++==x x x x f 是[)+∞,1上的增函数,所以,()x f 的最小值为
()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a
例17、解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0
恒成立，故h min (x)≥0.令h ′ (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2。
由h(-1)=7+k ，h(2)=-20+k ，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h min (x)=-45+k ，由k-45≥0，得k ≥45.
（2）据题意：存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3，3]（f g 13x 4???58
上的图象如图知当3=x 时3=y ，
33=
a
当
33≤
a ]3,0[∈x 时总有)4(x x ax -≤所以33
≤
a
9
10所)
11
13?f 即(1)1f -≤??，即2b a ≤-+??在[]22a ∈-，上恒成立．即min min (2)b a ≤-+??，[]22a ∈-，
所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是
(]4--∞，
．
14、解：（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。
a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+?++-=a
a a 24434
23++-=；a f 24)0(=
则由题意得???
??>>>,
0)0(,0)2(1
f a f a 即
????
???>>-+->.
024,0)6)(3(34,
1a a a a a 解得
15、解：依定义tx x x x t x x x f ++-=++-=232)1()1()(若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设('f ∴0)(≥'x f x x t 232-≥?在（-1，1）上恒成立。
5≥t 。 即
高考数学中的恒成立问题与存在性问题
“恒成立问题”的解法 常用方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。 一、函数性质法 1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >，则根据函数 的图象（直线）可得上述结论等价于???>>0)(0)(n f m f ；同理，若在[m,n]内恒有()0f x <，则有? ??<<0)(0 )(n f m f . 例1.对满足2p ≤的所有实数p ,求使不等式2 12x px px x ++>+恒成立的x 的取值范围。 略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2 ()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上恒大于 0，故有：???>>-)2(0)2(f f ，即??? ??>->+-0 10342 2x x x 3111x x x x ><-?或或13x x ?<->或. 2.二次函数： ①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >???（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。 例2. 已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少 有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )
A ．(0，2) B ．(0，8) C ．(2，8) D ．(－∞，0) 选B 。 例3.设2 ()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设2 ()()22F x f x a x ax a =-=-+-， （1)当4(1)(2)0a a ?=-+≤时，即21a -≤≤时，对一切[1,)x ∈-+∞，()0F x ≥恒成立； （2）当4(1)(2)0a a ?=-+>时，由图可得以下充要条件： 0(1)021,2 f a ???>?-≥??-?-≤-?即(1)(2)0 30 1,a a a a -+>?? +≥??≤-?32a ?-≤<-;综合得a 的取值范围为[-3，1]。 例4.关于x 的方程9(4)340x x a +++=恒有解，求a 的范围。 解法：设3x t =,则0t >.则原方程有解即方程2 (4)40t a t +++=有正根。 1212 (4)040 x x a x x ?≥?? ∴+=-+>??=>?2(4)1604a a ?+-≥??<-?8a ?≤-. 3.其它函数： ()0f x >恒成立?min ()0f x >（若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立?()f x 的下界≥0） ； ()0f x <恒成立?max ()0f x <（若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立?()f x 的上界≤0）. 例5．设函数3 21()(1)4243 f x x a x ax a = -+++，其中常数1a >， （1）讨论()f x 的单调性； （2）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。 解：（2）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。 a a a a a a a f 2424)2)(1()2(3 1)2(23+?++-=a a a 24434 23++-=；a f 24)0(= -1 o x y
高中数学恒成立与存在性问题
高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则; 5.若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数（或）在R 上恒成立，则有（或）; ②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???0<
高中数学不等式的恒成立问题
高中数学不等式的恒成立问题 高三数学备课组 肖英文 2011-11-23 不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己教学谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 题型一：构造函数法（利用一次函数的性质） 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例如; 类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ()0f x >?恒成立(ⅰ)???>>0)(0m f a ，或(ⅱ)???><0)(0n f a ；亦可合并定成???>>0)(0 )(n f m f ； ()0 ()0()0f m f x f n 2a+x 恒成立的x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(x-1)a+x 2 -2x+1>0, 设f(a)= (x-1)a+x 2 -2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有： ?? ?>>-)2(0)2(f f 即?????>->+-0 10 3422 x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 引申：在不等式中出现3个字母：m 、x 、a 已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠，有 ()()0f a f b a b +>+， （1）证明()f x 在[]1,1-上的单调性；（2）若2 ()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围。 分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是m 的范围，所以根据上式将m 当作变量，a 作为常量，而x 则根据函数的单调性求出()f x 的最大值 即可。 （1） 简证：任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则[]21,1x -∈- 1212 ()() 0f x f x x x +>- ()()1212()()0x x f x f x ∴-+-> 又 ()f x 是奇函数 ()()1212()()0x x f x f x ∴--> ()f x ∴在[]1,1-上单调递增。 （2） 解： 2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即 2max 21m am f -+≥， max (1)1f f == 22211 20m am m am ∴-+≥∴-≥ 即2 ()20g a am m =-+≥在[]1,1-上恒成立。(1)120(1)120g a g a -=+≥?∴?=-≥? 1212 a a ?≤-??∴??≤?? 1122 a ∴-≤≤。 例2.已知不等式 对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得: .不等式左侧与二次函数非常相 似，于是我们可以设 则不等式 对满足 的一切实数 恒成立 对 恒成立.当 时， 即 解得故的取值范围是. 评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒 为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 题型二：分离参数法 类型1：αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切()f x x I α<∈对一切恒成立. max ()f x α?< 类型2：)()(x g x f >对于任意的],[b a x ∈恒成立?min max ()()f x g x >，或)(x f 在
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
编号：2007-HX-001 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 [文档副标题] [日期] 福建省长乐第一中学教科室 [公司地址]
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2 -2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 例2、已知(),22x a x x x f ++= 对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例 3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当?? ? ??∈2, 0πθ时，有() ()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 例4、已知函数)0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数. （1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式2 2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围 例6、若对于任意1a ≤，不等式2 (4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围 例7、已知函数32 3()(1)132 a f x x x a x = -+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法 （1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
(完整word版)高一数学中的恒成立问题
高一数学中的恒成立问题 班级 姓名 学号 1.任意x R ∈，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则a 的范围是____(]2,2-___. 2.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立，则正数a 的最小值为 ( B ) A.1 B.2 C.2 1 2+ D.22+1 . B 由条件:2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-, 令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2, ∴a =2. 3．不等式() ()2212130m x m x ---+>对一切实数x 恒成立，则实数m 的范围为______. 【解】当2 10m -≠时不等式恒成立的充要条件是2 10m ->且()()22411210m m ---<， 即m>1或m<-2；当m-1=0时不等式化为3>0,恒成立.综上m 范围是[)21-∞+∞U （，），+. 4、已知两个正变量y x ,满足4=+y x ，则使不等式 m y x ≥+4 1恒成立的实数m 的取值 范围是 ]4 9,(-∞ 5．已知不等式(x+y)(1x + a y )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 6、若对于一切正实数x 不等式x x 2 24+>a 恒成立，则实数a 的取值范围是 a<24 7．若不等式.2 log 0m x x -<在(0, 1 2 )的范围内恒成立,则实数m 的取值范围是＿＿＿＿. 【解】 1 116 m ≤< 提示：利用数形结合讨论01两种情况 8．设y=x 2+ax+b ，当x=2时y=2,且对任意实数x 都有y≥x 恒成立，实数a 、b 的值为（ Ｂ ）. A.a=-3 b=-4 B.a=-3 b=4 C a=3 b=4 D a=3 b=-4 9、当x>1时，不等式x+ 1 1 -x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ D ） A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3] 10.若不等式n )1(2a )1(1 n n +-+<-对任意正整数n 恒成立。则实数a 的取值范围是（ A ）
高考数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当 ??? ??∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒 成立，求实数m 的取值范围. 例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对 []1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围 例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围 例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x = -+++，其中a 为实数．若不等式 2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法 （1） 将参数与变量分离，即化为 ()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a , 且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.
恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上A x f >min )(，即)(x f 的下界大于A （2）若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上B x f --++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 例4．已知函数)0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中b a 、为 常数. （1）试确定b a 、的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式2 2-)(c x f ≥恒成立，求c 的取值范围.
2、主参换位法 例5.若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围. 例6.若对于任意1≤a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求实数x 的取值范围. 例7.已知函数1)1(2 33)(2 3+++-= x a x x a x f ，其中a 为实数．若不等式1)('2+-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法 （1）将参数与变量分离，即化为)()(x f g ≥λ（或)()(x f g ≤λ）恒成立的形式； （2）求)(x f 在D x ∈上的最大（或最小）值； （3）解不等式max )()(x f g ≥λ(或min )()(x f g ≤λ)，得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。 例8．当)2,1(∈x 时，不等式042 <++mx x 恒成立，求m 的取值范围.
高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?() f x 的 下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界 小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 例恒成立,试求实数a 的取值范围; 例数，且当 ? ?? ? ?∈2,0πθ时，有 f .
例4、已知函数 )0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式2 2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 2例 例恒成立，求实数x 的取值范围 例若不等式2 ()1 f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞， 都成立，求实数x 的取值范围．
3、分离参数法 （1）将参数与变量分离，即化为 ()() g f x λ≥ （或 ()() g f x λ≤ ）恒成立的形式； （2）求 () f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3）解不等式 () max () g f x λ≥ (或 ()() min g f x λ≤ ) ，得λ的取值范围。 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。 例8、当 (1,2) x∈时，不等式240 x mx ++<恒成立，则m的取值范围是 . 例 b a,满足什么条件时,) (x f取a表示出b的取值范围. 4 例________ 例11、当x(1,2)时，不等式高中数学恒成立问题
高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 一、构造函数法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的 一切实数恒成立对恒成立.当时， 即 解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数 在区间上是减函数. （Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数 都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有 恒成立，则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
高考数学中的恒成立问题与存在性问题
高考数学中的恒成立问题与存在性问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
“恒成立问题”的解法 常用方法：①函数性质法； ②主参换位法； ③分离参数法； ④数形结合法。 一、函数性质法 1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >，则根 据函数的图象（直线）可得上述结论等价于??? >0)(m f ；同理，若在[m,n]内恒有 ()f x 例1.对满足2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px px x ++>+恒成立的x 的取值范围。 略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上 恒大于0，故有：???>>-)2(0)2(f f ，即?????>->+-0 103422x x x 3111x x x x ><-?或或13x x ?<->或. 2.二次函数： ①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00 a >???（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例2.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的 值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ) A ．(0，2) B ．(0，8) C ．(2，8) D ．(－∞，0) 选B 。 例3.设2()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设2()()22F x f x a x ax a =-=-+-， （1)当4(1)(2)0a a ?=-+≤时，即21a -≤≤时，对一切[1,)x ∈-+∞，()0F x ≥恒成立； （2）当4(1)(2)0a a ?=-+>时，由图可得以下充要条件： 0(1)021,2 f a ???>?-≥??-?-≤-? 即(1)(2)0301,a a a a -+>??+≥??≤-? 32a ?-≤<-; 综合得a 例4.关于x 的方程9(4)340x x a +++=恒有解，求a 的范围。 解法：设3x t =,则0t >.则原方程有解即方程2(4)40t a t +++=有正根。 1212 0(4)040x x a x x ?≥??∴+=-+>??=>?2(4)1604a a ?+-≥??<-?8a ?≤-. 3.其它函数： ()0f x >恒成立?min ()0f x >（若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立?()f x 的下界≥0）； ()0f x <恒成立?max ()0f x <（若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立?()f x 的上界≤0）.
高中数学专题练习-存在与恒成立问题
高中数学专题练习-存在与恒成立问题 [题型分析·高考展望]“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决.此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力.训练时应注意破题方法的研究. 常考题型精析 题型一恒成立问题 例1(·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a). (1)求g(a)； (2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.
点评恒成立问题一般与不等式有关，解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值，从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值. 变式训练1(·山东)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R. (1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； (2)若?x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围.
题型二存在性问题 例2(·辽宁)已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－8 3(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)·ln(3－2x π). 证明：(1)存在唯一x0∈(0，π 2)，使f(x0)＝0； (2)存在唯一x1∈(π 2，π)，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π. 点评“存在”是特称量词，即“有的”意思，证明这类问题的思路是想法找到一个“x0”使问题成立即可，必要时需要对问题进行转化.若证“存在且唯一”则需说明除“x0”外其余不能使命题成立，或利用函数单调性证明此类问题. 变式训练2(·浙江)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R). (1)当b＝a2 4＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式； (2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围.
2021年高考数学重难点复习：恒成立问题
2021年高考数学重难点复习 “三招”破解不等式恒成立问题 一．方法综述 不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向．由不等式恒成立确定参数范围问题，常见处理方法有：① 分离参数 ()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立 （()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 最值法：讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.在诸多方 法中，构造函数并利用导数研究函数的单调性、最值等，是必须要考虑的解题门径.本专题举例说明《用好导数，“三招”破解不等式恒成立问题》. 二．解题策略 类型一 构造函数求最值 【例1】【2020·重庆南开中学期末】已知函数()ln x f x ae x x =-，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）若()f x 是()0,∞+上的增函数，求实数a 的取值范围； （2）若22a e >，证明：()0f x >. 【分析】（1）由()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立，得1ln x x a e +≥ ，求()()1ln 0x x g x x e +=>的最大值，即可得到本题答案； （2）由()e 0ln 0x a f x x x >?->，证明当22a e ≥时，()()e ln 0x a F x x x x =->的最小值大于0，即可得到本题答案. 【解析】（1）()()1ln x f x ae x '=-+，()f x 是()0,∞+上的增函数等价于()0f x '≥恒成立. 令()0f x '≥，得1ln x x a e +≥ ，令()()1ln 0x x g x x e +=>.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()11ln x g x e x x -??'=-- ??? ，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<， ()h x 是()0,∞+上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，
高中数学中的存在性问题与恒成立问题例题
第 1 页 共 3 页 高中数学存在性问题与恒成立问题 例1、若不等式 121x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 例2、设函数2()1f x x =-，对任意23x ??∈+∞????，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ??--+ ???≤恒成立，则 实数m 的取值范围是 ． 例3、若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ． 18a >- C ．18a > D ．0a < 例4、已知不等式()11112log 1122123a a n n n +++>-+++对于一切大于1的自然数n 都成立， 试求实数a 的取值范围. 例5、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 例6、2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤ 例7、若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 例8、不等式210x ax ++≥对一切102x ??∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．52- D ．3- 例9、不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(][)14-∞-+∞，， B ．(][)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞，，
高中数学恒成立问题典型例题
恒成立问题是数学中的常见问题，在培养同学们思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。 下面结合实例，介绍这类问题的几种求解策略。 一、参变分离法 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形将参数与变量分离出来，即：若a≥f（x）恒成立，只需求出f（x）max，则a≥f（x）max；若a≤f（x）恒成立，只需求出f（x）min，则a≤f（x）min，转化为函数求最值。 二、主元变换法 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
三、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 四、数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图像，然后通过观察两图像（特别是交点）的位置关系，列出关于参数的不等式。 五、判别式法 对可化为关于x的一元二次不等式对x∈R（或去掉有限个点）恒成立，常用判别式法，先将其化为关于x的一元二次不等式，结合对应的一元二次函数图像，确定二次项系数与判别式满足的条件，化为关于参数的不等式问题，通过解不等式求解。要注意二次是否可为0。
六、最值法对含参数的不等式恒成立问题，可将其化为f（x）>0或f（x）<0在某个范围上恒成立的问题，则0<[f（x）]min或0>[f（x）] max,先求出f（x）的最值，将其转化为关于m的不等式问题，通过解不等式求出参数m的取值范围。 上面介绍了含参不等式中恒成立问题的几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。
教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc
高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 （2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．
例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 是解题的关键，再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。 综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=， 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1
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高中数学不等式的恒成立问题 不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结 合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点 . 考题通常有两种设计方式： 一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取 值范围 . 解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解 决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。一、构 造函数法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构 造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量 的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目 更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例 1已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得 :. 不等式左侧与二次函数非常相 的似，于是我们可以设则不等式对满足 一切实数恒成立对恒成立.当时， 即 解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式） 能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的 最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数 . 都有在上恒成立，求实数的（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数 取值范围 . 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧 看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、 图形的位置关系建立不等式求得参数范围 . 例 3已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是.
恒成立问题 专题
恒成立问题 1．参变分离法 例1：已知函数()ln a f x x x =-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是 _________． 【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x - -，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要() 3max ln a x x x >-． 令()3 ln g x x x x =-，()' 2 1ln 3g x x x =+-，()' 12g =-，()2 '' 11660x g x x x x -=-=<， ()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<>≠对于任意的π0,4x ?? ∈ ???都成立，则实数a 的取值范围 是___________． 【答案】π,14a ?? ∈ ??? 【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ?? ∈ ??? 的图像，
a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一 步可得只需 π 4 x = 时，log sin 2a x x >， 即πππlog sin 21444a a >?=?>，所以π,14a ??∈ ??? ． 3．最值分析法 例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________． 【答案】e 1a ≥- 【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+， ∴只需()min 0g x >即可，()10g =， ()'1a a x g x x x -= -=，令()'00a x g x x a x ->?>?<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <= (思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的） ，所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作
