二项式定理课件 完美版

D．540
4．(2010·上海春)在 项是________．
答案：60
的二项展开式中，常数
二、题型与方法
考点一 通项公式的应用
通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知 道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式 中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为 解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负 整数且r≤n.
例2 已知（3 x x2 )2n 的展开式的二项式系数和比（3x 1)n
的展开式的二项式系数和大992，求（2 式中：
x

1 x
)
2n
的展开
(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
变式:已知(
)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第
三项的系数的比是10∶1，
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)原式 C50 (x 1)5C51(x 1)4C52 (x 1)3 C53(x 1)2C54(x 1)C55 C55
[(x 1) 1]5 1
x5 1
3．若(
)n的展开式中各项系数之和为64，
则 展开式的常数项为( A ) A．－540 B．－162 C．162
相等，即
C
r n

C nr n
（2）增减性即最大值
f
(r
)

C
r n
在[0,
n 2
]上是增函数
;
在[
n 2
,
n]上是减函数。
当n为偶数时，f (r)max

f
(
n 2
)
n

C2 n
当n为奇数时，f (r) （3）二项式系数和为
max

f ( n21)
n 1
f
(
n21)

C2 n
n 1
Cn2
数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并 求解此不等式组求得．
考点二 二项式定课理展堂开互式的动应讲用练
利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不 等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系 数性质的证明等问题．
例3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
, n)
叫做二项式系数
特点：
（1）共n+1有项；
（2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2，
3，…，n个元素的组合数，即
Cn0
,
C
1 n
,

,
C
n n
.
（3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的
指数和为n。
注意：
（1）表示第r+1项；
（2）通项公式中的a与b的位置不能换.
余下n（-r3个）因要式得取到a。Cnr a nrbr即在(a+b)n中，有r个因式取b，
3.二项式系数与某项系数的区别：
二项式二中项a式,b系系数数及是常C数nr ，展某出项部的分系。数包括二项式系数和
4.二项式系数的性质
（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数
指数和为n。
一、知识梳理
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数n
a b n Cn0an Cn1an1b1 Cnranrbr Cnnbn, n N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，
其中
C
r n
(r

0,1,2,
一、知识梳理
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数n
a b n Cn0an Cn1an1b1 Cnranrbr Cnnbn, n N
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，
其中
C
r n
(r

0,1,2,
, n)
叫做二项式系数
C
0 n

C
1 n

C
2 n


C
n n
2n
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于 2n-1,即
C
0 n
Cn2

C
4 n


Cn1

C
3 n

C n5

2n1
1．则若a0(＋x－a2＋1)4a＝4的a0值＋为a1(x＋B
a2x2＋ )
a3x3＋
a4x4，
A．9
B．8 C．7
特点：
（1）共n+1有项；
（2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2，
3，…，n个元素的组合数，即
Cn0
,
C
1 n
,

,
C
n n
.
（3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的
பைடு நூலகம்
指数和为n。
2.通项公式
式中的 表示。即
Cnr a nrbr 叫做二项展开式的通项，用
Tr 1
Tr1 Cnranrbr 第 r 1 项
求证：5151 1 能被7整除。
例6 求 0.9986 的近似值，使误差小于0.001
规律方法小结
（1）整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的 特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后 观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此 类问题的最常用技巧。余数要为正整数
C C C （2）由(1 x)n 1 1 x 2 x2 ... n xn ，当 x 的绝对值与1相比
nn
n
很小且 n 很大时，x2, x3,.... xn 等项的绝对值都很小，因此
在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近 似计算公式：(1 x)n 1 nx，在使用这个公式时，要注意按 问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取 舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：
(1 x)n 1 nx n(n 1) x2 2
例1 已知在 项。
(3 x 1 )n的展开式中，第6项为常数 23 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
变式 求 x 3 x 9展开式中的有理项
【规律小结】 (1)对求指定项、常数项问题，常用 待定系数法，即设第r+1项是指定项（常数项），利用通 项公式写出该项，对同一字母的指数进行合并，根据所给 出的条件(特定项)，列出关于r的方程(求解时要注意二项 式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)； 第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所 得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解 这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根 据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求 解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字 母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一 致．
变式: 若(2x＋ )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是( A )
A．1
B．－1 C．0
D．2
【规律小结】
对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法， 一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0 得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数 次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式 中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．
(2)求展开式中含 的项；
(3)求展开式中所有的有理项；
(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
【规律小结】 课堂互动讲练
1．根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二 项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项不 同，求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r＋1项系
考点三 二项式定理的灵活应用
例4
求
1 x
1 x2
10的展开式的常数项。
变式：（1）求（x2+x+1)13展开式中x5的系数； （2）求（2x-1)6(3+x)5展开式中x3的系数.
考点四 整除或余数问题
例5 求9192除以100的余数
变式题 7777－7 被 19 除所得的余数是________．
D．6
2.计算并求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 L 2nCnn
(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2
5(x 1)
（1）原式 Cn01n Cn11n1g2 Cn21n2 g22 L Cnn 2n
(1 2)n 3n
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，
其中
C
r n
(r

0,1,2,
, n)
叫做二项式系数
特点：
（1）共n+1有项；
（2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2，
3，…，n个元素的组合数，即
Cn0
,
C
1 n
,

,
C
n n
.
（3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的
特点：
（1）共n+1有项；
（2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2，