复杂抽屉原理
[第14讲]复杂抽屉原理
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[第14讲]复杂抽屉原理复杂抽屉原理，也被称为鸽笼原理或抽屉原理，是数学中一个非常重要的概念。
它通过分析在一定条件下，放入抽屉中的物体个数与抽屉的个数之间的关系，来说明一些事物的不可能性或必然性。
复杂抽屉原理的基本概念可以通过一个简单的例子来说明。
假设有4枚不同的硬币要放入3个抽屉中，根据简单的推理，至少有一个抽屉里会有两个硬币。
这是由于有4枚硬币，而只有3个抽屉，所以无论怎么放，至少有一个抽屉中的硬币数会超过1个。
这个例子可以理解为：如果有n+1个物体要放入n个容器中，那么至少有一个容器中至少有2个物体。
复杂抽屉原理的应用非常广泛，它可以帮助解决各种问题。
下面我们来探讨一些与复杂抽屉原理相关的例子。
首先，我们来看一个经典的例子：生日问题。
假设有一个房间里有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率有多大呢？根据抽屉原理，我们可以将365天当作365个抽屉，每个人的生日当作一个物体，那么至少有两个人生日相同相当于说至少有一个抽屉里放了两个物体。
根据概率计算，这个概率约为50%。
这个例子告诉我们，人数相对较小的时候，生日相同的概率并不是很高，但是随着人数的增加，这个概率会迅速增大。
接下来，我们来看一个与解决方案数量相关的例子。
假设一个班级里有30个学生，要选择其中的3个人组队，那么一共有多少种不同的组队方式呢？根据组合的原理，我们可以计算出这个数量为C(30,3)=4060种。
从另一个角度来看，我们可以将这个问题理解为将30个物体放入3个抽屉中，那么根据抽屉原理，至少有一个抽屉里的物体数目大于等于16，也就是说至少有一个组队里的人数大于等于16人。
最后，我们来看一个箱子与物品数量相关的例子。
假设我们有10个球，其中5个红色，5个蓝色。
如果我们要将这些球放入两个箱子中，那么至少需要将多少个球放入一个箱子中，才能确保另一个箱子中也有至少5个同色的球？根据抽屉原理，我们可以将红球当作一种物体，蓝球当作另一种物体。
抽屉原理问题知识点总结
抽屉原理问题知识点总结抽屉原理的基本形式是：如果n个物品被放置到m个抽屉中，并且n > m，那么至少有一个抽屉中有超过一个物品。
抽屉原理的应用非常广泛，它不仅出现在数学领域，还涉及到计算机科学、逻辑学、统计学、概率论等方面。
总结抽屉原理的知识点，可以从以下几个方面来展开。
一、基本概念1. 抽屉原理的概念抽屉原理是由德国数学家穆勒（Dirichlet）在1834年提出的。
它的基本概念是指如果有n个物品要放到m个抽屉里，且n > m，那么至少有一个抽屉里面有至少两个物品。
2. 抽屉原理的表述抽屉原理还可以用集合的交并运算来表述，即如果n个单个的数的和大于(n-1)倍的抽屉数，则必定存在多个数分配到同一个抽屉里。
3. 抽屉原理的思维方法抽屉原理是一种常见的数学论证方法，它的核心思想是通过将物品放入抽屉的过程，然后证明必然会有至少一个抽屉中包含多个物品。
这种思维方法在解决相关问题时非常重要。
二、抽屉原理的应用1. 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理经常用来解决散列冲突问题。
当散列表的大小是有限的时候，存储的数据项的数量可能会比散列表的大小大，这时就可能会出现散列冲突。
抽屉原理可以帮助我们理解为什么散列冲突总是不可避免的。
2. 统计学在统计学中，抽屉原理可以用来解释生日悖论。
生日悖论是指在一个小的群体中，其中两人有相同生日的概率实际上要比我们直觉上想象的要高得多。
这一现象可以通过抽屉原理来很好地解释。
3. 概率论在概率论中，抽屉原理可以用来解决一些排列组合的问题。
例如，如果有n+1个物品要放到n个抽屉中，那么必然有一个抽屉中至少有两个物品。
这对于解决某些赌博游戏中的概率问题很有帮助。
4. 逻辑学在逻辑学中，抽屉原理可以用来解释一些谬误和伪命题。
例如，当有大于两个的命题时，就一定会出现至少两个命题具有相同的逻辑值。
三、抽屉原理的证明1. 直接证明法抽屉原理最简单的证明方法是使用直接证明法。
假设放置的物品数大于抽屉的数量，通过逻辑推理可以得出至少有一个抽屉至少有两个物品。
抽屉原理精解
第一抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
[证明](反证法)：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能。
原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
[证明](反证法)：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。
第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
[证明](反证法)：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
抽屉原理，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决．那么，什么是抽屉原理呢？我们先从一个最简单的例子谈起．将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放．这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果．虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果．如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果。
通过上面的分析，我们可以将上面问题中包含的基本原理写成下面的一般形式．抽屉原理（一）：把多于几个的元素按任一确定的方式分成几个集合，那么一定至少有一个集合中，至少含有两个元素．应用抽屉原理来解题，首先要审题，即分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，来设计抽屉，在应用抽屉原理解题时，正确地设计抽屉是解题的关键．例1 有红、黄、绿三种颜色的小球各四颗混放在一只盒子里，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，一次至少要取几颗？A、3B、4C、5D、6分析：将三种不同的颜色看作三个抽屉，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，即要求至少有两颗小球出自同一抽屉，因此一次至少要取4颗小球．例2 某班有30名学生，班里建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问小书库中至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学一次能至少借到两本书？A、28B、29C、30D、31分析：将30名同学看作30个“抽屉”，而将书看作“苹果”，根据抽屉原理，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的“苹果”，因此，小书库中至少要有31本书，才能保证至少有一位同学一次能借到两本或两本以上的图书。
抽屉原理的抽屉构造法
抽屉原理（Pigeonhole Principle）是一个在数学和计算机科学中广泛使用的定理，它的核心思想是如果有n个物品要放进m个抽屉里，且n>m，那么必定有至少一个抽屉至少有两个物品。
抽屉原理的抽屉构造法是一种证明抽屉原理的方法，它的基本步骤如下：
1.确定待证明的定理，即有n个物品要放进m个抽屉里，且n>m，必定有至少一个
抽屉至少有两个物品。
2.建立抽屉构造模型，把抽屉和物品都视为集合，用一个函数f(x)表示把第x个物品
放入第f(x)个抽屉。
3.反证法，假设在n个物品要放进m个抽屉的情况下，所有的抽屉都只有一个物品。
列出矛盾，即n个物品只能放入了n个抽屉，而m>n，这与假设矛盾。
4.得出结论，即在n个物品要放入m个抽屉的情况下，必定有至少一个抽屉至少有
两个物品。
通过抽屉构造法证明抽屉原理，可以帮助我们更好地理解这个定理，并且这种证明方法在其他数学定理的证明中也有所应用。
复杂抽屉原理
复杂抽屉原理抽屉原理是数学中的一条基本原理，它也被称为鸽巢原理。
它的基本内容是：如果将n+1个物体放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉中会放有两个物体。
这个原理的应用非常广泛，其中包括数论、组合数学、计算机科学等领域。
在这篇文章中，我们将讨论抽屉原理的一个更加复杂的应用。
抽屉原理的提高篇主要关注如何应用抽屉原理来解决更加复杂的问题。
在这篇文章中，我们将讨论两个重要的问题：分配问题和二元关系问题。
首先，让我们来看一个分配问题。
假设有10个学生和9个座位，这些座位按顺序排列在一排中。
每个学生只能坐在一个座位上，而座位上只能坐一个学生。
当我们尝试将这10个学生分配到这9个座位上时，根据抽屉原理，至少会有一个座位被两个学生占据。
这是因为我们有10个学生和9个座位，所以无论怎样分配，至少有一个座位会被多个学生占据。
另一个例子是二元关系问题。
假设有10个人，他们间有一些人是否认识对方的关系。
那么必然存在两个人同时认识对方或者同时不认识对方。
为了解释这个问题，我们可以将每个人表示为一个抽屉，如果两个人认识对方，则在他们之间有一条线连接。
根据抽屉原理，如果有10个人，那么至少有两个人的度数相同。
度数指的是一个人被对方认识的次数。
因为每个人可以认识其他九个人，所以度数范围是0到9、由于有10个人，而只有9个可能的度数，根据抽屉原理，至少有两个人的度数是相同的。
这个提高篇的抽屉原理实际上是对抽屉原理的进一步推广。
它告诉我们，即使是在比抽屉数目（或物体数目）少的情况下，我们仍然可以得到其中一种结论。
这对于解决一些复杂的问题非常有用，尤其是在数学和计算机科学等领域。
总结起来，抽屉原理的提高篇是抽屉原理的一个更加复杂的应用。
通过这种推广，我们可以解决一些分配问题和二元关系问题。
这对于我们理解抽屉原理的深入和应用有着重要的意义。
希望这篇文章可以帮助读者更好地理解和应用这个重要的数学原理。
抽屉原理
抽屉原理【知识要点】抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。
这个人人皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。
用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。
原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
原理2：把m个元素任意放入n（n＜m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。
其中k＝商（当n能整除m时）商＋1 （当n不能整除m时）原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
【解题步骤】第一步：分析题意。
分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用抽屉原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
【例题讲解】例1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业。
求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。
证明：将5名学生看作5个苹果，将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉。
由抽屉原理1，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果，即至少有两名学生在做同一科的作业。
例2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？分析与解答：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于3大于3的最小数字是4。
故至少取出4个小球才能符合要求。
例3、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
高斯小学奥数四年级下册含答案第20讲_复杂抽屉原理
第二十讲复杂抽屉原理在《简单抽屉原理》中，我们学习了运用抽屉原理处理一些简单问题，以及最不利原则的一些简单应用．抽屉原理：把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m n÷”个苹果；÷没有余数，那么一定有抽屉至少放了“m n（2）如果m n÷的商再加1”个苹果．÷有余数，那么一定有抽屉至少放了“m n例题1（1）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有两个颜色相同？（2）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有四个颜色相同？「分析」第（1）题中，好好思考一下，如果要想取出的球颜色都不相同，那么最多可以取出多少个球呢？练习1箱子里有12种形状不同的积木，每种都足够多，一次至少要取几个，才能保证其中一定有三个形状相同？本讲，我们要学习抽屉原理在计数、数字、表格、图形等具体问题中较复杂的应用．要能根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还要构造出能达到最佳效果的例子．例题2盒子里有四色球各100个，每次从中摸出2个球，请问：至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出球的颜色情况是相同的？「分析」从盒子中取出2个球，颜色情况一共有多少种可能呢？练习2小高把一副围棋混装在一个盒子里，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，请问：他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）例题3将下图3行7列的方格纸的每格染成红色、黄色或绿色，要求每列的三个方格所染的颜色互不相同．请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．「分析」题目要求我们说明有两列的染色方法一样，因此我们应该先考虑每列能够怎么染色．方格纸一共有5列，根据抽屉原理，只要每列染色的方法少于5种，就会有两列染色方式一样．那每列有哪些不同的染色方式呢？练习3将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的．有很多抽屉原理的题目是与数字结合的，运用数字相关的一些知识来构造抽屉，这也是我们本讲要学习的重要内容．例题41至30这30个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于31？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于3？「分析」第（1）要求取出的数中，才能保证一定有两个数和为31，那么我们应该首先考虑一下，要想使得任意两数之和都不等于31，我们最多可以取出多少数呢？练习41至20这20个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于21？至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于5？除了利用与数字相关的知识来构造抽屉之外，还有一些与图形周长、面积相关的问题．这类问题往往需要根据图形特点进行分割，从而构造出抽屉．例题5（1）在一个边长为2的正方形里随意放入3个点，这3个点所能连出的三角形面积最大是多少？（2）在边长为4的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过2．（本题中的点都可以放在正方形的边界上）「分析」（1）在边长为2的正方形中放入3个点，我们比较容易想到正方形的三个顶点，三个顶点构成的三角形面积为2．那能否说明放在任意位置三角形面积都不超过2呢？（2）由（1）的结论，正方形内3个点构成的三角形面积不超过正方形面积的一半．应该如何来构造抽屉呢？例题6试说明：任意六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人．「分析」我们不妨画个图来分析一下六个人之间的关系，用实线表示认识，用虚线表示不认识．思考一下，根据抽屉原理，你会发现其中的一个人“甲”与其他5个人的关系可能会是什么情况呢？课堂内外狄利克雷狄利克雷（Dirichilet，Peter Gustay Lejeune）德国数学家，1805年2月13日生于德国迪伦，1859年5月5日卒于格丁根．狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以高斯为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期．狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，称为高斯之后与C.G.J.雅强比（Jacobi）齐名的德国数学界的一位核心人物．狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长．狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自己攒零钱购买数学图书．1987年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好，人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生．两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾师从物理学家欧姆，学到了必要的物理学基础知识．16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业．当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如明星的数学家．1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读．1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文；1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A.洪堡的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格，后升任编外教授．1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术氛围较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院．同年，他又被聘为柏林大学编外教授，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯．由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，淳淳善诱，培养了一批优秀数学家，对德国成为19世纪后期国际上又一个数学中心产生了巨大影响．1831年，狄利克雷称为柏林科学院院士．1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教．1858年夏，他去瑞士蒙特勒开会，做纪念高斯的演讲，突发心脏病．他安全返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞．作业1. 箱子里有5种颜色相同的积木，每种都足够多，那么一次至少要取多少个，才能保证一定有5个颜色相同？2. 小高把一副围棋棋子混装在一个盒子里，然后每次从盒子里左右手各摸出1枚棋子，那么他至少要摸多少次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）3. 从1至50中，至少取出多少个数，才能保证一定有两个数的和是奇数？4. 能否在4行4列的方格表的每个空格中分别填上1、2、3这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数之和互不相同？5．任意写一个由数字1，2，3组成的十一位数，从这个十一位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，至少有两个相等．第二十讲复杂抽屉原理1.例题1答案：5；13详解：（1）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有1个，再任意取一个就可以满足要求．所以至少要取415+=个才能保证一定有两个颜色相同．（2）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有3个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取43113⨯+=个才能保证一定有四个颜色相同．2.例题2答案：21详解：摸出两个球，颜色共有10种可能（枚举可得），即10个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有球中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取102121⨯+=次才能保证一定有三次摸出球的颜色情况是相同的．3.例题3答案：证明略详解：每一列三个方格染色情况共有333216A=⨯⨯=种可能．一共有7列，7611÷=，所以一定至少有两列染色方式是一样的．4.例题4答案：16个；16个详解：（1）把1~30这30个数分为如下15组——（1，30）、（2，29）、（3，28）、……、（15，16），每一组的两个数之和都是31，而且不是同组的两个数之和一定不等于31．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出15116+=个数，才能保证一定有两个数的和等于31．（2）把1~30这30个数进行如下分组：（1，4，7，10，13，16，19，22，25，28）（2，5，8，11，14，17，20，23，26，29）（3，6，9，12，15，18，21，24，27，30）共3组，每组有10个数，连续两个数的差都是3，不连续的3个数的差都不为3，而且不同组的两个数之差一定不是3．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取5个，那么再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出53116⨯+=个才能保证一定有两个数的差为3．5. 例题5答案：（1）2；（2）证明略详解：面积最大为正方形的一半，即2222⨯÷=．此时，其中两个点恰好为某一条边的两个端点，第三个点在该边的对边上．把边长为4的正方形分成4个22⨯的小正方形．9个点放进去，9421÷=，那么一定至少有3个点是在同一个小正方形中的．那么这3个点所构成的三角形面积一定不超过2（即第1问）．6. 例题6答案：不能详解：用实线相连表示认识，虚线相连表示不认识，如图，A 和其他5个人，要么认识，要么不认识，所以一定有三条线是相同的，假设有3条是实线：接下来连接B 、C 、D 三个人，每两个人只有两种连接方法，要么实线、要么虚线．如果有实线，则这两个人与A 三人互相认识；如果全是虚线相连，则B 、C 、D 三人互相不认识．即证．7. 练习1答案：25简答：利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的积木中，每种形状都有且仅有2个，再任取一个就可以满足要求．所以至少要取122125⨯+=个才能保证一定有四个颜色相同．8. 练习2答案：11简答：摸出4枚棋子，颜色共有5种可能（枚举可得），即5个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的情况是，摸出的所有棋子中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要求．所以至少要取52111⨯+=次才能保证一定有三次摸出棋子的颜色情况是相同的．9. 练习3答案：证明略简答：每一列两个方格染色情况共有224⨯=种可能．共5列，5411÷=．10.练习4答案：11个；11个简答：（1）把1~20这20个数分为如下10组——（1，20）、（2，19）、（3，18）、……、（10，11），每一组的两个数之和都是21，而且不是同组的两个数之和一定不等于21．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么+=个数，才能保证一定有两再任意取一个即可满足要求，所以至少要取出10111个数的和等于21．（2）把1~20这20个数进行如下分组：（1，6，1，16）（2，7，12，17）（3，8，13，18）（4，9，14，19）（5，10，15，20）共5组，每组有4个数，连续两个数的差都是5，不连续的2个数的差都不为5，而且不同组的两个数之差一定不是5．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取2个，那么再任意取一个即可满足要⨯+=个才能保证一定有两个数的差为3．求，所以至少要取出2511111.作业1答案：21简答：应用最不利原则，要保证一定有5个颜色相同，则首先每种颜色都取4个，⨯+=个．再任取1个即可．所以至少要取5412112.作业2答案：9简答：从盒子里左右手各摸出1枚围棋棋子，共有黑黑、黑白、白黑、白白四种可能．要保证有三次摸出棋子颜色情况相同，应用最不利原则，当每种情况都出现了两次时，再随意摸出一次，就一定有三次的颜色情况是相同的，即至少要摸出⨯+=次．241913.作业3答案：26简答：要保证一定有两个数的和是奇数，即要保证一定有两个数奇偶性不同，1至50中，共有25个奇数、25个偶数，所以至少要取出25126+=个数，才能保证一定有两个数奇偶性不同．14.作业4答案：不能简答：44⨯的方格表，行和、列和、对角线和共有10个．当把1、2、3填进去时，4个数的和最小为144⨯=，最大为3412⨯=，共有9种可能，所以行和、列和、对角线和这10个数不可能互不相同．15.作业5答案：证明略简答：由数字1、2、3组成的十一位数，任意截取相邻两位，所得的两位数所包含的十位、个位两个数字只可能是1、2、3，所以这样的两位数一共有339⨯=种可能．而从十一位数字中截取的两位数一共会有10个，10911÷=，所以至少有两个所截两位数是相等的．。
抽屉原理[1].
![抽屉原理[1].](https://img.taocdn.com/s3/m/69c28463aef8941ea66e055b.png)
一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数=x 1Y ：X Y n-1,结论：至少有（商+ 1 ）个苹果在同一个抽屉里（3） 余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 “任我意” 方法、特殊值方法.知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子•对吗?【巩固】 把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.8-2抽屉原理、【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.【巩固】年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日•”你知道张老师为什么这样说吗？【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样. 【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相冋的学生？【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相冋.【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是冋一天？【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名冋学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名冋学，他们的朋友人数一样多.【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
第11讲 复杂抽屉原理
例题6
在边长为1的正方形里放入51个点，这51个点任意三点不共线，
请说明：这51个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过0.02。
【答案】：见解析。 【解析】： 将正方形沿一条边等分为 25 份，下图仅表示其中的 2 部分，则由抽屉原理知：必然 有 3 个点在同一个区域，那么由这 3 个点所构成的三角形的面积必然不超过该区域 的一半，即长方形面积的五十分之一，因此这 51 个点中一定有 3 个点构成的三角形 的面积不超过 0.02。
【答案】：7 人。 【解析】：
1+2+3+L +11=66本 ， 400 66=6L L 4， 6+1=7人
练习1
把325个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过8个。 问：至少有几只猴子得到的桃子一样多;2+3+L +8=36个 ， 325 36=9L L 1， 9+1=10只
最多可以取出 5+5+4+1=15 （个）。
练习4
从1至50这50个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和
都不能被9整除，则最多能取出多少个数？
【答案】：25。 【解析】： 将 1~50 这 50 个数，按照除以 9 的余数分为：0、1、2、3、4、5、6、7、8 这 9 类。 每类所含的数的个数分别为 5、6、6、6、6、6、5、5、5。 被 9 除余 1 与余 8 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同 理，被 9 除余 2 与余 7 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 被 9 除余 3 与余 6 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被 9 除余 4 与余 5 的两个数之和是 9 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个 数都是 9 的倍数，和也是 9 的倍数，所以 9 的倍数中只能取 1 个。所以最多可以取
抽屉原理课件
抽屉原理课件抽屉原理课件抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是一个在离散数学中被广泛应用的概念。
它的基本思想是：如果有十个苹果放入九个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会有两个苹果。
虽然这个原理看起来很简单，但它在解决很多实际问题中起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨抽屉原理的应用以及它对我们日常生活的影响。
抽屉原理最早由德国数学家约瑟夫·斯图尔特在19世纪末提出。
他认为，当我们将苹果放入抽屉中时，我们可以将苹果视为物体，抽屉视为容器。
这个原理可以用来解决很多实际问题，比如密码学、计算机科学、概率论等等。
在密码学中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组随机生成的密码中，总会有一些密码是相同的。
在计算机科学中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组数据中，总会有一些数据具有相同的特征。
在概率论中，抽屉原理可以用来解释为什么在一组随机事件中，总会有一些事件具有相同的概率。
抽屉原理的应用不仅限于数学领域，它还可以用来解释一些日常生活中的现象。
比如，我们常常会发现，当我们去购买衣服时，总会有一些衣服的尺寸不合适。
这可以用抽屉原理来解释，因为在一组不同尺寸的衣服中，总会有一些尺寸与我们的身体尺寸相匹配。
又比如，当我们在超市购买水果时，总会发现一些水果有瑕疵。
这可以用抽屉原理来解释，因为在一组水果中，总会有一些水果因为各种原因而变质或者损坏。
抽屉原理的深层次含义在于，它告诉我们世界上的事物是有规律可循的。
无论是数学中的问题，还是生活中的现象，都可以通过抽屉原理来解释和理解。
这也意味着我们需要保持警觉，不要被表面现象所迷惑，而要去寻找问题的本质和规律。
只有这样，我们才能更好地应对挑战和解决问题。
在教育领域，抽屉原理也有着重要的应用价值。
通过将抽屉原理引入课堂教学，可以帮助学生培养逻辑思维和问题解决能力。
例如，在数学课上，老师可以通过抽屉原理的例子来教授概率论，让学生更好地理解概率的概念和计算方法。
在物理课上，老师可以通过抽屉原理的例子来教授力学的基本原理，让学生了解物体在受力作用下的运动规律。
复杂抽屉原理知识点总结
复杂抽屉原理知识点总结1.抽屉原理的基本概念抽屉原理是组合数学中的一个基本概念，它描述了一种常见的现象：如果有n个抽屉和m 个物品要放进这些抽屉中，那么当m>n时，至少有一个抽屉中会有两个或以上的物品。
这个原理背后的逻辑是很直观的，因为当物品的数量超过了抽屉的数量，就不可能每个物品都有自己独立的抽屉，必然会有抽屉中有多个物品。
这个概念在计算机科学、概率论、统计学等领域都有着十分重要的应用，因此对抽屉原理的理解和运用至关重要。
2. 抽屉原理的证明抽屉原理的证明可以通过反证法来进行。
假设有n个抽屉和m个物品，假设每个抽屉中最多只有一个物品，那么总共最多只能放n个物品，这与有m个物品的情况矛盾。
因此可以得出结论：当m>n时，至少有一个抽屉中会有两个或以上的物品。
3. 抽屉原理的应用抽屉原理在计算机科学、统计学、概率论等领域都有着广泛的应用。
在计算机科学中，抽屉原理常常用来证明算法的正确性。
在设计算法的过程中，要保证算法能够处理所有可能的输入，而抽屉原理能够帮助我们找到重复的输入，以便对算法进行优化。
在概率论中，抽屉原理可以用来解决一些问题，比如生日问题：如果在一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？抽屉原理可以帮助我们解答这个问题。
同样地，在统计学中，抽屉原理可以帮助我们理解抽样调查的有效性，以及分析数据的相关性等问题。
4. 抽屉原理的扩展除了基本的抽屉原理，还有一些抽屉原理的扩展和变种。
比如广义抽屉原理，它描述了更一般的情况，即如果有n个容量为m的容器，要放入(m+1)(n-1)+1个物品，那么至少有一个容器中会有n+1个或以上的物品。
除此之外，还有加强版的抽屉原理、弱化版的抽屉原理，以及抽屉原理的多重运用等。
了解这些抽屉原理的扩展，有助于我们更深入地理解这个概念，以及在更多的情况下运用抽屉原理进行问题的解决。
5. 抽屉原理的启示抽屉原理不仅仅是一种数学定理，更是一种思维方式。
【小高数学知识点】抽屉原理
抽屉原理一、知识结构图抽屉原理二、方法讲解抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。
它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。
1、抽屉原理将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
例如：有5个苹果放进4个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了 个苹果；将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
例如：如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
如果把97个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
如果把98个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。
2、最不利原则这是一种从反面思考问题的思想，也是抽屉原理中非常重要的思考方法，就是从最不利的方向出发分析问题。
例如：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？解析：（1）如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，答案是 ，这是从最有利原则考虑的，这是最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同，而不是“保证至少有4个小球颜色相同”。
（2）为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出 个红球、 个黄球和 个蓝球，此时三种颜色的球都是 个，却无 个球同色。
这样摸出的 个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出 个球。
一、抽屉原理简介
一、抽屉原理简介抽屉原理又称鸽巢原理，“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”原理1：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
原理2：把多于个kn物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
原理3：无穷多个元素分成n个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素。
在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。
现行的小学课本中只编排了抽屉原理1、2的教学。
二、运用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。
分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“要分的物体”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
三、理解抽屉原理要注意几点（1）抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
四、教学建议1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。
第9讲 复杂抽屉原理
运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题．这里不仅“抽屉”与“苹果”需要恰当地设计与选取，而且有时还应构造出达到最佳状态的例子．1．从1，2，3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【分析与解】1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25，…，这些数中任何两个数的差都不为4，这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数．有1989÷8=248……5，所以最多可以选248×4+4=996个数．评注：对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选择，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个.2．从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？【分析与解】1，3，6，8，11，13，16，18，21，…，这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第1、3个数．1993÷5=398……3.所以最多可以选398×2+2=798个数．评注：当然还可以是1，4，6，9，11，14，16，19，21，…，这些数满足条件，是每5个连续的数中选择第1、4个数．但是此时最多只能选出398×2+l=797个数．3.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍?【分析与解】方法一：直接从1开始选1，3，4，5，7，9，11，12，这样可以选出8个数；而从2开始选2，3，5，7，8，9，11，12，这样也是可以选出8个数．3包含在组内，因此只用考虑这两种情况即可．所以，在满足题意情况下，最多可以选出8个数．方法二：我们知道选多少个奇数均满足，有1，3，5，7，9，11均为奇数，并且有偶数中4的倍数，但不是8的倍数的也满足，有4，12是这样的数．所以，在满足题意情况下最多可以选出8个数．4．从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【分析与解】方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.3×33：99，于是从35开始，199的奇数中没有一个是35～99的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35，37，39，…，99这些奇数即可．共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．方法二：利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组．(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33组．前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数．即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．评注：12n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2，3．……，2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1，2，3．……3n中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1，2，3，……， mn中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数).5．证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．【分析与解】因为两个不同的两位数相减得到的差不可能为三位或三位以上的数．如果这个差是1l 的倍数，那么一定有这个差的个位与十位数字相同．两个数的差除以1l的余数有0、1、2、3、…、10这11种情况．将这11种情况视为11个抽屉．将12个数视为12个苹果，那么必定有两个苹果在同一抽屉，也就是说有两个数除以11的余数相同，那么它们的差一定是11的倍数．而两个两位数的差一定是一个两位数，如果这个差是11的倍数，那么就有个数与十位数字相等．问题得证．评注：抽屉原理一：将n+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有两个元素．抽屉原理二：将nr+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有r+1个元素．抽屉原理三：将m个元素放到n个抽屉中去(m≥n)，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有11 mn-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个元素．6．从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?【分析与解】 利用除以7的余数分类：余0：(7，14，21，28，35，42，49)；余1：(1，8，15，22，29，36，43，50)；余2：(2，9，16，23，30，37，44)；余3：(3，10，17，24，31，38，45)；余4：(4，11，18，25，32，39，46)；余5：(5，12，19，26，33，40，47)；余6：(6，13，20，27，34，41，48)．第一组内的数最多只能取1个；如果取第二组，那么不能取第七组内任何一个数；取第三组，不能取第六组内任何一个数；取第四组，不能取第五组内任意一个数．第二、三、四、五、六、七组分别有8、7、7、7、7、7个数，所以最多可以取1+8+7+7=23个数．7．从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．【分析与解】 (1)我们将1～100分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，…，(99，100)这50组，每组内的数相邻．而相邻的两个自然数互质．将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质．而现在51个数，放进50个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉，于是这两个数互质．问题得证．(2)我们将1—100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，…，(40，90)，…(50，100)这50组，每组内的数相差50．将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50．问题得证．(3)我们将1—100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2，4，6，8，…，98，100)，(3，9，15，21，27，…，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23，…，95，97)这三组．第一、二、三组分别有50、17、33个元素．最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组．所以这9个数的最大公约数为2或3或它们的倍数，显然大于1．问题得证8．求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【分析与解】注意到1996=4×499；对于l ，1l ，11l ，…， 44011111个中必定有两个数关于499同余．于是11111m 个≡11111n 个(mod 499)(m>n)． 有11111m 个-11111n 个=111110000m n -个n 个0，所以499 111110000m n -个n 个0，因为(499，10000n 个0)=l ，所以4991111m-n 个1；于是有(499×4)（1111m-n 个14），即19964444m-n 个4于是，就找到这样的全部都是由4组成的数字，是1996的倍数．评注：11111k 个、33333k 个、77777k 个、99999k 个可整除不合2，5因数的任何整数；22222k 个、44444k 个、66666k 个、88888k 个整除不含因数5(因数2分别只能含1，2，2，3个)的任何整数；55555k 个整除不含因数2(因数5只能含1个)的任何整数．9．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?【分析与解】 将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：(1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49)；(2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49)；(8×9)、(8×10)、(8 ×11)、(8×12)；(9×10)、(9×11).因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18 ×2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数．例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4 ×16)、(16 X 3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18 ×1)、(1×10)．共出现l ～18号，共18个孩子．若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对．那么在9组中取出19个数时，有19=9×2+1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上)，由分析知，这是不允许的．故最多挑出18个孩子．10. 在边长为1的正方形内随意放进9个点，证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于18．【分析与解】 如下图，把正方形分成四个形状相同、大小相等的正方形．9个点任意放人这四个正方形中．根据抽屉原理，多于2×4个点放入四个长方形中，至少有2+1个点(即3个点)落在某一个正方形之内．现在，特别取出这个正方形来加以讨论．把落在这正方形中的三点组成的三角形记为△ABC ，其面积不超过小正方形面积的12，所以其面积不超过18．这样就得到了需要证明的结论．评注：在边长为1的等边三角形中有21n +个点，这21n +个点中一定有距离不大于1n的两点；在边长为l 的等边三角形内有21n +个点，这21n +个点中一定有距离小于1n 的两点． 已知平行四边形中，其面积为l ，现有221n +个点，则必定有三点组成的三角形，其面积不大于212n ； 已知三角形中，其面积为1，现有221n +个点，则必定有三点组成的三角形，其面积不大于21n ．11．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?【分析与解】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生．经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生． 经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的．如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同组的人数为16÷2=8人，第二个月保持同组的人数为8÷2=4人，第三个月保持同组人数为4÷2=2人，这说明，照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月．12．上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．【分析与解】 因为只有男生或女生两种情况，所以第1行的7个位置中至少有4个位置同性别． 为了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女生． 又第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二行构成四角同性别的矩形．所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同性别．问题得证．13．8个学生解8道题目．(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.【分析与解】 (1)先设每道题被一人解出称为一次，那么8道题目至少共解出5⨯8=40次，分到8个学生身上，至少有一个学生解出了5次或5次以上题目，即这个学生至少解出5道题，称这个学生为4，我们讨论以下4种可能：4只解出5道题，则另3道题应由其他7个人解出，而3道题至少共被解出3⨯5=15次，分到7个学生身上，至少有一名同学解出了3次或3次以上的题目(15=2⨯7+1，由抽屉原则便知)由于只有3道题，那么这3道题被一名学生全部解出，记这名同学为B ．那么，每道题至少被A 、B 两名同学中某人解出．A解出6道题，则另2道题应由另7人解出，而2道题至少共被解出2×5=10次，分到7个同学身上，至少有一名同学解出2次或2次以上的题目(10=1⨯7+3，由抽屉原则便知)．与l第一种可能I同理，这两道题必被一名学生全部解出，记这名同学为C．那么，每道题目至少被A、C学生中一人解出．若A解出7道题目，则另一题必由另一人解出，记此人为D．那么，每道题目至少被A、D两名学生中一人解出．A解出8道题目，则随意找一名学生，记为E，那么，每道题目至少被A、E两名学生中一人解出，所以问题(1)得证．(2)类似问题(1)中的想法，题目共被解出8⨯4=32次，可以使每名学生都解出4次，那么每人解出4道题．随便找一名学生，必有4道未被他解出，这4道题共被7名同学解出4⨯4=16次，由于16=2×7+2，可以使每名同学解出题目不超过3道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至少被其中一人解出．具体构造如下表，其中汉字代表题号，数字代表学生，打√代表该位置对应的题目被该位置对应的学生解出．14．时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n个120的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．【分析与解】如下图，只要从某个数字对应的位置开始，做出的120扇形，一定能覆盖4个数．从最不利的情况出发，n个扇形中最大程度的重叠，需做(12，1，2，3)，(1，2，3，4)，(2，3，4，5)，(3，4，5，6)，(4，5，6，7)，(5，6，7，8)，(6，7，8，9)，(7，8，9，10)，(8，9，10，11)这9个120。
复杂抽屉原理
【例 2】(★★★) 从 1、2、3、4，…，2013 这些自然数中， 最多可以取_____个数，能使这 些数中任意两个数的差都不等于 9。 【例 3】(★★★★) 某次选拔考试，共有 2007 名同学参加，海海说：“至少有 10 名同学来自同 一个学校。”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入 学考试？
【例 4】(★★★★) 求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到 6 个数 a、b、c、d、e、f， 使得(a－b)(c－d)(e－f)是 105 的倍数。
【例 5】(★★★★★) 任意给定 2012 个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是 2012 的倍数 (单独一个数也当做和)。
【例 7】(★★★★★)2012 学而思杯四年级 16 题 国王有 2012 名武士，每两名武士பைடு நூலகம்么互相是朋友，要么互相是敌人，要么 互相不认识。每人只同朋友讲话。但不巧的是，每名武士的任意两个朋友都 互为敌人，他的任意两个敌人都互为朋友。国王为了让这 2012 名武士都知 道他的一项命令，最少要通知___________名武士。
【例 6】(★★★★★) 假设在一个平面上有任意六个点， 无三点共线， 每两点用红色或蓝色的线段 连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形 的三边同色？
本讲总结 一个原理：抽屉原理 一个原则：最不利原则 一个技巧：简单性质反复应用 重点例题：例 1，例 2，例 3，例 4
1
复杂抽屉原理
加油站 抽屉原理： 将 n 件物品放入 m 个抽屉中，如果 n÷m＝a，那么一定有一个抽屉中至少有 a 件物品。 将 n 件物品放入 m 个抽屉中，如果 n÷m＝a…b，其中 b＞0，那么一定有一 个抽屉中至少有（a＋1）件物品。 【例 1】(★★★) 从 1、2、3、4、…、19、20 这 20 个自然数中，至少任选几个数，就可以保 证其中一定包括两个数，它们的差是 12。
《抽屉原理》教学课件
鸽巢原理的变种
VS
应用在概率论中的抽屉原理是指将抽屉原理与概率论相结合，以解决概率论中的一些问题。
详细描述
在概率论中，抽屉原理可以应用于解决一些概率分布的问题。例如，可以将抽屉原理应用于计算概率密度函数或者概率分布函数的性质。通过将抽屉原理与概率论相结合，可以更好地理解概率分布的性质和特点，并解决一些概率论中的难题。
整数划分问题
应用抽屉原理解析
总结词
整数划分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和。抽屉原理在这个问题中发挥了关键作用，通过巧妙地将各个整数视为“抽屉”，而将划分方式视为“物品”，利用抽屉原理证明了某些特定划分的不可能性。
详细描述
04
CHAPTER
抽屉原理的变种与推广
总结词
有限制的鸽巢原理的推广是指将有限制的鸽巢原理应用到更广泛的场景中，以解决更为复杂的问题。
抽屉原理的定义
19世纪中叶，德国数学家鲁布里奇正式提出了抽屉原理这一名称，并进行了系统的研究和发展。
随着组合数学的发展，抽屉原理在数学、计算机科学、信息科学等领域得到了广泛的应用和推广。
抽屉原理的起源可以追溯到古希腊数学家欧几里得，他在《几何原本》中提出了类似的原理。
抽屉原理的起源与发展
实例分析
提供多种形式的练习题，让学生通过变式训练加深对抽屉原理的理解和应用。
变式训练
组织小组讨论，让学生互相交流思路和方法，拓展解决问题的思路和途径。
小组讨论
如何引导学生应用抽屉原理解决问题
THANKS
感谢您的观看。
总结词
应用在概率论中的抽屉原理
05
CHAPTER
抽屉原理的教学建议
通过日常生活中的实例，如“四个苹果放入三个抽屉，至少有一个抽屉有两个苹果”来引入抽屉原理的概念。
复杂抽屉原理（精选五篇）
复杂抽屉原理（精选五篇）第一篇：复杂抽屉原理奥数周周练——复杂抽屉原理1．证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．2．从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?3．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?4．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?5．上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．奥数周周练——复杂抽屉原理6．8个学生解8道题目．(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.7．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同．问参加考试的学生最多有多少人?8.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.【例20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。
问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【例20巩固】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．奥数周周练——复杂抽屉原理【例24巩固】（小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等于4．【例25】（北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．【例27】从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【例29】从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【例34】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？奥数周周练——复杂抽屉原理【例36】在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。
第3课时稍复杂抽屉原理
第3课时稍复杂抽屉原理一、教学内容72页例3二、教学目标1．引导学生进一步了解“抽屉原理”的相关知识，并解决简单的实际问题。
2．通过观察、思考和讨论，培养学生的分析、推理、归纳等水平和解决实际问题的水平。
3．通过创设问题情境，体验数学与生活的联系，感受数学的魅力，激发学生学习数学的热情。
三、教学重点经历“抽屉原理”的探究过程，进一步了解“抽屉原理”。
四、教学难点理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
五、教学准备每组空盒子1个，4种颜色乒乓球各6个。
六、教学过程（一）复习、导入随意请13名同学到讲台前，提出问题：老师猜这13名同学中，至少会有2名同学的生日在同一个月，你们相信吗？学生说出自己的理由：1．13÷12=1（人）……1（人） 1+1=2（人）所以至少会有2名同学的生日在同一个月。
2．从最不利的原则考虑：即使每一个同学出生的月份各不相同的话，一年也只有12个月，每个月有一名同学出生，也只有12名同学，第13名同学无论出生在哪个月，那个月就会有2名同学出生。
师：同学们上节课的知识掌握的很好，今天我们会进一步研究“抽屉原理”。
（二）探索温故知新1．学习例3盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。
要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几个球？（1）学生独立思考。
学生全班交流，说出自己的想法。
（2）小组合作验证想法。
全班交流：①从最不利的角度考虑，从盒子里摸出2个球的颜色不同色，第3个球不管是什么颜色的都会有一种颜色的球是2个，这样最少摸出3个球就能够解决问题。
②把红色和蓝色看作两个抽屉，摸出的球是红色的就放入“红抽屉”，蓝色就放入“蓝抽屉”。
只要摸出3个球放入这两个抽屉，总有一个抽屉至少有2个球，即至少有2个同色球。
③1×2+1=3（个），所以至少取3个球，就能使摸出的球一定有2个同色的。
（3）总结规律：同学们想出的方法都很好，注意到球是以颜色区分的，所以把颜色看作抽屉。
抽屉原理给抽屉
抽屉原理给抽屉
抽屉原理是讲述了一个有限数量的物体被放入一定数量的抽屉中，那么必然会有至少一个抽屉中有超过一个物体的情况。
简单来说，假设有n个物体要放入m个抽屉，若n>m，则至少会有一个抽屉中放有不止一个物体。
抽屉原理的一个常见例子是在生日问题中。
假设有一个班级有30个学生，那么至少有两个学生生日是在同一天。
这是由于365天的日子被30个学生占据，而抽屉的数量是365天，根据抽屉原理，至少有一个抽屉会放有不止一个学生。
抽屉原理在数学、计算机科学等领域有重要的应用。
在密码学中，抽屉原理被用于证明一些密码学算法的安全性。
在算法设计中，抽屉原理通常被用来证明一些问题的存在性和上下界。
总之，抽屉原理是一种简单而有用的原理，它告诉我们在一定条件下，必然会出现某种情况。
这个原理在理解和解决问题时经常被使用，帮助我们深入思考和推理。
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1．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有4个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：22．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有7个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：33．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有10个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：44．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级35名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：45．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级50名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：66．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级60名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：77．幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有________个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：48．幼儿园买来许多牛、马、羊、狗玩具，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少有________个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：79．篮子里有许多苹果、梨和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有________个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：710．幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有________个小朋友才能保证有5人选的玩具是相同的．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：13首页上一页12345下一页尾页11．幼儿园买来许多牛、马、羊、狗玩具，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少有________个小朋友去拿，才能保证有6人所拿玩具相同．来源：2015·乐乐课堂·练习类型：填空题答案：3112．篮子里有许多苹果、梨和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有________个小朋友才能保证有7个小朋友拿的水果是相同的．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：困难类型：填空题答案：3713．用黑、白两种颜色将一个2×5方格图形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，那么，不管怎么染，至少有_______列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：214．用黑、白两种颜色将一个2×6方格图形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，那么，不管怎么染，至少有_______列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单答案：215．用黑、白两种颜色将一个2×7方格图形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，那么，不管怎么染，至少有_______列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：216．用黑、白两种颜色将一个2×9方格图形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，那么，不管怎么染，至少有_______列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：317．用黑、白两种颜色将一个2×11方格图形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，那么，不管怎么染，至少有_______列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单答案：318．用黑、白两种颜色将一个2×13方格图形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，那么，不管怎么染，至少有_______列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：419．用黑、白、蓝三种颜色将一个3×7方格图形中的小方格染色，每个小方格染一种颜色，而且每列的三个方格颜色互不相同．那么，不管怎么染，至少有_______列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：220．用黑、白、蓝三种颜色将一个3×10方格图形中的小方格染色，每个小方格染一种颜色，而且每列的三个方格颜色互不相同．那么，不管怎么染，至少有_______列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：2首页上一页12345下一页尾页21．用黑、白、蓝三种颜色将一个3×13方格图形中的小方格染色，每个小方格染一种颜色，而且每列的三个方格颜色互不相同．那么，不管怎么染，至少有_______列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：322．用黑、白、蓝三种颜色将一个如下图的方格图形中的小方格染色，每个小方格染一种颜色，而且同一列中相邻的方格颜色不同．那么，至少染_______列，才能保证一定有2列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：困难类型：填空题答案：1323．用黑、白、蓝三种颜色将一个如下图的方格图形中的小方格染色，每个小方格染一种颜色，而且同一列中相邻的方格颜色不同．那么，至少染_______列，才能保证一定有3列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：困难类型：填空题答案：2524．用黑、白、蓝三种颜色将一个如下图的方格图形中的小方格染色，每个小方格染一种颜色，而且同一列中相邻的方格颜色不同．那么，至少染_______列，才能保证一定有4列的染色方式完全一样．来源：2015·乐乐课堂·练习难度：困难类型：填空题答案：3725．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中至少取多少个数，才能保证一定有两个数的和是11？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：626．从1，2，3，4，…，19，20这20个数中至少取多少个数，才能保证一定有两个数的和是21？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：1127．从1，2，3，4，…，19，20这20个数中至少取多少个数，才能保证一定有两个数的差是10？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：1128．从2，4，6，8，…，50这25个偶数中，至少取出几个数，才能保证一定有两个数的和是52？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：1429．从1，2，3，4，…，19，20这20个自然数中，至少取出几个数，才能保证一定有两个数的差是11？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：1230．从1，2，3，4，…，20这20个自然数中，至少挑出几个数，才能保证一定有两个数的和是22？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：填空题答案：12首页上一页12345下一页尾页31．从1，2，3，…，24这24个自然数中，至少选出几个数，才能保证一定有两个数的差为6？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：1332．从1，2，3，…，36这36个自然数中，至少选出几个数，才能保证一定有两个数的差为9？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：1933．从1，2，3，…，20这20个自然数中，至少选出几个数，才能保证一定有两个数的差为5？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：中等类型：填空题答案：1134．从1，2，3，…，40这40个自然数中，至少选出几个数，才能保证一定有两个数的差为3？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：困难类型：填空题答案：2235．从1，2，3，…，50这50个自然数中，至少选出几个数，才能保证一定有两个数的差为4？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：困难类型：填空题答案：2736．从1，2，3，…，30这30个自然数中，至少选出几个数，才能保证一定有两个数的差为4？来源：2015·乐乐课堂·练习难度：困难类型：填空题答案：1737．“在10厘米长的线段上任取11个点，一定有2个点之间的距离不大于1厘米．”——这句话正确吗？A.正确B.不正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A38．“在1米长的直尺上任取5个点，一定有2个点的距离不大于25厘米．”——这句话正确吗？A.不正确B.正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B39．“在20米长水泥台上放11盆花，一定有2盆花的距离不超过2米．”——这句话正确吗？A.不正确B.正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B40．“在边长为2的正三角形中，任意放入5个点，必有2个点的距离不大于1．”——这句话是否正确？A.正确B.不正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A首页上一页12345下一页尾页41．“在边长为3的正三角形中，任意放入10个点，必有2个点的距离不大于1．”——这句话是否正确？A.正确B.不正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A42．“在边长为4的正三角形中，任意放入5个点，必有2个点的距离不超过2．”——这句话是否正确？A.正确B.不正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A43．“在面积为4的正三角形中，任意放入9个点，这9个点中任意3点都不共线，那么必有3个点构成的三角形面积不大于1．”——这句话是否正确？A.正确B.不正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A44．“在面积为9的正三角形中，任意放入19个点，这19个点中任意3点都不共线，那么必有3个点构成的三角形面积不大于1．”——这句话是否正确？A.正确B.不正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A45．“在面积为8的正三角形中，任意放入9个点，这9个点中任意3点都不共线，那么必有3个点构成的三角形面积不大于2．”——这句话是否正确？A.正确B.不正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：A46．“在边长为4的正方形中随意放入9个点，这9个点中任意3点都不共线，那么9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过2．”——这句话正确吗？A.不正确B.正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B47．“在边长为8的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何3点不共线，那么9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过8．”——这句话正确吗？A.不正确B.正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B48．“在边长为12的正方形中随意放入9个点，这9个点中任何3点不共线，那么9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过18．”——这句话正确吗？A.不正确B.正确C.不确定来源：2015·乐乐课堂·练习难度：简单类型：选择题答案：B首页上一页12345下一页尾页。