§9.2 毕奥-萨伐尔定律
毕奥萨伐尔定律
1820年，法国物理学家比奥特（Biot）和萨瓦特（Savart）通过实验，测量了一条长直电流线附近的小磁针的力定律，并发表了一篇论文，题为“传递给运动中的金属的电的磁化力”。
后来被称为比奥-萨瓦特定律。
后来，在数学家拉普拉斯（Laplace）的帮助下，该定律以数学公式表示。
毕奥-萨伐尔定律：载流导线上的电流元Idl在真空中某点P的磁感度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元Idl和从电流元到P点的位矢r之间的夹角θ的正弦成正比，与位矢r的大小的平方成反比。
dB的方向垂直于Idl和r所确定的平面，当右手弯曲，四指从方向沿小于π角转向r时，伸直的大拇指所指的方向为dB的方向，即dB、Idl、r三个矢量的方向符合右手螺旋法则。
叠加原理：
与点电荷的场强公式相似，毕奥——萨伐尔定律是求电流周围磁感强度的基本公式．磁感强度B也遵从叠加原理．因此，任一形状的载流导线在空间某一点P的磁感强度B，等于各电流元在该点所产生的磁感应强度dB的矢量和。
特点：
从课程论和物理学课自身特点的角度来分析毕奥-萨伐尔定律，它体现的学科特点有以下几点：（1）是稳恒电流磁场的关键知识点；（2）具有高度的抽象性；（3）使用数学工具的复杂性；（4）掌握“方法”比掌握“内容”更重要；（5）在探索知识的过程中体现“把握本质联
系，揭示事物发展内在规律性”的唯物辩证法观点。
毕奥---萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
毕奥萨伐尔定律
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
毕奥-萨伐尔定律公式
毕奥-萨伐尔定律公式
毕奥-萨伐尔定律公式是描述电磁感应现象的重要公式之一，它是由法国物理
学家毕奥和英国物理学家萨伐尔分别独立提出的，因此也被称为毕萨定律。
该定律表述了当一个闭合电路中的磁通量发生变化时，该电路内会产生电动势。
具体来说，如果一个电磁感应器中的磁通量Φ发生变化，那么在该感应器两端就
会产生一个电动势E，其大小与磁通量变化率的绝对值成正比。
毕奥-萨伐尔定律公式可以用一个简单的公式来表达：
E = -dΦ/dt
其中，E是感应电动势的大小，Φ是穿过感应电路的磁通量，t是时间，d/dt表示对时间的导数运算。
公式中的负号表示感应电动势的方向与磁通量变化的方向相反。
需要注意的是，该定律只适用于闭合电路中的感应电动势。
对于非闭合电路，根据法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势大小与闭合电路中的相同，但方向可能不同。
总的来说，毕奥-萨伐尔定律公式是电磁学中一个非常重要的公式，广泛应用
于各种电磁感应现象的分析和设计中。
毕奥-萨伐尔定律
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
毕奥萨伐尔定律
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
感谢您的观看
THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
毕奥撒法尔定律
毕奥撒法尔定律
毕奥-萨伐尔定律（也被称为电场定律）是电学中的一个重要定律，它描述了电荷之间的相互作用力与它们所带电荷量的乘积以及它们之间距离之间的关系。
具体来说，毕奥-萨伐尔定律表明在真空中，静止的点电荷所产生的电场强度与它们所带电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
公式表示为：$\frac{E}{q} = \frac{k}{r^{2}}$，其中E是电场强度，q是源电荷的电荷量，k是常数，r是源电荷与试探电荷之间的距离。
这个定律是英国物理学家约瑟夫·安培的学生，法国物理学家奥古斯汀·毕奥和其时的科学家萨伐尔共同发现的。
他们在研究电流产生的磁场时，通过实验和理论推导得出了这个定律。
这个定律不仅适用于点电荷产生的电场，还适用于任何形状的电荷分布产生的电场，以及多个电荷共同产生的电场。
需要注意的是，毕奥-萨伐尔定律是在静止电荷产生的电场中得出的，对于随时间变化的磁场，需要使用麦克斯韦方程组来描述。
毕奥-萨伐尔定律
x
l 2
17
B
I0 I0
从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场 分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在 管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管 外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎 等于零了。
18
例4. 在半径R=2cm的无限长的半圆形金属薄片中， 有电流I=6A自下而上的通过，如图求 圆柱轴线上任一点的磁感应强度。
位矢量，指向与电流的方向满足右螺旋关系。
多匝平面线圈电流I 应以线圈的总匝数与每匝
线圈的电流的乘积代替。
0 m m 0 圆电流 B n 3 3 2π x 2x
10
三 磁矩
m ISen
2
I
例2 中圆电流磁感强度 公式也可写成
S
en
m
B
0 IR
2x
3
0 IR 2
0 IR 2
a
4π a
25
例7 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相 当于一个圆电流，具有相应的磁矩（称为轨道磁 矩）。求轨道磁矩 与轨道角动量之间的关系。 解： 设电子的轨道半径为r，每秒转速为ν。 电流：
I e 2 磁矩： IS e πr
圆电流面积： S π r 2
4π d
R
o （ 3） I R
B0
0 I
4R
R2
*o
B0
o
0 I
8R
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
13
例3 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为 l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流 I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
毕奥-萨伐尔定律介绍
$number {01}
目 录
• 毕奥-萨伐尔定律的背景 • 毕奥-萨伐尔定律的内容 • 毕奥-萨伐尔定律的应用 • 毕奥-萨伐尔定律的推导与证明 • 毕奥-萨伐尔定律的局限性与发展
01
毕奥-萨伐尔定律的背景
发现过程
毕奥和萨伐尔的研究
毕奥和萨伐尔在19世纪初对磁力和 电力进行研究，通过实验和观察，他 们发现电流在其周围空间产生磁场， 磁场的方向与电流的方向有关。
THANKS
对未来研究的展望
探索新型材料
实验验证与修正
随着新型材料的不断涌现，研究这些 材料在磁场中的行为，以及如何利用 毕奥-萨伐尔定律描述其磁效应，是未 来的研究重点之一。
通过实验验证毕奥-萨伐尔定律的准确 性，并对定律进行必要的修正，以适 应不断发展的研究和应用需求。
跨学科应用
毕奥-萨伐尔定律在物理学、工程学等 领域有广泛的应用，未来可以进一步 探索其在其他学科领域的应用，如生 物学、医学等。
在其他领域的应用
生物医学工程
在生物医学工程中，毕奥-萨伐尔定律 可用于研究生物体内的电流和磁场， 如心电、脑电等领域。
地球物理学
在地球物理学中，毕奥-萨伐尔定律可 用于研究地球内部的磁场分布和变化， 如地磁场的起源、变化规律等。
04
毕奥-萨伐尔定律的推导与 证明
推导过程
毕奥-萨伐尔定律的数学模型
基于电流元相互作用原理，通过微积分和矢量分析的方法，推导出两个电流元在空间中产生的磁 场分布。
电流元的位置和方向
考虑电流元的位置和方向的变化，对每个电流元分别进行推导，得出其在空间中产生的磁场分布 。
磁场分布的叠加
根据磁场分布的叠加原理，将各个电流元产生的磁场分布进行叠加，得到整个电流回路在空间中 产生的总磁场分布。
.毕奥-萨伐尔定律
.毕奥-萨伐尔定律
摘要：
1.毕奥- 萨伐尔定律的定义
2.毕奥- 萨伐尔定律的发现历程
3.毕奥- 萨伐尔定律的数学表达式
4.毕奥- 萨伐尔定律的应用领域
5.毕奥- 萨伐尔定律在我国的研究现状与前景
正文：
毕奥- 萨伐尔定律，又称毕萨定律，是电磁学中的一个基本定律，描述了电流在磁场中受力的规律。
该定律由法国物理学家让- 巴蒂斯特·毕奥（Jean-Baptiste Biot）和法国数学家费尔南德·萨伐尔（Ferdinand de Saussure）在1820 年同时独立发现，故以两位科学家的名字命名。
毕奥- 萨伐尔定律的数学表达式为：F = I * d * B，其中F 表示电流在磁场中受到的安培力，I 表示电流强度，d 表示电流元的长度，B 表示磁感应强度。
根据这个公式，可以计算出电流在磁场中所受的力。
毕奥- 萨伐尔定律在许多领域都有广泛的应用，如电磁制动、电磁起重机、电磁继电器等。
此外，在现代科技领域，如磁悬浮列车、电动汽车、风力发电等方面，毕奥- 萨伐尔定律的应用也越来越重要。
在我国，对毕奥- 萨伐尔定律的研究始于上世纪50 年代。
经过几十年的发展，我国在电磁学领域的研究已经取得了世界领先的成果。
目前，我国正加大对电磁学领域的研究力度，致力于推动电动汽车、磁悬浮列车等新型产业发
展，为我国经济建设和科技进步做出贡献。
总之，毕奥- 萨伐尔定律作为电磁学的基本定律之一，对我国科技发展具有重要意义。
毕奥萨伐尔定律
比奥·萨瓦特定律指出：磁场源是电流元素，磁场的衰减与场点到电流元素的距离的平方成正比。
磁场遵循叠加原理。
由任意形状的导线激励的总磁感应强度B是由电流元件激励的磁感应强度DB的矢量积。
任何形状的载流导线都可以视为许多电流元件IDL，只要已知由电流元件激发的磁场定律，就可以通过叠加原理获得任意载流导线激发的磁场的分布。
载流线的任何电流元素IDL在给定点P处产生的磁感应强度DB 与电流元素的大小成正比，与电流元素与从电流元素到矢量的矢量r 之间的夹角正弦成正比。
P点，与当前元素和P点之间的距离的平方成反比；DB的方向垂直于由DL和R确定的平面，并且该方向由右螺旋规则确定，也就是说，当右螺旋从IDL旋转小于180°到R的角度时，螺钉的方向如图1所示。
数学表达式为
地球磁场起源的理论
其中k为比例系数，真空中k = 107t·m·a-1，不同磁性介质的K值不同。
为了使DB的公式合理化，设k =μ/ 4π，μ为介质的渗透率，μ= 4π×107t·m·a-1在真空中
地球磁场起源的理论
Biot Savart定律的向量表达如下：
地球磁场起源的理论
由任意形状的载流线在点P处产生的磁感应强度B等于该点上导体上每个电流元素IDL产生的磁感应强度的矢量和
地球磁场起源的理论
Biot Savart定律给出了当前元素IDL在距R的空间中的点P处产生dB的幅度和方向。
但是，由于当前元素不能单独存在，因此无法通过实验直接验证Biot Savart定律。
间接证明了比奥·萨瓦特定律的正确性，因为从比奥·萨瓦特定律得到的所有结果都与实验结果吻合良好。
9-2毕奥—萨伐尔定律
B取选微坐4元标0 ：：IdIry如d3y图r；取分平析大方面小向dB如直d，图B角。d坐4yrsπ0i标nIdd系dysressx2icenocc2oys,d
Idy
ｙ
r
所有 dB的方向相同，所以P点的 B的大为：
B
dB
L
0 2
0 I d y sin 统一变量，
电子运动方向与电流方向相反，
L
所以L和μ的方向恰好相反，如
图所示。上式关系写成矢量式
为
－ e L
2me
这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由 于电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔 理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以氢 原子在基态时，其轨道磁矩为
B
e 2me
方向如图
I dl
R
IO
r x
dB dB cos
将 dB 分解
dB// dB sin
总磁感应强度
B dB 0 (对称性)
L
d B d B
P
d B// x
dB
B B// dB// dB sin
L
L
r2
R2
x 2 , sin
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆 的半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电流， 电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2，所以相应 的磁矩为
IS ner 2
L mevr me 2rnr 2menr 2 e L
2me
角动量和磁矩的方向可分
别按右手螺旋规则确定。因为
毕奥- 萨伐尔定律
毕奥- 萨伐尔定律
如图9- 12所示.因此，总 磁感应强度B的矢量积分可化为 标量积分
图9- 12 直线电流的磁场
毕奥- 萨伐尔定律
（1）若直线电流为无限长，即θ1=0,θ2=π，则 (9- 13)
与实验结果一致.无限长直线电流是一个理想模型， 在实际问题中，若直线电流的长度远大于到场点P的距离 a，此时直线电流就可视为无限长.直线外到带电直线距 离相等的各点磁感应强度B，其大小都相等，方向沿每点 的切向，人们称无限长直线电流在场点激发的磁场具有 轴对称性.
毕奥- 萨伐尔定律
三、 典型电流的磁场计算——毕- 萨定律的应用
电流磁场的计算类似于带电体电场分布的计算，用毕奥- 萨伐 尔定律计算磁场中各点磁感应强度的具体步骤如下：
首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元Idl， 并标出Idl到场点P的位矢r，确定两者的夹角θ（Idl，r）.
其次，根据毕奥- 萨伐尔定律，求出电流元Idl在场点P所激发 的磁感应强度dB的大小，并由右手螺旋法则决定dB的方向.
毕奥- 萨伐尔定律
（2）若直线电流为半无限长，即θ1=0， θ2=π/2（或θ1=π/2，θ2=π），则P点的B的大小 为
（3）P点在延长线上，θ=0或θ2=π， dB=0,B=0.
毕奥- 萨伐尔定律
2. 圆电流在其轴线上的磁场
设圆电流（载流线圈）半径为R,通有电流I，试计算它 在其轴线上任一点P的磁感应强度.
毕奥- 萨伐尔定律
【例9-1】
如图9-11所示，试求电流元Idl周围空间的磁感 应强度.
解：计算电流元Idl周围空间的磁感应强度dB.根 据毕- 萨定律先计算dB的大小，即
毕奥- 萨伐尔定律
图9- 11 例9- 1图
毕奥-萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-SavartLaw）是描述在静磁学中电流元在空间任意点P处所激发的磁场的关系。
该定律在静磁近似中是有效的，并且与Ampère的电路规律和磁性高斯定律一致，以Jean-BaptisteBiot和FélixSavart命名。
电流元Idl在空间某点P处产生的磁感应强度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元Idl所在处到P点的位置矢量和电流元Idl之间的夹角的正弦成正比,而与电流元Idl到P点的距离的平方成反比。
毕奥-萨伐尔定律定律是由H.C.奥斯特实验（见电流磁效应）引起的，这个实验表明，长直载流导线对磁极的作用力是横向力。
为了揭示电流对磁极作用力的普遍定量规律，J.B.毕奥和F.萨伐尔认为电流元对磁极的作用力也应垂直于电流元与磁极构成的平面，即也是横向力。
他们通过长直和弯折载流导线对磁极作用力的实验，得出了作用力与距离和弯折角的关系。
在P.S.M.拉普拉斯的帮助下，经过适当的分析，得到了电流元对磁极作用力的规律。
根据近距作用观点，它现在被理解为电流元产生磁场的规律。
毕奥萨伐尔定律
毕奥萨伐尔定律
毕奥－萨伐尔定bai律指出: 磁场du的源是电流元，磁场随场点到电流元的距zhi离平方而衰减，dao磁场遵从叠加原理，由任意形状通电导线所激发的总磁感应强度B 是由电流元所激发的磁感应强度dB 的矢量积分，任意形状的载流导线都可以看成由许多电流元Idl 组成，只要知道了电流元激发磁场的规律，再用叠加原理就可以求得任意载流导线激发的磁场分布。
载流导线的任一电流元Idl 在给定点P 所产生的磁感应强度dB 的大小与电流元的大小成正比，与电流元和由电流元到P 点的矢径r 之间夹角的正弦成正比，并与电流元到P 点的距离的平方成反比; dB 的方向垂直于dl 与r 所决定的平面，指向由右手螺旋法则决定，即当右手螺旋由Idl 经小于180°的角转向r 时螺旋前进的方向，如附图－1 所示。
其数学表达式为
式中: k 为比例系数，在真空中k =107T·m·A－1，不同的磁介质k 值不同。
为了使dB 的公式有理化，取k = μ/4π，μ为介质的磁导率，真空中μ= 4π×107T·m·A－1，这样，式( 附－1) 改为:
任意形状载流导线在P 点产生的磁感应强度B，等于导线上各个电流元Idl 在该点处所产生的磁感应强度矢量和，即: 毕奥－萨伐尔定律给出了电流元Idl 对距离r 处的空间某一点P 处产生dB 的大小与方向，但由于电流元不可能单独存在，所
以毕奥－萨伐尔定律不可能由实验直接加以验证。
毕奥－萨伐尔定律的正确性是通过间接的方法被证实的，因为由毕奥－萨伐尔定律推出的所有结果都能很好地与实验结果相符合。
理解毕奥-萨伐尔定律
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 磁场
稳恒磁场
磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律 磁场的高斯定理与安培环路定理 磁场对电流和运动电荷的作用 磁介质
教学基本要求
一、掌握描述磁场的物理量——磁感应强度 的概念，理解它是矢量点函数. 二、理解毕奥－萨伐尔定律，能利用它计算 一些简单问题中的磁感强度.
S
S:载流线圈的面积, n ˆ为法向单位矢量,它和电流呈右
手螺旋关系。
例如 当x >> R
0 Pm B 3 2 x
I
ˆ n
P
讨论:
(1) I
R B x 0 0 I o B0 2R
I
（ 3） I
R
o
B0
0 I
8R
（2 ） R
o
B0
0 I
4R
2 R
0 IR B 4 r 3 0
B
f L
大小：
Fmax B = qv
q B
v
方向:小磁针在该点平衡时N 极的指向。
5
磁感强度大小
Fmax B qv
运动电荷在磁场中受力
Fmax
F qv B
v
q
+
B
单位 特斯拉 1(T) 1N/A m （1T＝104GS）
4. 求 B 的分量 Bx 、By 、Bz ;
2 2 5. 由B Bx By Bz2 求总场。
【例9-1】一段有限长载流直导线,通有电流为 I ,求 l 2 距 a 处的 P 点磁感应强度。 解: 取如图电流元Idl , 则
比奥萨法定律
毕奥萨法定律
在1820年，法国物理学家毕奥和萨伐尔，通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律，发表了题为“运动中的电传递给金属的磁化力”的论文，后来人们称之为毕奥-萨伐尔定律。
稍后，在数学家拉普拉斯的帮助下，以数学公式表示出这一定律。
dB的方向垂直于Idl和r所确定的平面，当右手弯曲，四指从方向沿小于π角转向r时，伸直的大拇指所指的方向为dB的方向，即dB、Idl、r三个矢量的方向符合右手螺旋法则，如图示一所示，因此，可将式图示一写成矢量形式如图示二。
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B
0 I
2π r
I B
电流与磁感强度 成右螺旋关系
I
X
B
(3)、半长直电流的磁场 半长直电流：垂足与电流的一端重合，而直电流的另一段是无限长。
P P
1
0
2
2 , 2
I
1
1 0, 2
1 I B 2 2a
重庆邮电大学理学院
2
I
0
2
1
1 I B 2 2a 2016/10/19
解： 旋转带电球面
等效
许多环形电流
o dI
取半径
r 的环带
dq dS 2rRd
等效圆电流：
2016/10/19
dq dI R 2s i n d 2
重庆邮电大学理学院 20
x
dB
0 r 2 dI
2(r x )
2 2
3 2
r dB
R
0 Idl
4π R
0
2
+ 3
2、 4、 6、 8 点 ：
+4
dB
B dB
L
0 Idl
4π R
2
sin 45
5 任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理
L
ˆ o Idl r 4r 2
注意：任意载有恒定电流的导线，在空间产生稳恒电场和稳恒 2016/10/19 2 重庆邮电大学理学院 磁场的磁感强度
1
x 2
2 2
2
d cot csc2 d
x2 x
2
1 cot csc x
2 2
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
cot x / R
dx R csc2 d
x Rcot
B
R x R csc
2
0 nI
2
2
1
R csc d 0 nI 3 3 R csc 2
圆弧 bc 产生的磁场 B2 2R 3 6R
向里
2016/10/19
B B1 B2 B3
0 I 3 0 I (1 ) R 2 6R 重庆邮电大学理学院
12
类似题目：
O
I
O
R
I
BO
0 I
8R
R
3 0 I 0 I BO 8R 4R
IIΒιβλιοθήκη 0 I BO 8 R 2R
r2
4π
z Idz
x
r
*
dB
方向：沿负x 各电流元在P 点
I
o r0
1
P
y
B dB
统一变量
4 π CD
0
dB 同向
Idz sin r2
C
sin( ) sin r0 / r cot( ) cot z / r0
重庆邮电大学理学院 4
dI I Id Rd R
0 dI 0 Id dB 2R 2 2 R
方向如图由对称性：
B y dB y 0
2016/10/19
B Bx dB sin
0 重庆邮电大学理学院 0
I sin d 0 I 2 2 2 R R
§9.2 毕奥-萨伐尔定律 一 、毕奥—萨伐尔定律
电流元 Idl
（实验）
元电流的磁场具有轴 对称性（不具有柱对 称性）！
大小: Idl
方向:该点电流的方向 电流元在空间产生的磁场
Idl
dB
r
0 Idl r dB 4 π r3 7 2 4 π 10 N A 真空磁导率 0
0 R 2sin 2 R 2sind
2R3
o dI
R 0 sin 3d 2
方向如图
2 B dB R sin d 0 R 2 3 0
3
0
写成矢量式：
2016/10/19
2 B 0 R 3
重庆邮电大学理学院 21
B Bx i By j Bz k ,
2 2 B Bx By Bz2
2016/10/19
重庆邮电大学理学院
3
例1:一段有限长载流直导线,通有电流为I ,求距r0处的P点磁感 应强度。 解:建立直角坐标系如图所示 分割电流元
z
D
2
Idz
( )
dB
0 Idz sin
点）
1 , 2 0 2
则有A1、A2点磁感应强度
π 1 π, 2 2 1 B 0 nI
2
1 0 nI 2
B O
0 nI
x
19
2016/10/19
重庆邮电大学理学院
[例6]均匀带电球面( R , ), 绕直径以 匀速旋转
求球心处 B0
x
r
R
3 2
2
1
sin d
B
2016/10/19
0 nI
2
cos 2 cos 1
重庆邮电大学理学院 18
讨论：
1、无限长的螺线管轴线上的磁感应强度
1 π, 2 0
B 0 nI
根据对称性：轴上各点磁感应强度相同。 2、对长直螺线管的端点（上图中
x1、x2
6
(4)、任意形状直导线
半无限长载流直导线
B1 0
B2
(cos 900 cos180 0 ) 0 I 4a 4a
0 I
2
P r
B
I
1
区别：电流元与电流管（积分元， 又叫元电流）
a
练习：半径R ，无限长半圆柱金属面通电流I，求轴线上磁感应强度 解：通电半圆柱面 —电流管（无限长直电流）集合
S Idl ( j S )dl ( qnv)Sdl r dl I d l 0 nSdlqv r dB 4π r3 dV内电子数 : dN ndV n( Sdl ) j qnv
一个运动电荷激发的磁场： 0 qv r dB B 4 π r3 dN
0
2 dr
0, B
B
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0
dr
0 R
2
23
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一.用毕 — 沙定律求 B 分布
小结：
（1）将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
2016/10/19
z r0 cot , r r0 / sin
2 r dz r0 d / sin 2 dz d r0 0 0 I 2 Idz sin B sin d 2 CD 4π r 4 π r0 1
0 I B (cos1 cos 2 ) 4 π r0
二 毕奥---萨伐尔定律应用举例 应用毕萨定律解题的方法 计算一段载流导体的磁场
1.建立坐标系;将电流视为电流元（或典型电流）的集合 2. 确定电流元的磁场（做示意图分析几何、对称关系） 3.求 B 的分量 Bx 、By 、Bz ;
Bx
dB
x
, By
dB
y
, Bz
dB
z
4.求总场。
o
P
x
b
x
a
B dB
2016/10/19
a b
b
0 Idx 0 I a b ln 2a b 2ax
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例3：一载流圆环半径为R 通有电流为I，求圆环轴线上一点的磁感 应强度B。 解：将圆环分割为无限多个电流元；电流元在轴线上产生的 磁感应强度dB 为： 0Idl sin Idl 0 dB ,
a
B1
0 0 (cos 0 cos 30 ) 0 4 R sin 30
0 I
I b
300
c
1200
I
d
o
R
0 I 3 (1 ) 向里 2 R 2 0 I 0 I 3 0 0 (cos 150 cos180 ) (1 ) Cd 段： B3 0 4 R sin 30 2 R 2 0 I 1 0 I
1， 2 0或
dB 0
B
的方向沿 x 轴的负方向
讨论： （1）、直导线延长线上点
具有柱对称性！
I
2
B 1 r0
5
B0
（2）、无限长直导线 1 0 2 0 I B 方向：右螺旋法则 2 r
2016/10/19 重庆邮电大学理学院
P
无限长载流长直导线的磁场
7 沿 x 方向
例2：一宽为 a 无限长载流平面，通有电 流 I , 求距平面左侧为 b 与电流共面 的 P 点磁感应强度 B 的大小。
区别：电流元与元电流
解：以 P 点为坐标原点，向右为坐标正向； 分割电流为无限多宽为dx的无限长载流直导线；
I
dI dx
I 元电流 dI dx a 0dI 0 Idx dB 2x 2ax
圈数ndx
R
p dB * x
dx
x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
dB
0 R 2 I ndx
2 R x
2
2 3/ 2
0 nI x 2 R 2dx B dB 3/ 2 2 2 x 1 2 R x