小学奥数教师版合辑-1-23通项归纳
1-2-3裂项与通项归纳
裂项与通项本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
一、裂项综合（1）、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ （2）裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
1-2-3裂项与通项归纳
裂项与通项本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
一、裂项综合（1）、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ （2）裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数知识点梳理(完整版)
小学奥数（知识点梳理）前言小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。
概述一、 计算1． 四则混合运算繁分数⑴ 运算顺序⑵ 分数、小数混合运算技巧一般而言：① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；② 乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化⑷繁分数的化简2． 简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序① 运算定律的综合运用② 连减的性质③ 连除的性质④ 同级运算移项的性质⑤ 增减括号的性质⑥ 变式提取公因数形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷3． 估算求某式的整数部分：扩缩法4． 比较大小① 通分a. 通分母b. 通分子② 跟“中介”比③ 利用倒数性质若111a b c>>，则c>b>a.。
形如：312123m m m n n n >>，则312123n n n m m m <<。
5． 定义新运算6． 特殊数列求和运用相关公式：①()21321+=++n n n ②()()612121222++=+++n n n n ③()21n a n n n n =+=+④()()412121222333+=++=+++n n n n ⑤131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc⑥()()b a b a b a -+=-22 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2二、 数论1． 奇偶性问题奇±奇=偶 奇×奇=奇奇±偶=奇 奇×偶=偶偶±偶=偶 偶×偶=偶2． 位值原则 形如：abc =100a+10b+c4． 整除性质① 如果c|a 、c|b ，那么c|(a ±b)。
小学数学奥赛1-2-2-3 通项归纳.学生版
【例 1】12481632641282565121024++++++++++=________ 。
【例 2】在一列数：13579357911L，，，，，中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于11000？【例 3】计算：111112123122007 +++⋯+++++⋯【巩固】1111 33535735721 +++++++++++LL【巩固】计算：111111 224246246824681024681012 ++++++++++++++++++++【例 4】1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1) 223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+LL【例 5】224466881010⨯⨯⨯⨯⨯例题精讲通项归纳【巩固】 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L【巩固】 计算：22222223992131991⨯⨯⨯=---L【例 6】 121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++L L L【例 7】 计算：1111121223122334122334910++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯L L【例 8】 计算：222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯L【例 9】 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-L【例 10】 222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+【例 11】 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124ΛΛΛ【例 12】 计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+L ．【例 13】 计算：22222222246199831517119991⨯⨯⨯⨯=----L【例 14】 计算：22222222212323489103353517+++++++++++++L L【例 15】 计算：222222222357211121231210++++=+++++L L【例 16】计算：2323233---M（共2010条分数线）=一、现代文阅读1．现代文阅读阅读下文，回答问题。
小学数学奥赛1-2-2-3 通项归纳.教师版
【例 1】 12481632641282565121024++++++++++=________ 。
【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 方法一：令12481024a =+++++L ，则22481610242048a =++++++L ，两式相减，得204812047a =-=。
方法二：找规律计算得到102421=2047⨯-【答案】2047【例 2】 在一列数：135********L ，，，，，中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于11000？ 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛【解析】 这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1－2121n n -+＜11000，解出n ＞999.5，从n ＝1000开始，即从19992001开始，满足条件 【答案】19992001【例 3】 计算：111112123122007+++⋯+++++⋯ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 先找通项公式12112()12(1)1n a n n n n n ===-++⨯++L原式11112(21)3(31)2007(20071)222=++++⨯+⨯+⨯+L222212233420072008=++++⨯⨯⨯⨯L 200722008=⨯ 20071004= 【答案】20071004【巩固】 111133535735721+++++++++++L L 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 先找通项：()()()1111352122132n a n n n n n ===+++++⨯++⨯L原式111111132435469111012=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 111111133591124461012⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭L L 11111121112212⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 175264= 例题精讲通项归纳【答案】175264【巩固】 计算：111111224246246824681024681012++++++++++++++++++++ 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】南京市，兴趣杯，决赛【解析】 先通项归纳：()()11112421222n a n n n n n ===++++⨯+⨯L ，原式111111122334455667=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111611223346777⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L【答案】67【例 4】 1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+L L 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 11211112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312n n n n n n n n ++===⨯-++++++⨯+⨯⨯++L原式＝11111111()()()()223344519992000⎡⎤-+-+-++-⨯⎢⎥⎣⎦L ＝1000999100011=- 【答案】9991000【例 5】 224466881010133********⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 （法1）：可先找通项222111111(1)(1)n n a n n n n ==+=+---⨯+ 原式11111(1)(1)(1)(1)(1)133********=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯11555(1)552111111=+⨯-=+=（法2）：原式288181832325050(2)()()()()3355779911=-+-+-+-+-61014185065210453579111111=++++-=-=【答案】5511【巩固】 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 22221(1)(1)1(1)1(1)1(2)n n n a n n n n ++=+==+-+-⨯+原式223398989999(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-L 223344559898999929949131425364999710098110050⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【答案】49150【巩固】 计算：22222223992131991⨯⨯⨯=---L【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+，原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-L 223344559898999931425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 29999110050=⨯= 【答案】9950【例 6】 121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++L L L 【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)212n n nn n a n n n n +⨯⨯+==+⨯⨯+-- 原式2334455623344556410182814253647⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L ，通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式2334455648494950505114253647475048514952⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 35023215226=⨯=【答案】23226【例 7】 计算：1111121223122334122334910++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯L L 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++L ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++L ， 原式333312323434591011=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 31111112122323349101011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 3118122110110⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 【答案】81110【例 8】 计算：222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯L 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 （法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n ++++==+=+⨯+⨯+⨯++ 原式= 213243542005200420062005()()()()()()122334452004200520052006++++++++++++L2005200520052401020062006=⨯+= （法2）：22222(1)2211122(1)(1)n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+ 【答案】200540102006【例 9】 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-L【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 通项为：2(1)111n n n n n n a n n n n +-=-==+++， 原式22222123489346789362882345910=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=L【答案】36288【例 10】 222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++ 原式=211111111[()()()()]31223342627⨯+-+++-+L L =2152(1)32781⨯-=【答案】5281【例 11】 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124ΛΛΛ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 虽然很容易看出321⨯＝3121-，541⨯＝5141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式22221123...(1)(21)6n n n n ++++=⨯⨯+⨯+，于是我们又有)12()1(632112222+⨯+⨯++++n n n n ＝Λ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124ΛΛΛ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯21111015321321162120154132124ΛΛ ＝⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯212220156413421242120154132124ΛΛ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯2122201212015641541342132124Λ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2220164142124Λ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯111013212116Λ ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯11116＝1160．【答案】6011【例 12】 计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+L ．【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 本题的通项公式为221005000n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦，可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个22505050005000-+．将项数和为100的两项相加，得()()()()22222222210010022001000021005000100500010050001001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+，所以原式249199=⨯+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=⨯=）【答案】99【例 13】 计算：22222222246199831517119991⨯⨯⨯⨯=----L【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 通项归纳：()()()222222221211n n n nn n n n ⨯==⨯+++- 原式=123999123410001000⨯⨯⨯⨯=L 【答案】11000【例 14】 计算：22222222212323489103353517+++++++++++++L L 【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式2222222222221232348910213191++++++=+++---L 通项归纳，()()22222221132551133111211n n n n n n n n n -++++⎛⎫==+=+- ⎪----+⎝⎭原式511138122910⎛⎫=⨯++-- ⎪⎝⎭292242799=+=【答案】2279【例 15】 计算：222222222357211121231210++++=+++++L L【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 通项归纳，()()()22221211111212111n n n n n n n n n n ++===-+++⨯+⨯+⨯++L 原式11111112231011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11011111=-=【答案】1011【例 16】 计算：2323233---M （共2010条分数线）=【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 32272133321--==- 43261521332772133--=-==-- 5421431213321515213233--=-==--- (21)22132213233n n ++--=---M ，所以2010条分数线的话，答案应该为201220112121-- 【答案】201220112121--一、现代文阅读1．现代文阅读阅读下文，回答问题阅读的愉悦 李国文古人说“开卷有益”，这是绝对的真理。
小学阶段奥数知识点总结(33大类)
小学阶段奥数知识点总结（共计33大类）一、年龄问题的三大特征二、归一问题特点三、植树问题总结四、鸡兔同笼问题五、盈亏问题六、牛吃草问题七、平均数问题八、周期循环数九、抽屉原理十、定义新运算十一、数列求和十二、二进制及其应用十三、加法原理十四、质数与合数十五、约数与倍数十六、数的整除十七、余数及其应用十八、余数问题十九、分数与百分数的应用二十、分数大小的比较二十一、完全平方数二十二、比和比例二十三、综合行程问题二十四、工程问题二十五、逻辑推理问题二十六、几何面积二十七、时钟问题—快慢表问题二十八、时钟问题—钟面追及二十九、浓度与配比三十、经济问题三十一、简单方程三十二、不定方程三十三、循环小数一、年龄问题的三大特征年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。
年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键。
例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？⑴父子年龄的差是多少？54 –18 = 36（岁）⑵几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？7 - 1 = 6⑶几年前儿子多少岁？36÷6 = 6（岁）⑷几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍？18 –6 = 12 (年)答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。
二、归一问题特点归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。
这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。
【小学奥数题库系统】1-2-2-3 通项归纳.教师版
【题型】计算
1-2-2-3.通项归纳.题库
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2× 2 3× 3 98 × 98 99 × 99 × ×× × (2 + 1) × (2 − 1) (3 + 1) × (3 − 1) (98 + 1) × (98 − 1) (99 + 1) × (99 − 1) 2 × 2 3× 3 4 × 4 5× 5 98 × 98 99 × 99 2 99 49 = × × × ×× × = × = 1 3 ×1 4 × 2 5 × 3 6 × 4 99 × 97 100 × 98 1 100 50 49 【答案】 1 50 原式 =
2 × 2 4 × 4 6 × 6 8 × 8 10 × 10 + + + + 1 × 3 3 × 5 5 × 7 7 × 9 9 × 11 【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 n2 【解析】 （法 1） ：可先找通项 an = 1+ 2 1+ = = 2 (n − 1) × (n + 1) n −1 n −1 1 1 1 1 1 原式 = (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) 1× 3 3× 5 5× 7 7×9 9 × 11 1 1 5 5 = 5 + × (1 − ) = 5 + = 5 2 11 11 11 2 8 8 18 18 32 32 50 50 （法 2） ：原式 = (2 − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) 3 3 5 5 7 7 9 9 11 6 10 14 18 50 6 5 = 2+ + + + − = 10 − 4 = 5 3 5 7 9 11 11 11 5 【答案】 5 11
【小学奥数】1-2-3等差数列应用题.题库版
【⼩学奥数】1-2-3等差数列应⽤题.题库版1【例 1】体育课上⽼师指挥⼤家排成⼀排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都⽐前⼀位多7，那么队伍⾥⼀共有多少⼈？【考点】等差数列应⽤题【难度】2星【题型】解答【解析】⾸项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 2】⼀个队列按照每排2，4，6，8⼈的顺序可以⼀直排到某⼀排有100⼈，那么这个队列共有多少⼈？【考点】等差数列应⽤题【难度】2星【题型】解答【解析】（⽅法⼀）利⽤等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列⼀共有50个数，再将和为102的两个数⼀⼀配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550??（）（⽅法⼆）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反⾯求解”的思想可以给学⽣灌输⼀下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 3】有⼀个很神秘的地⽅，那⾥有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第⼀个雕塑有3只蝴蝶，第⼆个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律⼀直延伸到很远的地⽅，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪⾥，那么，第102等差数列应⽤题例题精讲1个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应⽤题【难度】2星【题型】解答【解析】也就是已知⼀个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第⼏项？由刚刚推导出的公式——第n 项=⾸项+公差1n ?-（），所以，第102项321021205=+?=（-）；由“项数=(末项-⾸项)÷公差1+”，999所处的项数是：999321996214981499-÷+=÷+=+=（）【答案】499【巩固】有⼀堆粗细均匀的圆⽊，堆成梯形，最上⾯的⼀层有5根圆⽊，每向下⼀层增加⼀根，⼀共堆了28层．问最下⾯⼀层有多少根?【考点】等差数列应⽤题【难度】2星【题型】解答【解析】将每层圆⽊根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是⼀个等差数列，它的⾸项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以⽤通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d =+-?5(281)1=+-?32=(根)故最下⾯的⼀层有32根．【答案】32【巩固】建筑⼯地有⼀批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都⽐其上⾯⼀层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间⼀层多少块砖？这堆砖共有多少块？1【考点】等差数列应⽤题【难度】2星【题型】解答【解析】项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间⼀层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
小学奥数教程-通项归纳 (含答案)
例题精讲
【例 1】 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 =________ 。
【考点】通项归纳
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】方法一：令 a =1 + 2 + 4 + 8 + + 1024 ，则 2a = 2 + 4 + 8 + 16 + + 1024 + 2048 ，两式相减，得
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= 原式
2 × 2 × 3× 3 ×× 98 × 98 × 99 × 99
(2 + 1) × (2 −1) (3 + 1) × (3 −1)
(98 + 1) × (98 −1) (99 + 1) × (99 −1)
=2 × 2 × 3× 3 × 4 × 4 × 5 × 5 ×× 98 × 98 × 99 × 99 =2 × 99 = 1 49
= 1
1 × (2n +1+ 3) × n
2
原式= 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 + 1
1×3 2× 4 3×5 4× 6
9 ×11 10 ×12
1
n(n + 2)
=
1 1×
3
+
1 3×
5
+
+
9
1 ×11
小学奥数知识点汇总
小学奥数知识点汇总小学奥数是小学数学的拓展和延伸，对于培养孩子的逻辑思维、创新能力和解决问题的能力都有着重要的作用。
以下是对小学奥数常见知识点的汇总。
一、计算类1、速算与巧算速算与巧算主要运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等运算定律，以及凑整、拆数等方法，使计算简便快捷。
例如：25×32×125 ＝ 25×（4×8）×125 ＝（25×4）×（8×125）＝ 100×1000 ＝100000 。
2、等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
求和公式为：和＝（首项＋末项）×项数 ÷ 2 。
例如：1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋······＋ 99 ，首项是 1 ，末项是 99 ，公差是 2 ，项数＝（99 1）÷ 2 ＋ 1 ＝ 50 ，和＝（1 ＋ 99）× 50 ÷ 2 ＝ 2500 。
3、定义新运算定义新运算就是给出一种新的运算规则，按照这个规则进行计算。
例如：规定 a△b ＝ a×b ＋ a ＋ b ，那么 3△2 ＝ 3×2 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 11 。
二、数论类1、整除整除是指整数 a 除以自然数 b 除得的商正好是整数而余数是零。
能被 2 整除的数的特征是个位是 0、2、4、6、8 ；能被 3 整除的数的特征是各位数字之和能被 3 整除；能被 5 整除的数的特征是个位是 0 或5 。
2、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数是指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。
最小的质数是 2 ，最小的合数是 4 。
3、公因数与公倍数公因数是指几个整数共有约数中最大的一个。
小学奥数知识点梳理1-数论Word编辑
数论：1、奇偶；2、整除；3、余数；4、质数合数‘5、约数倍数；6、平方；7、进制；8、位值。
一、奇偶：一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。
奇偶数有如下运算性质：（1）奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±奇数=奇数（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
（3）奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。
（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。
上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。
二、整除：掌握能被30以下质数整除的数的特征。
被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。
被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。
被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。
有一关键性式子：7×11×13=1001。
判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
例：N=987654321.判定N是否被11整除。
因为654不能被11整除，所以N不能被11整除。
例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。
由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。
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【例 1】 12481632641282565121024++++++++++=________ 。
【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 方法一：令12481024a =+++++，则22481610242048a =++++++，两式相减，得204812047a =-=。
方法二：找规律计算得到102421=2047⨯-【答案】2047【例 2】 在一列数：135********，，，，，中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于11000？【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛【解析】 这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1－2121n n -+＜11000，解出n ＞999.5，从n ＝1000开始，即从19992001开始，满足条件 【答案】19992001【例 3】 计算：111112123122007+++⋯+++++⋯ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 先找通项公式12112()12(1)1n a n n n n n ===-++⨯++原式11112(21)3(31)2007(20071)222=++++⨯+⨯+⨯+222212233420072008=++++⨯⨯⨯⨯ 200722008=⨯ 20071004= 【答案】20071004【巩固】 111133535735721+++++++++++ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 先找通项：()()()1111352122132n a n n n n n ===+++++⨯++⨯原式111111132435469111012=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111133591124461012⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111121112212⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 175264=例题精讲通项归纳【答案】175264【巩固】 计算：111111224246246824681024681012++++++++++++++++++++ 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】南京市，兴趣杯，决赛【解析】 先通项归纳：()()11112421222n a n n n n n ===++++⨯+⨯，原式111111122334455667=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111611223346777⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】67【例 4】 1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 11211112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312n n n n n n n n ++===⨯-++++++⨯+⨯⨯++原式＝11111111()()()()223344519992000⎡⎤-+-+-++-⨯⎢⎥⎣⎦＝1000999100011=- 【答案】9991000【例 5】 224466881010133********⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 （法1）：可先找通项222111111(1)(1)n n a n n n n ==+=+---⨯+ 原式11111(1)(1)(1)(1)(1)133********=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯11555(1)552111111=+⨯-=+=（法2）：原式288181832325050(2)()()()()3355779911=-+-+-+-+-61014185065210453579111111=++++-=-=【答案】5511【巩固】 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 22221(1)(1)1(1)1(1)1(2)n n n a n n n n ++=+==+-+-⨯+原式223398989999(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999929949131425364999710098110050⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】49150【巩固】 计算：22222223992131991⨯⨯⨯=---【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+，原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999931425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯29999110050=⨯= 【答案】9950【例 6】 121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)212n n nn n a n n n n +⨯⨯+==+⨯⨯+--原式2334455623344556410182814253647⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式2334455648494950505114253647475048514952⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯35023215226=⨯=【答案】23226【例 7】 计算：1111121223122334122334910++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++， 原式333312323434591011=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 31111112122323349101011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3118122110110⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭ 【答案】81110【例 8】 计算：222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 （法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n ++++==+=+⨯+⨯+⨯++ 原式= 213243542005200420062005()()()()()()122334452004200520052006++++++++++++2005200520052401020062006=⨯+= （法2）：22222(1)2211122(1)(1)n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+ 【答案】200540102006【例 9】 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 通项为：2(1)111n n n n n n a n n n n +-=-==+++， 原式22222123489346789362882345910=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=【答案】36288【例 10】 222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++ 原式=211111111[()()()()]31223342627⨯+-+++-+=2152(1)32781⨯-=【答案】5281【例 11】 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算【解析】 虽然很容易看出321⨯＝3121-，541⨯＝5141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式22221123...(1)(21)6n n n n ++++=⨯⨯+⨯+，于是我们又有)12()1(632112222+⨯+⨯++++n n n n ＝ ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯21111015321321162120154132124 ＝⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯212220156413421242120154132124＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯2122201212015641541342132124＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2220164142124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯111013212116 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯11116＝1160．【答案】6011【例 12】 计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+ ．【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 本题的通项公式为221005000n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦，可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个22505050005000-+． 将项数和为100的两项相加，得()()()()22222222210010022001000021005000100500010050001001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+， 所以原式249199=⨯+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=⨯=）【答案】99【例 13】 计算：22222222246199831517119991⨯⨯⨯⨯=----【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 通项归纳：()()()222222221211n n n nn n n n ⨯==⨯+++- 原式=123999123410001000⨯⨯⨯⨯=【答案】11000【例 14】 计算：22222222212323489103353517+++++++++++++ 【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式2222222222221232348910213191++++++=+++--- 通项归纳，()()22222221132551133111211n n n n n n n n n -++++⎛⎫==+=+- ⎪----+⎝⎭原式511138122910⎛⎫=⨯++-- ⎪⎝⎭292242799=+=【答案】2279【例 15】 计算：222222222357211121231210++++=+++++ 【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 通项归纳，()()()22221211111212111n n n n n n n n n n ++===-+++⨯+⨯+⨯++ 原式11111112231011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11011111=-=【答案】1011【例 16】 计算：2323233---（共2010条分数线）=【考点】通项归纳 【难度】4星 【题型】计算【解析】 32272133321--==- 43261521332772133--=-==-- 5421431213321515213233--=-==--- (21)22132213233n n ++--=---，所以2010条分数线的话，答案应该为201220112121-- 【答案】201220112121--。