01集合与简易逻辑
第一章 集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑在数学的广袤世界里，集合与简易逻辑就像是构建知识大厦的基石，看似简单，却蕴含着深刻的思想和广泛的应用。
让我们一同踏上探索这一领域的旅程，揭开它们神秘的面纱。
首先，我们来聊聊集合。
集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的整体。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，操场上所有的篮球也能构成一个集合。
集合通常用大写字母来表示，比如A、B、C 等等。
集合中的元素，也就是组成集合的那些对象，用小写字母表示。
如果一个元素 x 属于某个集合 A，我们就记作 x ∈ A；要是不属于，那就是 x ∉ A。
集合的表示方法有好几种。
列举法大家应该很好理解，就是把集合中的元素一个一个地列出来，像｛1，2，3，4，5｝这样。
描述法呢，就是通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如｛x ｜ x 是小于 10的正整数｝。
集合之间还有各种各样的关系。
两个集合相等，意味着它们包含的元素完全相同。
子集呢，就是一个集合中的所有元素都在另一个集合里。
比如说集合 A ＝｛1，2，3｝，集合 B ＝｛1，2，3，4，5｝，那 A 就是 B 的子集。
真子集就是除了自身以外的子集。
集合的运算也很重要。
并集，就是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合。
比如 A ＝｛1，2，3｝，B ＝｛3，4，5｝，A 并 B就是｛1，2，3，4，5｝。
交集呢，是两个集合中共同拥有的元素组成的集合，A 交 B 就是｛3｝。
补集则是在一个给定的全集 U 中，某个集合 A 的补集就是 U 中不属于 A 的元素组成的集合。
说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。
逻辑在我们的日常生活和数学推理中都扮演着重要的角色。
命题是简易逻辑的核心概念之一。
命题就是能够判断真假的陈述句。
比如“今天是晴天”，这能判断真假，就是个命题；但像“这个苹果真好吃”，这就不是命题，因为好不好吃因人而异，没法明确判断真假。
命题又分为真命题和假命题。
集合与简易逻辑
第一章 集合与简易逻辑（浏览即可，红笔画重点）1、 集合 （1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。
（2）、集合的表示法：列举法、描述法、图示法；（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作φ，φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）； （4）、元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ； （5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N*；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R ；复数集：C 。
2、子集 ： （1）、定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ， 注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ（2）、性质：①、A A A ⊆⊆φ,；②、若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；③、若A B B A ⊆⊆,则A =B ； 3、真子集 ：（1）、定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）、性质：①、A A ⊆≠φφ,；②、若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；分析个数规律：子集、真子集、非空真子集4、补集：①、定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；②、性质：A A C C U A C A A C A U UU U ===）（，， φ； 5、交集与并集（1）、交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且性质：①、φφ== A A A A , ②、若B B A = ，则A B ⊆ （2）、并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或性质：①、A A A A A ==φ , ②、若B B A = ，则B A ⊆判别式：△=b 2-4ac0>∆0=∆0<∆二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f的图象一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的根有两相异实数根 )(,2121x x x x < 有两相等实数根a b x x 221-== 没有实数根一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解集},|{21x x x x x ><“＞”取两边}2|{abx x -≠RAA C UABBAx 1x 2xyOx 1=x 2xyOxy O一元二次不等式)0(02><++a c bx ax 的解集}|{21x x x x <<“＜”取中间φ φ不等式解集的边界值是相应方程的解含参数的不等式ax 2＋b x ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2＋b x ＋c>0的解集是R 的问题：（数形结合） 解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况。
01-第一章 集合与简易逻辑
1.1 集 合〖考纲要求〗理解集合、子集的概念，了解空集、属于、包含、相等的意义. 〖复习要求〗掌握子集的概念，正确使用符号：∈，∉，⊆，⊂，≠，Γ ，H 等〖复习建议〗集合是高考必考内容，一般考查两方面：集合自身的知识与集合语言与集合思想的应用。
复习时要抓住元素这个关键，遇到集合问题，首先要弄清集合里的元素是什么。
注意区别：a 与{a }；{a ，b }与{(a ，b )}，φ与{φ}〖双基回顾〗集合元素具有的三大特征是： 、 、 ；集合的表示方法： 、 、 ；集合的分类：有限集与无限集。
元素与集合只有两种关系： 、 ；子集的定义与集合的相等： n 元集合子集的个数= ；全集的意义；交集、并集、补集的定义与运算 提示：“和”、“或”、“且”体现在集合的运算中应该是 .一、知识点训练：1、用适当符号填空：0 {0，1}；{a ，b } {b ，a }；0 φ；{3＋17} {x |x ＞6＋3}2、用列举法表示{y |y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= .{(x ,y )|y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= . 3、M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是……………………………………（ ） (A )a ≤－1 (B ) a ≤1 (C ) a ≥－1 (D ) a ≥1. 4、已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q = . 5、已知集合A ={x |－1≤x ≤2}，B ={x |x ＜a }，如果A ∩B =A ，那么a 的取值范围是 . 6、已知集合A ={x |x ≤2}，B ={x |x ＞a }，如果A ∪B =R ，那么a 的取值范围是 .二、典型例题分析：1、如果a ∈A 则a-11∈A（1）当2∈A 时，求A （2）如果A 是单元素集，求A .2、A ={x |x =y 2－2y －8}，B ={y |y =－x 2＋2x ＋3}，求A ∩B .3、已知A ={x |x 2－a x ＋a 2－19=0}，B ={x |log 2(x 2－5x ＋8)=1},C ={x |12822=-+x x }，且A ∩B H Φ，A∩C =Φ，求实数a 及集合A .4、已知集合A ={x |x ≥|x 2－2x |}，B ={x ||1|1xx x x -≥-}，C ={x |a x 2＋x ＋b ＜0}，如果（A ∪B ）∩C =φ，A ∪B ∪C =R ，求实数a 、b 的值.*5、S =[－1，a ]，A ={y |y =x ＋1，x ∈S }，B ={z|z=x 2，x ∈S }，如果A =B ，求a 的值.*6、设f （x ）=x 2＋p x ＋q ，A ={x |f （x ）=x ，x ∈R}，B ={x |f (x －1)=x ＋1，x ∈R},C ={x |f (f (x ))=x }. （1）如果A ={2}，求B .（2）如果证明A 是C 的子集三、课堂练习：1、如果{x |x 2－3x ＋2=0}⊇{x |a x －2=0}，那么所有a 值构成的集合是 .2、A ={x |x =a 2＋1，a ∈Z}，B ={y |y =b 2－4b ＋5，b ∈Z}，则A 、B 的关系是 .3、满足{0，1}ΓM ⊆{0，1，3，5，6}的集合M 的个数为 .4、设集合A ={x |10＋3x －x 2≥0}，B ={x |x 2＋a ＜0}，如果B ⊆A ，那么实数a 的取值范围是 .四、课堂小结：1、学习集合，关键在搞清集合中元素的构成.2、掌握元素互异性在集合中的应用.3、能利用集合中元素满足的条件进行解题.五、能力测试： 姓名 得分 .1、全集I={x |x ≤4，x ∈N *}，A ={1，2，3}，A ∩B ={2，3}，那么B =…………………………（ ） (A ){2，3} (B ) {2，3}或者{2，3，4} (C ){1，4} (D ) {1，4}或者{1}2、集合A ={3－2x ，1，3}，B ={1，x 2}，并且A ∪B =A ，那么满足条件的实数x 个数有………（ ） (A )1 (B ) 2 (C )3 (D ) 43、三个集合A 、B 、C 满足A ∩B =C ，B ∩C =A ，那么有…………………………………………（ ） (A )A =B =C (B ) A ⊆B (C )A =C ，A ≠B (D ) A =C ⊆B4、已知非空集合M ，N ，定义M －N ={x |x ∈M ，x ∉N }，那么M －（M －N ）=……………………（ ） (A )M ∪N (B ) M ∩N (C )M (D ) N5、设M ={x |x ∈Z}，N ={x |x =2n ，n ∈Z }，P ={x |x =n ＋21}，则下列关系正确的是………………（ ） (A )N ⊂M (B ) N ⊂P (C )N =M ∪P (D ) N =M ∩P6、全集I={2，3，a 2＋2a －3}，A ={|a +1|，2}，A ={5}，则a =……………………………………（ ） (A )2 (B ) –3或者1 (C )－4 (D )－4或者27、集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ＞a }，如果A ∩B =Φ，那么a 的取值范围是……………………（ ） (A )a ＞1 (B ) a ≥1 (C ) a ＜1 (D ) a ≤18、集合A ={y |y =x 2+1}，B ={y |y =x +1}，则 A ∩B =………………………………………………（ ） (A ){(1,2),(0,1)} (B ){0,1} (C ){1,2} (D )),1[+∞9、A ={x |x ≠1，x ∈R}∪{y |y ≠2，x ∈R }，B ={z|z ≠1且z ≠2，z ∈R}，那么……………………（ ） (A )A =B (B )A ⊂B (C )A ⊃B (D )A ∩B =φ10、A ={x |f (x )=0},B ={x |g(x )=0},那么方程f 2(x )＋g 2(x )=0的解集是……………………………（ ） (A )A ∩B (B )A ∪B (C )A ∩B (D ) A ∪B11、非空集合S ⊆{1，2，3，4，5}，并且满足a ∈S 则6－a ∈S ，那么这样的集合S 一共有 个. 12、设集合M ={x |x ＜5}，N ={x |x ＞3}，那么“x ∈M 或者x ∈N ”是“x ∈M ∩N ”的 条件. 13、用列举法化简集合M ={x |Z x Z x∈∈-,36}= . 14、如果集合A ={x |a x 2+2x +1=0}只有一个元素，则实数a 的值为 . 15、集合A ={x |x 2－3x ＋2=0}， B ={x |x 2－a x ＋a －1=0} ，C ={x |x 2－m x ＋2=0}，若A ∪B =A ，A ∩C =C ，求实数a 、m 之值.*16、求集合{x |x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋1=0，b ∈R}的各元素之和.1.2 不等式的解法——绝对值不等式〖考纲要求〗在掌握一元一次与一元二次不等式解法的基础上掌握绝对值不等式解法.〖复习建议〗掌握绝对值的概念，会把绝对值问题转化为简单的问题；掌握去绝对值的基本方法：找零点分区间讨论法与换元法.一、知识点训练：1、不等式|2x －7|<3的解为………………………………………………………………………（ ） (A )x >2 (B )2<x <5 (C )x <5 (D ) x >02、不等式(x －1)02≥+x 的解为……………………………………………………………（ ） (A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠13、方程12|12|-+=-+x x x x 的解是…………………………………………………………………（ ） (A )x =－2 (B ) x ≠1 (C ) x ≤－2或者x ＞1 (D ) －2≤x ＜1 4、不等式525≤-x 的解集为 ； 5、不等式129->-x x 的解集为 ；二、典型例题分析：1、解不等式：(1)392+≤-x x(2)x x 2212>-1332)3(2-<+-x x x2、⑴已知适合不等式5|3|||≤-++x p x 的x 的最大值为4，求实数p 之值（p =0）.⑵已知适合不等式a x x >--+|3||1|的解集为R ，求实数a 的取值范围.3、关于x 的不等式2)1(|2)1(|22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 、B ，如果A 是B 的子集，求实数a 的取值范围.三、课堂练习：1、不等式x x ≤-52 的解集为 ；2、不等式x x x ≥+-11的解集为 ； 3、如果不等式kx x >+|1|的解集为R ，则实数k 的取值范围是 .四、课堂小结：解绝对值不等式时，常需要分类讨论，有时也可以用绝对值的几何意义求解，以简化计算.五、能力测试：1、关于x 的不等式a x x <++-|2||1|解集为空集，则实数a 的取值范围是………………（ ） （A ）(3,＋∞) （B ）[3,＋∞) （C ）(－∞,3] （D ）(－∞,3)2、不等式|log |2|log 2|22x x x x +<-的解集为…………………………………………………（ ） （A ）(1，2) （B ）(0，1) （C ）(1，＋∞) （D ）(2，＋∞)3、若321><x x和同时成立，则x 满足是 ； 4、不等式02||2<--x x 的解集为 . 5、解不等式||1212x x ≤- 6、解下列不等式：5252)1(≤--x 432)2(+>+x x (3)311≥-+x x7、关于x 的不等式23+>ax x 与不等式|x －2－c |＜c －2同解，求a 与c 的值.8、函数)(x f =2x －1，)(x g =1－x 2，定义函数⎩⎨⎧<-≥=))(|)((|)())(|)((| |)(|)(x g x f x g x g x f x f x F ，试化简此函数解析式，并研究其最值.1.3 不等式的解法——一次与二次〖考纲要求〗熟练掌握一元一次与一元二次不等式的解法.〖复习建议〗掌握不等式的性质，知道解不等式的基本思想：化归与转化，掌握一元一次不等式：.一、知识点训练：1、x =3在不等式 ax ＞b 的解集中，那么…………………………………………………………（ ） (A)a ＞0，3a ＞b (B)a ＜0，3a ＜b(C) a ＞0，b =0 (D) a ≠0，3a ＞b 或者a =0，b ＜0 2、不等式ax 2+bx +c ＞0（a ≠0）的解集为Φ，那么………………………………………………（ ）(A)a ＜0，△＞0 (B)a ＜0，△≤0 (C) a ＞0，△≤0 (D) a ＞0，△≥0 3、不等式(x －1)02≥+x 的解为………………………………………………………………（ ）(A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠1 4、不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为3121<<-x ，则a ；b . 5、不等式组⎩⎨⎧<-+>-+0820222x x x x 的解集为 .二、典型例题分析：1、 如果不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0的解集为}31|{-<x x ，求不等式(a －3b )x ＋b －2a >0的解集.2、不等式2)1()12(2≤->-m x m x 对满足的一切实数m 的值都成立，求实数x 的取值范围.3、解关于x 的不等式0)(22>-+-m m x x4、如果不等式b x ax +<的解集为（4，16），求a 、b 的值.5、已知a ≠b ，解关于x 的不等式222)]1([)1(x b ax x b x a -+≥-+.三、课堂练习：1、在实数集内，关于x 的一元二次不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是空集，则………… ( ) (A )04,02>-<ac b a 且 (B )04,02≤-<ac b a 且(C ) 04,02≤->ac b a 且 (D ) 0402>->ac b a 且2、0)(≥x f 解集是F ，0)(<x g 解集是G ，定义域都为R ，则不等式组⎩⎨⎧≥<0)(0)(x g x f 解集是 ……（ ）(A )G F (B ) G F (C ) G F (D ) G F 3、不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为212->-<x x 或，那么不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为 . 4、关于x 的不等式：ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 恒成立，那么实数a ∈ .四、课堂小结：一元一次不等式的解法：关键是学会讨论，知道其解集情况与系数之间的关系。
01第一章集合与简易逻辑【讲义】
（1）若 x A ( B C ) ，则 x A ，且 x B 或 x C ，所以 x ( A B ) 或 x ( A C ) ，
即 x ( A B ) ( A C ) ；反之， x ( A B ) ( A C ) ，则 x ( A B ) 或 x ( A C ) ，
An I ，且 Ai A j
(1 i , j n,i
这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。
定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理 6 抽屉原理：将 mn 1 个元素放入 n(n 1) 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于
j ) ，则 m1
个元素，也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素；将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽
y和 x y 4k 2 ，
2．利用子集的定义证明集合相等，先证 A B ，再证 B A ，则 A=B。
例 2 设 A， B 是两个集合，又设集合 M 满足
A M B M A B, A B M A B ，求集合 M （用 A，B 表示）。 【解】先证 ( A B ) M ，若 x ( A B ) ，因为 A M A B ，所以 x A M , x
乘法原理，子集共有 210 1024 个，非空真子集有 1022 个。
5．配对方法。
例 5 给定集合 I {1,2,3, , n} 的 k 个子集： A1 , A2 , , Ak ，满足任何两个子集的交集非
空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求
k 的值。
【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得
考虑 a n 3 ，有 an 3 a n 2 或 an 3 a n a3 ，即 a 3 3 ，设 an 3 a n 2 ，则
高考数学专题1 集合与简易逻辑
专题1 集合与简易逻辑一.知识网络以“集合”为基础，由“运算”分枝杈.二．高考考点1．对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.2．对集合知识的综合应用，重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.3．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，重点考查逻辑推理和分析问题的能力.4．充分条件与必要条件的判定与应用.三．知识要点（一）集合1.集合的基本概念（1）集合的描述性定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性：（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“是”与“否”两种情况.（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.（2）集合的表示方法集合的一般表示方法主要有（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己表示有误或被他人迷惑.（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.①描述法的规范格式：｛x|p(x),x∈A｝其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.②认知集合的过程：认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.例：认知以下集合：; ；; ，其中M=｛0，1｝.分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y）点（x,y）坐标满足函数式y=x2-1(x∈R)点（x,y）在抛物线y=x2－1上集合A是抛物线y=x2-1(x∈R)上的点所组成的集合.对于B，其代表元素为y y是x的二次函数：y=x2-1(x∈R)，再注意到集合的意义是范围集合B 是二次函数y=x2-1(x∈R)的取值范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的值域，故B=｛y|y≥－1｝.对于C，其代表元素是x x是二次函数y=x2-1的自变量集合C是二次函数y=x2-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x2-1(x∈R)的定义域，即C=R.对于D，其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的（全部）子集组成，故D=｛φ，｛0｝，｛1｝，｛0，1｝｝.（III）数轴法和文氏图法：文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域（内部）表示集合的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.评注：集合的符号语言与文字语言的相互转化，是师生研究集合的基本功.为了今后的继续性发展，这一软性作业必须高质量完成.2．集合间的关系（1）子集（I）子集的定义（符号语言）：若x∈A x∈B,则A B（注意：符号的方向性）规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有φ A显然：任何一个集合都是自身的子集, 即A A.（II）集合的相等：若A B且B A，则A=B.（III）真子集定义：若A B且A≠B；则A B（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.（2）全集，补集（I）定义设I是一个集合，A I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I中子集A的补集（或余集），记作A，即A=｛x|x∈I,且x A｝.在这里，如果集合I含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将I称为全集，全集通常用U表示.（II）性质：φ=U；U=φ；（A）=A（III）认知：补集思想为我们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范围等问题，当正面入手头绪繁多或较为困难时，要想到运用“间接法”进行转化求解.（3）交集，并集（I）定义：①由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x|x ∈A,且x∈B｝;②由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=｛x|x ∈A,或x∈B｝.（II）认知：上面定义①、②中的一字之差（“且”与“或”之差），既凸显交集与并集的个性，又展示二者之间的关系.在这里，要特别注意的是，并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，并集概念中的“或”源于生活，但又高于生活中的“或”：生活用语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一，并不兼有；而并集概念中的“或”是“或此”.“或彼”“或彼此”，可以兼有.因此，“x∈A或x∈B”包括三种情形：x∈A且x B；x∈B且x A；x∈A且x∈B.（III）基本运算性质①“交”的运算性质A∩A=A；A∩φ=φ；A∩B= B∩A；A∩ A =φ；（A∩B）∩C= C∩（A∩B）= A∩B∩C②“并”的运算性质A∪A=A；A∪φ=A；A∪B= B∪A；A∪A=I；（A∪B）∪C=A∪（B∪C）= A∪B∪C③交.并混合运算性质A∪（B∩C）= （A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；A∩（A∪C）=AA∪（A∩B）=A（ IV ）重要性质①A∩B=A A B； A∪B=B A B；②A∩B=（A∪B）；A∪B=（A∩B）上述两个性质，是今后解题时认知、转化问题的理论依据.（二）简易逻辑1.命题（1）定义（I）“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.（II）可以判断真假的词句叫做命题.其中，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（2）复合命题的真假判断（I）当p、q同时为假时“p或q”为假，其它情况时为真；（II）当p、q同时为真时“p且q”为真，其它情况时为假；（III）“非p”与p的真假相反.（3）认知（I）这里的“或”与集合的“并”密切相关（并集又称为或集）：集合的并集是用“或”来定义的：A∪B=｛x| x∈A或x∈B｝.“p或q”成立的含义亦有三种情形：p成立但q不成立；q成立但p不成立,p,q同时成立.它们依次对应于A∪B中的A∩ B；B∩ A；A∩B.不过，A∪B强调的是一个整体，而“p或q”是独立的三种情形的松散联盟.（II）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定p且q；“p且q”p或q.它们类似于集合中的（A∪B）=（A）∩（B），(A∩B）=（A）∪（B）（4）四种命题（I）四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为原命题：若p则q；逆命题：若q则p;否命题：若p则q逆否命题：若q则p.（II）四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.2.充分条件与必要条件（I）定义：若p q则说p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q则说p 是q的充分必要条件（充要条件）.（II）认知：①关注前后顺序：若p q则前者为后者的充分条件；同时后者为前者的必要条件.②辨析条件、结论注意到条件与结论的相对性.若条件结论，则这一条件为结论的充分条件；若结论条件，则这一条件为结论的必要条件.③充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.四.经典例题例1．判断下列命题是否正确.（1）方程组的解集为｛（x,y）|x=－1或y=2｝;（2）设P=｛x|y=x2｝,Q=｛(x,y)|y=x2｝,则p Q;（3）设，则M N；（4）设，，则集合等于M∪N；分析：（1）不正确.事实上，方程组的解为有序实数对（-1，2），而－1或2不是有序实数对，故命题为假.正确解题：方程组解集应为（初始形式）==｛（-1，2）｝（2）不正确.在这里，P为数集，Q为点集，二者无公共元素，应为P∩Q=φ.（3）为认知集合中的元素的属性，考察代表元素的特征与联系：对两集合的代表元素表达式实施通分，对于集合M，其代表元素，2k+1为任意奇数；对于集合N，其代表元素，k+2为任意整数.由此便知M N，故命题正确.（4）不正确.反例：注意到这里f(x),g(x)的定义域未定，取，，则f(x)·g(x)=1(x≠－3且x≠1)，此时f(x)g(x)=0无解.揭示：一般地，设函数f(x),g(x)的定义域依次为P、Q，且，，则有例2．设集合A=｛x|x2+4x=0｝,B=｛x|x2+2(a+1)x+a2－1=0｝（1）若A∩B=B，求a的值；（2）若A∪B=B，求a的值.解：集合A=｛－4，0｝（1）A∩B=B B A即B｛－4，0｝由有关元素与B的从属关系，引入（第一级）讨论.（I）若0∈B，则有a2－1=0a=1（以下由a的可能取值引入第2级讨论）.又当a=－1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2=0x=0此时B=｛0｝符合条件；当a=1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+4x=0x(x+4)=0此时B=A符合条件.（II）若－4∈B，则有16+2（a+1）(－4)+a2－1=0a2－8a+7=0(a－1)(a－7）=0 a=1或a=7 当a=1时，由（I）知B=A符合条件；当a=7时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+16x+48=0(x+12)(x+4)=0x=－12或x=－4此时B=｛－12，－4｝ A.（III）注意到B A，考察B=φ的特殊情形：B=φ=4（a+1）2－4(a2－1)<0 a<－1,此时集合B显然满足条件.于是综合（I）、（II）、（III）得所求a的取值集合为｛a|a=1或a≤－1｝.（2）集合B中至少有两个元素①而方程x2+2(a+1)x+a2－1=0至多有两个实根集合B中至多有两个元素②∴由①、②得集合B中只含两个元素 B=A此时，由(1)知a=1，即所求a的的数值为a=1.点评：（1）在这里，对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为重要：对集合A.B的关系，分别考察特殊（相等）和一般（真包含）情形，引出第一级讨论；对集合B的存在方式，又分别考察特殊（B=φ）和一般（B≠φ）的两种情形，引出第二级讨论.“特殊”（特殊关系或特殊取值）是分类讨论的切入点.（2）空集φ作为一个特殊集合，既是解题的切入点，又是设置陷阱的幽灵，注意到“一般”与“特殊”相互依存的辩证关系，解题时应适时考察“特殊”，自觉去构建“特殊”与“一般”的辩证统一.例3．已知A=｛x|x2-4x+3<0,x∈R｝,B=｛x|21-x+a≤0且x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R｝若A B，试求实数a的取值范围.解：A=｛x|1<x<3｝=(1,3)注意A B，故对任意x∈(1,3),不等式21-x+a≤0与x2－2(a+7)x+5≤0总成立.（1）对任意x∈(1,3)，f(x)=x2－2(a+7)x+5≤0总成立，f(x)=0有两实根，且一根不大于1，而另一根不小于3①（2）令g(x)=－21－x, x∈(1,3),则对任意x∈(1,3)，21－x+a≤0总成立.a≤g(x)总成立a≤g min(x) a≤－1 ②∴将①.②联立得－4≤a≤－1.∴所求实数a的取值范围为｛a|－4≤a≤－1｝.点评与揭示：在某个范围内不等式恒成立的问题，要注意向最值问题的等价转化：（1）当f(x)在给定区间上有最值时a≤f(x)恒成立a≤f min(x)a≥f(x)恒成立a≥f max(x)（2）当f(x)在给定区间上没有最值时a≤f(x)恒成立a≤f(x)的下确界a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的上确界例4．已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：从认知与q入手，为了化生为熟，将，q分别与集合建立联系.解：由已知得：x<-2或x>10；q：x<1-m或x>1+m(m>0).令A=｛x|x<-2或x>10｝,B=｛x| x<1-m或x>1+m(m>0)｝,则由是q的必要而不充分条件B A或m9∴所求实数m的取值范围为[9，+∞）.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的又一基本策略.例5．设有两个命题，p：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点；Q:不等式恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数a的取值范围是（）A.（－∞，－2]B.[2,＋∞)C.[-2,2]D.(-2,2)分析：（ⅰ）化简或认知P、Q：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点，△＝－2＜a＜2∴P: －2＜a＜2 ①又不等式恒成立a小于的最小值②＋≥＝2 ③∴由②、③得 a﹤2即Q: a﹤2（ⅱ）分析、转化已知条件“P或Q”为真P、Q中至少有一个为真a﹤2 ④“P且Q”为假P、Q中至少有一个为假或为真a≤－2或a≥2 ⑤于是由④⑤得，同时满足上述两个条件的a的取值范围是 a≤－2∴实数a的取值范围为（－∞，－2].例6. 若p：－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1；q：关于x的方程有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件？分析：在这里，q是关于x的二次方程有两个小于1的正根的条件，为便于表述，设该方程的两个实根为，且.然后根据韦达定理进行推理.解：设，为方程的两个实根，且，则该方程的判别式为：△＝又由韦达定理得∴当0﹤﹤1时，由②得－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1即 q p ③另一方面，若在p的条件下取m＝－1，n＝0.75，则这一关于x的二次方程的判别式△＝＝＝1－3﹤0，从而方程无实根∴p q ④于是由③④得知，p是q的必要但不充分的条件.点评：若令f（x）＝，则借助二次函数y＝的图像易得关于x的二次方程有两个小于1的正根的充要条件为在这里容易产生错误结论为：方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是注意到这里的p由※式中部分条件构造而成，它关于m、n的限制当然更为宽松.五.高考真题1．设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面判断正确的是（）A．S1∩（S2∪S3）=φ B. S1（S2∩S3）C．S1∩S2∩S3=φ D. S1（S2∪S3）分析：对于比较复杂的集合运算的问题，一要想到利用有关结论化简，二要想到借助特取法或文氏图筛选.解法一（直接法）：注意到A∩B=（A∪B），A∪B=（A∩B）及其延伸，∴S1∩S2∩S3=（S1∪S2∪S3）=I=φ，故选C解法二（特取法）：令S1=｛1，2｝，S2=｛2，3｝，S3=｛1，3｝I=｛1，2，3｝则S1=｛3｝S2=｛1｝S3=｛2｝由此否定A、B；又令S1=S2=S3=｛a｝，则I=｛a｝，S2=S3=φ，由此否定D.故本题应选C2．已知向量集合，则M∩N等于（）A．｛（1，1）｝ B. ｛（1，1），（-2，-2）｝ C .｛（-2，-2）｝ D.φ分析：首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得，又令=(x,y)，则有，消去λ得4x－3y+2=0,∴M=｛(x,y)|4x-3y+2=0,x,y∈R｝.同理=｛(x,y)|5x-4y+2=0,x,y∈R｝∴M∩N==｛（－2，－2）｝，∴本题应选C点评：从认知集合切入，适时化生为熟，乃是解决集合问题的基本方略.3．设集合I=｛(x,y)|x∈R,y∈R｝,A=｛(x,y)|2x－y+m>0｝,B=｛(x,y)|x+y－n≤0｝,那么点P(2,3)∈A∩(B)的充要条件是（）A． m>-1,n<5 B m<-1,n<5 C m>-1,n>5 D m<-1,n>5分析：由题设知P(2,3) ∈A，且P（2，3）∈ B （※）又B=｛(x,y)|x+y-n>0｝,∴由（※）得，故本题应选A4．设函数，区间M=[a,b](a<b)，集合N=｛y|y=f(x),x∈M｝,则使M=N成立的实数对（a,b）有（）A．0个 B 1个 C 2个 D 无数多个分析：从认知集合切入.这里的集合N为函数f(x),(x∈M)的值域.注意到f(x)的表达式中含有|x|，为求f(x)的值域，先将f(x)化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析.∴当x>0时，f(x)<0;当x=0时，f(x)=0；当x<0时，f(x)>0.由此可知，当x≠0时，f(x) (x∈M)的值域与定义域M不可能相等；又当x=0时，f(x)的定义域为｛0｝，故不存在a<b使区间[a,b]仅含元素0，因此，本题应选A.点评：解决分段函数问题的基本策略：分段考察，综合结论.在这里，认知集合N仍是解题成败的关键所在.5．函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=｛y|y=f(x),x∈P｝f(M)=｛y|y=f(x),x∈M｝,给出下列四个判断：①若P∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ；②若P∩M≠φ，则f(P)∩f(M)≠φ；③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)= R；④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠ R其中正确判断有（）A． 1个 B 2个 C 3个 D 4个分析：首先认知f(P)，f(M)：f(P)为函数y=f(x)(x∈P)的值域；f(M)为函数y=f(x)(x∈M)的值域.进而考虑仿照第1题，从构造反例切入进行筛选.（1）取P=｛x|x≥0｝,M=｛x|x<0｝,则f(P)=｛x|x≥0｝, f(M)=｛x|x>0｝此时P∩M=φ，P∪M=R，但f(P)∩f(M) ≠φ，f(P) ∪f(M)≠ R由此判断①.③不正确（2）当P∩M≠φ时，则由函数f(x)的定义知P∩M=｛0｝（否则便由f(x)的解析式导出矛盾），所以0∈f(P)，0∈f(M)，从而f(P)∩f(M)≠φ.由此判断②正确.（3）当P∪M≠R时，若0P∪M，则由函数f(x)的定义知，0f(P) ∪f(M)若存在非零x0P∪M, (※),易知x0f(P)当x0f(M)时，有x0f(P)∪f(M)；当x0∈f(M)时，则易知－x0∈M.注意到这里－x0≠0，所以－x0P，从而－x0f(P).又∵x0M，∴－x0f(M)，∴－x0f(P)∪f(M) （※※）∴由①.②知当P∪M≠R时，一定有f(P) ∪f(M)≠ R.故判断④正确.点评：认知f(P).f(M)的本质与特殊性，是本题推理和筛选的基础与保障.6．设全集I=R，（1）解关于x的不等式|x－1|+a－1>0(a∈R);（2）设A为（1）中不等式的解集，集合，若（A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.分析：（1）原不等式|x－1|>1－a，运用公式求解须讨论1－a的符号.（2）从确定 A与化简B切入，进而考虑由已知条件导出关于a的不等式（组），归结为不等式（组）的求解问题.解：（1）原不等式|x－1|>1－a当1－a<0，即a>1时，原不等式对任意x∈R成立；当1－a=0，即a=1时，原不等式|x－1|>0x≠1;当1－a>0，即a<1时，原不等式x－1<a－1或x－1>1－ax<a或x>2－a于是综合上述讨论可知，当a>1时，原不等式的解集为R；当a≤1时，原不等式的解集为（－∞，a）∪（2－a,+ ∞）（2）由（1）知，当a>1时，A=φ；当a≤1时, A=｛x|a≤x≤2－a｝注意到==∴∴（A）∩B恰有3个元素A恰含三个整数元素.（A有三个元素的必要条件）(对A=[a,2－a]的右端点的限制)(对A=[a,2－a]的左端点的限制)故得－1<a≤0,∴所求a的取值范围为.点评：不被集合B的表象所迷惑，坚定从化简与认知集合B切入.当问题归结为A恰含三个整数时，寻觅等价的不等式组，既要考虑A含有三个整数的必要条件（宏观的范围控制），又要考虑相关区间的左\右端点的限制条件（微观的左右“卡位”），两方结合导出已知条件的等价不等式组.。
第一章 集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑在数学的广袤天地中，集合与简易逻辑就像是两座基石，支撑着众多数学知识的大厦。
让我们一同踏上探索这两个重要概念的旅程。
首先，什么是集合呢？集合，简单来说，就是把一些具有特定属性的对象放在一起所组成的整体。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，书架上的所有书籍也能组成一个集合。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性这三个重要特点。
确定性指的是对于一个元素，它要么属于这个集合，要么不属于，不存在模棱两可的情况。
互异性呢，就是说集合中的元素不能重复。
而无序性则意味着集合中元素的排列顺序并不重要，｛1, 2, 3}和{3, 2, 1}表示的是同一个集合。
表示集合的方法有列举法、描述法和图示法。
列举法就是把集合中的元素一个一个地列出来，像{1, 2, 3}。
描述法则是通过描述元素的共同特征来表示集合，比如{x ｜ x 是大于 0 小于 5 的整数}。
图示法常见的有韦恩图，能让我们更直观地理解集合之间的关系。
接着来聊聊集合之间的关系。
如果一个集合中的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合就叫做另一个集合的子集。
如果两个集合互相包含，那它们就是相等的集合。
还有一种特殊的关系叫真子集，就是一个集合是另一个集合的子集，但两个集合不相等。
集合的运算也是很重要的一部分。
交集就是两个集合中共同的元素组成的集合；并集则是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合；而补集呢，是在一个给定的全集里，某个集合之外的部分。
说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。
简易逻辑在数学推理和日常生活中的判断中都有着广泛的应用。
逻辑连接词像是“且”“或”“非”，它们能帮助我们组合和改变命题的真假性。
“且”连接的两个命题都为真时，整个命题才为真；“或”连接的两个命题只要有一个为真，整个命题就为真；“非”则是对原命题的否定。
命题有真有假。
能够判断真假的陈述句就是命题。
原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间有着有趣的关系。
原命题和逆否命题的真假性是相同的，逆命题和否命题的真假性也是相同的。
高中数学重点手册1——集合、简易逻辑
1．集合、简易逻辑「集合」把某些指定的对象集中在一起就成为一个集合，简称集。
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
集合通常用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示集合，用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示集合的元素。
「集合的特征」集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。
「集合的类型」① 有限集：含有有限个元素的集合叫有限集。
② 无限集：含有无限个元素的集合叫无限集。
③ 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。
「集合的表示方法」①列举法 把一个集合的元素逐个列举出来，写在大括号内，这一表示法叫做列举法。
②特征性质描述法 用该集合所含元素的共有特征性质来描述，这一表示法叫做特征性质描述法，具体作法是：在大括号内先写上表示该集合元素的一般符号及其取值范围，再画一条竖线（或一个冒号或分号），再写出这一集合中的元素所具有的一个特征性质。
特征性质必须绝对明确，必须是集合中所有元素共有的特征性质。
「元素与集合的从属关系」如果元素a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果元素a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉或A a ∈或a ∈.A 。
「集合与集合的容量关系」对于两个集合,,B A 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ØB 或B ÙＡ。
当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，记作A B ⊂或 .B A ⊃显然，空集是任何集合A 的子集，即A ∅⊆，空集是任何非空集合B 的真子集，即∅ ØB若,,A B B C ⊆⊆则;A C ⊆若,,A B B A ⊆⊆则.A B =「常用数集的符号」 N 非负整数集；自然数集*N 或+N 正整数集Z 整数集-+Z Z 整数集Z 内排除0的集Q 有理数集。
集合与简易逻辑
故ξ的分布列为：
11分
13分
【分析点评】
求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．对集合概念和运算的考查 多以选择题和填空题的形式，其难度是中低档的，也有可能与排列组合，解析 几何等问题进行综合考查，特别值得关注的是近两年北京与福建等省份是以解 答题的形式进行综合考查，难度较大．
1.本题主要考查排列与组合、概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算
1
2
解决集合的运算问题，一般要先化简集合以确定集合中的元素，可借助韦恩图、数轴等手段使问题直观化，然后根据题目要求进行求解．
【例3】设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)等于( ) A．R B．{x|x∈R，x≠0} C．{0} D．∅ 解析：B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}＝[－4,0]，则A∩B＝{0}， ∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R，x≠0}． 答案：B
第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念与运算
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无序性
描述法
∈
∉
⊆
＝
相等关系
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、 ． 2．集合的表示法：列举法、 、图示法． 提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合于有限集，而描述法一般适合于无限集． (2)注意集合中元素的互异性：集合{x|x2－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为{1}． 3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号 和 表示． 4．集合与集合之间的关系有：包含关系、 、真包含关系，分别用符号 、 、 表示．
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2＋ x＋1＝0}，B＝{y|y＝x2＋a， x∈R}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) Байду номын сангаас A．(－∞，－ ] B. C. D．(－∞，－2] 解析：由x2＋ x＋1＝0得(2x＋1)(x＋2)＝0，则x＝－ ，或x＝－2， ＝ . 又B＝{y|y＝x2＋a，x∈R}＝[a，＋∞)．由A∩B≠∅， 知a ≤ － . 答案：A
第一章 集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑1. 集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，它代表着由一组确定的对象（元素）构成的整体。
集合的元素可以是任何东西，例如数字、字母、符号等。
集合可以使用大写字母表示，而其中的元素则使用小写字母表示。
例如，集合A可以表示为 A = {a, b, c}。
集合可分为空集和非空集两种情况。
空集是不包含任何元素的集合，可以用符号∅ 表示。
非空集则至少包含一个元素。
集合的元素之间没有顺序关系，也不允许重复元素存在。
如果一个集合中存在相同的元素，会被视为同一个元素。
2. 集合的运算在集合中，有三种常见的运算：并集、交集和补集。
2.1 并集并集运算是将两个或多个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
并集运算可以用符号∪ 表示。
例如，对于集合A和集合B，它们的并集可以表示为A ∪ B。
2.2 交集交集运算是求两个或多个集合中共有的元素构成的新集合。
交集运算可以用符号∩ 表示。
例如，对于集合A和集合B，它们的交集可以表示为A ∩ B。
2.3 补集补集运算是相对于某个全集，求一个集合中不属于另一个集合的元素。
补集运算可以用符号’ 表示。
例如，对于集合A的补集，可以表示为A’。
3. 简易逻辑逻辑是研究思维的科学。
在数学中，逻辑是处理命题及其推理的规则。
逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑两种形式。
3.1 命题逻辑命题逻辑是研究命题和命题之间的关系的逻辑体系。
命题是陈述句，可以判断是否为真或假。
命题逻辑主要关注命题之间的合取、析取、蕴含和等价等关系。
•合取：合取符号∧ 表示同时满足两个命题的关系。
例如，命题P和命题Q的合取可以表示为P ∧ Q。
•析取：析取符号∨ 表示满足至少一个命题的关系。
例如，命题P和命题Q的析取可以表示为P ∨ Q。
•蕴含：蕴含符号→ 表示若一个命题成立，则另一个命题必定成立的关系。
例如，命题P蕴含命题Q可以表示为P → Q。
•等价：等价符号↔ 表示两个命题具有相同真值的关系。
例如，命题P和命题Q的等价可以表示为P ↔ Q。
第一章 集合与简易逻辑
第一章 集合与简易逻辑§1.1 集合的概念与运算★考点精析1.集合中元素的三个特性： 、 、 .2.元素与集合的关系有 和 两种，表示符号为 和 .集合的表示法： 、 、 . 5.集合间的基本关系：子集，真子集，相等.若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有21n-，非空子集有21n-个，非空真子集有22n-个．6.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.7.交集：{}B x A x x B A ∈∈=⋂且|； 并集：{}B x A x x B A ∈∈=⋃或|；补集：若{}B x U x x B C U B U ∉∈=⊆且则|,；8.基本性质：（1）A A A =Φ⋃Φ=Φ⋂,,A A A A A A =⋃=⋂,；（2）A B A A B =⇔⊆ ．A B A A B =⇔⊇ ； （3）()U U U C A C B C A B = ，()U U U C A C B C A B = 。
★基础演练1、若A 、B 、C 为三个集合，A B B C = ，则一定有 （ ）（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A 2、若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ） （A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M ．3、已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数___m =。
4、已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P 为 ；P 的子集有 个；P 的非空真子集有 个．5、调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 ，最小值为 ．6、集合{(,)|||}A x y y a x ==，{(,)|}B x y y x a ==+，若A B 为单元素集，实数a 的取值范围为 ．★典例归类例1、已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则（ ）()A P F =()B Q E = ()C E F =()D Q G =设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈， 1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则 （ ）()A M N = ()B M N ⊂≠ ()C M N ⊇ ()D M N φ=例2、设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．变式练习2若a b R ∈，，集合{1}{0}b a b a b a+=，，，，，求20112011b a -的值.例3、已知集合{}32|320A x x x x =++>，{}2|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤ ，{}|2A B x x =>- ，求实数a 、b 的值．说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．例4、已知集合222{|(1)(1)0}A y y a a y a a =-++++>，215{|,03}22B y y x x x ==-+≤≤，若A B φ= ，求实数a 的取值范围．1、若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆， 求实数a 的取值范围．2、已知集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B φ≠ ，求实数m 的取值范围．分析：本题的几何背景是：抛物线22y x mx =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．★巩固练习1、(2006山东)定义集合运算：A ⊙B =｛z |z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 （ ）A.0B.6C.12D.18 2、设全集为U ，在下列条件中，是B A ⊆的充要条件的有（ ） 个 ①A B A = ，②U C A B φ= ，③U U C A C B ⊆，④U A C B U = ， A.1 B.2 C.3 D.4 3、设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3A B = ，{}1,5,7U A C B = ，{}9U U C A C B = ，则A = ，B = ．4、集合{(,)|20}A x y x y =-=，1{(,)|0}2y B x y x -==-，则A B = ，A B = . 5、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．66、设数集3{|}4M x m x m =≤≤+，1{|}3N x n x n =-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N的长度的最小值是 ．§1.2 简单不等式的解法★考点精析1.绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2.当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．3.解绝对值不等式的其他方法： （1）利用绝对值的集合意义法：(2) 利用函数图象法：原理：不等式f(x)>g(x)的解集是函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象上方的点的横坐标的集合.4.一元二次不等式的解法、一元二次方程、一元二次不等式以及二次函数之间的关系；5.分式不等式的基本解法、要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；6.高次不等式的基本解法、要注重对重因式的处理．7.解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；或者利用二次函数的图象来写出一元二次不等式的解集。
第1讲《集合与简易逻辑》
第一讲《集合与简易逻辑》【知识点】集合解决集合问题应注意的问题1、明确集合的三种表示方法，能够灵活的应用和转化；2、明确集合的元素的意义，确定对象的类型，即元素是点、还是说、还是图形、还是向量等；如集合2A={x|y=x 1}-和2B={y|y=x 1}-不是同一个集合3、弄清集合是由哪些元素组成的，善于对集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）之间进行相互转化；化简出集合的最简形式；4、注意集合元素的互异性，在求值中不要忘记检验是否满足这一性质，这是集合题的隐含条件；5、 注意空集的特殊性和特殊作用，注意空集性质的应用；6、判断集合关系的方法和研究集合问题的方法是从元素下手；7、注意运用数形结合思想、分类讨论思想、化归和转化思想来解决集合的问题；8、集合问题多与函数、方程、不等式等知识综合在一起，注意各类知识之间的联系和融会贯通；常见的结论1、集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n个，真子集有21n-个，非空真子集有22n-个 2、集合交集和并集的混合运算的两个公式：()()()u u u AB A B c c c =；()()()u u u A B A B c c c= 3、 空集的性质：（1）A ∅⊆（2）()A A ∅⊂≠∅（3）A∅=∅（4）A A ∅=4、（1）A B A A B =⇔⊆，A B A B A =⇔⊆ （2）A B B A A B ⊆⊆⇔=且 （3）A B ⊂是A B ⊆的充分不必要条件【例题讲解】 【历年福建高考】1、（05福建）全集U =R,且A=｛x ︱︱x －1︱>2｝,B =｛x ︱x 2－6x +8<0｝，则(UA )∩等于（ ）A 、[－1,4]B 、 (2,3)C 、 (2,3)D 、(－1,4) 2、（06福建）已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（ ） A 、1a ≤ B 、1a <C 、2a ≥D 、2a >3、（08福建）设集合01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}03B x x =<<，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、（09福建）已知全集U=R ，集合{}220A x x x =->，则U C A 等于（ ）A 、{}02x x ≤≤B 、{}02x x <<C 、{}02x x x <>或D 、{}02x x x ≤≥或 5、（2013福建）已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C ．充要条件 D 、既不充分也不必要条件1、答：B2、解析：1|{≤=x x B C R 或}2≥x ，因为=R ，所以a 2，选C.3、解：由01xx <-，得01x <<，可知“m A ∈”是“m B ∈”的充分而不必要条件 4、[解析]∵计算可得{}02A x x x =<>或 ∴U C A ={}02x x ≤≤，故选A 5、答案A【巩固练习】1、（2013山东理）已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是（ ）A 、1B 、3C 、5D 、92、（2013辽宁理）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则（ ）A.()01，B.(]02，C.()1,2D.(]12，3、（2013陕西理）设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为A 、[-1,1]B 、(-1,1)C 、,1][1,)(∞-⋃+∞-D 、,1)(1,)(∞-⋃+∞-4、（2013广东理）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ) A 、{}0 B 、{}0,2 C 、{}2,0- D 、{}2,0,2-5、（2013重庆理）已知全集{}1,2,3,4U=,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则()=U A B ð( )A.{}134，， B.{}34， C. {}3 D. {}4 6、（上海理）设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ⋃=,则a 的取值范围为( ) A 、(,2)-∞ B 、(,2]-∞ C 、(2,)+∞ D 、[2,)+∞1、【答案】C2、【答案】D3、【答案】D4、【答案】D5、【答案】D6、【答案】B.【解答题训练】1、已知集合A ＝{x |4≤x <8}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ；(∁R A )∩B ； (2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．2、已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)<0}，函数y ＝lg 2a －x x －a 2＋的定义域为集合B .(1)若a ＝2，求集合B ；(2)若A ＝B ，求实数a 的值．1、解：<10}R (∁R A )∩B ＝{x |2<x <4或8≤x ＜10}． (2)若A ∩C ≠∅，则a >4.2、解：(1)当a ＝2时，由4－xx －5>0得4<x <5，故集合B ＝{x |4<x <5}；(2)由题意可知，B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①若2<3a ＋1，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，又因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2a 2＋1＝3a ＋1，无解；②若2＝3a ＋1时，显然不合题意；③若2>3a ＋1，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}．又因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3a ＋1a 2＋1＝2，解得a ＝－1. 综上所述，a ＝－1.【知识点】集合1、原命题和逆否命题、逆命题和逆否命题是互为逆否的两个命题，互为逆否的两个命题是等价的，它们的真假性相同；在遇到命题的条件和结论都含有否定词而且难以判断真假时，可以利用它的等价命题（逆否命题）的真假来判断；2、命题的否定和否命题的区别：命题的否定只否定原命题的结论，而否命题把原命题的条件和结论都否定，如设原命题为：“若p ，则q ” （1）命题的否定为：“若p ，则q ⌝”（2）否命题为：“若p ⌝，则q ⌝”3、充分条件和必要条件的判定方法 （1）定义法（通用的方法）： ①若,p q q ⇒⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； ②若p ⇒,q q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件； ③若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充分必要条件；④若p ⇒,q q ⇒p ，则p 是q 的既不充分又不必要条件；（2）集合判断法：若已知条件给的是两个集合问题，可以利用此方法判断： 设条件p 和q 对应的集合分别是,A B ①若A B ⊆，则p 是q 充分条件；若A B ⊂，则p 是q 的充分不必要条件； ②若A B ⊇，则p 是q 必要条件；若A B ⊃，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A B =，则p 是q 的充分必要条件；④若,A B B A ⊄⊄，则p 是q 的既不充分又不必要条件；（3）命题真假法：利用原命题和真命题的真假来判断：设若p 则q 为原命题， ①若原命题真，逆命题假，则p 是q 的充分不必要条件； ②若原命题假，逆命题真，则p 是q 的必要不充分条件； ③若原命题真，逆命题真，则p 是q 的充分必要条件；④若原命题假，逆命题假，则p 是q 的既不充分又不必要条件； 4、逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义就是对应集合的“并集”，“交集”，“补集”； 5、命题：“p 且q ”，“ p 或q ”，“ 非p ”真假的判断：（1）“p 且q ”：一假必假，同真为真（2）“ p 或q ”：一真必真，同假为假（3）“非p ”：真假相对6、全称命题−−−→←−−−否定特称命题【历年福建高考】 1、（06福建）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是（ ） A 、ad －bc =0 B 、ac －bd =0 C 、ac +bd =0 D 、ad +bc =0 2、（07福建）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A 、若=0a b ，则0a =或0b = B 、若λ0a =，则0λ=或=0aC 、若22=a b ，则=a b 或-a =b D 、若a b =a c ，则b =c 3、（2011福建）若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 4、（2012福建）下列命题中，真命题是（ ）A 、0,00≤∈∃x eR x B 、22,x R x x >∈∀C 、0=+b a 的充要条件是1-=baD 、1,1>>b a 是1>ab 的充分条件【参考答案】2、解析：a ⊥b 时也有a ·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c ，得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时，选B.4、解答：A 中，,R x ∈∀0>xe ，B 中，22,4,2x x x x ===∃，22,x x x <∃。
01第一章 集合与简易逻辑【讲义】.
第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A 中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。
规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。
定义6 差集，。
定义7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理4 容斥原理；用表示集合A的元素个数，则，需要xy此结论可以推广到个集合的情况，即定义8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。
定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
高中数学基础知识
f (x)
f (x)
4. 函数 y f (x) 的图象的对称性
(1)函数 y f (x) 的图象关于直线 x a 对称 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x).
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(2)函数 y f (x) 的图象关于直线 x a b 对称 f (a mx) f (b mx) 2
性质：若 m n p q ，则 am an a p aq
2. 等比数列
定义： an1 q(q 0) an
通项： an a1qn1
求和： Sn
a1
na1 (1 q
1 q
n
(q )
1) (q
1)
中项： b2 ac （ a,b,c 成等比）
(3)设 A (x1, y1) ，B (x2, y2 ) ,则 AB OB OA (x2 x1, y2 y1) . (4)设 a= (x, y), R ，则 a= (x, y) .
(5)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ，则 a·b= x1x2 y1 y2 .
loga
b
(1) loga (MN) loga M loga N ;
(2)
loga
M N
loga M loga N ;
(3) loga M n n loga M (n R) .
注：性质 log a 1 0 log a a 1 a loga N N
常用对数 lg N log10 N ， lg 2 lg 5 1
自然对数 ln N log e N ， ln e 1
集 合与简易逻辑1.1集 合
集合与简易逻辑1.1集合关键信息项1、集合的定义和概念明确集合的一般性定义和相关特征描述。
对集合中元素的性质和要求进行阐述。
2、集合的表示方法列举法的规则和适用场景。
描述法的格式和要点。
图示法（如韦恩图）的作用和使用方式。
3、集合的运算交集的定义和运算规则。
并集的概念及计算方法。
补集的含义和求解过程。
4、集合间的关系子集的判定条件和性质。
真子集的特点和区分。
集合相等的判断依据。
11 集合的定义和概念111 集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。
这些对象称为集合的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
112 元素的确定性给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。
也就是说，对于一个给定的集合，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，不存在模棱两可的情况。
113 元素的互异性集合中的元素是互不相同的。
如果一个集合中出现了相同的元素，应该只保留一个。
114 元素的无序性集合中的元素没有特定的顺序。
例如，集合{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是同一个集合。
12 集合的表示方法121 列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如，由元素 1, 2, 3 组成的集合可以表示为{1, 2, 3}。
这种方法适用于元素较少且容易列举的集合。
122 描述法用集合中元素的共同特征来表示集合。
具体格式为{代表元素|元素的特征}。
例如，所有大于 0 的实数组成的集合可以表示为{x|x ＞ 0}。
123 图示法常用的图示法是韦恩图。
通过图形来直观地表示集合之间的关系，有助于理解和解决集合相关的问题。
13 集合的运算131 交集由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的交集，记作A ∩ B。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛2, 3, 4}，则A ∩ B ＝｛2, 3}。
132 并集把集合 A 和集合 B 中的所有元素合并在一起组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，记作 A ∪ B。
01第一章 集合与简易逻辑【讲义】
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
01--第一章 集合与简易逻辑
十年高考分类解析与应试策略数学第一章 集合与简易逻辑●考点阐释集合的初步知识与简易逻辑知识，是掌握和使用数学语言的基础. 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题.逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力.重点掌握：（1）强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用文氏图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练.（2）要正确理解“充分条件”“必要条件”“充要条件”的概念.数学概念的定义具有对称性，即数学概念的定义可以看成充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.●试题类编 一、选择题1.（2003京春理，11）若不等式|ax +2|<6的解集为（－1，2），则实数a 等于（ ） A.8 B.2 C.－4 D.－82.（2002京皖春，1）不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集是（ ）A.{x |－1＜x ＜1}B.{x |0＜x ＜3}C.{x |0＜x ＜1}D.{x |－1＜x ＜3}3.（2002北京，1）满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.14.（2002全国文6，理5）设集合M ={x |x =412+k ，k ∈Z }，N ={x |x =214+k ，k ∈Z }，则（ ）A.M =NB.M NC.M ND.M ∩N =∅ 5.（2002河南、广西、广东7）函数f （x ）=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是（ ） A.ab =0 B.a +b =0 C.a =b D.a 2+b 2=06.（2001上海，3）a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +（a －1）y =a －7平行且不重合的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件7.（2000北京春，2）设全集I ={a ，b ，c ，d ，e }，集合M ={a ，b ，c }，N ={b ，d ，e }，那么I M ∩I N是（ ）A. B.{d } C.{a ，c } D.{b ，e } 8.（2000全国文，1）设集合A ＝｛x ｜x ∈Z 且－10≤x ≤－1｝，B ＝｛x ｜x ∈B 且｜x ｜≤5｝，则A ∪B 中元素的个数是（ ）A.11B.10C.16D.15 9.（2000上海春，15）“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件10.（2000广东，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ） A.15 B.16 C.3 D.4 11.（1999全国，1）如图1—1，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A.（M ∩P ）∩SB.（M ∩P ）∪SC.（M ∩P ）∩I SD.（M ∩P ）∪I S12.（1998上海，15）设全集为R ，A ＝｛x ｜x 2－5x －6＞0｝，B ＝｛x ｜|x －5｜＜a ｝（a 为常数），且11∈B ，则（ ）A.R A ∪B ＝RB.A ∪R B ＝RC.R A ∪R B ＝RD.A ∪B ＝R13.（1997全国，1）设集合M =｛x ｜0≤x ＜2｝，集合N ＝｛x ｜x 2－2x －3＜0｝，集合M ∩Ｎ等于（ ）A.｛x ｜0≤x ＜1}B.｛x ｜0≤x ＜2}C.｛x ｜0≤x ≤1｝D.｛x ｜0≤x ≤2｝14.（1997上海，1）设全集是实数集R ，M ＝｛x ｜x ≤1＋2，x ∈R ｝，N ＝｛1，2，3，4｝，则R M ∩N等于（ ）A.｛4｝B.｛3，4｝C.｛2，3，4｝D.｛1，2，3，4｝ 15.（1996上海，1）已知集合M ＝｛（x ，ｙ）｜x ＋ｙ＝2｝，N ＝｛（x ，ｙ）｜x －ｙ＝4｝，那么集合M ∩N 为（ ）A.x =3，y =－1B.（3，－1）C.{3，－1}D.{（3，－1）}16.（1996全国文，1）设全集I ＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，集合A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛3，5｝，则（ ）A.I ＝A ∪BB.I ＝I A ∪BC.I ＝A ∪I BD.I ＝I A ∪I B17.（1996全国理，1）已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈N ｝，则（ ）A.I ＝A ∪BB.I ＝I A ∪BC.I ＝A ∪I BD.I ＝I A ∪I B18.（1996上海文，6）若y =f （x ）是定义在R 上的函数，则y =f （x ）为奇函数的一个充要条件为（ ）A.f （x ）=0B.对任意x ∈R ，f （x ）=0都成立C.存在某x 0∈R ，使得f （x 0）+f （－x 0）=0D.对任意的x ∈R ，f （x ）+f （－x ）=0都成立19.（1995上海，2）如果P ＝｛x ｜（x －1）（2x －5）＜0}，Q ＝｛x ｜0＜x ＜10｝，那么（ ）A.P ∩Q ＝∅B.P QC.P QD.P ∪Q ＝R20.（1995全国文，1）已知全集I ＝｛0，－1，－2，－3，－4｝，集合M ＝｛0，－1，－2｝，N ＝｛0，－3，－4｝，则I M ∩N等于（ ）A.｛0｝B.｛－3，－4｝C.｛－1，－2｝D.∅21.（1995全国理，1）已知I 为全集，集合M 、N I ，若M ∩N ＝N ，则（ ）A.I M⊇I N B.M I NC.I M I ND.M ⊇I N22.（1995上海，9）“ab <0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的（ ） A.必要条件但不是充分条件 B.充分条件但不是必要条件 C.充分必要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件 23.（1994全国，1）设全集I ＝｛0，1，2，3，4｝，集合A ＝｛0，1，2，3｝，集合B ＝｛2，3，4｝，则I A ∪I B等于（ ）A.｛0｝B.｛0，1｝C.｛0，1，4｝D.｛0，1，2，3，4｝ 24.（1994上海，15）设I 是全集，集合P 、Q 满足P Q ，则下面的结论中错误的是（ ） A.P ∪I Q =∅ B.I P ∪Q =IC.P ∩I Q =∅D.I P ∩I Q =I P二、填空题25.（2003上海春，5）已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是_____.26.（2002上海春，3）若全集I =R ，f （x ）、g （x ）均为x 的二次函数，P ={x |f （x ）＜0}，Q ={x |g （x ）≥0}，则不等式组⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 的解集可用P 、Q 表示为_____.27.（2001天津理，15）在空间中①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中，逆命题为真命题的是_____. 28.（2000上海春，12）设I 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q I .若含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，则这个运算表达式可以是 （只要写出一个表达式）.29.（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断:①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：_____. 三、解答题30.（2003上海春，17）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+>+-2130862x x x x .31.（2000上海春，17）已知R 为全集，A ={x |lo g 21（3－x ）≥－2}，B ={x |25+x ≥1}，求R A ∩B .32.（1999上海，17）设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |212+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围.●答案解析 1.答案：C解析：∵|ax +2|<6，∴－6<ax +2<6，－8<ax <4当a >0时，有ax a 48<<-，而已知原不等式的解集为（－1，2），所以有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=1824aa.此方程无解（舍去）. 当a <0时，有a x a 48<<-，所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-1428aa解得a =－4，当a =0时，原不等式的解集为R ，与题设不符（舍去），故a =－4.评述：本题主要考查绝对值不等式的解法，方程的根与不等式解集的关系，考查了分类讨论的数学思想方法及逻辑思维能力，此题也可以利用选项的值代入原不等式，去寻找满足题设条件的a 的值.2.答案：C解析：依题意可得⎩⎨⎧<<<<-3011x x ，可得0＜x ＜1.3.答案：C解析：M ={2，3}或M ={1，2，3}评述：因为M ⊆{1，2，3}，因此M 必为集合{1，2，3}的子集，同时含元素2，3. 4.答案：B解析：方法一：可利用特殊值法，令k =－2，－1，0，1，2可得}1,43,21,41,0{},45,43,41,41,43{=--=N M∴M N方法二：集合M 的元素为：412412+=+=k k x （k ∈Z ），集合N 的元素为：x =42214+=+k k （k ∈Z ），而2k +1为奇数，k +2为整数，因此M N .∴M N 5.答案：D解析：若a 2+b 2=0，即a =b =0时，f （－x ）=（－x ）|x +0|+0=－x |x |=－f （x ） ∴a 2+b 2=0是f （x ）为奇函数的充分条件.又若f （x ）为奇函数即f （－x ）=－x |（－x ）+a |+b =－（x |x +a |+b ），则 必有a =b =0，即a 2+b 2=0，∴a 2+b 2=0是f （x ）为奇函数的必要条件. 6.答案：C解析：当a =3时，直线l 1：3x +2y +9=0，直线l 2：3x +2y +4=0 显然a =3⇔l 1∥l 2. 7.答案：A 解析：∵I M ={b ，e }，I N ={a ，c }，∴I M ∩I N =∅.8.答案：C解析：∵A ＝｛－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1｝ B ＝｛－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5｝∴A ∪B ＝｛－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5｝共有16个元素.9.答案：A解析：若a =1，则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ，此时y 的最小正周期为π，故a =1是充分条件.而由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax ，此时y 的周期为|2|2a π=π， ∴a =±1，故a =1不是必要条件.评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握. 10.答案：A解析：根据子集的计算应有24－1=15（个）.评述：求真子集时千万不要忘记空集∅是任何非空集合的真子集.同时，A 不是A 的真子集.11.答案：Ｃ解析：由图知阴影部分表示的集合是M ∩P 的子集且是I S的子集，故答案为Ｃ．评述：本题源于课本，属送分题，是前几年高考题的回归. 12.答案：D解析：由已知A ={x |x >6或x <－1}，B ={x |5－a <x <5+a }，而11∈B ， ∴⇒⎩⎨⎧>+<-115115a a a >6.此时：5－a <－1，5+a >6，∴A ∪B =R .评述：本题考查集合基本知识，一元二次不等式、绝对值不等式的解法及分析问题解决问题的能力.13.答案：B解析：方法一：N ＝｛x ｜x 2－2x －3＜0｝＝｛x ｜－1＜x ＜3｝，所以M ∩N ＝｛x ｜0≤x ＜2｝，故选B.方法二：由（23）2－2·（23）－3＜0，知1.5∈N ，又1.5∈M ，因此1.5∈M ∩N ，从而排除A 、Ｃ；由交集定义与M 的表达式，可排除D ，得B.评述：本题考查对交集的理解和掌握，所设定的集合实质是不等式的解集，兼考处理不等式解集的基本技能.14.答案：B解析：R M ={x |x >1+2，x ∈R }，又1+2<3.故R M ∩N ={3，4}.故选B.15.答案：D 解析：方法一：解方程组⎩⎨⎧=-=+,4,2y x y x 得⎩⎨⎧-==.1,3y x 故M ∩N ＝｛（3，－1）｝，所以选D.方法二：因所求M ∩N 为两个点集的交集，故结果仍为点集，显然只有D 正确. 评述：要特别理解集合中代表元素的意义，此题迎刃而解.16.答案：Ｃ 解析：方法一：显然I B ＝｛1，2，4，6，7｝， 于是A ∪I B ＝I ，故选Ｃ.方法二：利用文氏图1—3知I ＝A ∪I B ，应选Ｃ.17.答案：Ｃ解析：方法一：I A 中元素是非2的倍数的自然数，I B 中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.方法二：因A ＝｛2，4，6，8…｝，B ＝｛4，8，12，16，…｝，所以I B ＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I ＝A ∪I B ，故答案为Ｃ.方法三：因B A ，所以IAI B ，I A ∩I B ＝I A ，故I ＝A ∪I A ＝A ∪I B .方法四：根据题意，我们画出文氏图1—4来解，易知B A ，如图：可以清楚看到I = A ∪I B是成立的.评述：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求.18.答案：D解析：由奇函数定义可知：若f （x ）为奇函数，则对定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），即f （－x ）+f （x ）=0，反之，若有f （x ）+f （－x ）=0，即f （－x ）=－f （x ），由奇函数的定义可知f （x ）为奇函数.评述：对于判断奇偶性问题应注意：x 为定义域内任意值，因此定义域本身应关于原点对称，这是奇偶性问题的必要条件.19.答案：B解析：由集合P 得1<x <25，由集合Q 有0<x <10.利用数轴上的覆盖关系，易得P Q . 20.答案：B 解析：由已知I M ={－3，－4}，∴I M ∩N ={－3，－4}.21.答案：C解析一：∵M ∩N =N ，∴N ⊆M ，∴I N⊇I M解析二：画出韦恩图1—5，显然：I M⊆I N .故选C.评述：本题主要考查集合的概念和集合的关系，题目中不给出具体集合，对分析问题解决问题能力提高了要求.22.答案：A解析：如果方程ax 2+by 2=c 表示双曲线，即122=+bc ya c x 表示双曲线，因此有0<⋅b c a c ，即ab <0.这就是说“ab <0”是必要条件；若ab <0，c 可以为0，此时，方程不表示双曲线，即ab <0不是充分条件.评述：本题考查充要条件的推理判断和双曲线的概念. 23.答案：C解析：∵I A ={4}，I B ={0，1}，∴I A ∪I B ={0，1，4}.24.答案：D解析：依题意画出文氏图：如图1—6，显然A 、B 、C 均正确，故应选D.25.答案：a ≤－2解析：∵A ={x |－2≤x ≤2}，B ={x |x ≥a }，又A ⊆B ，利用数轴上覆盖关系：如图1—7因此有a ≤－2.评述：本题主要考查集合的概念和集合的关系.26.答案：P ∩I Q解析：∵g （x ）≥0的解集为Q ，所以g （x ）<0的解集为I Q ，因此⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 的解集为P ∩I Q .评述：本题以不等式为载体，重点考查集合的补集、交集的概念及其运算，活而不难. 27.答案：②解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.我们用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三点都不共线，但A 1B 1C 1D 1四点共面，所以①中逆命题不真.②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点. 由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点. 所以②中逆命题是真命题.评述：本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识，考查命题的有关概念.28.答案：P ∩I Q解析：阴影部分为I Q （如图1—8）显然，所求表达式为I Q ∩P =∅，或I Q ∩（Q ∩P ）或I Q ∩（Q ∪P ）=∅.评述：本题考查集合的关系及运算.29.答案：m ⊥α，n ⊥β，α⊥β⇒m ⊥n ，或m ⊥n ，m ⊥α， n ⊥β⇒α⊥β.（二者任选一个即可）解析：假设①、③、④为条件，即m ⊥n ，n ⊥β，m ⊥α成立， 如图1—9，过m 上一点P 作PB ∥n ，则PB ⊥m ，PB ⊥β，设垂足为B .又设m ⊥α的垂足为A ，过P A 、PB 的平面与α、β的交线l 交于点C ，因为l ⊥P A ，l ⊥PB ，所以l ⊥平面P AB ，得l ⊥AC ，l ⊥BC ，∠ACB 是二面角α－l －β的平面角.显然∠APB +∠ACB =180°，因为P A ⊥PB ，所以∠ACB =90°，得α⊥β.由①、③、④推得②成立.反过来，如果②、③、④成立，与上面证法类似可得①成立.评述：本题主要考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质，但题型较新颖，主要表现在：题目以立体几何知识为背景，给出了若干材料，要求学生能将其组装成具有一定逻辑关系的整体，解题的关键是将符号语言转化为图形语言.考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向.30.解：由x 2－6x +8>0，得（x －2）（x －4）>0，∴x <2或x >4.由13-+x x >2，得15-+-x x >0，∴1<x <5.∴原不等式组的解是x ∈（1，2）∪（4，5）评述：本题主要考查二次不等式、分式不等式的解法.31.解：由已知lo g 21（3－x ）≥lo g 214，因为y =lo g 21x 为减函数，所以3－x ≤4.由⎩⎨⎧>-≤-0343x x ，解得－1≤x <3.所以A ={x |－1≤x <3}.由25+x ≥1可化为22302)2(5≥+-⇒≥++-x xx x ⎩⎨⎧≠+≤+-020)2)(3(x x x 解得－2<x ≤3，所以B ={x |－2<x ≤3}. 于是R A ={x |x <－1或x ≥3}.故R A ∩B ={x |－2<x <1或x =3}评述：本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识，以及综合运用知识能力和运算能力.32.解：由|x －a |<2，得a －2<x <a +2，所以A ={x |a －2<x <a +2}. 由212+-x x <1，得23+-x x <0，即－2<x <3，所以B ={x |－2<x <3}. 因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧≤+-≥-3222a a ，于是0≤a ≤1.评述：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.●命题趋与应试策略1.有关集合的高考试题.考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用文氏图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练.2.有关“充要条件”、命题真伪的试题.主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解. 试题以选择题、填空题为主，难度不大，要求对基本知识、基本题型，求解准确熟练.。
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北大附中2013届周练2(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2011年北京)已知集合A＝{x|x≠1，x∈R}，A∪B＝R，则集合B不可能是() A．{x|x>－2，x∈R}B．{x|x<－2，x∈R}C．{x|x≠－2，x∈R} D．{0，－2,1}2．(2011年湖北八校联考)“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2011年黄冈3月质检)已知全集I＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5}，N＝{1,3,6}，则集合{2,7}等于()A．(∁I M)∩(∁I N) B．(∁I M)∪(∁I N)C．M∪N D．M∩N4．“a2＋b2≠0”的含义为()A．a，b不全为0；B．a，b全不为0C．a，b至少有一个为0；D．a不为0且b为0，或b不为0且a为05．设命题：p：若a>b，则1a<1b；q：若1ab<0，则ab<0；给出以下3个复合命题：①p∧q；②p∨q③¬p∧¬q.其中真命题个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B 的元素个数为()A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n7．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为()A．存在一个三角形，内角和等于180°；B．所有三角形，内角和都等于180°C．所有三角形，内角和都不等于180°；D．很多三角形，内角和不等于180°8．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分而不必要条件，则a的取值范围是()A．a≥1 B．a≤1 C．a≥－3 D．a≤－39．(2011年湖北八市三月调考)设集合M＝{y|y＝2x，x<0}，N＝{y|y＝log2x,0<x<1}，则“x∈M”是“x∈N”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．设※是集合A中元素的一种运算，如果对于任意的x，y∈A都有x※y∈A，则称运算※对集合A是封闭的，若M＝{x|x＝a＋2b，a，b∈Z}，则对集合M不封闭的运算是() A．加法B．减法C．乘法D．除法11．(2010年广州模拟)如图所示，A，B是两非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合，若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A#B＝() A．{x|0<x<2} B．{x|0<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}12．(2011年山西四校联考)下列命题①命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”．②命题P：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则綈P：∃x0∈R，x02＋x0＋1＝0.③若p∨q为真命题，则p、q均为真命题．④“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件．其中真命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)13．(2010年江苏省苏州六校联合高三调研考试)已知全集U＝R，集合M＝{x|lg x<0}，N＝{x|(12)x≥22}，则(∁U M)∩N＝________.14．(2010年山东烟台适应性考试)命题p：∀x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定¬p是________．15．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则非p是非q的________条件．16．(2010年上海高考)从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)Ø，U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A.那么共有________种不同的选法．三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2010年南京江苏模拟题)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若A∩B＝B，求a的值；(2)若A∪B＝B，求a的值．18．写出下列命题的否定：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)对于任意实数x，存在实数y，使x＋y>0；(4)有些质数是奇数．19．(2010年汕头模拟)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，(1)当a＝3时，求A∩B，A∪(∁U B)；(2)若A∩B＝Ø，求实数a的取值范围．20．已知函数f (x )＝4sin 2(π4＋x )－23cos2x －1，且给定条件p ：“π4≤x ≤π2”，(1)求 f (x )的最大值及最小值；(2)若又给条件q ：“|f (x )－m |<2”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．21．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.22．(2010年铁岭模拟)命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，命题q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．周练2答案1解析：依题意知，要使A ∪B ＝R ，则需1∈B ，结合各选项知，集合B 不可能是{x |x <－2，x ∈R}，选B.答案：B2答案：B 3解析：M ∪N ＝{1,3,4,5,6}，∁I (M ∪N )＝{2,7}＝(∁I M )∩(∁I N )．答案：A 4解析：a 2＋b 2＝0⇔a ＝0，b ＝0，于是a 2＋b 2≠0，就是对a ＝0，b ＝0，即a ，b 都为0的否定，而“都”的否定为“不都是”或“不全是”，所以应该是“a ，b 不全为0”．答案：A5解析：p ：若a >b ，则1a <1b ，是假命题；q ：若1ab <0，则ab <0，是真命题．所以¬p 是真命题，¬q 是假命题；所以①p ∧q 是假命题，②p ∨q 是真命题，③¬p ∧¬q 是假命题．故选B.答案：B6解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素，故选D.答案：D7解析：该命题是一个“存在性命题”，于是“存在”否定为“所有”；“不等于”否定为“都等于”．答案：B8解析：由(x ＋1)2>4得x >1或x <－3，∴p ：x >1或x <－3.∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，∴p⇒/ q ，但q ⇒p .∴a ≥1. 答案：A9解析：M ＝{y |0<y <1}，N ＝{y |y <0}，所以x ∈M 是x ∈N 的既不充分也不必要条件． 答案：D10解析：设x ＝a ＋2b ，y ＝c ＋2d (a 、b 、c 、d ∈Z)，则x ＋y ＝(a ＋c )＋2(b ＋d )∈M ，所以加法对集合M 封闭；x －y ＝(a －c )＋2(b －d )∈M ， ∴减法对集合M 封闭．xy ＝(ac ＋2bd )＋2(ad ＋bc )∈M ，∴乘法对集合M 封闭．x y ＝a ＋2b c ＋2d ＝(a ＋2b )(c －2d )(c ＋2d )(c －2d )＝ac －2bd c 2－2d 2＋bc －ad c 2－2d 22，故除法对集合M不封闭，选D.答案：D11解析：由2x－x2≥0得0≤x≤2.∴A＝{x|0≤x≤2}．∵x>0，∴2x>1.∴B＝{y|y>1}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}．∴A#B＝{x|0≤x≤1或x>2}．答案：D12解析：①②④正确，③错：p∨q一真则真．答案：C13解析：∵M＝{x|lg x<0}＝{x|0<x<1}，N＝{x|(12)x≥22＝(12)12}＝{x|x≤12}，∁U M＝{x|x≥1或x≤0}，(∁U M)∩N＝{x|x≤0}．答案：(－∞，0]14答案：∃x0∈R，f(x0)<m15解析：∵p：x<－3或x>1，∴¬p：－3≤x≤1.∵q：2<x<3，∴¬q：x≤2或x≥3，则¬p⇒¬q.答案：充分不必要16解析：设四个子集为A、B、C、D并且A⊆B⊆C⊆D 则A B C DØ 1 2 4选法4×3＝12Ø 1 3 4选法4×3＝12Ø 2 3 4选法6×2＝12其中1,2,3,4表示子集中元素个数．∴总的选法为12＋12＋12＝36种．答案：3617解：由已知A＝{x|x2＋4x＝0}，得A＝{－4,0}．(1)B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．∵A∩B＝B，∴B⊆A.①若0∈B，则a2－1＝0，解得a＝±1.当a＝1时，B＝A；当a＝－1时，B＝{0}．②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7或a＝1.当a ＝7时，B ＝{－12，－4}，B A .③若B ＝Ø，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 由①②③得a ＝1，或a ≤－1.(2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .∵A ＝{－4,0}，B 至多有两个元素，∴A ＝B ，由(1)知，a ＝1. 18解析：(1)∃x ∈N ，使得x 2≤0.(2)∃x ∈R,5x －12≠0.(3)对于任意实数x 、y ，有x ＋y ≤0.(4)所有质数都不是奇数．解析：(1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}＝{x |x ≤1或x ≥4}．∁U B ＝{x |1<x <4}，A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1或4≤x ≤5}，A ∪(∁UB )＝{x |－1≤x ≤5}．(2)当a <0时，A ＝Ø，显然A ∩B ＝Ø，当a ≥0时，A ≠Ø，A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}＝{x |x ≤1或x ≥4}．由A ∩B ＝Ø，得⎩⎨⎧ 2－a >12＋a <4， 解得0≤a <1.故实数a 的取值范围是(－∞，1)．20解析：(1)∵f (x )＝2[1－cos(π2＋2x )]－23cos2x －1＝2sin2x －23cos2x ＋1＝4sin(2x －π3)＋1.又∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3，即3≤4sin(2x －π3)＋1≤5，∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝3.(2)∵|f (x )－m |<2，∴m －2<f (x )<m ＋2.又∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎨⎧m －2<3m ＋2>5，解得3<m <5. 21证明：充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N ＋)，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p . ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ，p (p －1)p ＋q ＝p ， 即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件． 22解析：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0} ＝{x |3a <x <a }，B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0} ＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2} ＝{x |x <－4或x ≥－2}．因为¬p 是¬q 的必要不充分条件， 所以¬q ⇒¬p ，且¬p ⇒/ ¬q ，而∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a }，则⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0或⎩⎨⎧a ≤－4a <0， 即－23≤a <0或a ≤－4.。