湘教版九年级下册数学：11 二次函数
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数学湘教2011课标版九年级下册
二次函数
学习目标
1.正确理解二次函数的概念与含义. 2.认识二次函数的一般形式.
一、复习引入：
1、设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的 值与它对应，那么就说y是x的 函数 ，x叫做 自变量 。
2.我们已经学过的函数有：形如 y=kx+b ，（ K ≠0 ）的函数是一次函数，
二次函数的一般形式是什么样子？
y ax2 bx ca,b,c是常数，a 0.
为什么有a ≠ 0？
其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数，一次 项系数和常数项. 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但是对于实际问题中 的二次函数，它的自变量的取值范围会有一些限制.例如，上面 第一个例子中，0<x<50，在第二个例子中，0<x<1.
【例3】边长为20 cm的正方形铁片，中间剪去一个边长 是x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2) 与x(cm)之间的函数关系是 y=400-x2（0＜x＜20）.
练习
1.写出下列函数的解析式，并且指出它们中哪些是 二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数.
（1）正方形的面积S关于它的边长x的函数；
S=x2
二次函数
（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；
C=2 πr
一次函数
（3）圆的面积S关于它的半径r的函数；
S=π r 2
二次函数
（4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长 度y关于另一条对角线的长度x的函数.
S 1 xy 2
y 2S x
反比例函数
2、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
＋
x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】已知两个变量x、y之间的关系为 y m 2 xm2 2 x 1，
若x、y之间是二次函数关系，求m的值.
解：要使x、y之间是二次函数关系，
则，
m m
2 0 2 22
解得m= -2. 当m= -2时，y=-4x2+x-1.
所以，当m=-2时，x、y之间是二次函数关系.
y=6000(1-x)2，0＜x＜1，
即 y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
S= -2x2+100x, 0＜x＜50. ① y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
①式与②式有什么共同点？它们与 一次函数的表达式有什么不同？
像关系①、②式那样，如果函数的表达式是自变量的二次 多项式，那么，这样的函数称为二次函数。
D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系
4.已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱 形的面积S与对角线a的关系_________．
5.若一个边长为cm的无盖正方体形纸盒的表面积为cm，则，其中的取值范围
是
。
6.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积与宽之间函数关系式：
y x2 x>0 4
⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税， 求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
y 10000(1 1.98%)x x>0,x为整数
⑶菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对 角线长x（cm）之间的函数关系
s 1 x2 13x 0<x<26
A.S=2π（x＋3）2 B.S=9π＋x C.S=x42 πx2＋12x＋9 D .S=4πx2＋12πx＋9π
3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )
A.圆的周长与圆的半径之间的关系;
B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;
C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;
形如
y
k x
，(
K ≠0
)的函数是 反比例
函数.
Hale Waihona Puke Baidu 思考
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形 植物园，如下图所示.已知篱笆墙的总长度为100 m，设与围墙 垂直的一面篱笆墙的长度为x(m)，那么矩形植物园的面积S(m2) 与x之间有何关系？
由于与围墙相邻的每一面篱笆墙的长度都为x m，可知， 与围墙相对的一面篱笆墙的长度为(100-2x) m.于是矩形植物 园的面积S与x之间有如下关系：
。
【例1】下列函数中，是二次函数的有(C )
① y 1 2x2；②
y
1 x2
；③ y=x(1-x)；④ y=(1-2x)(1+2x).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
跟踪练习 下列函数中是二次函数的有（ A ）
①y=x＋
1 ；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－x2；④y= x
1 x2
S=x(100-2x), 0＜x＜50
为什么有0＜x＜50？
即 S= -2x2+100x,0＜x＜50. ①
思考
某型号笔记本电脑两年前的销售价为6000元.现降价销售， 若每年的平均降价率为x，怎么用x来表示该型号电脑现在的售 价y(元)？ 分析：笔记本电脑每次降价后的售价
都是降价前的（1-x）倍，于是我们得到售 价y与平均降价率x之间有如下关系：
2
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
课堂作业
1．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
2．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（ ）
二次函数
学习目标
1.正确理解二次函数的概念与含义. 2.认识二次函数的一般形式.
一、复习引入：
1、设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的 值与它对应，那么就说y是x的 函数 ，x叫做 自变量 。
2.我们已经学过的函数有：形如 y=kx+b ，（ K ≠0 ）的函数是一次函数，
二次函数的一般形式是什么样子？
y ax2 bx ca,b,c是常数，a 0.
为什么有a ≠ 0？
其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数，一次 项系数和常数项. 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但是对于实际问题中 的二次函数，它的自变量的取值范围会有一些限制.例如，上面 第一个例子中，0<x<50，在第二个例子中，0<x<1.
【例3】边长为20 cm的正方形铁片，中间剪去一个边长 是x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2) 与x(cm)之间的函数关系是 y=400-x2（0＜x＜20）.
练习
1.写出下列函数的解析式，并且指出它们中哪些是 二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数.
（1）正方形的面积S关于它的边长x的函数；
S=x2
二次函数
（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；
C=2 πr
一次函数
（3）圆的面积S关于它的半径r的函数；
S=π r 2
二次函数
（4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长 度y关于另一条对角线的长度x的函数.
S 1 xy 2
y 2S x
反比例函数
2、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
＋
x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】已知两个变量x、y之间的关系为 y m 2 xm2 2 x 1，
若x、y之间是二次函数关系，求m的值.
解：要使x、y之间是二次函数关系，
则，
m m
2 0 2 22
解得m= -2. 当m= -2时，y=-4x2+x-1.
所以，当m=-2时，x、y之间是二次函数关系.
y=6000(1-x)2，0＜x＜1，
即 y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
S= -2x2+100x, 0＜x＜50. ① y=6000x2-12000x+6000,0＜x＜1. ②
①式与②式有什么共同点？它们与 一次函数的表达式有什么不同？
像关系①、②式那样，如果函数的表达式是自变量的二次 多项式，那么，这样的函数称为二次函数。
D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系
4.已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱 形的面积S与对角线a的关系_________．
5.若一个边长为cm的无盖正方体形纸盒的表面积为cm，则，其中的取值范围
是
。
6.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积与宽之间函数关系式：
y x2 x>0 4
⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税， 求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
y 10000(1 1.98%)x x>0,x为整数
⑶菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对 角线长x（cm）之间的函数关系
s 1 x2 13x 0<x<26
A.S=2π（x＋3）2 B.S=9π＋x C.S=x42 πx2＋12x＋9 D .S=4πx2＋12πx＋9π
3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )
A.圆的周长与圆的半径之间的关系;
B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;
C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;
形如
y
k x
，(
K ≠0
)的函数是 反比例
函数.
Hale Waihona Puke Baidu 思考
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形 植物园，如下图所示.已知篱笆墙的总长度为100 m，设与围墙 垂直的一面篱笆墙的长度为x(m)，那么矩形植物园的面积S(m2) 与x之间有何关系？
由于与围墙相邻的每一面篱笆墙的长度都为x m，可知， 与围墙相对的一面篱笆墙的长度为(100-2x) m.于是矩形植物 园的面积S与x之间有如下关系：
。
【例1】下列函数中，是二次函数的有(C )
① y 1 2x2；②
y
1 x2
；③ y=x(1-x)；④ y=(1-2x)(1+2x).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
跟踪练习 下列函数中是二次函数的有（ A ）
①y=x＋
1 ；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－x2；④y= x
1 x2
S=x(100-2x), 0＜x＜50
为什么有0＜x＜50？
即 S= -2x2+100x,0＜x＜50. ①
思考
某型号笔记本电脑两年前的销售价为6000元.现降价销售， 若每年的平均降价率为x，怎么用x来表示该型号电脑现在的售 价y(元)？ 分析：笔记本电脑每次降价后的售价
都是降价前的（1-x）倍，于是我们得到售 价y与平均降价率x之间有如下关系：
2
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
课堂作业
1．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
2．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（ ）