圆的标准方程优秀教案

第四章圆与方程

4.1 圆的方程

4.1.1 圆的标准方程

教材分析

本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识．

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用．

教学目标

重点: 圆的标准方程的理解、掌握．

难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．

知识点：会求圆的标准方程.

能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程.

教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法.

自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法.

考试点：会求圆的标准方程.

易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程.

拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程．

教具准备多媒体课件和三角板

课堂模式学案导学

一、引入新课

问题 1：什么是圆？

【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答．

【设计说明】学生回答．

问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？

【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．

【设计说明】教师引导，学生回答．

问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？

【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题．

【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题．

二、探究新知

问题4：已知圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r >），如何确定圆的方程？

师：类比直线点斜式方程的推导方法，引导学生回答求曲线的方程的一般步骤． 师生：教师引导学生回答如何求曲线的方程．

(1)建立适当的直角坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意点M 的坐标； (2)写出适合条件P 的点M 的集合P={M|P(M)|}；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f (x ，y )=0； (4)化方程f (x ，y )=0为最简形式；

(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．

师：设M (x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义如何建立x ，y 满足的关系式？ 生：利用两点间的距离公式，写出点M 的坐标适合的条件． 师：如何进一步化简上述关系式得出圆的方程？

生：学生自己化简得出圆的方程为2

22)()(r b y a x =-+-．

【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法．

【设计说明】学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．

三、理解新知

圆的标准方程：2

22)()(r b y a x =-+-，其中圆心为(,)A a b ，半径为r ． 强调：熟记圆的标准方程的结构特点，并能观察出圆心和半径． 师：那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？

生：只要a 、b 、r 三个量确定了且0r >，圆的方程就给定了． 师：圆心在原点圆的方程是什么？ 生：2

22r y x =+

【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫． 【设计说明】学生自己归纳总结． 基础检测：

1. 圆2)2(2

2=+-y x 的圆心A 的坐标为______,半径r 为________.

2. 圆)0()3()1(2

22≠=-++a a y x 的圆心,半径是？

【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系． 【设计说明】学生口答．

四、运用新知

例1.写出圆心为)3,2(-A ,半径长等于5的圆的方程，并判断点)1,5(),7,5(21---M M 是否在这个圆上． 分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手． 【设计意图】圆的标准方程的直接应用，并会判断点与圆的位置关系． 【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．

探究：怎样判断点),(00y x M 在圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-上？圆内？还是圆外？

y

x

O

A M

【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论．

（1）2

2020)()(r b y a x >-+-，点在圆外 （2）2

2020)()(r b y a x =-+-，点在圆上 （3）2

2020)()(r b y a x <-+-，点在圆内

【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力 练习：

1.点)5,(m P 与圆252

2

=+y x 的位置关系（ ）

Ａ．在圆外 Ｂ．在圆上 Ｃ．在圆内 Ｄ．在圆上或圆外 2.求经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)的圆的标准方程．

3.求以点)1,2(-位圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的标准方程． 【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程． 【设计说明】学生爬黑板．

例2.ABC ∆的三个顶点的坐标是)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程．

师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程

222)()(r b y a x =-+- 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定r b a ,,三个参数．

解法一：设所求圆的方程是2

2

2

)()(r b y a x =-+- (1)

因为)8,2(),3,7(),1,5(--C B A 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是

⎪⎩

⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-2222

22222)8()2()3()7()1()5(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒5

32r b a 所以，ABC ∆的外接圆的方程为 25)3()2(2

2

=++-y x ．

【设计意图】掌握待定系数法求圆的标准方程． 【设计说明】学生自己运算解决．

师：教师画图引导． 生：学生讨论发现，还可利用几何法求ABC ∆生：学生探讨发现：弦AB 的垂直平分线与弦BC 师：如何确定半径？

生：圆心M 与圆上任一点的距离即为半径．

解法二：（师生共同完成） 因为)3,7(),1,5(-B A ，所以线段AB 的中点D 的坐标为)1,6(-，直线AB 的斜率2-=AB k ， 因此线段AB 的垂直平分线1L 的方程是 )6(2

1

1-=

+x y ， L