三角形最值问题典型题

P为边长等于1的正△ABC内任意一点，设L=PA+PB+PC,求L的最值。几何最值问题归结为以下三个定理

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

分析：求最值则涉及最小值以及最大值.

先求最小值，如下

一、射影法

过点P分别作PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F.

过点A作AD’⊥BC于D’,过B作BE’⊥AC，过C作CF’⊥AB。

AP+PD>AD’①

BP+PE>BE’②

CP+PF>CF’③

①+②+③,得，

AP+BP+CP+PD+PE+PF AD’ +BE’ + CF’ = a

即AP+BP+CP+a a

∴AP+BP+CP a

二、旋转法

顺时针旋转△BPC60°，可得△PBE为等边三角形．得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一条直线上，

即如上图：∠ABF’=120°，可得最小L=a；

C

三、面积法

作如图所示辅助线，则DEF的面积为,

又∵ ED•PB

FD•PC

EF•PA

∴•6a•(PA+PB+PC)

∴最小L= a

下面求其最大值，这要考虑到三角形的三边关系，如下图

过P点作BC的平行线交AB，AC于点D，F．

由于∠APD＞∠AFP=∠ADP，

推出AD＞AP①

又∵BD+DP＞BP②

和PF+FC＞PC③

又∵DF=AF④

由①②③④可得：最大L＜2；

相关知识链接：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即A

F

在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。

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