等差数列求和问题设计

等差数列求和问题

汾阳中学赵国鲜

一.内容与内容解析

等差数列的求和问题包括等差数列的求和公式、与等差数列求和公式有关的一些性质。 数列是函数，由于定义域的特殊性，所以在研究等差数列求和问题时，数列的离散性和函数的性质总是在不断地重复使用。由等差数列的定义、通项公式推出的数列的性质在求和问题中灵活使用，会使解决问题的思路更明确，方法更简单。

二.教学问题诊断

在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对习题课的认识比较片面，对习题课缺乏新鲜感。

在教学中，可以从简单的问题（或者教材中的问题）出发，通过问题的提出、问题的拓展措施，使学生对等差数列的本质特征有更新、更深的认识，同时激发学生学习的积极性；在教学中，通过学生对一类问题的主动思考、交流互动、反思提炼，构建知识体系，形成基本技能，关注数学本质，体验与感悟问题解决的策略。

为了更好地加强策略性知识的学习，教学中可一题多用，减少问题解决的运算量,使学生在关键点加强思考与交流，有更多的时间进行创造性的实践与反思.

三.目标与目标解析：

1.进一步理解等差数列的性质，关注数列的函数特征；

2.进一步体会“函数和方程”思想，会从函数的角度和方程思想解决问题，并会进行合理的选择；

3.在问题的提出、分析、解决的过程，进一步形成等差数列的方法体系和数学思想，形成处理等差数列求和问题的基本策略,养成质疑和创新的意识.

本节专题课的学习，对于巩固数列知识，整体把握等差数列的定义、通项、求和起着很大的作用，解决问题后需要重构认知结构，对知识间的联系有新的认识，并在操作中形成技能;会通过反思与交流，感悟并提炼重要的数学思想。

四.教学支持条件分析

学生对于等差数列公式熟悉，但是数列的性质不是很熟悉，综合使用能力差，所以使用多媒体给同学们总结知识，增大课堂容量。

五.教学过程设计

（一）知识归纳

1.等差数列的定义

2.等差数列通项公式

3.等差数列的性质

4.等差数列的求和公式

5.与等差数列的求和有关性质

设计意图：通过多媒体展示内容要点，让学生很快回忆已学知识，对于本节课的求和的问题的顺利思考分析和解决起到促进作用。

(二)典例分析

数列中的求和问题是一类常见的问题，如何根据所给数列的特点，寻求相应的解题策略是我们本课研究的重点.

例1.等差数列中，a 1< 0，S 9 = S 11，该数列前多少项的和最小？

}{n a

分析一：由已知得公差d>0,因此等差数列前n 项和的图像是过原点开口向下的抛物线，

故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值），

由于S 9 = S 11，其对称轴为， 于是，当n 取与最接近的整数即10或11时，取最小值。 分析二：由于S 9 = S 11，所以a 10+a 11+a 12=0，

利用等差数列的性质2a 11=a 10 +a 12，所以a 11=0，

因为a 1< 0，所以数列的前10项和或者前11项和最小。

反思：通过例1，你能总结解决此类问题的解题策略吗？体现了什么数学思想？你能对每一种策略，总结出明确的操作步骤吗？

设计意图：让学生回归二次函数，用函数的思想方法求得最小值；利用数列的性质，通过数列是特殊函数求得最小值。

例2.已知为等差数列,前10项的和为前

100项的和,求前110项的和 分析一:方程思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.设的首项为,公差,

则 分析二:运用前n 项和变式:为等差数列,故可设,

则 分析三：

反思：通过例2，你能解决此类问题的解题策略吗？体现了数学的什么思想，使用了哪些数学解题方法？

设计意图：让学生理解等差数列的性质，利用数学的待定系数法先设出变量，写出方程，会使用方程思想解决问题是本题的关键方法。

例3.在等差数列{a n }中，，

（1）求该数列的通项公式；（2）求其前n 项和S n 的最大值；（3）求。

分析：（1），所以； （2），所以前10项的和最大； （3）因为，

①当n ≤ 10时，； ②当n > 10时，21()22

n d d S n a n =+-n S 2212129=+=n 2

21n S {}n a ,10010=S 10100=S .110

S 1a d {}n a 1a d ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+10010995011:1099100211001009102110111d a d a d a 解得1101091102

11101110-=⨯⨯+=∴d a S Bn An S n +=2{}n a Bn An S n +=2111010

1001000010010100-=+⎩⎨⎧=+=+B A B A B A 解得11

)110(1101101102

110-=+=+=∴B A B A S 2

90290)(100111001110100-=+∴-=⨯+=-a a a a S S 1102

110)(2)(110100*********-=⨯+=+=∴a a a a S 5,1185==a a ||||||21n n a a a T +++= 28

585-=--=

a a d n d n a a n 221)5(5-=-+=2121202

n a n n =-≥⇔≤0,01110<>a a 221162

)22111(,0n n n n S a a a T a n n n n -=-+==+++=> 12101()n n T a a a a a a =+++-+++