金属中自由电子气体
金属中自由电子气能量的研究
金属中自由电子气能量的研究
金属中的自由电子气能量研究
随着科学技术的发展，研究金属中自由电子气能量非常重要。
金属是一种由电子组成的复杂物质，由此产生了自由电子，以及由此产生的气能。
自由电子气能量在影响金属的性能和变化方面是重要的考虑因素，因此研究自由电子气能量的重要性无可非议。
自由电子气能量的主要结构来自电子的受热运动，它是由电子运动温度和总能谱电子密度两个分量组成的，电子温度由电子运动温度和相对温度变化而确定，而电子密度则是由金属结构决定的，电子运动密度则是由金属存在电子无序和有序结构而决定。
基于电子运动温度和总能谱，我们可以获得自由电子气能，其计算结果表明金属的关键参数是金属的化学性质。
由于这种电子气能量影响金属的物理性质，因此有关的研究可以帮助我们了解金属的本质。
有关自由电子气能的研究还很新颖，刚开始的几十年，各大研究团队都致力于深入研究，他们借助各种理论工具和试验装置，仔细观察和测量金属材料中自由电子气能量。
此外，针对此类特定机构，人们还可以运用第一性原理计算方法估算出自由电子气能量，考虑到电子之间及电子与原子之间振动-旋转-翻转（VRT）效应，以及电子-原子受相互干涉的简单结构等，以求更精准的结果。
当前，自由电子气能的研究已经取得了较为显著的成果，有助于我们了解金属材料的物理特性，也可以帮助我们准确地认识和掌握金属，以便使其更好地应用于各种领域。
总之，研究金属中自由电子气能量极为重要，是推动金属材料研究和应用发展的关键点。
按照目前的趋势，我们相信在接下来的几十年中，将可以在金属的利用上取得更大的进展。
第十六讲金属中自由电子气模型
- - -（ 7）
3(z L) = 3(z)
用 通 解 的 前 一 种 表 示 ， 分 别 假 定 波 沿 x,y,z 负 方 向 传 播 ， 可 得
波矢：
kx =
2n x L
ky
=
2n y L
kz
=
2n z L
（ 8）
单
电
子
波
函
数
（n ：ψ
x, (x
ny, ,y,z
n )
z
为正 = 1(
负整
x ) 2 (
此时费密-狄喇克统计分布为 （见图 p112 图 6.3）
1
lim T 0
f ( E ,T ) 0
E (0) E (0)
其 中 μ (0)为 绝 对 零 度 时 的 化 学 势 。
- - (17)
电 子 气 基 态 ：能 量 在 μ (0)以 下 的 状 态 全 被 电 子 占 满 ，能 量超 过 μ (0)
第十六讲 金属中自由电子气模型
第六章 金属电子论 问题：对金属中相互作用、运动着的大量电子，怎样进行理论处理？
如何从理论上说明电子对金属优良的电导、热导和比热的贡献？ 如何从电子的运动状态解释电子热发射、光电效应和场电子发 射等重要现象？ 本章用 量子的电子气体模型： 金属中的价电子组成电子气体（就象气体分
见 p112 图 6.3 f(E,T) ～ E 曲线
T > 0,
在
kBT
f
(,T
)
1 2
范围内，f (E,T )从 1下降到 0
由能态密度公式（13）
g(E) CE1/ 2
和公式（14）
C 4 ( 2m)3/ 2
h2
2.金属自由电子气的Drude模型
• 金属中的价电子就象无相互作用的理想气体， 但模型与理想气体又有所不同：
* 电子气体的浓度比理想气体大三个量级 * 有两种粒子：电子，离子
不是很圆滑，所以再加些限制(基本假定)，完 成Drude模型的构造
10.107.0.68/~jgche/ 金属电子气的Drude模型
1、已知的金属性质
模型建立的依据
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
4
为什么研究固体从金属开始？
• 金属最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3 是金属元素，应用很广泛，当时对金属的了解 比其他固体多
* 比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就 被广泛应用 * 区分非金属，实际上也是从理解金属开始
12
思考——假如你是Drude
• 根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？
* 与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的 瞬间，可以不考虑其他。但现有两种带电粒子
• 不是电中性的，有库仑相互作用？那么
* 电子-电子如何相互作用？ * 电子-离子实如何相互作用？
• 还有——电传导（也包括热传导）是个输运过 程，非平衡过程，所以
上讲回顾
• 固体的微观定义
* 固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动
• 贯穿课程的主线
* 周期性波在周期性结构中的运动
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
1
本讲内容：建模推演比较修正
• 如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、 前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属 宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良 好导电和导热现象
金属电子气体理论
一,金属自由电子气体模型1.1 经典电子论特鲁德电子气模型：特鲁德提出了第一个固体微观理论利用微观概念计算宏观实验观测量自由电子气+波尔兹曼统计→欧姆定律电子平均自由程+分子运动论→电子的热导率特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设11.自由电子近似：传导电子由原子的价电子提供，离子实对电子的作用可以忽略不计，离子实的作用维持整个金属晶体的电中性，与电子发生碰撞。
2.独立电子近似：电子与电子之间的相互作用可以忽略不计。
外电场为零时，忽略电子之间的碰撞，两次碰撞（与离子实碰撞）之间电子自由飞行（与经典气体模型不同，电子之间没有碰撞，电子只与离子实发生碰撞，这一点我们将在能带论中证明是错误的。
）特鲁德（Paul Drude ）模型的基本假设23.玻尔兹曼统计：自由电子服从玻尔兹曼统计。
4.弛豫时间近似：电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
特鲁德模型的成功之处——成功解释了欧姆定律欧姆定律E j ρ=（或j E σ=），其中E 为外加电场强度、ρ为电阻率、j 为电流密度。
202()1I j nev ne Sj E eEt m v v E j m ne eE m v m τρτστρ⎧==-⎪⎧=⎪⎪-⎪⎪=+⇒⇒=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩=-⎪⎩r1.2.经典模型的另一困难：传导电子的热容根据理想气体模型，一个自由粒子的平均热量为3/2B k T ，故333(),222A B e U U N k T RT C R T ∂====∂33/29v ph e C C C R R =+=+≈（卡/molK.）但金属在高温时实验值只有6（卡/molK.），即3v C R ≈。
1.3 Sommerfeld 的自由电子论1925年：泡利不相容原理1926年：费米—狄拉克量子统计 1927年：索末菲半经典电子论抛弃了特鲁德模型中的玻尔兹曼统计，认为电子气服从费米—狄拉克量子统计得出了费米能级，费米面等重要概念，并成功地解决了电子比热比经典值小等经典模型所无法解释的问题。
第五章：金属的电子理论
dN ( E ) 3 2me 2 dE 2
3/ 2
3/ 2
E1/ 2
V 3 2
V 2me 2 2 2 3N ( E ) 2E
E1/ 2
DOS: number of electrons/unit energy in a range E ~ E + dE
自由电子模型总结
• 即使在金属中，传导电子的电荷分布（ charge distribution）收到 离子芯强烈静电势的影响。因此，自由电子模型描述传导电子的运 动特性（kinetic properties）最为合适。传导电子与离子之间的相 互作用将在能带理论中讨论。 • 最简单的金属是碱金属：Li, Na, K, Rb, Cs。在这些单价金属中，N 原子构成的晶体有N 个电子和N 个正离子。 • 自由电子模型产生于在量子理论建立之前。经典Drude模型成功导 出欧姆定律（Ohm’s law），以及电导和热导的关系。但是，由于 使用了Maxwell经典统计分布，它不能解释比热容（heat capacity） 和磁化率（magnetic susceptibility ）。后来Sommerfeld在量子理 论基础上重建了该模型。
~ 10eV
1/ 3 2 pF kF 3 N ~ 108 cm / sec vF V me me me
2/3 2 2 2 EF 2 3 N ~ 105 K TF kF kB 2me kB 2me kB V
态密度（Density of states, DOS）
L N (E) 2 2
dN ( E ) L 2me 1 N ( E ) 2me E , D( E ) dE E 2
电子行业金属自由电子气模型
电子行业金属自由电子气模型引言自由电子气模型是描述金属中电子行为的重要理论模型之一。
在电子行业中，金属材料具有良好的导电性和热导性，这一特性正是由于金属中存在着大量的自由电子。
本文将详细介绍电子行业金属中自由电子气模型的基本原理。
自由电子气模型的基本原理自由电子气模型的基本原理是假设金属中的自由电子在晶体中自由运动，并且彼此之间无相互作用。
这个假设是基于金属中的电子大量和密度较大，使得它们之间的相互作用可以忽略不计。
而晶体的周期性结构对电子运动所产生的影响可以用晶格周期势能来描述。
在自由电子气模型中，每个电子都可以被看作是一个自由粒子，其能量由动能和势能共同决定。
由于假设电子之间无相互作用，并且忽略自旋和磁场的影响，可以将自由电子气模型简化为一维、二维或三维的能带结构。
能带结构能带结构描述了金属中电子的能量分布情况。
根据自由电子气模型，电子能量随动量的变化形成能带。
在一维情况下，能带是连续的，电子在能带中可以具有任意动量。
而在二维和三维情况下，能带则呈现出带状结构，电子在能带中只能具有特定的动量。
根据泡利不相容原理, 每个能级只能容纳两个电子（自旋相反）。
因此，在一维情况下，每个能级只能容纳一个电子，而在二维和三维情况下，每个能级可以容纳多个电子。
能带结构可以分为导带和价带。
导带是指位于较高能量的带，其中的电子具有较高的能量，可以随意运动。
价带是指位于较低能量的带，其中的电子具有较低的能量，并且在金属中形成近满带，起到稳定晶体结构的作用。
费米能级费米能级是能带结构中的一个重要参数，它代表了电子在金属中填充的最高能级。
根据赛曼效应，当温度趋近于绝对零度时，费米能级上方的能级将几乎全部被填充，而费米能级以下的能级将几乎为空。
费米能级决定了电子在金属中的运动性质，对导电性和热导性有很大影响。
在金属中，费米能级附近的能级比较稠密，形成了电子态密度的峰值，使得金属能够有效地传导电流和热量。
自由电子气模型的应用自由电子气模型是研究金属导电性和热导性的基础理论之一。
17.1 自由电子气体模型
dN
N
F
0
3
F3
3d
3 4
F
单位体积内, 能量区间 E~E+dE 内的状态数
dNE g(E)dE V
g(E)
dNE VdE
(2me )3/2
2 2 3
E1/2
-- 态密度
电子是按能量规则地从低向高排布， 一个态一个电子（泡利不相容原理）
能量区间 E~E+dE 电子数密度
金属自由电子气体模型
平均场近似下，金属原子的价电子是在均
匀的势场中运动，金属表面对电子可近似看作 无限高势垒。(功函数远大于电子动能)
这些价电子称为自由电子。
U
0
内部 外部
如果考虑立方体形状，N个自由电子好象 是装在三维盒子里的气体。
L L
每个电子都要满足驻波条件
L
nx 2
x
kxL nx
dN E V
g(E)dE 0
E EF E EF
小于费米能量，电子数 = 状态数 小于费米能量态，电子占据几率 1
大于费米能量态，电子占据几率 0
f(E) 1
T=0
0 系统 T = 0
EF E
编者： 安宇
§1 自由电子气体按能量的分布
金属中的电子受到周期排布的晶格上离子 库仑力的作用。
一晶 维格 晶、 体点
阵
U(x)
21
21
考虑电子受离子与其它电子的(2) 电子的运动有隧道效应
(1) 蕊电子 (2) 价电子
价电子的势垒穿透概率较大 在整个固体中运动, 称为共有化电子
(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
《固体物理》第六章 自由电子气
如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向尔兹曼方程的微分积分方程
I2(kBT)2０ (ee1)22d
计
算I２得 π62(kBT)2， 因
此 将g(E)2CE32代入
3
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得：
.
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得:
----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
.
驻波边界条件 常用边界条件
周期性边界条件
x, y,zxL, y,z
x, y,zx, yL,z
x, y,zx, y,zL
k
(r
)
Ae ikr
E
2k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射
回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对
E
0 F
由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均
能量，这与经典的结果是截然不同的。
.
(2) 当T 0K时 ，
N CE1 2 f (E )dE ０
2 Cf ( E )E 3 2 2 C E 3 2 f dE (分步积分得来)
3
03 0
E
2 C E 3 2 f dE
,kz
2πnz L
(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：
金属键知识点总结
金属键知识点总结一、金属键的概念金属键是金属元素之间形成的一种特殊类型的化学键，它是金属原子之间通过小心电子的共享而形成的一种强大的化学键。
金属键是由金属原子的近自由电子云形成的，这些自由电子能够自由地在金属晶格中移动，形成电子气体。
金属键是金属物质具有导电性、良好的热导性和延展性等特点的重要原因。
二、金属键的特点1. 自由电子气体金属键是由金属原子的近自由电子云形成的，这些自由电子能够自由地在金属中移动，形成电子气体。
这种自由电子气体的存在使得金属具有导电性和良好的热导性。
2. 金属晶格金属键是由金属原子通过共享电子而形成的，因此金属中的原子不是通过离子键或共价键连接在一起的，而是形成了一种紧密排列的晶格结构。
这种晶格结构使得金属具有良好的延展性和塑性。
3. 强大的键金属键是一种强大的化学键，它具有很高的结合能，因此金属物质通常具有高的熔点和沸点。
4. 金属元素的位置金属元素在周期表中位于左下角和中间区域，它们通常具有较小的电负性，较大的原子半径和较少的价电子。
这些特点使得金属元素更容易失去电子，形成正离子，从而进行金属键的形成。
三、金属键的形成金属元素之间形成金属键的过程涉及到金属原子之间的近自由电子云的相互作用。
在金属晶格中，金属原子之间的价电子云可以自由地在整个晶格中移动，并且不固定在任何一个原子周围。
当金属原子之间的价电子云相互重叠时，它们就会形成一种共享电子的关系，即金属键。
金属键形成的过程还涉及到金属原子之间的排斥作用和吸引作用。
金属原子之间的正电荷和负电荷之间会发生相互吸引，促使它们形成金属键。
另一方面，相邻的金属原子之间也会有排斥作用，这种排斥作用是由于电子云的相互重叠而产生的。
四、金属键的性质1. 导电性金属物质具有很高的导电性，这是由于金属原子之间的近自由电子云能够自由地在整个金属晶格中移动，从而形成了一种电子气体。
2. 热导性金属物质具有很好的热导性，这也是由于金属原子之间的近自由电子云能够自由地在整个金属晶格中移动，从而形成了一种热导电子气体。
第24讲 金属中的自由电子
近代物理第六周学习内容第23讲激光*第24讲金属中的自由电子第25讲固体能带理论第26讲半导体定态薛定谔方程的应用(续)定态条件：U =U(x，y，z)不随时间变化。
固体中的电子金属自由电子气模型——三维无限深方势阱固体能带理论——周期性方势阱第24讲金属中的自由电子金属自由电子气模型—— 三维无限深方势阱 结论能量量子化)(2222e 222πz y x n n n a m E ++=其中 n x ，n y ，n z 为正整数真空能级E F 逸 出 功 A 费米能级：在绝对零度时，电子可能占据的最高能级，相应的能量称为费米能量。
32e2322F 2π3nm E )(=费米能量仅决定于金属的自由电子数密度 n 。
[Q6.24.1]晶体中的电子在什么条件下可以看成是“自由”的？答：电子的德布罗意波长l>>晶格周期d[Q6.24.2] 边长为 a 的立方体金属颗粒中的电子可看成处于三维无限深方势阱中。
(1) 三个坐标轴方向的电子德布罗意波长 l x 、l y 、l z 应满足什么条件？(2) 推导系统能量公式；(3) 若系统包含 9 个电子，试求费米能量(用公式表示)。
解：(1) 无限深势阱中的电子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度 a 必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。
an a n a n zz y y xx ===2 2 2l l l ，，其中 n x ，n y ，n z 为正整数(1，2，3，……)(2) 由德布罗意波关系式可知，x x λh p =，y y λh p =zz λh p =电子的能量为：e 2222m p p p E z y x ++=(3) 若系统包含 9 个电子，则 8 个电子分别占据的较低 为(1，1，1，½) (1，1，1，-½) (2，1，1，½) (2，1，1，-½) (1，2，1，½) (1，2，1，-½) (1，1，2，½) (1，1，2，-½) )(2222e 222πz y x n n n am ++= 量子态(n x ，n y ，n z ，m s )第 9 个电子可能占据的量子态为 (2，2，1，½) (2，2，1，-½) (2，1，2，½) (2，1，2，-½) (1，2，2，½) (1，2，2，-½))(1222π222e 22F ++=a m E 2e 2229πa m =[Q6.24.3] 已知锌是二价金属，摩尔质量为 65.37 g /mol ，密度为 6506 kg /m 3。
固体磁性2-金属泡利顺磁性
Bz
M
N V
B2 kBT
Bz
然而观测结果确说明大多数正常非铁磁性金属的磁化强度与 温度无关。
泡利顺磁性： 绝对零度情形
注意：箭头标记的是磁矩的方向，不是自旋方向。
自由电子的总磁矩 = 平行磁矩 - 反平行电子磁矩
平行磁矩数
N
1V 2
F B Bz
g(
B Bz
)d
N
1V 2
F 0
g(
)d
1V 2
(
xN
)
F
(
xN
)
1
2
12
kBT F (xN
)
2
F
( xN )
3xN
4V
2/3
h2 2m
从而得到
0
1
2
12
kBT
F
2
0
0
2 B
g
(
F
)
此即泡利顺磁性的低温表达式
朗道抗磁性
以上在推导自由电子气顺磁磁化率的过程中，假定电子 的空间运动不受磁场影响。但是磁场会改变波函数。朗道曾 经证明，对于自由电子这一改变将产生一个抗磁矩，它等于 泡利顺磁性的 -1/3.
n 电子数密度
泡利顺磁性
磁化强度
M
B2 g(F )Bz
3nB2
2kBTF
Bz
磁化率
0B2 g(F
)
3n0B2
2kBTF
说明：（1）泡利顺磁磁化率正比于费米面处电子态密度。 这一结果近似适用于 T TF
（2）在高温下，自由费米子气体过 渡到经典理想气体，适用经典结果
n0B2kBT来自一个简单的物理图像：金属中自由电子气体的磁性
金属中自由电子气的压强
金属中自由电子气的压强1金属中自由电子气的压强电子气是金属中最重要的组成部分，尽管它们没有实体，它们却可以影响金属的物理性质。
金属中的自由电子气可以影响它们因外部因素发生变化的情况。
这种变化会影响到金属的结构和性能。
因此，控制金属中自由电子气的压强是很重要的。
2自由电子气的压强自由电子气的压强是由它们之间的力学和电磁相互作用的结果。
它表示电子气在金属中的“压力”，因此，可以控制金属的性能。
这种压强受体系的温度、电势、电磁场和几何形状等因素的影响。
改变这些因素可以影响自由电子气的压强，因而间接改变金属的性能。
3工程应用金属的性能对于它们在日常工程应用中的性能有很大的影响。
正是通过控制金属中自由电子气的压强，可以改变金属的物理性质，从而控制金属在工程应用中的性能。
例如，金属的硬度可以通过改变金属中自由电子气的压强来改变。
电子气的压强受外部温度的影响较大，因此，在低温环境中，金属的硬度会高于常温环境下。
另外，在高温环境中，金属的硬度会低于常温环境下。
因此，在金属加工中，要注意环境温度，可以有效改变金属的硬度。
4研究自由电子气的压强是一个复杂的课题，其理论计算仍没有被完全揭示出来。
实验上，可以通过电势、温度、电磁场等外部因素来控制电子气的压强，来达到预期的技术目的。
近年来，取得的重要研究成果表明，电子气的朱占强是由它们的普朗克振动给定的。
通过研究，可以多少程度上控制电子气的压强，控制金属的特性。
同时，还有一些加工技术可以改变电子气的压强，从而改变金属的特性与性能，如脉冲电力学加工技术、电子气发泡技术等。
本文讨论了金属中电子气的压强，控制电子气压强可以调节金属的特性和性能，这些性能可以用于日常工程应用中。
此外，由于理论计算有其局限性，在实验上，要研究自由电子气的压强，可以用外部因素来控制，研究成果表明，电子气的压强可以改变金属的硬度、电导率、熔点和热导率等性能。
金属自由电子气模型
(1.2.2)式在一级近似下为
p(t
dt)
p(t)
F (t)dt
P(t)
dt
(1.2.3)
更简练的形式为
dp(t)
F (t )
P(t)
dt
(1.2.4)
引入外场作用下电子的漂移速度（Drift velocity）d
m
d d
(t)
F (t)
• 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍 然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个 模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1s 2s2p 3s 281
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
传导电子密度 n：单位体积的传导电子数
原子数/mole: N0 = 6.022 ∙ 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 m是金属的质量密度（g/cm3），A 是元素的原子量
n
N0
Zm
A
6.022 1023
Zm
A
Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目
对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想 气体的密度高上千倍3源自0.22rs a0
1014 sec .
(1.2.10)
其a0为中玻，尔为半金径属。电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径，
金属Cu的室温电阻率ρ=1.56∙10-6Ohm-cm, τ=2.7 ∙10-14 sec
3）金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
11金属自由自由电子气体模型及基态性质
Where the quantity nx, ny, nz are any integer(整数）
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
nx, ny, nz取值为整数，意味着波矢k取值是量子化的。
三、基态和基态能量 1.N个电子的基态、费米球、费米面 电子的分布满足：能量最小原理 和 泡利不相容原理 我们已知在波矢空间状态密度：
考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子， 则单位相体积可容纳的电子数为：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
N个电子的基态(T=0K)，可从能量最低的 k=0 态开始，从 低到高，依次填充而得到,每个k态两个电子。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
驻波边界条件 常用边界条件
周期性边界条件
人们广泛使用的是周期性边界条件（periodic boundary condition),又称为波恩-卡门（Born-von Karman)边条件
亦即：
对于一维
相当于首尾相接成环，从而既有有限尺寸，又消除了边界 的存在。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
每个点表示一个允许的单电子态。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
金属中自由电子波矢： nx, ny, nz取值为整数 所以，每个代表点（单电子态）在k空间是均匀分布的。 由此： (1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：
(2)波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数): 注意量纲
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
满足薛定谔方程：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
其中：V(r)为电子在金属中的势能，为电子的本征能量
金属自由电子气模型
求（1）电子态密度（考虑自旋）； （2）该系统的费米能（只考虑温度为绝对 零度
北京工业大学 固体物理学
第二节 自由电子气的热性质
费米-狄拉克分布函数 T≠0K时，电子在本征态上的分布服从费 米-狄拉克分布
fi
1 e
( i )/ k BT
vF/108cm/s TF/104K
1.29 1.07 0.86 0.81 0.75 1.57 1.39 1.40 2.25 1.58 1.28 1.83 2.03 1.74 1.90 1.83 1.87 5.51 3.77 2.46 2.15 1.84 8.16 6.38 6.42 16.6 8.23 5.44 11.0 13.6 10.0 11.8 11.0 11.5
T=0 T1
北京工业大学 固体物理学
1、化学势随温度的变化 ① T≠0K，自由电子气单位体积的内能
2 u ( k ) f g( ) f ( )d k 0 V k
② T≠0K，分布函数中的化学势可由电子数 密度算出
2 n V
k
fk g( ) f ( )d 0
北京工业大学 固体物理学
代入
f f I Q( ) ( )d Q( ) ( )( )d 1 f 2 Q( ) ( ) ( )d 2
(**)
(**)第一项积分项等于1 (**)第二项
1 ik (r ) e r V
电子的本征能量：
将波函数代入薛定谔方程，得
k (k ) 2m
2
2
05 金属自由电子气体模型
ε mol
=
N
A
⎜⎛ ⎝
3 2
k
BT
⎞⎟ ⎠
=
3 RT 2
一价金属：CVe ,mol
=
∂ε mol ∂T
=
3R 2
高温时金属的总比热容：
CV
=
C Ph V ,mol
+ CVe ,mol
= 3R + 3 R ≈ 37.40J / mol ⋅ K 2
实际
Ce V，mol
小于经典值
量子：
CVe
~
T TF
常温下：电子的贡献比例很小
kx
=
2π L
nx
ky
=
2π L
ny
kz
=
2π L
nz
nx , ny , nz--一组整数
自由电子的能量是不连续的，相邻能级相距很近. 5 kv空间与态密度 (k-space) 电 的子 端的 点状 代态 表由 一波 个矢可确 能定 的。kv 在 值。kv空相间邻中 代， 表每 点一 在波 三矢 维坐kv
vy
=
−
eτ m
Ey
+
ωcτv x
ωc
=
eB m
--回旋频率
vz
=
−
eτ m
Ez
30
5
Jv = −nevv σ = ne2τ m
σ 0 E x = J x + ωcτJ y σ 0 E y = −ωcτJ x + J y
4.4 霍尔效应和磁阻
长方体样品, 沿x轴施加外电场Ex, 存在电流Jx, 在z轴 加磁场B后, 产生洛仑兹力在负y方向作用到电子上.
+1
金属氢原理
金属氢原理
金属氢原理是指金属在一定的条件下与氢气发生反应形成金属氢化物的过程。
金属氢原理是从物质的微观角度出发，通过分子反应、电子结构等方面来解释金属和氢气的相互作用。
金属氢原理的基础是金属的电子结构和氢气的化学性质。
金属在晶体结构中具有自由电子，而氢气是一种容易失去电子的气体。
当金属与氢气接触时，氢气中的氢离子(H+)可以占据金属晶格的空位，与金属离子形成化学键，产生金属氢化物。
这种化学反应的示意方程式可以表示为：金属 + nH2 -> 金属氢化物，其中n为金属与氢气的摩尔比。
金属氢化物具有一定的特殊性质。
它可以存储氢气，在储氢材料中有广泛的应用。
此外，金属氢化物还可以作为催化剂，在化学反应中发挥重要的作用。
金属氢原理的研究对于理解金属与氢气相互作用的机制，探索新型储氢材料以及发展高效催化剂具有重要意义。
目前，科学家们通过实验和理论计算等手段，正在不断深入研究金属氢原理，以期能够为材料科学和能源领域的发展做出更多的贡献。
金属极化现象
金属极化现象引言：金属极化是指金属在外加电场作用下，产生正负极化电荷，使金属表面电荷分布不均匀的现象。
这种现象不仅在日常生活中广泛存在，而且在工业和科学研究中也扮演着重要的角色。
本文将对金属极化现象进行深入探讨。
一、金属极化的基本原理金属的极化现象是由金属中的自由电子受到外电场的作用而发生的。
在金属中，自由电子可以自由移动，形成电子气。
当外电场作用于金属时，电场力将作用于自由电子，使电子发生位移。
由于电子带负电荷，所以金属表面将产生一个负电荷区域，而金属内部则形成一个正电荷区域，从而导致金属极化。
二、金属极化的类型金属极化可分为表面极化和体内极化两种类型。
1. 表面极化表面极化是指金属表面上的电荷分布不均匀现象。
当金属表面受到外电场作用时，金属表面的自由电子会受到电场力的作用而发生位移，从而在金属表面形成一个电荷分布不均匀的区域。
这种表面极化现象在电容器、电路板等电子设备中具有重要的应用。
2. 体内极化体内极化是指金属内部的电荷分布不均匀现象。
当金属受到外电场的作用时，金属内部的自由电子会受到电场力的作用而发生位移，形成一个电荷分布不均匀的区域。
体内极化现象在金属的导电性能、磁性等方面具有重要的意义。
三、金属极化的应用领域金属极化现象在工业和科学研究中有着广泛的应用。
1. 电子设备金属极化现象在电子设备中具有重要的应用。
例如，在电容器中，金属极化现象可以使电容器具有储存电能的功能。
在电路板中，金属极化现象可以影响电路板上各个元件之间的电荷分布，从而实现电子设备的正常工作。
2. 材料科学金属极化现象在材料科学中具有重要的研究价值。
通过研究金属极化现象，可以了解金属的导电性能、磁性等特性，从而为材料的设计和开发提供理论依据。
3. 电化学金属极化现象在电化学中也有着重要的应用。
例如，在电解池中，金属极化现象可以影响电解过程中的电荷传递和离子迁移速率，从而影响电解反应的速率和效果。
四、金属极化的影响因素金属极化现象受到多种因素的影响，包括外电场强度、金属材料的性质等。
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1）经典定理固体原子作独立的简谐振动+能量均分定理仅在室温和高温范围内符合实验
2）爱因斯坦理论固体原子的振动模满足谐振子解+所有固体原子作同频共振+原子在振动模上服从玻尔兹曼分布在低温上定性符合3）德拜理论（非金属固体）固体原子的振动模式按频率的分布服从驻波条件+固体原子的振动模式的能量满足谐振子解+每一个振动模式只与一个原子的振动相对应+原子在振动模式上服从玻尔兹曼分布在低温时定性符合4）索末菲理（金属固体）对于金属固体：离子振动贡献+自由电子气体贡献。
对自由电子气体：电子具有波粒二象性+电子的量子态满足驻波条件+自由电子在量子态上的填充满足费米分布。
对离子振动：服从德拜理论，在低温处①金属中的自由电子形成强简并的费米气体，或者说自由电子气体以强简并形式占据量子态。
②德布罗意假设——电子具有波粒二象性
③电子自旋为1/2，且电子间为库仑相互作用。
金属中的自由电子服从费米分布
④在体积V 内，能量在的范围内，电子的实际量子态为⑤0K 时费米温度和电子简并压。
当T=0K 时，化学势设为，则由费米分布有平均粒子数（体现了占据最低能量态和泡利不相容原理）
一般情况下，，即电子气体的分布与0K 时相差不大，与十分接近。
由的分布可知，只有能量在附近，量级为的范围内的电子对热容量有贡献。
这部分粒子数为、对能量和热容的贡献为固体的热容量问题
金属中的自由电子气体由自由电子在量子态上的费米分布，总电子数为
费米能级
费米动量费米温度（根据单个粒子的等效热温度概念）
0K 时的自由电子气体的内能
0K 时的自由电子气体的压强
T>0K 时自由电子气体性质自由电子气体的热容量的定量计算
低温下金属固体的实际定容热容量贡献的来源：金属中的离子振动——德拜理论+金属中的自由电子气体——索末菲理论。
低温下金属的总定容热容量为自由电子气体。