复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
+
������������2������+-���������������2��� i(c+di≠0).
名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直
接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,
然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).
【做一做 3】 计算:24+-33ii.
集.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
一题多解(变)——复数的综合问题
典例
(1)已知复数
z=(1-
3+i 3i)2
,
������是
z
的共轭复数,则
z·������等于(
)
A.1
B.1
4
2
C.1
D.2
(2)已知复数 z 满足|z|= 5,且(1-2i)z 是实数,求������.
3 4
−
4i ,∴z·������
=
14.
法二:∵z=(1-3+3ii)2,
3.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对 复数z,z1,z2和自然数n,m,有:
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=������1������ ·������2������ .
课前篇自主预习
【做一做1】 (1)(4-i)(3+2i)=
.
(2)(-3+2i)2=
=0×504+i2 016=1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用i幂值的周期性解题的技巧 1.熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时, 相应的幂值分别为1,i,-1,-i. 2.对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
最新复数代数形式的乘除运算
i2 = -1 注意
能描述出复数乘法的运算 法则吗？
探究
思考…
复数的乘法是否满足交换律、结合律？ 乘法对加法满足分配律吗？
对于任意z1, z2 , z3 ∈C有 交换律：z1z2 = z2z1 结合律：(z1z2 )z3＝z1(z2z3 ) 分配律：z1(z2 + z3 )＝z1z2＋z1z3
A. - 2 B. - 1 C. 1 D.2 22
答案：B；解析：（1+bi）(2+i)=（2-b） +(2b+1)i，故2b+1=0，故选B.
（2007年全国卷I）设a是实数，
且 a + 1+ i 是实数，则a = ( ) 1+i 2
A． 1 B．1 C．3 D．2
2
2
答案：B.
（2007年湖北卷）复数z = a + bi,a,b∈R,且b ≠ 0, 若z2 - 4bz是实数，则有序实数对（a,b） 可以是( ). (写出一个有序实数对即可)
（Z1Z2）Z3 = [(a1 + b1i)(a2 + b2i)](a3 + b3i) = [(a1a2 - b1b2 )a3 - (b1a2 + a1b2 )b3 ] + [(b1a2 + a1b2 )a3 + (a1a2 - b1b2 )b3 ]i
= (a1a2a3 - b1b2a3 - b1a2b3 ) + (b1a2a3 + a1b2a3 + a1a2b3 - b1b2b3 )i,
+
di)
=
ac c2
+ +
第8讲 复数的四则运算 (解析版)
第8讲 复数的四则运算一、考点梳理考点1 复数的加减法、乘法运算设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .几个常用结论（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=-，（3）()()22b a bi a bi a +=-+例1．（1）设i 是虚数单位，复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，那么z 1+z 2＝（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i【分析】利用复数的加法运算即可求解．【解答】解：∵复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，∴z 1+z 2＝2﹣i ，故选：A ．（2）复数（2+i ）2＝（ ）A ．4﹣3iB ．3﹣4iC ．4+3iD ．3+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：因为（2+i ）2＝3+4i ，故选：D ．（3）设z ＝i 3+1（i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则﹣z 2＝（ ）A ．3﹣iB ．1+3iC ．﹣1﹣iD ．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：z ＝i 3+1＝﹣i +1，∴＝1+i，∴﹣z2＝1+i﹣（1﹣i）2＝1+i﹣1+2i﹣i2＝1+3i，故选：B．（4）已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）A．﹣4B．4C．3D．3i【分析】利用复数的四则运算求出z1•z2，然后由复数的定义即可得到答案．【解答】解：因为复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣1+2i）＝﹣2+4i﹣i+2i2＝﹣2+3i﹣2＝﹣4+3i，由复数的定义可知，z1•z2虚部为3．故选：C．（5）已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．4【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数a．【解答】解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得a＝﹣4，故选：B．【变式训练1】．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值．【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，得a＝3，b＝﹣2．故选：A．【变式训练2】．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．【变式训练3】．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由Z＝1+i，得到Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝﹣1+i，再求出|Z2﹣Z|．【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|＝＝．故选：C．【变式训练4】．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1B．0C．0或1D．1或﹣1【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴m（m﹣1）＝0，m﹣1≠0，∴m＝0，故选：B．【变式训练5】．若2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】题目给出的是实系数一元二次方程，2﹣i是该方程的一个虚根，则方程的另一个根为2+i，则根据韦达定理即可求出．【解答】解：因为2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，根据实系数方程虚根成对原理知，方程x 2+ax +b ＝0的另一根为2+i ，根据韦达定理得2﹣i +2+i ＝﹣a ，（2+i ）（2﹣i ）＝b ，∴a ＝﹣4，b ＝5，∴a +b ＝1，故选：A ．考点2 复数的除法运算复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 几个常用结论（1）i i -=1， （2） i ii =-+11 ， （3） i i i -=+-11 例2．（1）复数＝（ ）A ．﹣2﹣9iB ．C ．﹣D ． 【分析】利用复数除法的运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，即可求出所求．【解答】解：＝， 故选：C ．（2）复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i B ．﹣i C ．1+iD ．1﹣i 【分析】利用复数的运算法则求出复数＝i ，由此能求出复数（i 为虚数单位）的共轭复数． 【解答】解：复数＝＝＝＝i ，∴复数（i 为虚数单位）的共轭复数为﹣i ． 故选：B ．（3）设z ＝+i ，则|z |＝（ ） A ． B ． C ． D ．2【分析】先求z ，再利用求模的公式求出|z |．【解答】解：z＝+i＝+i＝．故|z|＝＝．故选：B．（4）＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：D．【变式训练1】．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【变式训练2】．已知z＝，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【分析】先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：z＝＝，所以＝﹣1﹣3i，故选：D．【变式训练3】．设i是虚数单位，则复数i3﹣＝（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴＝＝＝i，故选：C．【变式训练4】．复数（）2＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2＝[]2＝（1﹣2i）2＝﹣3﹣4i．故选：A．考点3 解方程例3．（1）已知＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知＝1+i（i为虚数单位），∴z＝＝＝﹣1﹣i，故选：D．（2）已知，则复数z＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴＝（1+i）（2+i）＝1+3i．则复数z＝1﹣3i．故选：A．（3）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．（4）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i＝bi﹣1，所以由复数相等的意义知a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1另解：由得﹣ai+2＝b+i（a，b∈R），则﹣a＝1，b＝2，a+b＝1．故选：B．（5）若i（x+yi）＝3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x＝4，y＝﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．【解答】解：∵i（x+yi）＝xi﹣y＝3+4i，x，y∈R，∴x＝4，﹣y＝3，即x＝4，y＝﹣3．∴|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．故选：D．【变式训练1】．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．【变式训练2】．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：＝i，则＝i（1﹣i）＝1+i，可得z＝1﹣i．故选：A．【变式训练3】．若复数z满足3z+＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝．【分析】设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），又3z+＝1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）＝1+i，化为4a+2bi＝1+i，∴4a＝1，2b＝1，解得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．【变式训练4】．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）＝bi，则a+bi＝1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）＝bi，所以a﹣1+（a+1）i＝bi，所以，解得a＝1，b＝2，所以a+bi＝1+2i．故答案为：1+2i．【变式训练5】．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【分析】由题意可得z＝＝，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z 的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．二、课堂检测1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，故选：B．3．若z＝4+3i，则＝（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z＝4+3i，则＝＝＝﹣i．故选：D．4．＝（）A．i B．C．D．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝+．故选：D．5．若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．6．（多选）设复数z满足＝i，则下列说法错误的是（）A．z为纯虚数B．z的虚部为﹣iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用有关知识即可判断出正误．【解答】解：复数z满足＝i，∴z＝＝＝﹣﹣i，则z不是纯虚数，虚部为﹣，在复平面内，z对应的点位于第三象限，|z|＝＝．故说法错误的是ABC．故选：ABC．7．（多选）设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2【分析】利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．8．计算：（2+7i）﹣|﹣3+4i|+|5﹣12i|+3﹣8i＝13﹣i．【分析】根据复数的基本运算法则和复数模长的定义进行化简即可．【解答】解：原式＝2+7i﹣5+13+3﹣8i＝13﹣i，故答案为：13﹣i．9．已知复数z满足1+2zi＝i，其中i是虚数单位，则|z|＝．【分析】先化简复数z，再直接求模即可．【解答】解：依题意，，故．故答案为：．10．设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】利用复数模的计算公式、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：复数z满足＝|1﹣i|+i＝+i＝+i，则复数z＝﹣i，故答案为：﹣i．11．已知复数在z1＝a+i，z2＝1﹣i，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求z1•的值：（Ⅱ）若z1﹣z2是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（Ⅱ）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解；（Ⅲ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，z1•＝（1+i）（1+i）＝1+i+i﹣1＝2i；（Ⅱ）由z1﹣z2＝（a+i）﹣（1﹣i）＝a﹣1+2i是纯虚数，得a﹣1＝0，即a＝1；（Ⅲ）由＝在复平面上对应的点在第二象限，得，即﹣1＜a＜1．12．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件列式求解．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．。
复数的代数形式的乘除运算(含答案)
一、单选题（共 50 题；共 100 分）
1.已知复数 z=2+i，则
（）
A.
B.
C. 3
D. 5
2.已知复数
， 为虚数单位，则 的实部为（ ）
A. 1
B.
C.
D.
3.若 为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.已知复数
耀 ，则 ⺂䁕 耀 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
14.若复数 满足
，则 （ ）
A.
或
B.
或
C.
或
15.已知复数 ⺂ ⺂
（ 是虚数单位），则 的共轭复数 （ ）
A.
B.
C.
D.
D. ±
16.已知
，则 z （ ）
A.
B.
17.已知复数 z 满足
，且
A. 2
B. 2i
18.设复数 满足 ⺂
，则
A.
B. 2
19. ⺂
2.已知复数
， 为虚数单位，则 的实部为（ ）
A. 1
B.
C.
【答案】 D 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为
故答案为：D
【分析】根据完全平方和公式和复数的乘方运算法则进行运算化简复数
义求解即可.
3.若 为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
h ⺂cos
sin ，已知 ⺂
，则
（）
A.
B. 4
高中数学复数代数形式的乘除运算教案新课标人教A版选修1
高中新课程实验教科书—数学选修2-2[人教版A]§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d，当两个复数不全是实数时不能比较大小。
教学过程：讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。
复数代数形式的乘除运算
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质： 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘除运算说课稿说课教师：张晶晶一教材分析1、教材的地位和作用《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。
前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。
它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。
2．教学重点与难点教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则.教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。
3. 教学目标（1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。
（2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分析问题和解决问题的能力。
（3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
二教法分析1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。
3、“先学后教，当堂训练”：通过展示“自学指导”让学生阅读课本，小组内讨论，结合前面学习的知识来解决提出的问题，强化类比转化的思想。
高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》教案 新人教A版选修1-2
1 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
复数的乘、除运算
A.－3＋2i
B.3＋2i
C.－2＋3i
D.2＋3i
解析：∵Δ＝36－4×13＝－16，
∴x＝－6±2 －16＝－3±2i. 答案：A
2.已知 a，b∈R，且 2＋ai，b＋i(i 是虚数单位)是实系数一元 二次方程 x2＋px＋q＝0 的两个根，求 p，q 的值. 解：由根与系数的关系可得22＋＋aaii·＋b＋b＋i＝i＝q，－p， 即pq＝ ＝－2b－2＋a＋b－2＋aa＋b1i，i， 因为 p，q 均为实数，所以－ 2＋aa＋b＝10＝，0， 解得ba＝＝2－，1， 从而有pq＝ ＝－ 5. 4，
答案：6
4.复数 z＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________. 解析：因为 z＝i(1－2i)＝2＋i，所以复数 z 的实部为 2. 答案：2
A.3＋5i
B.3－5i
()
C.－3＋5i
D.－3－5i
[解析] (1)31＋ ＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝112＋－7i i＝112＋－7ii22＋＋ii＝15＋5 25i＝3＋5i. [答案] (1)D (2)A
[对点练清]
2.复数乘法的运算律
对于任意 z1，z2，z3∈C，有 交换律
z1z2＝___z_2_z_1 ___
结合律 乘法对加法的分配律
(z1z2)z3＝___z1_(_z2_z_3_) _ z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋__z_1z_3
3.复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di) ＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(a，b，c，d∈R， 且 c＋di≠0).
2.若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在第四象 限，则实数 a，b 应满足什么条件？
3.2.2复数代数形式的乘除运算课件人教新课标
A．A C．C
B．B D．D
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： (1)z＝1＋i 2i＝1＋－2ii2－i＝2－i，则复数 z ＝2＋i. (2)因为 x＋yi 的共轭复数为 x－yi，故选 B.
答案： (1)D (2)B
数学 选修2-2
＝
ac＋bd＋bc－adi
＋
bc－ad c2＋d2
i(c＋di≠0)．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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复数代数情势的乘除法
1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝__(_a_c_－__b_d_)＋__(_b_c_＋__a_d_)i__ ；
自主学习 新知突破
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方法二：(技巧解法)
原式＝1＋2 i26＋
2＋ 3－
3ii 2ii
＝i6＋
2＋ 2＋
33iii＝－1＋i.
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
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共轭复数
－3z1z2i＝4－6i，求z1和z2. [思路点拨]
第三章 数系的扩充与复数的引入
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2．(2014·西安五校一模)已知复数 z＝1－3＋3ii， z 是 z 的共
轭复数，则 z 的模等于( )
复数代数形式的乘除运算总结
z
＝3－i i＝－1－3i.
例 3 已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c∈R)． (1)求 b，c 的值； (2)试证明 1－i 也是方程的根．
解：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即 b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴2b＋＋bc＝＝00，， 解得bc＝＝2－. 2， (2)证明：由(1)知方程为 x2－2x＋2＝0， 把 1－i 代入方程左边得 左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立， ∴1－i 也是方程的根．
[思考] 实数集内乘法、乘方的一些重要结论和一些运算 法则，在复数集内一定成立吗？
解：不一定，如：(1)当 z∈R 时，|z|2＝z2；当 z∈C 时， |z|2∈R，而 z2∈C，所以|z|2≠z2.(2)当 z∈R 时， z21＋z22＝0⇔z1 ＝0 且 z2＝0；当 z∈C 时， z21＋z22＝0≠＞ z1＝0 且 z2＝0，但 z1＝0，z2＝0⇒z21＋z22＝0.
【变式巩固】 求－16＋30i 的平方根．
[分析] 由于复数的平方根仍然是复数，设出该复数的平 方根的复数形式，再结合复数乘法与除法的关系，利用复数 相等的充要条件求得．
解：设－16＋30i 的平方根为 x＋yi(x，y∈R)， 则(x＋yi)2＝－16＋30i， 即 x2－y2＋2xyi＝－16＋30i，由复数相等的条件，得 x2－y2＝－16，① xy＝15，② 解得 x＝±3，y＝±5，又由方程②可知 x、y 同号， 所以－16＋30i 的平方根为 3＋5i，－3－5i.
2．共轭复数的常用性质
①z·z
＝ z
＝ 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复数知识点公式总结
复数知识点公式总结复数是数学中的一个重要概念，它可以用于表示实数和虚数的和，通常以a+bi的形式表示，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数在数学中有着广泛的应用，尤其在物理和工程领域中经常会遇到，因此对于复数的基本知识点和公式的掌握是很重要的。
一、复数的基本概念在介绍复数的公式之前，首先需要了解一些基本概念。
1. 复数的表示形式复数可以用代数式表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
2. 复数的加法两个复数相加的规则是将实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法两个复数相减的规则是将实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法两个复数相乘的规则是将实部之间相乘减虚部之间相乘，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
5. 复数的除法两个复数相除的规则是先以分母的共轭复数作为分母，并将分子与分母同时乘以分母的共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c-di))/((c+di)(c-di))=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)。
6. 复数的模复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭定义为z的虚部取相反数，即z的共轭为a-bi。
二、复数的指数形式复数可以用指数形式表示，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角，可以表示成z=re^(iθ)。
1. 复数的模和辐角复数z=a+bi的模r和辐角θ可以通过以下公式计算得到：r=|z|=√(a²+b²)，θ=arctan(b/a)，其中a和b为复数z的实部和虚部。
2. 欧拉公式欧拉公式是指e^(iθ)=cosθ+isinθ，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，θ是实数。
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
两个复数 z1z2 相乘时,把向量 OZ1 绕点O 按逆时针方
向旋转角 2 (如果2 0 ，就要把 OZ1 绕点O 按顺时针方向
旋转| 2 | )
再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ， OZ 表示的复
数就是积 z1z2 .这是复数乘法的几何意义.
2.复数三角形式的除法运算的几何意义
类比复数三角形式的乘法的几何意义,你能不能得出复数三角形式的除法
课后作业
请完成《7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》的 课后作业
(1) (a bi)(c di)
(2) (a bi) (c di)
ac adi bci bd (ac bd) (ad bc)i
a bi (a bi) (c di) c di (c di) (c di)
分子、分母都乘
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
模相除，辐角相减
2i
例1（3）计算
2 (cos i sin )
4
4
.（课本89页练习2）
代数形式
三角形式
分析：两个复数有一个是代数形式，另一个是三角形式，这道题如何运算呢？
处理方法：把两个复数的表示形式统一为三角形式或代数形式.
方法一 化为代数形式进行运算
2 (cos i sin ) 2 ( 2 2 i)
角主值是 .
-2
O
巩固练习2
将复数 1 3i 所表示的向量绕原点 O按逆时针方向旋转角 (0 2 )，
所得的向量对应的复数为-2，则 =
.
解：由题意得 (1 3i)(cos i sin ) 2
即
2(cos
3
i
sin
3
3.2.2复数代数形式的乘除运算课件人教新课标1
【即时练】
若
z＝1
i
2i
，则复数
z
等于(
)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
【解析】选D.由
z＝1 2i i
(1 2i) (－i)
i －i
2－i，
故z =2＋i.
【题型示范】
类型一 复数代数情势的乘法运算
【典例1】
(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi-y=-1+i，则(1+i)x+y的
【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=－2－i，
z2=i，所以 z1 －2－i －1 2i，对应的点在第二象限.
z2
i
2① 1 2i2 31－i －3 4i 3－3i
2i
2i
i i2－i 1 2 i．
2i 5 5 5
②
1－
3i
2
3 i －i
2
3 i
3i
x1y2
x 2 y1 ,
的复数是( )
复数
z
3i
3 i
1
i
(i是虚数单位)对应
A. 3 1 3 1 i C. 3 1 3 1 i
B. 3 1 3 1 i D. 3 1 3 1 i
【解析】选A.由题意，得 z 3 i i 1 3 i 3 1 3 1 i.
【警示误区】注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，பைடு நூலகம் 法公式也适用． (3)常用结论： ①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i.
复数的乘除法
复数代数形式的乘除运算1.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。
2.乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .3.复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di c bi a ++例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) =-20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) =25;（2）（1+ i)2. =2 i.例3计算(12)(34)i i +÷- 例4例5已知z 是虚数，且z +z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数.巩固练习：1.设z =3+i ,则z 1等于A.3+iB.3－iC.101103+i D.i 101103+ 2.ai b bia aib bia +-+-+的值是A.0B.iC.－iD.1 3.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数521z z i +的虚部为 A.1B.－1C.iD.－i 4.设i yi i x-+-=+1231 (x ∈R,y ∈R),则x =___________,y =___________.答案：1.D 2.A 3.A 4.53 , －59。
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即 a bi x yi ,那么 x ? , y ? c di
(a bi) (c di) a bi x yi ,那么 x ? , y ? 除法法则: c di
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad
c2 d2
c2 d2 c2 d2 i
分母实数化
例 1.计算 (1 2i) (3 4i) 解: (1 2i) (3 4i)
先写成分式形式
1 2i 3 4i
(1 2i)(3 4i) (3 4i)(3 4i)
第 3 题有两种方法考虑: 法一:直接代入计算.
法二:由 x 1 2i 得 x2 2x 5 0
整体代入妙!
那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
上面法则的定义是由虚数单位 i 的意义及其满足的 运算特性自然定义的.
复数的乘除运算
我们知道实数有乘、除运算，且有运算律： ab ba ， (ab)c a(bc) ， a(b c) ab ac 那么复数应怎样进行乘、除运算呢？
你认为应怎样定义复数的乘、除运算呢？ 运算律仍成立吗？
复数的乘法与多项
= 8 24i i 3i2 式的乘法是类似的.
= 5 25i
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi 思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z ? z z ?
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
x
=
1 2
3i 2
练习:
1. (i 1)3 的虚部是( A )
i
(A) 8
(B) 8i
(C) 8
(D)0
i 2.计算: (1 i )2007 ______ . 1 i 3.已知复数 z (1 i)2 3(1 i) ,且 z2 az b 1 i
x
2
3
x
2
20.
解得
x x
3或x 3或x
2 6
所以 x 3 ．
练习:
1.计算 (2 3i)(2 3i) 13 2.已知 (3 i)z 10 ,则 z _3_-__i_. 3.已知 f ( x) x3 2x2 5x 2 ,则 f (1 2i) =_2____.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
上节课,我们学习了复数的加、减运算. 设 z1 a bi，z2 c d（i a，b，c，d R） 加法法则： (a bi) (c di) (a c) (b d )i
减法法则： (a bi) (c di) (a c) (b d )i (减法是加法的逆运算)
3
6i 4i 32 42
8i 2
5 10i 1 2 i
25
55
然后分母实数化 即可运算.(一般分子 分母同时乘以分母的 共轭复数)
化简成代数形式 就得结果.
练习.计算
⑴ (7 i) (3 4i) ⑵ (1 i )2 ⑶ 1 1
1 i
3 2i 3 2i
2i
( a 、b R ),则 a+b=___1__.
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
例2.已知复数 x2 x 2 ( x2 3x 2)i(x R) 是4 20i
的共轭复数，求x的值．
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i，根据复数相等的定义，
可得
x2 x 2 4,
注意到 i2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行 运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘、 除运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把 这些零散的操作整理成法则即可了！
例1.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i2)(1 3i)
= (8 i)(1 3i)
练习.1.计算
⑴ (7 i) (3 4i)
1-i
⑵ (1 i )2 1 i
-1
⑶11 3 2i 3 2i
4 i
13
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
2.若 x 1
2
3 2
i
,则
1 x2
x
_-__1__(.整体代入法妙)
又如算
2x3
2x2 x1