湘教版九年级下册数学：11 二次函数
湘教版九年级数学下册课件：1.1二次函数(共16张PPT)
【例2】若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是 a ≠ -2 ________. 【解析】本题考查了二次函数的一般形式，y=ax2+bx+c(a，b，c 为 常数，a ≠ 0).所以若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，只要a+2≠0即可， 即a ≠ -2.故答案是 a≠价为6000元.现降价销售， 若每年的平均降价率为x，怎么用x来表示该型号电脑现在的售 价y(元)？
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笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的（1-x）倍， 于是我们得到售价y与平均降价率x之间有如下关系： y=6000(1-x)2，0＜x＜1， 即 y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
S=x2 二次函数
（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；
C=2 πr
S=π r 2
一次函数
二次函数
（3）圆的面积S关于它的半径r的函数； （4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长 度y关于另一条对角线的长度x的函数.
1 S xy 2 2S y x
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反比例函数
我思
我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
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练习
1、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x
2
1 ( 2) y 2 x
(3) y 3x 1
(4) y x 2x 1
2
答案：（1）（4）
2
(5) y ( x 5) x
2
2
(6) y 3x 2 x
3
(8) y x x
湘教版数学九年级下册第1章《二次函数》教学设计
湘教版数学九年级下册第1章《二次函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1章《二次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识后，进一步深入研究函数性质的重要内容。
本章主要介绍二次函数的定义、性质、图象及其应用。
通过学习二次函数，学生可以更好地理解数学与实际生活的联系，提高解决问题的能力。
教材内容安排合理，由浅入深，逐步引导学生掌握二次函数的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念、性质有所了解。
但二次函数相对于一次函数和反比例函数，其性质和图象更具复杂性，需要学生在已有的知识基础上，通过观察、分析、归纳等方法，自主探究二次函数的性质。
此外，学生在生活中接触到的一些现象和问题，也需要用二次函数来解释和解决。
三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的表示方法。
2.掌握二次函数的性质，能够分析二次函数图象的特点。
3.会利用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力。
4.培养学生的观察、分析、归纳、总结能力，提高学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和表示方法。
2.二次函数的性质及其图象特点。
3.二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的性质。
2.利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象特点。
3.运用实例分析法，让学生学会将二次函数应用于实际问题。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关课件、图片、实例等教学资源。
2.安排适当的时间让学生进行自主学习和小组讨论。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入二次函数的概念，激发学生的兴趣。
例如：抛物线运动中，物体上升和下降的轨迹为什么是抛物线？2.呈现（10分钟）介绍二次函数的定义和表示方法，展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
通过示例，让学生理解二次函数的各项参数代表的意义。
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》是本册教材中的重要内容，主要介绍了二次函数的定义、图像和性质。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像特点，了解二次函数的性质，并为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的函数思维。
但二次函数相对于一次函数来说，概念较为抽象，图像和性质的理解也需要一定的空间想象能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，逐步理解二次函数的概念和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的图像特点；2.了解二次函数的性质，能够运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和图像特点；2.二次函数的性质及其运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，激发学生的学习兴趣；2.启发式教学法：引导学生主动思考、探究二次函数的性质；3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的交流能力；4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对二次函数图像和性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次函数的图像和性质；2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习和讨论；3.板书设计：设计清晰、简洁的板书，便于学生记录和复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线射击、自行车刹车等问题，引导学生思考二次函数的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次函数的定义，通过课件展示二次函数的图像，让学生观察和理解二次函数的图像特点。
3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，尝试绘制一些简单的二次函数图像，加深对二次函数图像特点的理解。
4.巩固（10分钟）讲解二次函数的性质，引导学生通过思考、交流，总结二次函数的性质。
湘教版九年级数学下册二次函数的图象与性质课件
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
九年级下册《1.1二次函数》(湘教版)数学教案
九年级下册《1.1二次函数》（湘教版）数学教案
标题：九年级下册《1.1二次函数》数学教案
一、教学目标：
1. 理解二次函数的基本概念。
2. 掌握二次函数的一般形式及特殊形式。
3. 能够运用二次函数解决实际问题。
二、教学重点与难点：
1. 教学重点：二次函数的概念和一般形式。
2. 教学难点：理解并掌握二次函数的图像和性质。
三、教学过程：
(一) 导入新课
通过回顾一次函数的相关知识，引出二次函数的概念。
(二) 新知探究
1. 二次函数的概念和表示方法
让学生自行阅读课本，然后引导他们总结二次函数的定义，并用公式表示出来。
2. 二次函数的一般形式和特殊形式
讲解二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c(a≠0)，并通过实例让学生了解二次函数的三种特殊形式：顶点式、零点式和完全平方式。
(三) 巩固练习
设计一些习题，包括基础题和提高题，帮助学生巩固所学知识。
四、课堂小结
引导学生对本节课的内容进行总结，强化记忆。
五、课后作业
布置适量的课后作业，以检查学生的学习效果。
新湘教版九年级数学下二次函数知识点
2014新湘教版九年级数学下第一章 二次函数（一）二次函数1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二 次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）二次函数的图像和性质1、二次函数的基本形式（1）二次函数基本形式：2y ax =的图像和性质：（2）2y ax c =+的图像和性质：（上加下减）（3）()2y a x h =-的性质（左加右减）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．（4）二次函数()2y a x h k=-+的图象与性质（5）二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质2、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图：五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，2-32确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图：抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x 轴y 轴的交点，顶点.3、二次函数图象的平移： 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：平移规律： 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”．4、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的 表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 5、求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是a b x 2-=. ②配方法：将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.④抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；6、二次函数的图象与各项系数之间的关系（1）二次项系数a ：二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，的a 的值越大，抛物线的开口越小． （2） 一次项系数b ：在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴的位置． 在0a >的前提下：当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=， 即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． 在0a <的前提下：当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，y 轴的左侧．ab 左同右异” 【或左(h <0)】（3）常数项c：决定了抛物线与y轴交点的位置．当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．（三）不共线三点确定二次函数的表达式1、用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴或抛物线上纵坐标相同的两点，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.2、二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达（1）关于x轴对称：2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；（2）关于y轴对称：2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；（3）关于原点对称：2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．（5）关于点()m n，对称：()2y a x h k=-+关于点()m n，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．（四）二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系：函数cbxaxy++=2，当y=时，得到一元二次方程20ax bx c++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.（五）二次函数的应用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.的图象与x 轴有两个交点 y 为全体实数与x 轴有一个交点y ≥0与x 轴有无交点y>0的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解。
《二次函数》湘教版九年级下册课件
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
知识拓展：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
已知二次函数y=ax2+bx。当x=-1时， y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值
解：把x=-1，y=7； x=2，y=10代入
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关键 是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是 ：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
二次函数的概念：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做x的二次函数
观察下列函数有什么共同点:
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都
是二一次。般地,形如 y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)
知识运用
温馨提示：需要细心 考虑哦！
例4:m取何值时，y= (m2-1)xm(m-1）
是二次函数？
解:因为函数y= (m2-1)xm(m-1) 是二次函数
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1
但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0 综上所述,m=2
1.1二次函数课件数学湘教版九年级下册
知识点 二次函数中自变量的取值范围
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问 题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
1.下列函数中，哪些是二次函数?
(1) y x2 1
(2) y x2 (3) y x(1 x) (4) y (x 1)2 x2
是
不是 是 不是
先化简后判断
2.把下列函数化成二次函数的一般式. (1) y = (x-2)(x-3)； (2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2； (3) y = -2(x+3)2. 解：(1) y = (x-2)(x-3) = x2-5x+6； (2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2 = -x2+4x-6； (3) y = -2(x+3)2 = -2x2-12x-18.
一般情势
特殊情势
右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a≠0.
y=ax2+bx+c (a≠0，a，b，c是常数). y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c
(a≠0，a，b，c是常数).
5.矩形的周长为16 cm，它的一边长为x cm，面积为y cm2. 求: (1) y 与 x 之间的函数表达式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时,矩形的面积.
解：(1) y＝(8－x)x ＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2) 当 x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 .
定义 二次函数
例 如图，一块矩形木板，长为120 cm、宽为80 cm，在 木板 4 个角上各截去边长为 x (cm)的正方形，求余 下面积 S (cm2) 与 x 之间的函数表达式.分析来自本问题中的数量关系是：x
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》说课稿
一.教材分析
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》是整个九年级数学的重要内容，同时也是学生对函数知识的进一步理解和深化。本节内容通过介绍二次函数的定义、性质和图像，使学生掌握二次函数的基本概念，培养学生解决实际问题的能力。
教材从实际问题出发，引入二次函数的概念，然后通过探究二次函数的性质，使学生了解二次函数的图像特征，最后通过实际问题，让学生运用二次函数解决生活中的问题。整个内容既有理论的学习，也有实践的运用，使学生在学习过程中，既能掌握二次函数的基本知识，又能提高解决问题的能力。
j)二次函数的判别式Δ决定了函数与x轴的交点个数。（）
k)二次函数的图像具有对称性，对称轴是y轴。（）
24.选择题：
l)下列函数中，哪个是二次函数？
A)y=3x^2 B) y=2x+1 C) y=x^3 D) y=5
m)当a<0时，二次函数的图像开口朝（）。
B)上B)下C)左D)右
n)抛物线y=2x^2+3x+1的顶点坐标是（）。
17.二次函数的增减性：当a>0时，二次函数在(-∞, -b/2a)上递减，在(-b/2a, +∞)上递增；当a<0时，二次函数在(-∞, -b/2a)上递增，在(-b/2a, +∞)上递减。
18.二次函数的零点：二次函数的零点是使得y=0的x值。根据判别式Δ的值，可以判断零点的个数。
19.二次函数的实际应用：二次函数在实际生活中有广泛的应用，如抛物线射击、最优化问题等。
知识点儿整理：
13.二次函数的定义：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数。其中，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
湘教版数学九年级下册《1.1 二次函数》教学设计
湘教版数学九年级下册《1.1 二次函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册《1.1 二次函数》是学生在学习了函数、方程等知识后，进一步对函数的性质进行探究。
本节内容主要介绍二次函数的定义、性质及图象。
教材通过生活中的实例引入二次函数的概念，让学生感受数学与实际的联系，提高学习兴趣。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握二次函数的图象和性质，为后续学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数、方程等基本知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但二次函数的内容较为抽象，学生对其理解和运用可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。
三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式。
2.了解二次函数的图象特征，会绘制二次函数的图象。
3.掌握二次函数的性质，会运用二次函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般形式。
2.二次函数的图象特征和性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入二次函数，让学生感受数学与实际的联系。
2.引导发现法：教师引导学生发现二次函数的图象和性质，培养学生的观察能力和发现能力。
3.实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图象，提高学生的动手能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的图象和性质的课件，便于学生直观理解。
2.练习题：准备相应的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如抛物线运动，引出二次函数的概念。
让学生思考：二次函数是如何描述实际问题的？2.呈现（10分钟）呈现二次函数的一般形式，引导学生观察二次函数的图象，了解二次函数的顶点、开口方向等特征。
3.操练（10分钟）让学生动手绘制二次函数的图象，观察图象的变化，体会二次函数的性质。
同时，教师进行讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对所学内容，进行课堂练习，让学生运用二次函数的知识解决问题。
新湘教版九年级数学下二次函数知识点
2014新湘教版九年级数学下第一章 二次函数（一）二次函数1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二 次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）二次函数的图像和性质1、二次函数的基本形式（1）二次函数基本形式：2y ax =的图像和性质：（2）2y ax c =+的图像和性质：（上加下减）（3）()2y a x h =-的性质（左加右减）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a > 向上()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a <向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．（4）二次函数()2y a x h k=-+的图象与性质（5）二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质2、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图：五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图：抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x 轴y 轴的交点，顶点.3、二次函数图象的平移： 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()h k ，X=h x h >0a <时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a <向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．a 的符号开口 方向顶点 坐标对称 轴性质0a > 向上2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2bx a=-2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a < 向下2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2bx a=-2bx a<-时，y 随x 的增大而增大； 2bx a>-时，y 随x 的增大而减小； 2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2平移规律： 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”．4、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的 表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 5、求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是a b x 2-=. ②配方法：将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.④抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；6、二次函数的图象与各项系数之间的关系（1）二次项系数a ：二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，的a 的值越大，抛物线的开口越小． （2） 一次项系数b ：在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴的位置． 在0a >的前提下：当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=， 即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． 在0a <的前提下：当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=， 即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” （3）常数项c ：决定了抛物线与y 轴交点的位置．当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．（三）不共线三点确定二次函数的表达式1、用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴或抛物线上纵坐标相同的两点，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.2、二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达（1） 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；（2）关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；（3）关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．（5）关于点()m n ，对称：()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．（四）二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系： 函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.（五）二次函数的应用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.的图象与x 轴有两个交点 y 为全体实数 与x 轴有一个交点y ≥0与x 轴有无交点y>0的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解。
湘教初中数学九下《1.1 二次函数》PPT课件 (2)
（1）y=3x2；
（2）y=- x2. 1
2
练一练
2.根据上图所画的函数图象填空（见课本P6）
练一练
3.不画图象，说出抛物线y=-4x2和 y= x2的1 对称轴、顶点坐标和开口方向.
4
练一练
4.记r为圆的半径，S为该圆的面积，有面积 公式S=πr2，表明S是r的函数.
(1)当半径r分别为2、2.5、3时，求圆的 面积S（π取3.14）；
3
函数图象做一个模板，你能画出二次函数 的图象吗？
例题
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2与 y=-x2的图象.
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ... -4 - 2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
(2)画出函数S=πr2的图象.
函数S=πr2 的图象: 注意r≥0的条件.
y x2
当当当当xxxx====--2112时时时时，，，，yyyy====----4114
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随x的增大而 减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随x的增大而 增大。
当a<0时，在对称轴的
y x2
y x2
这条抛物线关于y轴 对称，y轴就是它的 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点.
画一画
在同一直角坐标系中，画出函数y= x2与y=1x2的图象.观1 察并比较这两个函数的图象， 3
3
你能发现什么？ 将所画的四个函数的图象做比较，你能归
初三下数学课件(湘教版)-二次函数
教学重点和难点 重点：二次函数的概念． 难点：在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式 ．
一、课前预习 阅读教材第2～3页内容，了解本节课的主要内容．
二、情境导入
设矩形花圃垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为xm，先取x的
一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2
，试将计算结果填写在下表的空格中.
AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长(m)
12
面积y(m2)
48
AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长(m)
12
面积y(m2)
48Leabharlann 1.x的值是否可以任意取？有限定范围吗？ 2．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形 的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出 这个函数的关系式， 问题： (1)当AB＝xm时，BC长等于多少m? (2)面积y等于多少？y＝x(20－2x)
五、课堂小结 这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
点评： 1．二次函数的定义及一般形式； 2．在实际问题中写二次函数关系式时注意自变量的取值范 围．
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式；
（2）a,b,c为常数，且 a≠0；
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： – 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
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【例1】下列函数中，是二次函数的有(C )
① y 1 2x2；②
y
1 x2
；③ y=x(1-x)；④ y=(1-2x)(1+2x).
A.1个
B.2个
C.3个
有（ A ）
①y=x＋
1 ；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－x2；④y= x
1 x2
y x2 x>0 4
⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税， 求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
y 10000(1 1.98%)x x>0,x为整数
⑶菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对 角线长x（cm）之间的函数关系
s 1 x2 13x 0<x<26
A.S=2π（x＋3）2 B.S=9π＋x C.S=x42 πx2＋12x＋9 D .S=4πx2＋12πx＋9π
3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )
A.圆的周长与圆的半径之间的关系;
B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;
C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;
＋
x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】已知两个变量x、y之间的关系为 y m 2 xm2 2 x 1，
若x、y之间是二次函数关系，求m的值.
解：要使x、y之间是二次函数关系，
则，
m m
2 0 2 22
解得m= -2. 当m= -2时，y=-4x2+x-1.
所以，当m=-2时，x、y之间是二次函数关系.
二次函数的一般形式是什么样子？
y ax2 bx ca,b,c是常数，a 0.
为什么有a ≠ 0？
其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数，一次 项系数和常数项. 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但是对于实际问题中 的二次函数，它的自变量的取值范围会有一些限制.例如，上面 第一个例子中，0<x<50，在第二个例子中，0<x<1.
S=x2
二次函数
（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；
C=2 πr
一次函数
（3）圆的面积S关于它的半径r的函数；
S=π r 2
二次函数
（4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长 度y关于另一条对角线的长度x的函数.
S 1 xy 2
y 2S x
反比例函数
2、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
y=6000(1-x)2，0＜x＜1，
即 y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
S= -2x2+100x, 0＜x＜50. ① y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
①式与②式有什么共同点？它们与 一次函数的表达式有什么不同？
像关系①、②式那样，如果函数的表达式是自变量的二次 多项式，那么，这样的函数称为二次函数。
数学湘教2011课标版九年级下册
二次函数
学习目标
1.正确理解二次函数的概念与含义. 2.认识二次函数的一般形式.
一、复习引入：
1、设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的 值与它对应，那么就说y是x的 函数 ，x叫做 自变量 。
2.我们已经学过的函数有：形如 y=kx+b ，（ K ≠0 ）的函数是一次函数，
。
2
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
课堂作业
1．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
2．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（ ）
【例3】边长为20 cm的正方形铁片，中间剪去一个边长 是x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2) 与x(cm)之间的函数关系是 y=400-x2（0＜x＜20）.
练习
1.写出下列函数的解析式，并且指出它们中哪些是 二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数.
（1）正方形的面积S关于它的边长x的函数；
形如
y
k x
，(
K ≠0
)的函数是 反比例
函数.
思考
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形 植物园，如下图所示.已知篱笆墙的总长度为100 m，设与围墙 垂直的一面篱笆墙的长度为x(m)，那么矩形植物园的面积S(m2) 与x之间有何关系？
由于与围墙相邻的每一面篱笆墙的长度都为x m，可知， 与围墙相对的一面篱笆墙的长度为(100-2x) m.于是矩形植物 园的面积S与x之间有如下关系：
S=x(100-2x), 0＜x＜50
为什么有0＜x＜50？
即 S= -2x2+100x,0＜x＜50. ①
思考
某型号笔记本电脑两年前的销售价为6000元.现降价销售， 若每年的平均降价率为x，怎么用x来表示该型号电脑现在的售 价y(元)？ 分析：笔记本电脑每次降价后的售价
都是降价前的（1-x）倍，于是我们得到售 价y与平均降价率x之间有如下关系：
D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系
4.已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱 形的面积S与对角线a的关系_________．
5.若一个边长为cm的无盖正方体形纸盒的表面积为cm，则，其中的取值范围
是
。
6.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积与宽之间函数关系式：