上海市浦东新区2020届高三三模数学试卷 含答案

上海市浦东新区2020届高三三模

数学试卷

一. 填空题

1. 已知集合{1,0,}A a =−，{|122}x B x =<<，若A

B ≠∅，则实数a 的取值范围是

2. 若一组数据：21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组数据的方差为

3. 椭圆222125x y b +=（0b >）与双曲线2

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x y −=有公共的焦点，则b =

4. 函数y =（12x ≤≤）的反函数是

5. 函数2||

1()(2)1

x x f x x x ≤⎧=⎨−>⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ， 则1234x x x x +++=

6. 已知23230123(3)(3)(3)(3)n n n x x x x a a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+=+−+−+−+⋅⋅⋅+− （*n ∈N ），且012n n A a a a a =+++⋅⋅⋅+，则lim 4n n

n A →∞=

7. 若△ABC 的内角满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是

8. 对任意实数x 、y ，定义运算x y *为x y ax by cxy *=++，其中a 、b 、c 为常数，等 式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算，现已知123*=，234*=，并且有一个非 零实数d ，使得对于任意实数都有x d x *=，则d =

9. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+−+−≤所对应的平面区域的面积为

10. 设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的 和为

11. 已知函数21()sin 222

x

f x x ωω=+−（0ω>），x ∈R ，若()f x 在区间(,2)ππ内 没有零点，则ω的取值范围是

12. 在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,{1,0,1}}Q x y x y =∈−，在Q 中随机取出三个点，

则这三个点两两之间距离不超过2的概率为

二. 选择题

13. 已知,x y ∈R ，则“x y <”是“1x y

<”的（ ）条件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首

创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、

左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经

90°榫卯起来，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，

现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），

则该球形容器的表面积最小值为（ ）

A. 44π

B. 43π

C. 42π

D. 41π

15. 在平面直角坐标系中，定义11

n n n n n n x x y y x y ++=−⎧⎨=+⎩（*n ∈N ）为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的变换，我们把它称为点变换，已知1(1,0)P ，222(,)P x y ，333(,)P

x y ，⋅⋅⋅是经过点变换得到一组无穷点列，设112n n n n n a P P P P +++=⋅，则满足不等式122020n a a a ++⋅⋅⋅+>最小正整数n 的值为（ ）

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

16. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322:()16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）

（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限；

（2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；

（3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；

（3）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）；

A.（1）（2）

B.（1）（2）（3）

C.（1）（2）（4）

D.（1）（3）（4）

三. 解答题

17. 直三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =.

（1）若1BM AC ⊥，求h 的值；

（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角.

18.图1为某方舱医院的平面设计图，其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，图2中所示多边形ABCDEFGH ，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴80AF BE ==米，两根竖轴60CH DG ==米，记整个方舱医院的外围隔离线（图2实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为L ，CH 与AF 、BE 的交点为M 、N ，DG 与AF 、BE 的交点为P 、Q ，CBN θ∠=（02πθ<<

）. （1）若6π

θ=，且两根横轴之间的距离30AB EF ==米，求外围隔离线总长度L ；

（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度L 不超过240米，当整个方舱医院（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此设计方案中θ的大小与BC 的长度.

19. 已知曲线22

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x y C −=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别 是1P 和2P .

（1）当Q 运动到时，求12QP QP ⋅的值；

（2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点.

20. 已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N .

（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值；

（2）设21

2n n n a b −=，212333n n n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；

（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系.

21. 已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]1=，[ 1.2]2−=−，[1]1=， 对于函数()f x ，若存在m ∈R ，m ∉Z ，使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是“Ω函数”.

（1）判断函数21()3f x x x =−，()|sin |g x x π=是否是“Ω函数”；

（2）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期是T ，

若()f x 不是“Ω函数”，求T 的最小值；

（3）若函数()a f x x x

=+

是“Ω函数”，求a 的取值范围.