= .10、规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .11、如果a⊙b表示32a b-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=12、对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
小升初定义新运算
第一讲定义新运算【知识精讲】1、基本概念：定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表达一种新的运算，这个新的运算符号包含很多种基本运算。
1、基本类型：①直接运算型；②反解未知型；③观察规律型；④其他类型综合2、解题须知：①解决此类问题：关键是正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，讲数值带入算式，再把它化为一般的四则运算，最后进行计算。
②定义新运算是一种特别设计的算式形式，它使特殊的运算符号，与四则运算中的加、减、乘、除符号是不一样的。
如：☉、¤、※、△、▽、◇、☆等来表示的一种运算。
③定义新运算中，同一运算符号，应从左至右一次计算；若有括号，要先计算括号里面的。
【经典例题】例1(直接计算型）设 a、b 都表示两个不同的数，规定 a△b＝3×a＋2×b，表示 a 的 3 倍加上 b 的 2 倍的和.（1）求 4△3 的值。
（2）求 3△4 的值。
例2（直接计算型）设 m、n 都表示两个不同的数，规定 m▽n＝(m＋2n)÷2. （1）求 4▽8▽3 的值；（2）求 12▽(4▽6)的值。
例3（复合型）设a、b都表示两个不同的数，定义：a△b=ab-3b；a◇b=4a-b÷a。
（1）求4△5◇1的值（2）求（4△3）△（2◇6）例4（反解未知数）规定运算“*”及“&”如下：a*b=2ab，a&b=2a+b。
当2*（4&2）+5*x+3&x=57，求x的值例5（观察规律型）已知：2*3=7,5*3=13,4*5=13,7*9=23，……（1）求4*9的值（2）求7*11的值【课堂练习】1、对于任意的两个数p、q规定：q△p=(p+q)÷4。
例如：2△8=(2+8)÷4 。
已知x△(8△4) =6 ，求x的值？2、已知:3□2＝3×4，4□5＝4×5×6×7×8，4□3=4×5×6，按照此规律计算 6□4和3□5分别各是多少?3、设a、b都表示两个不同的数，规定：a▽b=a×b-(a+b)。
第一讲 定义新运算
五年级春季第一讲定义新运算对于＋、－、×、÷四则运算，我们已经熟知它们的运算规则和计算方法，还学会了四则混合运算，以及速算与巧算。
这一讲我们要学习一种新的运算，简称为定义新运算。
所谓定义新运算就是用一种新的符号来自主定义或规定一种运算规则，然后按照这一规则进行计算。
典例精讲例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3。
②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2， 17△（6△2）。
④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b。
【思路点拨】解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍。
【详细解答】例2 对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”“☉”：a☆b＝a＋b－1，a☉b＝a×b－1，计算4☉[（6☆8）☆（3☆5）]的值。
【思路点拨】这题是两种新运算的混合运算，首先要弄清楚每一种运算的运算规则，再确定运算顺序；在新运算中，也是按照先算括号内再算括号外的运算顺序进行计算，先将定义的新运算符号前后运算好后再进行新运算，计算时可以分步进行。
【详细解答】例3 定义x☉y＝a×x＋2×y，并且已知5☉6＝6☉5，求a是几？【思路点拨】先根据对新运算的定义，把等式5☉6＝6☉5转化成含有未知数的等式，然后，再求出未知数a的值。
【详细解答】例4 有一个数学运算符号“◎”使下列算式成立：2◎4＝8，5◎3＝13，3◎5＝11，9◎7＝25，求7◎3＝？【思路点拨】题目没有明确告知对新运算进行定义，该如何进行运算呢？我们可以通过对题目提供的算式进行观察、分析，找出规律，从而确定新运算的运算规则。
可以看出“◎”表示前面的数的2倍加上后一个数。
【详细解答】达标练习1.定义一种新的运算“△”，规定：a△b＝a×b＋a＋b。
5△8是多少？2.定义新运算“□”为x□y等于2xy－（x＋y）。
定义新运算
（1）5☆6 （2）6☆5 （3）2☆（3☆5） （4）（2☆3）☆5
3、规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：11*5
4、如果1=1！，1×2=2！，1×2×3=3！，…1×2×3×4×…×99×100=100！那么1！+2！+3！+4！+…+100！的个位数字是几？
【易错点总结】
新定义运算注意的问题:
(1)新定义运算一般不满足运算定律
如:a△b≠b△a a△(b△c) ≠(a△b) △c
(a*b) △c≠(a△c)*(b△c)
(2)“+”“-”“×”“÷”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.
【四、课堂练习】
1、规定a*b=4a-3b，计算：（1.5*0.8）*0.5
【例3】设A⊕B=2×（A+B）-2×（A÷B），计算：（1）（12⊕4）⊕13； （2）70⊕（18⊕4）。
【练ห้องสมุดไป่ตู้】
1、规定a⊙b=(a+b)÷(a-b)，按此规定计算:(1)21⊙5 (2)(18⊙9) ⊙2
2、设a#b=5a-2b，计算：（12.5#8）#19.72
【例4】小辉用电脑设计了A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A后面连接装置B，就写成A·B，输入1后，经过A·B输出了3.那么，输入9，经过A·B·C·D输出几?
例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。
定义新运算讲义
定义新运算定义1、定义新运算是指：用一个符号把字母连接在一起，表示一种新的运算。
注意：(1)做题的关键是要正确理解式子含义，按照式子的计算顺序，将数值代入式子中，转化为一般的四则运算，然后进行计算。
(2) 它通常使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、龟、△、♦、■等来表示的一种运算。
(3) 新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例1、对丁任意数a, b有a*b=axb-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12X4 -12-4=48-12-4=32练习一1,设a、b都表示数，规定：aOb=6x a— 2X b。
试计算3。
4。
例2、假设 a ★ b = ( a + b 士b。
求8 ★ 5。
分析与解：该题的运算顺序为：a ★ b等丁两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8, b代表数字5。
8 ★ 5 = (8 + 5) 士5 = 2.6练习二对丁两个数a与b,规定：a® b=ax b— ( a+ b)。
计算3® 5。
例3、如果aAb=aXb-(a+b。
求6A (9A2)。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。
括号里的部分已经构成了新运算，其运算结果乂与括号外的部分构成新运算。
本题要运用新运算的关系，计算两次。
6A (9A 2)=6A [9 X 2- (9+2)] =6A 7=42-13=29练习三1、规定aAb=axb- (a+ b)。
求(10^5) + ( 28A5)的值例4、已知〔◎ 4=1+2+3+4 405=4+5+6+7+8 按此规定，200105=?分析与解：通过观察可以发现，这个特殊的符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的和。
〔◎#表示从1开始连续4个自然数的和，40 5表示从4开始5个连续自然数的和，2001^5是表示从2001开始连续5个自然数的和。
2001 ◎ 5=2001+2002+2003+2004+2005=2003X 5=10015练习四如果2口3=2+ 3 + 4=9, 6口5=6+ 7+ 8+ 9+ 10=40。
定义新运算
第1讲 定义新运算一、知识精要“加、减、乘、除”使我们很熟悉的四种运算，如果有两个数8和4，那么应用“+”的规则就得到12，应用“-”的规则就得到4，应用“X ”的规则就得到32，应用“÷”的规则就得到2。
以上四种对应规则只是一种人为的约定，我们还可以做其他不同的约定，定义一些新的运算。
这一讲就让我们一起去看一看，想一想。
二、课内提升例1 a ，b 表示两个数，“○”表示一种新运算，规定a ○b=3a+4b ，求2○3。
，试一试1 “○”表示一种新运算，定义同例1，求3○2。
例2“○”表示一种新运算，对于任意两个自然数a 和b ，定义为：a ○b=a 2－b 2。
求7 ○（3 ○ 2）。
试一试2 “ ”表示一中心运算，对于任意两个自然数a和b ，定义为：a b=a 2+b 2。
求（1 2） 3和1 （2 3）。
例3 A，B表示两个数，“”表示一种新运算，规定A B=（A+B）÷2。
如果5 x =18，求x。
试一试3 A，B表示两个数，“”表示一种新运算，规定A B=（A+B）÷5。
如果4 x=5，求x。
例4 如果1＃2=1+2，4＃3=4+5+6，6＃4=6+7+8+9，那么9＃5是多少？试一试4 如果1◎3=1×2×3，2◎4=2×3×4×5，3◎2=3×4，那么3◎5是多少？例5 ，，，。
按照这样的规律，求。
试一试5 ，，。
按照这样的规律，求。
三、当堂训练1.A，B表示两个数，“”表示一种新运算，规定A B=2A+3B，求3 1。
2.◎表示一种新运算，对于任意两个自然数a和b，定义为：a◎b=a2+b2。
求6◎（3◎2）。
3.A，B表示两个数，“”表示一种新运算，规定A 规定A B=（A-B）÷3。
如果15 x=4，求x。
4.如果1*2=1×2，3*3=3×4×5，5*4=5×6×7×8，那么2*5是多少？5.“表示一种新运算，使下列等式成立：8，=8，，。
每日十分钟定义新运算
每日十分钟“定义新运算”1、定义新运算：规定运算：1++-=*b a ab b a ，则4*)3(-=举一反三：（1）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 、b ，都有a ☆b=ab+ a 2, 则（－3）☆2 =（2）规定一种新运算：a * b =22a b b ab--，则5 *（-2）= （3）、现规定一种新运算“*”：a *b =b a ，如3*2=23=9，则（21）*3= 2、定义计算“∆”，对于两个有理数a ,b ，有a ∆b=a +b-a b ，例如：-3∆2=5，则(-2∆3) ∆0= 举一反三：（1）定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则（4*2）*（﹣1）= ．（2）定义新运算“※”：对于任意有理数a 、b ，都有a ※b=2a 2＋b.例如3※4=2×32＋4=22，那么当m 为有理数时，m ※（m ※2）=（3）用“⌦”定义新运算: 对于任意的有理数a 、b , 都有 a ⌦b = b 2 +1.如7⌦4 = 42 +1 = 17. 那么 5⌦3 = ，当m 为有理数时, 则m ⌦(m ⌦2) =（4）、如果规定符号“﹡”的意义是a ﹡b =aba b +，求2﹡（-3）﹡4的值 3、设一种运算程序是x ⊗y =a (a 为常数)，如果（x +1）⊗y =a +1；x ⊗（y +1）=a -2.已知1⊗1=2，那么2012⊗2012=解：由x ⊕y=a ，（x+1）⊕y=a+1，x ⊕（y+1）=a-2，及1⊕1=2，得2⊕1=2+1=3，2⊕2=3-2=1，3⊕2=2，3⊕3=0，4⊕3=1，4⊕4=-1，5⊕4=0，5⊕5=-2，6⊕5=-1，6⊕6=-3，…∴2012⊕2012=-2009．故答案为-20094、用“«”“»”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a «b =a ，和a »b =b ，例如：3«2=3，3»2=2，则（2012 »2011）«（2010»2009）=5、,,,a b c d 为有理数，现规定一种运算：a c b d =ad bc -，那么当2(1)x - 45=18时， x 的值是多少？6、 “！”是一种数学运算符号，1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24， 5！= ……则!98!100=继续巩固：1、把(－12)－(－13)+(－14)－(+15)+(+16)统一成加法的形式是,写成省略加号的形式是 ,读作．2、已知有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示，(1) 用 < ，>，= 填空： a+c 0， c-b 0, b+a 0 abc 0(2) 化简：a c c b b a++--+。
定义新运算完整版
定义新运算知识要点：定义新运算就是以加减乘除四则运算为基础，用某种新的符号来表示新运算。
见到这种新的运算符号所定义的运算后，就按照它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后的结果。
运算时要严格按照新运算的定义要求进行计算，不得随意改变运算顺序，这是最关键的一点。
运算时，有括号的先算出括号里的值，再算出括号外的值，在没有确定新定义运算具有交换律，结合律之前，不能运用运算定律解题。
运算的符号可以是※，也可以是○，□。
§。
等，符号的种类是次要的，符号定义的运算运算程序才是主要的。
例1：设a、b是两个自然数，定义a*b=2a+4b，计算4*5是多少？开心一练：1设a、b是两个自然数，定义a*b=3a+5b，计算6*3是多少？2 对于自然数，定义a*b=3a+2b，求（1）10*11（2）11*10例2：定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b-a+b,计算（1）8*10（2）（3*4）*5开心一练：1 定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b+a-b,计算（1）4*6 （2）（4*6）*52对于整数a、b，设a*b=3a+b-1，求（1）4*（3*5）（2）（4*3）*53规定a△b=3a-b,求10△（2△5）。
例3：设a*b=4a-3b，求（1）5*（3*2）（2）x*（2*x）=15,求x。
开心一练：1已知a*b=a×b+a，如果（3*x）*2=18求x。
2设a*b=5a+4b，求（1）4*（3*2）（2）已知x*（4*x）=122,求x。
例4：对整数a*b,规定a*b=ax+b,如果4*5=23，求3*2的值。
开心一练：1 对整数a*b,规定a*b=a÷b×2+ab+x,如果6*3=28，求5*2的值。
2 对于整数a、b，设a*b=3a-bx，已知5*4=7，求x。
例5：设a、b都表示数，规定a♦b=3×a-2×b (1)求3♦2，2♦3。
定义新运算
定义新运算【知识概括】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
【典型例题】例1、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
例2、设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
3△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
例3、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
1第一讲 定义新运算
第一讲定义新运算一、知识梳理定义新运算是用某些特殊的符号表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。
在定义新运算中的※，〇，△……与+、-、×、÷是有严格区别的。
解答定义新运算问题，必须先理解定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的+、-、×、÷运算问题。
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
二、方法归纳基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
三、课堂精讲【规律方法】理解新运算符号的含义是解答问题的关键。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1．规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5 ？2.定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。
例如：4△6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。
根据上面定义的运算，18△12等于几？例2．如果3*2=3+33=36 ；2*3=2+22+222=246 ；1*4=1+11+111+1111=1234，则4*5的值为多少？【规律方法】观察规律，得出运算的规则。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B3.如果1＃5=5，2＃4=4+44，3＃3=3+33+333，……计算4＃3的值.4.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……求（44）÷（33）的值。
例3．x、y是自然数，规定x▽y=4x—3y，如果5▽a=8，那么a是几？【规律方法】根据新运算列出方程，解方程。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B5．如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？6.规定a⊕3=a+(a+1)+(a+2)，若x⊕5=45，求x的值。
定义新运算
3.已知
MN
M N
N M
,
求10 20。
4.设
a
b
1 3
a
1 2
b
，已知
x
Байду номын сангаас
2
2
，求x。
81 34
47
例4 设 a b 3a b ，已知 x 1 4，
求x。
解： x 1 3x 1 4
3x 1 4 3x 3 x 1
设a b 4a 1 b，已知 5 x 21，
求x。
2
解： 5 x 45 1 x 21
2
4 5 1 x 21
2
1 x 1 2
x2
设 p q 3p 2q ，已知 x (4 1) 7，
求x。
解：① 4 1 3 4 21
12 2 10
②x 10 7
3x 210 7
3x 20 7
x9
做一做
1.已知A※B＝A－B,求(10－1)※6。
2.已知 p q p2 ( p q) 2 ,
变式训练
1.“△”表示的是一种新的运算， 已知 a△b＝ a × b －（a＋b）， 求5△（6△2）。
解：5△（6△2） ＝5 △ [ 6×2 －（6＋2）] ＝5 △4 ＝5×4－（5＋4） ＝11
2.“☆”表示的是一种新的运算， 已知 a ☆ b＝（ a ＋ b） ×（a－b）， 求9 ☆ 7。
解：9 ☆ 7 ＝ （9＋7）×（9－7） ＝16 ×2 ＝32
例3 设 a b b2 2a ， 那么求 610和 1 (3 2) 。
定义新运算
定义新运算定义:定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
如：设a△b=a+b+ab 3△2=3+2+6=11 5△5=5+5+25=35定义新运算可以作为一类数学问题，如：x,y表示两个数,规定新运算"*"及"△"如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中m,n,k均为自然数,已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.1.设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.2.定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.3.x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.4.已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
5.定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，6.对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
（1）求12☆21的值；（2）（2）已知6☆x=27，求x的值。
7.a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。
定义运算“◉”表示“接着做”。
求：a◉b；b◉c；c◉a。
8.对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。
（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
定义新运算
例4：A、B表示两个数，“▲”表示 一种新的运算， （A▲B= A+B ）÷5，
求27▲（7 ▲）。
分析：新运算的意义是求两个数的 和除以5的商。
试一试4：A、B表示两个数，“⊿” 表示一种新运算，A⊿B=（A+B）÷2， 求4 ⊿（1 ⊿3）。
3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B
的平均数。已知A▽6=17，求A。
例2：
对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b。 （1）求6 ⊕ 2；2 ⊕ 6。 （2）求（17 ⊕ 6） ⊕ 2 ；17 ⊕ （ 6 ⊕ 2）。 （3）这个运算⊕有交换律和结合律吗？ （4）如果5 ⊕ x=17,求x。
减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。 （1）求5△6；6△5。 （2）求（17△6） △2 ；17 △（ 6△2）。 （3）这个运算△有交换律和结合律吗？ （4）如果已知4 △ b=2,求b。
练习 一
1，设a、b都表示数，规定： a○b=6×a－2×b。试计算3○4。
练习 一
2，设a、b都表示数，规定： a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）
定义新运算是一种人为的、临时性的运算 形式，它使用的是一些特殊的运算符号， 如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、 －、×、÷”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里 面的。但它在没有转化前，是不适合于各 种运算定律的。 .
1、正确理解新运算的定义，严格按新定 义的要求，将数值代入新定义的式子进行 计算。 2、新定义的运算不一定符合交换律、结 合律和分配律。 3、新定义的运算所采用的符号是任意的， 而不是确定和通用的，也不是固定不变的， 只能在具体的题目中适用，到另一题可能 将失去特定的意义。
定义新运算的解题诀窍
定义新运算的解题诀窍摘要：一、引言二、新运算的定义及特点1.新运算的定义2.新运算的特点三、解题诀窍1.分析题目，理解新运算规则2.确定运算顺序3.举例说明新运算的计算过程4.总结解题步骤四、新运算在实际问题中的应用1.实际问题中的新运算案例2.新运算在解决问题中的优势五、结论正文：新运算在数学领域中是一个比较新的概念，很多同学在接触到新运算题目时可能会感到困惑。
其实，只要掌握了解题的诀窍，新运算题目并不难解决。
本文将为大家介绍新运算的定义以及解题诀窍。
首先，我们需要了解新运算的定义和特点。
新运算是指在原有四则运算的基础上，通过特定的符号、规则或方法进行拓展，形成的一种新的运算方式。
新运算的特点包括运算规则的复杂性、运算过程的特殊性等。
在解决新运算题目时，有三个诀窍可以帮助我们迅速找到解题思路。
第一，分析题目，理解新运算规则。
在解决新运算题目时，首先要认真阅读题目，理解题目所给出的新运算规则，明确运算的顺序和法则。
第二，确定运算顺序。
根据题目所给的新运算规则，确定各个运算步骤的顺序，遵循先乘除后加减的原则进行计算。
第三，举例说明新运算的计算过程。
通过具体的计算例子，加深对新运算过程的理解，总结出解题的一般步骤。
在实际问题中，新运算也有着广泛的应用。
例如，在计算机科学、密码学、经济学等领域，新运算被用来解决一些复杂数学问题。
通过新运算，我们可以更方便地解决实际问题，提高解决问题的效率。
总之，新运算是一种具有挑战性的数学概念，但只要掌握了解题的诀窍，新运算题目并不难解决。
新运算定义
新运算定义新运算定义定义一：数学中的新运算•什么是新运算？新运算是对传统数学运算进行扩展和补充，引入新的运算规则和符号，使得数学在某些领域或问题上更加完备和精确。
•为什么需要新运算？传统数学中的基本运算已经能够解决大多数实际问题，但在某些特殊场景下存在一些限制。
通过引入新运算，可以更好地描述和解决这些问题。
•新运算的示例：1.矩阵乘法：传统数学中，乘法通常是两个数的乘积，但在线性代数中，矩阵乘法是非常重要的运算，能够描述线性变换等复杂关系。
2.向量积：传统数学中，乘法是两个数的乘积，但在向量运算中，存在向量积，用于求取两个向量之间的夹角和叉积。
3.复数除法：传统数学中，除法通常是两个数的商，但在复数运算中，除法的定义不同，包括共轭复数的乘法等。
定义二：计算机科学中的新运算•什么是新运算？新运算是计算机科学中引入的一种新的计算方法，用于解决传统运算无法解决的问题，或提供更高效的解决方案。
•为什么需要新运算？随着计算机科学的发展，出现了许多新的问题和需求，传统运算已经无法满足这些需求。
新运算的引入使得计算机科学能够更好地应对这些问题。
•新运算的示例：1.并行计算：传统计算只能在一个处理器上进行，但在大规模计算和分布式系统中，引入并行计算可以极大地提高计算速度和效率。
2.量子计算：传统计算是基于二进制系统的，但在某些特定场景下，引入量子计算可以有效地解决某些问题，如因子分解、模拟量子物理等。
3.模糊逻辑：传统逻辑运算是基于真和假的二元系统，但在模糊逻辑中，引入了模糊集合和模糊推理，使得计算机能够处理不确定性和模糊性问题。
相关书籍简介1.《数学新运算引论》–作者：张三–出版日期：2022年–简介：本书介绍了数学中的新运算概念和定义，包括矩阵乘法、向量积、复数除法等。
通过详细的数学推导和实例分析，读者可以了解新运算的原理、应用和意义，进一步拓宽数学思维。
2.《计算机科学中的新运算探索》–作者：李四–出版日期：2023年–简介：本书介绍了计算机科学中的新运算方法和技术，包括并行计算、量子计算、模糊逻辑等。
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那么，在下面这样的世界大混战中， 最终会是什么结局呢？
利用四则运算的顺序进行计算Leabharlann 羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）
设a、b是两个自然数，规定：
a○b=3×a＋2×b。
即在“○”的这场战斗中，要遵循的战斗 规则是“3×a＋2×b”
求：
（1）5○6 （2）5○（6○7）
设a、b是两个自然数，规定：
a#b=(a+b)÷2
求：8#7
战斗符号是： # 要遵循的战斗规则是： (a+b)÷2
1.仔细观察，根据新定义的运算符号确定运 算规则，按照新的运算规则计算 2.除了新运算的规则，别忘了要按照原来四
则运算的顺序计算
定义新运算
狼和羊的故事
狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊 及狼，我们规定一种运算，用符号“△”表 示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△狼=狼。
小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定 另一种运算，用符号“☆”表示：羊☆羊= 羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼
规定“△”的战斗规则：狼吃掉羊
规定“☆”的战斗规则：羊打跑了 狼