复数代数形式的乘除运算

练习.1.计算
⑴ (7 i) (3 4i)
1-i
⑵ (1 i )2 1 i
-1
⑶11 3 2i 3 2i
4 i
13
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
2.百度文库 x 1
2
3 2
i
,则
1 x2
x

_-__1__(.整体代入法妙)
又如计算
2x3
2x2 x1
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
例2.已知复数 x2 x 2 ( x2 3x 2)i(x R) 是4 20i
的共轭复数，求x的值．
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i，根据复数相等的定义，
可得
x2 x 2 4,
复数的乘法与多项
= 8 24i i 3i2 式的乘法是类似的.
= 5 25i
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi 思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z ? z z ?
上面法则的定义是由虚数单位 i 的意义及其满足的 运算特性自然定义的.
复数的乘除运算
我们知道实数有乘、除运算，且有运算律： ab ba ， (ab)c a(bc) ， a(b c) ab ac 那么复数应怎样进行乘、除运算呢？
你认为应怎样定义复数的乘、除运算呢？ 运算律仍成立吗？
2i
( a 、b R ),则 a+b=___1__.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
上节课,我们学习了复数的加、减运算. 设 z1 a bi，z2 c d（i a，b，c，d R） 加法法则： (a bi) (c di) (a c) (b d )i
减法法则： (a bi) (c di) (a c) (b d )i (减法是加法的逆运算)

x
2

3
x

2

20.
解得

x x

3或x 3或x

2 6
所以 x 3 ．
练习:
1.计算 (2 3i)(2 3i) 13 2.已知 (3 i)z 10 ,则 z _3_-__i_. 3.已知 f ( x) x3 2x2 5x 2 ,则 f (1 2i) =_2____.
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)

3
6i 4i 32 42
8i 2
5 10i 1 2 i
25
55
然后分母实数化 即可运算.(一般分子 分母同时乘以分母的 共轭复数)
化简成代数形式 就得结果.
练习.计算
⑴ (7 i) (3 4i) ⑵ (1 i )2 ⑶ 1 1
1 i
3 2i 3 2i

x
=

1 2

3i 2
练习:
1. (i 1)3 的虚部是( A )
i
(A) 8
(B) 8i
(C) 8
(D)0
i 2.计算: (1 i )2007 ______ . 1 i 3.已知复数 z (1 i)2 3(1 i) ,且 z2 az b 1 i
注意到 i2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行 运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘、 除运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把 这些零散的操作整理成法则即可了！
例1.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i2)(1 3i)
= (8 i)(1 3i)
第 3 题有两种方法考虑: 法一:直接代入计算.
法二:由 x 1 2i 得 x2 2x 5 0
整体代入妙!
那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
记为 (a bi) (c di)或 a bi . c di
即 a bi x yi ,那么 x ? , y ? c di
(a bi) (c di) a bi x yi ,那么 x ? , y ? 除法法则: c di
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad

c2 d2
c2 d2 c2 d2 i
分母实数化
例 1.计算 (1 2i) (3 4i) 解: (1 2i) (3 4i)
先写成分式形式
1 2i 3 4i
(1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)